# The meanings and characteristics of mathematic knowledge in Wasan - Jutsu, hō and Hyō

In document 第 6 卷 第 1 期 二〇一九年四月 VOL. 6 NO. 1 April 2019 (Page 60-100)

Jyun‐Wei Huang  Taipei Municipal Heping High School

The problems that practitioners consider crucial and worth researching as well as the appropriate solutions they seek are vary by community. As a result, the types of knowledge produced by communities also differ. This paper aims to explain three types of knowledge, namely jutsu (術), hō (法), and Hyō (表), in the context of Wasan by identifying and discussing their meanings and functions and comparing them. Jutsu is considered a procedural and mechanical algorithm and can also be seen as a procedure by which operations and computations are applied to the values in mathematics problems step by step to result in an answer. Jutsu is an instrument for obtaining numerical solutions and the types of solution preferred by Wasan mathematicians. Sometimes, Jutsu connotes a formula or theorem and reveals an abstract relationship between values or magnitudes. Hō is a procedural mathematical operation or method through which Wasan mathematicians can calculate values, and it is often a subprogram or a subprocedure of the primary algorithm in the procedure of Jutsu. Hyō records and condenses mathematical knowledge and reveals the structures of and relationships between mathematical concepts and mathematical objects, and it is treated as an instrument for problem solving and is used in the processes of exploring and justifying knowledge. When Wasan mathematicians propose mathematics problems, two aspects of knowledge activities related to mathematics research and practice are considered: They construct Jutsu using the hō or the hyō or mathematical knowledge relevant to problems, and they operate and calculate step by step on paper or another surface used for calculating to obtain the numerical solutions according to the steps of Jutsu through the use of calculators.

Keywords: HPM, Wasan, epistemological culture, history of mathematics

（practitioners）認為重要而值得探討的問題，以及他們所尋求適當答案的種類，往往因社群而 異。由這些社群所生產出來的知識種類，也展現出差異。歷史學家在研究這些社群時，倘若不 探討在社群內所發展出來的「知識的需求」（epistemic needs），便無法掌握重要特徵，來描述這 些社群如何選擇其問題並闡述他們所要的答案。根據她的看法，我們必須同時考慮「某個特定 的科學家群體所秉持的規範和習俗，在這些規範和習俗的基礎上，科學家賦予字詞－如『理論』、

『知識』、『解釋』與『理解』甚至『實作』這個概念本身－意義」。

「問題－答案－術文」的呈現方式，是傳統中算的文本（如《九章算術》）的典型體例。換 個角度來看，當時的數學家從事的數學知識活動，主要包含了問題的提出、求得（數值）答案、

立法則、究術理、計員數為事。」換言之，他將數學知識活動分成三類，並在書中各提出四個問 題作說明與討論。其中，「法則」是程序性的計算程序或方法（包含乘除法、約分之法、招差之 法等）；「術理」一般可視為機械性的演算法或公式；而「員數」與求圓周長、弧長、體積、開平 方等數學問題的數值解有關。若再考究和算文本，在和算家提出數學問題後，通常會以「數（量）」 與「術」作為主要的答案類型，而法則雖是數學研究的對象，但一般被用於解題的過程，並非問 題的答案主體。再者，由於「數」指的是數學家所關心的特定常數、所求的幾何量或者問題的數 值解，較易於一般人理解，因此，本研究中，將特別聚焦在「術」與「法」的部份。

1 本研究的主要內容，為江戶時期日本傳統數學，包含其知識社群的相關知識活動與知識發展。相較於 中算與東算（韓國數學），一般以和算稱呼江戶時期所發展的日本傳統數學，並以和算家指稱當時的日 本數學家。因此，本文中所討論的知識社群即和算家社群，知識從事者即和算家。

2 建部賢弘（Takebe Katahiro , 1664‐1739）是關流創立者關孝和的弟子，他的《綴術算經》也被譽為最傑 出的和算著作之一，一方面是他晚年的集大成著作，同時也在書中闡述了數學認識論與方法論方面的觀 點。這本書完成後，亦被建部賢弘獻給當時的掌權者德川吉宗將軍，可見此書的重要性與意義。

3 小出兼政（Koide Kanemasa, 1797~1865）的《圓理算經》主要收集了幕末最重要和算家和田寧（Wada Yasushi, 1787~1840）的數學研究成果，由於 1836 年發生於三田台町的一場大火，使得和田寧的重要研究 成果付之一炬。因此，和田寧的研究成果，主要透過他的學生們記錄、整理而流傳。《圓理算經》便是 小出兼政據和田寧遺稿彙編而成。

（magnitudes）和值（values）－進行運算，以得出所求的量和它們的數值。林力娜也指出「術」

「術」並不只限於指示計算步驟而已，這些演算法以一組運算步驟的形式呈現。一方面，它們陳 述了一種轉化的關係（a relation of transformation），並由此得出一個量（magnitude）。另一方面，

2 ，可視為梯形面積公式。

3 。又如關孝和（2008a）《括要算法》所提到的圭垛 術：「置底子，加一個，以底子相乘，得數以二約之，得積合問。」此術可看成利用底子數，計 算出圭垛總數的演算法，也可視為垛積公式：

1

( 1) 2

n

k

n n

k

### 

4

（量），如此，最終得所求的數（量）。因此，「術」可視為連結了給定條件與所求數（量）的一 種轉化關係。

4 垛積術本質上即級數公式，其中若將 1+2+3+4+…+n 個物依序排列形如三角，故以圭垛術稱之。

2 2

In document 第 6 卷 第 1 期 二〇一九年四月 VOL. 6 NO. 1 April 2019 (Page 60-100)