Jyun‐Wei Huang Taipei Municipal Heping High School
The problems that practitioners consider crucial and worth researching as well as the appropriate solutions they seek are vary by community. As a result, the types of knowledge produced by communities also differ. This paper aims to explain three types of knowledge, namely jutsu (術), hō (法), and Hyō (表), in the context of Wasan by identifying and discussing their meanings and functions and comparing them. Jutsu is considered a procedural and mechanical algorithm and can also be seen as a procedure by which operations and computations are applied to the values in mathematics problems step by step to result in an answer. Jutsu is an instrument for obtaining numerical solutions and the types of solution preferred by Wasan mathematicians. Sometimes, Jutsu connotes a formula or theorem and reveals an abstract relationship between values or magnitudes. Hō is a procedural mathematical operation or method through which Wasan mathematicians can calculate values, and it is often a subprogram or a subprocedure of the primary algorithm in the procedure of Jutsu. Hyō records and condenses mathematical knowledge and reveals the structures of and relationships between mathematical concepts and mathematical objects, and it is treated as an instrument for problem solving and is used in the processes of exploring and justifying knowledge. When Wasan mathematicians propose mathematics problems, two aspects of knowledge activities related to mathematics research and practice are considered: They construct Jutsu using the hō or the hyō or mathematical knowledge relevant to problems, and they operate and calculate step by step on paper or another surface used for calculating to obtain the numerical solutions according to the steps of Jutsu through the use of calculators.
Keywords: HPM, Wasan, epistemological culture, history of mathematics
壹、緒論
數學史家林力娜（2010）基於凱勒（Evelyn Fox Keller）在《理解生命》（make sence of life）
一書中的觀點，以《九章算術》為例，探討了古代中國的知識論文化。她在文中指出，從事者
（practitioners）認為重要而值得探討的問題，以及他們所尋求適當答案的種類，往往因社群而 異。由這些社群所生產出來的知識種類，也展現出差異。歷史學家在研究這些社群時，倘若不 探討在社群內所發展出來的「知識的需求」（epistemic needs），便無法掌握重要特徵，來描述這 些社群如何選擇其問題並闡述他們所要的答案。根據她的看法，我們必須同時考慮「某個特定 的科學家群體所秉持的規範和習俗，在這些規範和習俗的基礎上，科學家賦予字詞－如『理論』、
『知識』、『解釋』與『理解』甚至『實作』這個概念本身－意義」。
「問題－答案－術文」的呈現方式，是傳統中算的文本（如《九章算術》）的典型體例。換 個角度來看，當時的數學家從事的數學知識活動，主要包含了問題的提出、求得（數值）答案、
以及連結了問題與答案的演算法或公式。這樣的傳統，影響了漢字文化圈裡的數學文化與實作，
而江戶時期的「和算」，主要依附在傳入的中算書而發展，具有類似的書寫體例，並同樣展現出 對問題、答案與術的追求，然而，和算家也發展出在地化的數學觀點與特色。1
例如，和算家建部賢弘（2008）在《綴術算經》序言中，2提出他對數學研究的看法：「夫算，
立法則、究術理、計員數為事。」換言之，他將數學知識活動分成三類，並在書中各提出四個問 題作說明與討論。其中，「法則」是程序性的計算程序或方法（包含乘除法、約分之法、招差之 法等）；「術理」一般可視為機械性的演算法或公式；而「員數」與求圓周長、弧長、體積、開平 方等數學問題的數值解有關。若再考究和算文本，在和算家提出數學問題後，通常會以「數（量）」 與「術」作為主要的答案類型，而法則雖是數學研究的對象，但一般被用於解題的過程，並非問 題的答案主體。再者，由於「數」指的是數學家所關心的特定常數、所求的幾何量或者問題的數 值解，較易於一般人理解，因此，本研究中，將特別聚焦在「術」與「法」的部份。
另一方面，十八世紀後，和算家也逐漸發展出另一種型態的數學知識－各類數值「表」與 圓理「表」，這些「表」除了記載知識外，更兼俱其它的認知意義與功能。例如小出兼政（2008）
在《圓理算經》序言中提到：「凡圓理之法，用表得解術者，皆始自和田子，無製表之術，稱不
1 本研究的主要內容，為江戶時期日本傳統數學，包含其知識社群的相關知識活動與知識發展。相較於 中算與東算（韓國數學），一般以和算稱呼江戶時期所發展的日本傳統數學，並以和算家指稱當時的日 本數學家。因此，本文中所討論的知識社群即和算家社群，知識從事者即和算家。
2 建部賢弘（Takebe Katahiro , 1664‐1739）是關流創立者關孝和的弟子，他的《綴術算經》也被譽為最傑 出的和算著作之一，一方面是他晚年的集大成著作，同時也在書中闡述了數學認識論與方法論方面的觀 點。這本書完成後，亦被建部賢弘獻給當時的掌權者德川吉宗將軍，可見此書的重要性與意義。
得捷徑之解術。3」可見「表」作為解題工具上的重要性。該書前二卷內容，仍是數學問題集及 其解法與答術，然而〈卷之下〉則以一整卷的篇幅，羅列了諸類數學表。同時，該書的編排順序 並非以知識作分類，而是依「表」的類型來對問題分類，展現出「表」在當時和算研究的上重要 意義。然而，綜觀目前有關和算的研究，主要以和算家之傳記、和算文本解讀、數學知識發展乃 至數學社會史、數學文化相關，但尚未出現任何與知識論文化相關的研究。因此，本研究從知 識論文化的觀點切入，考察17-19 世紀間的重要和算數學文本，透過文本分析與歷史分析，探討 和算文化中的知識需求－和算社群所關切的重要數學物件「術、法、表」，並比較這些數學物件 之間的關係與差異，探討它們的特色以及相關的數學概念與認知意義。其中，「術」是機械性的 演算法，通常可視為數學問題的公式解；「法」是一種程序性的數學運算、數學方法，例如乘除 法、約分法、解方程式法則等皆是；「表」則是格子狀的矩形陣列，記錄數值或數學符號、數學 物件以及它們的關係。
再者，過往HPM 相關研究主要是數學史在數學教育的應用，以情意面向或數學概念的學習 為目的，歷史作為輔具。本研究則嘗試從另一個方向著手，利用數學教育的理論來幫助數學史 的研究。Sfard（1991）透過對數學概念發展過程的歷史分析與概念分析，提出數（如正整數、
有理數、實數、複數）、對稱性或者函數等抽象數學概念，可藉由兩種方式理解與認知，包含結 構性的靜態數學「物件」（object），或者操作性的動態數學「程序」（process），而此「程序–物 件」二元性正為數學概念的一體兩面。她認為對數學概念的認知過程，一般是程序操作面向先 於結構物件面向，且吾人透過對具體實物或低階數學概念的操作過程，認知新的數學概念，並 且透過對具體實物或低階概念的操作，可將之內化成概念操作，進而物化成數學物件，得以進 行運算操作。這樣的理論提供我們考察數學概念發展的一種新觀點。因此，本研究除了貼近一 手文本，進行和算文本分析與歷史分析，並嘗試利用此認知理論與觀點，審視和算數學概念、
數學物件─術、法、表─的發展脈絡與意義。對於數學史研究與數學教育之連結，提供更多元面 向之論述與研究進路。
貳、「術」的意義與特色
設計問題是和算知識活動的核心，而這些問題主要是以「數（量）」和「術」作為所求的答 案。林力娜（2010）認為，許多線索顯示，演算在古代中國數學占有核心地位，而最足以說明此 事實的，便是《九章算術》以「算術」一詞為書名。而和算文本中的術與傳統中算的術，也有著
3 小出兼政（Koide Kanemasa, 1797~1865）的《圓理算經》主要收集了幕末最重要和算家和田寧（Wada Yasushi, 1787~1840）的數學研究成果，由於 1836 年發生於三田台町的一場大火，使得和田寧的重要研究 成果付之一炬。因此，和田寧的研究成果，主要透過他的學生們記錄、整理而流傳。《圓理算經》便是 小出兼政據和田寧遺稿彙編而成。
類似的意義與特性。「術」這個字經常被用來引介一連串的運算步驟，對於問題的數據－包括量
（magnitudes）和值（values）－進行運算，以得出所求的量和它們的數值。林力娜也指出「術」
有兩個面向，現存的著作展現出其中一個面向，也就是列出一組運算步驟的文本本身。然而，
這些運算也意味著第二個面向的存在：亦即在某個「表面」上進行計算的演算法。因此，所謂的
「術」並不只限於指示計算步驟而已，這些演算法以一組運算步驟的形式呈現。一方面，它們陳 述了一種轉化的關係（a relation of transformation），並由此得出一個量（magnitude）。另一方面，
它們被看成一連串的運算步驟，可以在用來計算的表面上操作，因而關聯到實際的計算動作，
並得出一個數值（value）。
多數的和算文本裡，「術」同樣可視為一種演算法（algorithm），某些時候，「術」亦看成一 個數學公式，許多術文的內容與現今熟悉的數學公式有關。例如關孝和（2008b）的《解見題之 法》，便提到了求梯形面積之術：「置小頭，加入大頭，共得數以長相乘之，得數折半之，得積。」
此術是利用梯形已知的「小頭」、「大頭」與「長」等條件，逐步計算出面積的演算法。同時，術 文中也呈現了這些幾何量之間的關係：梯形面積(小頭 大頭 長 )
2 ，可視為梯形面積公式。
又或者書中提到的求方錐體積術：「置下方，自乘，以高相乘之，得數以三約之，得積。」此術 一方面可看成利用「下方」（方錐底邊）與「高」等已知數據，求得體積的演算法，同時也可視 為方錐的體積公式：方錐體積下方2高
3 。又如關孝和（2008a）《括要算法》所提到的圭垛 術：「置底子，加一個，以底子相乘，得數以二約之，得積合問。」此術可看成利用底子數，計 算出圭垛總數的演算法，也可視為垛積公式：
1
( 1) 2
n
k
n n
k
。4除了可視為演算法或公式之外，也有些「術」的內容，本質上陳述了一個數學定理或性質。
例和關孝和《解見題之法》提出下述問題與術文：「假如有勾股，勾若干，股若干，問弦。置勾，
自乘之，加入股冪，共得數為實，開平方除之，得弦。」此術文的內容，本質上為勾股定理所蘊 含的關係：弦＝ ，亦可看成利用「勾」與「股」求得「弦」的一種演算法。
另外，「術」通常具有程序性與機械性的特色，並呈現出轉化的關係，連結給定條件與所求 數或量。換句話說，問題條件中給定的各數據或抽象的幾何量，透過「術」，可機械地且程序地 依據演算法的每個步驟，進行計算、操作與變換，逐步將已知條件中的數（量），轉換成新的數
（量），如此，最終得所求的數（量）。因此，「術」可視為連結了給定條件與所求數（量）的一 種轉化關係。
4 垛積術本質上即級數公式，其中若將 1+2+3+4+…+n 個物依序排列形如三角，故以圭垛術稱之。
2 2
勾 +股