微分方程

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第七章·微分方程

.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系吕荐瑞

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微分方程的基本概念

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第一节

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可分离变量微分方程

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第二节

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齐次微分方程

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第三节

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一阶线性微分方程

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第四节

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可降阶的高阶微分方程

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第五节

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定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程． 其中出现的导数的最高阶数 n，称为 微分方程的阶．例子判别下列微分方程的阶数： (1) dy d + y =  (2)  d− y2dy = 0 (3) y′′ + y′ = e .

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定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程．其中出现的导数的最高阶数 n，称为微分方程的阶．例子判别下列微分方程的阶数： (1) dy d + y =  (2)  d− y2dy = 0 (3) y′′ + y′ = e

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定义 1 含有未知函数的导数或微分的方程 F(,y,y′,y′′,· · · ,y(n)) = 0 称为微分方程．其中出现的导数的最高阶数 n，称为微分方程的阶．例子判别下列微分方程的阶数： (1) dy d + y =  (2)  d− y2dy = 0 (3) y′′ + y′ = e .

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此} y = 2+ 2 · · · · 特解

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此} y = 2+ 2 · · · · 特解 .

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．} 因此 y = 2+ 2 · · · · 特解

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数） · · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此} y = 2+ 2 · · · · 特解 .

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数）· · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此} y = 2+ 2 · · · · 特解

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数）· · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此} y = 2+ 2 · · · · 特解 .

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例 1 求解一阶微分方程    dy d = 2 y_₌₁ = 3 · · · · · 初始条件解答对方程两边积分，得到 y = 2+ C（C 为任意常数）· · · · 通解 将  _{= 1 时 y = 3 代入上式，得到 C = 2．因此} y = 2+ 2 · · · · 特解

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例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y_₌₀ = 0, y′_₌₀ = 1. 解答对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数）再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2_{+ C} 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2_{+ } _{· · · ·} _特解 .

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例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y_₌₀ = 0, y′_₌₀ = 1. 解答对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数）再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2_{+ C} 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2_{+ } _{· · · ·} _特解

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例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y_₌₀ = 0, y′_₌₀ = 1. 解答对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数）再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2_{+ C} 1+ C2（C1,C2 为常数） · · · 通解将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2_{+ } _{· · · ·} _特解 .

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例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y_₌₀ = 0, y′_₌₀ = 1. 解答对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数）再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2_{+ C} 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 y = −1 2 2_{+ } _{· · · ·} _特解

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例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y_₌₀ = 0, y′_₌₀ = 1. 解答对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数）再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2_{+ C} 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0． 因此 y = −1 2 2_{+ } _{· · · ·} _特解

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例 2 求解二阶微分方程 ( y′′ = −1, y_₌₀ = 0, y′_₌₀ = 1. 解答对方程两边积分，得到 .. 1 y′ = − + C1（C1 为常数）再对前式两边积分，得到 .. 2 y = − 1 2 2_{+ C} 1+ C2（C1,C2 为常数）· · · 通解将初始条件 y′|=0 = 1 代入 1..，得到 C1 = 1． 将初始条件 y|=0 = 0 代入 2..，得到 C2 = 0．因此 · · · · 特解

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微分方程的基本概念

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第一节

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可分离变量微分方程

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第二节

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齐次微分方程

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第三节

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一阶线性微分方程

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第四节

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可降阶的高阶微分方程

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第五节

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一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为 F_(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y_|=₀ = y0. 在这一章中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程 .

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一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为 F_(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y_|=₀ = y0. 在这一章中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程

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一阶微分方程

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一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为 F_(,y,y′) = 0．对应的 初始条件为 y_|=₀ = y0. 在这一章中，我们将研究 3 种一阶微分方程： 1 可分离变量微分方程 2 齐次微分方程 3 一阶线性微分方程

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一阶微分方程

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㈠可分离变量微分方程

形如 ƒ_{(y) dy = g() d 的方程称为}可分离变量微分

方程．

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㈠可分离变量微分方程

形如 ƒ_{(y) dy = g() d 的方程称为}可分离变量微分方程．对这种方程的两边同时积分，就可以求出它的通解． .

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可分离变量微分方程

例 1 求微分方程 dy d = − y  的通解．练习 1 求微分方程 _{(1 + y) d − (1 − ) dy = 0 的} 通解．

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可分离变量微分方程

例 1 求微分方程 dy d = − y  的通解．练习 1 求微分方程 _{(1 + y) d − (1 − ) dy = 0 的} 通解． .

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可分离变量微分方程

例 2 求微分方程 y′ _{= −} y 在初始条件 y|=0 = 1 下 的特解．练习 2 求微分方程  1+ y d− y 1+  dy = 0 满足初 始条件 y_|₌₀ = 1 的特解．

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可分离变量微分方程

例 2 求微分方程 y′ _{= −} y 在初始条件 y|=0 = 1 下 的特解．练习 2 求微分方程  1+ y d− y 1+  dy = 0 满足初 始条件 y_|₌₀ = 1 的特解． .

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可分离变量微分方程

例 3 求微分方程 y′ _{= 2y}2 _{的通解，以及在初始条} 件 y_₌₀ _{= −1 下的特解．} 解答 通解为 y _{= −} 1 2+ C．注记通解 _̸= 全部解．

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可分离变量微分方程

例 3 求微分方程 y′ _{= 2y}2 _{的通解，以及在初始条} 件 y_₌₀ _{= −1 下的特解．} 解答 通解为 y _{= −} 1 2+ C．注记通解 _̸= 全部解． .

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可分离变量微分方程

例 3 求微分方程 y′ _{= 2y}2 _{的通解，以及在初始条} 件 y_₌₀ _{= −1 下的特解．} 解答 通解为 y _{= −} 1 2+ C．注记通解 _̸= 全部解．

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可分离变量微分方程

复习 1 求方程 y d₊p1− 2_dy _{= 0 的通解．} .

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微分方程的基本概念

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第一节

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可分离变量微分方程

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第二节

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齐次微分方程

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第三节

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一阶线性微分方程

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第四节

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可降阶的高阶微分方程

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第五节

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㈡齐次微分方程

形如 dy d = ƒ _y  的微分方程称为齐次微分方程．例如： dy d =  − 2y + y dy d = y2 y− 2 .

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㈡齐次微分方程

形如 dy d = ƒ _y  的微分方程称为齐次微分方程．例如： dy d =  − 2y + y dy y2

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齐次微分方程的解法

1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令  = y ， 则有 y _{= ，} 从而 dy d =  d d + ．代入原方程得到 d d +  = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() −  = d  4 两边积分：得到通解，然后将  代回 .

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齐次微分方程的解法

1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令  = y ，则有 y = ， 从而 dy d =  d d + ．代入原方程得到 d d +  = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() −  = d  4 两边积分：得到通解，然后将  代回

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齐次微分方程的解法

1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令  = y ，则有 y = ， 从而 dy d =  d d + ． 代入原方程得到 d d +  = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() −  = d  4 两边积分：得到通解，然后将  代回 .

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齐次微分方程的解法

1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令  = y ，则有 y = ， 从而 dy d =  d d + ．代入原方程得到 d d +  = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() −  = d  4 两边积分：得到通解，然后将  代回

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齐次微分方程的解法

1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令  = y ，则有 y = ， 从而 dy d =  d d + ．代入原方程得到 d d +  = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() −  = d  4 两边积分：得到通解，然后将  代回 .

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齐次微分方程的解法

1 标准化：将微分方程化为 dy d = ƒ ( y ) 2 换元：令  = y ，则有 y = ， 从而 dy d =  d d + ．代入原方程得到 d d +  = ƒ () 3 分离变量：得到 d ƒ() −  = d 

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齐次微分方程

例 1 求 dy d = y2 y−2 的通解．练习 1 求微分方程 y′ ₌ y+_ 的通解． .

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齐次微分方程

例 1 求 dy d = y2 y−2 的通解．练习 1 求微分方程 y′ ₌ y+_ 的通解．

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例 2 求微分方程 tny  + y d =  dy 在初始条 件 y_|₌₂ = π 下的特解． 解答方程即为 dy d = tn y  + y ． 令  ₌ y ，得到  d d +  = tn  + ． 分离变量，得到 cot  d ₌ d  ．两边积分，得到 ln_{| sin | = ln || + C}0． 整理等式，得到 sin  _{= C，即 sin} y  = C． 代入初始条件，得到 C ₌ 1 2，故特解为 sin y  = 1 2． .

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例 2 求微分方程 tny  + y d =  dy 在初始条 件 y_|₌₂ = π 下的特解． 解答方程即为 dy d = tn y  + y ． 令  ₌ y ，得到  d d +  = tn  + ． 分离变量，得到 cot  d ₌ d  ．两边积分，得到 ln_{| sin | = ln || + C}0． 整理等式，得到 sin  _{= C，即 sin} y  = C． 代入初始条件，得到 C ₌ 1 2，故特解为 sin y  = 1 2．

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例 2 求微分方程 tny  + y d =  dy 在初始条 件 y_|₌₂ = π 下的特解． 解答方程即为 dy d = tn y  + y ． 令  ₌ y ，得到  d d +  = tn  + ． 分离变量，得到 cot  d ₌ d  ．两边积分，得到 ln_{| sin | = ln || + C}0． 整理等式，得到 sin  _{= C，即 sin} y  = C． 代入初始条件，得到 C₌ 1 2，故特解为 sin y  = 1 2． .

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例 2 求微分方程 tny  + y d =  dy 在初始条 件 y_|₌₂ = π 下的特解． 解答方程即为 dy d = tn y  + y ． 令  ₌ y ，得到  d d +  = tn  + ． 分离变量，得到 cot  d ₌ d  ．两边积分，得到 ln_{| sin | = ln || + C}0． 整理等式，得到 sin  _{= C，即 sin} y  = C． 代入初始条件，得到 C₌ 1 2，故特解为 sin y  = 1 2．

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例 2 求微分方程 tny  + y d =  dy 在初始条 件 y_|₌₂ = π 下的特解． 解答方程即为 dy d = tn y  + y ． 令  ₌ y ，得到  d d +  = tn  + ． 分离变量，得到 cot  d ₌ d  ．两边积分，得到 ln_{| sin | = ln || + C}0． 整理等式，得到 sin  _{= C，即 sin} y _{= C．} 代入初始条件，得到 C₌ 1 2，故特解为 sin y  = 1 2．

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练习 2 求微分方程 _(2 _{+ y}2_{) d − y dy = 0 在初}

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齐次微分方程

复习 1 求微分方程 _{( + y) d +  dy = 0 的通解．} .

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可分离变量微分方程

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第二节

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齐次微分方程

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第三节

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一阶线性微分方程

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第四节

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可降阶的高阶微分方程

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第五节

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高阶线性微分方程

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第六节

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㈢一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q_{() ≡ 0，称为}一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q_{() ̸≡ 0，称为}一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′ + y = 2 3 (2) y′ + y2 = sin  7 (3) yy′+ y = 1 7 .

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1 2 345 6 7 8  

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㈢一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q_{() ≡ 0，称为}一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q_{() ̸≡ 0，称为}一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′ + y = 2 3 (2) y′ + y2 = sin  7 (3) yy′+ y = 1 7

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㈢一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q_{() ≡ 0，称为}一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q_{() ̸≡ 0，称为}一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′+ y = 2 3 (2) y′ + y2 = sin  7 (3) yy′+ y = 1 7 .

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1 2 345 6 7 8  

(62)

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㈢一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q_{() ≡ 0，称为}一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q_{() ̸≡ 0，称为}一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′+ y = 2 3 (2) y′+ y2 = sin  7 (3) yy′+ y = 1 7

(63)

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㈢一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′+ p()y = q()． 若 q_{() ≡ 0，称为}一阶线性齐 · 次· 微分方程 若 q_{() ̸≡ 0，称为}一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 · · · · (1) y′+ y = 2 3 (2) y′+ y2 = sin  7 (3) yy′+ y = 1 7 .

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1 2 345 6 7 8  

(64)

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一阶线性齐次微分方程

先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C _{= ±e}C₀_） y = Ce− ∫ p() d

(65)

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一阶线性齐次微分方程

先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C _{= ±e}C₀_） y = Ce− ∫ p() d .

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1 2 345 6 7 8  

(66)

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一阶线性齐次微分方程

先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C _{= ±e}C₀_） y = Ce− ∫ p() d

(67)

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一阶线性齐次微分方程

先看一阶线性齐 · 次· 微分方程 y′+ p()y = 0． · · · · 分离变量得到 dy y = −p() d 两边同时积分，得到 ln|y| = − ∫ p() d + C0 消去对数，得到通解为（其中 C _{= ±e}C₀_） y = Ce− ∫ p() d .

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1 2 345 6 7 8  

(68)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 1 求微分方程 y′₊ 1_ y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′+ y =  2 合并左边：(y)′ =  3 两边积分：y = 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 

(69)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 1 求微分方程 y′₊ 1_ y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′+ y =  2 合并左边：(y)′ =  3 两边积分：y = 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2+ C 1  .

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1 2 345 6 7 8  

(70)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 1 求微分方程 y′₊ 1_ y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y =  2 合并左边：(y)′ =  3 两边积分：y = 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 

(71)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 1 求微分方程 y′₊ 1_ y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y =  2 合并左边：(y)′ =  3 两边积分：y = 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2+ C 1  .

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1 2 345 6 7 8  

(72)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 1 求微分方程 y′₊ 1_ y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y =  2 合并左边：(y)′ =  3 两边积分：y = 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2+ C 1 

(73)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 1 求微分方程 y′₊ 1_ y = 1 的通解． 1 恒等变形：y′ + y =  2 合并左边：(y)′ =  3 两边积分：y = 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2+ C 1  .

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1 2 345 6 7 8  

(74)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 2 求微分方程 y′₋ 1_ y = 2 _的通解． 1 恒等变形：1  y′− 1 2 y =  2 合并左边： ₁  y ′ =  3 两边积分：1  y= 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2 3_{+ C}

(75)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 2 求微分方程 y′₋ 1_ y = 2 的通解． 1 恒等变形：1  y′− 1 2 y =  2 合并左边： ₁  y ′ =  3 两边积分：1  y= 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2 3_{+ C} .

.

1 2 345 6 7 8  

(76)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 2 求微分方程 y′₋ 1_ y = 2 的通解． 1 恒等变形：1  y′− 1 2 y =  2 合并左边： ₁  y ′ =  3 两边积分：1  y= 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2 3_{+ C}

(77)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

.

1 2 345 6 7 8  

(78)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 2 求微分方程 y′₋ 1_ y = 2 的通解． 1 恒等变形：1  y′− 1 2 y =  2 合并左边： ₁  y ′ =  3 两边积分：1  y= 1 2 2_{+ C} 4 得到通解：y = 1 2 3_{+ C}

(79)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

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1 2 345 6 7 8  

(80)

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 3 求微分方程 y′_{+ y = 1 的通解．} 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce−

(81)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 例 3 求微分方程 y′_{+ y = 1 的通解．} 1 恒等变形：ey′+ ey = e 2 合并左边：(ey)′ = e 3 两边积分：ey = e + C 4 得到通解：y = 1 + Ce− .

.

1 2 345 6 7 8  

(82)

.

一阶线性非齐次微分方程

(83)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

.

1 2 345 6 7 8  

(84)

.

一阶线性非齐次微分方程

(85)

. .

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一阶线性非齐次微分方程

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1 2 345 6 7 8  

(86)

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积分因子法

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？

(87)

. .

.

积分因子法

再看一阶线性非 · 齐· 次· 微分方程 y′+ p()y = q()． · · · · 1 恒等变形：()y′+ p()()y= q()() 2 合并左边： () y′ = q()() 3 两边积分：() y = ∫ q()() d + C 4 得到通解：y = 1 () ∫ q()() d + C 问题积分因子 () 是否一定存在？如何求出它？ .

.

1 2 345 6 7 8  

(88)

.

积分因子法

(89)

. .

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积分因子法

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1 2 345 6 7 8  

(90)

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积分因子法

(91)

. .

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积分因子法

.

1 2 345 6 7 8  

(92)

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积分因子法

问题 寻找  _{= () 使得  y}′_{+ p()  y = ( y)}′．解答 展开等式右边得  y′_{+ p()  y =  y}′_{+ }′y． 化简条件：p_{()  = }′，即 p_{()  =} d d 分离变量：d  = p() 求解方程：ln  ₌ ∫ p() d，即  = e∫p() d

(93)

. .

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积分因子法

问题 寻找  _{= () 使得  y}′_{+ p()  y = ( y)}′．解答 展开等式右边得  y′_{+ p()  y =  y}′_{+ }′y． 化简条件：p_{()  = }′，即 p_{()  =} d d 分离变量：d  = p() 求解方程：ln  ₌ ∫ p() d，即  = e∫p() d .

.

1 2 345 6 7 8  

(94)

.

积分因子法

问题 寻找  _{= () 使得  y}′_{+ p()  y = ( y)}′．解答 展开等式右边得  y′_{+ p()  y =  y}′_{+ }′y． 化简条件：p_{()  = }′， 即 p_{()  =} d d 分离变量：d  = p() 求解方程：ln  ₌ ∫ p() d，即  = e∫p() d

(95)

. .

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积分因子法

问题 寻找  _{= () 使得  y}′_{+ p()  y = ( y)}′．解答 展开等式右边得  y′_{+ p()  y =  y}′_{+ }′y． 化简条件：p_{()  = }′，即 p_{()  =} d d 分离变量：d  = p() 求解方程：ln  ₌ ∫ p() d，即  = e∫p() d .

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1 2 345 6 7 8  

(96)

.

积分因子法

问题 寻找  _{= () 使得  y}′_{+ p()  y = ( y)}′．解答 展开等式右边得  y′_{+ p()  y =  y}′_{+ }′y． 化简条件：p_{()  = }′，即 p_{()  =} d d 分离变量：d  = p() 求解方程：ln  ₌ ∫ p() d，即  = e∫p() d

(97)

. .

.

积分因子法

问题 寻找  _{= () 使得  y}′_{+ p()  y = ( y)}′．解答 展开等式右边得  y′_{+ p()  y =  y}′_{+ }′y． 化简条件：p_{()  = }′，即 p_{()  =} d d 分离变量：d  = p() 求解方程：ln  ₌ ∫ p() d，即  = e ∫ p() d .

.

1 2 345 6 7 8  

(98)

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一阶线性微分方程的通解

对一阶线性非齐次微分方程 y′+ p()y = q() 令积分因子为 () = e ∫ p() d 则方程的通解为 y = 1 () ∫ q()() d + C

(99)

. .

.

一阶线性微分方程的通解

对一阶线性非齐次微分方程 y′+ p()y = q() 令积分因子为 () = e ∫ p_{() d} 则方程的通解为 y = 1 () ∫ q()() d + C .

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1 2 345 6 7 8  

(100)

.

一阶线性微分方程的通解

对一阶线性非齐次微分方程 y′+ p()y = q() 令积分因子为 () = e ∫ p_{() d} 则方程的通解为 y = 1 () ∫ q()() d + C

(101)

. .

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一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′_{+ p()y = q() 的通解为} y = e− ∫ p() d ∫ q()e ∫ p() d_d_{+ C} · · · · 注记 1 公式已经包含了任意常数，因此计算积分时不需要再加上任意常数．注记 2 若 ∫ p() d = ln |ƒ ()|，则代入公式时去掉绝对值号不影响结果． .

.

1 2 345 6 7 8  

(102)

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一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′_{+ p()y = q() 的通解为} y = e− ∫ p() d ∫ q()e ∫ p() d_d_{+ C} · · · · 注记 1 公式已经包含了任意常数，因此计算积分时不需要再加上任意常数．注记 2 若 ∫ p() d = ln |ƒ ()|，则代入公式时去掉绝对值号不影响结果．

(103)

. .

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一阶线性微分方程

一阶线性微分方程 y′_{+ p()y = q() 的通解为} y = e− ∫ p() d ∫ q()e ∫ p() d_d_{+ C} · · · · 注记 1 公式已经包含了任意常数，因此计算积分时不需要再加上任意常数．注记 2 若 ∫ p() d = ln |ƒ ()|，则代入公式时去掉绝对值号不影响结果． .

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1 2 345 6 7 8  

(104)

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一阶线性微分方程

例 4 求 y′₋ 2 + 1y = ( + 1) 3 _的通解．练习 1 求 y′_{+ y = e}− 的通解．

(105)

. .

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一阶线性微分方程

例 4 求 y′₋ 2 + 1y = ( + 1) 3 _的通解．练习 1 求 y′_{+ y = e}− 的通解． .

.

1 2 345 6 7 8  

(106)

.

复习与提高

复习 1 求一阶微分方程 y′ _{+ y = 3}2 _{在初始条件} y|=1 = 0 下的特解． 解答 通解 y₌ 1  3+ C，特解 y ₌ 1  3− 1．

(107)

. .

.

复习与提高

复习 1 求一阶微分方程 y′ _{+ y = 3}2 _{在初始条件} y|=1 = 0 下的特解． 解答 通解 y₌ 1  3+ C，特解 y ₌ 1  3− 1． .

.

1 2 345 6 7 8  

(108)

.

复习与提高

题 1 求微分方程 dy d = 1 + y．注记 d dy + p(y) = q(y) 也是一阶线性微分方程．

(109)

. .

.

复习与提高

题 1 求微分方程 dy d = 1 + y．注记 d dy + p(y) = q(y) 也是一阶线性微分方程． .

.

1 2 345 6 7 8  

(110)

.

复习与提高

题 2 求可导函数 φ_{()，使其满足} φ() + ∫  0 φ(t) dt = e. 解答求导得到微分方程，解得 φ_{() =} 1₂_(e _{+ e}−_)．

(111)

. .

.

复习与提高

题 2 求可导函数 φ_{()，使其满足} φ() + ∫  0 φ(t) dt = e. 解答求导得到微分方程，解得 φ_{() =} 1₂_(e _{+ e}−_)． .

.

1 2 345 6 7 8  

(112)

.

齐次微分方程

.

第三节

.

一阶线性微分方程

.

第四节

.

可降阶的高阶微分方程

.

第五节

.

高阶线性微分方程

.

第六节

.

常系数齐次线性微分方程

.

第七节

(113)

. .

.

㈠ y

′′

= ƒ () 型

解法逐次积分．例 1 求 y′′ _{= e}2 _的通解． .

.

1 2 3 456 7 8  

(114)

.

㈠ y

′′

= ƒ () 型

解法逐次积分．

(115)

. .

.

㈡ y

′′

= ƒ (

,

y

′

) 型

解法 令 p _{= y}′，则 y′′ _{= p}′，方程变成 p′ = ƒ (,p). 例 2 求 y′′ ₌ 1_y′ 的通解．练习 1 求 y′′ _{+ y}′ _{= 0 的通解．} .

.

1 2 3 456 7 8 

(116)

.

㈡ y

′′

= ƒ (

,

y

′

) 型

解法 令 p _{= y}′，则 y′′ _{= p}′，方程变成 p′ = ƒ (,p). 例 2 求 y′′ ₌ 1_y′ 的通解．练习 1 求 y′′ _{+ y}′ _{= 0 的通解．}

(117)

. .

.

㈡ y

′′

= ƒ (

,

y

′

) 型

解法 令 p _{= y}′，则 y′′ _{= p}′，方程变成 p′ = ƒ (,p). 例 2 求 y′′ ₌ 1_y′ 的通解．练习 1 求 y′′_{+ y}′ _{= 0 的通解．} .

.

1 2 3 456 7 8 

(118)

.

㈢ y

′′

= ƒ (y

,

y

′

) 型

解法 令 p _{= y}′，则 y′′ _{= p}dp dy，方程变成 pdp dy = ƒ (y,p). 例 3 求方程 y′′ ₌ 3₂y2 _{满足初始条件 y}_| =3 = 1， y′|=3 = 1 的特解． 练习 2 求 y′′ _{= 3py 满足初始条件 y|}=0 = 1， y′|=0 = 2 的特解．