z dS，其中  是由平面

复习与提高

复习 1 计算曲面积分

^∫∫

 z dS，其中  是由平面



= 0，y = 0，z = 0 和  + y + z = 1 所围成四面体 的整个边界曲面．

.

.

. 格林公式 . . 第三节

.

对面积的曲面积分 . . 第四节

.

对坐标的曲面积分 . . 第五节

. 高斯公式 . . 第六节

.

斯托克斯公式 . .

第七节

.

.

.

对坐标的曲面积分 . . 第五节

. 概念与性质 . . A

.

计算方法 . .

B

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧． 指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向： 外侧 法向量指向朝外

内测 法向量指向朝内

.

.

.

.

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向： 上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

.

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向： 外侧 法向量指向朝外

内测 法向量指向朝内

.

.

.

.

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向： 上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

.

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向： 外侧 法向量指向朝外

内测 法向量指向朝内

.

.

.

.

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向： 上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

.

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向：

外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内

.

.

.

.

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向： 上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

.

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向：

外侧 法向量指向朝外

内测 法向量指向朝内

.

.

. .

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向： 上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

.

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向：

外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内

.

.

. .

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向： 上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

.

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向：

外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内

.

.

. .

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向：

上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下 .

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向：

外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内

.

.

. .

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向：

上侧 法向量指向朝上

下测 法向量指向朝下

⃗n

.

_⃗n

.

.

定义 若曲面在整体上具有双

·

侧

·

，则称它为可定向的．

我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧．

指定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面．

球面 

²

+ y

²

+ z

²

= R

²

可定向：

外侧 法向量指向朝外 内测 法向量指向朝内

.

.

. .

⃗n

.

^⃗n

曲面 z = ƒ (

^, y

) 可定向：

上侧 法向量指向朝上

⃗n

.

.

.

.

.

.

.

.

问题 设稳定流体（假设密度为 1）的速度场为

⃗

 ( ^, y , z ) = P( ^, y , z )⃗+ Q( ^, y , z )⃗j+ R( ^, y , z ) ⃗k .

 是速度场中的一片有向曲面，求单位时间内流向  指定侧（单位法向量为

⃗n）的流体的质量，即流量 ．



.

⃗

 ( ^, y , z )

dS

⃗



.

⃗n

d = ⃗

 · ⃗n dS

⇨

=

∫∫



⃗

 · ⃗n dS

.

.

问题 设稳定流体（假设密度为 1）的速度场为

⃗

 ( ^, y , z ) = P( ^, y , z )⃗+ Q( ^, y , z )⃗j+ R( ^, y , z ) ⃗k .

 是速度场中的一片有向曲面，求单位时间内流向  指定侧（单位法向量为

⃗n）的流体的质量，即流量 ．



.

⃗

 ( ^, y , z )

dS

⃗



.

⃗n

d = ⃗

 · ⃗n dS

⇨

=

∫∫



⃗

 · ⃗n dS

.

.

问题 设稳定流体（假设密度为 1）的速度场为

⃗

 ( ^, y , z ) = P( ^, y , z )⃗+ Q( ^, y , z )⃗j+ R( ^, y , z ) ⃗k .

 是速度场中的一片有向曲面，求单位时间内流向  指定侧（单位法向量为

⃗n）的流体的质量，即流量 ．



.

⃗

 ( ^, y , z )

dS

⃗

⃗n 

d = ⃗

 · ⃗n dS

⇨

=

∫∫



⃗

 · ⃗n dS

.

.

问题 设稳定流体（假设密度为 1）的速度场为

⃗

 ( ^, y , z ) = P( ^, y , z )⃗+ Q( ^, y , z )⃗j+ R( ^, y , z ) ⃗k .

 是速度场中的一片有向曲面，求单位时间内流向  指定侧（单位法向量为

⃗n）的流体的质量，即流量 ．



.

⃗

 ( ^, y , z )

dS

⃗

⃗n 

d = ⃗

 · ⃗n dS

⇨

=

∫∫



⃗

 · ⃗n dS

.

.

问题 设稳定流体（假设密度为 1）的速度场为

⃗

 ( ^, y , z ) = P( ^, y , z )⃗+ Q( ^, y , z )⃗j+ R( ^, y , z ) ⃗k .

 是速度场中的一片有向曲面，求单位时间内流向  指定侧（单位法向量为

⃗n）的流体的质量，即流量 ．



.

⃗

 ( ^, y , z )

dS

⃗

⃗n 

d = ⃗

 · ⃗n dS

⇨

=

∫∫



⃗

 · ⃗n dS

.

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在文檔中 曲线积分与曲面积分 (頁 158-185)