曲线积分与曲面积分

(1)

第十一章·曲线积分与曲面积分

高等数学课程

2020 年 2 月 12 日

(2)

.

积分域积分学章节直线区间定积分第五章平面区域二重积分第十章空间区域三重积分第十章曲线弧段曲线积分 §1, §2 曲面区域曲面积分 §4, §5 积分关系积分公式章节曲线积分与二重积分格林公式 §3 曲面积分与三重积分高斯公式 §6 曲线积分与曲面积分斯托克斯公式 §7

(3)

.

积分域积分学章节直线区间定积分第五章平面区域二重积分第十章空间区域三重积分第十章曲线弧段曲线积分 §1, §2 曲面区域曲面积分 §4, §5 积分关系积分公式章节曲线积分与二重积分格林公式 §3

(4)

.

对弧长的曲线积分

.

第一节

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

格林公式 .

第三节

.

对面积的曲面积分

.

第四节

.

对坐标的曲面积分

.

第五节

(5)

.

对弧长的曲线积分

.

第一节

.

概念与性质

.

A

.

计算方法 .

B

(6)

.

引例：曲线型构件的质量

问题 设有曲线型构件 L，其位置在 y 平面内，两个 端点是 A 和 B, 线密度为 ƒ_(,y). 计算此构件的质量．

(7)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ L ƒ(,y) ds = lim λ→0 n ∑ =1 ƒ(ξ,η)Δs 其中 L 称为积分弧段，ds 称为弧长元素．

(8)

.

(9)

.

(10)

.

(11)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ L ƒ(,y) ds = lim λ→0 n ∑ =1 ƒ(ξ ,η)Δs 其中 L 称为积分弧段，ds 称为弧长元素．

(12)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ L ƒ(,y) ds = lim λ→0 n ∑ ƒ(ξ ,η)Δs 其中 L 称为积分弧段，ds 称为弧长元素．

(13)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ L ƒ(,y) ds = lim n ∑ ƒ(ξ ,η)Δs 其中 L 称为积分弧段，ds 称为弧长元素．

(14)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ ƒ(,y) ds = lim n ∑ ƒ(ξ ,η)Δs 其中 L 称为积分弧段，ds 称为弧长元素．

(15)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ ƒ(,y) ds = lim n ∑ ƒ(ξ ,η)Δs 其中 L 称为积分弧段，ds 称为弧长元素．

(16)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M_−1 . M . Mn−1 . (ξ,η) . Δs L 在平面上分段光滑 ƒ(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ_,η) ∈ L 定义 ƒ_(,y) 在 L 上的对弧长的曲线积分 ∫ ƒ(,y) ds = lim n ∑ ƒ(ξ ,η)Δs

(17)

.

对弧长的曲线积分

注记 1 对弧长的曲线积分又称为第一类曲线积分．注记 2 对闭曲线 L，记 ∫_Lƒ(,y) ds =∮_Lƒ(,y) ds．注记 3 若 L 是分段光滑曲线，ƒ_(,y) 在 L 上连续， 则 ∫ Lƒ(,y) ds 存在． 注记 4 ∫ L1 ds= Length(L)，即曲线弧 L 的长度．

(18)

.

对弧长的曲线积分

(19)

.

对弧长的曲线积分

(20)

.

对弧长的曲线积分

注记 1 对弧长的曲线积分又称为第一类曲线积分．注记 2 对闭曲线 L，记 ∫_Lƒ(,y) ds =∮_Lƒ(,y) ds．注记 3 若 L 是分段光滑曲线，ƒ_(,y) 在 L 上连续， 则 ∫ Lƒ(,y) ds 存在． 注记 4 ∫ 1 ds= Length(L)，即曲线弧 L 的长度．

(21)

.

对弧长的曲线积分的性质

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αƒ + βg) ds = α ∫ L ƒ ds+ β ∫ L g ds 性质 2 (分段和) 将积分弧段 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ L₁ ƒ(,y) ds + ∫ L₂ ƒ(,y) ds 性质 3 (保号性) 若在 L 上 ƒ(,y) ≥ g(,y)，则 ∫ L ƒ(,y) ds ≥ ∫ L g(,y) ds

(22)

.

对弧长的曲线积分的性质

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αƒ + βg) ds = α ∫ L ƒ ds+ β ∫ L g ds 性质 2 (分段和) 将积分弧段 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ L₁ ƒ(,y) ds + ∫ L₂ ƒ(,y) ds 性质 3 (保号性) 若在 L 上 ƒ(,y) ≥ g(,y)，则 ∫ L ƒ(,y) ds ≥ ∫ L g(,y) ds

(23)

.

对弧长的曲线积分的性质

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αƒ + βg) ds = α ∫ L ƒ ds+ β ∫ L g ds 性质 2 (分段和) 将积分弧段 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ L₁ ƒ(,y) ds + ∫ L₂ ƒ(,y) ds 性质 3 (保号性) 若在 L 上 ƒ_(,y) ≥ g(,y)，则 ∫ ∫

(24)

.

对弧长的曲线积分

.

第一节

.

概念与性质

.

A

.

计算方法 .

B

(25)

.

第一类曲线积分的计算

性质 设平面曲线 L 的参数方程为 (  = φ(t) y = ψ(t) ，其 中  _¶ t ¶ b，则弧长元素 ds = pφ′(t)2_{+ ψ}′_(t)2_dt. · · · · ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ b  ƒ(φ(t),ψ(t)) p φ′(t)2_{+ ψ}_′_(t)2_dt

(26)

.

第一类曲线积分的计算

性质 设平面曲线 L 的参数方程为 (  = φ(t) y = ψ(t) ，其 中  _¶ t ¶ b，则弧长元素 ds = pφ′(t)2_{+ ψ}′_(t)2_dt. · · · · ∫ ƒ(,y) ds = ∫ b ƒ(φ(t),ψ(t)) p φ′(t)2_{+ ψ}_′_(t)2_dt

(27)

.

第一类曲线积分的计算

特别地，若曲线方程为 y = ψ()（ _¶  ¶ b），则有 ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ b  ƒ[,ψ()] p 1+ ψ′()2_d · · · · 若曲线方程为  = φ(y)（ ¶ y¶ b），则有 ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ b  ƒ[φ(y),y]pφ′(y)2_{+ 1 dy}

(28)

.

第一类曲线积分的计算

特别地，若曲线方程为 y = ψ()（ _¶  ¶ b），则有 ∫ L ƒ(,y) ds = ∫ b  ƒ[,ψ()] p 1+ ψ′()2_d · · · · 若曲线方程为  = φ(y)（ ¶ y¶ b），则有 ∫ ( ) ds = ∫ b [φ(y) ]p ′_(y)2_{+ 1 dy}

(29)

.

例 1 求 ∫ Ly 2_{ds，其中 L 如右图．} ...  y . o . α . R . L

(30)

.

例 2 计算 ∫ L p_{y ds，其} 中 L 如右图所示． . . _ . y . o .. ₁ L : y= 2

(31)

.

第一类曲线积分：空间曲线

设空间曲线 L 的参数方程是_    = φ(t) y = ψ(t) z = ζ(t) ( ≤ t ≤ b) 则 ∫ L ƒ(,y,z) ds ..  . y . z . L = ∫ b  ƒ(φ(t),ψ(t),ζ(t)) p φ′(t)2_+ψ_′_(t)2_+ζ_′_(t)2_dt

(32)

.

第一类曲线积分：空间曲线

(33)

.

第一类曲线积分：空间曲线

(34)

.

第一类曲线积分：空间曲线

设空间曲线 L 的参数方程是_    = φ(t) y = ψ(t) z = ζ(t) ( ≤ t ≤ b) 则 ∫ L ƒ(,y,z) ds ..  . y . z . L = ∫ b (φ(t) (t) (t))p ′_(t) _+ψ′_(t) _+ζ′_(t)

(35)

.

例 3 求 ∫ L( 2_{+ y}2_{+ z}2_{) ds，其中} L 为螺旋线_    =  cos t y =  sin t z = bt (0 ≤ t ≤ 2π) ..  . y . z . L

(36)

.

复习与提高

复习 1 计算 ∫ Le +y_{ds，其中 L 是直线 2}_{− y = 2} 在第四象限部分．

(37)

.

复习与提高

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于  轴对称 若 ƒ_(,y) 关于 y 是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于 y 是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (,−y)

(38)

.

复习与提高

(39)

.

复习与提高

(40)

.

复习与提高

性质 (奇偶对称性) 设平面曲线 L 关于 y 轴对称 若 ƒ_(,y) 关于  是奇函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 0 若 ƒ_(,y) 关于  是偶函数，则 ∫ L ƒ(,y) ds = 2 ∫ L1 ƒ(,y) ds ..  . y . L . L1 . L2 . (,y) . (−,y)

(41)

.

复习与提高

(42)

.

复习与提高

(43)

.

复习与提高

题 1 已知椭圆 L :  2 4 + y2 3 = 1 的周长是 c，计算 ∫ L 2y+ 32+ 4y2ds ..  . y . L . 2 . p 3

(44)

.

复习与提高

题 2 计算 ∮  2_{ds, 其中  为球面 }2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1} 被平面 _{+ y + z = 0 所截的圆周.}

(45)

.

复习与提高

题 3 计算  ₌ ∮ ( 2 _{+ y}2 _{+ z}2_{) ds, 其中  为球面} 2+ y2+ z2 = 9₂ 被平面 + z = 1 所截得的曲线.

(46)

.

对弧长的曲线积分

.

第一节

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

格林公式 .

第三节

.

对面积的曲面积分

.

第四节

.

对坐标的曲面积分

.

第五节

(47)

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

概念与性质

.

A

.

计算方法 .

B

.

两类曲线积分的联系

.

C

(48)

.

引例：变力沿曲线所作的功

问题 设一个质点在 y 面内受到力 ⃗F(,y) = P(,y)⃗+ Q(,y)⃗j 的作用，从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B．计算在 此过程中变力 ⃗F(,y) 所做的功 W．

(49)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ L P(,y) d = lim λ→0 n ∑ ₌₁ P(ξ,η)Δ 其中 L 称为积分弧段．

(50)

.

(51)

.

(52)

.

(53)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ L P(,y) d = lim λ→0 n ∑ ₌₁ P(ξ ,η)Δ 其中 L 称为积分弧段．

(54)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ L P(,y) d = lim λ→0 n ∑ P(ξ ,η)Δ 其中 L 称为积分弧段．

(55)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ L P(,y) d = lim n ∑ P(ξ ,η)Δ 其中 L 称为积分弧段．

(56)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ P(,y) d = lim n ∑ P(ξ ,η)Δ 其中 L 称为积分弧段．

(57)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ P(,y) d = lim n ∑ P(ξ ,η)Δ 其中 L 称为积分弧段．

(58)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 P(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 P_(,y) 在 L 上的对坐标  的曲线积分 ∫ P(,y) d = lim n ∑ P(ξ ,η)Δ

(59)

.

. .  . y . A . B . L . M1 . M2 . M−1 . M . M_n−1 . (ξ,η) . Δ . Δy 有向曲线弧 L 光滑 Q(,y) 在 L 上有界 任意划分 L₌ ∪  L 任取点 _(ξ,η) ∈ L 定义 Q_(,y) 在 L 上的对坐标 y 的曲线积分 ∫ Q(,y)dy = lim n ∑ Q(ξ ,η)Δy

(60)

.

对坐标的曲线积分

注记 1 对坐标的曲线积分又称为第二类曲线积分．注记 2 规定 ∫ LP(,y) d + ∫ LQ(,y) dy =∫_LP(,y) d + Q(,y) dy 注记 3 若 L 是分段光滑曲线，ƒ_(,y) 在 L 上连续， 则 ∫ LP(,y) d 和 ∫ LQ(,y) dy 存在． 注记 4 设有向曲线弧 L 的起点为 A_(A,yA)，终点为 B(B,yB)，则 ∫ L1 d= B − A， ∫ L1 dy = yB − yA．

(61)

.

对坐标的曲线积分

(62)

.

对坐标的曲线积分

(63)

.

对坐标的曲线积分

注记 1 对坐标的曲线积分又称为第二类曲线积分．注记 2 规定 ∫ LP(,y) d + ∫ LQ(,y) dy =∫_LP(,y) d + Q(,y) dy 注记 3 若 L 是分段光滑曲线，ƒ_(,y) 在 L 上连续， 则 ∫ LP(,y) d 和 ∫ LQ(,y) dy 存在． 注记 4 设有向曲线弧 L 的起点为 A_( ,y )，终点为

(64)

.

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αP1+ βP2) d = α ∫ L P1d+ β ∫ L P2d 性质 2 (分段和) 将有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L P(,y) d = ∫ L₁ P(,y) d + ∫ L₂ P(,y) d 性质 3 (方向性) 设 L− 是 L 的反向曲线弧，则 ∫ L− P(,y) d = − ∫ L P(,y) d 注记 5 前两个性质与第一类曲线积分类似．

(65)

.

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αP1+ βP2) d = α ∫ L P1d+ β ∫ L P2d 性质 2 (分段和) 将有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L P(,y) d = ∫ L₁ P(,y) d + ∫ L₂ P(,y) d 性质 3 (方向性) 设 L− 是 L 的反向曲线弧，则 ∫ L− P(,y) d = − ∫ L P(,y) d 注记 5 前两个性质与第一类曲线积分类似．

(66)

.

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αP1+ βP2) d = α ∫ L P1d+ β ∫ L P2d 性质 2 (分段和) 将有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L P(,y) d = ∫ L₁ P(,y) d + ∫ L₂ P(,y) d 性质 3 (方向性) 设 L− 是 L 的反向曲线弧，则 ∫ P(,y) d = − ∫ P(,y) d 注记 5 前两个性质与第一类曲线积分类似．

(67)

.

性质 1 (线性和) 设 α 和 β 为常数，则 ∫ L (αP1+ βP2) d = α ∫ L P1d+ β ∫ L P2d 性质 2 (分段和) 将有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2，则 ∫ L P(,y) d = ∫ L₁ P(,y) d + ∫ L₂ P(,y) d 性质 3 (方向性) 设 L− 是 L 的反向曲线弧，则 ∫ P(,y) d = − ∫ P(,y) d

(68)

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

概念与性质

.

A

.

计算方法 .

B

.

两类曲线积分的联系

.

C

(69)

.

第二类曲线积分的计算

注记 设有向曲线弧 L 的参数方程为 (  = φ(t) y = ψ(t) ，其中 t :  b（从  单 · 调· 变到 b），则 d= φ′(t) dt, dy = ψ′(t) dt. · · · · ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy = ∫ b  h P φ(t),ψ(t)φ′(t) + Q φ(t),ψ(t)ψ′(t) i dt

(70)

.

第二类曲线积分的计算

注记 设有向曲线弧 L 的参数方程为 (  = φ(t) y = ψ(t) ，其中 t :  b（从  单 · 调· 变到 b），则 d= φ′(t) dt, dy = ψ′(t) dt. · · · · ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy ∫ bh i

(71)

.

特别地，若有向曲线弧为 y = ψ()（ :  b），则 ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy = ∫ b  h P ,ψ()+ Q ,ψ()ψ′()id · · · · 若有向曲线弧为  = φ(y)（y :  b），则 ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy = ∫ b  h

(72)

.

特别地，若有向曲线弧为 y = ψ()（ :  b），则 ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy = ∫ b  h P ,ψ()+ Q ,ψ()ψ′()id · · · · 若有向曲线弧为  = φ(y)（y :  b），则 ∫ L P(,y) d + Q(,y) dy ∫ _h

(73)

.

第二类曲线积分：平面曲线

例 1 计算 ∫ Ly d，其中 L 如右图所示． ... _ y . o . L :  = y2 . A(1,−1) . B(1,1)

(74)

.

第二类曲线积分：平面曲线

例 2 求  = ∫ L_y 2_d， 其中 L 如右图所示． _._.  . y . A(,0) . B(−,0) . L1 . L2

(75)

.

例 3 计算  = ∫ L_ 2y d+ 2dy 其中 L 如右图所示． . . _ . y . o . L2: = y2 . L3 . A(1,0) . B(1,1) . L1: y= 2

(76)

.

第二类曲线积分：空间曲线

设空间有向曲线弧  的参数方程是  = φ(t), y = ψ(t), z = ζ(t) (t :  b) 则有 ∫ L P(,y,z) d + Q(,y,z) dy + R(,y,z) dz = ∫ b  n P φ(t),ψ(t),ζ(t)· + Q φ(t),ψ(t),ζ(t)· + R φ(t),ψ(t),ζ(t)·odt

(77)

.

第二类曲线积分：空间曲线

设空间有向曲线弧  的参数方程是  = φ(t), y = ψ(t), z = ζ(t) (t :  b) 则有 ∫ L P(,y,z) d + Q(,y,z) dy + R(,y,z) dz = ∫ b  n P φ(t),ψ(t),ζ(t)· + Q φ(t),ψ(t),ζ(t)·

(78)

.

第二类曲线积分：空间曲线

设空间有向曲线弧  的参数方程是  = φ(t), y = ψ(t), z = ζ(t) (t :  b) 则有 ∫ L P(,y,z) d + Q(,y,z) dy + R(,y,z) dz = ∫ b  n P φ(t),ψ(t),ζ(t)· φ′(t) + Q φ(t),ψ(t),ζ(t)· ψ′(t)

(79)

.

第二类曲线积分：空间曲线

例 4 计算 ∫  3_d_{+ 3zy}2_dy_{− }2_{y dz，其中  是} 从点 A₍₃,2,1) 到点 B(0,0,0) 的直线段 AB．

(80)

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

概念与性质

.

A

.

计算方法 .

B

.

两类曲线积分的联系

.

C

(81)

.

两类曲线积分的联系

设有向曲线弧 L 的参数方程为  = φ(t), y= ψ(t), t 从  到 b,  < b. 则有 ∫ L P d+ Q dy = ∫ b  Pφ′(t) + Qψ′(t)dt = ∫ b   _p P· φ′ φ′2+ ψ′2 + Qψ′ p φ′2+ ψ′2  _·pφ′2+ ψ′2dt ∫

(82)

.

复习与提高

题 1 求  ₌ ∫ (z − y) d + ( − z) dy + ( − y) dz， 其中  是柱面 2_{+ y}2 _{= 1 和平面  − y + z = 2 的} 交线，从 z 轴正向看为顺时针方向．

(83)

.

复习与提高

题 2 将积分 ∫ LP(,y) d + Q(,y) dy 化为对弧长 的曲线积分，其中 L 沿上半圆周 2_{+ y}2_{− 2 = 0 从} O(0,0) 到 B(2,0)．

(84)

.

复习与提高

选择 设 ƒ_(,y) 有连续偏导数，曲线 C : ƒ (,y) = 1 过第二象限点 M 和第四象限点 N，L 为 C 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小 · 于· 零· 的是· · · · ·( ) (A) ∫ Lƒ(,y) d (B) ∫_Lƒ(,y) dy (C) ∫_Lƒ(,y) ds (D) ∫ ƒ′(,y) d + ƒ′(,y) dy

(85)

.

对弧长的曲线积分

.

第一节

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

格林公式 .

第三节

.

对面积的曲面积分

.

第四节

.

对坐标的曲面积分

.

第五节

(86)

.

格林公式 .

第三节

.

格林公式 .

A

.

曲线积分与路径无关的条件

.

B

.

二元函数的全微分求积

.

C

(87)

.

牛顿－莱布尼茨公式： ∫ b  F′() d = F()b  F′() 在闭区间的积分可以通过它的原函数 F() 在这 个闭区间的边界 (即两个端点) 的值来表达．问题上述公式在二重积分中的类比？格林公式： ∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy 在平面闭区域 D 上的二重积分可以通过沿闭区域 D 的边界曲线 L 上的曲线积分来表达．

(88)

.

牛顿－莱布尼茨公式： ∫ b  F′() d = F()b  F′() 在闭区间的积分可以通过它的原函数 F() 在这 个闭区间的边界 (即两个端点) 的值来表达．问题上述公式在二重积分中的类比？格林公式： ∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy 在平面闭区域 D 上的二重积分可以通过沿闭区域 D 的边界曲线 L 上的曲线积分来表达．

(89)

.

牛顿－莱布尼茨公式： ∫ b  F′() d = F()b  F′() 在闭区间的积分可以通过它的原函数 F() 在这 个闭区间的边界 (即两个端点) 的值来表达．问题上述公式在二重积分中的类比？格林公式： ∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy 在平面闭区域 D 上的二重积分可以通过沿闭区域 D

(90)

.

定义 设 D 为平面区域．如果 D 中任意一条闭曲线 所围部分都属于 D，则称 D 是单连通区域，否则称 D 是多连通区域．例子 如图，D1 是单连通区域，而 D2 是多连通区域． .. D1 .. D2 注记直观上，单连通区域是指不含“洞”的区域．

(91)

.

(92)

.

(93)

.

(94)

.

(95)

.

定义 设 D 为平面区域．如果 D 中任意一条闭曲线 所围部分都属于 D，则称 D 是单连通区域，否则称 D 是多连通区域．例子 如图，D1 是单连通区域，而 D2 是多连通区域． .. D1 .. D2

(96)

.

区域边界的定向

定义 对平面区域 D 的边界曲线 L，规定 L 的正向如 下：当观察者沿 L 的这个方向行走时，他的左侧区域 在 D 内部． D

(97)

.

区域边界的定向

(98)

.

区域边界的定向

(99)

.

区域边界的定向

(100)

.

定理 1 (格林公式) 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P_(,y) 及 Q(,y) 在 D 上具有一阶连续 偏导数，则有 ∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy, 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线．

(101)

.

∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy. · · · · 在格林公式中取 P _{= −y, Q = ，即得} A= ∫∫ D d dy = 1 2 ∮ L  dy− y d. 也就是说，可以用此公式来计算闭区域 D 的面积．

(102)

.

∫∫ D ∂Q ∂ − ∂P ∂y d dy = ∮ L P d+ Q dy. · · · · 在格林公式中取 P_{= −y, Q = ，即得} A= ∫∫ D d dy = 1 2 ∮ L  dy− y d.

(103)

.

例 1 求椭圆 _{=  cos θ,} y = b sin θ 的面积 A． . . _ . y .  . b . A . L

(104)

.

例 2 设 L 是一条分段光滑的闭曲线，证明：

∮ L

(105)

.

例 3 计算 ∫∫ De −y2 d dy，其中 D 是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形闭区域．

(106)

.

例 4 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的 连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向．计算 ∮ L  dy− y d 2_{+ y}2 . 情形 1：₍₀,0) ̸∈ D． .. D . L .  . y 情形 2：₍₀,0) ∈ D． .. D1 . L .  .  . y

(107)

.

例 4 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的 连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向．计算 ∮ L  dy− y d 2_{+ y}2 . 情形 1：₍₀,0) ̸∈ D． .. D . L . . y 情形 2：₍₀,0) ∈ D． .. D1 . L .  .  . y

(108)

.

例 4 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的 连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向．计算 ∮ L  dy− y d 2_{+ y}2 . 情形 1：₍₀,0) ̸∈ D． .. D . L . . y 情形 2：₍₀,0) ∈ D． .. D1 . L .  .  . y

(109)

.

格林公式 .

第三节

.

格林公式 .

A

.

曲线积分与路径无关的条件

.

B

.

二元函数的全微分求积

.

C

(110)

.

定义 设 G 是一个区域，函数 P_(,y)，Q(,y) 在 G 内具有一阶连续偏导数．如果对于 G 内任_· 意 · 指定的两 个点 A 和 B 以及 G 内从 A 到 B 的任 · 意· 两条曲线 L1 和 L2，等式 ∫ L₁ P d+ Q dy = ∫ L₂ P d+ Q dy 恒 · 成· 立· ，就说曲线积分 ∫ LP d+ Q dy 在 G 内与路径无关，否则就说与路径有关．

(111)

.

定理 2 设 G 是单_· 连 · 通· 区域，函数 P(,y)，Q(,y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，则下述三者等价： 1 在 G 内的曲线积分 ∫ L P d+ Q dy 与路径无关． 2 在 G 内的闭 · 曲线积分 ∮ C P d+ Q dy 恒为零． 3 在 G 内 ∂Q ∂ = ∂P ∂y 恒成立．注记由前面例子知道，对于多 · 连· 通· 区域，上述定理未必成立．

(112)

.

定理 2 设 G 是单_· 连 · 通· 区域，函数 P(,y)，Q(,y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，则下述三者等价： 1 在 G 内的曲线积分 ∫ L P d+ Q dy 与路径无关． 2 在 G 内的闭 · 曲线积分 ∮ C P d+ Q dy 恒为零． 3 在 G 内 ∂Q ∂ = ∂P ∂y 恒成立．

(113)

.

格林公式 .

第三节

.

格林公式 .

A

.

曲线积分与路径无关的条件

.

B

.

二元函数的全微分求积

.

C

(114)

.

定理 3 设 G 是单 · 连· 通· 区域，函数 P(,y)，Q(,y) 在 G 内具有一阶连续偏导数，则下述等价： 1 在 G 内的曲线积分 ∫ L P d+ Q dy 与路径无关． 2 在 G 内的闭 · 曲线积分 ∮ C P d+ Q dy 恒为零． 3 在 G 内 ∂Q ∂ = ∂P ∂y 恒成立．

(115)

.

注记 若在 G 内存在 _(,y) 使得 d = P d+Q dy， 则有 (,y) = ∫ _(,y) (0,y0) P(,y) d + Q(,y) dy. 在前面的式子中取特殊的路径，可以得到 (,y) = ∫  0 P(,y0) d + ∫ y y0 Q(,y) dy (1) (,y) = ∫  ₀ P(,y) d + ∫ y y₀ Q(0,y) dy (2)

(116)

.

注记 若在 G 内存在 _(,y) 使得 d = P d+Q dy， 则有 (,y) = ∫ _(,y) (0,y0) P(,y) d + Q(,y) dy. 在前面的式子中取特殊的路径，可以得到 (,y) = ∫  0 P(,y0) d + ∫ y y0 Q(,y) dy (1) ∫  ∫ y

(117)

.

二元函数的全微分求积

例 5 验证：在整个平面内，y2_d_{+ }2_{y dy 是某个} 函数的全微分，并求出一个这样的函数．

(118)

.

二元函数的全微分求积

例 6 验证： dy− y d

2_{+ y}2 在右半平面 ( > 0) 内是某 个函数的全微分，并求出一个这样的函数．

(119)

.

复习与提高

复习 1 利用格林公式计算曲线积分  = ∮ C (y4_{+ }3_{) d + 2}6_dy 其中 C 是矩形 _[0,1]×[0,1] 的边界，取逆时针方向．

(120)

.

复习与提高

题 1 设 L 为从 O₍₀,0) 到 A(4,0) 的上半圆周 y = p 4− 2_{，计算曲线积分}  = ∫ L (2_{+ 3y) d + (y}2_{− ) dy.}

(121)

.

对坐标的曲线积分

.

第二节

.

格林公式 .

第三节

.

对面积的曲面积分

.

第四节

.

对坐标的曲面积分

.

第五节

.

高斯公式 .

第六节

(122)

.

对面积的曲面积分

.

第四节

.

概念与性质

.

A

.

计算方法 .

B

(123)

.

引例：曲面型构件的质量

问题 设有曲面型构件 ，面密度为 ƒ_(,y,z)，计算 此构件的质量．

(124)

.

. . (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = lim λ→0 n ∑ ₌₁ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(125)

.

. . (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = lim λ→0 n ∑ ₌₁ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(126)

.

.. (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = lim λ→0 n ∑ ₌₁ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(127)

.

(128)

.

(129)

.

.. (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = lim λ→0 n ∑ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(130)

.

.. (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫  ƒ(,y,z) dS = lim n ∑ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(131)

.

.. (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫ ƒ(,y,z) dS = lim n ∑ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(132)

.

.. (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫ ƒ(,y,z) dS = lim n ∑ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS 其中  称为积分曲面，dS 称为面积元素．

(133)

.

.. (ξ,η,ζ) . ΔS .   在空间中分片光滑 ƒ(,y,z) 在  上有界 任意划分  ₌∪   任取点 _(ξ_,η,ζ) ∈  定义 ƒ_(,y,z) 在  上对面积的曲面积分 ∫∫ ƒ(,y,z) dS = lim n ∑ ƒ(ξ,η,ζ)ΔS