Seeking for relative descent

在上一章有了 relative inversion, 我們自然會想問有沒有 relative descent.

這個章節我們就是要討論如何定義 relative descent 以及它的相關性質.

首先我們從 Remark 2.1.4 可以看出一件事, 對於 σ = _σ1σ2· · ·σn ∈ ^Sn, 在算 (related) k-inversion 時, 其實相當於用新的大小關係 ≺k 去算 σ 的 inversion. 因此對於π =_a1a2· · ·an, 如果我們要算 (related)π-inversion 時, 其實就是先算在≺a1 之下σ1σ2· · ·σiσi+1· · ·σn的 inversion, 接著算≺a2 之下 σ2σ3· · ·σiσi+1· · ·σn 的 inversion, 一路算到≺a_n−1 之下σn+1σn 的 inversion, 再把這些 inversion 加起來就是我們要的 inv_π(_σ).

利用這件事, 我們就可以來定義一個函數 g : Sn×^Sn → ^Sn, 送法為 下: 我們考慮一個集合 S = {1, 2,· · · , n}^{, 接著給定} σ = _σ1σ2· · ·σn,π = a1a2· · ·an ∈ ^Sn, 先觀察 σ1 在 σ1· · ·σn 用 ≺a1 這個大小關係之下是第幾大 的, 我們就將 S 中第幾大的元素其記為 ω1(∈ S), 並將其從 S 中去掉, 接著

看 σ2 在 σ2· · ·σn 用 ≺a₂ 這個大小關係之下是第幾大的, 就將 S\ω1 中第幾

大的元素其記為 ω2(∈ S\ω1), 並將其去掉, 重複此動作, 直到 S 中只剩最 後一個元素, 則記為ωn. 而我們就得到 g(_{σ, π}) =_ω =_ω1ω2· · ·ωn∈ ^Sn. Example 3.2.1. 我們來算 g(3421, 1234)_{, 首先考慮 S} = {^{1, 2, 3, 4}}^{, 用}≺1

這個大小關係之下看 3 是在 3421 當中第 3 大的, 所以 ω1 = 2, 接著 看用 ≺2 這個大小關係之下看 4 在 421 當中是第 3 大的, 所以 ω2 就是 S\ω1={^{1, 3, 4}}中第 3 大的 1, 再看用≺3 這個大小關係之下看 2 在 21 當 中是第 1 大的, 所以 ω3 就是{^{3, 4}} 中第 1 大的 4, 剩下的 3 就是 ω4, 因此 ω= _ω1ω2ω3ω4=2143.

Example 3.2.2. 我們將 S₃ 上 g(_{σ, 123}), des₁₂₃(_σ) 和 maj₁₂₃(_σ) 的數據整 理成表格的結果如下:

σ g(_{σ, 123}) des₁₂₃(_σ) maj₁₂₃(_σ)

123 321 2 3

132 312 1 1

213 132 1 2

231 123 0 0

312 213 1 1

321 231 1 2

Table 3.1: S₃ 上 g(_{σ, 123}), des₁₂₃(_σ)和 maj₁₂₃(_σ)的分佈情況

因為在 S 中每個排列的大小關係都是唯一的, 所以我們可以簡單的確認 這個函數 g 是映成 (onto) 的, 而且如果你固定π, 那 g(−^,π)會是一對一且 映成的。特別地, 利用我們上面的觀察, 我們可以得知 inv_π(_σ) =inv(_ω), 因 此我們就可以接著定義 relative descent.

Definition 3.2.3. 利用上面所定義的函數 g, 對於排列 σ, 給定另一個排 列 _π, 我們將 _σ 的 (relative) π-descent 定義為 des_π(_σ) = des(_g(_{σ, π})) = des(_ω). 而且 maj_π(_σ) =maj(_g(_{σ, π})) =maj(_ω).

結合了函數 g 的性質和 Foata’s bijection, 我們可以推得 maj_π(_σ) = maj(_ω) =inv(_φ(_ω)) =inv_π(_δ) 對某些 δ 滿足 g(_{δ, π}) = _φ(_ω), 則我們就有 類似 Theorem 1.1.6 的結果.

Theorem 3.2.4.

σ

∑

q^invπ(σ)=

∑

σ∈Sn

q^majπ(σ). (3.2) 接著我們會想問在 relative descent 上有沒有類似 Theorem 2.2.3 的結 果, 根據程式跑出來的數據, 我們猜測是有的:

Conjecture 1. 已知_π1,π2 兩個排列在weak Bruhat order上有連線且恰為 第i, i+1個位置對調,跑遍所有_σ∈^Sn後,聯合分佈 (des_π1(S_n), des_π2(S_n)) 具有對稱性,也就是說 (des_π1, des_π2)是一組對稱聯合分佈.

我們來看一下在 S₃ 上 des_π(_σ)和 maj_π(_σ)的情況:

σ des₁₂₃(_σ) des₁₃₂(_σ) des₂₁₃(_σ) des₂₃₁(_σ) des₃₁₂(_σ) des₃₂₁(_σ)

123 2 1 1 1 0 1

132 1 2 1 1 1 0

213 1 0 2 1 1 1

231 0 1 1 2 1 1

312 1 1 1 0 2 1

321 1 1 0 1 1 2

Table 3.2: S₃ 上 des_π(_σ) 的分佈情況

σ maj₁₂₃(_σ) maj₁₃₂(_σ) maj₂₁₃(_σ) maj₂₃₁(_σ) maj₃₁₂(_σ) maj₃₂₁(_σ)

123 3 1 1 1 0 2

132 1 3 2 2 2 0

213 2 0 3 1 2 2

231 0 2 1 3 1 1

312 1 1 2 0 3 1

321 2 2 0 2 1 3

Table 3.3: S₃ 上 maj_π(_σ)的分佈情況

在 S₄ 之後的數據因為表格太大放不下所以就先省略, 但是我們可以從 中看出分佈狀況並不那麼有規律, 也沒有像 Proposition 2.2.1 一樣可以從相 同的條件去分類討論, 因此如何去有效地做分類以及還有沒有其他性質是個 問題, 另外, 我們也在嘗試其他統計量上的結果, 像是 relative major index, 或是考慮 left weak Bruhat order 上有沒有其他對稱性質, 這些都是我們之 後要繼續努力的方向之一.

Chapter 4

Concluding remarks and problems

在這篇論文中我們證明了 Theorem 2.2.3 : 若π1,π2 在 weak Bruhat order 上有連線, 則這兩個統計量所形成的聯合分佈 (joint distribution) 是對稱的.

亦即(inv_π1, inv_π2)∼ (^inv_π2, inv_π1). 並且將 π1,π2 改成相差一個相鄰轉置的 任何字串 W1,W2, 結論仍然成立 (Theorem 2.2.4).

然而我們還留下許多問題有待解決, 詳細描述如下:

首先, 我們的主要定理並非若且唯若 (if and only if), 亦即(inv_π1, inv_π2)∼ (inv_π2, inv_π1)時不一定保證 π1,π2 在 weak Bruhat order 上必然有連線. 例 如我們考慮 π1 =2143,π2 = 1234 時, 兩者並不連線, 但有 (inv_π1, inv_π2)∼ (inv_π2, inv_π1)發生. 因此根本的問題如下:

Problem 1. 刻畫 π1,π2 的條件, 使得 (inv_π1, inv_π2)∼ (^invπ2, inv_π1). 接著我們觀察下圖 (同 Figure 2.1), S₄ 上的 π1,π2 在 Bruhat order 上 的連線按照(inv_π1, inv_π2)的分佈可以形成七類不同的情況.

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Figure 4.1: The permutohedron of S₄

根據我們的主要定理 (Theorem 2.2.3) 可以得知, 這些分佈是對主對角線

第二類 (綠色):

0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 3 0 0 2 0 3 1 0 0 4 0 0 1 4 0 2 0 0 3 0 0 5 0 0 2 0 0 1 0 6 0 0 0 1 0 0 0

第三類 (粉色):

0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 2 1 0 2 0 2 0 0 3 0 2 0 2 0 2 0 4 0 0 2 0 2 0 1 5 0 0 0 2 0 1 0 6 0 0 0 0 1 0 0

第四類 (紅色):

0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 0 0 0 3 0 0 3 0 3 0 0 4 0 0 0 3 2 0 0 5 0 0 0 0 0 2 1 6 0 0 0 0 0 1 0

第五類 (黃色):

0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 2 0 0 3 0 3 1 0 0 4 0 0 1 4 0 3 0 0 2 0 0 5 0 0 3 0 0 0 0 6 0 0 0 1 0 0 0

我們發現以上五類都有 180 度對稱和反對角線對稱.

第六類 (紫色):

0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 2 1 0 3 0 1 0 0 3 0 1 0 3 0 2 0 4 0 0 1 0 3 0 1 5 0 0 0 2 0 1 0 6 0 0 0 0 1 0 0

第七類 (藍色):

0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 2 1 0 3 0 1 0 0 3 0 2 0 3 0 1 0 4 0 0 1 0 3 0 1 5 0 0 0 1 0 2 0 6 0 0 0 0 1 0 0

但是最後的兩類卻沒有 180 度對稱, 也沒有反對角線對稱.

這七類把 weak Bruhat order 的邊著成七色. 這些著色在 Permutohedron (weak Bruhat order 視為多面體的骨架) 上看起來似乎有某種對稱性, 但目 前我們並沒有一個好的猜想.

Problem 2. 試著給出對稱性的刻畫. 換句話說, 給出 weak Bruhat order 的邊依照 (inv_π1, inv_π2) 的分佈進行分類著色的規則.

我們試著把問題更一般化:

Problem 3. S_n上的_π1,π2在weak Bruhat order上的連線按照 (inv_π1, inv_π2) 的分佈可以構成幾類? 每一類各有幾組?

Problem 4. 同一類的 (inv_π1, inv_π2) 應該如何刻畫? 彼此之間滿足什麼關 係^?

而且有些類似乎有機會求出雙變數生成函數. 如 π1,π2 = (1234, 2134). 但一般的情形還有待繼續研究.

Problem 5. 給定 _π1,π2 , 是否能夠求出雙變數的生成函數 _F(_{x, y}) =

σ∈∑Sn

x^invπ1(σ)y^invπ2(σ)?

除此之外, 我們還可以利用前一章所定義的 relative descent 進而去問類 似的問題, 包含我們的 Conjecture 1.

Problem 6. 刻畫 π1,π2 的條件, 使得 (des_π1, des_π2)∼ (^desπ2, des_π1). 同理我們已經從 S₃ 上的數據 (Table 3.3) 知道 relative major index 並 沒有類似 Theorem 2.2.3 的性質, 因此我們也可以問 relative major index 的 對稱性的刻畫.

Problem 7. 刻畫 _π1,π2 的條件, 使得 (maj_π1, maj_π2)∼ (^maj_π2^{, maj}_π1). 除了 inversion, descent, 和 major index 以外, 我們也可以利用前面定義 的函數 g (p.24) 來定義其他常見的統計量, 並試著把這些統計量已知的結果 套用到與之對應的 relative statistics 上, 就如同 Theorem 3.2.4 一樣.

對於以上所留下的這些問題, 都還有待我們繼續研究.

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