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高三下(社)第一次期中考數學題庫(50)

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Academic year: 2021

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(1)

Sec 1-1

一、 單一選擇題

1.

( )袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球,設隨機變數 X 的值為取出 兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 值為 k 的機率(k=1,2,…,8),試問有幾個 pk 的值大於

1

5

?  (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 5 個。 答案:(B) 解析:p1=

7

28

1

4

,p2

6

28

3

14

,p3

5

28

,p4

4

28

1

7

,p5

3

28

,p6

2

28

1

14

,p7

1

28

,p8=0 ∴大於

1

5

者有 2 個,故選(B)

2.

( )箱中有編號分別為 0,1,2,…,9 的十顆球。隨機抽取一球,將球放回後,再隨機抽取一球。請問這 兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時,其出現的機率最大?  (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 9。 答案:(B) 解析:隨機變數 X 表示兩球編號相減的絕對值,則 X 的機率分布表如下: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pX

1

10

9

50

8

50

7

50

6

50

5

50

4

50

3

50

2

50

1

50

故選(B)

3.

( )氣象臺預報「本市明天降雨機率是 70%」,以下理解正確的是 (A)本市明天將有 70%的地區降雨  (B)本市明天將有 70%的時間降雨 (C)明天出門不帶雨具肯定淋雨 (D)明天出門不帶雨具淋雨的可能 性很大。 答案:(D) 解析:因降雨機率是 70%,故不帶雨具淋雨的可能性很大 故選(D)

(2)

4.

( )袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球,設隨機變數 X 的值為取出 兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 取值為 k 的機率(k=1,2,……,8),試問有幾個 pk 的值大於

1

5

?  (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 5 個。 答案:(B) 解析:樣本空間 S,n(S)=

C

2 8 =28 直接計算隨機變數 X 的取值所對應的機率 X=1,即(1,2),(1,3),……,(1,8),共 7 個 p1=

7

28

X=2,即(2,3),(2,4),……,(2,8),共 6 個 p2=

6

28

X=3,即(3,4),(3,5),……,(3,8),共 5 個 p3=

5

28

X=4,即(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共 4 個 p4=

4

28

X=5,即(5,6),(5,7),(5,8),共 3 個 p5=

3

28

X=6,即(6,7),(6,8),共 2 個 p6=

2

28

X=7,即(7,8),共 1 個 p7=

1

28

 p1>

1

5

,p2

1

5

故選(B)

5.

( )有五條線段,其長度分別為 1,3,5,7,9,今小臻從中任取三條線段,此三條線段可圍成一個三角形 之機率為 p,則 p 之範圍為 (A) 0≦p<

1

5

 (B)

1

5

≦p<

2

5

 (C)

2

5

≦p<

3

5

 (D)

3

5

≦p<

4

5

 (E)

4

5

≦p 1≦ 。【鳳山高中】 答案:(B) 解析:列出所有情形如下: 135╳ 137╳ 139╳ 157╳ 159╳ 179╳ 357ˇ 359╳ 379ˇ 579ˇ  p=

3

10

1

5

≦p<

2

5

故選(B)

(3)

二、 多重選擇題

6.

( )下列哪些例子是隨機現象? (A)臺灣每年的新生兒人數 (B)臺灣每年的降雨量 (C)臺北市每年的 降雨天數 (D)高雄市一年內感染登革熱的人數。 答案:(A)(B)(C)(D) 解析:(A)(B)(C)(D)

7.

( )設隨機變數 X 的機率分布為: X -2 -1 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.15 0.2 0.1 0.15 0.05 0.05 則下列選項何者正確? (A) P(X 0≦ )=0.45 (B) P(X 為偶數)=0.25 (C) P(X 為奇數)=0.6 (D)  P(2≦X 5≦ )=0.35 (E) P(X 2=1)=0.2。【武陵高中】 答案:(A)(C)(D) 解析:(A)○:P(X 0≦ )=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.1+0.2+0.15=0.45 (B)╳:P(X 為偶數)=P(X=-2)+P(X=0)+P(X=2)+P(X=4) =0.1+0.15+0.1+0.05=0.4 (C)○:P(X 為奇數)=P(X=-1)+P(X=1)+P(X=3)+P(X=5) =0.2+0.2+0.15+0.05=0.6 (D)○:P(2≦X 5≦ )=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0.1+0.15+0.05+0.05=0.35 (E)╳:P(X 2=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.2+0.2=0.4 故選(A)(C)(D)

8.

( )下列隨機變數 X 的可能取值,何者為 X=0,1,2,3,4 ? (A)一盒中有 10 件樣品,其中 4 件為不 良品,自盒中任取 4 件,令 X 表示取得不良品的件數 (B)甲乙丙丁 4 人同時猜拳,以「剪刀、石頭、 布」決定勝負,令 X 表示得勝的人數 (C)自一副撲克牌中隨機取出 4 張,令 X 表示其中 A 點的張數。 答案:(A)(C) 解析:(A) X 表示取得不良品的件數,則 X=0,1,2,3,4 (B) X 表示得勝的人數,則 X=0,1,2,3 (C) X 表示其中 A 點的張數,則 X=0,1,2,3,4 故選(A)(C)

(4)

9.

( )下列何者是隨機試驗? (A)投擲一顆公正的骰子 2 次,觀察 6 點出現的次數 (B)投擲一顆公正的骰 子 3 次,觀察出現的點數和 (C)將一副 52 張的撲克牌隨機平分成 2 堆,觀察第一堆中大牌 (A,K,Q,J)出現的張數 (D)將一副 52 張的撲克牌隨機平分成 2 堆,觀察第一堆中大牌 (A,K,Q,J)出現的張數與第二堆中大牌出現的張數之和。 答案:(A)(B)(C) 解析:(A)(B)(C)無法事先確定,故為隨機試驗 (D)和必為 16,故不為隨機試驗 故選(A)(B)(C)

10.

( )擲一公正骰子兩次,令隨機變數 X 表示「出現點數差的絕對值」,下列選項哪些是正確的? (A)  P(X=0)=0 (B) P(X=1)=

5

18

 (C) P(3≦X 5≦ )=

1

3

 (D) P(X=1)與 P(X=5)的值相 等 (E) P(X=0)與 P(X=3)的值相等。【臺中一中】 答案:(B)(C)(E) 解析:(A)╳:P(X=0)=

6

36

1

6

(B)○:P(X=1)=

10

36

5

18

(C)○:P(3≦X 5≦ )=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

6

36

4

36

2

36

1

3

(D)╳:P(X=1)=

5

18

,P(X=5)=

1

18

∴P(X=1)≠P(X=5) (E)○:P(X=0)=

1

6

,P(X=3)=

6

36

1

6

∴P(X=0)=P(X=3) 故選(B)(C)(E)

(5)

三、 填充題

1.

統計某籃球選手在平時訓練罰球時投進的次數,令隨機變數 X 表示投籃 10 次後進球的次數,其機率分 布表如下。今該籃球選手罰球 10 次,則: X pX 0 0 1 0 2 0.01 3 0.03 4 0.03 5 0.07 6 0.06 7 0.12 8 0.23 9 0.26 10 0.19 (1)該籃球選手投進大於或等於 7 球的機率為【    】。 (2)該籃球選手投進不到 5 球的機率為【    】。 答案:(1) 0.8;(2) 0.07 解析:(1)所求為 0.12+0.23+0.26+0.19=0.8 (2)所求為 0.01+0.03+0.03=0.07

2.

投擲一顆公正的骰子 2 次,令隨機變數 X 表示 6 點出現的次數,則: (1)隨機變數 X 的可能值為【    】。 (2)隨機變數 X 的機率質量函數為【    】。 答案:(1) 0,1,2;(2) P(X=0)=

25

36

,P(X=1)=

5

18

,P(X=2)=

1

36

解析:(1)投擲一顆公正的骰子 2 次的結果可能出現以下 36 種情形:(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

(6)

3.

設函數 f(x)為 f(x)=

1

1 2 3

2

4

0

x

x

a x





, =,,

, =

,其他值

,若 f(x)為一機率函數,則 a=【    】。【武陵高 中】 答案:

1

8

解析:f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1 

1

2

1

2

2 +

1

2

3 +a=1  a=

1

8

4.

隨機變數 X 的機率質量函數圖如圖,X 的取值是 1,2,3,4,5,試求 P(X 2≦ )=【    】。【鳳 山高中】 答案:0.4 解析:如題圖,P(X 2≦ )=P(X=1)+P(X=2)=0.4

5.

臺灣的媽祖廟有擲筊求籤的習俗:每個筊有正反兩面(假設出現正反面的機率相等),手持兩個筊擲向 地面,只有擲出聖筊(一正面一反面)才能求籤。否則就要繼續擲,直到出現聖筊為止,但以擲 3 次為 限,若 3 次都沒有出現聖筊,就不能求籤。擲出聖筊後,要從 60 支「甲子靈籤」中隨機抽出一支籤詩, 這 60 支籤當中,上籤、中籤、下籤的比例是 35%、35%、30%。今天張三到媽祖廟擲筊求籤。則他抽 到上籤的機率為【    】。【臺南女中】 答案:

49

160

解析:擲出聖筊機率為

1

2

×

1

2

×2!

1

2

,可求籤機率為

1

2

第一次擲出聖筊

1

2

×

1

2

第二次擲出聖筊

(

1

2

)

2

×

1

2

第三次擲出聖筊

7

8

(7)

∴抽到上籤機率為

7

8

×35%=

49

160

Sec 1-2

一、

單一選擇題

1.

( )有一箱子,內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲,從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率 都相同,若取出黑球可得獎金 50 元,而取出白球可得獎金 100 元,則下列哪一個選項是此遊戲的獎 金期望值? (A) 70 元 (B) 75 元 (C) 80 元 (D) 85 元 (E) 90 元。 答案:(A) 解析:所求為

3

5

×50+

2

5

×100=70 故選(A)

2.

( )袋中有大小相同的 1 到 4 號球各 1 顆,一次由袋中取兩球,其球號乘積的期望值為 (A)

35

6

(B)

5

4

 (C)

5

3

 (D)

5

2

 (E) 5。 答案:(A) 解析:依題意可知有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)等 6 種可能 所求為

1

6

×(2+3+4+6+8+12)=

35

6

故選(A)

3.

( )一袋中有 100 元鈔票 5 張,500 元鈔票 3 張,1000 元鈔票 2 張,每張大小均相同,自其中任取兩 張,其數學期望值為幾元? (A) 160 (B) 320 (C) 400 (D) 800 (E)

3200

3

答案:(D)

5

3

2

(8)

(A)

4

3

 (B)

5

4

 (C) 1 (D)

2

3

 (E)以上皆非。【高雄中學】 答案:(A) 解析:設答錯倒扣 x 分

1

4

×4

3

4

×(-x)=0  x=

4

3

故選(A)

5.

( )有一箱子,內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲,從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率 都相同,若取出黑球可得獎金 50 元,而取出白球可得獎金 100 元,則下列哪一個選項是此遊戲的獎 金期望值? (A) 70 元 (B) 75 元 (C) 80 元 (D) 85 元 (E) 90 元。 答案:(A) 解析:隨機變數 X 表示可得的獎金,則 X 的機率分布表如下: X 50 100 pX

3

5

2

5

得期望值 E(X)=50×

3

5

+100×

2

5

=70(元), 故選(A)

四、 多重選擇題

1.

( )某人站在數線的原點,投擲一顆公正的骰子多次。若每投擲出 1 或 2 點就朝負向移動 1 個單位長, 投擲出其他點數就朝正向移動 1 單位長,那麼下列敘述何者正確? (A)投擲 5 次後,恰走到 2 的 情形共有 10 種不同的過程 (B)投擲 5 次後,恰走到-1 的情形共有 10 種不同的過程 (C)投擲 2  次後,仍留在原點的機率為

2

9

 (D)投擲 1 次骰子之位置的期望值為

1

3

 (E)投擲 2 次骰子之 位置的期望值為

2

3

答案:(B)(D)(E) 解析:設擲出 1 或 2 點 a 次、擲出其他點數 b 次 (A)╳:a+b=5 且-a+b=2  a、b 無整數解,故不可能恰走到 2 (B)○:a+b=5 且-a+b=-1  a=3、b=2 有

5!

3!×2!

=10 種走法 (C)╳:a+b=2 且-a+b=0  a=1、b=1 機率為

2×4

+4×2

6×6

4

9

(D)○:所求為

2

3

×1+

1

3

×(-1)=

1

3

(9)

(E)○:所求為

1

3

×2

2

3

故選(B)(D)(E)

(10)

2.

( )從 1 到 10 的自然數中任選一數(每個數被選到的機會均等),設隨機變數 X 為所選數字的正因 數個數,則下列哪些選項是正確的? (A) P(X=1)=

1

10

 (B) P(X=2)=

1

10

 (C)  P(X=a)=

3

10

,則 a=3 (D) E(X)=

27

10

 (E) Var(X)<1。【臺中一中】 答案:(A)(D) 解析:1 的因數:1;2 的因數:1,2;3 的因數:1,3;4 的因數:1,2,4;5 的因數:1,5;6 的因數: 1,2,3,6;7 的因數:1,7;8 的因數:1,2,4,8;9 的因數:1,3,9;10 的因數:1,2,5,10 由上述可知 (A)○:P(X=1)=

1

10

(B)╳:P(X=2)=

4

10

2

5

(C)╳:P(X=a)=

3

10

,a=4 (D)○:E(X)=

1

10

×1+

4

10

×2+

2

10

×3+

3

10

×4=

27

10

(E)╳:Var(X)=

(

1

27

10

)

2 ×

1

10

(

2

27

10

)

2 ×

4

10

(

3

27

10

)

2 ×

2

10

(

4

27

10

)

2 ×

3

10

289

100

×

1

10

49

100

×

4

10

9

100

×

2

10

169

100

×

3

10

1010

1000

>1 故選(A)(D)

3.

( )已知隨機變數 X 滿足期望值 E(X)=27,標準差 σ(X)=6,則下列何者正確? (A)期望值  E

(

X

3

-5

)

=4 (B)期望值 E

(

X

3

-5

)

=9 (C)變異數 Var(X)=

6

 (D)變異數 Var

(

X

3

-5

)

=4 (E)變異數 Var

(

X

3

-5

)

=12。【新竹高中】 答案:(A)(D) 解析:E(X)=27,σ(X)=6 (A)○:E

(

X

3

-5

)

1

3

E(X)-5=9-5=4 (B)╳:承(A),E

(

X

3

-5

)

=4 (C)╳:Var(X)=(σ(X))2=36

(11)

(D)○:Var

(

X

3

-5

)

(

1

3

)

2 Var(X)=

1

9

×36=4 (E)╳:承(D),Var

(

X

3

-5

)

=4 故選(A)(D)

4.

( )有兩粒公正的特殊骰子:一粒為四面分別標示 1,2,3,4 的正四面體骰子 A,另一粒為六面分 別標示 1,2,3,4,5,6 的正六面體骰子 B。同時擲兩粒骰子,設隨機變數 X 為 A 出現的點數, 隨機變數 Y 為 B 出現的點數,下列何者正確? (A) E(2X+1)=6 (B) E(X 2)=

25

4

 (C)  Var(X)=

5

4

 (D) P(X+Y=3)=

1

9

 (E) E(X+Y)=6。【武陵高中】 答案:(A)(C)(E) 解析:(A)○:E(2X+1)=2E(X)+1,其中 E(X)=

5

2

∴E(2X+1)=6 (B)╳:E(X 2)=

1

4

(1+4+9+16)=

15

2

(C)○:Var(X)=

1

4

[

(

3

2

)

2

(

1

2

)

2

(

1

2

)

2

(

3

2

)

2

]

20

16

5

4

(D)╳:P(X+Y=3)=

2

24

1

12

(E)○:E(X+Y)=E(X)+E(Y)=

5

2

7

2

=6 故選(A)(C)(E)

5.

( )設 X 為一隨機變數,且 X 的期望值 E(X)=3,變異數 Var(X)=16,則下列何者正確?  (A) X 的標準差為 4 (B) E(2 X-3)=3 (C) Var(2 X-3)=32 (D) E(3X+7)=15 (E)  Var(3X+7)=144。 答案:(A)(B)(E) 解析:(A)○:標準差

Var

(X )

16

=4

(12)

五、 填充題

1.

同時投擲三顆公正的骰子一次,當三顆同點數時可得 100 元,恰兩顆同點數時可得 50 元,三顆點數均相 異時可得 30 元,試問投擲一次骰子所得期望值為【    】元。 答案:

725

18

解析:所求為 100× C16 63 +50× C23×P62 63 +30× P63 63

725

18

(元)

2.

設甲、乙、丙三人考上大學的機率分別為

3

5

3

4

1

3

,令隨機變數 X 表示考上大學的人數,試求: (1)隨機變數 X 的機率質量函數為【    】。 (2)隨機變數 X 的機率分布表為【    】。 (3)隨機變數 X 的期望值為【    】。 (4)隨機變數 X 的變異數為【    】。 (5)隨機變數 X 的標準差為【    】。 答案:(1) P(X=0)=

1

15

,P(X=1)=

1

3

,P(X=2)=

9

20

,P(X=3)=

3

20

;(2)略;(3)

101

60

;(4)

2339

3600

;(5)

2339

60

解析:(1)依題意可知考上大學的人數為 0、1、2、3 之機率依序為

2

5

×

1

4

×

2

3

4

60

3

5

×

1

4

×

2

3

2

5

×

3

4

×

2

3

2

5

×

1

4

×

1

3

20

60

、1-

4

60

20

60

9

60

27

60

3

5

×

3

4

×

1

3

9

60

 P(X=0)=

1

15

,P(X=1)=

1

3

,P(X=2)=

9

20

,P(X=3)=

3

20

(2) 

X

0

1

2

3

p

X

15

1

3

1

20

9

20

3

(3) E(X)=0×

1

15

+1×

1

3

+2×

9

20

+3×

3

20

101

60

(4) Var(X)=

(

0

101

60

)

2 ×

1

15

(

1

101

60

)

2 ×

1

3

(

2

101

60

)

2 ×

9

20

(

3

101

60

)

2 ×

3

20

2339

3600

【另解】 Var(X)=

(

0

2

×

1

15

+1

2

×

1

3

+2

2

×

9

20

+3

2

×

3

20

)

(

101

60

)

2 =

2339

3600

(13)

(5)σ=

Var

(X)

2339

(14)

3.

甲、乙兩人比賽網球,每局甲勝的機率為

3

5

(無和局)。今約定先累積勝 3 局者可獨得獎金 10000 元, 但第一局比完由乙獲勝後,因故無法繼續進行比賽。若依最後獲勝機率來分配獎金,則乙應得【    】元。【高雄中學】 答案:5248 解析:p=

2

5

×

2

5

乙連勝兩場

3

5

×

2

5

×

2

5

甲有勝一場

3

5

×

3

5

×

2

5

×

2

5

甲有勝兩場

328

625

故所求為

328

625

×10000=5248(元)

4.

一袋中 5 紅球、4 白球,今從袋中任意取出兩球,若兩球皆為紅色,則可得 20 元,若兩球皆為白色,則 可得 10 元,設隨機變數 X 表示自袋中隨意取出兩球可得的金額,則隨機變數 X 的 (1)期望值為【    】元。 (2)變異數為【    】。 (3)標準差為【    】元。 答案:(1)

65

9

;(2)

6125

81

;(3)

35

5

9

解析:隨機變數 X 的機率分布表如下: X 20 10 pX C25 C29

5

18

C24 C29

1

6

(1) X 的期望值 E(X)=20×

5

18

+10×

1

6

65

9

(元) (2) X 的變異數 Var(X)=E(X 2)-(E(X))2

(

20

2

×

5

18

+10

2

×

1

6

)

(

65

9

)

2 =

1150

9

4225

81

6125

81

(3) X 的標準差

Var

(X )

4

6

35

9

5

(元)

(15)

5.

在一盒箱子中,有 3 顆白球和 4 顆紅球。從箱子中隨機取球,一次一個且取後不放回,直到取得紅球就 停止不取,求所取出球個數的期望值為【    】個。【臺中一中】 答案:

8

5

解析:依題意,先排列紅球 將白球插入,有

1

5

的機率會放在第 1 顆紅球前 故第一顆紅球前,白球個數期望值為

1

5

×3 ∴停止之期望球數=

(16)

Sec 1-3

一、

單一選擇題

1.

( )設 A,B 為互斥事件,若 P(A)=0.5,P(A∪B)=0.8,則 P(B)= (A) 0.3 (B) 0.4  (C) 0.5 (D) 0.6 (E) 0.7。 答案:(A) 解析:依題意可知 0.8=0.5+P(B)-0  P(B)=0.3 故選(A)

2.

( )高三 5 班有 40 位同學,導師為了獎勵同學整潔比賽冠軍舉辦抽獎活動,已知 40 支籤中,有 10  支是有獎品的,其餘則沒中獎。試問下列敘述何者正確? (A)班長吵著要第一個抽,因為他覺得 第一個抽的中獎機率最大 (B)班長排第一個,結果沒抽中,副班長很高興,因為她覺得她中獎的 機率提高了 (C)班長第一個抽,結果沒中;副班長第二個抽,結果中獎,學藝股長覺得無所謂, 因為她認為第一個沒中,第二個中,剛好抵消了,不影響她原來中獎的機率 (D)風紀股長認為前 面的人抽獎的結果都不會影響她中獎的機會,所以自願最後一個抽 (E)上述四個事件為獨立事件, 即中獎的結果互不影響。 答案:(B) 解析:(A)╳:中獎機率與次序無關,皆為

10

40

1

4

(B)○:此時中獎機率為

10

39

(C)╳:此時中獎機率為

9

38

(D)╳:由(B)(C)可知會影響中獎機率 (E)╳:會互相影響 故選(B)

3.

( )取兩顆公正骰子連續投擲三次,每次出現的點數和大於或等於 8 之機率為何? (A)

8

729

  (B)

64

729

 (C)

125

1728

 (D)

380

2637

答案:(C) 解析:兩顆骰子點數和大於或等於 8 的機率為

5

+4+3+2+1

6

2

5

12

所求為

(

5

12

)

3 =

125

1728

故選(C)

(17)

4.

( )某公司對於 180 個顧客所做的市場調查中得知,對於某商品的滿意人數如下表。已知對於該商品 的滿意度與顧客的性別為獨立事件,且 x>y,則數對(x,y)=? 滿意 不滿意 男性 60 x 女性 y 32 (A)(256,15) (B)(128,45) (C)(48,40) (D)(96,40) (E)(36,32)。【師大附中】 答案:(C) 解析:依題意 ① x+y+60+32=180 ② P(滿意|男性)=P(滿意|女性) 

60

60

+x

y

y

+32

∴x+y=88 且(60+x)y=60(y+32) (60+88-y)y=60(y+32)  y2-88y+1920=0  y=40 或 48 y= 40 x= 48 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 或 y= 48 x= 40 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ,但 x>y ∴數對(x,y)=(48,40) 故選(C)

5.

( )甲、乙兩人同打一靶,各打一發,設甲、乙兩人命中率各為

1

3

1

4

,並設兩人打靶互不影響, 若靶面恰中一發,則是由甲命中的機率為 (A)

3

5

 (B)

2

5

 (C)

1

5

 (D)

1

6

 (E)

1

4

答案:(A) 解析:所求為

1

3

×

3

4

1

3

×

3

4

2

3

×

1

4

3

5

故選(A)

(18)

六、 多重選擇題

1.

( )下列敘述何者正確? (A)設 A,B 為獨立事件,則 A,B' 也是獨立事件,因此當 P(A∩B)= P(A)P(B)時,P(A∩B')=P(A)P(B') (B)設 A,B 為獨立事件,且 B,C 也是獨立事件, 則 A,C 也是獨立事件 (C)設 A,B 為兩事件且 P(A∩B)=0,則 A,B 為獨立事件 (D)從 1 到  10 的正整數中,任取一數,以 A 表示取得的數為 4 的倍數的事件,B 表示取得的數為 3 的倍數的事 件,則 A,B 為獨立事件 (E)甲、乙兩人投籃的命中率分別為 0.6、0.5,設投籃時命中與否是獨立 事件,則甲連續投兩球,至少進一球的機率大於乙投兩球至少進一球的機率。 答案:(A)(E) 解析:(A)○:顯然正確 (B)╳:設樣本空間 S={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},C{1,4},則 P(A∩B)=

1

6

=P(A)P(B),P(B∩C)=

1

6

=P(B)P(C),但 P(A∩C)=

1

6

,P(A)P(C)=

1

3

×

1

3

∵P(A∩C)≠P(A)P(C), 故 A,C 不是獨立事件 (C)╳:A,B 應為互斥事件 (D)╳:設樣本空間 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={4,8},B={3,6,9},則 P(A∩B)=0≠P(A)P(B),故 A,B 不是獨立事件 (E)○:甲投兩球至少進一球的機率為 1-(0.4)2=0.84 乙投兩球至少進一球的機率為 1-(0.5)2=0.75 故甲至少進一球的機率大於乙至少進一球的機率 故選(A)(E)

2.

( )設 A 與 B 為獨立事件且 P(A)=

5

6

,P(A∩B)=

1

3

,則下列何者正確? (A) P(B)=

5

18

 (B) P(B)=

2

5

 (C) P(A∪B)=

9

10

 (D) P(A'|B)=

5

6

 (E) P(B'|A)=

3

5

。【臺南二中】 答案:(B)(C)(E) 解析:(A)╳:A,B 為獨立 P(B)=P(B|A)=

P

( A ∩ B )

P

( A )

1

3

5

6

2

5

(B)○ (C)○:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

5

6

2

5

1

3

9

10

(D)╳:A,B 為獨立 P(A'|B)=P(A')=1-P(A)=1-

5

6

1

6

(E)○:A,B 為獨立 P(B'|A)=P(B')=1-P(B)=1-

2

5

3

5

(19)

故選(B)(C)(E)

3.

( )甲、乙、丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲,每一局三人各擲銅板 1 次;在某局中,當有一人投 擲結果與其他兩人不同時,此人就出局且遊戲終止;否則就進入下一局,並依前述規則繼續進行, 直到有人出局為止。試問下列哪些選項是正確的? (A)第一局甲就出局的機率是

1

3

 (B)第一 局就有人出局的機率是

1

2

 (C)第三局才有人出局的機率是

3

64

 (D)已知到第十局才有人出局, 則甲出局的機率是

1

3

 (E)該遊戲在終止前,至少玩了六局的機率大於

1

1000

答案:(C)(D) 解析:(A)╳:所求為

2×1

2

2

3

1

4

(B)╳:所求為 1-

2

2

3

3

4

(C)○:所求為

1

4

×

1

4

×

3

4

3

64

(D)○:所求為

(

1

4

)

9

×

1

4

(

1

4

)

9

×

3

4

1

3

(E)╳:所求為

(

1

4

)

5 =

1

1024

1

1000

故選(C)(D)

4.

( )設 A,B 為獨立事件,P(A)=

1

2

,P(A∪B)=

2

3

,則下列何者為真? (A) P(B)=

1

3

 (B) P(A∩B)=

1

4

 (C) P(B'│A')=

2

3

 (D) P(A'∪B')=

5

6

 (E)  P(B'│A∪B)=

1

2

答案:(A)(C)(D)(E) 解析:(A)○:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

2

1

1

(20)

(D)○:P(A'∪B')=P(A')+P(B')-P(A'∩ B') =

1

2

2

3

(

1

2

×

2

3

)

5

6

(E)○:P(B'│A∪B)=

P

(B

'

( A∪B))

P

( A∪B)

P

( A)- P( A∩B)

2

3

1

2

1

6

2

3

1

2

故選(A)(C)(D)(E)

5.

( )甲、乙、丙三人同射一靶,每人各射一發,已知三人的命中率分別為 0.4、0.3、0.2,且三人命 中靶面的事件均為獨立事件,下列敘述哪些是正確的? (A)三人同時命中靶面的機率為  0.4×0.3×0.2 (B)恰一人命中靶面的機率為 0.4+0.3+0.2 (C)恰兩人命中靶面的機率為 0.4×0.3+ 0.3×0.2+0.2×0.4 (D)三人均未命中靶面的機率為(1-0.4)(1-0.3)(1-0.2) (E)靶面至少 中一發的機率為 1-(1-0.4)(1-0.3)(1-0.2)。【新竹高中】 答案:(A)(D)(E) 解析:(A)○:因三人命中靶面為獨立事件,故同時命中的機率為 0.4×0.3×0.2 (B)╳:恰一人命中的機率為 0.4×0.7×0.8+0.6×0.3×0.8+0.6×0.7×0.2=0.452≠0.4+0.3+0.2 (C)╳:恰兩人命中的機率為 0.4×0.3×0.8+0.4×0.7×0.2+0.6×0.3×0.2 (D)○:三人均未命中靶面的機率為(1-0.4)×(1-0.3)×(1-0.2) (E)○:P(至少中一發)=1-P(全沒中)=1-(1-0.4)(1-0.3)(1-0.2) 故選(A)(D)(E)

七、 填充題

1.

設 A,B,C 為三個獨立事件,P(A)=

1

3

,P(A∩B'∩C)=

1

20

,P(A∩B'∩C')=

1

10

,P(B) >P(C),則 P(B)=【    】,P(C)=【    】。 答案:

11

20

1

3

解析:設 P(B)=y,P(C)=z,其中 y>zP( A∩B'C)=1 3 ( 1- y ) z = 1 20 P( A∩B'C')=1 3 ( 1 - y ) ( 1 - z )= 1 10 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 

z

1

-z

1

2

 z=

1

3

 1-y=

9

20

 y=

11

20

2.

小毅今年欲申請 A、B、C 三所大學,其申請成功的機率分別為 0.2、0.3、0.4 且互不影響,則今年小毅 能順利申請到大學的機率為【    】。【新竹高中】 答案:0.664 解析:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C) =0.2+0.3+0.4-0.2×0.3-0.3×0.4-0.4×0.2+0.2×0.3×0.4

(21)

=0.664

(22)

3.

某校數學教師針對高三學生隨機選出 30 名男學生及 20 名女學生,做新教材適應性的調查,每一位學生 都要填答,且只能填答適應或不適應。結果有 35 名學生填答無法適應新教材內容。假設學生性別與適應 狀況獨立,請完成下列表格,使其最能符合上述假設。 適應狀況 性別 適應 不適應 (35 人) 男生(30 人) 【①】人 【②】人 女生(20 人) 【③】人 【④】人 答案:9;21;6;14 解析:如表 適應狀況 性別 適應 (15 人) 不適應 (35 人) 男生(30 人) x 人 (30-x)人 女生(20 人) y 人 (20-y)人 由題意知 x+y=15 ∵學生性別與適應狀況獨立 ∴P(學生適應)=P(適應∣男生)=P(適應∣女生)

15

50

x

30

y

20

 ∴x=9,y=6  30-x=21,20-y=14

4.

有一射手平均 5 發可命中 3 發,則: (1)射擊 2 發皆不中之機率為【    】。 (2)若欲使該射手最少命中 1 發之機率大於 0.999 時,至少要射擊【    】發。(log2  0.3010) 答案:(1)

4

25

;(2) 8 解析:(1)所求為

2

5

×

2

5

4

25

(2)設至少要射擊 n 發 依題意可知 1-

(

2

5

)

n

999

1000

1

1000

(

2

5

)

n  log

1

1000

>log

(

2

5

)

n -3>n(log2-log5)  n>

-3

log 2

-log5

-3

2log 2

-1

2×0.301

-3

-1

 7.54  n 取 8

(23)

5.

電器圖上電流圖如圖所示,A、B、C、D 四開關之電流流通率依次為

1

2

3

5

3

10

2

5

,且彼 此無關,試求電流自 L 至 R 之通電率為【    】。 答案:

18

125

解析:所求為 P(上通∪下通) =P(上通)+P(下通)-P(上通∩下通)

1

2

×

3

5

×

2

5

1

2

×

3

10

×

2

5

1

2

×

3

5

×

3

10

×

2

5

1

2

×

2

5

×

(

3

5

3

10

3

5

×

3

10

)

18

125

(24)

Sec 1-4

一、

單一選擇題

1.

( )甲、乙兩隊比賽,平均甲隊五場勝兩場,今甲、乙兩隊比賽五場,甲隊恰勝三場之機率應 (A) 等於

3

5

 (B)等於

(

3

5

)

3  (C)大於

3

5

 (D)小於

3

5

 (E)小於

(

3

5

)

3 。 答案:(D) 解析:甲恰勝三場之機率為

C

3 5

(

2

5

)

3

(

3

5

)

2 <

3

5

故選(D)

2.

( )芳如參加圍棋比賽,每場比賽得勝機率為

1

3

,失敗機率為

2

3

,今參加五場比賽,規定勝一場 獎金 1000 元,敗一場罰款 400 元,則芳如總共至少贏得 3000 元的機率為 (A)

1

243

 (B)

10

243

 (C)

11

243

 (D)

40

243

 (E)

51

243

。【明倫高中】 答案:(C) 解析:至少贏得 3000 元的可能有 5 勝、4 勝 5 勝:

(

1

3

)

5 =

1

243

4 勝:

5

4

(

1

3

)

4 ×

2

3

10

243

∴所求機率為

1

243

10

243

11

243

故選(C)

3.

( )一個骰子連擲 50 次,么點的次數出現 r 次的機率為 Pr,當 Pr 為最大時,則其 r 的值為何?  (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E)以上皆非。【臺中一中】 答案:(B) 解析:Pr

C

r 50

(

1

6

)

r

(

5

6

)

50-r ,

P

r

P

r+1

C

r50

(

1

6

)

r

(

5

6

)

50-r

C

r50+1

(

1

6

)

r+1

(

5

6

)

50-r -1

5r

+5

50

-r

當 0≦r 7≦ ,

P

r

P

r+1 <1  P r<Pr+1,即 P0<P1<P2<……<P7<P8 當 8≦r 50≦ ,

P

r

P

r+1 >1  P r>Pr+1,即 P8>P9>……>P49>P50 ∴P8 為最大值

(25)

故選(B)

4.

( )設 p1 表示丟 2 枚均勻硬幣時,恰好出現 1 個正面的機率;p2 表示擲 2 顆公正骰子時,恰好出現 1 個偶數點的機率;p3 表示丟 4 枚均勻硬幣時,恰好出現 2 個正面的機率。試問下列選項何者正確? (A) p1=p2=p3 (B) p1=p2>p3 (C) p1=p3<p2 (D) p1=p3>p2 (E) p3>p2>p1。 答案:(B) 解析:p1=

C

1 2

(

1

2

) (

1

2

)

1

2

p2=

C

1 2

(

3

6

) (

3

6

)

1

2

p3=

C

2 4

(

1

2

)

2

(

1

2

)

2 =

6

16

3

8

 p1=p2>p3 故選(B)

5.

( )某公司促銷活動辦法:每位顧客從裝有 4 顆白球、1 顆紅球的箱子中抽一球(每球被取到的機率 均等,且取後放回),抽到紅球的顧客可以得到福袋。設當天有 1600 位顧客,試問得到福袋的人數 期望值為何? (A) 16 (B) 256 (C) 320 (D) 400 (E) 1280。【板橋高中】 答案:(C) 解析:p=

1

5

,E(X)=np=1600×

1

5

=320 故選(C)

(26)

八、 多重選擇題

1.

( )羿彣每天走同一條路上學,共需經過 5 個紅綠燈,已知 5 個紅綠燈是互相獨立運作的,且羿彣每 個路口碰到紅燈的機率是

1

3

,則下列選項哪些是正確的? (A)羿彣上學都沒遇到紅燈的機率為 1

(

1

3

)

5 =

242

243

 (B)羿彣至少碰到 4 個紅燈的機率為 

11

243

 (C)羿彣至少碰到 1 個紅燈的機 率為

211

243

 (D)羿彣每天上學時,平均會遇到 2.5 個紅燈 (E)羿彣上學每個路口都遇到紅燈的機 率為 1-

(

1

3

)

5 =

242

243

。【明倫高中】 答案:(B)(C) 解析:(A)╳:

(

2

3

)

5 (B)○:

5

4

(

1

3

)

4

(

2

3

)

(

1

3

)

5 =

10

243

1

243

11

243

(C)○:1-

(

2

3

)

5 =

211

243

(D)╳:

5

3

(E)╳:

(

1

3

)

5 故選(B)(C)

(27)

2.

( )已知一枚不均勻的硬幣出現正面的機率為 p。今重複丟擲此硬幣 5 次,令 Pk 表示出現 k 次正面的 機率。若 P0=

(

3

5

)

5 ,則下列敘述哪些正確? (A) p=

3

5

 (B) P1<P2 (C) k

=0 5

P

k

=1

 (D) 至少出現 4 次正面的機率小於 0.2。【臺中女中】 答案:(B)(C)(D) 解析:依題意可知,Pk

C

k 5 pk(1-p)5-k,其中 p 為出現正面之機率 (A)╳:P0=

(

3

5

)

5 =

C

0 5 p0(1-p)5 

(

3

5

)

5 =(1-p)5  p=

2

5

(B)○:P1=

C

1 5 ×

(

2

5

)

1 ×

(

3

5

)

4 =

810

5

5 P2=

C

2 5 ×

(

2

5

)

2 ×

(

3

5

)

3 =

1080

5

5 故 P1<P2 (C)○: k

=0 5

P

k =P0+P1+P2+……+P5,機率和為 1 (D)○:P4+P5=

C

4 5 ×

(

2

5

)

4 ×

(

3

5

)

1 +

C

55 ×

(

2

5

)

5 =

240

+32

5

5

272

5

5  0.087<0.2 故選(B)(C)(D)

(28)

3.

( )連續投擲一枚均勻硬幣 4 次,以隨機變數 X 表示硬幣出現正面的次數,令 E(X)=μ 為 X 的期 望值,

Var

(X)

=σ 為 X 的標準差,則下列敘述哪些是正確的? (A) P(X=2)=

3

16

  (B) P(X 2≧ )=

11

16

 (C) X 的期望值 E(X)=μ=2 (D) X 的標準差

Var

(X)

=σ=1  (E) P(μ-σ≦X μ≦ +σ)=

7

8

答案:(B)(C)(D)(E) 解析:(A)╳:P(X=2)=

C

24

(

1

2

)

2

(

1

2

)

2 =

6

16

3

8

(B)○:P(X 2≧ ) =P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

6

16

C

3 4

(

1

2

)

3

(

1

2

)

C

44

(

1

2

)

4 =

11

16

(C)○:E(X)=μ=np=4×

1

2

=2 (D)○:

Var

(X)

=σ=

np

(1-p)

1

2

×

1

2

=1 (E)○:P(μ-σ≦X μ≦ +σ) =P(2-1≦X 2≦ +1) =P(1≦X 3≦ ) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

C

14

(

1

2

)

1

(

1

2

)

3 +

6

16

4

16

14

16

7

8

故選(B)(C)(D)(E)

(29)

4.

( )設投擲一枚不均勻的銅板,出現正面的機率為

2

3

,出現反面的機率為

1

3

。令 Pk 表示擲 10 次 中恰好出現 k 次正面的機率,Qk 表示擲 10 次中恰好出現 k 次反面的機率,則: (A) P8=5

(

2

3

)

8 (B) P4>Q6 (C) P5=Q5 (D) P10=

2

3

 (E) P6>P7。 答案:(A)(C) 解析:(A)○:P8=

C

8 10

(

2

3

)

8

(

1

3

)

2 =5

(

2

3

)

8 (B)╳:P4=Q6 (C)○:P5=Q5 (D)╳:P10=

C

10 10

(

2

3

)

10 =

(

2

3

)

10 (E)╳:P6=

C

6 10

(

2

3

)

6

(

1

3

)

4 =

10×9×8×7

1×2×3×4

×

(

2

3

)

6 ×

(

1

3

)

4 P7=

C

7 10

(

2

3

)

7

(

1

3

)

3 =

10×9×8

1×2×3

×

(

2

3

)

7 ×

(

1

3

)

3 

P

6

P

7 =

1

3

2

3

7

8

<1  P6<P7 故選(A)(C)

5.

( )隨機變數 X 是一個參數為(20,0.2)的二項分布(即重複操作成功機率為 0.2 的白努利試驗 20  次,20 次中成功的次數為 X)。則下列敘述哪些為正確? (A) X 的期望值 μ 為 4 (B) X 的標準 差 σ 大於 2 (C) Var(-5X)=16 (D) P(X=2)>P(X=18) (E) P(X=2)>P(X= 3)。【臺南女中】 答案:(A)(D) 解析:(A)○:μ=E(X)=np=20×0.2=4 (B)╳:σ=

Var

(X )

np

(1-p)

20×0.2×0.8

3.2

<2 (C)╳:Var(-5X)=(-5)2Var(X) =25×3.2=80

(30)

 P(X=2)<P(X=3) 故選(A)(D)

九、 填充題

1.

同時擲 2 顆公正的骰子 30 次,以 X 表示至少有一顆骰子出現 6 點的次數,則: (1) X 的期望值為【    】次。 (2) X 的標準差為【    】次。【北一女中】 答案:(1)

55

6

;(2)

5

330

36

解析:每次擲 2 顆公正骰子時,沒有出現 6 點的機率為

(

5

6

)

2 =

25

36

則至少出現一次 6 點的機率為 1-

25

36

11

36

由題意可知 X 的機率分布為二項分布 B

(

30

11

36

)

,則: (1) E(X)=30×

11

36

55

6

(2)

Var

(X)

30×

11

36

×

25

36

5

330

36

2.

無尾熊媽媽每天讓小無尾熊練習爬大樹,依過去經驗得知小無尾熊平均每 2 次練習中有 1 次會成功爬上 大樹頂端,若小無尾熊在一次練習中成功爬上大樹頂端則晚餐多加 10 片尤加利葉;若小無尾熊在一次練 習的過程中從大樹上掉下來,則晚餐扣 4 片尤加利葉,若今天小無尾熊練習爬大樹 10 次,試問今晚小無 尾熊的晚餐至少可以多增加 30 片尤加利葉的機率為【    】。【武陵高中】 答案:

319

512

解析: 成功,失敗 10,0 9,1 8,2 機率

C

1010

(

1

2

)

10

C

109

(

1

2

)

10

C

810

(

1

2

)

10 成功,失敗 7,3 6,4 5,5 機率

C

710

(

1

2

)

10

C

610

(

1

2

)

10

C

510

(

1

2

)

10 所求為(

C

10 10 +

C

9 10 +

C

8 10 +

C

7 10 +

C

6 10 +

C

5 10 )×

(

1

2

)

10 =638×

(

1

2

)

10 =

319

512

(31)

3.

投擲 10 個均勻之硬幣,恰出現四個正面,六個反面之機率為【    】。 答案:

105

512

解析:所求為

C

410

(

1

2

)

4

(

1

2

)

6 =

105

512

4.

袋中有白球 3 個,紅球 5 個,球大小一致且被取出的機會均等,連續自袋中取球 5 次,每次取一球,放 回後再取,求取得紅球次數的期望值為【    】。 答案:

25

8

解析:此為 n=5,p=

5

8

的二項分布 ∴E(X)=5×

5

8

25

8

5.

有一小鋼珠從圖之入口 Q 落下,若在分叉點滾左或滾右之機率相等,則小鋼珠由出口 A、B、C、D、E  滾出之機率分別為 pA=【    】、pB=【    】、pC=【    】、pD=【    】、pE =【    】。 答案:

1

8

9

16

1

8

5

32

1

32

解析:如圖所示

(32)

Sec 1-5

一、

單一選擇題

1.

( )某人想了解某地區擁有手機的人的比率有多少,他想要信心水準為 95%,而抽樣誤差在 0.03 之 內,請問他至少需要調查多少人? (A) 900 人 (B) 1068 人 (C) 1112 人 (D) 1222 人 (E)  2500 人。【師大附中】 答案:(C) 解析:在 95%信心水準下,抽樣誤差 e=2

^

p

( 1- ^p )

n

=2

- ^p

2

+ ^p

n

=2

(

p

^

1

2

)

2

1

4

n

2

1

4

n

1

n

若抽樣誤差在 0.03 內,則

1

n

≦0.03  n≧

1

0.03

2  1111.11  n 1112≧ 故選(C)

2.

( )若某校 1000 位學生期中考數學成績的平均數是 60 分,標準差 10 分,且成績呈常態分布,則成 績介於 50~80 分的人數約有多少人? (A)約 475 人 (B)約 680 人 (C)約 750 人 (D)約 815  人 (E)約 950 人。 答案:(D) 解析:

(

95

2

68

2

)

×1000=815(人) 故選(D)

3.

( )當信賴區間變短時,則下列何者正確? (A)信心水準變大 (B)信心水準變小 (C)信心水準 不變 (D)無法判斷。 答案:(B) 解析:信賴區間變短,表示實際值會落在信賴區間範圍內的機率會變小,故信心水準會變小 故選(B)

(33)

4.

( )張三所就讀的高中有 200 位學生,學生的體重分布呈常態,平均體重是 50 公斤,體重的標準差 為 5 公斤,張三的體重為 65 公斤,請問張三體重在全校學生中的排名(體重最重的為第 1 名,次重 者為第 2 名,依此類推)大約在哪一區間? (A) 1~10 (B) 11~20 (C) 21~32 (D) 33~64 (E) 65~80。 答案:(A) 解析:65=50+3×5=μ+3σ,故張三體重在全校學生中的排名約為 200×

1

-99.7%

2

=0.3  1 故選(A)

5.

( )某地區市長選舉,有甲和乙兩位候選人,選前民調抽樣,結果樣本不是支持甲就是支持乙,若在 95%信心水準下,甲支持率的信賴區間為[ a,b ],則在相同信心水準下,乙支持率的信賴區間為  (A)[ a,b ] (B)[ b,a ] (C)

[

1

+a

2

1

+b

2

]

 (D)[ 1-a,1-b ] (E)[ 1-b,1-a ]。【師大 附中】 答案:(E) 解析:甲信賴區間[ a,b ]=

[

^

p

-2

p

^

(1- ^p)

n

, ^p+2

^

p

(1- ^p)

n

]

乙信賴區間

[

(1-^p)-2

(1- ^p) ^p

n

, (1- ^p)+2

(1- ^p) ^p

n

]

=[ 1-b,1-a ] 故選(E)

(34)

十、 多重選擇題

1.

( )請選出正確的選項: (A)隨機亂數表的任一列中,0 到 9 各數字出現的次數皆相同 (B)擲一 枚均勻的銅板 10 次,若前 5 次出現 3 次正面與 2 次反面,則後 5 次必定出現 2 次正面與 3 次反面  (C)投擲一枚均勻的銅板 2 次,在正面至少出現 1 次的條件下,2 次都出現正面的條件機率等於

1

3

(D)投擲 6 顆公正的骰子,1、2、3、4、5、6 點都出現的機率小於

1

6

 (E)從一副 52 張的撲克牌 (紅黑各有 26 張)中,隨機抽取相異的兩張,這兩張牌都是紅色的機率為

1

4

答案:(C)(D) 解析:(A)╳:因亂數表的數字是隨機產生,故出現次數不一定相同 (B)╳:後 5 次是隨機的,未必是 2 正面 3 反面 (C)○:P(2 正∣至少 1 正)=

n

(2正∩至少1正)

n

(至少1正)

1

3

(D)○:p=

6!

6

6

5

324

<

1

6

(E)╳:p= C226 C252

25

102

1

4

故選(C)(D)

(35)

2.

( )奇異果高中班聯會想討論「是否更改校服樣式」,須在全校 2700 名學生中以簡單隨機抽樣的方 式抽出 108 位同學作為樣本。全校學生人數依年級、性別列表如表(男生共 1475 人、女生共 1225  人) 高一 高二 高三 男 500 500 475 女 400 375 450 小計 900 875 925 (A)樣本中沒有高一生的機率為 1- C1081800 C1082700  (B)高三男生群群被抽中的機率為

19

108

 (C)已知高三男生 群群被抽中,而他的同班好友波波也被抽中的機率為

107

2700

 (D)以全校男女生人數比例決定抽出男、女各 59、49 人,則高三男生群群被抽中的機率為

1

25

 (E)若只抽 10 位同學做樣本,則出現男女各半的機率大 於皆沒有高一生的機率。【武陵高中】 答案:(D)(E) 解析:(A)╳: C1081800 C1082700 (B)╳:

108

2700

1

25

(C)╳:

107

2699

(D)○:

59

1475

1

25

(E)○: C51475×C51225 C102700 ÷ C101800 C102700 = 1475. 1474 . 1473 . 1472 . 1471 . 1225 . 1224 . 1223 . 1222 . 1221 1800. 1799 . 1798 . 1797 . 1796 . 1795 . 1794 . 1793 . 1792 . 1791 ×

7×4×9

1

(

2

3

)

10 ×252>1 ∴ C51475×C51225 C102700 C101800 C102700 故選(D)(E)

(36)

3.

( )下列敘述何者正確? (A)二中熱食部滿意度抽樣調查在相同滿意度下增加抽取的樣本數可以使 信心水準變高 (B)在不同的抽樣調查中,分別訪問 1200 人,得樣本滿意度比例

^

p

1 =0.3,

^

p

2 =0.5,

^

p

3 =0.8,在 95%的信心水準下,

^

p

3 的信賴區間最長 (C)某次臺南市長支持度調查, 已知該次 95%的信賴區間為[ 0.55,0.65 ],則可以說真正的支持率 p 有 95%的機率會落在此區間中 (D)某次臺南市長支持度調查,已知該次 95%的信賴區間為[ 0.55,0.65 ],則可以說真正的支持率 p 有 95%的機率會高於 0.6 (E)某次臺南市長支持度調查,已知該次 95%的信賴區間為[ 0.55,0.65 ],則可以說若按照同樣的方式調查數次,這些區間中將有 95%左右的次數會包含真正的支持率 p。 【臺南二中】 答案:(E) 解析:(A)╳:樣本數與信心水準大小無關 (B)╳:信賴區間長度=2×抽樣誤差,故比較抽樣誤差大小即可 由 2

0.8×0.2

1200

<2

0.3×0.7

1200

<2

0.5×0.5

1200

^

p

2 的信賴區間最長 (C)╳ (D)╳ (E)○ 故選(E)

4.

( )某校高二共有 500 位同學,某次段考數學成績呈常態分配,已知該班平均成績為 50 分,最高分 為 80 分,最低分為 20 分,則下列敘述何者正確? (A)標準差為 5 (B)標準差為 10 (C) 60 分 以上有 420 人 (D) 40 分以下有 80 人 (E) 30 分到 70 分有 475 人。 答案:(B)(D)(E) 解析:(A)╳:σ=

80

-20

6

=10 (B)○:同(A) (C)╳:60=50+1×10=μ+σ所求為 500×

1

-68%

2

=80 (D)○:40=50-1×10=μ-σ所求為 500×

1

-68%

2

=80 (E)○:40=50-2×10=μ-2σ,70=50+2×10=μ+2σ 所求為 500×95%=475 故選(B)(D)(E)

(37)

5.

( )某知名車廠委任甲、乙、丙三家民調機構,調查北部居民對該汽車品牌的知名度(即當地居民聽 過該汽車品牌所占之百分比),基於尊重民調專業,三家機構可自訂調查人數,也可各自選定信心 水準,經過調查後,甲、乙、丙三家民調機構算出該汽車品牌知名度之信賴區間分別為[ 0.42,0.48 ]、[ 0.43,0.47 ]、[ 0.48,0.52 ]。請選出正確的選項。 (A)丙民調機構調查出該汽車品牌知名度比 甲民調機構高 (B)甲民調機構的抽樣誤差最小 (C)若信心水準相同,則甲機構調查居民人數比乙 機構少 (D)若信心水準相同,則丙機構調查居民人數比乙機構多 (E)若調查居民人數相同,則甲 機構的信心水準比乙機構低。 答案:(A)(C)(D) 解析:甲=[ 0.42,0.48 ]=[ 0.45-0.03,0.45+0.03 ] 

^

p

=0.45,抽樣誤差為 0.03 乙=[ 0.43,0.47 ]=[ 0.45-0.02,0.45+0.02 ] 

^

p

=0.45,抽樣誤差為 0.02 丙=[ 0.48,0.52 ]=[ 0.5-0.02,0.5+0.02 ] 

^

p

=0.5,抽樣誤差為 0.02 (A)○:

^

p

=0.5>

^

p

=0.45 (B)╳:抽樣誤差甲>乙=丙 (C)○:若信心水準相同,且

^

p

^

p

,但誤差甲>乙

^

p

(1- ^p

n

^

p

(1- ^p

n

^

p

(1-

^

p

)=

^

p

(1-

^

p

1

n

1

n

 n<n乙 (D)○:若信心水準相同,且誤差丙=乙,但

^

p

^

p

乙 

^

p

(1- ^p

n

^

p

(1- ^p

n

^

p

(1-

^

p

)>

^

p

(1-

^

p

 n>n乙 (E) ╳:因 n=n乙,

^

p

甲 =

^

p

p

(1- ^p

(1- ^p

參考文獻

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