Sec 1-1
一、 單一選擇題
1.
( )袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球,設隨機變數 X 的值為取出 兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 值為 k 的機率(k=1,2,…,8),試問有幾個 pk 的值大於1
5
? (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 5 個。 答案:(B) 解析:p1=7
28
=1
4
,p2=6
28
=3
14
,p3=5
28
,p4=4
28
=1
7
,p5=3
28
,p6=2
28
=1
14
,p7=1
28
,p8=0 ∴大於1
5
者有 2 個,故選(B)2.
( )箱中有編號分別為 0,1,2,…,9 的十顆球。隨機抽取一球,將球放回後,再隨機抽取一球。請問這 兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時,其出現的機率最大? (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 9。 答案:(B) 解析:隨機變數 X 表示兩球編號相減的絕對值,則 X 的機率分布表如下: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pX1
10
9
50
8
50
7
50
6
50
5
50
4
50
3
50
2
50
1
50
故選(B)3.
( )氣象臺預報「本市明天降雨機率是 70%」,以下理解正確的是 (A)本市明天將有 70%的地區降雨 (B)本市明天將有 70%的時間降雨 (C)明天出門不帶雨具肯定淋雨 (D)明天出門不帶雨具淋雨的可能 性很大。 答案:(D) 解析:因降雨機率是 70%,故不帶雨具淋雨的可能性很大 故選(D)4.
( )袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球,設隨機變數 X 的值為取出 兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 取值為 k 的機率(k=1,2,……,8),試問有幾個 pk 的值大於1
5
? (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 5 個。 答案:(B) 解析:樣本空間 S,n(S)=C
2 8 =28 直接計算隨機變數 X 的取值所對應的機率 X=1,即(1,2),(1,3),……,(1,8),共 7 個 p1=7
28
X=2,即(2,3),(2,4),……,(2,8),共 6 個 p2=6
28
X=3,即(3,4),(3,5),……,(3,8),共 5 個 p3=5
28
X=4,即(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共 4 個 p4=4
28
X=5,即(5,6),(5,7),(5,8),共 3 個 p5=3
28
X=6,即(6,7),(6,8),共 2 個 p6=2
28
X=7,即(7,8),共 1 個 p7=1
28
p1>1
5
,p2>1
5
故選(B)5.
( )有五條線段,其長度分別為 1,3,5,7,9,今小臻從中任取三條線段,此三條線段可圍成一個三角形 之機率為 p,則 p 之範圍為 (A) 0≦p<1
5
(B)1
5
≦p<2
5
(C)2
5
≦p<3
5
(D)3
5
≦p<4
5
(E)4
5
≦p 1≦ 。【鳳山高中】 答案:(B) 解析:列出所有情形如下: 135╳ 137╳ 139╳ 157╳ 159╳ 179╳ 357ˇ 359╳ 379ˇ 579ˇ p=3
10
1
5
≦p<2
5
故選(B)二、 多重選擇題
6.
( )下列哪些例子是隨機現象? (A)臺灣每年的新生兒人數 (B)臺灣每年的降雨量 (C)臺北市每年的 降雨天數 (D)高雄市一年內感染登革熱的人數。 答案:(A)(B)(C)(D) 解析:(A)(B)(C)(D)7.
( )設隨機變數 X 的機率分布為: X -2 -1 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.15 0.2 0.1 0.15 0.05 0.05 則下列選項何者正確? (A) P(X 0≦ )=0.45 (B) P(X 為偶數)=0.25 (C) P(X 為奇數)=0.6 (D) P(2≦X 5≦ )=0.35 (E) P(X 2=1)=0.2。【武陵高中】 答案:(A)(C)(D) 解析:(A)○:P(X 0≦ )=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.1+0.2+0.15=0.45 (B)╳:P(X 為偶數)=P(X=-2)+P(X=0)+P(X=2)+P(X=4) =0.1+0.15+0.1+0.05=0.4 (C)○:P(X 為奇數)=P(X=-1)+P(X=1)+P(X=3)+P(X=5) =0.2+0.2+0.15+0.05=0.6 (D)○:P(2≦X 5≦ )=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0.1+0.15+0.05+0.05=0.35 (E)╳:P(X 2=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.2+0.2=0.4 故選(A)(C)(D)8.
( )下列隨機變數 X 的可能取值,何者為 X=0,1,2,3,4 ? (A)一盒中有 10 件樣品,其中 4 件為不 良品,自盒中任取 4 件,令 X 表示取得不良品的件數 (B)甲乙丙丁 4 人同時猜拳,以「剪刀、石頭、 布」決定勝負,令 X 表示得勝的人數 (C)自一副撲克牌中隨機取出 4 張,令 X 表示其中 A 點的張數。 答案:(A)(C) 解析:(A) X 表示取得不良品的件數,則 X=0,1,2,3,4 (B) X 表示得勝的人數,則 X=0,1,2,3 (C) X 表示其中 A 點的張數,則 X=0,1,2,3,4 故選(A)(C)9.
( )下列何者是隨機試驗? (A)投擲一顆公正的骰子 2 次,觀察 6 點出現的次數 (B)投擲一顆公正的骰 子 3 次,觀察出現的點數和 (C)將一副 52 張的撲克牌隨機平分成 2 堆,觀察第一堆中大牌 (A,K,Q,J)出現的張數 (D)將一副 52 張的撲克牌隨機平分成 2 堆,觀察第一堆中大牌 (A,K,Q,J)出現的張數與第二堆中大牌出現的張數之和。 答案:(A)(B)(C) 解析:(A)(B)(C)無法事先確定,故為隨機試驗 (D)和必為 16,故不為隨機試驗 故選(A)(B)(C)10.
( )擲一公正骰子兩次,令隨機變數 X 表示「出現點數差的絕對值」,下列選項哪些是正確的? (A) P(X=0)=0 (B) P(X=1)=5
18
(C) P(3≦X 5≦ )=1
3
(D) P(X=1)與 P(X=5)的值相 等 (E) P(X=0)與 P(X=3)的值相等。【臺中一中】 答案:(B)(C)(E) 解析:(A)╳:P(X=0)=6
36
=1
6
(B)○:P(X=1)=10
36
=5
18
(C)○:P(3≦X 5≦ )=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =6
36
+4
36
+2
36
=1
3
(D)╳:P(X=1)=5
18
,P(X=5)=1
18
∴P(X=1)≠P(X=5) (E)○:P(X=0)=1
6
,P(X=3)=6
36
=1
6
∴P(X=0)=P(X=3) 故選(B)(C)(E)三、 填充題
1.
統計某籃球選手在平時訓練罰球時投進的次數,令隨機變數 X 表示投籃 10 次後進球的次數,其機率分 布表如下。今該籃球選手罰球 10 次,則: X pX 0 0 1 0 2 0.01 3 0.03 4 0.03 5 0.07 6 0.06 7 0.12 8 0.23 9 0.26 10 0.19 (1)該籃球選手投進大於或等於 7 球的機率為【 】。 (2)該籃球選手投進不到 5 球的機率為【 】。 答案:(1) 0.8;(2) 0.07 解析:(1)所求為 0.12+0.23+0.26+0.19=0.8 (2)所求為 0.01+0.03+0.03=0.072.
投擲一顆公正的骰子 2 次,令隨機變數 X 表示 6 點出現的次數,則: (1)隨機變數 X 的可能值為【 】。 (2)隨機變數 X 的機率質量函數為【 】。 答案:(1) 0,1,2;(2) P(X=0)=25
36
,P(X=1)=5
18
,P(X=2)=1
36
解析:(1)投擲一顆公正的骰子 2 次的結果可能出現以下 36 種情形:(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)3.
設函數 f(x)為 f(x)=1
1 2 3
2
4
0
xx
a x
, =,,
, =
,其他值
,若 f(x)為一機率函數,則 a=【 】。【武陵高 中】 答案:1
8
解析:f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1 1
2
+1
2
2 +1
2
3 +a=1 a=1
8
4.
隨機變數 X 的機率質量函數圖如圖,X 的取值是 1,2,3,4,5,試求 P(X 2≦ )=【 】。【鳳 山高中】 答案:0.4 解析:如題圖,P(X 2≦ )=P(X=1)+P(X=2)=0.45.
臺灣的媽祖廟有擲筊求籤的習俗:每個筊有正反兩面(假設出現正反面的機率相等),手持兩個筊擲向 地面,只有擲出聖筊(一正面一反面)才能求籤。否則就要繼續擲,直到出現聖筊為止,但以擲 3 次為 限,若 3 次都沒有出現聖筊,就不能求籤。擲出聖筊後,要從 60 支「甲子靈籤」中隨機抽出一支籤詩, 這 60 支籤當中,上籤、中籤、下籤的比例是 35%、35%、30%。今天張三到媽祖廟擲筊求籤。則他抽 到上籤的機率為【 】。【臺南女中】 答案:49
160
解析:擲出聖筊機率為1
2
×1
2
×2!=1
2
,可求籤機率為1
2
⏟
第一次擲出聖筊+
1
2
×
1
2
⏟
第二次擲出聖筊+
(
1
2
)
2×
1
2
⏟
第三次擲出聖筊 =7
8
∴抽到上籤機率為
7
8
×35%=49
160
Sec 1-2
一、
單一選擇題
1.
( )有一箱子,內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲,從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率 都相同,若取出黑球可得獎金 50 元,而取出白球可得獎金 100 元,則下列哪一個選項是此遊戲的獎 金期望值? (A) 70 元 (B) 75 元 (C) 80 元 (D) 85 元 (E) 90 元。 答案:(A) 解析:所求為3
5
×50+2
5
×100=70 故選(A)2.
( )袋中有大小相同的 1 到 4 號球各 1 顆,一次由袋中取兩球,其球號乘積的期望值為 (A)35
6
(B)5
4
(C)5
3
(D)5
2
(E) 5。 答案:(A) 解析:依題意可知有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)等 6 種可能 所求為1
6
×(2+3+4+6+8+12)=35
6
故選(A)3.
( )一袋中有 100 元鈔票 5 張,500 元鈔票 3 張,1000 元鈔票 2 張,每張大小均相同,自其中任取兩 張,其數學期望值為幾元? (A) 160 (B) 320 (C) 400 (D) 800 (E)3200
3
。 答案:(D)5
3
2
(A)
4
3
(B)5
4
(C) 1 (D)2
3
(E)以上皆非。【高雄中學】 答案:(A) 解析:設答錯倒扣 x 分 ∴1
4
×4+3
4
×(-x)=0 x=4
3
故選(A)5.
( )有一箱子,內有 3 黑球與 2 白球。有一遊戲,從箱子中任取出一球。假設每一顆球被取出的機率 都相同,若取出黑球可得獎金 50 元,而取出白球可得獎金 100 元,則下列哪一個選項是此遊戲的獎 金期望值? (A) 70 元 (B) 75 元 (C) 80 元 (D) 85 元 (E) 90 元。 答案:(A) 解析:隨機變數 X 表示可得的獎金,則 X 的機率分布表如下: X 50 100 pX3
5
2
5
得期望值 E(X)=50×3
5
+100×2
5
=70(元), 故選(A)四、 多重選擇題
1.
( )某人站在數線的原點,投擲一顆公正的骰子多次。若每投擲出 1 或 2 點就朝負向移動 1 個單位長, 投擲出其他點數就朝正向移動 1 單位長,那麼下列敘述何者正確? (A)投擲 5 次後,恰走到 2 的 情形共有 10 種不同的過程 (B)投擲 5 次後,恰走到-1 的情形共有 10 種不同的過程 (C)投擲 2 次後,仍留在原點的機率為2
9
(D)投擲 1 次骰子之位置的期望值為1
3
(E)投擲 2 次骰子之 位置的期望值為2
3
。 答案:(B)(D)(E) 解析:設擲出 1 或 2 點 a 次、擲出其他點數 b 次 (A)╳:a+b=5 且-a+b=2 a、b 無整數解,故不可能恰走到 2 (B)○:a+b=5 且-a+b=-1 a=3、b=2 有5!
3!×2!
=10 種走法 (C)╳:a+b=2 且-a+b=0 a=1、b=1 機率為2×4
+4×2
6×6
=4
9
(D)○:所求為2
3
×1+1
3
×(-1)=1
3
(E)○:所求為
1
3
×2=2
3
故選(B)(D)(E)2.
( )從 1 到 10 的自然數中任選一數(每個數被選到的機會均等),設隨機變數 X 為所選數字的正因 數個數,則下列哪些選項是正確的? (A) P(X=1)=1
10
(B) P(X=2)=1
10
(C) P(X=a)=3
10
,則 a=3 (D) E(X)=27
10
(E) Var(X)<1。【臺中一中】 答案:(A)(D) 解析:1 的因數:1;2 的因數:1,2;3 的因數:1,3;4 的因數:1,2,4;5 的因數:1,5;6 的因數: 1,2,3,6;7 的因數:1,7;8 的因數:1,2,4,8;9 的因數:1,3,9;10 的因數:1,2,5,10 由上述可知 (A)○:P(X=1)=1
10
(B)╳:P(X=2)=4
10
=2
5
(C)╳:P(X=a)=3
10
,a=4 (D)○:E(X)=1
10
×1+4
10
×2+2
10
×3+3
10
×4=27
10
(E)╳:Var(X)=(
1
-
27
10
)
2 ×1
10
+(
2
-
27
10
)
2 ×4
10
+(
3
-
27
10
)
2 ×2
10
+(
4
-
27
10
)
2 ×3
10
=289
100
×1
10
+49
100
×4
10
+9
100
×2
10
+169
100
×3
10
=1010
1000
>1 故選(A)(D)3.
( )已知隨機變數 X 滿足期望值 E(X)=27,標準差 σ(X)=6,則下列何者正確? (A)期望值 E(
X
3
-5
)
=4 (B)期望值 E(
X
3
-5
)
=9 (C)變異數 Var(X)=√
6
(D)變異數 Var(
X
3
-5
)
=4 (E)變異數 Var(
X
3
-5
)
=12。【新竹高中】 答案:(A)(D) 解析:E(X)=27,σ(X)=6 (A)○:E(
X
3
-5
)
=1
3
E(X)-5=9-5=4 (B)╳:承(A),E(
X
3
-5
)
=4 (C)╳:Var(X)=(σ(X))2=36(D)○:Var
(
X
3
-5
)
=(
1
3
)
2 Var(X)=1
9
×36=4 (E)╳:承(D),Var(
X
3
-5
)
=4 故選(A)(D)4.
( )有兩粒公正的特殊骰子:一粒為四面分別標示 1,2,3,4 的正四面體骰子 A,另一粒為六面分 別標示 1,2,3,4,5,6 的正六面體骰子 B。同時擲兩粒骰子,設隨機變數 X 為 A 出現的點數, 隨機變數 Y 為 B 出現的點數,下列何者正確? (A) E(2X+1)=6 (B) E(X 2)=25
4
(C) Var(X)=5
4
(D) P(X+Y=3)=1
9
(E) E(X+Y)=6。【武陵高中】 答案:(A)(C)(E) 解析:(A)○:E(2X+1)=2E(X)+1,其中 E(X)=5
2
∴E(2X+1)=6 (B)╳:E(X 2)=1
4
(1+4+9+16)=15
2
(C)○:Var(X)=1
4
[
(
-
3
2
)
2+
(
-
1
2
)
2+
(
1
2
)
2+
(
3
2
)
2]
=20
16
=5
4
(D)╳:P(X+Y=3)=2
24
=1
12
(E)○:E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5
2
+7
2
=6 故選(A)(C)(E)5.
( )設 X 為一隨機變數,且 X 的期望值 E(X)=3,變異數 Var(X)=16,則下列何者正確? (A) X 的標準差為 4 (B) E(2 X-3)=3 (C) Var(2 X-3)=32 (D) E(3X+7)=15 (E) Var(3X+7)=144。 答案:(A)(B)(E) 解析:(A)○:標準差√
Var
(X )
=√
16
=4五、 填充題
1.
同時投擲三顆公正的骰子一次,當三顆同點數時可得 100 元,恰兩顆同點數時可得 50 元,三顆點數均相 異時可得 30 元,試問投擲一次骰子所得期望值為【 】元。 答案:725
18
解析:所求為 100× C16 63 +50× C23×P62 63 +30× P63 63 =725
18
(元)2.
設甲、乙、丙三人考上大學的機率分別為3
5
、3
4
、1
3
,令隨機變數 X 表示考上大學的人數,試求: (1)隨機變數 X 的機率質量函數為【 】。 (2)隨機變數 X 的機率分布表為【 】。 (3)隨機變數 X 的期望值為【 】。 (4)隨機變數 X 的變異數為【 】。 (5)隨機變數 X 的標準差為【 】。 答案:(1) P(X=0)=1
15
,P(X=1)=1
3
,P(X=2)=9
20
,P(X=3)=3
20
;(2)略;(3)101
60
;(4)2339
3600
;(5)√
2339
60
解析:(1)依題意可知考上大學的人數為 0、1、2、3 之機率依序為2
5
×1
4
×2
3
=4
60
、3
5
×1
4
×2
3
+2
5
×3
4
×2
3
+2
5
×1
4
×1
3
=20
60
、1-4
60
-20
60
-9
60
=27
60
、3
5
×3
4
×1
3
=9
60
P(X=0)=1
15
,P(X=1)=1
3
,P(X=2)=9
20
,P(X=3)=3
20
(2)X
0
1
2
3
p
X15
1
3
1
20
9
20
3
(3) E(X)=0×1
15
+1×1
3
+2×9
20
+3×3
20
=101
60
(4) Var(X)=(
0
-
101
60
)
2 ×1
15
+(
1
-
101
60
)
2 ×1
3
+(
2
-
101
60
)
2 ×9
20
+(
3
-
101
60
)
2 ×3
20
=2339
3600
【另解】 Var(X)=(
0
2×
1
15
+1
2×
1
3
+2
2×
9
20
+3
2×
3
20
)
-(
101
60
)
2 =2339
3600
(5)σ=
√
Var
(X)
=√
2339
3.
甲、乙兩人比賽網球,每局甲勝的機率為3
5
(無和局)。今約定先累積勝 3 局者可獨得獎金 10000 元, 但第一局比完由乙獲勝後,因故無法繼續進行比賽。若依最後獲勝機率來分配獎金,則乙應得【 】元。【高雄中學】 答案:5248 解析:p=2
5
×
2
5
⏟
乙連勝兩場 +2×
3
5
×
2
5
×
2
5
⏟
甲有勝一場 +3×
3
5
×
3
5
×
2
5
×
2
5
⏟
甲有勝兩場 =328
625
故所求為328
625
×10000=5248(元)4.
一袋中 5 紅球、4 白球,今從袋中任意取出兩球,若兩球皆為紅色,則可得 20 元,若兩球皆為白色,則 可得 10 元,設隨機變數 X 表示自袋中隨意取出兩球可得的金額,則隨機變數 X 的 (1)期望值為【 】元。 (2)變異數為【 】。 (3)標準差為【 】元。 答案:(1)65
9
;(2)6125
81
;(3)35
√
5
9
解析:隨機變數 X 的機率分布表如下: X 20 10 pX C25 C29 =5
18
C24 C29 =1
6
(1) X 的期望值 E(X)=20×5
18
+10×1
6
=65
9
(元) (2) X 的變異數 Var(X)=E(X 2)-(E(X))2=(
20
2×
5
18
+10
2×
1
6
)
-(
65
9
)
2 =1150
9
-4225
81
=6125
81
(3) X 的標準差√
Var
(X )
=4
6
=35
9
√
5
(元)5.
在一盒箱子中,有 3 顆白球和 4 顆紅球。從箱子中隨機取球,一次一個且取後不放回,直到取得紅球就 停止不取,求所取出球個數的期望值為【 】個。【臺中一中】 答案:8
5
解析:依題意,先排列紅球 將白球插入,有1
5
的機率會放在第 1 顆紅球前 故第一顆紅球前,白球個數期望值為1
5
×3 ∴停止之期望球數=Sec 1-3
一、
單一選擇題
1.
( )設 A,B 為互斥事件,若 P(A)=0.5,P(A∪B)=0.8,則 P(B)= (A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 (E) 0.7。 答案:(A) 解析:依題意可知 0.8=0.5+P(B)-0 P(B)=0.3 故選(A)2.
( )高三 5 班有 40 位同學,導師為了獎勵同學整潔比賽冠軍舉辦抽獎活動,已知 40 支籤中,有 10 支是有獎品的,其餘則沒中獎。試問下列敘述何者正確? (A)班長吵著要第一個抽,因為他覺得 第一個抽的中獎機率最大 (B)班長排第一個,結果沒抽中,副班長很高興,因為她覺得她中獎的 機率提高了 (C)班長第一個抽,結果沒中;副班長第二個抽,結果中獎,學藝股長覺得無所謂, 因為她認為第一個沒中,第二個中,剛好抵消了,不影響她原來中獎的機率 (D)風紀股長認為前 面的人抽獎的結果都不會影響她中獎的機會,所以自願最後一個抽 (E)上述四個事件為獨立事件, 即中獎的結果互不影響。 答案:(B) 解析:(A)╳:中獎機率與次序無關,皆為10
40
=1
4
(B)○:此時中獎機率為10
39
(C)╳:此時中獎機率為9
38
(D)╳:由(B)(C)可知會影響中獎機率 (E)╳:會互相影響 故選(B)3.
( )取兩顆公正骰子連續投擲三次,每次出現的點數和大於或等於 8 之機率為何? (A)8
729
(B)64
729
(C)125
1728
(D)380
2637
。 答案:(C) 解析:兩顆骰子點數和大於或等於 8 的機率為5
+4+3+2+1
6
2 =5
12
所求為(
5
12
)
3 =125
1728
故選(C)4.
( )某公司對於 180 個顧客所做的市場調查中得知,對於某商品的滿意人數如下表。已知對於該商品 的滿意度與顧客的性別為獨立事件,且 x>y,則數對(x,y)=? 滿意 不滿意 男性 60 x 女性 y 32 (A)(256,15) (B)(128,45) (C)(48,40) (D)(96,40) (E)(36,32)。【師大附中】 答案:(C) 解析:依題意 ① x+y+60+32=180 ② P(滿意|男性)=P(滿意|女性) 60
60
+x
=y
y
+32
∴x+y=88 且(60+x)y=60(y+32) (60+88-y)y=60(y+32) y2-88y+1920=0 y=40 或 48 y= 40 x= 48 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 或 y= 48 x= 40 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ,但 x>y ∴數對(x,y)=(48,40) 故選(C)5.
( )甲、乙兩人同打一靶,各打一發,設甲、乙兩人命中率各為1
3
、1
4
,並設兩人打靶互不影響, 若靶面恰中一發,則是由甲命中的機率為 (A)3
5
(B)2
5
(C)1
5
(D)1
6
(E)1
4
。 答案:(A) 解析:所求為1
3
×
3
4
1
3
×
3
4
+
2
3
×
1
4
=3
5
故選(A)六、 多重選擇題
1.
( )下列敘述何者正確? (A)設 A,B 為獨立事件,則 A,B' 也是獨立事件,因此當 P(A∩B)= P(A)P(B)時,P(A∩B')=P(A)P(B') (B)設 A,B 為獨立事件,且 B,C 也是獨立事件, 則 A,C 也是獨立事件 (C)設 A,B 為兩事件且 P(A∩B)=0,則 A,B 為獨立事件 (D)從 1 到 10 的正整數中,任取一數,以 A 表示取得的數為 4 的倍數的事件,B 表示取得的數為 3 的倍數的事 件,則 A,B 為獨立事件 (E)甲、乙兩人投籃的命中率分別為 0.6、0.5,設投籃時命中與否是獨立 事件,則甲連續投兩球,至少進一球的機率大於乙投兩球至少進一球的機率。 答案:(A)(E) 解析:(A)○:顯然正確 (B)╳:設樣本空間 S={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},C{1,4},則 P(A∩B)=1
6
=P(A)P(B),P(B∩C)=1
6
=P(B)P(C),但 P(A∩C)=1
6
,P(A)P(C)=1
3
×1
3
, ∵P(A∩C)≠P(A)P(C), 故 A,C 不是獨立事件 (C)╳:A,B 應為互斥事件 (D)╳:設樣本空間 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={4,8},B={3,6,9},則 P(A∩B)=0≠P(A)P(B),故 A,B 不是獨立事件 (E)○:甲投兩球至少進一球的機率為 1-(0.4)2=0.84 乙投兩球至少進一球的機率為 1-(0.5)2=0.75 故甲至少進一球的機率大於乙至少進一球的機率 故選(A)(E)2.
( )設 A 與 B 為獨立事件且 P(A)=5
6
,P(A∩B)=1
3
,則下列何者正確? (A) P(B)=5
18
(B) P(B)=2
5
(C) P(A∪B)=9
10
(D) P(A'|B)=5
6
(E) P(B'|A)=3
5
。【臺南二中】 答案:(B)(C)(E) 解析:(A)╳:A,B 為獨立 P(B)=P(B|A)=P
( A ∩ B )
P
( A )
=1
3
5
6
=2
5
(B)○ (C)○:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =5
6
+2
5
-1
3
=9
10
(D)╳:A,B 為獨立 P(A'|B)=P(A')=1-P(A)=1-5
6
=1
6
(E)○:A,B 為獨立 P(B'|A)=P(B')=1-P(B)=1-2
5
=3
5
故選(B)(C)(E)
3.
( )甲、乙、丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲,每一局三人各擲銅板 1 次;在某局中,當有一人投 擲結果與其他兩人不同時,此人就出局且遊戲終止;否則就進入下一局,並依前述規則繼續進行, 直到有人出局為止。試問下列哪些選項是正確的? (A)第一局甲就出局的機率是1
3
(B)第一 局就有人出局的機率是1
2
(C)第三局才有人出局的機率是3
64
(D)已知到第十局才有人出局, 則甲出局的機率是1
3
(E)該遊戲在終止前,至少玩了六局的機率大於1
1000
。 答案:(C)(D) 解析:(A)╳:所求為2×1
22
3 =1
4
(B)╳:所求為 1-2
2
3 =3
4
(C)○:所求為1
4
×1
4
×3
4
=3
64
(D)○:所求為(
1
4
)
9×
1
4
(
1
4
)
9×
3
4
=1
3
(E)╳:所求為(
1
4
)
5 =1
1024
<1
1000
故選(C)(D)4.
( )設 A,B 為獨立事件,P(A)=1
2
,P(A∪B)=2
3
,則下列何者為真? (A) P(B)=1
3
(B) P(A∩B)=1
4
(C) P(B'│A')=2
3
(D) P(A'∪B')=5
6
(E) P(B'│A∪B)=1
2
答案:(A)(C)(D)(E) 解析:(A)○:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2
1
1
(D)○:P(A'∪B')=P(A')+P(B')-P(A'∩ B') =
1
2
+2
3
-(
1
2
×
2
3
)
=5
6
(E)○:P(B'│A∪B)=P
(B
'∩
( A∪B))
P
( A∪B)
=P
( A)- P( A∩B)
2
3
=1
2
-
1
6
2
3
=1
2
故選(A)(C)(D)(E)5.
( )甲、乙、丙三人同射一靶,每人各射一發,已知三人的命中率分別為 0.4、0.3、0.2,且三人命 中靶面的事件均為獨立事件,下列敘述哪些是正確的? (A)三人同時命中靶面的機率為 0.4×0.3×0.2 (B)恰一人命中靶面的機率為 0.4+0.3+0.2 (C)恰兩人命中靶面的機率為 0.4×0.3+ 0.3×0.2+0.2×0.4 (D)三人均未命中靶面的機率為(1-0.4)(1-0.3)(1-0.2) (E)靶面至少 中一發的機率為 1-(1-0.4)(1-0.3)(1-0.2)。【新竹高中】 答案:(A)(D)(E) 解析:(A)○:因三人命中靶面為獨立事件,故同時命中的機率為 0.4×0.3×0.2 (B)╳:恰一人命中的機率為 0.4×0.7×0.8+0.6×0.3×0.8+0.6×0.7×0.2=0.452≠0.4+0.3+0.2 (C)╳:恰兩人命中的機率為 0.4×0.3×0.8+0.4×0.7×0.2+0.6×0.3×0.2 (D)○:三人均未命中靶面的機率為(1-0.4)×(1-0.3)×(1-0.2) (E)○:P(至少中一發)=1-P(全沒中)=1-(1-0.4)(1-0.3)(1-0.2) 故選(A)(D)(E)七、 填充題
1.
設 A,B,C 為三個獨立事件,P(A)=1
3
,P(A∩B'∩C)=1
20
,P(A∩B'∩C')=1
10
,P(B) >P(C),則 P(B)=【 】,P(C)=【 】。 答案:11
20
;1
3
解析:設 P(B)=y,P(C)=z,其中 y>z P( A∩B' ∩C)=1 3 ( 1- y ) z = 1 20 P( A∩B' ∩C')=1 3 ( 1 - y ) ( 1 - z )= 1 10 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ z
1
-z
=1
2
z=1
3
1-y=9
20
y=11
20
2.
小毅今年欲申請 A、B、C 三所大學,其申請成功的機率分別為 0.2、0.3、0.4 且互不影響,則今年小毅 能順利申請到大學的機率為【 】。【新竹高中】 答案:0.664 解析:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C) =0.2+0.3+0.4-0.2×0.3-0.3×0.4-0.4×0.2+0.2×0.3×0.4=0.664
3.
某校數學教師針對高三學生隨機選出 30 名男學生及 20 名女學生,做新教材適應性的調查,每一位學生 都要填答,且只能填答適應或不適應。結果有 35 名學生填答無法適應新教材內容。假設學生性別與適應 狀況獨立,請完成下列表格,使其最能符合上述假設。 適應狀況 性別 適應 不適應 (35 人) 男生(30 人) 【①】人 【②】人 女生(20 人) 【③】人 【④】人 答案:9;21;6;14 解析:如表 適應狀況 性別 適應 (15 人) 不適應 (35 人) 男生(30 人) x 人 (30-x)人 女生(20 人) y 人 (20-y)人 由題意知 x+y=15 ∵學生性別與適應狀況獨立 ∴P(學生適應)=P(適應∣男生)=P(適應∣女生) 15
50
=x
30
=y
20
∴x=9,y=6 30-x=21,20-y=144.
有一射手平均 5 發可命中 3 發,則: (1)射擊 2 發皆不中之機率為【 】。 (2)若欲使該射手最少命中 1 發之機率大於 0.999 時,至少要射擊【 】發。(log2 0.3010) 答案:(1)4
25
;(2) 8 解析:(1)所求為2
5
×2
5
=4
25
(2)設至少要射擊 n 發 依題意可知 1-(
2
5
)
n >999
1000
1
1000
>(
2
5
)
n log1
1000
>log(
2
5
)
n -3>n(log2-log5) n>-3
log 2
-log5
=-3
2log 2
-1
=2×0.301
-3
-1
7.54 n 取 85.
電器圖上電流圖如圖所示,A、B、C、D 四開關之電流流通率依次為1
2
、3
5
、3
10
、2
5
,且彼 此無關,試求電流自 L 至 R 之通電率為【 】。 答案:18
125
解析:所求為 P(上通∪下通) =P(上通)+P(下通)-P(上通∩下通) =1
2
×3
5
×2
5
+1
2
×3
10
×2
5
-1
2
×3
5
×3
10
×2
5
=1
2
×2
5
×(
3
5
+
3
10
-
3
5
×
3
10
)
=18
125
Sec 1-4
一、
單一選擇題
1.
( )甲、乙兩隊比賽,平均甲隊五場勝兩場,今甲、乙兩隊比賽五場,甲隊恰勝三場之機率應 (A) 等於3
5
(B)等於(
3
5
)
3 (C)大於3
5
(D)小於3
5
(E)小於(
3
5
)
3 。 答案:(D) 解析:甲恰勝三場之機率為C
3 5(
2
5
)
3(
3
5
)
2 <3
5
故選(D)2.
( )芳如參加圍棋比賽,每場比賽得勝機率為1
3
,失敗機率為2
3
,今參加五場比賽,規定勝一場 獎金 1000 元,敗一場罰款 400 元,則芳如總共至少贏得 3000 元的機率為 (A)1
243
(B)10
243
(C)11
243
(D)40
243
(E)51
243
。【明倫高中】 答案:(C) 解析:至少贏得 3000 元的可能有 5 勝、4 勝 5 勝:(
1
3
)
5 =1
243
4 勝:5
!
4
!
(
1
3
)
4 ×2
3
=10
243
∴所求機率為1
243
+10
243
=11
243
故選(C)3.
( )一個骰子連擲 50 次,么點的次數出現 r 次的機率為 Pr,當 Pr 為最大時,則其 r 的值為何? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E)以上皆非。【臺中一中】 答案:(B) 解析:Pr=C
r 50(
1
6
)
r(
5
6
)
50-r ,P
rP
r+1 =C
r50(
1
6
)
r(
5
6
)
50-rC
r50+1(
1
6
)
r+1(
5
6
)
50-r -1 =5r
+5
50
-r
當 0≦r 7≦ ,P
rP
r+1 <1 P r<Pr+1,即 P0<P1<P2<……<P7<P8 當 8≦r 50≦ ,P
rP
r+1 >1 P r>Pr+1,即 P8>P9>……>P49>P50 ∴P8 為最大值故選(B)
4.
( )設 p1 表示丟 2 枚均勻硬幣時,恰好出現 1 個正面的機率;p2 表示擲 2 顆公正骰子時,恰好出現 1 個偶數點的機率;p3 表示丟 4 枚均勻硬幣時,恰好出現 2 個正面的機率。試問下列選項何者正確? (A) p1=p2=p3 (B) p1=p2>p3 (C) p1=p3<p2 (D) p1=p3>p2 (E) p3>p2>p1。 答案:(B) 解析:p1=C
1 2(
1
2
) (
1
2
)
=1
2
p2=C
1 2(
3
6
) (
3
6
)
=1
2
p3=C
2 4(
1
2
)
2(
1
2
)
2 =6
16
=3
8
p1=p2>p3 故選(B)5.
( )某公司促銷活動辦法:每位顧客從裝有 4 顆白球、1 顆紅球的箱子中抽一球(每球被取到的機率 均等,且取後放回),抽到紅球的顧客可以得到福袋。設當天有 1600 位顧客,試問得到福袋的人數 期望值為何? (A) 16 (B) 256 (C) 320 (D) 400 (E) 1280。【板橋高中】 答案:(C) 解析:p=1
5
,E(X)=np=1600×1
5
=320 故選(C)八、 多重選擇題
1.
( )羿彣每天走同一條路上學,共需經過 5 個紅綠燈,已知 5 個紅綠燈是互相獨立運作的,且羿彣每 個路口碰到紅燈的機率是1
3
,則下列選項哪些是正確的? (A)羿彣上學都沒遇到紅燈的機率為 1 -(
1
3
)
5 =242
243
(B)羿彣至少碰到 4 個紅燈的機率為11
243
(C)羿彣至少碰到 1 個紅燈的機 率為211
243
(D)羿彣每天上學時,平均會遇到 2.5 個紅燈 (E)羿彣上學每個路口都遇到紅燈的機 率為 1-(
1
3
)
5 =242
243
。【明倫高中】 答案:(B)(C) 解析:(A)╳:(
2
3
)
5 (B)○:5
!
4
!
(
1
3
)
4(
2
3
)
+(
1
3
)
5 =10
243
+1
243
=11
243
(C)○:1-(
2
3
)
5 =211
243
(D)╳:5
3
(E)╳:(
1
3
)
5 故選(B)(C)2.
( )已知一枚不均勻的硬幣出現正面的機率為 p。今重複丟擲此硬幣 5 次,令 Pk 表示出現 k 次正面的 機率。若 P0=(
3
5
)
5 ,則下列敘述哪些正確? (A) p=3
5
(B) P1<P2 (C) k∑
=0 5P
k=1
(D) 至少出現 4 次正面的機率小於 0.2。【臺中女中】 答案:(B)(C)(D) 解析:依題意可知,Pk=C
k 5 pk(1-p)5-k,其中 p 為出現正面之機率 (A)╳:P0=(
3
5
)
5 =C
0 5 p0(1-p)5 (
3
5
)
5 =(1-p)5 p=2
5
(B)○:P1=C
1 5 ×(
2
5
)
1 ×(
3
5
)
4 =810
5
5 P2=C
2 5 ×(
2
5
)
2 ×(
3
5
)
3 =1080
5
5 故 P1<P2 (C)○: k∑
=0 5P
k =P0+P1+P2+……+P5,機率和為 1 (D)○:P4+P5=C
4 5 ×(
2
5
)
4 ×(
3
5
)
1 +C
55 ×(
2
5
)
5 =240
+32
5
5 =272
5
5 0.087<0.2 故選(B)(C)(D)3.
( )連續投擲一枚均勻硬幣 4 次,以隨機變數 X 表示硬幣出現正面的次數,令 E(X)=μ 為 X 的期 望值,√
Var
(X)
=σ 為 X 的標準差,則下列敘述哪些是正確的? (A) P(X=2)=3
16
(B) P(X 2≧ )=11
16
(C) X 的期望值 E(X)=μ=2 (D) X 的標準差√
Var
(X)
=σ=1 (E) P(μ-σ≦X μ≦ +σ)=7
8
。 答案:(B)(C)(D)(E) 解析:(A)╳:P(X=2)=C
24(
1
2
)
2(
1
2
)
2 =6
16
=3
8
(B)○:P(X 2≧ ) =P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) =6
16
+C
3 4(
1
2
)
3(
1
2
)
+C
44(
1
2
)
4 =11
16
(C)○:E(X)=μ=np=4×1
2
=2 (D)○:√
Var
(X)
=σ=√
np
(1-p)
=√
4×
1
2
×
1
2
=1 (E)○:P(μ-σ≦X μ≦ +σ) =P(2-1≦X 2≦ +1) =P(1≦X 3≦ ) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =C
14(
1
2
)
1(
1
2
)
3 +6
16
+4
16
=14
16
=7
8
故選(B)(C)(D)(E)4.
( )設投擲一枚不均勻的銅板,出現正面的機率為2
3
,出現反面的機率為1
3
。令 Pk 表示擲 10 次 中恰好出現 k 次正面的機率,Qk 表示擲 10 次中恰好出現 k 次反面的機率,則: (A) P8=5(
2
3
)
8 (B) P4>Q6 (C) P5=Q5 (D) P10=2
3
(E) P6>P7。 答案:(A)(C) 解析:(A)○:P8=C
8 10(
2
3
)
8(
1
3
)
2 =5(
2
3
)
8 (B)╳:P4=Q6 (C)○:P5=Q5 (D)╳:P10=C
10 10(
2
3
)
10 =(
2
3
)
10 (E)╳:P6=C
6 10(
2
3
)
6(
1
3
)
4 =10×9×8×7
1×2×3×4
×(
2
3
)
6 ×(
1
3
)
4 P7=C
7 10(
2
3
)
7(
1
3
)
3 =10×9×8
1×2×3
×(
2
3
)
7 ×(
1
3
)
3 P
6P
7 =7×
1
3
4×
2
3
=7
8
<1 P6<P7 故選(A)(C)5.
( )隨機變數 X 是一個參數為(20,0.2)的二項分布(即重複操作成功機率為 0.2 的白努利試驗 20 次,20 次中成功的次數為 X)。則下列敘述哪些為正確? (A) X 的期望值 μ 為 4 (B) X 的標準 差 σ 大於 2 (C) Var(-5X)=16 (D) P(X=2)>P(X=18) (E) P(X=2)>P(X= 3)。【臺南女中】 答案:(A)(D) 解析:(A)○:μ=E(X)=np=20×0.2=4 (B)╳:σ=√
Var
(X )
=√
np
(1-p)
=√
20×0.2×0.8
=√
3.2
<2 (C)╳:Var(-5X)=(-5)2Var(X) =25×3.2=80 P(X=2)<P(X=3) 故選(A)(D)