六角蜂窩結構平面內沿壁受力對巨觀性質之影響評估
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(2) 謝誌 這篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授俞肇球老師。感謝老師為 學生在論文指導上所花費的精力與時間，讓學生能夠從無到有的順利完成 論文。如果沒有老師的細心與耐心指導或許我永遠也無法完成這篇論文。 在論文的修訂上，感謝鄭錦銅老師、張惠雲老師提供了寶貴且專業的 意見，使得本論文內容能更加的完善，而我本身也受益良多。 我還要感謝研究室成員。陪我完成一次次的實驗與討論解決各種不論 是課業、實驗、研究上問題的峻維及耿億學弟，以及所上的同學，盛涵、 承翰、庭鳳、琨泰、郁智、尚豪等人在這兩年來給予的幫助，不論是協助 我完成論文，還是在研究上給予我不同的意見與激發我許多想法，我都感 恩在心謝謝你們兩年來的照顧與幫助讓我渡過這兩年的研究所生涯。 還有我的朋友永斌、茂盛、先矞、立偉、宗朋、昭諭、仲凌、國葳、 家瑋、姿雅、家民等人給予我求學這兩年心靈上的鼓勵與協助，讓我在學 習中能不害怕迷失，並給予鼓勵讓我有繼續往前的能量。 最後我要感謝我的父母、弟弟以及我的女朋友媛婷，感謝你們的支持， 感謝你們對我付出的一切，讓我能無後顧之憂地完成我的碩士論文，感謝 你們為我的付出並與你們分享我的喜悅。 念碩士就如同在大海中行駛單人風帆，必須知道目的地在哪要往哪裡 去，即便行駛技術再好沒有風的幫助哪也去不了。真心感謝這兩年來所有 幫助過我陪伴我一路走來的所有人，謹以此篇論文獻給所有關心我的人。. I.
(3) 目錄 謝誌 .................................................................................................................... I 目錄 ................................................................................................................... II 表目錄 ...............................................................................................................V 圖目錄 ............................................................................................................. VI 摘要 ................................................................................................................. IX ABSTRACT ......................................................................................................X 第一章、緒論 ................................................................................................... 1 1.1 前言.......................................................................................................... 1 1.2 研究動機與目的 ..................................................................................... 1 1.3 論文架構與研究流程 ............................................................................. 2 第二章、文獻探討........................................................................................... 4 2.1 蜂窩材料力學性質 ................................................................................. 4 2.2 蜂窩挫屈.................................................................................................. 6 2.3 軸向效應的考慮 ................................................................................... 13 第三章、研究方法......................................................................................... 15 3.1 研究方法................................................................................................ 15 II.
(4) 3.2 數值模型介紹 ....................................................................................... 15 3.3 理論公式解析 ....................................................................................... 16 第四章、數值解析......................................................................................... 18 4.1 數值分析工具簡介 ............................................................................... 18 4.2 數值分析模型 ....................................................................................... 18 4.3 數值分析討論 ....................................................................................... 20 4.3.1 兩側有約束之平面應變 .................................................................... 21 4.3.2 兩側有約束之平面應力 .................................................................... 25 4.3.3 兩側無約束之平面應變 .................................................................... 27 4.3.4 兩側無約束之平面應力 .................................................................... 30 4.4 數值分析結論 ....................................................................................... 32 第五章、理論解析解..................................................................................... 33 5.1 彈性解理論公式 ................................................................................... 33 5.1.1 各節點具側向約束邊界理論解 ........................................................ 36 5.1.2 各節點無側向約束邊界理論解 ........................................................ 37 5.2 具相對側移之 Z-形挫屈理論解........................................................... 37 5.2.1 考慮 F0 力量所產生的影響 ............................................................... 41 III.
(5) 5.3 考慮軸力效應理論解 ........................................................................... 43 5.3.1 受力於 X2 方向且有約束其邊界理論解: .......................................... 44 5.3.2 受力於 X1 方向且有約束其邊界理論解: .......................................... 47 5.3.2 垂直桿件雙倍厚度受力於 X2 方向且有邊界約束:.......................... 50 第六章、結論 ................................................................................................. 52 參考文獻 ......................................................................................................... 53. IV.
(6) 表目錄 表 3.1、理論公式符號表............................................................................... 16 表 5.1、比較不同斜桿軸力效應之厚長比所對應之 λ 值 .......................... 47 表 5.2、X1 受力不同厚長比所對應之 λ 值 .................................................. 49 表 5.3、垂直桿具雙倍厚度 X1 受力之 λ 值 ................................................. 50 表 5.4、垂直桿具雙倍厚度 X2 受力之 λ 值 ................................................. 51. V.
(7) 圖目錄 圖 1.1、研究流程圖............................................................................................. 3 圖 2.1、蜂窩材料應力與應變圖(Gibson and Ashby, 1997) .............................. 4 圖 2.2、理想的二維六角蜂巢結構 .................................................................... 5 圖 2.3、均勻而無側向束制之節點無旋轉挫屈模態 ........................................ 8 圖 2.4、均勻而有側向束制之節點無旋轉挫屈模態 ........................................ 8 圖 2.5、節點具旋轉之挫屈模態......................................................................... 9 圖 2.6、單層 Z-形挫屈變形示意圖 .................................................................... 9 圖 2.7、多層 Z-形挫屈變形示意圖 .................................................................. 10 圖 2.8、各節點無側向位移受力與變形關係曲線 .......................................... 10 圖 2.9、勻稱側向位移受力與變形關係曲線 .................................................. 11 圖 2.10、允許任意側向位移之受力與變形關係曲線 .................................... 11 圖 2.11、內部各節點允許任意側移但外部節點限制水平位移之受力與變形 關係曲線 ............................................................................................ 12 圖 3.1、橫躺型式............................................................................................... 15 圖 3.2、直立型式............................................................................................... 15 圖 4.1、模擬之蜂巢結構................................................................................... 20 圖 4.2、蜂巢結構之斜視圖............................................................................... 20 圖 4.3、兩側有約束之平面應變-橫躺型 ......................................................... 21 VI.
(8) 圖 4.4、兩側有約束之平面應變-直立型受力起始時 ..................................... 22 圖 4.5、兩側有約束之平面應變-直立型挫屈破壞時 ..................................... 22 圖 4.6、兩側有約束之平面應變-直立型破壞後 ............................................. 23 圖 4.7、兩側有約束之平面應變力量與位移圖-橫躺型 ................................. 24 圖 4.8、兩側有約束之平面應變力量與位移圖-直立型 ................................. 24 圖 4.9、兩側有約束之平面應力-橫躺型挫屈破壞 ......................................... 25 圖 4.10、兩側有約束之平面應力-橫躺型破壞後 ........................................... 25 圖 4.11、兩側有約束之平面應力-直立型 ....................................................... 26 圖 4.12、兩側有約束之平面應力力量與位移圖-橫躺型 ............................... 26 圖 4.13、兩側有約束之平面應力力量與位移圖-直立型 ............................... 27 圖 4.14、兩側無約束之平面應變-橫躺型 ....................................................... 27 圖 4.15、兩側無約束之平面應變-直立型 ....................................................... 28 圖 4.16、兩側無約束之平面變變力量與位移圖-橫躺型 ............................... 29 圖 4.17、兩側無約束之平面變變力量與位移圖-直立型 ............................... 29 圖 4.18、兩側無約束之平面應力-橫躺型 ....................................................... 30 圖 4.19、兩側無約束之平面應力-直立型 ....................................................... 30 圖 4.20、兩側無約束之平面應力力量與位移圖-橫躺型 ............................... 31 圖 4.21、兩側無約束之平面應力力量與位移圖-直立型 ............................... 31 圖 5.1、具端點彈簧之垂直微桿件挫屈模型 .................................................. 33 VII.
(9) 圖 5.2、帶軸力斜桿件之撓曲示意圖 .............................................................. 35 圖 5.3、垂直桿挫屈分析模型........................................................................... 38 圖 5.4、加入側向阻力 F0 之垂直桿挫屈分析模型 ......................................... 41 圖 5.5、蜂窩結構重複單元............................................................................... 43 圖 5.6、斜桿與垂直桿受力變形分解圖 .......................................................... 44. VIII.
(10) 六角蜂窩結構平面內沿壁受力對巨觀性質之影響評估. 指導教授：俞肇球博士 國立高雄大學土木與環境工程學系 學生：蘇威豪 國立高雄大學土木與環境工程學系 摘要 二維蜂巢軸受橫向載重時，所表現出來的勁度與強度皆不若其軸向高，破壞機制受 諸多因素影響，非常多樣而複雜，單是橫向挫屈就有幾種可能形式。其材料性質或破壞 強度的分析中，常將沿壁之軸力效果忽略。這在薄壁蜂窩結構且無側向約束的情況下， 不失為一良好的近似，但對於較厚壁之蜂窩結構(例如木材)或其周邊有較強之圍束力的 人造蜂窩結構(例如鋁蜂窩心材之三明治板)，此一忽略有顯著的影響。尤其是在挫屈臨 界點上，軸力效應至為關件。本研究主要分析沿壁軸力對鋁蜂巢變形與挫屈之影響。除 了求得相應之解析解外，也使用有限元素分析鋁蜂巢結構之挫屈行為。根據理論推導與 有限元素數值分析比對的結果，顯示軸力效應為厚壁蜂窩結構受力變形以及挫屈的主要 控制因素，效果可達 45%的差異量。 關鍵字：蜂巢結構、挫屈、軸力效應、數值分析. IX.
(11) Influence of the In-plane Forces Along Cell Walls on Macro Properties of Hexagonal Honeycomb Materials Advisor: Dr. Yu, Chau-Cho Department of Civil and Environmental Engineering National University of Kaohsiung Student: Su, Wei-Hao Department of Civil and Environmental Engineering National University of Kaohsiung ABSTRACT According to the high cavity rate of honeycomb materials, the effect of the force component along cell wall is often neglected in elasticity and strength study when such kind of material is subject to the lateral loads. It is a fair approach for thin-walled honeycomb with minor lateral constraint. The corresponding buckling load can be obtained by analyzing an Euler's simply-supported column. This effect is not negligible for the thick-walled honeycomb (timber, for example) or honeycomb with strong confinement (Aluminum-Honeycomb-cored sandwich beam), especially, for the honeycomb at the threshold of buckling. Based on the theoretical analysis compared with the numerical finite element method result, the present study demonstrates that the axial force effect dominates the deformation of the thick-walled honeycomb and its buckling strength.. The contribution from this effect can be up to 45%.. Keywords: Honeycomb, buckling, axial force effect, numerical analysis. X.
(12) 第一章、緒論 1.1 前言 蜂窩材料屬細胞型材料的一種，細胞型材料實務上應用甚廣，在土 木建築有：鋁蜂巢、不銹鋼蜂巢、木構造、三明治夾板之發泡心材等； 在醫學工程上有：細胞型微觀結構之人工骨骼；在航太機械領域則更多： 太空梭動力推進器、火車的地板或隔牆、汽車保險桿和頂棚、包裝材料 和體育用品等等，在一般生活中或高科技產品都可應用。細胞型材料能 被廣泛運用在各方面是由於它具有以下諸多優點：(1)質量輕，因為它是 有孔隙的材料，所以整體重量比起實心材料要來得輕許多；(2)低熱傳性， 它具有良好的隔熱作用；(3)高吸收能，當蜂窩材料接觸一施力時，可承 受相當大的變形，當到達極限時才會崩壞掉；(4)隔音減震，能大幅減少 噪音及振動；(5)成本低，可以用最少的材料設計自己想要的材料強度； (6)環保材料，木構造從原料的製造到房屋的建築，比起鋼構造或 RC 構 造，能減少二氧化碳的排放量。對於節能減碳呼聲日漸高漲的未來，蜂 窩結構無疑是一絕佳的選擇，故興起對於此細胞型材料研究之念頭。. 1.2 研究動機與目的 針對二維六角蜂窩結構受垂直於管胞之側向力時之力學性質進行一 系列的探討，發現因薄壁假設而忽略之軸力變形其實有相當關鍵的影響 (俞, 2010)，在厚長比超過 0.1 時，薄壁假設就已經造成一些不可忽略之 誤差，至厚長比超過 0.2 時，已不能稱其為薄壁了(高, 2009)。另外，除 了線彈性變形理論解之外，發現一般因假設蜂窩結構工整對稱而以端點 1.
(13) 不旋轉，所得之挫屈破壞結果將高估其強度(俞, 2013)，工整對稱的假設 同時導致挫屈強度敏感於側向邊界條件。有趣的是，數值分析結果顯示 薄壁蜂窩結構內細胞壁的交錯傾斜現象為其挫屈破壞的重要型式，且此 種破壞型式與側向邊界條件的交互影響關係並不明顯。不論邊界是否有 約束，只要材料內部有些微瑕疵，節點不均勻旋轉之挫屈即可出現。由 於其挫屈強度不及尤拉柱之 70%，在許多破壞場合中，該現象有可能是 除了大變形與膠粘層脫離以外的主要控制失敗的因子。 故本研究將對於蜂巢結構之數值模型進行分析、改良與探討，並透 過蜂窩結構試體實驗分析，以比對理論解析解與有限元素數值解，藉此 驗證其結果或修正分析方法，期使未來對該材料的性質能有更清楚的認 知與更有效而安全的使用及掌控。. 1.3 論文架構與研究流程 本論文架構共分成七章，以下分別概述之: 第一章 緒論:本章分三節，說明前言、研究動機與目的及研究架構。 第二章 文獻回顧:探討蜂窩材料結構、挫屈等相關文獻。 第三章 研究方法: 敘述本研究的方法、研究模組、資料來源等。 第四章 數值分析:敘述使用數值模型分析蜂窩結構之結果。 第五章 理論公式解析:敘述藉由數值、修改之理論公式結果。 第六章 結論:簡述綜合數值模型分析、理論推導之結果。. 2.
(14) 綜合數值模型分析、實驗與理論推導，整理得圖 1.1 之研究流程。. 研究流程. 修改蜂巢數值模型. 分析蜂巢模型之挫屈情況. 是. 是否有不同條件 待分析 否 理論解析解比較. 完成 圖 1.1、研究流程圖. 3.
(15) 第二章、文獻探討. 2.1 蜂窩材料力學性質 一般材料就材質上大致可分為(1)彈性材料(2)彈塑性材料(3)彈脆性 材料。當彈塑性材料受到壓力時，一開始先是彈性變形(Linear Elastic Deformation)，開始產生塑性變形之後，變形會快速成長而力量並未增 進，應力與應變關係曲線呈現趨近水平的狀態，即應力應變曲線中所謂 的平緩區(Plateau)。蜂窩材料大致符合上述彈塑性材料的特性，但在大量 變形後，細胞會彼此擠壓，有些區域的細胞會被壓垮，甚至壓扁且壓實， 而形成孔隙較低之緊密區(Densification)，在應力與應變關係曲線中，造 成應力再次上升的情況，如此壓垮、壓實週而復始，如圖 2.1，直到試體 完全被壓實或破壞斷裂為止。. Elastomeric. Densification. 應力 σ. Brittle. Plateau. Linear Elasticity. 0. 應變 ε. 1. 圖 2.1、蜂窩材料應力與應變圖(Gibson and Ashby, 1997) 4.
(16) 蜂窩細胞之受力與變形關係非常複雜，為了簡化起見，以往學者在 處理此類問題時，皆假設其為二維薄壁蜂窩細胞(張, 2006)，一般分析係 將細胞壁當成梁桿件(Euler Beam)，藉著梁端點的變形來傳遞應力與應 變。為了進行梁桿件的理論力學分析，必須假設細胞壁很薄，也就是說， 細胞壁厚度比起多角型細胞之邊長相對小很多。. 圖 2.2、理想的二維六角蜂巢結構. 二維蜂窩細胞之受力與變形可區分為平面上(In-plane, X1 和 X2 方向) 和平面外(Out-of-plane, X3 方向)二部份(在本文中以 X1、X2、X3 表示)，如 圖 2.2。其中，h 是垂直桿長度、L 是斜桿長度、t 是桿件厚度、θ是斜桿 與水平線所夾的角度。細胞型材料的力學性質和物理性質，主要跟它的 幾何形狀和材料性質相關(Leon and Hai, 2008)。對於蜂窩細胞結構，平面. 5.
(17) 上之勁度和強度都小於平面外之勁度和強度，這是因為當蜂窩細胞受到 平面內之壓力時，斜桿容易產生大量撓曲變形，而施加平面外壓力，則 不論是直桿或斜桿，皆成軸力桿件，產生軸向壓縮變形，除非挫屈發生， 否則在同等級的受力下，撓曲變形一般遠大於軸向壓縮變形，此情形尤 以薄壁蜂窩結構為明顯。至於厚壁蜂窩結構，產生撓曲變形的困難度較 薄壁提高很多，與產生軸向變形的難度差異反而縮小了，尤其是當壁厚 達到幾乎使材料呈實心狀態時(孔隙率趨近於零)，平面內與平面外之受壓 反應已沒有什麼差別了。(Papka, 1998)用實驗和有限元模擬探討平面上六 角形鋁蜂窩的單軸抗壓塑性變形行為，發現塑性行為與尺寸的大小有 關，當試體較小時會在試體中間壓碎;當試體較大時，破壞會產生在靠近 受力面處。對於雙向受力，(Papka, 1999)曾使用雙軸壓碎機器(BICRUMA) 實驗圓形蜂窩試體，探討在單軸抗壓時，平面上(X 和 Y 方向)的變形行 為，以及在雙軸時的塑性壓潰變形行為，並用攝影機記錄了在壓縮量不 同時各點變形情況，他發現雙軸塑性行為比起單軸要來得複雜許多，其 破壞機制依據雙軸受力比例之不同而異。. 2.2 蜂窩挫屈 挫屈行為是土木工程領域裡一種常見的破壞型式，故有許多學者專 家學者在這部分投入大量研究心力，其中一部分係針對不同種類的蜂窩 進行挫屈研究，而研究方式也有諸多不同的地方，大多以數值分析的方 式來進行，僅少部分使用實體實驗來驗證蜂窩的挫屈型式與強度。 Okumura 等人(Okumura et al., 2002)採用均勻化理論以及建立微觀. 6.
(18) 分叉條件的方式來分析蜂窩結構的挫屈行為，並建構挫屈模型來進行分 析，根據相等雙軸壓所挫屈代表可能情況，依照其挫屈之角度不同而有 不同之組合模式，文獻中將其分為三種模式，而依據其推論而得在細胞 模式下的等雙軸壓縮與宏觀應變。其針對等效雙軸壓縮結果發現花狀模 式(模式三)會在宏觀應變的控制下出現而單軸(模式一)與雙軸(模式二)則 是根據宏觀的應力控制下發生。透過文獻中發現本文中所指的 Z 形挫屈 與文獻中之模式一相近，而文獻中所提到之模式二與模式三則是在發生 在局部完美的狀態之下，一般而言較容易發生文獻中模式一的挫屈。 俞(俞, 2013)利用數值解及理論解探討不同側向約束狀態對挫屈強度 之影響，透過三種挫屈形式進行分析(如圖 2.3~圖 2.5)而推論出另一種挫 屈形式(Z-形挫屈)並分為單層與多層(如圖 2.6、圖 2.7)，其破壞形式為垂 直桿呈現交錯方向的側潰，限制條件為內部節點容許自由側移，且不限 制相同 x 座標之各節點具相同之水平位移，意即材料可以有參差破壞的 現象。其發現就力學上來看，Z-形挫屈不論單層或多層，其挫屈之垂直 桿兩端點具橫向相對錯動大變形能力，形成反對稱變形。若無端點的相 對側移，此種反對稱變形並非第一挫屈模態，較不易成為控制破壞的主 要形式。但在允許垂直桿端點相對側移的情況下，此 Z-形挫屈形態發生 的可能性大為提高。就整個塊體來看，即使各對外之切開自由面皆施加 固定約束邊界條件，只要邊界區域有一點空間(如材料瑕疵、應力集中提 前破壞等)，即有足夠空間觸發此種形式之挫屈。總體而言，此種挫屈並 不需向側邊作大幅的推展，其巨觀平均側移量可以是零，但先決條件是 必須有這麼一個瑕疵點，觸發其側潰機制。單層挫屈由於側向束制較少，. 7.
(19) 可變形的空間較多，大變形的發生早於明顯挫屈現象被觀察到。多層挫 屈則是挫屈發生在大量細胞被壓扁之前。多層挫屈與單層挫屈最大的不 同在於斜桿件撓曲的形式不同。前者斜桿件對稱撓曲而後者並非對稱。 這關係著斜桿件對垂直桿端點所能提供的撓曲抵抗力的大小，進而影響 了挫屈臨界力的數值。 根據其分別針對不同挫屈形式進行數值分析(如圖 2.8~圖 2.11)後發 現所討論的幾種挫屈形式中，以 Z-形挫屈之臨界值最低，顯示其最有可 能成為控制破壞的主要形式。其挫屈載重係數值為λ=0.7~0.8，約為 Euler 挫屈載重的 50%~60%。(Euler 挫屈載重之λ=1). 圖 2.3、均勻而無側向束制之節點無旋轉挫屈模態. 圖 2.4、均勻而有側向束制之節點無旋轉挫屈模態 8.
(20) 圖 2.5、節點具旋轉之挫屈模態. 圖 2.6、單層 Z-形挫屈變形示意圖. 9.
(21) 圖 2.7、多層 Z-形挫屈變形示意圖. 圖 2.8、各節點無側向位移受力與變形關係曲線. 10.
(22) 圖 2.9、勻稱側向位移受力與變形關係曲線. 圖 2.10、允許任意側向位移之受力與變形關係曲線. 11.
(23) 圖 2.11、內部各節點允許任意側移但外部節點限制水平位移之受力 與變形關係曲線. Papka and Kyriakides (Papka and Kyriakides, 1998)利用 GOV -爾寧平 面破碎的六邊形鋁蜂窩試體進行實體試驗與有限元模型軟體 ABAQUS 進行數值分析。結果發現這種方式的剪切型態較不穩定再透過位移加 載，發現試體尺寸大小會有所影響小尺寸(薄壁)的破壞是沿著細胞水平方 向，而大尺寸(厚壁)則容易呈現局部破碎的縱橫交錯模式。對比幾種蜂窩 單元幾何形狀的詳細測量結果顯示，該細胞在一般欠膨脹而粘合邊的長 度比對應的理想六角形單元格的值短。 該篇文獻於試體試驗時，由於實際模型製作無法使六邊形鋁蜂窩試 體有均勻之厚度在相鄰兩蜂窩交界面上呈現兩倍厚度進而形成有單雙層 之差異。在本文獻中之實體試驗亦發現其試驗結果有類似挫屈之破壞產 生。. 12.
(24) Chen and Nicola (Chen and Nicola, 2012)由分層蜂窩彈性挫屈與的 n 層次柱彈性挫屈理論解去分析 n 與 n-1 層的挫屈應力、應變等等去觀察 自然界蜂窩材料的彈性挫屈並且透過漸進式破壞的方式進行相關研究。 利用參數分析對一個 2 級或 3 級分層蜂窩材料進行討論前者是用來研究 在局部挫屈應力和機械效率的幾何影響後者則是研究連續倒塌的幾何影 響，其模型考慮了更多的層次比的分形結構因此更一般也更接近真實世 界的蜂窩材料。結果發現分層結構的力學行為可以在每個分層等級進行 調整，然而幾何相似性會導致分形，因此分形可在其一般層次模型被視 為極限情況另外基質在其結構的填充可以顯示出最佳的韌性的存在。. 2.3 軸向效應的考慮 張(張, 2006)在文章中主要研究膠結層之影響而沈(沈, 2003)為探討 接著點幾何非理想化之力學性質，可兩人的研究中並無考慮軸力效應所 造成的影響。 在高(高, 2009)文章中提到蜂窩結構理論公式僅適用於薄壁蜂窩無側 向約束的情況，且在側向抗壓例中，僅考慮微桿件之彎曲變形，而不考 慮各微桿件之軸向變形。然而實際木材的細胞壁並不薄，而且木材的勁 度與強度深受有否圍束之影響，因此其推導出考慮軸向變形與不同邊界 約束條件的理論解，並將所推導理論與數值解比較之結果比較發現在低 相對密度情況下吻合度良好，僅在非常厚壁區段內誤差較大，分別比較 不同方向之側邊約束的理論解與數值解，顯示結果所推導理論與數值結 果相當符合。. 13.
(25) 木材與蜂窩材料雖然有結構性質上的些許差異但木材屬於蜂窩結構 的一種在力學性質上皆為平面外比平面上強有一定相似之處可以作為本 文之研究參考。此外文獻中還發現理論公式與數值模擬結果皆傳遞了一 個訊息：薄壁區較厚壁區弱，該研究透過影像分析發現壓縮變形大多產 生在薄壁區，此現象與認知相符。. 14.
(26) 第三章、研究方法 3.1 研究方法 本研究訂立之目標為進行數值模擬分析，並透過數值模擬來進行理 論公式的修改，本研究方法主要為先從原有之蜂窩數值模型進行修正用 來配合工廠能製作之實體蜂巢試體以供未來實體實驗實之使用，之後在 進行數值模型分析並將結果與理論公式比較後修正得出最佳理論解。. 3.2 數值模型介紹 為更進一步的了解採用有限元素分析軟體進行數值分析，以更進一 步的驗證，並透過修改與建構完成一完整之蜂窩數值模型，以利進行實 體試驗，並將數值分析結果與實體試驗、理論解析進行比較與探討，所 分析的數值模型是由薄殼鋼製正六角柱蜂巢修改而來，為配合實體模型 試驗需求將原本鋼製六角蜂巢改為鋁製六角蜂巢，並且將垂直桿件部分 修改為雙層厚度；傾斜桿件部分修改為單層厚度，以利實際模型製作， 分析時區分為橫躺型式與直立型式如圖 3.1、圖 3.2，詳細數值模型尺寸 與材料在第四章詳述。. 圖 3.2、直立型式. 圖 3.1、橫躺型式 15.
(27) 3.3 理論公式解析 理論解析部分在本文主要探討側向力所造成之軸向變形的影響，並 考慮薄壁與厚壁的情況下所造成的不同影響進而找出理論通解，亦會考 量彈性解所造成的影響包含挫屈變形行為等，並透過理論解導出一最佳 解來解釋蜂窩受力後的變形情況以了解該材料之特性。並找出各種形式 之無因次挫屈載重值λ進行薄壁與厚壁之比較，再將推導所得之理論解 與數值分析進行對比以了解其材料性質。為配合工廠施作之實際鋁蜂巢 模型故在公式推導時將額外推導非均勻厚度(單雙層)之理論公式解。 下表為第五章理論公式解析所運用之相關符號解釋 表 3.1、理論公式符號表 理論公式符號. 符號定義. Es. 楊式係數. Ia. 單位面積旋轉慣量. λ. 無因次挫屈載重係數. Pcr. 挫屈載重值. S. 端點彈簧旋轉勁度. f. 旋轉勁度係數: f . Es I a SL. F0. 側向阻力. b. 重複單元體在 X3 方向上之厚度. A'. 斜桿的全厚度段面積. A*. 重複單元體包含孔隙的橫斷面積. 16.
(28) 理論公式符號. 符號定義. Av. 直桿的全厚度段面積. Av '. 非均勻厚度的直桿全厚度段面積. k. P EI. k'. N EI. ka. Fa Es I a. . Fa I NI a. 17.
(29) 第四章、數值解析. 4.1 數值分析工具簡介 本研究使用之數值分析工具為 HYPERMASH 數值分析系統。本研究 採用其中的 LS-DYNA 軟體進行分析，LS-DYNA 是目前使用最廣泛的結 構分析軟體之一，在 1976 年由 Lawrence Livermore 國家研究所 J.O. Hallquist 博士主持開發完成，可分析線性、非線性、振動、衝壓、耦合 等問題，應用領域可包含有生物力學、電子產品結構分析、航太工業、 汽車工業、土木工程等。而後 Hallquist 博士成立了 Livermore Software TechnologyCorp. (LSTC)，它包含了顯性求解法與隱性求解法兩種求解模 式，當非線性靜態難以收斂時，成是會轉換成顯性演算法，以避免在收 斂過程中花費太多時間，等數值較穩定時在轉換成隱性演算法計算，適 合模擬線性、非線性、靜態、動態、接觸力學、耦合等等的真實結構行 為(趙, 2003)。它具有 200 多種的材料性質，提供有彈性、各向異性、延 展性、脆性、剛性等，以及接觸演算法(Contact algorithm)，提供了不同 的接觸面性質，可以模擬真實複雜的結構性質。. 4.2 數值分析模型 本研究所分析的數值模型是由薄殼鋼製正六角柱蜂巢修改而來，並 配合未來可能之實體模型試驗需求，採用鋁製六角蜂巢。 此鋁製正六角柱蜂巢之彈性係數為 E=65000 MPa，柏松比=0.25， 18.
(30) 微桿件長 L=h=2.886 mm，鋁箔原料厚度為 t=0.05 mm，配合實際鋁蜂巢 之製作，垂直貼合處有原先兩倍之厚度，所以垂直桿件厚度設為 t=0.1mm。本數值模型分為直立型式與橫躺型式兩種模式進行探討，並比 較直立與橫躺之間的差異性。 本數值模型則是由位移控制，將擬靜態之指定位移時間函數加諸最 上層之剛性板，剛性板再藉由接觸介面施力於蜂窩結構。主要在探討蜂 窩結構受力變化與挫屈行為。 本數值模型，總長 10.1cm；寬 9cm。並在最上層採用依不同性質之 材料模組作為與頂端施壓的區隔，兩側部分則是分為側邊有約束及側邊 無約束兩種。最底部的角點具 X2-方向的約束，兩側的角點，各垂直微桿 件的兩端則視不同分析狀況，給予不同之水平(X1-方向)邊界條件。每一 垂直微桿件跨距中央點給予一微量(0.1 mm)側移以方便力量達到臨界 時，促成挫屈。 而平面應變與平面應力所需要之數值分析時間各有不同，平面應變 需求 80 小時之分析時間；而平面應力則需求 160 小時之分析時間。 使用有限元素分析軟體 LS-DYNA 建立的數值模型如圖 4.1、圖 4.2 本研究主要探討以下四種情況，並分成直立型與橫躺型兩種型式加 以討論分析: (1)兩側有約束之平面應變 (2) 兩側有約束之平面應力 (3) 兩側無約束之平面應變 (4) 兩側無約束之平面應力. 19.
(31) 圖 4.1、模擬之蜂巢結構. 圖 4.2、蜂巢結構之斜視圖. 4.3 數值分析討論 透過有線元素分析軟體 LS-DYNA 分析修改之鋁蜂巢模型並針對其. 20.
(32) 邊界條件做不同之探討，針對上述四種之分析模式進行結果討論，不同 之邊界條件所形成之破壞原因、型式都有所不同。透過各種邊界條件所 造成之破壞能使我們更了解此細胞型材料之破壞特性因而有效的使用此 材料。圖中所見之受力方向為由上往下施力。. 4.3.1 兩側有約束之平面應變 橫躺形式受力於 X1 方向如圖 4.3；直立形式受力於 X2 方向如圖 4.4 至圖 4.6。. 圖 4.3、兩側有約束之平面應變-橫躺型. 21.
(33) 圖 4.4、兩側有約束之平面應變-直立型受力起始時. 圖 4.5、兩側有約束之平面應變-直立型挫屈破壞時. 22.
(34) 圖 4.6、兩側有約束之平面應變-直立型破壞後 由變形圖可以發現橫躺形式主要從角點開始破壞中央部分呈現壓扁 的狀態，而直立形式的破壞則是均勻分布在上半層而下半層不論是中央 或是角點其破壞皆不明顯。但在兩個形式中皆可以找到有多層的 Z-形挫 屈產生雖然破壞位置不同但破壞形式卻大同小異，而從其力量與位移圖 (圖 4.7 及圖 4.8)可以發現直立型的力量峰值較橫躺型的高出 21%，橫躺 型角點破壞後使結構體能承載之最大力量降低。. 23.
(35) 圖 4.7、兩側有約束之平面應變力量與位移圖-橫躺型. 圖 4.8、兩側有約束之平面應變力量與位移圖-直立型. 24.
(36) 4.3.2 兩側有約束之平面應力 橫躺形式受力於 X1 方向如圖 4.3；直立形式受力於 X2 方向如圖 4.9 至圖 4.11。. 圖 4.9、兩側有約束之平面應力-橫躺型挫屈破壞. 圖 4.10、兩側有約束之平面應力-橫躺型破壞後. 25.
(37) 圖 4.11、兩側有約束之平面應力-直立型 由變形圖可以發現平面應力破壞形式與平面應變差異不大，在橫躺 型與直立型的差異上也跟平面應變的狀況雷同，進一步對比其力量與位 移圖(圖 4.12 及圖 4.13)結果也與平面應變之結果相似。. 圖 4.12、兩側有約束之平面應力力量與位移圖-橫躺型. 26.
(38) 圖 4.13、兩側有約束之平面應力力量與位移圖-直立型. 4.3.3 兩側無約束之平面應變 橫躺形式受力於 X1 方向如圖 4.14；直立形式受力於 X2 方向如圖 4.15。. 圖 4.14、兩側無約束之平面應變-橫躺型 27.
(39) 圖 4.15、兩側無約束之平面應變-直立型 由變形圖可以發現無約束與有約束之差異在於有約束角點破壞較明 顯；無約束邊界則因其可移動而較易造成變形不易破壞，橫躺型則有挫 屈產生而直立型則已變形為主，並且大多是中央的大變形產生反觀橫躺 型則較無大變形產生，對比其力量與位移圖(如圖 4.16 及圖 4.17)可以發 現其強度約只有 6N 上下並且呈現隨位移增加強度並無急速下降的變形 狀態。. 28.
(40) 圖 4.16、兩側無約束之平面變變力量與位移圖-橫躺型. 圖 4.17、兩側無約束之平面變變力量與位移圖-直立型. 29.
(41) 4.3.4 兩側無約束之平面應力 橫躺形式受力於 X1 方向如圖 4.18；直立形式受力於 X2 方向如圖 4.19。. 圖 4.18、兩側無約束之平面應力-橫躺型. 圖 4.19、兩側無約束之平面應力-直立型 30.
(42) 由變形圖可以得知其變形結果與無約束之平面應變無太大之明顯差 異，原因可能是因為邊界無約束，可以有側向移動所以較不容易破壞， 對比其力量與位移圖(如圖 4.20 及圖 4.21)可以發現其強度約只有 5N~7N 上下，其中直立型隨位移而變形而使強度並不會發生急速下降，反觀橫 躺型則隨著位移增加強度則逐漸減小。. 圖 4.20、兩側無約束之平面應力力量與位移圖-橫躺型. 圖 4.21、兩側無約束之平面應力力量與位移圖-直立型 31.
(43) 4.4 數值分析結論 經由數值分析不同情況下之蜂窩結構平面內挫屈情況，從上述變形 圖可以看出在有約束側向邊界時大多容易會有挫屈側潰的情況發生，而 在無約束側向邊界時則容易有大變形的發生，挫屈破壞則並非為主要破 壞因素。進一步比較兩種形式之力量與位移圖能更容易發現此現象，有 約束側向邊界時當力量達挫屈臨界載重後蜂窩抵抗力會迅速下降進而呈 現挫屈破壞型式，而無約束側向邊界時則呈現變形的型式，而平面應力 (Plane Stress)的情況與平面應變(Plane Strain)的情況差別於一項乘常數 1/(1-v2)，因此差異性並不大。. 32.
(44) 第五章、理論解析解 由於數值分析必須考慮軸力效應所產生之影響而本文所參考的文獻 中並無針對軸力所產生之影響進行理論公式推導故本章節針對軸力效應 所產生之影響進行理論公式推導。本章節所用之數學運算符號定義可參 考附錄一符號表。. 5.1 彈性解理論公式 引用一個端點彈簧模型來模擬分析挫屈變形的垂直微桿件(圖 5.1)。 其控制方程式與通解可表示如下. EIy " Py M 0 y A sin kx B cos kx . k2 . (1). M0 P. P 且 M 0 S 0 EI. (2) (3). 其中，EI 為垂直微桿件之彎曲剛度；0 為端點旋轉角，S 為端點彈 簧之旋轉勁度；M0 為端點彈簧所產生的彎矩；P 為垂直微桿件所受之軸 壓力；y 為其撓曲變形。 P M0= S0. 0 y. 0. M0= S0 P. 圖 5.1、具端點彈簧之垂直微桿件挫屈模型 33.
(45) 代入邊界條件. M0 P M cos kL 1 y(L)=0 A 0 P sin kL y(0)=0 B . (4) (5). 可得 M 0 cos kL 1 ( sin kx cos kx 1) P sin kL kM 0 cos kL 1 y' ( cos kx sin kx ) P sin kL. y. 因而端點旋轉角0 為 0 y '(0) ，亦即 kM 0 cos kL 1 M cos kL 1 0 ( ) 0 ( ) P sin kL EIk sin kL. (6) (7). (8). 而根據式(3)可得 M 0 M 0 cos kL 1 ( ) S EIk sin kL. 此式若有非零解則 M00，上式可改寫為 EI kL sin kL cos kL 1 LS. (9). (10). 末端彈簧的勁度可由計算兩個鄰近的斜桿勁度求得。雖然在微小變 形且線彈性的假設下，斜桿件受力比垂直桿件稍低些，但是當垂直桿件 達挫屈臨界載重時，斜桿件所受軸力亦達一可觀的量，梁柱(Beam-Column) 效應不可忽略，其旋轉勁度必須考慮軸力的影響。圖 5.2 是帶軸力斜桿件 之撓曲示意圖。其中，x 為局部座標，y 為其撓曲變形。. 34.
(46) MA +MB L MB. A. N. y. N. B. MA MA +MB L. x. 圖 5.2、帶軸力斜桿件之撓曲示意圖 垂直桿件挫屈變形前，只要相應之變形依然微小，旋轉角的增量與 彎矩增量仍為線性關係，則預先存在相鄰斜桿裡的力矩，不影響本分析。 為了計算末端彈簧的勁度，就一未達挫屈臨界載重之斜桿而言，其旋轉 角與彎矩之關係可表示如下. EI ( n A f B ) L EI MB ( f A n B ) L MA . n f . 其中， k ' . n 2n 2f f 2n 2f. (11) (12) (13). (14). n . 1 (1 k ' L cot k ' L) ( k ' L) 2. (15). f . 1 (k ' L csc k ' L 1) ( k ' L) 2. (16). N ，N 為斜桿所受軸力。 EI. 藉由對稱可知，B=-A 和 MB=-MA，因此先前的方程式可以簡化為 35.
(47) MA (. k ' L sin k ' L EI ) 1 cos k ' L L. 既然一個垂直桿件末端連結了兩個斜桿件，等效旋轉彈簧的勁度 S 相當於兩倍的斜桿端點轉角勁度，可以表示為 2k ' L sin k ' L EI S ( ) 1 cos k ' L L 將上式代入式(10)，可得 kL sin kL cos kL 1 2k ' L sin k ' L 1 cos k ' L. (17). (18). 只要 cos k'L≠1 且 sin k'L≠0，則 kL=2n，n=0,1,2,…. (19). 5.1.1 各節點具側向約束邊界理論解 考慮節點側向位移完全受約束的情況，N 與 P 的關係可以表示成. N. P sin t2 2 2(sin 2 cos2 ) L. (20). 對於正六角形蜂巢結構，=30°，上式變成. N. 或k 'L 其中，為厚長比， . P t2 (1 3 2 ) L. kL. . 且 1 3 2. (21). (22). t 。根據式(18)與式(22)，藉由試誤法，可 L. Pcr L2 kL 求得相對應之 kL 值與相對應之無因次挫屈載重值 。 2 EI . 36.
(48) 5.1.2 各節點無側向約束邊界理論解 若節點不受側向力而可側移，但具相同 X1 座標之各節點具相同之水 平位移的假設仍在，也就是說材料的變形大致上仍是勻稱的，而沒有參 差破壞的現象，N 與 P 的關係可以表示成 P N sin 2. (23). 對於正六角形蜂巢結構，=30°，N=P/4，且 k 'L=kL/2，代入(18)式， 可將其改寫成. kL kL kL (1 cos )(1 2cos ) 0 2 2 2. (24). kL 1 kL kL 0 或 cos 1或 cos 2 2 2 2. (25). kL n 或 2n 或 (2n 1) 2 3. (26). sin 也就是. sin 其解為. 最小的非零解為. kL 2 ，可求得=1.3333，相對應之挫屈 2 3 3. 載重值 Pcr 為. Pcr . 2 EI (. 3L 2 ) 4. (27). 5.2 具相對側移之 Z-形挫屈理論解 前節材料的變形假設是勻稱的，文獻中提及形成 Z-形挫屈之條件為 限制條件為內部節點容許自由側移，且不限制相同 x 座標之各節點具相 同之水平位移，意即材料可以有參差破壞的現象。就整個塊體而言，即 37.
(49) 使各對外之切開自由面皆施加固定約束邊界條件，只要邊界區域有一點 空間(如材料瑕疵、應力集中提前破壞等)，也可能會發生此種形式之挫屈。 Z-形挫屈並不一定要多層同時挫屈，尤其在剪力集中處，有時僅在 單一層被觸發，而看不出其 Z-形也是可能的。 就力學上來看，Z-形挫屈不論單層或多層，其挫屈之垂直桿兩端點 具橫向相對錯動大變形能力，形成反對稱變形。若無端點的相對側移， 此種反對稱變形並非第一挫屈模態，較不易成為控制破壞的主要形式。 但在允許垂直桿端點相對側移的情況下，此種挫屈形態發生的可能性大 為提高。多層挫屈與單層挫屈最大的不同在於斜桿件撓曲的形式不同。 前者斜桿件對稱撓曲而後者並非對稱。這關係著斜桿件對垂直桿端點所 能提供的撓曲抵抗力的大小，進而影響了挫屈臨界力的數值。圖 5.3 為垂 直桿挫屈分析模型。其垂直桿兩端點傾向橫向相對錯動，斜桿因此承受 彎矩而產生撓曲，且其端點即將產生旋轉角。 MB=-M0. B = 0 MA=M0. P. x. A = 0. y. Δ. P 圖 5.3、垂直桿挫屈分析模型 如果各節點完全側向約束，Z-形挫屈根本就不允許發生。而如果側 向完全自由就只會產生垂直的大變形根本輪不到 Z-形挫屈產生，如前面 所述 Z-形挫屈只會發生在側向有約束的擠壓下產生局部瑕疵誘發形成 Z-. 38.
(50) 形挫屈。可再推導 Z-形挫屈時，卻是假設側向無約束的邊界條件下，其 主要原因為一旦瑕疵產生促成了 Z-形挫屈的發生，側向邊界條件就失效 了，而實際側向約束的力道取決於瑕疵變形勁度，但與數以千百計的 Z形挫屈細胞相比一個細胞的瑕疵破壞勁度實在微不足道，因此形成一個 很古怪的狀態，先是由側向約束或其實是各向約束算蜂窩細胞內部受力 狀況，尤其是所受之軸向力狀況，然後假設 Z-形挫屈以垂直或橫向的型 式發生以側向無約束來計算挫屈載重，當前已算得的軸力大於或等於這 個挫屈載重時 Z-形挫屈就假設發生了。其必要狀況是如果沒有側向約 束，軸力將異常的低而達不到挫屈載重，如果沒有瑕疵，挫屈循端點不 側移的方式進行，就不是 Z-形挫屈了，則挫屈載重將提高為近似於尤拉 挫屈載重。從完美的情況來看，有側向約束，第一個瑕疵發生在尤拉強 度載重下，但就現實狀況下，瑕疵根本就在未受力前就或多或少存在， 所以尤拉挫屈載重並不適用於此。 為了探討此種挫屈的臨界軸向力，在此僅考慮由挫屈引起的均勻微 小 Z-形位移，暫不考慮由橫向剪力所引起之挫屈後撓曲大變形。垂直桿 的變形相對其中點為反對稱，兩端轉角相同，皆為 θ0 而端點彎矩 M0 左右 端正負號相反。其控制方程式可推導如下:. Es I a " P( y )-M 0. (28). 其解為. y A sin ka x B cos ka x 其中 ka 定義於(3)式。考慮邊界條件. 39. M0 P. (29).
(51) y(0)=0 可得 B y'(0)=θ0=. M0 M 可得 A 0 ka S S. 再加上 y(L)=Δ 與 y'(L)=θ0= [. f ka L [. sin ka L . M0 P. (30) (31). M0 可得 S. 1 (cos ka L 1)] m (cos ka L) 0 (ka L)2. f 1 (cos ka L 1)sin ka L] m (kasin ka L) 0 L ka L2. (32). (33). 其中 f . Es I a SL. (34). M 0 L2 m Es I a. (35). M0 m P (k a L ) 2. (36). 端點束制彈簧係模擬斜桿件對垂直桿件端點的彎矩抵抗，若係多層 Z-形挫屈被同時觸發，彎矩與端點傾角之關係仍可沿用式(17)，依實際瑕 疵狀況之不同，斜桿件之實際軸向力則介於式(20)與式(23)之間，端視其 側移之發生原因而定，假設其側移起因於他處局部破壞，無論是已降伏、 已挫屈或已翻轉(Snap-Through)，可假設側移抵抗力可以忽略，則斜桿件 之軸力效應很小，可予以忽略，若為多層觸發，採用對稱變形之斜桿件 撓曲勁度計算得等效旋轉彈簧勁度 S=. 40. 4 Es I ，以及對應之係數 f=0.250。 L.
(52) 若屬小瑕疵之單層挫屈，斜桿件遠端可視為在此蜂巢結構無限域中，可 自由旋轉但受其他相臨桿件牽制的邊界點，其斜桿件撓曲勁度. 7.26 Es I ，f=0.138；若假設斜桿件遠端固定不旋轉之極端情況，則 L 8E I S= s ，f=0.125。實際狀況應介於 f=0.125 與 f=0.25 之間，而較接近 L. S=. f=0.138。欲得非零解必須使式(32)與式(33)之係數行列式值為零，可得挫 屈特徵方程式. fka L(1-cos ka L)-sin ka L 0. (37). 5.2.1 考慮 F0 力量所產生的影響 圖 5.3 中如增加一側向擺動阻力 F0 (如圖 5.4) MB=-M0 F0 MA=M0. B = 0. P. x. A = 0. Δ. y F0. P 圖 5.4、加入側向阻力 F0 之垂直桿挫屈分析模型 其中 F0 為透過傾斜桿件所傳送 X1 方向的橫向力不增加軸力的方式通過垂 直桿件，傾斜構件受 F0 力將產生額外的軸向力 N '=F0 cosθ和額外的橫向 剪切力 F '=F0 sinθ估算軸向力作用時應將這兩個額外產生的力量考慮進 去，對於垂直桿件的控制方程式，式(28)，則可修改為 Es I a y '' p y F0 L x M 0. 其解為 41. (38).
(53) y x A sin kx B cos kx . F0 L M 0 F0 x p p. (39). 其中 ka2=P/EI，帶入邊界條件 y(0)=0 可得 B y'(0)=θ0=. M 0 F0 L P. M0 M F 可得 A 0 0 ka S ka P S. (40) (41). M0 f F0 F0 L2 再加上 y(L)=Δ、y'(L)=θ0= = Δm 與 及式(34)至 L P Es I a ( ka L) 2 S. 式(36) 可得 [. f 1 sin kL sin kL (cos kL 1)] m (cos kL) 0 2 ( cos kL) 2 kL (kL) (kL) kL. (42). 0 f 1 (cos kL 1)- 2 sin kL] m (k sin kL) (cos kL 1) L kL (kL)2 L. (43). [. F0 L3 其中 0 。欲有無限多解，其與m 係數所組成之矩陣行列式 EI 值應為零，由此求得挫屈特徵方程式與式 37 相同，由此可知，固定大小 的側向力不影響垂直桿件之挫屈強度。斜桿件的端點旋轉勁度則會因此 側向力的存在而減低。但因瑕疵的發生型式與時機皆未可預設，所以在 垂直桿件挫屈分析中，並不考慮此種固定大小的側向力，但在斜桿件的 端點旋轉勁度的計算上，分別考慮完全無側向支撐之斜桿件軸力與有完 全側向支撐之斜桿件軸力兩種極端的情況，求得之結果可視為真實狀況 之上、下極限(Upper and lower bounds)。 42.
(54) 5.3 考慮軸力效應理論解 蜂窩結構理論公式僅適用於薄壁蜂窩無側向約束的情況，且在側向 抗壓例中，僅考慮微桿件之彎曲變形，而不考慮各微桿件之軸向變形。 本研究將推導考慮軸向變形與不同邊界約束條件的理論解取一重複單元 (圖 5.5)，分別給予無約束側向邊界與有約束側向邊界作分析，其所得結 果可視為真實值之上下限(Upper and Lower Bounds)，真實規則蜂窩結構 行為，應介於兩個極端之間。首先要推導理論解的情境是在重複單元體 的 X2 方向施加壓力，並在其側邊垂直面上之 X1 方向有側向約束，在此考 慮斜桿彎曲變形和軸向變形，同時一併考慮垂直桿的軸向變形(圖 5.6)。. h/2. t/2. L*. L t. θ X2 h/2 X1 B. *. 圖 5.5、蜂窩結構重複單元. 43.
(55) N δh ΔH. θ. P. δv F. X2. δ/2. X1. Fa/2. 圖 5.6、斜桿與垂直桿受力變形分解圖 令重複單元體受總力為 P，斜桿受力之軸向分量為 N，斜桿受力之橫 向分量為 F，垂直桿件的軸力為 Fa，斜桿的軸向變形為δh，斜桿橫向變 形為δv，垂直桿軸向變形為δa，斜桿件的旋轉勁度為 S。. 5.3.1 受力於 X2 方向且有約束其邊界理論解: 在式(37)之挫屈特徵方程式中，需要用到斜桿的旋轉勁度 S，不考慮 軸力效應與考慮軸力效應之旋轉勁度 S 分別為式(44)、式(45): 4 Es I L 2k 'Lsin k ' L Es I S ( ) 1 cos k ' L L 1 cos k ' L f 2k ' L sin k ' L S. k'L . ka L. . (44) (45) (46). 且當側向完全約束時 1 3 2 ，而側向無約束時=2，. 44.
(56) 為厚長比， . t ，I 則是對應於單一厚度的面積慣性矩。 L. 斜桿的軸向與橫向變形為斜桿 X2 方向上之總變形量 Δv 的兩個分 量，其位移與位移關係可表示如下：. h v sin . (47). v v cos. (48). 力與位移關係則為. Es A ' h L 12 Es I F v L3 N. (49) (50). 其中，斜桿的斷面性質為面積為 A ' tb ，單一厚度面積二次慣量為. bt 3 I a I1 ，b 為重複單元體在 X3 方向上之厚度。斜桿受力的垂直 12 分量即為重複單元體在 X2 方向所受之總力 P. P N sin F cos. (51). 將式(47)至式(50)代入式(51)可得. ES bt ES bt 3 2 P v sin 3 v cos2 L L. (52). 或移項之後得到 v . PL 2 2 t Es bt sin cos2 L . 考慮垂直桿受軸向壓力所造成的變形. 45. (53).
(57) a . Ph bt Es 2. (54). 重複單元體之總變形量 Δ'v 為 Δv 與δa 之總和，即 Δ'v=Δv +δa. (55). 可得如下之重複單元體總變形量與總垂直受力關係式 'v . PL 2 2 t Es bt sin cos2 L . . 2 Ph Es bt. PL* 巨觀楊氏模數定義為 E * A 'v * 2. (56). (57). 其中，A*為整個重複單元體包含孔隙的橫斷面積， A* bL cos ，而 L*為整個重複單元體在 X2 方向之總長， L* L sin h ，若為規則正六角 形蜂窩結構， 30 , L h 相對楊氏模數可整理如下式. 1 3 2 E2* ES 2 3 1 2 其中 . (58). t 。如果不考慮垂直桿受軸向壓力所造成的變形，則 L. Δ'v=Δv 且 E2* 3 (1 3 2 ) ES 4. (59). 垂直桿受軸向壓力所造成的變形，。如果在 X3 方向上加束制，使原 來的平面應力(Plane Stress)變成平面應變(Plane Strain)。. 46.
(58) 1 3 2 E2* ES 2 3 1 2 1 2 . (60). 比較不同形式之值做比較可得下表 5.1。 表 5.1、比較不同斜桿軸力效應之厚長比所對應之 λ 值. . 0.0200 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000. 均勻壓縮不考慮斜桿軸力效應 1.4572 1.4572 1.4572 1.4572 1.4572 均勻壓縮考慮斜桿軸力效應. 1.0004 1.0098 1.0374 1.0775 1.1240. Z 型挫屈不考慮斜桿軸力效應 0.6856 0.6856 0.6856 0.6856 0.6856 Z 型挫屈考慮斜桿軸力效應. 0.6083 0.6104 0.6165 0.6247 0.6335. 1 3 2 Z 型挫屈考慮斜桿軸力效應 =2 0.6667 0.6667 0.6667 0.6667 0.6667 從表 5.1 可以發現在均勻壓縮與 Z 型挫屈的形態下不考慮軸向力影 響時其厚長比與值無明顯之影響，考慮軸向力影響時厚長比與值則有 明顯關聯。. 5.3.2 受力於 X1 方向且有約束其邊界理論解: v H sin a cos. (61). h H cos a sin . (62). 12 ES I 12 ES I H sin a cos v L3 L3 E A' E A' N S h S H cos a sin L L. F. (63) (64). 其中，斜桿的斷面性質為面積為 A ' tb ，單一厚度的面積二次慣量. 47.
(59) bt 3 為 I I1 ，b 為重複單元體在 X3 方向上之厚度。斜桿受力的垂直分 12 量即為重複單元體在 X1 方向所受之總力 P. P F sin N cos. (65). Fa a F cos N sin 2 E A ' E bt 其中 s v s ，Av ' =bt/2 h 2h. (66). 將式(63)、式(64)代入式(65)、式(66)可得. ES bt 3 ES bt ES bt 3 ES bt 2 2 P 3 H sin H cos 3 a sin cos L L L L. (67). ES bt 3 Fa ES bt 3 ES bt ES bt 2 2 3 sin a H sin cos 3 cos L L L L 2 . (68). 或移項之後得到. sin cos 3. a H . cos sin t / 2h 3. 2. 2. H. (69). p 3 2 sin 2 cos2 2 3 2 Es b sin cos 3 2 2 cos sin t / 2h 巨觀楊氏模數定義為 E1* . Pcos H b(sin h / L). (70). (71). 若為規則正六角形蜂窩結構， 30 且 L h ，相對楊氏模數可整理 如下式. 1 3 2 E1* ES 2 3 1 2 . 48. (72).
(60) 其中 . t Fa (1 2 ) P 3 P。 。且 ，瑕疵產生後 N P cos 2 L 2 2 3(1 3 ). Fa 4(1 2 ) kL ，k 'L 此時 k= ka 定義為 k2=Fa/EI 2 N 3(1 3 ) 旋轉勁度係數 f 仍可沿用式(46)，將 f 代回挫屈特徵方程式，式(37)， 藉由試誤法，可求得相對應之 kL 值與相對應之無因次挫屈載重係數. kL . . 3(1 3 2 ) a 2(1 2 ) . 3(1 3 2 ) a 。如表 5.2 所示。 2(1 2 ). 表 5.2、X1 受力不同厚長比所對應之 λ 值 0.0200 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000. a=ζa/π. 0.62752. 0.62525. 0.61785. 0.60459. 0.58389. =ζ/π. 0.58444. 0.59349. 0.62105. 0.66467. 0.72126. 當蜂窩結構垂直桿件厚度為雙倍厚度時，其假設如同上述所示但在 此條件下 Av ' =bt，則式(69)與式(70)將改寫為. sin cos 3. a H . 3 cos2 sin 2 t / h. H. (73). p 3 2 sin 2 cos2 2 3 2 Es b sin cos 3 2 2 cos sin t / h . (74). 若為規則正六角形蜂窩結構， 30 ， L h 。求得:. Fa 2 3(1 2 ) P 3 F P。 。且 k 2 a a ，瑕疵產生後 N P cos 2 2 3 5 2 Es I a. 49.
(61) kL kL N N 3 5 2 ，k ' r 8rka ， k ' L a a 2 ES I Fa 4(1 ) 1 8 則 f 改寫後，可得 f . Es I a 1 cos k ' L I a SL 2k ' L sin k ' L I. (75). 藉由試誤法，可求得相對應之 kL 值與相對應之無因次挫屈載重係數. . kL 2 . 3 5 2 ka L 2 3(1 2 ) . 3 5 2 a 。如表 5.3 所示。 3(1 2 ). 表 5.3、垂直桿具雙倍厚度 X1 受力之 λ 值. . 0.0200. 0.1000. 0.2000. 0.3000. 0.4000. a=kaL/π. 0.25235. 0.25125. 0.24775. 0.24171. 0.23278. =kL/π. 0.66459. 0.67018. 0.68739. 0.71520. 0.75240. 5.3.2 垂直桿件雙倍厚度受力於 X2 方向且有邊界約束: 當垂直桿件厚度變為雙倍時 I a . b(2t )3 8I 。 12. 其挫屈特徵方程式可以沿用式 37，但旋轉勁度係數 f 則會不同可透 過修改而得。透過式 53 可修改 N 為: N. ES bt Fa v sin L 1 3 2. k 'L . K L N L a Es I. 50. (76). (77).
(62) . Fa I 1 3 2 ，如果橫向約束在側潰發生後解除則 NI a 8. N P sin . P Fa 1 。 ； 2 4 2. 則 f 可以改寫為 f . 其中 k ' L . ka L. . Es I a 1 cos k ' L I a SL 2k ' L sin k ' L I. (78). 當側向完全約束時 1 3 2 且只有在 Ia=I 時有. 效，而側向無約束時 . 1 F ， k 2a a f Es I a 2. 藉由試誤法，可求得相對應之 kL 值與相對應之無因次挫屈載重係數. . Fa L P L 2 2a 。如表 5.4 所示。 Es I Es I a . 表 5.4、垂直桿具雙倍厚度 X2 受力之 λ 值. . 0.020. 0.10. 0.20. 0.30. 0.40. a=ζa/π. 0.28537 0.28537 0.28537 0.28537 0.28537. =ζ/π. 0.57075 0.57075 0.57075 0.57075 0.57075. 其結果值不受厚長比的影響是合理的，這是由於垂直桿件於端點連 接處因對稱而不旋轉，所以垂直桿件的勁度變化並不會影響傾斜桿件的 受力。對傾斜桿件的旋轉勁度而言亦相同。. 51.
(63) 第六章、結論 當蜂窩結構受到平面內的力量時，沿細胞壁之軸力在塊體之巨觀材 料性質或挫屈破壞強度的分析中，有不可忽略的影響力，尤其是有側向 圍束邊界條件存在時或細胞並非薄壁時，特別顯著。對於極厚壁蜂窩結 構而言，軸力所造成之軸向變形，更是主要變形來源，撓曲與剪力變形 反而影響不大。軸力效應使蜂窩結構的勁度與挫屈強度皆降低，其幅度 自 12%至十數倍不等，若忽略此效應，結果偏向不保守。 探討 Z 型挫屈時一旦缺陷生效而垂直變形的側向約束力不會增加， 也就是說，如果約束力不會完全消失也不會增加，則側向約束對垂直構 件的挫曲變形不會造成更進一步的影響。因此， 2 將比 1 3 2 更 加合理，實際應用上，可將此兩值所得結果，作為真實值的上、下限。 數值分析結果中也發現，有側向邊界約束時，會有 Z 形挫屈發生， 而在無側向邊界約束時，則容易有大變形的發生，反而避免了 Z 形挫屈。 而平面應力(Plane Stress)與平面應變(Plane Strain)，結果僅差別於一項乘 常數 1/(1-v2)，當柏松比在 0.2~0.3 之間時，兩者差異性並不大於 10%。 建議未來進行相關研究時，可加入實際模型試驗作為進一部探討， 能更加有助於了解蜂窩材料本身之特性。. 52.
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