n 阶常系数齐次线性方程

n 阶常系数齐次线性方程

例 6 求微分方程 y⁽⁴⁾ − 2y^′′′+ 5y^′′ = 0 的通解．

例 7 求微分方程 y⁽⁴⁾ + y = 0 的通解．

例 8 求微分方程 y⁽⁴⁾ + 2y^′′+ y = 0 的通解． 例 9 求微分方程 y⁽⁵⁾ − y⁽⁴⁾ = 0 的通解．

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n 阶常系数齐次线性方程

例 6 求微分方程 y⁽⁴⁾ − 2y^′′′+ 5y^′′ = 0 的通解．

例 7 求微分方程 y⁽⁴⁾ + y = 0 的通解．

例 8 求微分方程 y⁽⁴⁾ + 2y^′′+ y = 0 的通解． 例 9 求微分方程 y⁽⁵⁾ − y⁽⁴⁾ = 0 的通解．

. 1 2 3 4 5 678

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ

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n 阶常系数齐次线性方程

例 6 求微分方程 y⁽⁴⁾ − 2y^′′′+ 5y^′′ = 0 的通解．

例 7 求微分方程 y⁽⁴⁾ + y = 0 的通解．

例 8 求微分方程 y⁽⁴⁾ + 2y^′′+ y = 0 的通解．

例 9 求微分方程 y⁽⁵⁾ − y⁽⁴⁾ = 0 的通解．

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n 阶常系数齐次线性方程

例 6 求微分方程 y⁽⁴⁾ − 2y^′′′+ 5y^′′ = 0 的通解．

例 7 求微分方程 y⁽⁴⁾ + y = 0 的通解．

例 8 求微分方程 y⁽⁴⁾ + 2y^′′+ y = 0 的通解．

例 9 求微分方程 y⁽⁵⁾ − y⁽⁴⁾ = 0 的通解．

. 1 2 3 4 5 678

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ

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复习与提高

题 1 求微分方程 y^′′+ y = 0 的通解．

题 2 求一个以 y₁ = e^，y₂ = 2e^，y₃ = cos 2， y4 = 3 sin 2 为特解的 4 阶常系数齐次线性微分方 程，并求其通解．

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复习与提高

题 1 求微分方程 y^′′+ y = 0 的通解．

题 2 求一个以 y₁ = e^，y₂ = 2e^，y₃ = cos 2，

y4 = 3 sin 2 为特解的 4 阶常系数齐次线性微分方 程，并求其通解．

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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研究二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ ()

· · · ·

由第六节和第七节的结论，只需讨论求该微分方程的 一个特解的方法．

· · · ·

1 ƒ() = e^λPm() 型

2 ƒ() = e^λP() cos ω + Qⁿ() sin ω^ 型

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ƒƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ

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研究二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ ()

· · · ·

由第六节和第七节的结论，只需讨论求该微分方程的 一个特解的方法．

· · · ·

1 ƒ() = e^λPm() 型

2 ƒ() = e^λP() cos ω + Qⁿ() sin ω^ 型

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研究二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ ()

· · · ·

由第六节和第七节的结论，只需讨论求该微分方程的 一个特解的方法．

· · · ·

1 ƒ() = e^λPm() 型

2 ƒ() = e^λP() cos ω + Qⁿ() sin ω^ 型

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ƒƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ

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问题 1 求二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ ()

的一个特解，其中 ƒ() = e^λPm()，Pm() 是 m 次 多项式．

解法 设方程的一个特解为 y^∗ = ^kQm()e^λ，其中 k 等于 λ 作为特征方程的根的重数．用待定系数法确 定 Qm()．

注记 对 n 阶常系数非齐次线性微分方程有同样解法．

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问题 1 求二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ ()

的一个特解，其中 ƒ() = e^λPm()，Pm() 是 m 次 多项式．

解法 设方程的一个特解为 y^∗ = ^kQm()e^λ，其中 k 等于 λ 作为特征方程的根的重数．用待定系数法确 定 Qm()．

注记 对 n 阶常系数非齐次线性微分方程有同样解法．

. 1 2 3 4 5 6 78

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ƒƒƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ

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问题 1 求二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ ()

的一个特解，其中 ƒ() = e^λPm()，Pm() 是 m 次 多项式．

解法 设方程的一个特解为 y^∗ = ^kQm()e^λ，其中 k 等于 λ 作为特征方程的根的重数．用待定系数法确 定 Qm()．

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例 1 求方程 y^′′− 2y^′ − 3y = 3 + 1 的一个特解．

例 2 求微分方程 y^′′− 5y^′ + 6y = e^2 的通解．

. 1 2 3 4 5 6 78

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ƒ ƒƒƒ ƒ  ƒ ƒ

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例 1 求方程 y^′′− 2y^′ − 3y = 3 + 1 的一个特解．

例 2 求微分方程 y^′′− 5y^′ + 6y = e^2 的通解．

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问题 2 求二阶常系数非齐次线性微分方程 y^′′+ py^′+ qy = ƒ () 的一个特解，其中

ƒ() = e^λP_() cos ω + Qn() sin ω^, P() 是  次多项式，Qⁿ() 是 n 次多项式．

解法 设方程的一个特解为

y^∗ = ^ke^λRm() cos ω + S^m() sin ω^, 其中 m = mx{^,n}，k 等于 λ+ ω 作为特征方程 的根的重数．用待定系数法确定 R () 和 S ()．

注记 对 n 阶常系数非齐次线性微分方程有同样解法．

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例 3 求微分方程 y^′′+ y =  cos 2 的一个特解．

例 4 求微分方程 y^′′− y = e^cos 2 的一个特解．

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例 3 求微分方程 y^′′+ y =  cos 2 的一个特解．

例 4 求微分方程 y^′′− y = e^cos 2 的一个特解．

. 1 2 3 4 5 6 78

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ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ

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复习与提高

题 1 求二阶微分方程 y^′′+ 4y^′ + 4y = e^α 的通解．

题 2 求二阶微分方程 y^′′− 2y^′− 3y = e^ + 3 + 1 的通解．

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复习与提高

题 1 求二阶微分方程 y^′′+ 4y^′ + 4y = e^α 的通解．

题 2 求二阶微分方程 y^′′− 2y^′− 3y = e^ + 3 + 1 的通解．

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ

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复习与提高

选择 微分方程 y^′′ + y = ²+ 1 + sin  的特解形式 可设为· · · ·( ) (A) y^∗ = ²+ b + c + (A sin  + B cos )

(B) y^∗ = (²+ b + c + A sin  + B cos ) (C) y^∗ = ²+ b + c + A sin 

(D) y^∗ = ²+ b + c + A cos 

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复习与提高

选择 已知常系数线性微分方程 y^′′+ y^′+ by = ce^ 有特解 y^∗ = e^−(1 + e^2)，则· · · ·( ) (A)  = 0，b = 1，c = 2

(B)  = 0，b = 1，c = −2 (C) = 0，b = −1，c = 2 (D)  = 0，b = −1，c = −2

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒƒ

在文檔中 微分方程 (頁 174-197)