行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
拓樸最佳化位移放大機構之設計與製作
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC94-2212-E-151-006- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 國立高雄應用科技大學機械工程系 計畫主持人： 黃世疇 計畫參與人員： 藍志傑、李季旻 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 95 年 10 月 17 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫
■ 成 果 報 告 □期中進度報告拓樸最佳化位移放大機構之設計與製作
計畫類別： ■個別型計畫 □ 整合型計畫
計畫編號：NSC 94－2212－E－151－006－
執行期間： 94 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日
計畫主持人：黃世疇
共同主持人：
計畫參與人員：藍志傑、李季旻
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)： ■精簡報告 □ 完整報告
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中 華 民 國 95 年 10 月 1 日
拓樸最佳化位移放大機構之設計與製作
Design and Fabrication of Micro-Compliant Amplifier with
Topology Optimal Compliant Mechanism
計畫編號：NSC 94-2212-E-151-006 執行期限：94 年8 月1 日至95 年7 月31 日 主 持 人：黃世疇 國立高雄應用科技大學機械工程系 計畫參與人員：藍志傑 李季旻 國立高雄應用科技大學機械工程系 摘要 本計畫探討陶瓷壓電致動器應用在拓樸最佳化微撓性放大機構上，撓性機構 是一體成型之機構，它可以藉由材料本身之變形 產生一般機構之運動，而不是 利用一般機構中的轉動接頭產生運動。計畫中結合拓樸最佳化中的桁架網路法、 最佳化設計與連續線性規劃法，設計出輸出力與位移之間的最佳設計之拓樸最佳 化撓性位移放大機構。此機構是一個二維的平面結構，並不需要在製程中製作複 雜的接頭，故可以經由單純的微機電製程製造。此拓樸最佳化撓性放大機構結合 PZT 壓電微致動器後，即成為壓電驅動之拓樸最佳化微撓性放大機構致動器，此 致動器將具備輸出力與位移之間的最佳設計並且可以放大其輸入位移。此放大機 構具有驅動容易、適合於微製程、位移控制精準等優點。 關鍵詞：陶瓷壓電致動器、拓樸最佳化、撓性放大機構
Abstract
The objective of this project is to design and fabricate a micro-compliant amplifier with topology optimal compliant mechanism integrated with a piezoelectric microactuator. Compliant mechanism is a single piece flexure structure that delivers the desired motion by undergoing elastic deformation. The compliant mechanism in this study is just a two dimension structure that can fabricate by a simple manufacturing process. This topology optimum compliant displacement amplifier is made by combining the Ground Structure Parameterization, the optimal design, and Sequential Linear Programming method. In the fabrication process of the micro compliant displacement amplifier, it is modeled by SU-8 thick film photoresist process and lithography. The advantages of present design are easily manufacturing and driving. The complaint displacement amplifier integrate with the PZT microactuator is the optimum design between the force and displacement and can enlarge the output displacement.
Keywords: Piezoelectric Microactuator, Topology Optimization, Compliant Mechanism
1. 前言
微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)[1]。為科技界最具未 來發展潛力及前瞻性的研究領域之一，MEMS 由於具有體積小、可批量製造 (Batch fabrication) 以及易於創造高附加價值等優點，使得近年來有關 MEMS 的 研究普遍受到世界各國的重視。 而在微機電系統中若將尺寸縮小，則一些轉動接頭(Hinge)的製作將會變的 非常困難，解決接頭製程困難之方法，最主要是使用較小斷面積之結構，利用材 料 的 撓 性(Flexibility) 來 取 代 轉 動 接 頭 之 功 能 ， 又 稱 為 材 料 之 順 應 性 (Compliance)，來改變剛體結構的相對位置，因此可以避免剛性接點間的間隙所 造成的定位精度及元件磨耗等問題。所以逐漸發展出各式的撓性機構（Compliant mechanism）[2]，並有非常廣泛的應用，該機構可藉由撓性結構的形變。 透過撓性機構結合拓樸最佳化與目標函數後，將可以放大機構輸出位移及力 量，並可以得到設計區域內最佳設計形狀，由於此機構只是一個二維的平面結 構，並不需要在製程中製作複雜的接頭，所以可以經由單純的微機電製程製造。 2. 文獻探討 1960 年 Schmit[3]首先結合非線性規劃方法與有限元素法，達成結構尺寸最 佳化設計。1988 年 BendsØe 和 Kikuchi[4]提出固定設計領域的概念，採均質化理 論進行拓樸最佳化設計。1997 年 Larsen 等[5]利用負普松比的方式去分析並製造 出具有放大效果的微結構。1999 年 Kota 等[6]成功設計出一種放大位移的裝置， 縮小用來驅動微齒輪的梳狀致動器，其放大倍率為 1:10。2000 年 Saxena 等[7] 利用桁架分佈方法設計出撓性放大微鑷子機構與微位移放大機構。2002 年 Larry 等[8]發表利用熱致動器驅動之直線撓性放大機構，使驅動撓性機構效果可達到 放大輸出位移的作用。 3. 研究方法 3.1 撓性機構 傳統之機構是利用連桿(Links)與可動接頭(Joints)所組合來傳送運動、力量與 能 量 。 而 順 應 性 機 構(Compliant mechanisms) 又 可 稱 為 撓 性 機 構 (Flexibility mechanisms)，也是用來傳送運動、力量與能量，但是不同的是，它是以材料本 身的撓性(變形)來取代一般機構當中的接頭。撓性機構的優點在於它大大的減少
了零件的數量，並且降低了製造的流程，最重要的一點是它是由2-D 單層的材料
加工而成，這個特點在微機電製程中將會有相當大的優勢。
根據 Ananthasuresh 與 Frecker 將順應性機構分為兩部分[2]；一種稱為部份
撓性機構(Lumped compliant mechanisms)，如圖一所示，此種只是將接頭部份轉
換為較小斷面積的撓性結構，並使用 Persudo-rigid-body 來設計分析；另一種稱
為全撓性機構(Fully compliant mechanisms)，如圖一所示，它是利用整體材料的 撓性來產生機構的功能，本研究將針對全撓性機構來作拓樸最佳化設計。
(a) Lumped (b) Distributed 圖一 撓性機構類別: (a)部分撓性 (b)全撓性 [2] 3.2 拓樸最佳化設計 本文是利用拓樸最佳化的撓性機構結合壓電致動器應用於微機構之設計，設 計區域的意思是定義一區域形狀，在區域裡的外形暫時是未知的，必需經由拓樸 最佳化的過程找出在這區域中最適合的撓性機構形狀。設計區域的定義包括區域 形狀與尺寸、使用材料、邊界條件、桁架分割的大小與輸入力和輸出的位置、方 向、輸出部的彈簧係數，此彈簧主要是用來決定指定輸出部結構的剛性，其方向 與指定欲輸出的方向相同。本文分別分析兩種不同定義條件的微撓性放大機構， 其設計區域的定義如圖二所示，而其它詳細的定義列於表一。 其中拓最佳化又分為兩種方法[7]，如圖三所示，一種是桁架網路法，是以 桁架來作為設計區域裡的元素，而最佳化的變數是每個桁架元素的寬度，將每個 桁架寬度定為1，經過最佳化後的設計變數愈接近 1 代表此桁架元素需留下，反 之愈接近0 則可去除；另一種則是連續材料密度分佈法，是將設計區域以相同大 小的四邊形元素劃分，並將最佳化的變數定義為“正常化密度”。本研究將使用桁 架網路分佈法來作為結構最佳化設計。 圖二 撓性放大機構尺寸定義 輸出端 輸入端 B.C (all DOF) 5000µm 4000µm
表一 撓性放大機構之定義條件 (a) (b) 圖三 最佳化方法: (a) 桁架網路分佈法 (b) 連續材料密度分佈法 3.3 建立拓樸最佳化模型 對於結構的拓樸最佳化而言，它是利用結構的剛性(Stiffness)來作為最佳化 的目標。如圖四所示，假設在一個彈性體上承受外力，且希望此彈性體在承受此 負載下能有最佳化的形狀。換句話說，即是希望在此彈性體區域內找出一個最佳 的結構外型，此結構在承受外力下有最大的剛性。所以當一個結構承受外力，結 構的剛性可以平均順應度(Mean compliance, MC) [9]來表示： MC=
∑
i i iu F (1) 式中i 為承受外力點數量、Fi為外力、ui為外力作用下該點的位移量。 所以結構之順應性愈低，應變愈小，代表較小的應變能被儲存在結構內，所 以結構之剛性亦可以應變能(Strain Energy, SE)表示：SE=
∫
V σε 2 1 dV (2) 式中σ 為外力作用下的應力、ε 為外力作用下的應變。其矩陣型式為： SE= { } [ ]{ } 2 1 U K U T (3) 其中[K]為全域勁度矩陣、{U}為外力作用下的全域節點位移向量。 一個彈性體只承受一外力稱為結構拓樸最佳化，而圖五不只是承受外力的拓 樸最佳化，需在另外特定點上指定輸出位移，這就是結構與撓性機構拓樸最佳化 區域大小 材料 厚度 5000μm×4000μm SU-8 500μm 輸出部彈簧係數 壓電片大小 Mesh 形式 10~200 N/m 3000μm×2000μm [5x4]之差異。結構拓樸最佳化只需使得應變能(SE)為最小，但撓性機構的拓樸最佳化 必需考慮到輸出的位移，對於輸出位移∆ 可用相互應變能(Mutual Strain Energy, out MSE)表示。
如圖六所示，於指定欲產生輸出之點上施加一個同方向單位虛力(Unit
dummy load)，則 MSE 可表示為： MSE= ⋅ =
∫
V d out σ ε δ 1 dV (4) 式中σd為單位虛力作用下的應力、ε 為承受外力的應變。其矩陣形式為： MSE={V}T{K}{U} (5) 其中{V 為單位虛力作用下的全域節點位移向量、{K}為全域勁度矩陣、{U}} 為外力作用下的全域節點位移向量。 由上述所列，我們瞭解應變能(SE)可作為結構剛性的指標、相互應變能(MSE) 可作為結構在指定輸出點上的位移量。一個只承受外力的結構，其拓樸最佳化必 須使SE 最小，但若需要在指定的點上產生輸出位移，並且希望有最大的輸出位 移，則拓樸最佳化必須使 MSE 最大。所以拓樸最佳化的目的變成希望使得 SE最小、且MSE 最大，拓樸最佳化數學模型將變成多目標(Multi criteria)的最佳化
模型。 如圖七所示之設計區域上各只有單一輸入與輸出的設計定義，在此採用 Frecker et al.所使用的法則[10]： Minimize： ϕ= – SE MSE (6) 限制條件：0≤xi ≤1 (7) c 1 A x L ≤
∑
= n i i i (8) 將限制條件化為標準限制條件： 0 ) x ( 1 i =−xi ≤ g (9) 0 1 ) x ( 2 i = xi − ≤ g (10) 0 A x L ) x ( 1 ≤ − =∑
= C n i i i h (11)圖四 設計區域與問題定義 圖五 在指定點產生輸出之結構 圖六 於指定輸出點施加單位虛力 圖七 單一輸入與輸出之設計區域定義 3.4 求解最佳化模型 在求解上面非線性目標函數與非線性限制函數最佳化問題的方法上，本文是 採用連續線性規劃法(Sequential Linear Programming, SLP)求解[11]；SLP 是現今
拓樸最佳化系統中最常被使用的最佳化演算法，此方法之概念也是利用線性函數 來接近非線函數，將非線性函數在 x0 處以泰勒展開式展開，藉以簡化複雜問題 迅速求得最佳解，使非線性函數成為較簡單求解的線性問題，將此線性問題的解 作為下一次迭代的新設計變數，每次的解將會比前一次更接近原非線性函數的最 佳解，一直迭代至滿足收斂為止。 目標函數： Minimize：
∑
= ∆ ∂ ∂ = n i i i i 1 x x ) x ( ) x ( ϕ ϕ (12) 限制條件： 0 x x ) x ( ) x ( ) x ( 1 0 1 1 ∂ ∆ ≤ ∂ + = i i i i i i i i g g g (13) 0 x x ) x ( ) x ( ) x ( 2 0 2 2 ∂ ∆ ≤ ∂ + = i i i i i i i i g g g (14) A x x ) x ( ) x ( ) x ( 1 0 < ∆ ∂ ∂ + =∑
= n i i i i i i h h h (15) 式中ϕ(x)為線性化後之目標函數，g1i(xi)、g2i(xi)與h(xi)為線性化後之 限制條件，xi為設計變數向量(正常化寬度)，xi0代表每個元素初始設計變數，∆xi 為每個元素之設計變數變化量。 當使用連續線性規劃法求解非線性最佳化問題時，在初始設計點取一階泰勒 展開近似時，只在展開點附近的區域才能滿足近似原非線性函數，所以我們必須 對設計變數變化量∆x 的大小有所限制，稱為”移動限制”。若沒有對設計變數變 化量有所限制，有可能使得變數變化量太大而超過展開點太多，導致求解錯誤或 發散。若是採用較大的移動限制或許會增加收斂的速度，但也增加了無法求得最 終解的可能。而較小的移動限制可以增加求得最終解的可能，但也必須花費更長 的時間來求解。本文在迭代的過程中，對於移動限制都控制在設計變數變化量採 用百分之二十，並確認可以得到收斂解。 3.5 微撓性放大機構之設計 圖八為微撓性放大機構之3D 圖。其設計步驟是先設定一設計區域並建立出 最佳化的數學模型，求得最佳化模型之梯度函數，並在ANSYS 中作結構分析求 得SE 與 MSE，最後以連續線性規劃法求解最佳化問題。而在結構分析方面是使 用ANSYS 有限元素分析軟體、求解最佳化工具是使用數值軟體 MATLAB 中的 最佳化工具箱。圖八 拓樸最佳化微撓性放大機構立體示意圖 3.6 壓電致動器 壓電致動原理[12,13]為利用壓電參數中應變常數d 產生延著 x 軸方向之力31 量與位移去驅動微撓性放大機構，本文中使用有限元素分析軟體ANSYS 來模擬 壓電致動器在不同輸入電壓參數下的輸出位移與輸出力量。 本文中所使用之壓電微致動器尺寸為3000µmx2000µmx500µm，其模擬結果 如圖九所示，於壓電陶瓷上下層施加電壓，則前端將會往前致動，施加不同電壓 負載對於輸出位移與力量間的關係如圖十所示，當施加電壓由20V 上升到 100V 則微致動器輸出位移由 0.54µm 升高到 4.35µm 而力量也由 1545µN 上升到 12368µN。 圖九 壓電致動器模擬變形圖 Fixed port Fixed port Output displacement Iutput force Compliant mechanism 致動方向
圖十 施加電壓與壓電致動器輸出位移和力量之關係 3.7 拓樸最佳化撓性放大機構 圖十一表示出利用前述拓樸最佳化方法所得到的拓樸最佳化撓性放大機構 之形狀，彈簧常數為150 N/m，其中不同紅色粗細代表桁架不同寬度，而消失的 部分代表越趨近於0，則桁架元素被去除，最終得到最佳化結果。撓性放大機構 的初始變數為0.2，經過大約 310 次之迭代後達到收斂，收斂過程如圖十二所示， 最終收斂於-0.122。圖十三及圖十四為表示 SE、MSE 在求解中變化趨勢，SE 為 應變能代表著此撓性放大機構在承受載力下其收斂值為 3200µN‧µm；MSE 收 斂值為10.5。而圖十五是拓樸結果以 ANSYS 模擬分析得到之變形圖，在壓電致 動器輸入電壓為15V，輸入力約為 6000µN，可得到輸出位移為 21.3µm。 圖十一 拓樸最佳化結果
圖十三 SE 與迭代次數之關係
圖十四 MSE 與迭代次數之關係
3.8 實作與量測 本計畫選用拓樸最佳化結果中K=150 N/m 的結果來實作測試，製程步驟如 圖十六所示，製程是使用雙層SU-8 厚膜光阻配合犧牲層技術： 步驟一、 在晶圓上濺鍍一層約 200Å 的鉻金屬作為中介層。 步驟二、 在鉻上濺鍍一層約 4000Å 的銅作為犧牲層。 步驟三、 先在銅上利用塗佈機，分兩階段旋轉塗佈厚度約 250µm 的 SU-8 厚膜 光阻，靜置後進行軟烤。 步驟四、 經曝光及曝後烤，進行顯影，可在 SU-8 光阻上得到撓性放大機構， 曝光方式是使用接觸式曝光方式。 步驟五、 顯影後，再以氯化鐵將犧牲層銅移除，即可將撓性放大機構，其釋放 之結構如圖十七所示。 圖十六 微撓性放大機構製程流程圖 晶圓 鉻 SU-8 銅
4. 結果與討論 4.1 拓樸最佳化 本節將對拓樸最佳化過程中的設計參數，包括輸出部的彈簧常數與機構厚度 做進一步的探討，並討論參數對於拓樸最佳化結果的影響。 圖十八為固定厚度為500µm，而輸出部上不同彈簧常數的拓樸最佳化結果， 如圖所示，紅色部分為撓性放大機構主體，而虛線部分為變形後拓樸圖形，由此 觀察到彈簧常數為10 N/m 之拓樸圖形末端支點上冒出一些支節，而圖形顯得較 為零亂，彈簧常數為30 N/m 圖形幾乎為上下對稱，由圖十九中可以發現彈簧常 數上升時MSE 則下降，不過減少量與彈簧常數增加量相比是較小的，而且因為 輸出部的對外抵抗力等於彈簧常數乘上 MSE；換句話說，輸出部的的抵抗力越 小則撓性放大機構輸出端材料寬度就會較細，但由圖中可以發現彈簧常數為 120N/m 是一個分界點，超過此係數後的圖形，位移及輸出力量則會相當接近， 位移大約皆停留於24µm~25µm 輸出力則為 700µN ~734µN。 (a). K=50 N/m (b). K=100 N/m (g). K=150 N/m (h). K=200 N/m 圖十八 不同彈簧常數之拓樸最佳化結果 圖十九 不同彈簧常數對拓樸最佳化結果的影響
而在相同設計區域下藉由改變機構厚度得到不同拓樸最佳化圖形，如圖二十
所示。而厚度與SE 與 MSE 的關係如圖二十一所示，隨著厚度增加，SE 與 MSE
也隨著降低，這意味著當SE 變小，撓性機構之剛性隨著上升，所以輸出位移是 跟著厚度增加而減小。另外一方面，MSE 降低代表著撓性放大機構輸出端桁架 材料分佈較小，也就是較細，則使得輸出力將隨著厚度的增加而減小。 根據前述可以得知，彈簧常數的增加將使撓性放大機構之輸出力與輸出位移 增加，不過其結構剛性則下降。另外，關於厚度方面，增加機構厚度將得到更大 的機構剛性，不過相對的，將降低輸出性能。 (a).Thickness=200µm (b).Thickness=500µm (c).Thickness=800µm 圖二十 不同設計區域厚度之拓樸最佳化結果 圖二十一 不同設計區域厚度對 SE、MSE 的關係 4.2 驅動與量測 為了驗證實際元件與理論值之差異性，在本章節中將建立實驗架構，並討論 壓電驅動之拓樸最佳化撓性放大機構的量測結果，圖二十二為微撓性放大機構 SEM 圖。靜態量測方法是使用電源供應器施加電壓負載於光開關與微撓性放大
係，量測設備如圖二十三所示。 圖二十四為輸入電壓前後的位移變化圖，而圖二十五為輸入不同輸入電壓與 放大機構輸出位移關係圖，由圖中可知在輸入 20V 時尖端位移約為 15.4µm 左 右，略小於模擬值。而撓性位移放大機構的放大倍數因子如表二所示，在 20V 時放大因子約為 6.9;而平均放大因子為 6.63。 圖二十二 微撓性放大機構 SEM 圖 圖二十三 精密移動平台與光學顯微鏡 (a) (b) 圖二十四 放大機構作動模式: (a) 未施加電壓 (b) 施加 20V 電壓 往外作動
圖二十五 不同驅動電壓與撓性放大機構輸出位移關係 表二 施加電壓與放大因子關係表 施加電壓 放大因子 5 6.94 10 6.15 15 6.53 20 6.9 5. 結論 本文以拓樸最佳化設計微撓性放大機構，並分析不同參數對於拓樸最佳化結 果的影響。若要得到較大線性放大位移的微機構可以在拓樸最佳化的過程中以較 大的輸出部彈簧係數來達成，但是材料的破壞性質也是必須考慮的問題，過大的 彈簧係數將會使得設計結果超出材料的破壞範圍，使得設計結果不合理。另一個 設計的參數為設計區域的材料厚度，增加材料的厚度將會使得撓性機構的輸出位 移減少，但相對的也會使得撓性結構剛性增加。 在實作部份是以 SU-8 厚膜光阻作為微撓性放大機構的材料。量測部分輸入 20V 時尖端位移約為 15.4µm 左右，放大因子約為 6.9。 6. 參考文獻 1. 行政院國家科學委員會精密儀器發展中心,微機電系統技術與應用, 全華科技 圖書公司, 台灣, 2003.
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