Symmetric Joint Distributions on Relative Statistics

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系碩士論文 Department of Mathematics, College of Science. National Taiwan Normal University Master’s Thesis. Symmetric Joint Distributions on Relative Statistics. 許辰頡 Chen-Chieh Hsu. 指導教授：游森棚上校教授 Advisor: Col. Prof. Sen-Peng Eu. 中華民國109年7月 July 2020.

(2) 誌. 謝. 兩年的時間稍縱即逝, 這篇論文能夠如期順利完成, 要歸功於一路上支持我的許多人, 在此特別感謝. 首先要特別感謝我的指導教授游森棚教官, 在這兩年中不斷給予我學術上的指點與方向, 透過研討會的方式鼓勵大家增廣見聞, 並且在撰寫論文的過程中給予許多建議, 使這篇論文能夠變得更加完善. 接著要感謝在師大數學所一起努力的學長和同學們, 包含同個研究室的所有研究夥伴, 在過程中能和我一同討論, 在我遇到困難時提供不同角度的思考觀點, 以及在生活上適時給予鼓勵與幫忙. 在此感謝徐祥峻教授和丁建太教授在論文口試時的指正與建議, 讓這篇論文能夠更加充實與完整. 最後要感謝家人的養育之恩, 無論是家務的互相扶持, 或是心靈上的鼓勵, 都讓我能夠安心順利地完成學業, 達成人生的一個階段性目標.. i.

(3) 摘要對於一個 π ∈ Sn , 我們可以定義 σ ∈ Sn 相對於 π 的相對逆序 invπ (σ) (relative inversion with respect to π), 這是與原來 π ∈ Sn 上的 inv 等分佈的統計量. 此定義推廣了 Gillespie 等人對 MacDonald 多項式的對稱性的研究中所定義的 k-inversion. 本篇論文的主要結果 (Theorem 2.2.3) 是證明若 π1 ,π2 兩個排列上在 weak Bruhat order 上有連線且恰為一組相鄰位置對調, 則這兩個統計量 invπ1 , invπ2 所形成的聯合分佈 (joint distribution) 是對稱的. 亦即. (invπ1 , invπ2 ) ∼ (invπ2 , invπ1 ). 此外, 對於更細緻的聯合對稱分佈現象與 relative descent, relative major index 等, 我們也提出一些觀察與猜想. 關鍵字: 排列 (permutations), 逆序 (inversion), major index, descent, 相對逆序 (relative inversion), Bruhat order, 對稱聯合函數 (symmetric joint distribution). Abstract For a permutation π ∈ Sn , we can define the relative inversion invπ (σ) of σ ∈ Sn with respect to π . The statistic invπ has the same distribution with the standard inversion statistics inv over Sn . This definition is motivated and generalized the k-inversion defined by Gillespie et al. in their work of seeking a combinatorial proof of the (still open) famous symmetric property of the MacDonald polynomials. The main result of this thesis (Theorem 2.2.3) is to prove that if π1 , π2 is connected in the weak Bruhat order, then the two statistics invπ1 and invπ2 have the symmetric joint distribution. (invπ1 , invπ2 ) ∼ (invπ2 , invπ1 ). Further observations on symmetry, relative descent and relative major index are also given. Keywords: permutations, inversion, major index, descent, relative inversion, Bruhat order, symmetric joint distribution.. ii.

(4) Contents 1 Introduction and Preliminary 1.1 Permutations and Mahonian statistics 1.2 Foata’s bijection . . . . . . . . . . . . 1.3 Symmetric joint distribution . . . . . . 1.4 Weak Bruhat order . . . . . . . . . . . 1.5 Macdonald polynomial . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 1 1 3 6 8 10. 2 Relative inversion 12 2.1 Relative inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Relative descent 20 3.1 Eulerian statistic and (Foata’s) fundamental bijection . . . . 20 3.2 Seeking for relative descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Concluding remarks and problems. 24. Bibliography. 29. iii.

(5) Chapter 1. Introduction and Preliminary 這個章節我們會介紹這個問題的背景, 像是經典 Mahonian 統計量的一些結果, 並介紹 Foata’s bijection, 以及對稱聯合分佈 (symmetric joint distribution), 有關 weak Bruhat order 的一些相關背景, 以及最後有關 Macdonald 多項式的研究, 這些內容是我們此研究的出發點.. 1.1. Permutations and Mahonian statistics. 我們將 Sn 記為收集所有 [n] := {1, 2, . . . , n} 上排列的集合. 而一個排列 (permutation) σ ∈ Sn 就是指一個 [n] 上的 bijection, 我們將 σ 記為 σ1 σ2 . . . σn (σi ∈ [n]) 如果對於所有的 1 ≤ i ≤ n, σ(i ) = σi . 這種表示法稱為排列 σ 的 one-line notation (或是 word representation ). 注意這些排列彼此都是獨一無二的, 而且全部可以形成一個特別的群, 我們稱之為對稱群 Sn . Definition 1.1.1. 對於一個排列 σ = σ1 σ2 · · · σn ∈ Sn , 一個 inversion 就是一組數對 (i, j) ∈ [n] 使得 σi > σj (其中 i < j). 令 inv(σ) 記為 σ 中 inversion 的數量, 另外 Inv(σ) 記為收集 σ 的 inversion 所成的集合. Example 1.1.2. 我們看 3214 有 3 個 inversions (1,2), (1,3), and(2,3), 所以 inv(3214)=2+1=3, 同樣我們看 643512, 得到 inv(643512)=5+3+2+2=12. 另外, 對於一個排列 σ, 如果這個排列的 inversion 是偶數 (奇數) 個, 我們就會說這個排列是偶排列 (奇排列), 此外我們會將這個排列的 sign 定義為 sgn(σ) = (−1)inv(σ) , 由此定義我們知道當這個排列的 inversion 是偶數 (奇數) 個時, 這個排列的 sign 會是 1 (-1), 我們稱此為排列的奇偶性. 根據 inversion 的定義加上觀察, 我們可以簡單的得到它的分佈並找到它的生成函數: 1.

(6) ∑. σ ∈Sn. qinv(σ) = 1(1 + q)(1 + q + q2 ) · · · (1 + q + · · · + qn−1 ). = [1][2] · · · [n],. (1.1) (1.2). 其中 [k ] = 1 + q + q2 + · · · + qk−1 . 接著我們要介紹一個簡單但很重要的性質 Proposition 1.1.3. 對於所有的排列 ω = ω1 ω2 · · · ωn ∈ Sn , inv(ω ) = inv(ω −1 ). Proof. (i, j) 是 ω 的一個 inversion 若且唯若 (ω j , ωi ) 是 ω −1 的一個 inversion. 我們接著來定義 descent 和 major index. Definition 1.1.4. 對於一個排列 σ = σ1 σ2 · · · σn ∈ Sn , 一個 descent 就是有一個位置 i ∈ [n] 滿足 σi > σi+1 . 將 des(σ) 記為 σ 中 descent 的數量. Des(σ) 記為收集 σ 的 descent 所發生的位置形成的集合. 另外對於排列 σ, major index 就是形成 descent 位置的總和. (i.e. = ∑i∈Des(σ) i) 而 maj(σ) 記為 σ 的 major index. MacMahon 證明了 inversion 和 major index 是等分佈的 [[8]], 而其他任何和 inversion 同分佈的統計量, 我們都稱之為 Mahonian statistic. 之後的 Foata 跟 Zeilberger 找到了另外兩個有趣的 Mahonian 統計量, 分別是 MAK 跟 MAD, 其中 MAK 是由 type (2-31) 的個數 (也就是說 descent 的左邊有哪些在形成 descent 的兩位中間的小數) 加上 descent bottom (形成 descent 的兩位裡後面那位) 的和形成的, MAD 則是由 type (2-31) 的個數加上 descent differences (形成 descent 的兩位的差) 的和形成的 [[2],[9]]. 後來 Simon 和 Stanton 又找到了多達 16 種不同的 Mahonian 統計量 [[10]]. 而一個自然的問題是我們已經知道這些 Mahonian 統計量都是同分佈的, 但是兩兩之間是否都有一個 bijection 呢? 另一個問題是還有哪些有趣的統計量其實也是 Mahonian 統計量? 這些都是這個主題令人佇足的地方. 上面所介紹到的 Mahonian 統計量, 除了 inversion 以外, 我們可以發現他們的定義都跟 descent 有關, 我們將這類 Mahonian 統計量稱為”descentbased”, 而我們還有另外一類的 Mahonian 統計量跟 excedance 有關, 我們先來介紹 excedance: 2.

(7) Definition 1.1.5. 對於一個排列 σ = σ1 σ2 · · · σn , 一個 excedance 就是有個位置 i 滿足 σi > i. 我們將 exc(σ) 記為 σ 中 excedance 的數量. 而第一個這類的 Mahonian 統計量被稱為 “Denert’s statistics”, DEN, 由 Denert 所命名的 [[11]]. 而這個統計量由 Foata 跟 Zeilberger 證明是 Mahonian 統計量, 而且它和 exc 形成的聯合分佈 (joint distribution) (exc,DEN) 和 (des, maj) 是等分佈的 [[9]]. 後來的 Clarke, Steingrimsson, 和 Zeng 找到一個由 Sn 送到自己的 bijection 證明了 (exc,DEN) 和 (des,MAK) 是等分佈的, 以及 (exc, inv) 和 (des,MAD) 也是等分佈的 [[12]]. 這類聯合分佈我們稱為 Eulerian-Mahonian joint distribution. 上面提到的一個已知的重要結果是 inv 和 maj 在 Sn 是等分佈的, 換句話說, 就是兩者的生成函數跑遍所有的排列會相同. Theorem 1.1.6.. ∑. qinv(σ) =. σ ∈Sn. ∑. qmaj(σ) .. (1.3). σ ∈Sn. 我們會在下節和下下節提到這個定理的證明使用的 bijection 以及有關的結果. 特別地, 在這個證明所用到的 bijection φ, 這類函數滿足對於一個排列 (字串) w, maj(w) = inv( φ(w)) (1.4) 而我們將之稱為 Foata’s bijection[[13]].. 1.2. Foata’s bijection. 這節我們要介紹這個函數 φ, 利用這個函數我們可以證明 Theorem 1.1.6. 我們需要遞迴的來定義這個 bijection φ : Sn → Sn , 考慮 ω = ω1 ω2 · · · ωn ∈ Sn , 定義一系列的字串 (或數列) γ1 , γ2 , . . . , γn , 其中 γk 為 {ω1 , ω2 , . . . , ωk } 的排列. 首先我們先將 γ1 = ω1 , 接著先假設後面的 γk , 1 ≤ k < n 已經被定義好, 然後將 γk 的最後一個數字 (letter) 和 ωk+1 做比較, 如果 γk 的最後一個數字比較大 (比較小), 就把 γk 中比 ωk+1 大 (小) 的數字後面都加上一個 bar “|”, 這樣可以把 γk 分成多個部分, 再把每個部分看成一個 cycle 然後向右 cyclically shift 一位, 再將 ωk+1 放在最後, 就形成 γk+1 了, 一直這樣做到最後得到的 γn , 就是我們要的 φ(ω ). Example 1.2.1. 我們在分析這個函數之前先操作個例子, 設 ω = 319485762, 首先 γ1 = ω1 = 3, 接著我們比較 3 < ω2 還是 3 > ω2 , 由 ω2 = 1 我們得到 3 > ω2 , 因此把 γ1 中比 1 大的數字後面加上 | 得到 3|, 因為只有一個部分所以 shift 完之後還是 3, 在最後放上 1 得到 γ2 = 31, 接著看 1 < ω3 還是 3.

(8) 1 > ω3 , 由 ω3 = 9 我們得到 1 < ω3 , 因此把 γ2 中比 9 小的數字後面都加上 | 得到 3|1|, shift 完還是 31, 在最後放上 9 得到 γ3 = 319, 再比較 9 < ω4 還是 9 > ω4 , 由 ω4 = 4 我們得到 9 > ω4 , 因此把 γ3 中比 4 大的數字後面加上 | 得到 319|, shift 完得到 931, 在最後放上 4 得到 γ4 = 9314, 依此類推我們可以得到一系列的字串 γi : 3 3|1 3|1|9 319|4 93|1|4|8 39|148|5 93|81|4|5|7 39|18|457|6 9|3|8|17|4|5|6|2 938714562 最後我們就得到 φ(319485762) = 938714562, 而且 maj(319485762) = inv(938714562) =24. 接著我們要說明這個函數是一個 bijection 而且滿足 maj(w) = inv( φ(w)). 我們在字串 γi 上面也定義 inv 和 maj, 對於任何的字串 ω = ω1 ω2 · · · ωn , inv(ω ) = #{(i, j) : i < j, ωi > ω j } maj(ω ) = ∑ i . i:ωi >ωi+1. 接著我們考慮 ηk = ω1 ω2 · · · ωk , 對 k 做數學歸納法, 當 k = n 時就完成我們的目的了, 為此我們先看 k = 1, 顯然 inv(γ1 ) = maj(η1 ) = 0, 假設對於某個 k < n 滿足 inv(γk ) = maj(ηk ), 我們考慮 γk 的最後一位 ωk 大於 ωk+1 的情況, 這代表 k ∈ Des(ω ), 我們接下來要說明 inv(γk+1 ) = k + inv(γk ). 根據加上 | 的規則, 我們知道 γk 被分割的每個部分 C 的最後一位都是整個部分最大的數, 因此當我們做 cyclically shift 時, 每個部分 C 都會產生 #C − 1 個新的 inversions, 又因為每個部份 C 只會有一個比 ωk+1 大的數, 因此如果 γk 被分割成 m 個部分, 那麼在 γk+1 中這些比 ωk+1 大的數會和 ωk+1 多產生 m 個 inversions, 因此我們總共產生了 ∑(#C − 1) + m = k C. 4.

(9) 個新的 inversions. 而這就是我們要的 inv(γk+1 ) = k + inv(γk ). 對於 γk 的最後一位 ωk 小於 ωk+1 的情況, 也是類似的作法. 所以我們還剩下說明這個函數 φ 是一個 bijection. 為了證明 φ 是一個 bijection 我們直接定義他的反函數 φ−1 , 一樣是遞迴的去定義, 考慮 ν = ν1 ν2 · · · νn ∈ Sn , 我們希望找到唯一的 ω = ω1 ω2 · · · ωn ∈ Sn 使得 φ(ω ) = ν 也就是 φ−1 (ν) = ω. 我們接著定義一系列的字串 δ1 , δ2 , . . . , δn−1 , 首先 δn−1 = ν1 ν2 · · · νn−1 且 ωn = νn , 我們一樣假設從 δn−1 到 δk+1 都定義好了, 如果 δk 的第一個數字比 ωk+1 大 (比較小), 就把 δk 中比 ωk+1 大 (小) 的數字前面都加上一個 bar “|”, 這樣就可以把 δk 分成多個部分, 再把每個部分看成一個 cycle 然後向左 cyclically shift 一位, 移好後將最後一位數標記為 ωk 然後移掉, 剩下的字串我們稱為 δk−1 , 依此類推, 最後我們會得到 δ1 = ω1 且 ω = ω1 · · · ωn . 這個動作很容易可以看出來其實就是 φ 的反運算. 我們下面利用一個例子來說明這件事. Example 1.2.2. 設 ν = 938714562, 我們可以依序得到 ωi : 938714562. |9|3|8|71|4|5|6 2 |93|81|745 6 |39|18|4|5 7 |93|814 5 |39|1|4 8 |931 4 |3|1 9 3 1 3 最後我們就得到了 φ−1 (ν) = ω = 319485762 且由 Example 1.2.1 我們知道 φ(ω ) = ν. 這樣我們就證明完 Foata’s bijection φ 是一個 bijection 且滿足 maj(w) = inv( φ(w)). 同時也證明了 Theorem 1.1.6.. 5.

(10) 1.3. Symmetric joint distribution. 接下來這節我們要來介紹對稱聯合分佈 (symmetric joint distribution), 也就是說如果對於一個集合 S, 有兩個等分佈的統計量 stat1 , stat2 : S → N, 我們可以得到一個更強的結果是: 對於所有的量 a, b #{ x ∈ S : stat1 ( x ) = a, stat2 ( x ) = b}. = #{ x ∈ S : stat1 ( x ) = b, stat2 ( x ) = a} 換句話說, 我們從生成函數的角度來看便是 ∑ qstat1 (x) tstat2 (x) = ∑ qstat2 (x) tstat1 (x) .. x ∈S. x ∈S. 而要證明這個性質最一般的方法就是找一個 bijection ψ : S → S 使得對於所有的 x ∈ S, stat1 ( x ) = stat2 (ψ( x )) 且 stat2 ( x ) = stat1 (ψ( x )). 也就是說這個函數 ψ 將兩個統計量交換了. 接下來我們要證明的是在 Sn 中重要的一組對稱聯合分佈, 就是 inversion 跟 major index. Theorem 1.3.1. 對於 Sn , 我們跑遍所有排列後可以得到以下結果: ∑ qinv(x) tmaj(x) = ∑ qmaj(x) tinv(x) .. σ ∈Sn. σ ∈Sn. 但是我們不會直接建構 bijection 去證明, 而是利用我們上一節得到的結果去做延伸. 我們需要定義一個集合, 稱作 inverse descent set ID (ω ) = Des(ω −1 ), 也被稱作 reading set, 我們可以從 ω 上直接透過 reading 的方式看斷點在哪裡就把它放進 ID (ω ). Example 1.3.2. 對於 ω = 31245, 我們可以從左往右讀數字去找 1 到 5, 而讀到底的時候如果沒有讀到 5 就回頭, 將最後讀到的數記為斷點, 則我們可以得到 12 345 , 斷點只有 2, 所以 ID (ω ) = {2}. 再舉個例子, 考慮 ω = 319485762, 我們讀的結果是 12 3456 7 8 9, 所以 ID (ω ) = {2, 6, 7, 8}. 接著我們把這個定義對廣到字串上, 對於 ω = ω1 ω2 · · · ωk 且 {ω1 , ω2 , ..., ωk } & {1, 2, ..., n}, 我們一樣可以從 ω 上直接透過 reading 的方式看斷點在哪裡就把它放進 ID (ω ), 但是此時我們 ID (ω ) 中要記錄的是由小到大排的大小順序而不是位置的編號. Example 1.3.3. 對於 ω = 74258, 我們可以從左往右讀數字, 而讀到底的時候如果沒有讀到 ω 中最大的數字就回頭, 將最後讀到的數記為斷點, 則我們可以得到 reading words 為 2 45 78 (1 23 45), 斷點有 2 跟 5, 也就是在 ω 中所有數字由小到大去看排第 1 和排第 3 的, 所以 ID (ω ) = {1, 3}. 再舉個例子, 考慮 ω = 3184957, 我們讀出來的 reading words 為 1 3457 89 (1 2345 67), 所以 ID (ω ) = {1, 5}. 6.

(11) Theorem 1.3.4. φ 為 Foata’s bijection. 對於所有 ω ∈ Sn , ID (ω ) = ID ( φ(ω )). 換句話說, φ 會保持 inverse descent set. Proof. 定義 ηk 為 ω 的前 k 位所形成的字串, 我們會對 k 做數學歸納法去說明 ID (γk ) = ID (ηk ), 在 k = n 時即為所求. 首先我們知道 ID (γ1 ) = ID (η1 ) = ∅, 接著我們假設對於某個 k < n 滿足 ID (γk ) = ID (ηk ). 我們要說 ID (γk+1 ) = ID (ηk+1 ). 首先我們考慮 ωk > ωk+1 的情況, 這代表對於 γk 被分隔成的每個部分 C 都只會有一個比 ωk+1 大的數, 而且他們必然不相同. 接著我們開始看 ηk+1 的 reading 會發現, 在讀到比 ωk+1 小的最大的數為止, 我們得到的 reading words 都會和 ηk 一樣, 然後我們會讀到 ωk+1 之後回到開頭. 其實這件事在 γk 上也是, 而且根據假設我們知道 ID (γk ) = ID (ηk ), 所以在讀到 ωk+1 前, ηk 和 γk 會得到一樣的 reading words. 然後我們將剩下還沒被讀到的數收集成一個集合 L, L 中的數都比 ωk+1 大, 先根據假設 ID (γk ) = ID (ηk ), 代表 L 中的數對於 ηk 和 γk 有一樣的 reading words, 又從 ηk+1 和 ηk 的定義我們知道 L 中的數在 ηk+1 和 ηk 出現的順序一樣, 而因為 γk 被分隔成的每個部分 C 都只會有一個比 ωk+1 大的數, 經過 cyclically shift 後順序也不會變, 所以 L 中的數在 γk+1 和 γk 的順序也是一樣的, 最後我們就得到 ηk+1 和 γk+1 會有一樣的 reading words, 這代表 ID (γk+1 ) = ID (ηk+1 ). 至於 ωk < ωk+1 的情況也是類似的作法就不重複贅述. 接著我們介紹另一個統計量 imaj(ω ) = maj(ω −1 ) =. ∑. i ∈ ID (ω ). i. 利用這個統計量結合上面的定理, 我們可以得到下面的結果: Corollary 1.3.5. 有三組統計量在 Sn 上皆為對稱聯合分佈, 分別為 (inv, maj), (inv, imaj), (maj, imaj) Proof. 首先對於一個在 Sn 的統計量 stat1 來說, 我們定義另一個統計量 stat2 , 算法是 stat2 (σ) = stat1 (σ−1 ), 則自然的如果我們跑遍所有 Sn 上的排列可以知道 (stat1 , stat2 ) 必然會是一組對稱聯合分佈, 因此我們知道 (maj, imaj) 是一組. 接著可以從 1.2 節的內容和 Theorem 1.3.4 的結果知道 φ 在保持 imaj 的同時將 maj 變成 inv, 因此 (inv(ω ), imaj(ω )) = (maj( φ−1 (ω )), imaj( φ−1 (ω ))), 所以跑遍所有 Sn 上的排列時, (inv, imaj) 也是一組對稱聯合分佈. 最後利用 Proposition 1.1.3, 得到 (inv(ω ), imaj(ω )) = (inv(ω ), maj(ω −1 )) = (inv(ω −1 ), maj(ω −1 )), 也就是說如果跑遍所有 Sn 上的排列, (inv, maj) 也是一組對稱聯合分佈. 7.

(12) 1.4. Weak Bruhat order. 我們要介紹一個在 Sn 上的偏序關係 (partial order), 稱為 weak Bruhat order, 記為 Wk (Sn ). 定義如下: 對於 Sn 上的排列 u, v, u ≤Wk v. Inv(u−1 ) ⊆ Inv(v−1 ).. 若且唯若. 先給定 Sn 上的運算 si , 它乘在排列右邊的作用是將排列的第 i 個位置和第 i+1 個位置交換, 乘在排列左邊的作用是將排列的 i 和 i+1 交換, 但是不管乘在哪邊我們都可以知道只會影響一個 inversion 也就是位置上或是數字上的 (i, i+1) 這組, 而利用這個性質我們可以得到 weak Bruhat order 所形成的偏序集合 (partially ordered set, poset), 此 poset 上的包含關係 (cover relation), 就是 u <Wk v. 若且唯若. u = v ◦ si 而且 inv(v) = inv(u) + 1. for some i = 1, 2, ..., n − 1. 這種定義法是 (right) weak Bruhat order, 表示運算 si 是乘在右邊的, 同理我們也可以定義 (left) weak Bruhat order, 就是將運算 si 乘在左邊. 最後我們會得到這兩種定義所形成的 poset 其實是同構的, 後面我們統一用 (right) weak Bruhat order 來操作. 另外依照 weak Bruhat order 的性質, 我們可以得到一個 Hasse diagram, 而且我們也可以用另一個觀點看這個圖, 在這個圖上連線就是兩個排列中有相鄰的兩個位置交換, 而且從包含關係的條件我們可以看出一件事情, 在線段上面的排列代表這個交換使得它比線段下面的排列多一個 inversion. 因此我們可以發現 Wk (Sn ) 是由 inversion 分層的 (ranked by inversion). Proposition 1.4.1. weak Bruhat order 的 rank 生成函數恰好就是 Mahonian statistic 的生成函數 f (Wk (Sn ); q) =. ∑. qinv(σ) = [n]!. .. (1.5). σ ∈Sn. 下面附上兩種 Wk (S3 ) 跟 Wk (S4 ) 的 Hasse diagram (擷取自 T.Kyle Petersen 的 Eulerian Numbers p.99).. 8.

(13) Figure 1.1: The left and right weak Bruhat order of S3 .. Figure 1.2: The weak Bruhat order of S4 .. 9.

(14) 1.5. Macdonald polynomial. 統計量 inversion 和 major index 能夠形成一連串的組合公式, 稱為 Macdone µ ( x1 , x2 , ...; q, t). 這些多項式原本是由 Macdonald 以完全 ald polynomials H 與眾不同的形式來定義的: l (λ). 1 − q λi , λi n =1 1 − t. < Pλ , Pµ >q,t = δλµ Zµ ∏. (1.6). 其中 λ, µ 是一組分割 (partition), Pλ 由一組對稱函數的基底 (basis) mλ 變形而來. 這些計算複雜的多項式 Pλ 形成了一組對稱函數的正交基底 (orthogonal basis), 同時也是 Schur function 的 q, t-analogue[[14]]. 後來此等式還有許多變形, 其中最著名的就是下面我們會介紹的 (modie µ . 另外 Macdonald 多項式也出現在很多地方, 像 fied) Macdonald 多項式 H 是表現理論 [[15]]、Hecke algebra[[16]] ... 等領域都能看見其應用。而此多項式的結構在後來有更一般化的理解要起始於 Lascoux 和 Schützenberger 在 Hall-Littlewood 多項式 (一個 Macdonald 多項式的特例) 上的工作 [[17]]，而直到 2004 年 Haglund 才給出了一個直觀的組合公式猜想來計算 Macdonald 多項式 [[5]], 並且在 2005 年由 Haglund, Haiman 和 Loehr 一起證明此猜想是對的 [[6]]: e µ ( X; q, t) = H. ∑ qinv(F) tmaj(F) X F. (1.7). F. (此 ∑ 為跑遍所有形狀為 µ 的組合填法 F). 在上面的公式中, µ 的填法即為填入 X 的組成元素, major index 的定義是在 µ 的填法上, 將每個 column 分開並由上往下讀看成字串, 再算一般的 major index, 至於 inversion 則是要計算 inversion pairs 和 inversion triples. Inversion pairs 是出現在 µ 第一 row 上的一般的 inversion, 而 inversion triples 出現在固定一個 row 之後, 去計算有多少組位置如下圖的 (a,b,c), 且必須滿足以下其中一種大小關係:. (1) a > b > c(2)b > c ≥ a(3)c ≥ a > b, a ··· b c. 10.

(15) 這個大小關係在下一章節定義 relative inversion 時也會有相對應的條件, 而這個統計量也被相信是 Mahonian, 但是並沒有一個直接的證明去說明這是對的. Haiman 在 2001 年透過代數方法證明了 Macdonald 多項式有 q, t-對稱性 (q, t-symmetry)[[7]]: e µ ( X; q, t) = H e µ′ ( X; t, q) H (1.8) 其中 µ′ 是 µ 的共軛分割 (conjugate partition). 這是一個漂亮的等式, 我們舉個例子來說明這條等式的重要性以及其證明的困難度. Example 1.5.1. 在說明 q.t-symmetry 之前我們先舉一個當例子來練習如何計算 Young tableau 上的 inversion 和 major index. 3 µ= 1. 3. 2. 2. 1. 2. 我們先算 major index, 依照 column 由上往下讀得到 312 31 22 (注意要分開看), 所以 maj(µ) = 2. 接著考慮 inversion pair, 也就是第一 row 的 inversion 有幾個, 再看有多少 inversion triples, 得到 inv(µ) = 1 + 2 = 3. 如果我們考慮一個比較簡單的例子, 令 X = {1, 2}, µ = (2, 1, 1), 總共有 4 2 = 16 種填法, 同樣的, µ′ = (3, 1) 一樣會有 16 種填法, 我們隨便挑一個 inv(µ) = 1, maj(µ) = 0 的填法, 卻不曉得怎麼對應到一個 µ′ = (3, 1) 只填入 1 或 2 使得 inv(µ) = 0, maj(µ) = 1, 更不用說更複雜的形狀了, 因此要找出這個填法之間的對應其實是相當困難的. 1. →. 1 2. ?. 1. 一個自然的問題是如果已經有了代數證明, 那能不能利用 Haglund 發現的組合意義, 來找到這條對稱公式的組合證明, 直至今日, 這個問題依舊沒有被解決. 但是在一些特定的 caes 上有些突破, 其中 Gillespie, Kaliszewski, Morse 等三人利用了 relative inversions 證明了 q = 1 的情況 [[1]], 也就是說 e µ ( X; 1, t) = H e µ′ ( X; t, 1), H 而這也是我們這篇論文的研究動機. 11. (1.9).

(16) Chapter 2. Relative inversion 在此章節我們會介紹什麼是 relative inversion, 關於它們的由來以及我們這樣定之後發現了哪些性質, 也就是我們的主要結果。. 2.1. Relative inversions. 首先，我們先定義一個排列 (字串) 上的 relative inversion: Definition 2.1.1. 對於一個排列 σ = σ1 σ2 · · · σn ∈ Sn , 一個 (relative) kinversion 就是一組數對 (i, j) (其中 i < j), 滿足下列其中一個條件: (1) σi > σj > k (2) σj > k ≥ σi (3) k ≥ σi > σj . 將 invk (σ) 記為 σ 中 k-inversion 的數量. Example 2.1.2. 對於排列 σ = 321, σ 有 3-inversions (1,2)(相當於排列中的第一和第二個位置), (1,3), (2,3). 所以 inv3 (σ) = 3. 對於 σ = 3421, σ 只有一個 2-inversion (3,4), 所以 inv2 (σ) = 1. Example 2.1.3. 我們試著把 S3 中所有 k-inversion 的表格列下來 σ 123 132 213 231 312 321. inv0 (σ) 0 1 1 2 2 3. inv1 (σ) 2 3 1 0 2 1. inv2 (σ) 2 1 3 2 0 1. inv3 (σ) 0 1 1 2 2 3. Table 2.1: S3 中所有的 k-inversion.. 12.

(17) Remarks 2.1.4. 根據 (relative) k-inversion 的定義我們也可以理解成利用新的大小關係 ≺k 來算標準的 inversion. 而這個大小關係 ≺k 定義成 k + 1 ≺k k + 2 ≺k · · · ≺k n ≺k 1 ≺k 2 ≺k · · · ≺k k.. (2.1). 由 Gillespie, Kaliszewski, Morse 等三人的觀察我們可以先得知 Proposition 2.1.5. 對於一個排列 σ = σ1 σ2 · · · σn ∈ Sn 其中最大的數為 n, 則我們有以下等式: inv(σ) = inv0 (σ) = invn (σ) = invk (σ). (2.2). for any k > n. 其實我們也可以換個角度看 k-inversion, 會發現我們固定 σi , σj 的位置後, 看兩者有無產生 k-inversion 相當於我們在一個圓上看環狀排列, 決定好無限大的位置後, 在這個圓上考慮 k 的位置是否有造成 k > σi > σj . 因此當 k 在 [σi , σj ) 這個區間上時, 則必發生一個 k-inversion, 反之則無. 接著我們試著將此定義的 k 拓展成一個排列 π Definition 2.1.6. 對於一個排列 σ = σ1 σ2 · · · σn ∈ Sn , 給定另一個排列 π = a1 a2 · · · an ∈ Sn , 一個 (relative) π-inversion 是一組數對 (i, j) (其中 i < j), 並滿足以下其中一個條件: (1) σi > σj > ai (2) σj > ai ≥ σi (3) ai ≥ σi > σj . invπ (σ) 則記為 σ 中 π-inversion 的數量. 這裡要注意我們在算 π-inversion 時, 其實相當於先固定好 σ1 , a1 之後去算 a1 -inversion, 再固定好 σ2 , a2 之後去算 a2 -inversion, 一直算到 an−1 inversion 再全部加起來. 而原本的 k-inversion 則相當於計算每個 ai = k 的 π 所產生的 π-inversion. Example 2.1.7. 對於排列 σ = 321, 給定 π = 123, 則 σ 有 π-inversions (1,2) 和 (2,3). 所以 invπ (σ) = 1 + 1 = 2. 對於 σ = 3421, 給定 π = 1234, 則 σ 有 π-inversions (1,3) 和 (3,4), 所以 invπ (σ) = 1 + 0 + 1 = 2.. 13.

(18) Example 2.1.8. 接著我們也給個 S3 中所有 π −inversion 的表格 σ 123 132 213 231 312 321. inv123 (σ) 3 2 1 0 1 2. inv132 (σ) 2 3 0 1 1 2. inv213 (σ) 1 2 3 2 1 0. inv231 (σ) 1 2 2 3 0 1. inv312 (σ) 0 1 2 1 3 2. inv321 (σ) 1 0 2 1 2 3. Table 2.2: S3 中所有的 π −inversion. 我們接著觀察所有 S4 中所有 (left) weak Bruhat order 有連線的兩個排列 π1 , π2 所形成的 (invπ1 , invπ2 ) 聯合分佈, 發現可以分成以下七類 (七種顏色): 4123. 1423. 4132 1432. 4213. 1243. 2413 4312. 1342. 2143. 4231 1234. 4321. 2431. 1324. 2134. 3142. 3412. 3124. 3421. 3241. 2341. 3214. Figure 2.1: The permutohedron of S4 .. 14. 2314.

(19) 上圖的每種顏色都代表一類的 (invπ1 , invπ2 ) 的聯合分佈情況, 而我們因此可以觀察到幾件事情: Observation 2.1.9. 上面 Figure 2.1 中所有邊所形成的聯合分佈都有滿足 (invπ1 , invπ2 ) 是對稱的 (主對角線對稱). Observation 2.1.10. 特別地, 上面 Figure 2.1 中某些邊 (例如: 橘色) 所形成的聯合分佈不但滿足 (invπ1 , invπ2 ) 是對稱的, 也有滿足 (invπ1 , (n2 ) − invπ2 ) 是對稱的 (反對角線對稱). 我們的主要結果便是由這些觀察出發. 有關 Observation 2.1.10 會在文章的最後做更詳細的介紹.. 2.2. Main results. 接下來我們要證明 Observation 2.1.9, 也就是說, 當 π1 ,π2 兩個排列上在 weak Bruhat order 上有連線的話, (invπ1 , invπ2 ) 就是一組對稱聯合分佈, 為此我們需要兩個性質 (Propositions). Proposition 2.2.1. 已知 π1 ,π2 兩個排列在 weak Bruhat order 上有連線且恰為第 i, i + 1 個位置對調, 對於 σ = σ1 σ2 · ·n· σi σi+1 o · · · σn ∈ n Sn , 若 oi invπ1 (σ) ̸= invπ2 (σ), 則 σi , σi+1 恰有一者落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1. 中. Proof. 考慮 π1 = a1 a2 ...ai ai+1 ...an , π2 = a1 a2 ...ai+1 ai ...an , 因為 π1 ,π2 (in Sn ) 的 related inversion 的算法特性, 我們在對於同一個 σ 計算 π1 -inversion 和 π2 -inversion 時, 只需檢查 ai 和 ai+1 造成的 ai -inversion 和 ai+1 -inversion 相加是否相同即可, 因為 π1 ,π2 只差一個位置對調, 所以其他的 a j -inversion (j ̸= i, i + 1) 所造成的 related inversion 是相同的. 換句話說, 我們需要考慮產生 related inversion 的情況只有下列三種: (1) (σi , σi+1 ) 形成一個 ai -inversion (2) (σi , σj ) (j ̸= i + 1) 形成一個 ai -inversion (3) (σi+1 , σj ) 形成一個 ai+1 -inversion. 只有上述三種情況造成的 relative inversion 會導致 π1 -inversion 和 π2 -inversion 有所不同. 接著我們將所有情況分成三種: n o n oi Case 1: σi , σi+1 都落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 中 n o n oi Case 2: σi , σi+1 都落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 外. 15.

(20) n n o oi Case 3: σi , σi+1 恰有一者落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 中然後我們要說明 Case 1 和 Case 2 的情況裡對於所有的 σ, π1 -inversion 和 π2 -inversion 會相同, 那麼就可以得到我們想要的結果. 接著不失一般性, 我們考慮 ai+i > ai (因為反過來就是 π1 , π2 對調過來的例子): n o n oi Case 1: σi , σi+1 都落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 中這裡我們更進一步細分成兩個 type 去討論, type A 和 type B. 先固定好 ai , σi , σi+1 , ai+1 的大小關係後再看 σj ( j ̸= i + 1) 的大小位置的變動如何影響 relative inversion 的生成. type A: ai+1 ≥ σi+1 > σi > ai 我們依照 σj ( j ̸= i + 1) 的大小分成五種情況, 分別是 (i) σj > ai+1 ≥ σi+1 > σi > ai (ii) ai+1 ≥ σj > σi+1 > σi > ai (iii) ai+1 ≥ σi+1 > σj > σi > ai (iv) ai+1 ≥ σi+1 > σi > σj > ai (v) ai+1 ≥ σi+1 > σi > ai ≥ σj . 再根據我們上面只需考慮的三種可能造成差異的情況去算 relative inversion. 結果如 Table 2.3, 我們會發現產生的 π1 -inversion 和 π2 -inversion 是一樣的. type A. invπ1 (σ). invπ2 (σ). type B. (i). 1 (σj > ai+1 ≥ σi+1 ). 1 (σj > ai+1 > σi ). (i). (ii). 0. 0. (ii). (iii). 1 (ai+1 ≥ σi+1 > σj ). 1 (σi+1 > σj > ai ). (iii). (iv). 2 (ai+1 ≥ σi+1 > σj , σi > σj > ai ). 2 (ai+1 > σi > σj , σi+1 > σj > ai ). (iv). (v). 1 (ai ≥ σi+1 > σj ). 1 (ai+1 > σi > σj ). (v). invπ1 (σ) 2 (σi > σi+1 > ai , σj > ai+1 > σi+1 ) 1 (σi > σi+1 > ai ) 2 (σi > σi+1 > ai , σi > σj > ai ) 3 (σi > σi+1 > ai , σi > σj > ai , ai+1 > σi+1 > σj ) 2 (σi > σi+1 > ai , ai+1 > σi+1 > σj ). invπ2 (σ) 2 (ai+1 > σi > σi+1 , σj > ai+1 > σi ) 1 (ai+1 > σi > σi+1 ) 2 (ai+1 > σi > σi+1 , ai+1 ≥ σi > σj ) 3 (ai+1 > σi > σi+1 , ai+1 ≥ σi > σj , σi+1 > σj > ai ) 2 (ai+1 > σi > σi+1 , ai+1 ≥ σi > σj ). Table 2.3: Case 1 中兩種 type 的 π1 -inversion 和 π2 -inversion 的分佈情況. 16.

(21) 同理我們接著做另外一種 type: type B: ai+1 ≥ σi > σi+1 > ai 先不考慮 σj , 我們可以發現在 type B 的情況下一定會有 σi > σi+1 > ai 和 ai+1 ≥ σi > σi+1 發生, 這代表相較於 type A, π1 -inversion 和 π2 -inversion 都會多一個。而我們再來看 type B 中可能由 σj 所形成的 relative inversion, 用相似的分類法分成五類分別是 (i) σj > ai+1 ≥ σi > σi+1 > ai (ii) ai+1 ≥ σj > σi > σi+1 > ai (iii) ai+1 ≥ σi > σj > σi+1 > ai (iv) ai+1 ≥ σi > σi+1 > σj > ai (v) ai+1 ≥ σi > σi+1 > ai ≥ σj , 結果如 Table 2.3, 我們會發現他們恰為 type A 中 σj 所形成的 relative inversion 先將要算哪個 inversion 的 π1 , π2 交換, 再將 σi , σi+1 對調而成的. 舉個例子, 對照 Table 2.3, type B (i) 算 π1 -inversion 會有一個由 σj 形成的 σj > ai+1 > σi+1 , 剛好會是 type A (i) 算 π2 -inversion 中的 σj > ai+1 > σi , 因此 type B 中 π1 -inversion 和 π2 -inversion 也是一樣的. 這樣我們就能確定 Case 1 的所有情況中, invπ1 (σ) = invπ2 (σ). n o n oi Case 2: σi , σi+1 都落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 外如同 Case 1 的做法，這裡我們一樣可以分成三種 type, 然後把所有結果算出來. 但是在那之前我們可以先透過觀察發現, 在這個 Case 2 中, 除了 ai+1 ≥ σj > ai 的情況, 每個由 σj 所形成的 relative inversion, 只要在計算 π1 -inversion 和 π2 -inversion 的其中一邊出現, 將 ai , ai+1 對調後一定會在另一邊出現, 這是因為 σj 在這些情況下和 ai , ai+1 的大小關係是固定在同一邊的, 會同時大於 ai , ai+1 或是同時小於 (等於) ai , ai+1 , 所以才會有這種一起發生的狀況, 因此在 Case 2 中, 其實我們只需要考慮 ai+1 ≥ σj > ai 的情況就好. type a: σi+1 > σi > ai+1 ≥ σj > ai type b: ai+1 ≥ σj > ai ≥ σi+1 > σi type c: σi+1 > ai+1 ≥ σj > ai ≥ σi 我們把這三種 type 的所有 relative inversion 列出來, 如 Table 2.4. 可以發現一樣滿足 invπ1 (σ) = invπ2 (σ ). 剩下的情況皆為上面三種 type 改成 σi > σi+1 , 如同 Case 1, 我們一樣可以發現這些情況下由 σj 所形成的 related inversion, 如果先將要算哪個 inversion 的 π1 , π2 交換, 再將 σi , σi+1 對調, 就可以得到上述 3 種 type 的 related inversion. 因此我們會得到 Case 1 和 Case 2 都滿足 invπ1 (σ ) = invπ2 (σ), 這代表如果我們要找 invπ1 (σ) ̸= invπ2 (σ) 的情況, 只在 Case 3 中會發生, 而這就是我們要證明的結果. 17.

(22) type (a) σi+1 > σi > ai+1 ≥ σj > ai (b) ai+1 ≥ σj > ai ≥ σi+1 > σi σi+1. (c) > ai+1 ≥ σj > ai ≥ σi. invπ1 (σ) 1 (σi > σj > ai ) 1 (σj > ai > σi ) 2 (σi+1 > ai ≥ σi , σj > ai ≥ σi ). invπ2 (σ) 1 (σi+1 > σj > ai ) 1 (σj > ai > σi+1 ) 2 (σi+1 > ai+1 > σi , σi+1 > σj > ai ). Table 2.4: Case 2 中三種 type 的 π1 -inversion 和 π2 -inversion 的分佈情況 Proposition 2.2.2. 已知 π1 ,π2 兩個排列在 weak Bruhat order 上有連線且恰為第 i, i + 1 個位置對調 , 對於 · σi σi+1 · · · σn ∈ Sn , 若 σi , σi+1 n o σ =n σ1 σ2 · ·oi 恰有一者落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 中, 則可以找到一個 σ˜ = σ1 σ2 · · · σi+1 σi · · · σn ∈ Sn 使得 invπ1 (σ) = invπ2 (σ˜ ) 且 invπ2 (σ) = invπ1 (σ˜ ). Proof. 因為 σ, σ˜ 只差在 σi , σi+1 對調, π1 , π2 只差在 ai , ai+1 對調, 因此我們在算 π1 -inversion 和 π2 -inversion 時, 只要考慮跟 σi , σi+1 這兩個位置有關的 ai -inversion 和 ai+1 -inversion 的量有沒有不同就好. 另外我們又可以從一樣的條件得知, 如果在算 invπ1 (σ) 時出現一個由 σj 形成的 ai -inversion, 那麼我們一定可以在算 invπ2 (σ˜ ) 時看到一樣的 ai -inversion, 這件事在算 ai+1 -inversion 時一樣成立, 因此我們只需要考慮由 σi , σi+1 , ai , ai+1 所組成的 ai -inversion 就好. n o n oi 我們把 σi , σi+1 恰有一者落在 min ai , ai+1 , max ai , ai+1 中的情況分成四種 type 去算 σ 和 σ˜ 的 ai -inversion:(1) ai+1 ≥ σi+1 > ai ≥ σi (2) ai+1 ≥ σi > ai ≥ σi+1 (3) σi+1 > ai+1 ≥ σi > ai (4) σi > ai+1 ≥ σi+1 > ai . 所有結果如 Table 2.5. 由此我們可以確定所有情況都符合 invπ1 (σ) = invπ2 (σ˜ ) 和 invπ2 (σ) = invπ1 (σ˜ ), 故得證.. 18.

(23) type (1). invπ1 (σ ) 1 (σi+1 > ai ≥ σi ). (2). 0. (3). 0. (4). 1 (σi > σi+1 > ai ). invπ2 (σ ). invπ1 (σ˜ ). invπ2 (σ˜ ). 0. 0. 1 (ai+1 ≥ σi+1 > σi ). 1 (ai+1 ≥ σi > σi+1 ) 1 (σi+1 > ai+1 ≥ σi ). 1 (σi > ai ≥ σi+1 ) 1 (σi+1 > σi > ai ). 0. 0. 0 0 1 (σi > ai+1 ≥ σi+1 ). Table 2.5: 四種 type 的 σ 和 σ˜ 的 ai -inversion 分佈情況有了上面兩個 Propositions, 我們就可以證得最後的結論 Theorem 2.2.3. 已知 π1 ,π2 兩個排列在 weak Bruhat order 上有連線且恰為第 i, i + 1 個位置對調, 跑遍所有 σ ∈ Sn 後, 聯合分佈 (invπ1 (Sn ), invπ2 (Sn )) 具有對稱性, 也就是說 (invπ1 , invπ2 ) 是一組對稱聯合分佈. Proof. 對於 σ ∈ Sn , 如果 invπ1 (σ) = invπ2 (σ ), 那麼就是分佈表上的固定點, 如果 invπ1 (σ) ̸= invπ2 (σ ), 那麼根據 Proposition 2.2.1 和 Proposition 2.2.2 , 我們一定可以找到一個 σ˜ ∈ Sn 使得 invπ1 (σ) = invπ2 (σ˜ ) 且 invπ2 (σ) = invπ1 (σ˜ ), 這代表如果出現一個 σ = σ1 σ2 · · · σi σi+1 · · · σn ∈ Sn 滿足 invπ1 (σ) = a ̸= b = invπ2 (σ), 則必存在一個 σ˜ = σ1 σ2 · · · σi+1 σi · · · σn ∈ Sn 使得 invπ1 (σ) = a = invπ2 (σ˜ ) 且 invπ2 (σ) = b = invπ1 (σ˜ ), 所以我們可以得知 (invπ1 (S), invπ2 (S)) 具有對稱性, 也就是說 (invπ1 , invπ2 ) 是一組對稱聯合分佈. 而上述所有性質的推導過程, 都可以把排列 π 換成單純的字串 W, 所以可預期 Theorem 2.2.3 在字串上會有類似的結果. Theorem 2.2.4. 已知 W1 ,W2 為兩個任意數字組成的字串且恰為第 i, i + 1 個位置對調, 跑遍所有 σ ∈ Sn 後, 聯合分佈 (invW1 (Sn ), invW2 (Sn )) 具有對稱性, 代表 (invW1 , invW2 ) 也是一組對稱聯合分佈. Proof. 我們考慮 W1 = a1 a2 · · · an , 可以完全套用 Proposition 2.2.1 和 Proposition 2.2.2 的證明和結果, 因此過程跟 Theorem 2.2.3 基本上相同.. 19.

(24) Chapter 3. Relative descent 這章我們要先談排列中不同於 Mahonian 統計量的另一大類 Eulerian 統計量, 以及一個重要的 bijection, 也就是 (Foata’s) fundamental bijection. 之後我們要試著來定義 relative descent.. 3.1. Eulerian statistic and (Foata’s) fundamental bijection. 在前面我們已經定義過 descent, major index 以及 excedance. 在這個小節我們要介紹幾個跟這些統計量有關的重要結果. 首先我們先定義 Eulerian statistic, 如同第一章的 Mahonian, 我們將和 des 等分佈的統計量就稱為 Eulerian, 而其中一個重要的結果就是 des 和 exc 是同分佈的, 也就是說 excedance 也是 Eulerian 統計量. 我們將此結果寫成生成函數的形式: Theorem 3.1.1.. ∑. qdes(σ) =. σ ∈Sn. ∑. qexc(σ) .. (3.1). σ ∈Sn. 而這個結果的證明也是透過一個有名且重要的 bijection, 被稱為 (Foata’s) fundamental bijection, 是由 Cartier 和 Foata 所提出的 [[18]]. 我們直接說明這個函數如何作用. 首先我們將排列取 inverse, 也就是把從 1 到 n 的每個數字所出現的位置寫下來, 並寫成 cycle notation, 就是說將排列寫成一堆 cycle 的乘積, 舉個例子, 如果 σ = 31254, 那麼我們將它寫成 σ = (132)(45) 的形式, 接著我們把每個 cycle 的最大的數字寫作最前面的數, 像是一個 cycle (1324) 也可以寫成 (3241), (2413), (4132), 我們要取的就是把 4 寫在最前面的 (4132) 這種寫 20.

(25) 法, 然後我們再把所有 cycle 依照第一個數由小排到大, 最後再直接將 cycle 的括號去掉看成一個排列, 就是我們要的結果. 而這個 bijection 的反函數操作也很直觀, 首先我們定義一種數字叫做 left-right maximum, 也就是說這個數字比在它左邊的所有數字都大, 接著我們看一個排列的所有 left-right maximum, 把這些數字的前面加上一個 bar“|”, 類似我們在 Foata’s bijection 所操作過的, 把這些被分隔開的部分真的看成一個個 cycle , 最後我們從這些 cycle 寫回排列再取 inverse 就結束了. Example 3.1.2. 我們設 ω = 524136978, 先取 inverse 可以得到 ω −1 = 425316897, 然後我們把 ω −1 寫成 cycle notation 可以得到 (1435)(2)(6)(789), 接著我們將每個 cycle 的最大的數字寫到最前面, 得到 (5143)(2)(6)(978), 依照開頭數字的大小由小排到大變成 (2)(5143)(6)(978), 最後可以得到 ν = 251436978. 至於反函數的作法, 首先我們給定 ν = 251436978, 然後找出那些 leftright maximum, 這個例子中有 {2, 5, 6, 9}, 接著放 | 變成 |2|5143|6|978, 再把被分隔開的部分看成一個個 cycle 變成 (2)(5143)(6)(978), 再寫回排列成 425316897, 最後取 inverse 得到 ω = 524136978. 在這個例子我們會得到 exc(ω ) = des(ν) = 3. 透過這個 fundamental bijection 我們可以發現相當於把 exc 送到 des, 換句話說, 證明了這兩個統計量是等分佈的, 即為 Theorem 3.1.1.. 3.2. Seeking for relative descent. 在上一章有了 relative inversion, 我們自然會想問有沒有 relative descent. 這個章節我們就是要討論如何定義 relative descent 以及它的相關性質. 首先我們從 Remark 2.1.4 可以看出一件事, 對於 σ = σ1 σ2 · · · σn ∈ Sn , 在算 (related) k-inversion 時, 其實相當於用新的大小關係 ≺k 去算 σ 的 inversion. 因此對於 π = a1 a2 · · · an , 如果我們要算 (related) π-inversion 時, 其實就是先算在 ≺ a1 之下 σ1 σ2 · · · σi σi+1 · · · σn 的 inversion, 接著算 ≺ a2 之下 σ2 σ3 · · · σi σi+1 · · · σn 的 inversion, 一路算到 ≺ an−1 之下 σn+1 σn 的 inversion, 再把這些 inversion 加起來就是我們要的 invπ (σ). 利用這件事, 我們就可以來定義一個函數 g : Sn × Sn → Sn , 送法為下: 我們考慮一個集合 S = {1, 2, · · · , n}, 接著給定 σ = σ1 σ2 · · · σn , π = a1 a2 · · · an ∈ Sn , 先觀察 σ1 在 σ1 · · · σn 用 ≺ a1 這個大小關係之下是第幾大的, 我們就將 S 中第幾大的元素其記為 ω1 (∈ S), 並將其從 S 中去掉, 接著看 σ2 在 σ2 · · · σn 用 ≺ a2 這個大小關係之下是第幾大的, 就將 S \ ω1 中第幾 21.

(26) 大的元素其記為 ω2 (∈ S \ ω1 ), 並將其去掉, 重複此動作, 直到 S 中只剩最後一個元素, 則記為 ωn . 而我們就得到 g(σ, π ) = ω = ω1 ω2 · · · ωn ∈ Sn . Example 3.2.1. 我們來算 g(3421, 1234), 首先考慮 S = {1, 2, 3, 4}, 用 ≺1 這個大小關係之下看 3 是在 3421 當中第 3 大的, 所以 ω1 = 2, 接著看用 ≺2 這個大小關係之下看 4 在 421 當中是第 3 大的, 所以 ω2 就是 S \ ω1 = {1, 3, 4} 中第 3 大的 1, 再看用 ≺3 這個大小關係之下看 2 在 21 當中是第 1 大的, 所以 ω3 就是 {3, 4} 中第 1 大的 4, 剩下的 3 就是 ω4 , 因此 ω = ω1 ω2 ω3 ω4 = 2143. Example 3.2.2. 我們將 S3 上 g(σ, 123), des123 (σ) 和 maj123 (σ ) 的數據整理成表格的結果如下: σ 123 132 213 231 312 321. g(σ, 123) 321 312 132 123 213 231. des123 (σ) 2 1 1 0 1 1. maj123 (σ) 3 1 2 0 1 2. Table 3.1: S3 上 g(σ, 123), des123 (σ) 和 maj123 (σ) 的分佈情況. 因為在 S 中每個排列的大小關係都是唯一的, 所以我們可以簡單的確認這個函數 g 是映成 (onto) 的, 而且如果你固定 π, 那 g(−, π ) 會是一對一且映成的。特別地, 利用我們上面的觀察, 我們可以得知 invπ (σ) = inv(ω ), 因此我們就可以接著定義 relative descent. Definition 3.2.3. 利用上面所定義的函數 g, 對於排列 σ, 給定另一個排列 π, 我們將 σ 的 (relative) π-descent 定義為 desπ (σ) = des( g(σ, π )) = des(ω ). 而且 majπ (σ) = maj( g(σ, π )) = maj(ω ). 結合了函數 g 的性質和 Foata’s bijection, 我們可以推得 majπ (σ) = maj(ω ) = inv( φ(ω )) = invπ (δ) 對某些 δ 滿足 g(δ, π ) = φ(ω ), 則我們就有類似 Theorem 1.1.6 的結果. Theorem 3.2.4.. ∑. σ ∈Sn. qinvπ (σ) =. ∑. qmajπ (σ) .. (3.2). σ ∈Sn. 接著我們會想問在 relative descent 上有沒有類似 Theorem 2.2.3 的結果, 根據程式跑出來的數據, 我們猜測是有的: 22.

(27) Conjecture 1. 已知 π1 ,π2 兩個排列在 weak Bruhat order 上有連線且恰為第 i, i + 1 個位置對調, 跑遍所有 σ ∈ Sn 後, 聯合分佈 (desπ1 (Sn ), desπ2 (Sn )) 具有對稱性, 也就是說 (desπ1 , desπ2 ) 是一組對稱聯合分佈. 我們來看一下在 S3 上 desπ (σ) 和 majπ (σ) 的情況: σ 123 132 213 231 312 321. des123 (σ) 2 1 1 0 1 1. des132 (σ) 1 2 0 1 1 1. des213 (σ) 1 1 2 1 1 0. des231 (σ) 1 1 1 2 0 1. des312 (σ) 0 1 1 1 2 1. des321 (σ) 1 0 1 1 1 2. Table 3.2: S3 上 desπ (σ) 的分佈情況 σ 123 132 213 231 312 321. maj123 (σ) 3 1 2 0 1 2. maj132 (σ) 1 3 0 2 1 2. maj213 (σ) 1 2 3 1 2 0. maj231 (σ) 1 2 1 3 0 2. maj312 (σ) 0 2 2 1 3 1. maj321 (σ) 2 0 2 1 1 3. Table 3.3: S3 上 majπ (σ) 的分佈情況在 S4 之後的數據因為表格太大放不下所以就先省略, 但是我們可以從中看出分佈狀況並不那麼有規律, 也沒有像 Proposition 2.2.1 一樣可以從相同的條件去分類討論, 因此如何去有效地做分類以及還有沒有其他性質是個問題, 另外, 我們也在嘗試其他統計量上的結果, 像是 relative major index, 或是考慮 left weak Bruhat order 上有沒有其他對稱性質, 這些都是我們之後要繼續努力的方向之一.. 23.

(28) Chapter 4. Concluding remarks and problems 在這篇論文中我們證明了 Theorem 2.2.3 : 若 π1 , π2 在 weak Bruhat order 上有連線, 則這兩個統計量所形成的聯合分佈 (joint distribution) 是對稱的. 亦即 (invπ1 , invπ2 ) ∼ (invπ2 , invπ1 ). 並且將 π1 , π2 改成相差一個相鄰轉置的任何字串 W1 ,W2 , 結論仍然成立 (Theorem 2.2.4). 然而我們還留下許多問題有待解決, 詳細描述如下: 首先, 我們的主要定理並非若且唯若 (if and only if), 亦即 (invπ1 , invπ2 ) ∼ (invπ2 , invπ1 ) 時不一定保證 π1 , π2 在 weak Bruhat order 上必然有連線. 例如我們考慮 π1 = 2143, π2 = 1234 時, 兩者並不連線, 但有 (invπ1 , invπ2 ) ∼ (invπ2 , invπ1 ) 發生. 因此根本的問題如下: Problem 1. 刻畫 π1 , π2 的條件, 使得 (invπ1 , invπ2 ) ∼ (invπ2 , invπ1 ). 接著我們觀察下圖 (同 Figure 2.1), S4 上的 π1 , π2 在 Bruhat order 上的連線按照 (invπ1 , invπ2 ) 的分佈可以形成七類不同的情況.. 24.

(29) 4123. 1423. 4132 1432 4213. 1243 2143. 2413 4312. 1342. 4231. 4321. 1234 2431. 1324. 2134. 3142. 3412. 3124 2341. 3421 3241. 2314. 3214. Figure 4.1: The permutohedron of S4 根據我們的主要定理 (Theorem 2.2.3) 可以得知, 這些分佈是對主對角線對稱的. 但是有些類除了對主對角線對稱之外, 還是 180 度對稱. 一樣以 S4 為例, 七類的分佈結果如下: (我們一律假設第一 column 為 invπ1 , 第一 row 為 invπ2 ) 第一類 (橘色): 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 1 0 0 0 0 0. 1 1 2 0 0 0 0 0. 2 0 0 3 2 0 0 0. 3 0 0 2 2 2 0 0. 4 0 0 0 2 3 0 0. 5 0 0 0 0 0 2 1. 6 0 0 0 0 0 1 0. 我們注意到這一類同時也是 180 度對稱, 也對反對角線 (antidiagonal, 由右上到左下的對角線) 對稱. 25.

(30) 第二類 (綠色): 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 0 0 1 0 0 0. 1 0 1 0 0 2 0 0. 2 0 0 3 0 0 2 0. 3 1 0 0 4 0 0 1. 4 0 2 0 0 3 0 0. 5 0 0 2 0 0 1 0. 6 0 0 0 1 0 0 0. 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 0 1 0 0 0 0. 1 0 1 0 2 0 0 0. 2 1 0 2 0 2 0 0. 3 0 2 0 2 0 2 0. 4 0 0 2 0 2 0 1. 5 0 0 0 2 0 1 0. 6 0 0 0 0 1 0 0. 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 1 0 0 0 0 0. 1 1 2 0 0 0 0 0. 2 0 0 2 3 0 0 0. 3 0 0 3 0 3 0 0. 4 0 0 0 3 2 0 0. 5 0 0 0 0 0 2 1. 6 0 0 0 0 0 1 0. 第三類 (粉色):. 第四類 (紅色):. 26.

(31) 第五類 (黃色): 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 0 0 1 0 0 0. 1 0 0 0 0 3 0 0. 2 0 0 2 0 0 3 0. 3 1 0 0 4 0 0 1. 4 0 3 0 0 2 0 0. 5 0 0 3 0 0 0 0. 6 0 0 0 1 0 0 0. 我們發現以上五類都有 180 度對稱和反對角線對稱. 第六類 (紫色): 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 0 1 0 0 0 0. 1 0 2 0 1 0 0 0. 2 1 0 3 0 1 0 0. 3 0 1 0 3 0 2 0. 4 0 0 1 0 3 0 1. 5 0 0 0 2 0 1 0. 6 0 0 0 0 1 0 0. 0 1 2 3 4 5 6. 0 0 0 1 0 0 0 0. 1 0 1 0 2 0 0 0. 2 1 0 3 0 1 0 0. 3 0 2 0 3 0 1 0. 4 0 0 1 0 3 0 1. 5 0 0 0 1 0 2 0. 6 0 0 0 0 1 0 0. 第七類 (藍色):. 27.

(32) 但是最後的兩類卻沒有 180 度對稱, 也沒有反對角線對稱. 這七類把 weak Bruhat order 的邊著成七色. 這些著色在 Permutohedron (weak Bruhat order 視為多面體的骨架) 上看起來似乎有某種對稱性, 但目前我們並沒有一個好的猜想. Problem 2. 試著給出對稱性的刻畫. 換句話說, 給出 weak Bruhat order 的邊依照 (invπ1 , invπ2 ) 的分佈進行分類著色的規則. 我們試著把問題更一般化: Problem 3. Sn 上的 π1 , π2 在 weak Bruhat order 上的連線按照 (invπ1 , invπ2 ) 的分佈可以構成幾類? 每一類各有幾組? Problem 4. 同一類的 (invπ1 , invπ2 ) 應該如何刻畫? 彼此之間滿足什麼關係? 而且有些類似乎有機會求出雙變數生成函數. 如 π1 , π2 = (1234, 2134). 但一般的情形還有待繼續研究. Problem 5. 給定 π1 , π2 , 是否能夠求出雙變數的生成函數 F ( x, y) = ∑ xinvπ1 (σ) yinvπ2 (σ) ? σ ∈Sn. 除此之外, 我們還可以利用前一章所定義的 relative descent 進而去問類似的問題, 包含我們的 Conjecture 1. Problem 6. 刻畫 π1 , π2 的條件, 使得 (desπ1 , desπ2 ) ∼ (desπ2 , desπ1 ). 同理我們已經從 S3 上的數據 (Table 3.3) 知道 relative major index 並沒有類似 Theorem 2.2.3 的性質, 因此我們也可以問 relative major index 的對稱性的刻畫. Problem 7. 刻畫 π1 , π2 的條件, 使得 (majπ1 , majπ2 ) ∼ (majπ2 , majπ1 ). 除了 inversion, descent, 和 major index 以外, 我們也可以利用前面定義的函數 g (p.24) 來定義其他常見的統計量, 並試著把這些統計量已知的結果套用到與之對應的 relative statistics 上, 就如同 Theorem 3.2.4 一樣. 對於以上所留下的這些問題, 都還有待我們繼續研究.. 28.

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