高階布氏方程式之非線性特性分析

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

高階布氏方程式之非線性特性分析

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2611-E-002-011-執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系暨研究所 計畫主持人： 孔慶華 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢

中

華

民

國 92 年 10 月 2 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

高階布氏方程式之非線性特性分析

The Study of Nonlinear Properties of high-order Boussinesq equations

計畫編號 ： NSC-91 – 2611 – E -002 – 011

執行期限 ：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日

主持人 ：孔慶華 國立台灣大學工程科學及海洋工程系 教授

一、 中文摘要 關鍵詞：布氏方程式，二階史托克交 互作用，非線性參數 欲瞭解高階布氏方程式的非線性效 應，吾人首先將推導四階之布氏方程 式。並由二階史托克交互作用分析其 超諧和及次諧和轉換係數，選擇適當 的水深參數，吾人可獲得最佳化之布 氏方程式。 二、英文摘要

Keywords ： Boussinesq equations, second-order Stokes-type Interaction, nonlinear parameters

The nonlinear characteristics of the

( )

µ4

O Boussinesq equations are

investigated herein. After deriving the set of high-order Boussinesq equations, the super- and subharmonic transfer coefficients of the wave interaction are analyzed. These coefficients represent the behaviors of the second-order Stokes-type interaction. By comparing the present coefficients to the exact solution, the optimal model can be determined by choosing a suitable water-depth parameter. 三、研究方法及內容 3.1 控制方程式與邊界條件 首先將無因次控制方程式與邊界條件 表示如下 0 2 2 2 2 = ∂ Φ ∂ + Φ ∇ z µ

at

−

h

≤

z

≤

εη

(1)       _{+ ∇Φ⋅∇} ∂ ∂ = ∂ Φ ∂ _µ η _{ε η} t z 2 =εη z at (2)

(

h

)

z =− ∇Φ⋅∇ ∂ Φ ∂ µ2 h z at =− ( 3 )

( )

1 0 2 2 2 2 =               ∂ Φ ∂ + Φ ∇ + + ∂ Φ ∂ z t µ ε η at z=εη (4) 此處 1 0 0 − =h a ε 和 µ =k₀h₀為代表非 線性及分散性之兩個參數。對於弱非 線性條件而言，必須滿足ε =µ2 <1此 關係。將式(1)由z=−h積分至z=εη， 並考慮式(2)及式(3)之邊界條件，我們 可得 0 = ∂ ∂ + Φ ∇ ⋅ ∇

_∫

− t dz h η εη (5) 以上即為控制方程式與邊界條件。 3.2 理論解析 令速度勢Φ為

(

x y z t

)

n _n

(

x y z t

)

, , , , , , 0 2

∑

∞ Φ = Φ µ (6) 將式(6)代入式(1)及式(3)，則可得

(

x ,,yt

)

00 0 =Φ Φ

(

)

(

)

00 2 2 00 10 1 2 , , Φ ∇ − Φ ∇ ⋅ ∇ − Φ = Φ z h z t y x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

00 2 2 4 00 2 3 10 2 2 00 2 2 00 00 2 2 3 00 2 2 10 20 2 24 6 2 2 6 2 , , Φ ∇ ∇ + Φ ∇ ⋅ ∇ ∇ + Φ ∇ −    ∇ ⋅ Φ ∇∇ + ∇ ⋅ Φ ∇ ⋅ ∇∇ − Φ ∇ ∇    Φ ∇ ⋅ ∇ ∇ − Φ ∇ ⋅ ∇ − + Φ = Φ z h z z h h h h h h h h h z t y x 令Φ_m 為任意水深處z= z_m

( )

x,y 之勢 函數，並令z=z_m，可得

(

)

_  _{Φ − ∇⋅ ∇Φ − ∇ Φ} + Φ = Φ 00 2 2 00 10 2 00 2 1 m m m µ z h z

(

)

[

{

20 10 4 _{Φ + −∇⋅ ∇Φ} +µ z_m h

(

)

00 2 2 3 00 2 2 6 2 ∇ ∇⋅ ∇Φ + ∇ ∇ Φ −h h h

(

)

   ∇ ⋅ Φ ∇∇ + ∇ ⋅ Φ ∇ ⋅ ∇∇ −h h h h 2 ₀₀ h 2 00 2

(

00

)

2 3 10 2 2 6 2 ∇ Φ + ∇ ∇⋅ ∇Φ − zm zm h 00

( )

6 2 2 4 24 Oµ z_m +     Φ ∇ ∇ + (7) 故

(

)

( )

( )

( )

        = Φ = Φ +       Φ ∇ + Φ ∇ ⋅ ∇ + Φ = Φ 4 20 2 10 4 2 2 2 00 2 µ µ µ µ O O O z h z m _m m m m (8) 因此長波方程式可表為

(

)

[

h m

]

t +∇⋅ + ∇Φ ∂ ∂η _εη

(

)

              Φ ∇ + Φ ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ + m m m m z h z h 2 2 2 2 µ

(

)

      Φ ∇∇ − Φ ∇ ⋅ ∇∇ + ⋅ ∇ + m m h h h 2 3 2 2 6 2 µ

(

)

              Φ ∇ + Φ ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅ ∇ + m m m m z h z 2 2 2 2 η εµ

(

)

          Φ ∇ + Φ ∇ ⋅ ∇ ∇∇ − ⋅ ∇ + m m m m z h z h 2 2 2 3 4 2 6 µ ( ) 0 120 24 2 2 2 5 2 4 2 2 1 =    Φ ∇ ∇∇ + Φ ∇ ⋅ ∇ ∇∇ − ∇ + ∇ m m h h h G h G h (9) 及 t m ∂ Φ ∂ + η ( )2 2 2 2 2 2 m m m m m t z t h z + ∇Φ               ∂ Φ ∂ ∇ +       ∂ Φ ∂ ∇ ⋅ ∇ +µ ε                   ∂ Φ ∂ ∇ +       ∂ Φ ∂ ∇ ⋅ ∇ ∇ + + t z t h z z G z m m m m m m 2 2 2 2 3 4 2 2 µ          ∂ Φ ∂ ∇ ∇ −       ∂ Φ ∂ ∇ ⋅ ∇ ∇ − t z t h z_{m m m} 2 2 _m 4 2 3 24 6

(

)

[

]

0 2 1 2 2 ₌             ∂ Φ ∂ ∇ ⋅ ∇ − Φ ⋅ ∇ + t h h m m η εµ (10) 其中G1、G2及G3為與深度z有關的變 數。(9)式及(10)式即為以任意水深處之 速度勢為變數之長波方程式。現在考 慮定水深且流場為二維流場，並令水 深參數 h z m= m₍−₁≤ ≤₀ m )，則上二式可 改寫為 ( ) ₄ 4 1 3 2 x H h x h x t m m ∂ Φ ∂ +       ∂ Φ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂η _{εη µ} 0 3 3 3 2 2 6 6 2 5 4 ₌         ∂ Φ ∂ ∂ ∂ + ∂ Φ ∂ + x x H h x H h m εµ η m µ (11) 2 2 3 3 2 2 2 _     ∂ Φ ∂ + ∂ ∂ Φ ∂ + + ∂ Φ ∂ x t x H h t m m m η µ ε 0 2 2 2 2 2 2 3 2 4 5 4 4 4 ₌             ∂ Φ ∂ + ∂ ∂ Φ ∂ − + ∂ ∂ Φ ∂ + x h t x h t x H h m εµ η m m µ

(12) 其中 3 1 2 1 2 1= m +m+ H (13.a) 15 2 3 2 6 7 6 5 24 5 4 3 2 2 = m + m + m + m+ H (13.b) m m H = 2 + 3 2 1 (13.c) m m m m H 3 1 6 5 24 5 4 3 2 4 = + + + (13.d) (9)、(10)式及(11)、(12)式即為以任意 水深之速度勢為變數之弱非線性長波 方程式，在此吾人稱其為「新布氏方 程式」。 四、布氏方程式之非線性特性探討 為分析布氏方程式之非線性特性， 在此吾人引入二階史托克交互作用。 首先，吾人令 ... 2 2 1 0+ + + =η εη ε η η (12) ... 2 2 1 0 + Φ + Φ + Φ = Φm ε ε (13) 吾人將η 及Φ代入原布氏方程式，並依 ε 的冪次排序，可得 n n n _F t + Φ =−∇⋅ ∂ ∂ ~ L₁ η (14) n n n E t = − ∂ Φ ∂ +L₂ ~ η (15) 其中運算子L₁,L 為₂

(

2 2 2

)

3 4 2 2 2 2 2 1 1 L = G∇ +µ G∇ ∇ +µ G∇∇∇ 2 2 2 4 2 1 2 2 1 L = +µ H∇ +µ H ∇ ∇ (14)式及(15)式之右邊項可解得為

(

)

(

)

(

)

[

]

               Φ ∇ ∇ Φ ∇ +       _{∇ Φ} + Φ ∇ + ∂ Φ ∂ − = = Φ ∇ ∇∇ + ∇∇ + ∇ = = 0 2 2 0 2 2 1 4 2 0 2 2 1 2 2 0 2 0 2 1 0 0 2 2 2 4 2 1 2 0 1 0 ~ ~ ~ 2 ~ L 2 1 ~ L 0 ~ 0 G G G t E E H H F F a µ µ µ µ η 令 =

∑

n n n a θ η0 cos ,Φ =

∑

n n n b sinθ ~ 0 代 入(14)及(15)，可得

(

)

(

)

[

]

∑∑

+ + − = ⋅ ∇ − + − n l l n nl l n nl l na a F sinθ θ sinθ θ 4 1 1 F F (16)

(

)

(

)

l n l n l n l n n l nl k k k k ω ω ω ω ω ω ± + ± v ⋅v = ± 2 2 F (17)

(

)

(

)

[

]

∑∑

+ + − = − + − n l l n nl l n nl l na a E cosθ θ cosθ θ 4 1 1 E E (18)

(

)

(

)

[

(

)

(

)

(

)

n l n l n l l n

]

l n l n l n l n l n l n l n nl G H G H H k k k k G G k k H H k k H H ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 1 4 3 3 2 2 2 4 1 2 2 2 ω ω ω ω µ µ µ ω ω + + − + + + ± − + ⋅ ⋅ − = ± v v E (19) 4 2 4 2 1 2 ˆ n n n Gk Gk G =µ −µ (20) 故可得η 為₁

(

)

(

)

{

}

∑∑

+ + − = + − n l n nl l n nl l l na a θ θ θ θ η₁ S cos S cos (21) 其中S 及+_nl S 分別稱為超諧和及次諧−_nl 和轉換係數。 五、結論與討論 為探討上述兩係數的效應，吾人令

l n ω ω = ，k_n =k_l。由於選擇不同的水 深參數 m 值將會造成不同的結果，我 們選定水深範圍為0<µ <5，此時的 最佳水深參數為−0.328。圖一表示 超 諧和及次諧和轉換係數與正確解之間 的關係。和 GKW 於 2000 年的研究成 果比較，可發現吾人的成果優於 GKW 的成果，此原因在於 GKW 的最佳化方 程式是使用帕德近似所推得，此基本 假設並不足以使其非線性效應達到最 精確的目標。在爾後的研究中，吾人 將試圖將可應用之水深範圍擴大，以 加強本模式的適用性。 圖一 超諧和及次諧和轉換係數 六、參考書目

1. Chen, Y. and P. L.-F. Liu (1995) “Modified Boussinesq Equations and Associated Parabolic Models for Water Wave Propagation,”

Journal of Fluid Mechanics, Vol.

288, 351-381.

2. Boussinesq, J. (1871) “Theorie de l’itumescence liquide appelee onde solitarie ou de translation, sepropageant dans un canal rectangulaire,” Comptes Rendus Hebdomadaires des Séance de lAcademie des Sciences, Vol. 72,

755-759.

3. Gobbi, M. F., J. T. Kirby and G. Wei (2000) “A Fully Nonlinear Boussinesq Model for Surface Waves. Part 2. Extension to

( )4 kh

O ,” Journal of Fluid Mechanics,

Vol. 405, 181-210.

4. Kong, C.-H., Liu, C.-M. and Liu, I.-C. (2001). “Higher Order Boussinesq-type Equations for Wave Propagation. Part 1. Complete Study of Linear Properties”, Proceedings of the 23th Ocean Engineering Conference.

5. Peregrine, D. H. (1967) “Long Waves on a Beach,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 27, Part 4,

815-827.

6. Madsen, P. A., R. Murray and O. R. Sorensen (1991) “A New Form of Boussinesq Equations with Improved Linear Dispersion Characteristics,” Coastal Engineering, Vol. 15, 371-388.

7. Madsen, P. A. and O. R. Soresen (1992) “A New Form of Boussinesq Equations with Improved Linear Dispersion Characteristics. Part 2. A Slowly-Varying Bathymetry,”

Coastal Engineering, Vol. 18,

183-204.

8. Nwogo, O. (1993) “Alternative Form of Boussinesq Equations for Nearshore Wave Propagation,”

Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, ASCE, Vol.

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9. Witting, J. M. (1984) “A Unified Model for the Evolution of Nonlinear Water Waves,” Journal of Computational Physics, Vol. 56,