复习与提高
复习 1 计算曲面积分
∫∫
z dS,其中 是由平面
= 0,y = 0,z = 0 和 + y + z = 1 所围成四面体 的整个边界曲面..
.
. 格林公式 . . 第三节
.
对面积的曲面积分 . . 第四节
.
对坐标的曲面积分 . . 第五节
. 高斯公式 . . 第六节
.
斯托克斯公式 . .
第七节
.
.
.
对坐标的曲面积分 . . 第五节
. 概念与性质 . . A
.
计算方法 . .
B
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧. 指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向: 外侧 法向量指向朝外内测 法向量指向朝内
.
.
.
.
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向: 上侧 法向量指向朝上下测 法向量指向朝下 .
.
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向: 外侧 法向量指向朝外内测 法向量指向朝内
.
.
.
.
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向: 上侧 法向量指向朝上下测 法向量指向朝下 .
.
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向: 外侧 法向量指向朝外内测 法向量指向朝内
.
.
.
.
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向: 上侧 法向量指向朝上下测 法向量指向朝下 .
.
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向:外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内
.
.
.
.
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向: 上侧 法向量指向朝上下测 法向量指向朝下 .
.
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向:外侧 法向量指向朝外
内测 法向量指向朝内
.
.
. .
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向: 上侧 法向量指向朝上下测 法向量指向朝下 .
.
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向:外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内
.
.
. .
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向: 上侧 法向量指向朝上下测 法向量指向朝下 .
.
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向:外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内
.
.
. .
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向:上侧 法向量指向朝上
下测 法向量指向朝下 .
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向:外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内
.
.
. .
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向:上侧 法向量指向朝上
下测 法向量指向朝下
⃗n
.
⃗n
.
.
定义 若曲面在整体上具有双
·
侧·
,则称它为可定向的.我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.
指定了法向量亦即选定了侧的曲面,称为有向曲面.
球面
2
+ y2
+ z2
= R2
可定向:外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内
.
.
. .
⃗n
.
⃗n
曲面 z = ƒ (
, y
) 可定向:上侧 法向量指向朝上
⃗n
.
.
.
.
.
.
.
.
问题 设稳定流体(假设密度为 1)的速度场为
⃗
( , y , z ) = P( , y , z )⃗+ Q( , y , z )⃗j+ R( , y , z ) ⃗k .
是速度场中的一片有向曲面,求单位时间内流向 指定侧(单位法向量为
⃗n)的流体的质量,即流量 .
.
⃗
( , y , z )
dS
⃗
.
⃗n
d = ⃗
· ⃗n dS
⇨
=
∫∫
⃗
· ⃗n dS
.
.
问题 设稳定流体(假设密度为 1)的速度场为
⃗
( , y , z ) = P( , y , z )⃗+ Q( , y , z )⃗j+ R( , y , z ) ⃗k .
是速度场中的一片有向曲面,求单位时间内流向 指定侧(单位法向量为
⃗n)的流体的质量,即流量 .
.
⃗
( , y , z )
dS
⃗
.
⃗n
d = ⃗
· ⃗n dS
⇨
=
∫∫
⃗
· ⃗n dS
.
.
问题 设稳定流体(假设密度为 1)的速度场为
⃗
( , y , z ) = P( , y , z )⃗+ Q( , y , z )⃗j+ R( , y , z ) ⃗k .
是速度场中的一片有向曲面,求单位时间内流向 指定侧(单位法向量为
⃗n)的流体的质量,即流量 .
.
⃗
( , y , z )
dS
⃗
⃗n
d = ⃗
· ⃗n dS
⇨
=
∫∫
⃗
· ⃗n dS
.
.
问题 设稳定流体(假设密度为 1)的速度场为
⃗
( , y , z ) = P( , y , z )⃗+ Q( , y , z )⃗j+ R( , y , z ) ⃗k .
是速度场中的一片有向曲面,求单位时间内流向 指定侧(单位法向量为
⃗n)的流体的质量,即流量 .
.
⃗
( , y , z )
dS
⃗
⃗n
d = ⃗
· ⃗n dS
⇨
=
∫∫
⃗
· ⃗n dS
.
.
问题 设稳定流体(假设密度为 1)的速度场为
⃗
( , y , z ) = P( , y , z )⃗+ Q( , y , z )⃗j+ R( , y , z ) ⃗k .
是速度场中的一片有向曲面,求单位时间内流向 指定侧(单位法向量为
⃗n)的流体的质量,即流量 .
.
⃗
( , y , z )
dS
⃗
⃗n
d = ⃗
· ⃗n dS
⇨
=
∫∫
⃗
· ⃗n dS
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.