高精密度管型線性馬達應用於定位平台之設計與控制
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(3) 摘要. 摘要 本篇論文主要目的是設計並實現高精密且長行程的線性平台；在論文中 分別對硬體架構、推力的分析與定位控制做介紹。在管型伺服線性馬作推力 分析上，由於不同線性馬達，具有不同的磁力線分布；在導體上當線圈通以 電流，會產生磁通量Φ，其中Φ的大小與磁場密度和磁場強度來決定；經由 對磁通量對時間做微分一次，求得線性馬達的反電動勢為式子，最後依功能 原理推導得到力與電流之間的關係；經由模擬圖可以得知因本身結構，在弦 波的峰值會有干擾的產生。這些干擾對定位控制上有極大的影響。. 在線性平台的控制上，主要是使用傳統 PID 控制器搭配庫倫摩擦力模型 與適應滑動模型控制器，做定位控制與分析比較；其中在一些摩擦力與漣波 力，我們把他假設為 d，根據以上對於伺服管型馬達之動態模式推導與摩擦 力模型估測，其控制目標是設計並且控制適當之輸入電流使得系統具有大行 程與達成高精密定位準度之性能，亦即使得系統狀態參數快速到達設定位置 控制目標。由電腦模擬的結果，可以證實確實能達到良好的控制效果，以達 到長行程的運動控制。. 關鍵詞：管型線性馬達、定位平台. -I國立臺灣師範大學機電科技學系.
(4) 摘要. ABSTRACT. The purpose of this paper is to design and achieve a high-precision and long-stroke linear platform. We introduce three parts, about hardware architecture, analysis of the force and positioning control, in this paper. In the analysis of the force generated by the operation of the servo linear tubular motor, because different linear motor has a different distribution of magnetic field lines, when the current through the coil on the conductor , it will generate magnetic flux Φ, whose magnitude is decided by strength and density of the magnetic field. We get the function of the anti-EMF by the time derivative of magnetic flux, and finally we use the Functional principle calculated the relationship between force and current. By simulation figure we can see some disturbances on the peaks of the sine wave, These disturbances will have a profound influence on positioning control. In the controlling of linear platform, we do positioning control and analysis by using mainly based on traditional PID controller with Coulomb friction model and adaptive sliding mode control. We assume that the friction force and ripple as “d＂ at estimation of the servo linear tubular motor dynamic model and the friction model. Our goal is to establish a control system, when the current passes through the linear platform that can reach a long stroke and high precision positioning performance. We confirmed by computer simulation results, we really can get good control results in order to achieve the purpose of long stroke control.. Keywords: Servo linear tubular motor, Positioning control. - II 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(5) 致謝. 致 謝 本篇論文得以順利完成，首先要感謝我的指導教授 陳美勇 博士。感 謝 陳美勇 老師兩年來教導與提攜，在研究上提供多樣想法來協助學生。 並且時常跟學生教導待人處事道理、做研究的態度與需不斷的提升自己的 能力，因此從恩師身上學習良多，有助於未來在工作上與處事上有莫大的 幫助，在此，致上衷心的感激與謝忱。 此外，感謝口試委員 練光祐 博士與 洪紹剛 博士，於百忙之中仍不 吝撥冗對本論文給予諸多指教與建議，使本論文得以更加嚴謹與周延。 同時感謝學長. 昌翰 、 江禹 、 智瑋 、 哲祺 與 承翰 在求學期. 間，不斷互相幫助與教導，使我在研究上能夠順利的完成。也感謝實驗室 的好學弟們 建勳 、 傅文 、 可瑋 、 宗翰 、 建州 與 希哲，在研究 期間互相勉勵，在研究終能夠順利的發展。而在實驗室和諧的氣氛，在就 讀研究所兩年間，充滿美好回憶，在此感謝你們的陪伴，也祝福大家在未 來的人生道路上能夠有美好的發展。 最後要感謝家人們二十多年來對我的栽培與照顧，在求學過程中家人 們的不斷的支持與勉勵，使得我在求學過程中能夠安心念書，僅以此論文 獻給我敬愛的父親、母親與姊姊，在我們身邊無悔的支持與鼓勵，以及所 有關心我的師長、同學、學弟妹與諸多朋友們，願將這份喜悅與各位分享。. 馬偉恭 精密運動控制實驗室 ‐III‐ 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(6) 總. 目. 錄. 摘要 .................................................................................................................... Ⅰ ABSTRACT ....................................................................................................... Ⅱ 誌 謝 .................................................................................................................. Ⅲ 總目錄 ................................................................................................................ IV 圖目錄 .................................................................................................................VII 表目錄 .................................................................................................................. IV 第一章 緒論 ...................................................................................................... 1 1.1 前言 ..................................................................................................... 1 1.2 文獻回顧 ............................................................................................. 4 1.3 研究動機與目的 ................................................................................. 7 1.4 本論文之貢獻 ..................................................................................... 8 1.5 論文架構 ............................................................................................. 8 第二章 理論基礎 ................................................................................................ 9 2.1 電磁力原理 ........................................................................................ 9 2.2 永久磁鐵 ........................................................................................ 13 2.3 磁路模型分析 ................................................................................ 19 2.4 管型線性馬達動作原理 ................................................................ 21 第三章 系統設計概念 ...................................................................................... 24 3.1 機構系統設計 .................................................................................. 24 3.2 線性致動器 ...................................................................................... 24 3.2.1 線性馬達的種類 .................................................................. 24 3.2.2 管型線性致動器設計 .......................................................... 26 3.3 量測系統 .......................................................................................... 27 3.4 定位平台整體架構 .......................................................................... 28. - IV 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(7) 第四章 系統模型推導 ...................................................................................... 31 4.1 管型線性馬達之推力分析 ............................................................ 31 4.2 動態方程式 ...................................................................................... 37 第五章 控制器設計 ........................................................................................ 39 5.1 PID 控制系統................................................................................... 39 5.1.1 Ziegler-Nichols 調整演算法 ..................................................... 41 5.1.2 模擬結果 ................................................................................... 42 5.2 可控制性與可觀測性 .......................................................................... 45 5.3 適應滑動模型控制器 ........................................................................ 46 5.3.1 順滑平面 ................................................................................... 47 5.3.2 滑動平面控制器形成 ............................................................... 48 5.3.3 適應滑動模型控制器形成 ....................................................... 50 5.3.4 穩定度分析 ............................................................................... 50 5.3.5 模擬結果 ................................................................................... 51 第六章 實驗結果與討論 ................................................................................ 54 6.1 實驗設備 ........................................................................................ 54 6.1.1 定位平台 ................................................................................... 54 6.1.2 控制器介面 ............................................................................... 56 6.1.3 感測器 ....................................................................................... 60 6.2 PID 實驗結果................................................................................... 60 6.2.1 步階響應 ................................................................................... 60 6.2.2 弦波響應 ................................................................................... 62 6.2.3 方波響應 ................................................................................... 64 6.3 適應滑動模型控制器實驗結果 ........................................................ 65 6.2.1 步階響應 ................................................................................... 65 6.2.2 弦波響應 ................................................................................... 67 -V國立臺灣師範大學機電科技學系.
(8) 6.2.3 方波響應 ................................................................................... 69 6.4 平台實際推力 ................................................................................... 71 6.5 綜合討論 ........................................................................................... 72 第七章 結論與未來展望 ................................................................................ 73 參考文獻 ............................................................................................................ 74. - VI 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(9) 圖. 目. 錄. 圖 1-1. X、Y 與θ的三維定位平台 .................................................................. 1. 圖 1-2. 雙軸 XY 壓電致動器 ............................................................................. 2. 圖 1-3. 雙軸 XY 運動機械平台 ........................................................................ 3. 圖 1-4. Linear motor drive system ...................................................................... 4. 圖 1-5. Linear motor drive system ........................................................................ 5. 圖 1-6. Gantry-type industrial linear motor drive system ..................................... 6. 圖 1-7. Long-range high-precision dual stage ...................................................... 7. 圖 2-1. 線圈環繞的鐵心....................................................................................... 9. 圖 2-2. 羅倫茲原理圖解..................................................................................... 11. 圖 2-3. 佛萊明左手定則示意圖 ........................................................................ 12. 圖 2-4. 永久磁石之磁滯曲線圖 ........................................................................ 13. 圖 2-5. 永久磁鐵的磁積發展史 ........................................................................ 14. 圖 2-6. 磁路與電路關係圖：(a) 磁路模型；(b) 電路模型 ........................... 20. 圖 2-7. 徑向磁通管型線性馬達示意圖 ............................................................ 22. 圖 2-8. 軸向磁通管型線性馬達示意圖 ............................................................ 22. 圖 2-9. 管型線性馬達激磁方向示意圖 ............................................................ 23. 圖 2-10 管型線性馬達繞組剖面圖 .................................................................... 23 圖 3-1. 各種線性馬達之磁力分布圖 ................................................................ 25. 圖 3-2. 管型線性馬達透視圖 ............................................................................ 26. 圖 3-3. 管型線性馬達磁路圖 ............................................................................ 27. 圖 3-4. 光學感測器擺設位置架構圖 ................................................................ 28. 圖 3-5. 一維管型線性定位平台爆炸圖 ............................................................ 29. 圖 3-6. 一維管型線性定位平台之組合圖 ........................................................ 29. 圖 3-7. MGN 型線性滑軌產品圖 ...................................................................... 30 - VII 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(10) 圖 3-8. MGN 型線性滑軌結構示意圖 .............................................................. 30. 圖 4-1. 系統方塊圖 .............................................................................................. 31. 圖 4-2. 管型馬達內部示意圖 ............................................................................... 32. 圖 4-3. 管型線性馬達推力組成結構分析 ........................................................ 35. 圖 4-4. 管型線性馬達推力以 Frobenious 級數表式的呈現效果 .................... 36. 圖 4-5. 改善後的管型線性馬達推力圖 ............................................................ 36. 圖 5-1. 典型 PID 控制結構圖 .............................................................................. 40. 圖 5-2. 平台步階響應......................................................................................... 43. 圖 5-3. 平台定位誤差......................................................................................... 43. 圖 5-4. 平台弦波響應......................................................................................... 44. 圖 5-5. 平台定位誤差......................................................................................... 44. 圖 5-6. 狀態變數系統的可控制性 .................................................................... 46. 圖 5-7. 狀態變數系統的可觀測性 .................................................................... 46. 圖 5-8. 適應滑動模型架構圖 ............................................................................ 47. 圖 5-9. 飽和函數的定義..................................................................................... 49. 圖 5-10 步階響應之模擬圖 ................................................................................ 50 圖 5-11 平台定位誤差......................................................................................... 51 圖 5-12 弦波響應之模擬圖 ................................................................................ 51 圖 5-13 平台定位誤差......................................................................................... 52 圖 6-1. 管型線性平台外部組裝圖 .................................................................... 54. 圖 6-2. 管型線性平台側邊夾持機構 ................................................................ 54. 圖 6-3. NI PXI-6289 資料截取卡 ..................................................................... 56. 圖 6-4. PID 控制系統介面圖 ............................................................................. 57. 圖 6-5. PID 控制系統架構圖 ............................................................................. 57. 圖 6-6. 適應滑差模型控制系統介面圖 ............................................................ 58. 圖 6-7. 適應滑差模型控制系統架構圖 ............................................................ 58 - VIII 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(11) 圖 6-8. RGH 線性增量型感測器 ....................................................................... 59. 圖 6-9. 平台步階響應圖..................................................................................... 60. 圖 6-10 平台定位誤差......................................................................................... 60 圖 6-11 步階響應的控制量 u ............................................................................. 61 圖 6-12 平台弦波響應圖..................................................................................... 61 圖 6-13 平台定位誤差......................................................................................... 62 圖 6-14 弦波響應的控制量 u ............................................................................. 62 圖 6-15 平台方波響應圖..................................................................................... 63 圖 6-16 平台定位誤差......................................................................................... 63 圖 6-17 方波響應的控制量 u ............................................................................. 64 圖 6-18 平台步階響應圖..................................................................................... 65 圖 6-19 平台定位誤差......................................................................................... 65 圖 6-20 步階響應的控制量 u ............................................................................. 66 圖 6-21 平台弦波響應圖..................................................................................... 66 圖 6-22 平台定位誤差......................................................................................... 67 圖 6-23 弦波響應的控制量 u ............................................................................. 67 圖 6-24 平台方波響應圖..................................................................................... 68 圖 6-25 平台定位誤差......................................................................................... 68 圖 6-26 方波響應的控制量 u ............................................................................. 69 圖 6-27 平台實際推力圖..................................................................................... 69 圖 6-28 平台推力與電流關係圖 ........................................................................ 70. - IX 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(12) 表. 目. 錄. 表 2-1. 永久磁鐵的特性................................................................................... 16. 表 2-2. 永久磁鐵的優缺點比較 ...................................................................... 17. 表 2-3. 釹鐵硼磁鐵規格................................................................................... 18. 表 2-4. 等效磁路與等效電路對應關係 .......................................................... 21. 表 3-1. 各個驅動平台之比較 .......................................................................... 25. 表 5-1. PID 參數與系統時域性能指標之間的關係 ...................................... 41. 表 5-2. Ziegler-Nichols 調整公式 ................................................................... 42. 表 6-1. 電腦與控制系統規格表 ...................................................................... 55. 表 6-2. 控制器的比較表................................................................................... 71. -X國立臺灣師範大學機電科技學系.
(13) 第一章 緒論. 第一章 緒論 1.1 前言 隨著科技不斷的進步，精密運動控制技術廣泛地運用在工業上。因此對 平台的精密度需求不斷的提升，例如在半導體設備檢測上、工業機器處理工 具或是生物科學等應用等等….，因此所需的高精密度、快速驅動與低摩擦 力之機械裝置，因此高精密定位的技術，在量測儀器與機械加工機上扮演著 重要的地位。 [1-5]。. 圖 1-1 X、Y 與θ的三維定位平台[1] 平台中定位技術在製造產業上為重要技術之一，所謂定位(Positioning) 係指空間上某一點靜止點運動位移到另一靜止點之動作。其基本運動型態有 三： (1)物體驅動到所定位置，直到在所定精度內停止的間歇運動； (2)物 體啟動到某速度，直到在所在精度內等速移行的運動； (3)物體密切追隨空 間、時間變化之目標的運動。而定位精度的優劣可由準確性(Accuracy)與精. -1國立臺灣師範大學機電科技學系.
(14) 第一章 緒論. 確性(Precision)這兩項性能規格看出[6]，準確性係表示實際量測值與目標值 之間的差異程度；精確性係指對同一待測物做重複量測，得到量測值之間的 差異程度。若兩項性能達到一定的程度，就是所謂超精密定位。. 定位平台就是可以使物體跟著所預期的路徑移動，依次達到定位精度要 求的裝置；在運動行程方面主要分為短行程與長行程，其中壓電致動器為短 行程所最常用的驅動器，而雖然具有體積小與高精密性等優點，但存在的非 線性磁滯現象，在定位度上會產生較大的誤差。在長行程上主要是以滾珠導 螺桿與線性馬達為主要應用，在滾珠螺桿上主要是搭配步進馬達來做定位控 制；由於滾珠導螺桿有背隙的問題，對定位精度上產生嚴重的干擾。為了提 升精密度需求，線性馬達逐漸被工業界拿來應用，以減少定位誤差改善精密 定位的性能。[7-8]. 圖 1-2 雙軸 XY 壓電致動器[7]. -2國立臺灣師範大學機電科技學系.
(15) 第一章 緒論. 圖 1-3 雙軸 XY 運動機械平台[8] 由於工業界的需求量，近年來使得線性馬達不斷的變化，依照各所需求 的、生產品質，又可分為許多種類；而最常見可分為平板式線性馬達、U 型 板線性馬達與管型線性馬達(Servotube Actuator)；其中平板式具有較大的驅 動速度、較低驅動推力。如果需要較大的承載力，管型線性馬達由於磁力線 的分布，因此具有較大與較穩定的推力，並且在動子與定子間的摩擦力影響 是最小的，因配合實驗需求，本研究對管型線性馬達作家以探討，管型線性 馬達受磁力分布較均勻，而 U 性線性馬達受到的磁力分布在二側，至於平 板型的線馬單方向受磁力分布。. 在摩擦力的部分，精密定位平台上一直被視為很重要的課題；由於物體 間的相對運動，產生了非線性的摩擦力，精密定位的誤差影響甚大。如驅動 機台在啟動時會因摩擦力產生一個 delay 的問題。為了提升摩擦力影響的定 位精度，在機械方面上提升機構系統的精度、配合著滾珠滑軌與高精密的潤 滑油來減少摩擦力的產生；另外方面藉由控制法則來提升定位精度，藉由設 -3國立臺灣師範大學機電科技學系.
(16) 第一章 緒論. 計出控制器來對做補償，以降低摩擦力與機台震動等干擾。在控制器設計 上，傳統 PID 控制器藉由調整比例增益、積分值與微分值來做控制，配合著 初始補償與回授補償來達到降低外部干擾。所以本篇提出使用 PID 控制器， 來對管型線性馬達做分析；並且模擬定位誤差追蹤。. 1.2 文獻回顧 近年來之精密定位技術相關研究中，有許多種驅動與引導方式，本篇論文之 平台主體架構為管型線性馬達，因線性馬達具有高驅動速度、高剛度、較高的耐 衝力與較佳的精密度，藉由搭配外部光學尺可達到奈米等級的定位度。. Runzi Cao, Kay-Soon Low,[9]等學者，提出一維管型馬達的平台架構如 圖 1-1 所示。此線性平台搭配光學尺具有 1μm 的精密度，在動子上的質量 為 2.6 kg。在控制方面上，主要是以 PI 為架構結合重複預期控制模型(RMPC) 來做定位追蹤，並且分析在不同的振幅、不同的頻率與不同的負載中，所產 生的差異性，由實驗結果可得較合適與準確的結果。. 圖 1-4 Linear motor drive system -4國立臺灣師範大學機電科技學系.
(17) 第一章 緒論. Young-Doo Yoon, Eunsoo Jung, Seung-Ki Sul,[10]等學者，提出一維的線 性定位平台如圖 1-2 所示。此定位平台使用了平板式永磁線性同步馬達，所 使用的編碼器具有 40μm 的精密度，在動子上的質量為 3.2 kg。在控制方面 上，主要是以 PID 架構搭配干擾觀測器來做定位追蹤，由於定位平台在移動 時，所產生的非線性的干擾，為了使系統精確度提升，觀測器可以近似系統 的模型來對誤差做補償；並由實驗結果可得知，在不同頻率對定位誤差的差 異性。. 圖 1-5 Linear motor drive system Lu Lu, Zheng Chen, Bin Yao, [11]等學者，提出工業用的二維龍門型線性 平台的架構如圖 1-3 所示。此定位平台使用了平板式永磁線性同步馬達，所 使用的編碼器具有 0.5μm 的精密度，在動子上的質量分別為 0.5 kg 與 0.75 kg。在控制方面上，主要是以適應強健控制器(adaptive robust control)為主要 架構，主要功能為補償線性平台驅動時所產生的漣波力(cogging forces)，並 分別對 X 軸與 Y 軸做力分析與定位分析。 -5國立臺灣師範大學機電科技學系.
(18) 第一章 緒論. 隨著線性馬達快速發展，其所需的成本也逐年降低，因此在自動工業 場合不斷的被使用，在龍門(Gantry)架構的平台可有效提供高速度、大推力 與高穩定度的特性，對於在檢測元件、輸送物件與貨物倉儲管理上也逐漸廣 泛應用。. 圖 1-6 Gantry-type industrial linear motor drive system Jung-Jae Kim, Young-Man Choi, Dae-Gab Gweon,[12]等學者，提出二維 的線性平台的架構，此平台結合線性馬達與音圈馬達(VCM)如圖 1-4 所示。 此線性平台主要是對 X 方向做線性運動與對 Z 方向做旋轉運動，其搭配雷 射干涉儀具有 5 nm 的精密度。在控制方面上，由於檢測系統所需求是快速 且精確性高的需求，所以主要是以近似時間最佳化(PTOS)來做快速點對點運 動控制，然後搭配時間延遲控制器(TDC)來提升系統的強健性，使得穩態誤 差有效的收斂，達到精密定位控制。. -6國立臺灣師範大學機電科技學系.
(19) 第一章 緒論. 圖 1-7 Long-range high-precision dual stage. 1.3 研究動機與目的 近年來科技產業日漸蓬勃，在高精度與高性能的趨勢下，除了有效的提 升產品性質、使用年限與可靠性；在傳統製造上是以滾珠導螺桿搭配步進馬 達來做驅動，由於在步進馬達與傳動件上會有延遲的問題，在對定位精度上 有很大的影響，所以在製造過程中所需的設備上，需具有高速度、高精密度 的設備，因此逐漸被線性馬達所取代；線性馬達具有高速、高精密與較佳的 運動性能的特性，正符合現今製造產業的需求，因此不斷的被研究與發展。 現今市面上常見的線性馬達以平板式、U 型板式與圓管式為最常被應用，依 照所製程需求而選擇不同的種類的線性馬達。[13] 本篇研究之目的為設計一長行程且高精密度的線性平台，在驅動器方面 使用管型線性馬達來驅動，相較於其他種類的線性馬達，管型線性馬達具有 穩定的推力，因此可以承受較大的負載。而在底台的設計上，線性馬達搭配. -7國立臺灣師範大學機電科技學系.
(20) 第一章 緒論. 線性滑軌來做運動，所設計的運動行程大約為 225 mm；而在底台的材質為 使用鋁合金材料，相較於碳鋼鋁合金具有耐抗腐蝕不會受到環境所影響且質 量較輕可使平台輕量化，在加工上也較容易加工，可降低加工成本；利用簡 單化的驅動裝置與控制器設計，來達到長行程、高精密度、高穩定度與低成 本的線性定位平台。. 1.4 本論文之貢獻 本論文主要提出可分為三個部分，主要分為設計概念、磁推力的分析與 定位控制這三個部分，設計主要提出以最簡便的架構，來做長行程的定位系 統，由於管型線性馬達具有封閉的磁場，由於在運動過程中磁極間的變換使 得推力產生干擾，所以藉由模擬來有效的降低干擾力；在定位控制方面，主 要是以 PID 控制器來做定位，並使用干擾觀測器來近似系統模型，使得定位 精密度提升。[14]. 1.5 論文架構 本論文一共分為六章，各章內容依序如下： 【第一章】-緒論 【第二章】-理論基礎 【第三章】-系統設計概念與配置 【第四章】-系統模型推導與控制器設計 【第五章】-實驗結果與討論 【第六章】-結論與未來展望 -8國立臺灣師範大學機電科技學系.
(21) 第二章 理論基礎. 第二章 理論基礎 本章節將講述各本研究硬體架構所須之基本原理，包含有電磁力原理、 永久磁鐵、機械功率轉換成電功率，以便做為後續章節之平台設計基礎原理。. 2.1 電磁力原理. 電動機經由磁場來完成能量的轉換將電能轉換成機械能，一段通過電流 的導線會在其周圍產生磁場，一般可利用安培定律(Ampere's Laws)來說明磁 場之產生方式[15]. H dl I. (2-1). net. 上 式 中 ， H 是 由 淨 電 流 Inet 所 產 生 的 磁 場 強 度 (Magnetic Field Intensity)，單位為安培-匝/米(Ampere-turn/Meter)，其中 dl 為積分路徑的微 小距離。如圖 2-1 所示為一鐵心繞著 N 匝線圈。. 圖 2-1 線圈環繞的鐵心. -9國立臺灣師範大學機電科技學系.
(22) 第二章 理論基礎. 當鐵心上繞 N 匝線圈通以電流時，由電流與鐵心內（鐵心材質是由鐵或 其他導磁材料所製成）所產生的磁場。依照安培定律的積分路徑等於鐵心平 均長度 lc，因線圈有 N 匝，當通以電流 I 時，流過積分路徑的電流 Inet 為 Ni，此時安培定律式(2-1)可重新表示為(2-2). H. Ni lc. (2-2). 由式(2-2)可知磁場強度 H 與線圈電流 i 、圈數 N 成正比，但與磁路的 長度 lc 成反比。由此可見當鐵心尺度愈大，其平均磁路長度值就愈大，則磁 場強度就相對變小。磁場強度 H 所能建立磁場的作用的大小，在鐵心內磁 力線的多寡也就是磁通量(Magnetic Field Flux)，大部分與鐵心的材料有關， 物理學中以磁通密度(特斯拉(Tesla, T)) 表示磁場效應的大小，磁通量的大小 可以磁通密度 B (Magnetic Flux Density)表示，因此磁場強度 H 與磁通密度 B 間的關係為(2-3) B H. (2-3). 上式中所各符號代表的意思為 H ＝磁場強度 μ＝鐵心的導磁係數(Magnetic Permeability)，單位為亨利/米(henry/m)。 B ＝總磁通密度，單位為韋伯/平方米(weber/m2)。 在自由空間的導磁係數為μ0，我們通稱為真空導磁係數(Permeability in Vacuum)，其值得大小為 4π*10-7H/m2(亨利/米)，鐵心導磁係數μ與真空導 - 10 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(23) 第二章 理論基礎. 磁係數μ0 的比值稱為相對導磁係數( RelativePermeability ) μr，其關係為. r . 0. (2-4). 一般鐵心相對導磁係數多在 2000 到 6000 之間，甚至更高，這也表示 其鐵心導磁係數比空氣的高出許多；因此絕大部分的磁通量都會被集中在鐵 心內而不會脫離到導磁係數很小的空氣中。由式(2-1)~式(2-3)式之敘述，其 磁通密度的大小可表示為(2-5). B H . Ni. (2-5). lc. 根據羅倫茲原理(Lorentz｀s Principle)如圖 2-2 所示，將一通以電流的 導線置於磁力場 B 中，則會在導線上產生一作用力 F ，此作用力 F 的大小 與方向，決定於磁場的磁通密度 B 與流經導線 L 上的電流 i。可以藉由佛萊 明左手定則（Fleming＇s Left Hand Rule）來判斷作用力 F 方向；如圖 2-3 所式. 圖 2-2 羅倫茲原理圖解 - 11 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(24) 第二章 理論基礎. 圖 2-3 佛萊明左手定則示意圖 作用力 F 的大小，可依羅倫茲力(Lorentz Force)寫成如下方程式(2-6) F iL B. (2-6). 由於在平台致動器設計思考方向，磁通量的方向與電流方向為互相垂 直的擺設，因此我們可將作用力 F 以純量表示為(2-7) F iLB. (2-7). i ＝ 輸入電流向量 L ＝ 通過磁場之導線長度 B ＝ 分佈於自由空間裡的磁通密度向量. - 12 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(25) 第二章 理論基礎. 2.2 永久磁鐵. 在目前市面上所使用的眾多磁性體材料中，其中鐵磁性及陶鐵磁性為較 常使用，由於此材料擁有較強磁性能的特點。因此在工業實用價值的永久磁 石都為上述二大類。具有鐵磁性及陶鐵磁性的物質都會有磁滯曲線 (Hysteresis Loop)的產生。而磁滯曲線形狀及大小即關係著磁石材料的優與 劣。 一般常用的磁性體材料的磁滯曲線有二種圖型：一為 B-H 曲線，另一 為 M-H 曲線，如圖 2-4 所示。. 圖 2-4 永久磁石之磁滯曲線圖 一般來說磁化曲線是非線性的，由曲線上可看出 2 個特點，磁飽和現象 及磁滯現象。即當磁場強度 H 足夠大時，磁化強度 M 達到一個確定的飽和 - 13 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(26) 第二章 理論基礎. 值 Ms，繼續增大 H ，Ms 保持不變；以及當材料的 M 值達到飽和後，外磁 場 H 降低為零時，M 並不恢復為零，而是沿 MsMr 曲線變化。材料的工作 狀態相當於 M-H 曲線或 B-H 曲線上的某一點，該點常稱為工作點。 磁性材料的常用磁性能參數，飽和磁感應強度 Bs，其大小取決於材料的 成分，它所對應的物理狀態是材料內部的磁化量整齊排列。殘餘磁感應強度 Br，是磁滯迴線上的特徵參數，H 回到 0 時的 B 值。矩形比：Br Bs 矯頑力 Hc ，是表示材料磁化難易程度的量，取決於材料的成分及缺陷（雜質、應 力等） 。磁導率μ ：是磁滯迴線上任何點所對應的 B 與 H 的比值，與物件 工作狀態密切相關[16]。 硬磁材料經由磁化處理後，使得磁性不易消失，可用來做為永久磁鐵使 用，目前工業應用上普遍被使用的永久磁鐵材質包括鋁鎳鈷磁鐵(AlNiCo)、 鐵氧磁鐵(Ferrite)、釤鈷磁鐵(SmCo)及釹鐵硼磁鐵(NdFeB)。圖 2-5 為永久磁 鐵磁石(Magnetic Energy Product)的發展史。. 圖 2-5 永久磁鐵的磁積發展史 - 14 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(27) 第二章 理論基礎. 表 2-1 為各種磁石的特性表、表 2-2 材料之間優缺點比較。釹鐵硼是第 三代稀土永久磁石，在 1984 年，釹鐵硼磁鐵被美國通用和日本住友特殊金 屬公司同時開發出來，並註冊了專利。釹鐵硼磁石自誕生時，磁能積便已達 到 35 MGoe，當時一般氧化係的磁石其磁積能才約為 5 MGoe。此後釹鐵硼 磁石一直保有磁能積最強的稱號，直至今日仍尚未出現可與之取代的新硬磁 材料。目前工業量產可獲得的釹鐵硼磁鐵最高磁能積高達 52-55 MGoe ，已 達其理論最高磁能積 64 MGoe 的 84%。 釹鐵硼永磁材料是以金屬間化合物 Nd Fe B 2 14 為基礎的永磁材料。釹 鐵硼的優點是性能價格比高，具良好的機械特性，易於切削加工；不足之處 在於居禮溫度(Curie Temperature)點較低，溫度特性差，且易於粉化腐蝕，必 須通過調整其化學成分，和採取表面處理方法使之得以改進機械能，方能達 到實際應用的要求。. - 15 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(28) 第二章 理論基礎. 表 2-1 永久磁鐵的特性. AINiCo Property. Unit. AINiCo Magnet. Ferrite. Rare Earth. Sintered. Bonded. Sintered. Bonded. Sintered. Bonded. Ferrite. Ferrite. SmCo. SmCo. NdFeB. NdFeB. Magnet. Magnet. Magnet. Magnet. Magnet. Magnet. Residual Induction. kG. 11.5. 4.4. 3.1. 11.6. 8.5. 14.2. 7.3. kOe. 1.6. 2.8. 2.4. 10.1. 7.6. 11.7. 5.7. kOe. 1.7. 3.5. 3.0. >5.3. 11. >11. 9. MGOe. 11. 4.6. 2.2. 32. 17. 48. 11. %/K. -0.02. -0.18. -0.18. -0.03. -0.03. -0.11. -0.10. %/K. ~0. +0.4. +0.4. -0.2. -0.2. -0.6. -0.4. °C. 845. 460. 460. 795. 795. 335. 335. Kgf/mm. 28. 13. 6. 12. g/cm. 7.3. 5.0. 3.6. 8.4. 7.0. 7.5. 6.0. 650. 530. 550. 80-120. 600. 80-120. (Br) Coercive Force (bHc) Intrinsic Coercivity (iHc) Maximum Energy Product (BH)max Temperature Coefficient. α (Br) Temperature Coefficient. β (iHc) Curie Temperature Tc Flexure Strength. Density. Hardness Hv. - 16 國立臺灣師範大學機電科技學系. 25.
(29) 第二章 理論基礎. Electrical. μΩ •. Resistivity. cm. 60. >1010. 80. 44000. 150. 26000. (Data from Spin Technology Corp. in Taiwan) 表 2-2 永久磁鐵的優缺點比較. 優點. 缺點 矯頑磁力iHc 極低，易退磁. 鋁鎳鈷磁鐵 AlNiCo. 殘留感應磁力Br 高 溫度係數最滴低. 主原料中鈷及鎳價格不穩 定. 鐵氧燒結磁鐵 Ferrite Sintered 鉁鈷燒結磁鐵 SmCo Sintered 釹鐵硼燒結磁 鐵 NdFeB Sintered 釹鐵硼粘結磁 鐵 NdFeB Bonded. 主要原料豐富，價格最低廉 化學安定優異，不需表面處理 磁性能優異 溫度穩定性佳 不需表面處理 磁性能最優異 主要原料較鉁鈷磁鐵低 機械強度較鉁鈷磁鐵高 形狀自由度高 尺度精度高 可製成軟性磁鐵 可與其他零件一體成形. 磁性能較差 溫度係數偏高 主要原料鉁及鈷價格高昂 機械強度低，加工不易 溫度穩定性較差 易氧化需表面處理. 磁性能較燒結磁鐵低. 因為釹鐵硼磁鐵相對於一般鑄造鋁鎳鈷磁鐵系永磁材料和鐵氧體永磁 材料，釹鐵硼具有極高的磁能積和矯頑磁力，可吸引相當於本身質量的 640 倍的物體，具有高磁通能量密度的優點，因此釹鐵硼永磁材料在現代工業和 電子技術中獲得了廣泛應用，如在量測儀器儀表、電聲電機、磁選磁化等設. - 17 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(30) 第二章 理論基礎. 備的小型化、輕量化、薄型化成為可能。且自由度高，可依需求自行設計， 所以相當適合本研究開發出輕巧、長行程、高輸出力與穩定推力的定位平台 的目標，表 2-3 為本研究採用之釹鐵硼磁鐵各項規格。 表 2-3 釹鐵硼磁鐵規格. Specifications. NdFeB. Remanence (T). 1.29. Coercivity ( kA/m ). 990. Maximum energy product ( kJ /m3 ). 320. Density ( g /cm3 ). 7.49. Curie temperature ( °C ). 310. Resistivity (μΩm ). - 18 國立臺灣師範大學機電科技學系. 6.
(31) 第二章 理論基礎. 2-3 磁路模型分析. 由上一節可以得知，要求得馬達的推力，前提必須要對磁路計算了解， 才能知道馬達的所產生磁場分布與大小。當線圈通以電流與鐵心產生作用， 分別得到了鐵芯 Bi 與氣隙 Bg 磁通密度，如下式子(2-8)[17]. Bi . . , Bg . Ai. . (2-8). Ag. 經由章節 2-1 裡的式子(2-3)、(2-4)，把上式帶入改寫成式子(2-9). Ni . lg li Ai Ag. (2-9). 依照式子(2-9)，我們定義磁動勢 ξ 與磁阻 R，分別為式子(2-10)、(2-11). Ni. Ri . (2-10). lg li , Rg Ai Ag. (2-11). 經由化簡可式子(2-12). . . (2-12). Ri Rg. 觀察上面的推導，我們可以得知磁路模型與電路模型間有類似的地方， 以歐姆定律來對照，我們可以將磁動勢視為電壓、磁通量視為電流、磁阻視 為電阻，如圖 2-6 所示我們可以對應磁路與電路的相似性，將磁路視為電路， - 19 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(32) 第二章 理論基礎. 在依據電路的基本原理，把磁路模型簡單化，來得知馬達磁路之間的關係。. 圖 2-6 磁路與電路關係圖：(a) 磁路模型；(b) 電路模型 表 2-4 為等效電路與等效磁路之間的相似關係表，在磁路裡磁動勢推動 磁通在磁路流動，磁通與磁阻成反比，這都和電路相似，但電阻在電路中會 消耗能量，磁阻則是儲存磁路中的能量，兩者在物理意義上並不相同。. - 20 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(33) 第二章 理論基礎. 表 2.4 等效磁路與等效電路對應關係. 電路系統. 單位. 磁路系統. 單位. 驅動力. 電動勢 E. V. 磁動勢 ξ. At. 流通量. 電流 I. A. 磁通量Ф. Wb. 電阻 R. Ω. 磁阻. 1/H. 電導 G. 1/Ω. 磁導 P. H. 通量密度. 電流密度 J. A/m2. 磁通密度 B. T. 場強度. E dl V. V. H dl I. A. 阻抗. 2-4 管型線性馬達動作原理. 接下來對管性線性馬達的動作原理做介紹，一般市面上管型線性馬達內 部架構，主要分為徑向與軸向的分布。圖 2-7 為徑向磁通的馬達結構示意圖， 其中藍色部分的箭頭表示馬達磁通迴路所行徑的方向，由於徑向架構其永久 磁鐵附在表面上，因此製作過程中較為容易。圖 2-8 為軸向磁通的馬達結構 示意圖，其中箭頭表示馬達磁通迴路為軸向方向，但這兩種的運動原理與馬 達設計上都很相似。[17]. - 21 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(34) 第二章 理論基礎. 徑向. 定子. 軸向. 動子. 圖 2-7 徑向磁通管型線性馬達示意圖. 圖 2-8 軸向磁通管型線性馬達示意圖 當在動子線圈上通以電流，此時會產生電磁鐵，其電磁鐵會與定子的磁 鐵產生一互相的作用力，藉由磁鐵之間極性所產生的吸引與排斥現象，此時 線性馬達就會動作，當通於反向電流時，使得馬達反向移動，圖 2.9 為動子 線圈與定子磁鐵的迴路圖。. - 22 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(35) 第二章 理論基礎. 動子鐵芯. N S. N S. S N. S N. N S. N S. S N. S N. 定子鐵芯. 圖 2-9 管型線性馬達激磁方向示意圖 其操作原理與旋轉式馬達完全相同，其中線圈為可移動的，為三相電流 驅動電流，永久磁鐵為固定不動，線圈依據其與磁鐵的相對位置，通入正確 的電流，產生一平移的磁場，此一磁場與永久磁鐵所產生的磁場作用，即產 生推力，如下圖 2-10 所示。. A 動子線圈. N S. S N. B. B. N S. C. S N. N S. C. S N. N S. A. S N. 定子鐵芯. 圖 2-10 管型線性馬達繞組剖面圖 此外，雖然管型線性馬達具有高精密度、高驅動速度與穩定的推力；但 在磁極交換的時候，在磁極的邊界會有漣波力的干擾，使得在定位上會有所 影響，管型線性馬達的漣波力在章節四會加以介紹。. - 23 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(36) 第三章 系統設計概念. 第三章 系統設計概念 本章節將依據第二章理論基礎，發展其本研究目的所需之定位平台架 構，其中包含有運動平台設計、側邊支持架與感測器量測讀頭架設…等。. 3.1 機構系統設計 本篇論文之研究目的為達成長行程之機構設計，根據第二章節所提出的 電磁驅動原理，來設計出一維長行程的線性平台。其本研究定位平台設計結 果預計達成下列各項條件 1. 架構簡單輕小 2. 快速響應 3. 高精密的定位度 4. 低成本 5. 廣泛地被應用. 3.2 線性致動器. 3.2.1 線性馬達的種類 由於不同線性馬達，具有不同的磁力線分布；而管型線性馬達受磁力分 布較均勻，而 U 性線性馬達受到的磁力分布在二側，至於平板型的線性馬 達單方向受磁力分布。如圖 3-1 為各型馬達的磁力分布百分比，其中紅色部 分為動子，藍色部分為定子，灰色部分為永久磁鐵；三種的磁力分布分別為 25%、50%與 100%，故管型馬達可以承載較佳的負載力。. - 24 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(37) 第三章 系統設計概念. 圖 3-1 各種線性馬達之磁力分布圖 如果需要較大的負載力，管型線性馬達由於磁力線分布之均勻，因此具 有較大與較穩定的推力，並且在動子與定子間的摩擦力影響是最小的。下表 3-1 為各個驅動平台的比較，管型線性馬達具有可以產生較大的推力，且有 較大的工作行程；結合機構設計與控制系統設計，有效地設計出精密運動平 台。 在管性線性馬達內部磁路分析的部分；此類型馬達為三維空間的磁路 分佈，存在軸向與徑向的磁通分佈；其中軸向的磁通密度遠大於徑向磁通密 度，因此在徑向的磁通密度我們不加以探討。動子在定子上的不同位置會承 受到不同的電磁力量 F，故如何得到動子在定子上各點之電磁力量最先必須 考慮的課題[18]。. - 25 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(38) 第三章 系統設計概念. 表 3-1、各個驅動平台之比較 相關比較. 管型線性馬. 線性馬達. 滾珠導螺桿. 達 驅動速度. 佳. 較佳. 較差. 耗費成本. 較低. 較低. 中等. 精密度. 較佳. 較佳. 差. 原件磨耗. 較低. 低. 中等. 高. 高. 高. 承受溫度. 較高. 較高. 低. 噪音程度. 較低. 較低. 高. 耐衝擊力. 高. 高. 低. 出力大小. 中等. 中等. 佳. 剛性. 在管性線性馬達內部磁路分析的部分；此類型馬達為三維空間的磁路分 佈，存在軸向與徑向的磁通分佈；其中軸向的磁通密度遠大於徑向磁通密 度，因此在徑向的磁通密度我們不加以探討。動子在定子上的不同位置會承 受到不同的電磁力量 F，故如何得到動子在定子上各點之電磁力量最先必須 考慮的課題[18]。 3.2.2 管型線性致動器設計 本研究所使用的線性馬達為 COPLEY 1116 的管型線性馬達，而馬達的 驅動原理，利用線圈與永久磁鐵之間相互作用力，其產生推力的大小藉由輸 入電流大小來決定，藉由輸入電流將電能轉成機械能。如圖 3-2 所示為管型 線性馬達的透視圖，其中黑色部分為動子線圈，藍色桿件為定子，其定子內 部構造，永久磁鐵以固定間距擺置。. - 26 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(39) 第三章 系統設計概念. 圖 3-2 管型線性馬達透視圖 根據勞倫茲力(Lorentz，s Force)原理[17]，可得知當線性馬達所產生的推 力大小，會隨著電流大小成正比，只要能夠使推力與輸入電流成線性化，得 到精確的控制電流，以達到直線運動的目的。如圖 3-3 所示為管型線性馬達 磁路圖，當電磁鐵與磁鐵間產生一互相吸引的作用力，以達到動子產生移 動，而我們稱此作用力稱為推力(Thrust force)。. 圖 3-3 管型線性馬達磁路圖 - 27 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(40) 第三章 系統設計概念. 3.3 量測系統 本研究所使用的感測器型號為 RGH24，其解析度為 0.1μm， 為了使平 台運動過程中拿準確的讀取，故光學感測器擺設位置架構圖如圖 3-4 所示， 由圖中可知光學讀頭與光學尺間距離 0.8mm，且平行度要在正負十條之內， 否則在平台運行過程中會使讀取訊號不準確。. 圖 3-4 光學感測器擺設位置架構圖. - 28 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(41) 第三章 系統設計概念. 3.4 定位平台整體架構 經由前面章節架構分析，我們設計知單軸之線性定位平台如圖 3-5 所 示，平台架構為 530mm x 95mm x 10mm 大小的平台，其中平台機構設計上 分為 4 個部分，分別為底台、定子支撐架、馬達動子連結器與光學尺讀投連 結器，圖 3-6 為設計出管型線性平台的組合圖。. 圖 3-5 一維管型線性定位平台爆炸圖. 圖 3-6 一維管型線性定位平台之組合圖 - 29 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(42) 第三章 系統設計概念. 在線性滑軌部分，主要是使用上銀科技的 MGN 系列的線性滑軌如圖 3-7、3-8 所示，其主要的優點為體積小、輕量化，特別適合小型化設備使用。 滑塊、滑軌材質提供不鏽鋼及合金鋼兩種。不鏽鋼材質之線性滑軌，包含滑 塊、滑軌及其它金屬配件如鋼珠、保持器等，皆使用不鏽鋼材質，具備防鏽 的特性。 採用哥德型四點接觸設計，可承受各方向負荷，具備剛性強，精 度高等特性。 有鋼珠保持器設計，在精度允許下具備互換性。. 圖 3.7 MGN 型線性滑軌產品圖. 圖 3.8 MGN 型線性滑軌結構示意圖 - 30 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(43) 第四章 系統模型推導. 第四章 系統模型推導與控制器設計 根據前面章節對系統的敘述與基本原理之推導後，我們將對系統做推力 分析，依所得到管型線性馬達的推力方程式，在對系統做整體模型的推導； 在控制器方面，主要是以 PID 控制器架構與適應滑動模型控制來做定位分 析；圖 4-1 為本研究的系統方塊圖，此系統主要分為軟體與硬體兩大部分。. 圖 4-1 系統方塊圖. 4.1 管型線性馬達之推力分析 在第二章節的地方有對磁推力做基本介紹，因此本章節主要對磁推力做 更進一步分析與探討，由於不同線性馬達，具有不同的磁力線分布；接下來 我們對管型線性馬達的磁路作分析，在導體上當線圈通以電流，會產生磁通 量 Φ，其中 Φ 的大小與磁場密度和磁場強度來決定，圖 4-2 為管型線性馬達 的剖面示意圖。 在導體上當線圈通以電流，會產生磁通量 Φ，其中 Φ 的大小與磁場密 度和磁場強度來決定，由於線性馬達的結構，動子與定子間會產生氣隙；其 氣隙也會改變磁場的大小，式子(4-1)為基本的磁通密度表示式；其中 µ0 為 真空傳導係數、µr 為相對傳導係數、H 為氣隙的磁場強度、M 為磁鐵本身的 磁通密度。[19] - 31 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(44) 第四章 系統模型推導. 圖 4-2 管型馬達內部示意圖 0 H B 0 r H 0 M. (4-1). 接下來對管型線性馬達的磁場強度，以傅立葉級數來定義，如下式子 (4-2)；其中本論文提出的磁路結構為軸向，故在徑向的磁通可以不需加以討 論；式子(4-3)與式子(4-4)為對 Mz 做定義，其中定義τp 為極點間的寬度、τ. αp 為τm 與τp 的比值為定值，大小通常介於 0.7 至 0.8；Z. m 磁鐵的寬度、. 為一個 t 的函數，隨著時間而改變的位移量 M M z ez. (4-2). 2n 1 Brem sin 2 p cos mn Z M z 4 2n 1 n1.2.3.. 0 . mn . 2n 1. (4-3). (4-4). p. 依照磁通量公式Φ=BA=μ0MA 來代入式子(4-3)得到式子(4-5)，其中μ0 與 A - 32 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(45) 第四章 系統模型推導. 面積為定值；然後假設Φn 改寫成式子(4-6) sin 2 n 1 p 2 z 4 Brem A cos mn Z 2n 1 n 1.2.3.. . z . . . n 1.2.3... n. cos mn Z. (4-5). (4-6). 然後把磁通量對時間做微分一次，求得線性馬達的反電動勢為式子 (4-7)，由式子(4-7)所得到的結果，來推導Φn 的函式；式子(4-8)為管型線性 馬達磁通密度表示式，其中 BI1 與 BI0 為 Bessel 第一類函數而 BK0 與 BK1 為 Bessel 第二類函數，在 aIn 與 bIn 線性方程式的常數解，其之間的關係如下式 (4-9). . dz d n cosmn Z n sinmn Z v dt dt n1.2.3.. n1.2.3... BI r , z aIn BI1 mn r bIn BK1 mn r sinmn Z r n 1.2.3.. BI z r , z aIn BI 0 mn r bIn BK 0 mn r cosmn Z n 1.2.3.. . bI n . BI 0 mn Rs aI n BK 0 mn Rs . (4-7). (4-8). (4-9). 依照圓柱座標系統計算二重積代入函式(4-8)，由於我們系統架構為軸向 方向，固在磁場上 z 軸方向的函式，經由對 z 做積分後並以積化合差得到式 子(4-10). - 33 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(46) 第四章 系統模型推導 Z τ w /2 Rs. Φz Z τ. w /2. . Ri. 2π r BI z r, z dr dz. Z τ w /2 Rs. Z τ. w /2. . Ri. 2π r aIn BI 0 mn r bIn BK 0 mn r cosmn Z dr dz. R sinmn Z Z τ w /2 dr 2π R r aIn BI 0 mn r bIn BK 0 mn r mn Z τ w /2 s. i. sinmn Z τ w /2 sinmn Z τ w /2 R dr 2π R r aIn BI 0 mn r bIn BK 0 mn r * mn mn s. i. 2 R r aIn BI 0 mn r bIn BK 0 mn r dr Rs i. 2cos mn Z sin mn w / 2 mn (4-10). 依照函式(4-10)所推導的結果，定義干擾因子為 Kdn ，然後代回式子 (4-10)，如式子(4-11)、(4-12)所示可以跟式子(4-6)做對應，我們可以求得Φn 的表示式，如(4-13)所示： k dn . sin mn w / 2 mn w / 2. (4-11). Φz 2πτ w k dn R r aIn BI 0 mn r bIn BK 0 mn r dr cos mn Z . (4-12). Φn 2πτwkdn R raIn BI1 mn r bInBK1 mn r dr. (4-13). Rs i. Rs i. 所得到的磁通量函式，在定位平台上，管型線性馬達的推力、磁路分析 與摩擦力須加以探討；其中推力的大小，與所使用的電流的相對關係；隨著 線圈增加，所產生的感應電流也會變高。經由上一節磁路分析，其中動子與 定子間會有氣隙，而氣隙會影響到磁場密度的大小；因此在算推力，須把氣 隙所產生的影響考慮進去。求得反電動勢，由式子(4-14)電功能原理得知， 在定電流下動子移動量會對所做的功產生變化。其電功率為 P=I(安培)*ε(伏 - 34 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(47) 第四章 系統模型推導. 特)與機械功率 P=F(牛頓)*V(每秒多少公尺)，二式做化減得到推力與電流相 關的函式如式子(4-14)所示. P I* F*V. (4-14). F n sinmn Z i n 1.2.3... (4-15). . 由於我們可以利用 Frobenious 級數來模擬管型線性馬達的動態推力方 程式，因此方程式的階數 n 對於管型線性馬達推力的精度，將扮演著舉足 輕重的關係，由圖 4-3、圖 4-4 可以驗證，隨著 n 越大且趨近於無限大時， 推力 F 的動態大小越能精準的被呈現出來。[20]. 圖 4-3 管型線性馬達推力組成結構分析. - 35 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(48) 第四章 系統模型推導. 圖 4-4 管型線性馬達推力以 Frobenious 級數表式的呈現效果. 圖 4-5 改善後的管型線性馬達推力圖 為了改善頓動現象的干擾，我們嘗試將定子磁石的圓柱半徑與動子氣 隙間距做比例上的調整，使電磁力的磁通密度可以較均勻的分布，如此可 - 36 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(49) 第四章 系統模型推導. 改善頓動漣漪對於管型線性馬達推力的干擾，增加線性馬達的線性表現， 因此馬達在控制上的精準度也相對提升；如圖 4-5 所示，已經可以明顯的 看到，峰對峰值的頓動漣漪碎振現象已經明顯的改善。 由式子(4-15)，我可以藉由原廠給的參數反推推力 F 與電流 i 之間的 關係，由反電動勢做單一時間的積分運算，求得磁通的的大小，其中在 mn 部分上，磁極間距為 25.6 mm、n 為 100 與 Z 為 1 秒 40mm 的間距，經 由上述參數我們求得推力與電流之間的常數，如下圖 4-6 所示。. 圖 4-6 管型線性馬達推力與電流關係圖. 4.2 動態方程式 根據上一節力的分析我們可以對系統做模型推導，由牛頓第二定律可得 知系統動態方程式，如式(4-15)所示；由於本實驗並無彈性變化，固彈性係 數為忽略，. - 37 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(50) 第四章 系統模型推導. Mx Bx F f c - f ripple. (4-16). 其中 M 為整個平台之質量，B 為阻尼係數；x 平台沿單軸方向之位移量； F 為管型線性馬達輸出至平台之外力；fc 為沿 x 軸移動時所受之摩擦力；fripple 為由於磁極變換所產生的漣波力，f 為馬達定義的推力常數。 在推導系統動態模型，我們先把管型線性馬達的非線性像是為系統之外 部干擾，由於前章節對 F 推力做分析後，得到推力與電流之間為一定的比 例，將系統的摩擦力與漣波力定義為 w，故式子(4-16)改寫成式子(4-17). Mx Bx f * i w. (4-17). 其中 a1=B/M、a2=f/M，由於我的對系統非線性項之相關參數並不是太 清楚，所以我們假定 W 項為未知參數。經由拉式轉換推導得到系統動態方 程式為(4-18)式. x . B f w x * i M M M. (4-18). 接著我們將轉移函數重新表示成狀態空間形式，從系統動態方程式改寫 成系統矩陣、輸入矩陣與輸出矩陣，我們將式子(4-19)、(4-20)重新表示如下 X AX Bu Bd . (4-19). Y CX. (4-20). 其中我們定義 x=x1，dx1/dt=x2，把式子(4-17)改寫成矩陣型式為式子(4-21)、 (4-22)，其中 u 為系統的控制輸入量、 為平台系統的非線性干擾。 x1 0 x 0 2 . 1 B M. x1 0 x f ( u ) 2 . x Y 1 0 1 x2 . (4-21). (4-22) - 38 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(51) 第五章 控制器之設計. 第五章 控制器之設計 5.1 PID 控制器 PID 控制器在目前生產製程的控制中，應用最為廣泛的控制器之一。在 20 世紀 40 年代以前，除了最簡單的情況下可採用開關控制外，PID 是唯一 的控制方式。此後，隨著科學技術的發展，特別是數位式電腦的誕生和發展， 發展出許多新型的控制法則。然而到現在，PID 控制由於自身的優點仍然是 得到最廣泛應用的基本控制法則[21]。. PID 控制具有下列優點： 1.原理簡單，方便使用。 2.適應性強，可以廣泛應用於各種工業程序控制領域。 3.強軔性好，即其控制品質對被控制系統特性的變化不大敏感。 基於 PID 控制器的優勢，可藉由控制器的參數自動調整或自校正、自適 應的方法來實現。有利於在控制壓力、溫度與流量的控制，因此能被廣泛使 用的原因。當然對於高階系統與大延遲的系統，PID 控制器就比較難以控 制，需加以其他控制理論來提升系統性能。 在傳統工程實際中，PID 控制器架構主要是以比例(Proportional)、積分 (Integral)與微分(Derivate)三項控制器所組成，圖 5-1 所示為 PID 控制器的基 本型態。. - 39 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(52) 第五章 控制器之設計. 圖 5-1 典型 PID 控制結構圖. 這是典型的按誤差控制的負回授結構。其中 E(s)為輸出量 C(s) 目標值 R(s)之間的差，然後分別對誤差信號 E(s) 進行比例、積分與微分運算，其結 果的加權和構成系統的控制信號 U(s) ，作用於受控系統 G(s)，並引起輸出 量的響應變化，達到控制的目的。PID 控制器其控制的數學關係方程式(5-1) 為：. 1 t de( t ) u( t ) k p e( t ) e( )d Td Ti 0 dt . (5-1). 經由拉式轉換處理，可得 PID 控制器轉移函數關係式. Cb ( s ) . K s 2 K p s Ki U( s ) K K p i Kd s d E( s ) s s. 其中在(5-2)的代號分別為 Kp 為比例增益常數； Ki 為積分增益常數； Kd 為微分增益常數；. - 40 國立臺灣師範大學機電科技學系. (5-2).
(53) 第五章 控制器之設計. 比例增益 Kp 主要是使系統動作加快，並能使穩態誤差(Steady-state error) 稍微降低，但隨著 Kp 值的增加，會使系統的穩定性降低；積分增益 Ki 主要 是改善系統的穩態誤差，但也會使系統增加一階，在控制上變得複雜，隨著 Ki 值的增加，系統的震動會變得更加嚴重，使系統更加不穩定；微分增益 Kd 主要是預先修正誤差的能力，隨著 Kd 值的增加可以提升系統的響應速 度，相對的由於響應速度越來越快，使得雜訊容易被放大；表 5-1 為 Kp、 Ki 與 Kd 對 PID 控制器參數與系統時域性能指標之間關係 表 5-1 PID 參數與系統時域性能指標之間的關係 參數. 上升時間. 上升超越量. 安定時間. 穩態誤差. KP. 減少. 增加. 微小改變. 減少. Ki. 減少. 增加. 增加. 消除. Kd. 微小改變. 減少. 減少. 微小改變. 表 5-1 為當 PID 各個參數變化時，使得各系統性能指標的變化情況。由此 可知 Kp 、Ki 、Kd 這三項增益值若選取的適當，則 PID 控制器通常能對系 統提供不錯的輸出響應能力與穩定性，在本研究的應用中，系統的穩定性為 最重要的課題之一。由於必須同時對 Kp 、Ki 、Kd 三項參數做調整，所以 通常根軌跡與波德圖設計方法皆無法被直接採用。. 5.1.1 Ziegler-Nichols 調整演算法 在 1912 年 Ziegler-Nichols[22]，提出一種實用的 PID 控制經驗公式， 這經驗公式是基於帶有延遲的一階轉移函數模型提出的。系統模型可以表示 為 5-3 - 41 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(54) 第五章 控制器之設計. G(s) . k e sL 1 sT. (5-3). 其中 k 為程序增益、T 為程序時間常數與 L 為程序死區時間。 在實際的承程序控制系統中，有許多的系統模型可以近似的，由這樣的 一階模型來表示，如果不能物理的建立起系統模型，我們還可以由實驗提取 相應的模型參數表 5-2 經驗公式設計 PID 控制器，PID 控制器參數將可以 由表中給予的經驗公式設計出來。 表 5-2 Ziegler-Nichols 調整公式 由步階響應調整. 由頻域響應調整. 控制器類型 Kp. Ti. P. 1/a. PI. 0.9/a. 3L. PID. 1.2/a. 2L. Td. Kp. Ti. Td. 0.5Kc. L/2. 0.4Kc. 0.8Tc. 0.6Kc. 0.5Tc. 0.12Tc. 5.1.2 模擬結果 此章節我們使用 PID 控制器，對我們所推導的數學模型做的模擬分析， 分別對系統做步階響應與弦波響應，如圖 5-2、5-3 由步階響應圖可以得到好 的收斂效果，其誤差精度大約在 0.6 微米。在弦波響應上由於系統為反覆震 盪，在峰值的點有較大的誤差，使得定位效果較為不好，如圖 5-4、5-5 所示. - 42 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(55) 第五章 控制器之設計. 圖 5-2 平台步階響應. 圖 5-3 平台定位誤差圖. - 43 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(56) 第五章 控制器之設計. 圖 5-4 平台弦波響應. 圖 5-5 平台定位誤差圖. - 44 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(57) 第五章 控制器之設計. 5.2 可控制性與可觀測性 在控制系統上，因系統內部參數的不確定性以及外部所產生干擾與雜訊 的影響，本研究為了使控制器能具有強健性與能近似系統模型。在線性馬達 運動中，會產生摩擦力、漣波力矩與整體系統的不確定性。因此我們在使用 適應滑動模型控制器前，先整合觀測器來判斷出動態系統是否可控制性與可 觀測性，來有效地做定位補償。[23] 考慮系統為線性非時變系統，如下式 5-4 所示. X AX Bu y CX. (5-4). 假設初始時間為 t0，初始狀態為 X(t0)，若存在一連續控制力 u(t)，能在 任何有線時間區間[t0,tf]，使得狀態 X(t0)變化至 X(tf)，則此動態系統為完全狀 態可控制的。 為了確定系統為可控制的，其函式 5-5 為系統完全狀態可控制的充分必 要條件，其中矩陣的秩數 (rank) 為 n，我們通常稱為系統的控制性矩陣。. Cm B. AB. A2 B ......... An1 B . (5-5). 考慮系統為線性非時變系統，假設初始時間為 t1，初始狀態為 X(t1)，若 存在一連續控制力 u(t)，能在任何有線時間區間[t1,tf]，由輸出的觀測來決定， 則此動態系統為完全狀態可觀測的。 為了確定系統為可控制的，其函式 5-6 為系統完全狀態可觀測的充分必 要條件，其中矩陣的秩數 (rank) 為 n，我們通常稱為系統的觀測性矩陣。. - 45 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(58) 第五章 控制器之設計. C CA Om CA2 CAn1 . (5-6). 接下來我們對系統先對系統做可觀性與可控性做分析，下圖 5-6、5-7 為判別狀態系統方程式的可控性與可觀性. 圖 5-6 狀態變數系統的可控制性. 圖 5-7 狀態變數系統的可觀測性. 5.3 適應滑動模型控制器 經由上一章節的介紹後，可以得到系統為可控制性與可觀測性，以方便 在適應滑動模型上做參數的觀測與控制；為了提升系統的定位度，在系統不 確定性之參數做估計，我們設計適應滑動模型控制器；此章節我們將介紹適 - 46 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(59) 第五章 控制器之設計. 應滑動模型的模型推導與分析，並且模擬出步階、弦波與方波響應，如圖 5-8 所示，為適應滑動模型控制器的架構圖。. 圖 5-8 適應滑動模型架構圖 首先將系統的動態模型函式 4-17 描述為函式 5-7 x1 A11 x A 2 21. A12 x1 0 (u ) A22 x2 B2 . (5-7). 5.3.1 順滑平面 首先定義順滑平面的變數，其中 C1 大於零、S R，如函式 5-8 S CX c1. x I 1 x2 . (5-8). 當 S 趨近於零時的順滑模態下，根據等效原理此時系統會去趨向目標位 置，也就是 x 會落在滑動平面上，將函式 5-8 的 S=c1x1+x2=0 經由運算後得 到關係式 x2 c1 x1. (5-9). 將函式 5-9 帶回系統的動態模型，其中 A11 與 A12 為控制性，所以必須設 計 C1 保證出當 x1 趨近零時，x2 也為零，此得將不受到不確定因素干擾，也 - 47 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(60) 第五章 控制器之設計. 就是滑動平面的不變性。 5.3.2 滑動平面控制器形成 經由上章節介紹，我們必須設計 u 使得 x 收斂到滑動平面上，經由參數 估計來使平台追蹤誤差趨近於零。藉由 Lyapunov 函數為基礎，定義為函式 5-10 1 2 1 T S S S 2 2 1 1 V S T S S T S 2 2 T S S. V . (5-10). S T C X S T C AX B( u ). S T C AX CB( u ). 其中 C 為正值、B 為可控制性，因此 CB 為存在，定義為下式 0 I B2 B2 . CB c1. (5-11). 為了讓 Lyapunov 函數的 V 呈現負定情況，此時我們設計 u 的控制量為 函式 5-12 u . (5-12). 其中Φ為名義上的控制輸入，而 是為了消除不確定項 ，我們把它分 別假設為函式 5-13、5-14. CB - CAX - S ( 0) -1. - sgn(s). (5-13) (5-14). 把函式 5-12 代回 5-10 可以把 V 改寫成 5-15 - 48 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(61) 第五章 控制器之設計. V S T - S CB CB. (5-15). - S S T CB 2. 此時需設計 使得 S T CB 為負的，其中( )，令 S T CB SC S T CB SC SC T. T. (5-16). 接下來我們定義 S 屬於實數，如下圖 5-9 所示，S=|S|sgn(s)代入函式 5-16. 圖 5-9 飽和函數的定義 SC SC sgn( s ) SC . (5-17). SC sgn( s ) SC 0. (5-18). 令. 求得為 函式 5-19 -. 1 sgn( s ) sgn(s). (5-19). 所以當 V 小於等於 - S S T CB( ) ，此時 V 為負定，固當 V 趨近為零 2. 時，使得 S 也會往漸進於零。 - 49 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(62) 第五章 控制器之設計. 5.3.3 適應滑動模型控制器形成 接下來我們加入適應控制器，首先我們先對函式 5-7 改寫成函式 5-20， 其中 T x 為參數未知項,d 為系統的干擾，接下我們定義控制量 u，為函式 5-21。. . X AX B u T x d. . (5-20). u v. (5-21). 定義 Lyapunov 函數的 V 呈現負定情況，把函式 5-15 改寫成函式 5-22. . V -V S T v T x d. . (5-22). 把先前函式 5-14 定義得 v 改寫成函式 5-23，其中 ˆ T x 為 估測值 v -ˆ T x - sgns . (5-23). 定義適應控制率，為函式 5-24 ˆ r S x ˆ 0 任意. (5-24). 5.3.4 穩定度分析 選擇 Lyapounov 函數，並且做微分一次，經由推導可以使呈現半負定， ~. 而 - ˆ ，藉由調整適應率項以及 遠大於 d，如函式 5-25、5-26、5-27 所示 1 ~2 2r 1 ~ ~ V T 2r. w V . (5-25). - 50 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(63) 第五章 控制器之設計. 1 ~ ~ w V T r. . . . 1 ~ ~ V S T ˆ T x sgns T x d T r T 1 ~ ~ V S ˆ x T S S d r 1 ~ V T Sx ˆ S d r . . . w V. (5-26). (5-27). 此時為半負定，固只能定義出與具有邊界，因此使用拉賽爾定律(Lasalle) 來判定，當衡等於零時，此時 V 等於零與 x 等於零，固可以得到 lim x( t ) 0 ， t . 使得系統能漸進穩定。. 5.3.5 模擬結果 由模擬結果可以得知，適應滑差模型控制器具有良好的收斂效果，相對 於 PID 控制器具有更快與更好的穩態響應，如下圖 5-10、5-11 所示，分別 為步階與弦波響應。. 圖 5-10 步階響應之模擬圖 - 51 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(64) 第五章 控制器之設計. 圖 5-11 平台定位誤差圖. 圖 5-12 弦波響應之模擬圖. - 52 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(65) 第五章 控制器之設計. 圖 5-13 平台定位誤差圖. - 53 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(66) 第六章實驗結果與討論. 第六章 實驗結果與討論 為了驗證定位系統的控制性能，本實驗主要是採用 Labview 撰寫控制程 式，經控制器所計算出的控制量由 AD/DA 卡，送出給驅動器推動其管型線 性馬達致動器，然後由感測器讀取位移，再回授至控制器計算下一時間的控 制量，在研究中將進行一系列的控制實驗，包括定點、連續步階定位與斜坡 軌跡追蹤。在本章節裡會依序對控制實驗的結果進行討論。. 6.1 實驗設備 6.1.1 定位平台 經由章節 3.4 所提出的概念將平台結構設計完成後，將設計完成之平台 組合圖轉成工程圖面，交由加工廠商做機械加工，由於我們的定位平台為大 行程，且在厚度較薄，因此在加工上需維持其平行度，其精度須保持 0.05mm 誤差，否則將在往後平台在運行中，影響其平台定位精度；導致光學讀頭讀 訊號不穩，為了使平台達到輕量且高強度等條件，則選用鋁合金作為運動平 台材質，加工後如圖 6.1 所示。 在其餘零件部分，因為平台整體結構相互之間有很大的關係，所以需考 慮配合面之製造精度及表面粗糙度(Surface Roughness)，在側邊支撐價也相 當重要，由於定子部分與動子式呈現懸空狀態，因次必須要不斷的調校使得 定子能保持中心，經由一般機械加工處理，最後整體平台加工費用並不昂 貴，符合研究開端之架構簡易造價低廉之條件。組裝結果外觀如圖 6-1 所 示，圖 6-2 為側邊支撐架調整機構。. - 54 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(67) 第六章實驗結果與討論. 圖 6.1 管型線性平台外部組裝圖. 圖 6.2 管型線性平台側邊夾持機構. - 55 國立臺灣師範大學機電科技學系.
(68) 第六章實驗結果與討論. 6.1.2 控制器的介面 本實驗主要是利用控制程式，將所計算出的控制量透過 DA 卡送出給驅 動器推動其相對應之類音圈馬達致動器，然後由感測器讀取平台位移，再經 由 AD 卡回授至 PID 控制器計算下一時間的控制量，其電腦與控制系統規 格為表 6-1。 表 6-1 電腦與控制系統規格表. CPU. PentiumIV 2.4GHz. RAM. 1GB. Operating System. Windows XP. Language. LabVIEW7.1. AD/DA card. NI PXI-6289(16bits). 其中本研究選用之 AD/DA 轉換卡為美商國家儀器(National Instruments) 之 NI PXI-6289 圖 6-3，此卡為最佳化的高精確度多功能資料擷取卡(DAQ)， 適用於 18 位元解析度的類比輸入通道。此解析度相當於 DC 量測的 5 位 半解析度。為確保準確度，本身具有最佳化的 NI-PGIA 2 放大器技術，可得 到高線性度、可迅速調整至 18 位元解析度，並具有拒絕高頻雜訊的可程式 化低通濾波器，以防止圖形失真。高精確度的介面卡，具有類比輸出通道的 可程式化位移和參考記錄，可在任何訊號上獲得最高 16 位元解析度。高準 確度的 M 系列多功能 DAQ 資料擷取卡，適用於如裝置測試和特性分析的 應用，還有需要精準儀器等級準確度的感測器和訊號量測應用。. - 56 國立臺灣師範大學機電科技學系.
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