n （至少1正） ＝ 1 3

(Ｄ)○：p＝

6!

6

⁶ _＝ 5 324 _<

1 6

(Ｅ)╳：p＝

C₂²⁶ C₂⁵² _＝

25 102 _≠

1 4

故選(Ｃ)(Ｄ)

2. ( )奇異果高中班聯會想討論「是否更改校服樣式」，須在全校　2700　名學生中以簡單隨機抽樣的方

3. ( )下列敘述何者正確？　(Ａ)二中熱食部滿意度抽樣調查在相同滿意度下增加抽取的樣本數可以使 信心水準變高　(Ｂ)在不同的抽樣調查中，分別訪問　1200　人，得樣本滿意度比例 ^p_{1 ＝0.3，} ^p₂

＝0.5， ^p₃ ＝0.8，在　95％的信心水準下， ^p₃ 的信賴區間最長　(Ｃ)某次臺南市長支持度調查，

已知該次　95％的信賴區間為[　0.55，0.65　]，則可以說真正的支持率　p　有　95％的機率會落在此區間中 (Ｄ)某次臺南市長支持度調查，已知該次　95％的信賴區間為[　0.55，0.65　]，則可以說真正的支持率　p 有　95％的機率會高於　0.6　(Ｅ)某次臺南市長支持度調查，已知該次　95％的信賴區間為[　0.55，0.65 ]，則可以說若按照同樣的方式調查數次，這些區間中將有　95％左右的次數會包含真正的支持率　p。

【臺南二中】

答案：(Ｅ)

解析：(Ａ)╳：樣本數與信心水準大小無關

(Ｂ)╳：信賴區間長度＝2×抽樣誤差，故比較抽樣誤差大小即可

由　2

√

^{12000.8×0.2 ＜2}

√

^{12000.3×0.7 ＜2}

√

^{12000.5×0.5 知 ^p2 的信賴區間最長}

(Ｃ)╳

(Ｄ)╳

(Ｅ)○

故選(Ｅ)

4. ( )某校高二共有　500　位同學，某次段考數學成績呈常態分配，已知該班平均成績為　50　分，最高分 為　80　分，最低分為　20　分，則下列敘述何者正確？　(Ａ)標準差為　5　(Ｂ)標準差為　10　(Ｃ)　60　分 以上有　420　人　(Ｄ)　40　分以下有　80　人　(Ｅ)　30　分到　70　分有　475　人。

答案：(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)╳：σ＝

80－20

6 _＝10

(Ｂ)○：同(Ａ)

(Ｃ)╳：60＝50＋1×10＝μ＋σ所求為　500×

1－68％

2 _＝80

(Ｄ)○：40＝50－1×10＝μ－σ所求為　500×

1－68％

2 _＝80

(Ｅ)○：40＝50－2×10＝μ－2σ，70＝50＋2×10＝μ＋2σ

所求為　500×95％＝475 故選(Ｂ)(Ｄ)(Ｅ)

5. ( )某知名車廠委任甲、乙、丙三家民調機構，調查北部居民對該汽車品牌的知名度（即當地居民聽 過該汽車品牌所占之百分比），基於尊重民調專業，三家機構可自訂調查人數，也可各自選定信心 水準，經過調查後，甲、乙、丙三家民調機構算出該汽車品牌知名度之信賴區間分別為[　0.42，0.48 ]、[　0.43，0.47　]、[　0.48，0.52　]。請選出正確的選項。　(Ａ)丙民調機構調查出該汽車品牌知名度比 甲民調機構高　(Ｂ)甲民調機構的抽樣誤差最小　(Ｃ)若信心水準相同，則甲機構調查居民人數比乙 機構少　(Ｄ)若信心水準相同，則丙機構調查居民人數比乙機構多　(Ｅ)若調查居民人數相同，則甲 機構的信心水準比乙機構低。

答案：(Ａ)(Ｃ)(Ｄ)

解析：甲＝[　0.42，0.48　]＝[　0.45－0.03，0.45＋0.03　]



^

p_甲 ＝0.45，抽樣誤差為　0.03

乙＝[　0.43，0.47　]＝[　0.45－0.02，0.45＋0.02　]

 ^p_乙 ＝0.45，抽樣誤差為　0.02

丙＝[　0.48，0.52　]＝[　0.5－0.02，0.5＋0.02　]

 ^p_丙 ＝0.5，抽樣誤差為　0.02 (Ａ)○： ^p_{丙 ＝0.5＞}

^

p_{甲 ＝0.45}

(Ｂ)╳：抽樣誤差甲＞乙＝丙

(Ｃ)○：若信心水準相同，且

^

p_{甲 ＝} ^p_{乙 ，但誤差甲＞乙}



p^_甲（1－ ^p_甲）

n_{甲 ＞}

p

^

_乙

（1－ ^p

_乙

）

n_乙

由

^

p_{甲 （1－}

^

p_{甲 ）＝} ^p_{乙 （1－} ^p_{乙 ）}



1 n_{甲 ＞}

1 n_{乙 　n}

甲＜n乙

(Ｄ)○：若信心水準相同，且誤差丙＝乙，但 ^p_{丙 ＞} ^p_乙



p^_丙（1－ ^p_丙）

n_{丙 ＝}

p

^

_乙

（1－ ^p

_乙

）

n_乙

由 ^p_{丙 （1－} ^p_{丙 ）＞} ^p_{乙 （1－} ^p_{乙 ）}

　n丙＞n乙

(Ｅ)　╳：因　n甲＝n乙，

^

p_{甲 ＝} ^p_乙 p （1－ ^p ）

（1－ ^p ）

十一、 填充題

1. 在「是否贊成將三聚氰胺檢出含量訂為　2.5　ppm」的民意調查結果如下，「共成功訪問　900　位臺灣地區　 20　歲以上民眾，其中不贊成的民眾有　810　人」，則不贊成比例的　95％信賴區間為【　　　　】。【臺中 一中】

答案：[　0.88，0.92　] 解析：

^ p

_＝ ⁸¹⁰900 _＝

9

10 ＝0.9，抽樣誤差為　2×

√

^{^p（ 1－ ^p ）n ＝2×}

√

^{9000.9×0.1 ＝0.02}

信賴區間為[　0.9－0.02，0.9＋0.02　]＝[　0.88，0.92　]

2. 衛福部想要瞭解使用行動裝置對視力健康的影響，針對臺灣地區青少年　Line　使用率作調查後發現：在　 95％的信心水準下，約有　77.5％到　82.5％的人每天使用　Line　超過一小時。試求樣本中每天使用　Line　超 過一小時的人數最接近【　　　　】百人。（注意：以百人為單位）【臺中女中】

答案：8

解析：

^ p

_＝ ¹2 （0.775＋0.825）＝0.8 又　0.825－0.8＝0.025＝2

√

^{^p（1－ ^p）n}

∴

0.8×0.2

n _＝

1

6400 　n＝1024（人）

∴超過一小時的人數約　1024×0.8＝819.2

∴約　8　百人

3. 班聯會為了解全校學生對於「是否贊成取消髮禁」的看法，隨機抽取　400　位同學以問卷調查全校學生，

其中贊成取消髮禁之問卷數為　320　張，試求：

(１)贊成比例為【　　　　】。

(２)在　95％的信心水準下，這次調查的誤差為【　　　　】。

(３)　95％的信賴區間為【　　　　】。

（四捨五入到小數後第二位）

答案：(１)　0.8；(２)　4％；(３)[　0.76，0.84　] 解析：(１)所求為樣本比例

^ p

_＝ ³²⁰400 _＝0.8

(２)所求抽樣誤差為　e＝

2 √

^p

^{^} （ 1－^p ）

√

ⁿ _＝

2 √ ^0.8×0.2

√ ⁴⁰⁰

　0.04＝4％

(３)所求為[

^ p

_－e，

^ p

＋e　]＝[　0.8－0.04，0.8＋0.04　]＝[　0.76，0.84　]

4. 高鐵滿意度的調查結果如下：「成功訪問　300　位搭乘高鐵的民眾，其中共有　225　人滿意」，試問在　95％

的信心水準下，此次滿意度的　95％之信賴區間為【　　　　】。【北一女中】

答案：[　0.7，0.8　]

解析：

^ p

_＝ ²²⁵300 _＝ 3

4 _＝0.75，2

√ ^{300 3 4 ． 1 4}

^＝0.05

故　95％之信賴區間為[　0.75－0.05，0.75＋0.05　]＝[　0.7，0.8　]

5. 若母體比例　p　的　95％信賴區間為[　0.42，0.58　]，則母體比例　p　的　99.7％信賴區間為【　　　　】。

答案：[　0.38，0.62　]

解析：設樣本數為　n，樣本比例為

^ p

則樣本平均數為

0.42＋0.58

2 _＝0.5

且母體比例　p　的　95％信賴區間之最大誤差為

2×

√

^{^p（ 1－ ^p ）n ＝ 0.58－0.422 ＝0.08　}

√

^{^p（ 1－ ^p ）n ＝0.04}

母體比例　p　的　99.7％信賴區間之最大誤差為

3×

√

^{^p（ 1－ ^p ）n} ＝3×0.04＝0.12 故母體比例　p　的　99.7％信賴區間為 [　0.5－0.12，0.5＋0.12　]＝[　0.38，0.62　]

Sec 2-1

一、 單一選擇題

1. ( )在　9　點　30　分時，時鐘的時針與分針所夾的較小角為多少弧度？　(Ａ)

π

2 _(Ｂ) 17π

12 _(Ｃ)

2 π

3 _(Ｄ) 7 π

12 _(Ｅ) 10π

12 _{。【屏東女中】}

答案：(Ｄ)

解析：已知每分鐘分針走　6°，時針走　0.5°

∴所求＝90°＋30×0.5°＝105°＝

7 π

12 _弧度

故選(Ｄ)

2. ( )令　a＝cos（π²），試問下列哪一個選項是對的？　(Ａ)　a＝－1　(Ｂ)－1＜a≦－

1

2 _(Ｃ)－

1

2 _{＜a 0}≦ 　(Ｄ)　0＜a≦

1

2 _(Ｅ) 1

2 _{＜a 1≦ 。}

答案：(Ｂ)

解析：a＝cos（π²）　cos9.86，如圖

∵9.42＜9.86＜10.47

－1＜a＜－

1 2

故選(Ｂ)

3. ( )－4　弧度為第幾象限角？　(Ａ)一　(Ｂ)二　(Ｃ)三　(Ｄ)四　(Ｅ)剛好在軸上的角。【臺中二 中】

答案：(Ｂ)

解析：1　弧度　57.3°－4　弧度　57.3°×（－4）＝－229.2°

∴－4　弧度為第二象限角 故選(Ｂ)

4. ( )如果一個扇形的周長的數值等於其面積的數值，已知此扇形的相對圓心角是

( ³⁶⁰

π

)

^° _，試求半

徑為？　(Ａ)　2　(Ｂ)　3　(Ｃ)　4　(Ｄ)　5　(Ｅ)　6。【屏東女中】

答案：(Ｃ)

解析：令扇形半徑　r，圓心角 θ

∴

1

2 _r²θ＝2r＋rθ，其中 θ＝2　弧度

　r＝4 故選(Ｃ)

5. ( )已知扇形的周長等於它所在圓的周長的一半，那麼這個扇形的圓心角為多少弧度？　(Ａ)

π

2 _＋

1　(Ｂ)π－1　(Ｃ)

3 π

2 _{(Ｄ)π－2。}

答案：(Ｄ)

解析：設扇形的圓心角為 θ，半徑為　r　θr＋2r＝

2 πr

2 _{θ＝π－2}

故選(Ｄ)

十二、 多重選擇題

1. ( )已知扇形的半徑是　10，周長是　40，則下列何者為真？　(Ａ)圓心角為　30°　(Ｂ)圓心角為　2　 (Ｃ)扇形的面積為　100　(Ｄ)扇形的面積是　200　(Ｅ)扇形的弧長是　20。

答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：

設圓心角為 θ　40＝2×10＋10θθ＝2

扇形的面積為

2 1

×2×10²＝100 扇形的弧長為　2×10＝20

故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ)

2. ( )已知圓錐體積＝

1

3 _×底面積×高，今有一圓錐之高為

√ ⁵

，體積為

4

√

^5π

3 _{，若將此圓錐體剪}

開成一扇形，對於此扇形之描述何者正確？　(Ａ)半徑為　2　(Ｂ)半徑為　3　(Ｃ)弧長＝4π　(Ｄ)弧 長＝

4 π

3 　(Ｅ)面積為　6π。【臺中二中】

答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ) 解析：

體積

4 √ ^5π

3

_＝

1

3 _{×底面積×高＝}

1

3 _{×底面積×}

√ ⁵

底面積＝4π 設底圓半徑　r，則底面積＝r²π＝4π　r＝2

(Ａ)╳：設扇形半徑　R，則　R＝

√ ^{（ √ 5 ）}

²

^＋2

² ＝3 (Ｂ)○

(Ｃ)○：弧長＝底圓圓周長＝2×π×2＝4π (Ｄ)╳

(Ｅ)○：設扇形圓心角為 θ，則弧長＝4π＝Rθθ＝

4 π

R _＝

4 π 3

∴扇形面積＝

1

2 _R²_θ＝ 1 2 _×3²_×

4 π 3 _＝6π

故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｅ)

3. ( )如圖，O1，O2　分別為兩圓的圓心， O₁O₂ ＝6，半徑分別為　1，2， AB _， DE _{為內公切線}

段，現用皮帶將兩輪交叉緊繞，則下列何者正確？

(Ａ)　AE　弧長＝2（BD　弧長）　(Ｂ) AB _＝3

√ ³

　(Ｃ)皮帶長＝6

√ ³

＋4π 答案：(Ｂ)(Ｃ)

解析：如圖所示，

AB _// CO_{2 ，可得}

∠AO1O2＝∠EO1O2＝∠BO2O1＝∠DO2O1＝

π 3

(Ａ)╳：

AE

_＝1×

2 π

3 _，

_BD

_＝2×

2 π 3

　BD　弧長＝2（AE　弧長）

(Ｂ)○： AB _＝ DE _＝ CO_{2 ＝}

√ ⁶

²

－（ 1＋2 ）

² _＝3

√ ³

(Ｃ)○：皮帶長為　2×3

√ ³

＋1×

4 π 3 _＋2×

4 π

3 _＝6

√ ³

＋4π 故選(Ｂ)(Ｃ)

十三、 填充題

1. 兩條公路　k　及　m，如果筆直延伸將交會於　C　處成　60°夾角，如圖所示。為銜接此二公路，規劃在兩公路 各距　C　處　450　公尺的　A、B　兩點間開拓成圓弧型公路，使　k、m　分別在　A、B　與此圓弧相切，則此圓弧長

＝【　　　　】公尺。（公尺以下四捨五入，

√ ³

　1.732，π　3.142）

答案：544

解析：設　O　為圓弧之圓心，則∠OAC＝90°



OA

_＝

AC

_×tan∠OCA＝450　tan30°＝

450 √ ³

3

_　259.8

又∠AOB＝120°＝

2 π

3 _

_AB

_＝259.8×

2 π

3 _　544

2. 設一直圓錐之頂點為　A，

BC

_{為底圓之直徑，}

AC

_＝12，

BC

_{＝6，又　D　為母線}

AC

_{上一點，且} AD ＝4，今有一動點　P，自　D　點沿側表面繞圈至　C　點（不可沿母線），則最短距離為【　　　　】。

答案：4

√ ¹⁰

解析：

剪開後的扇形弧長為剪開前的底圓周長，

設剪開後的扇形之圓心角為 θ

　2π×3＝12θθ＝

π 2

所求為

√ ⁴

²

^＋12

² _＝4

√ ¹⁰

3. 設一直圓錐台上下兩底半徑之比為　1：3，高為　9，體積為　156π，則其側表面積為【　　　　】。

Sec 2-2

(Ｃ)　4　cot18°　(Ｄ)　4　sec18°　(Ｅ)　4　csc18°。【豐原高中】

答案：(Ｅ) 解析：如圖，

AB

4 _{＝csc18°}

AB

_{＝4　csc18°}

故選(Ｅ)

3. ( )設　P　為銳角三角形　ABC　之外心，且到三邊

BC

_、

CA

_、 AB 之距離依次為　x、y、z，則　x：

y：z＝　(Ａ)　sinA：sinB：sinC　(Ｂ)　cosA：cosB：cosC　(Ｃ)　tanA：tanB：tanC　(Ｄ)　cotA：cotB：

cotC　(Ｅ)　secA：secB：secC　(Ｆ)　cscA：cscB：cscC。

答案：(Ｂ)

解析：如圖所示， PD _⊥

BC

∠BPC＝2∠BPD＝2∠BAC

∠BPD＝∠BAC



x

R _{＝cosA，同理，}

y

R _＝cosB，

z

R _＝cosC

　x：y：z＝R　cosA：R　cosB：R　cosC

＝cosA：cosB：cosC 故選(Ｂ)

4. ( )如圖，單位圓　O　與　y　軸交於　A、B　兩點，角 θ 的頂點為原點，始邊在　x　軸的正向上，終邊為

⃗OC _，直線 ⃗AC 垂直於　y　軸且與角 θ 的終邊交於　C　點，則下列哪一個函數值為

AC

_？

(Ａ)｜sinθ｜　(Ｂ)｜cosθ｜　(Ｃ)｜tanθ｜　(Ｄ)｜cotθ｜　(Ｅ)｜secθ｜。

5. ( )試問在　0≦x 2≦ π 的範圍中，y＝3 sinx　的函數圖形與　y＝2 sin2x　的函數圖形有幾個交點？　(Ａ)　2　 個交點　(Ｂ)　3　個交點　(Ｃ)　4　個交點　(Ｄ)　5　個交點　(Ｅ)　6　個交點。

答案：(Ｄ)

解析：將　y＝3 sinx　與　y＝2 sin2x　的圖形畫出得　5　個交點 故選(Ｄ)

十四、 多重選擇題

1. ( )若 α、β 都是第二象限角，且　sinα＞sinβ，下列何者正確？　(Ａ)　tanα＞tanβ　(Ｂ)　cotα＞cotβ　 (Ｃ)　cosα＞cosβ　(Ｄ)　secα＞secβ。

答案：(Ｂ)(Ｃ)

解析：y＝sinx　在第二象限為遞減，故

π

2 _{＜α＜β＜π，如圖}

(Ａ)╳：y＝tanx　在第二象限為遞增　tanα＜tanβ

　cotα＝

1 tan α _＞

1

tan β _＝cotβ

(Ｂ)○：見(Ａ)

(Ｃ)○：y＝cosx　在第二象限為遞減　cosα＞cosβ

　secα＝

1 cosα _＜

1

cos β _＝secβ

(Ｄ)╳：見(Ｃ) 故選(Ｂ)(Ｃ)

2. ( )試問：在坐標平面上，下列哪些選項中的函數圖形完全落在　x　軸的上方？　(Ａ)　y＝x＋100　(Ｂ) y＝x²＋1　(Ｃ)　y＝2＋sinx　(Ｄ)　y＝2^x　(Ｅ)　y＝logx。

答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

解析：(Ａ)╳：

(Ｂ)○：

(Ｃ)○：

(Ｄ)○：

(Ｅ)╳：

故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

3. ( )下列敘述何者正確？　(Ａ)

在文檔中 高三下(社)第一次期中考數學題庫(50) (頁 34-50)