多期數之信用風險違約機率驗證法 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學統計學系碩士學位論文. sit. io. er. Nat. y. ‧. ‧ 國. 學. 多期數之信用風險違約機率驗證法政治大立 Method of Probability of The Calibration Default under Multiple Periods. n. al iv 指導教授：劉惠美 n博士 Ch engchi U 指導教授：陳麗霞博士. 研究生：林福文. 中華民國九十九年六月.

(2) 謝誌. 在政大的最後兩年，從研一的修課、報告，一直到研二的準備論文，感覺非常充實，讓我的思維與視界更為深化及寬廣。本論文的完成，首先要感謝指導教授劉惠美博士及陳麗霞博士對於論文內容的引導與規劃安排；並且感謝洪明欽博士於 meeting 以外的時間，抽空到學校來瞭解撰寫論文所遭受到的困難，以其專業背景給予建議；亦感謝口試委員劉家頤博士的寶貴意見。除了教授們的教導以外，這兩年也感謝統計碩班同學，不論是在日常課業或是客餘活動，均帶. 政治大讓我有機會完成自己的理想，朝更遠大的目標前進。謹以此論文獻給我的家人、立. 給班上良好的氣氛，使兩年的時光在歡笑中快速度過。最後，也感謝家人的支持，. ‧. ‧ 國. 學. 師長及所有關心與協助我的人。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.

(3) 摘要. 新巴賽爾資協定中，針對銀行風險管理具備三大支柱，支柱一管理信用風險、市場風險及作業風險，其中信用風險方法更分為標準法、基礎內部模型法與進階內部模型法。不論銀行採用何種內部模型法，銀行必頇有估計違約機率之能力，並且送交監理機關審查核准。為了確保預測違約機率之適當，巴賽爾銀行監理委員會 BCBS (2005) 對於不同資料長度與驗證期間分別建議二項檢定、卡方檢定、常態檢定與紅綠燈檢定。當資料期數足夠時，BCBS 推薦使用紅綠燈檢定，但該. 政治大 BCBS (2005) 中之某些情境下，採用紅綠燈檢定驗證違約機率會受到違約事件之立. 檢定需要若干假設：違約事件間相互獨立且違約事件在時間上亦獨立，因此在. ‧ 國. 學. 間並非獨立，造成中央極限定理不適當地近似標準化之違約機率至常態分配，且模擬之型一誤差亦有高估之結果。. ‧. 在違約事件之間獨立且無時間相關性下，本文建議採用卜瓦松分配近似二項. sit. y. Nat. 分配；在違約事件之間非獨立且具有時間相關性下，本文則建議採用二項分配，. n. al. er. io. 結合 granularity adjustment，使違約事件間之相關性可以反映在不同顏色之分色. i Un. v. 點上。最後，由數量模擬結果顯示：本文建議採用之改良方法，皆可有效將型一. Ch. engchi. 誤差維持在設定之顯著水準上，並反映真實之檢定力。因此，不論對銀行或監理機關來說，改良之違約機率驗證方法係值得使用之方法。. 關鍵詞：紅綠燈檢定、卜瓦松映射、二項映射.

(4) Abstract. There are three methods in Basel II (Standardized Approach, Foundation IRB Approach and Advanced IRB Approach) to calculate the capital charges. The banks have to estimate probability of default (PD) if they use IRB approach. Four statistic methods recommended by BCBS worthy to validate the PD: Binomial test, Chi-square test, Normal test and Extended Traffic Lights test (ETLT). If the data are long enough, BCBS recommended using the ETLT with the assumptions that the. 政治大 validating PDs by ETLT will overestimate the type I errors and statistic power. 立. obligors are independent and also independent in time. From numerical results,. ‧ 國. 學. We suggest two methods in different scenarios to make the type I errors closed to the significant level. First, we suggest to approximate Normal distribution in Poisson. ‧. distribution with randomization technique. Second, we combine Binomial distribution. Nat. sit. y. with granularity adjustment to fit the correlation between the obligors. Both methods. n. al. er. io. not only perform well in type I errors, but also reflect the real statistic power. For the. i Un. v. banks, both methods are worthy to use for avoiding to increasing the capital charges. Ch. engchi. unexpectedly or the operational risk of the banks.. Key Words：Traffic lights test, Poisson mapping, Binomial mapping with granularity adjustment.

(5) 目錄. 第一章緒論…………………………………………………….……………………1 第一節研究動機……………………………………………………………….2 第二節研究目的……………………………………………………………….2 第二章文獻探討…………………………………………………………………….3 第一節傳統多期數之違約機率驗證法……………………………………….3 第二節原始紅綠燈檢定……………………………………………………….6. 政治大第三章研究方法……………………………………………………………………13 立第三節二項分配之紅綠燈檢定……………………………………………….9. Extended traffic lights test with Poisson mapping......………….…………13. II.. Binomial mapping with granularity adjustment…………..…………….....16. ‧. ‧ 國. 學. I.. 第四章模擬方法與數量結果………………………………………………............21. Nat. II.. Extended traffic lights test with Poisson mapping 演算法………………..22. n. al. er. sit. y. Model for simulation………………………………………………………21. io. I.. i Un. v. III. Binomial mapping with granularity adjustment 演算法…………………..23. Ch. engchi. IV. 模擬結果…………………………………………………………………..25 第五章結論…………………………………………………………………………33 附錄…………………………………………………………………………………..35 參考文獻……………………………………………………………………………..41.

(6) 表目錄. 1-1 違約事件獨立下，型一誤差數量結果比較表…………………………………28 1-2 違約事件不獨立下，型一誤差數量結果比較表………………………………29 2-1 違約事件獨立下，檢定力數量結果比較表……………………………………30 2-2 違約事件不獨立下，檢定力數量結果比較表…………………………………30. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.

(7) 圖目錄. 1-1：I_SV 檢定力曲線比較圖…………………………………………………….31 1-2：I_LV 檢定力曲線比較圖…………………………………………………….31 1-3：DV_SV 檢定力曲線比較圖………………………………………………….32 1-4：DV_LV 檢定力曲線比較圖………………………………………………….32. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.

(8) 第一章緒論. 1974 年 12 月由十大工業國家之央行總裁決議設立巴賽爾銀行監理協會，以提升金融機構償債能力監理之標準。該委員會於 1988 年提出最低資本適足比率 8%的概念，確保銀行維持足夠的資本水平承受其營運風險，從此巴賽爾資本協定成為金融業界所公認之準則，並為超過 100 個國家所使用。. 政治大本進行規範，即定義適足資本及其對銀行風險性資產的最低比率。當中管控立. 1999 年委員會提出第一版資本協定，第一版資本協定主要針對最低資. ‧ 國. 學. 銀行之信用風險與市場風險，然隨著金融市場與時俱進，金融創新與科技進步下，銀行除了傳統的存放款與商品販售外，亦積極操作衍生性金融商品。. ‧. 因此委員會在廣徵各國意見與評估量化風險對銀行業所造成的影響後，新版. sit. y. Nat. 巴賽爾資本協定於 2004 年定稿，並於 2007 年發佈並開始實施。新版與舊版. n. al. er. io. 資本協定中的差異包含：擴大監理涵蓋範圍，將原本僅有最低資本監理擴大. i Un. v. 至三個支柱，分別對最低資本、監理檢視及市場紀律進行規範。其中第一支. Ch. engchi. 柱-最低資本除了管控信用風險與市場風險外，更增加規範作業風險，因為近期以來國際間所爆發之嚴重金融弊案如恩隆案，即是交易員越權操作其無權操作之商品，並隱瞞該商品所帶來的損失，係為作業風險之一環，因此加強對於作業規範上做監理的動作。此外，對於原本既有之信用風險，開放擁有良好適足率的銀行可以採用內部自行建立之模型，以降低對於承受信用風險所需增提之準備金，降低營運的壓力。在支柱二的部分，新資本協定要求各國監理機關對銀行適足資本計提及資本分配是否符合相關標準進行質、量性評估，並做必要之早期干預；在支柱三的部分，認為資本市場是銀行外部監理的最佳監理者，因此規定法定揭露的資訊，以促進市場紀律。 1.

(9) 第一節研究動機. 在新巴賽爾協定第一支柱規範中，採用內部評等法之銀行 (Internal Ratings Based approach)，需依違約機率 (probability of default，PD)、違約損失率 (loss given default)、違約曝險額 (exposure at default) 與剩餘期間 (remaining maturity) 等風險指標求算期望損失，以計算資本計提數額 (capital charges)，其中採用基礎內部評等法 (Foundation Internal Ratings Based approach) 之銀行，可自行估計違約機率 (PD)，其他風險參數則由監理機關提供估計值，或依新巴賽爾資本協定所提供之公式計算；然採用進階. 治政內部評等法 (Advanced Internal Ratings Based 大 approach) 的銀行則可進一步立估計其他風險指標參數，並由此計算需計提之資本，因此不論採用基礎內部 ‧ 國. 學. 評等法或進階內部評等法，銀行皆頇有估計違約機率之能力。另外，在第二. ‧. 支柱規範中，監理機關除了審查銀行內部評等系統的做法與法令遵循的情形. sit. y. Nat. 外，還需檢視銀行估計的預測違約機率 (forecasted PD) 是否足夠，此即違. io. er. 約機率的驗證 (validation)。. al. n. iv n C 違約機率之驗證係利用統計的檢定方法， h e n g c h i U檢定銀行估計之預測違約機率是否足夠，例如，Binomial test、Chi-square test、Normal test 與 Extended Traffic lights test (簡稱 ETLT) ，其中 Binomial test 與 Chi-square test 適用於驗證期數為單期時，而 Normal test 與 ETLT 則適用驗證期數為多期時。若資料期間長度足夠，一般建議同時驗證多期的期數，而 BCBS (2005) 由模擬比較後，建議 ETLT 是值得使用的違約機率驗證方法。. 第二節研究目的. 由於資產相關性 (asset correlation) 是銀行考慮資產組合信用風險 2.

(10) (portfolio credit risk) 的重要因素，例如 2007 年以來由次級房貸風暴 (subprime mortgage crisis) 所引發的國際金融海嘯，因為次級房貸間具有高度的相關性，使銀行可能面臨違約事件的連鎖發生，進而引發整體資產組合的重大或極端損失。此外，新巴賽爾協定在第一支柱中，亦提供採用內部評等法的銀行關於資產相關性與違約機率間之關係，並由此計算資本計提。因此，資產相關性對違約機率驗證之影響是值得探討的，但 BCBS (2005) 之 ETLT 並未考慮資產相關性及違約事件之時間相關性，本文在具有資產及時間相關性之信用模型假設下，配合二項分配與卜瓦松分配提出修正 ETLT 的方法，並由蒙地卡羅模擬，比較不同違約機率驗證方法在不同情境. 治政假設下之型一誤差 (type I errors) 與檢定力 (power)。由模擬結果顯示本文大立提出之 Extended traffic lights test with Poisson mapping，模擬之型一誤差較 ‧ 國. 學. ETLT 更接近所設定的顯著水準，且當資產具有相關性時，本文提出之. ‧. Binomial mapping with granularity adjustment 之型一誤差亦較 ETLT 接近所. sit. y. Nat. 設定之顯著水準，因此本文固定在 size alpha 下，重新計算此兩檢定之檢定. io. n. al. er. 力，避免原始 TLT 方法高估檢定力之結果。. i n C U h e n 文獻探討第二章 gchi. v. 第一節傳統多期數之違約機率驗證法. 在違約機率資料多於單期時，Blochwitz et al. (2004) 提出兩種方法，驗證單一信用評等等級下，多期數預測之違約機率與真實違約機率之間是否存在差異，分別為 Extended traffic light approach(以下簡稱 ETLT)及 Normal test。首先介紹符號表示如下： 3.

(11) . t  1T ，表示資料時間. . pˆ t ，表示第 t 期預測之違約機率. . d i ,t ，表示真實的違約個數. . N t ，表示第 t 期某評等等第中的人數. . ~ pt . . Di ,t . . Nt. i 1. d i ,t. Nt. ，表示真實違約機率. 0, 第 i 個債務人在時間 t 時未違約 1, 第 i 個債務人在時間 t 時違約. 治政 ETLT 的檢定方法假設：違約事件間無相關性且在時間先後上亦無相關大立 ‧ 國. 學. 性。在時間 t 時，違約事件間互為獨立且違約事件具有相同的違約機率 pt ，因此在第 t 年違約事件的發生個數 Dt 服從二項分配，. ‧. Dt ~ Binomial ( N t , pt ) 。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 標準化的違約機率的分配為 ~ Dt  N t pt pt  pt pt   N t pt (1  pt ) pt (1  pt ) Nt. Ch. engchi. i Un. v. 由中央極限定理， pt 可以近似標準常態分配 d pt   N (0,1). 另外，Blochwitz et al. (2003) 利用比較獨立及非獨立投資組合之型一誤差及型二誤差之數量模擬結果得出：資產間存在相關性之影響係相當低的。假設違約事件之間獨立且在時間上亦為獨立時，在虛無假設：正確的預測各種事件發生的機率為真之下，則檢定統計量為多項分配。各種顏色發生的機率分別定義為綠色 q g 、黃色 q y 、橘色 qo 及紅色 qr ，且 qg  q y  qo  qr  1 ， 4.

(12) 各種不同的顏色映射 C (x) 則定義如下；. g , x   1 (qg ). C (x) . y,  1 (q g )  x   1 (q g  q y ) o,  1 (q g  q y )  x   1 (q g  q y  qo ) r ,  1 (q g  q y  qo )  x. 1 其中  () 表示標準常態分配之反函數。. 該文設定各種顏色發生之機率分別為 q g  0.5 、 q y  0.3 、 qo  0.15 及. 立. 政治大. qr  0.05 。依照上述定義，在違約事件互為是獨立的假定下，向量. ‧ 國. 學. Ac  ( Ag , Ay , Ao , Ar ) 表示各種顏色發生的次數， c  g , y, o, r，因此經過顏. io. n. al. y. T! A A q g g q y y qoAo qrAr Ag !A y ! Ao ! Ar !. sit. . P A  ( Ag , Ay , Ao , Ar ) . er. Nat. . ‧. 色映射後的標準化違約機率 C ( p1 )C ( pT ) 將會近似多項分配如下. i Un. v. 其中，對每一個非負整數的 quadruple ( Ag , Ay , Ao , Ar ) ，必頇滿足. Ch. engchi. Ag  Ay  Ao  Ar  T 。該檢定之檢定統計量為 V  V ( Ag , Ay , Ao , Ar )  1000 Ag  100 Ay  10 Ao  Ar ， T  9. 依照上述，虛無假設為「在時間 t  1T ，所有真實違約機率不大於對應時間下的預測違約機率 pˆ t 」，在顯著水準  下，當 V  v ，拒絕虛無假設 ( H 0 : pt  pˆ t ) ，表示在時間 t  1T ，顯著水準  下，真實違約機率較預測之違約機率為大，金融機構低估違約機率，其中 v 滿足 PV  v    ；若臨界值 v 大於檢定統計量，則在顯著水準  下不拒絕虛無假設。 5.

(13) 除 ETLT 以外，該文亦提出 Normal test 以同時驗證多期數之違約機率。 Normal test 係建構在：如果 X 1 , X 2 , X 3  為分別具有平均數 1 ,  2 , 3  與共同變異數   0 之獨立隨機變數，則藉由中央極限定理，標準化後的 2.  之加總 . T. X1, X 2 , X 3. t 1. ( X t  t ) T. d   N (0,1) ，當 T   。. 為了將 Normal test 應用至預測違約機率 pˆ 1 , pˆ 2 ,, pˆ T 與觀測之違約比率. ~p , ~p ,, ~p 上，必頇要適當的估計共同之變異數  2 。該文為了減少預測 1 2 T. 政治大違約機率與真實違約機率不相同所造成之偏誤 (bias)，共同變異數之估計式立 1 1  ˆ    ~ p  pˆ     ~ p  pˆ   T T . ‧ 國. T. t 1. t. 2. T. 2. t 1. t. t. 學. 2. t. 在虛無假設為真的情況下， ˆ 為不偏估計式(unbiased)。Normal test 之虛無 2. ‧. y. sit. n. al. er. io. pˆ t 。. Nat. p t 均小於等於對應時間之預測值假設：在 t  1,, T 下，所有真實違約機率 ~. 當檢定統計量. Ch. t 1 ( ~pt  pˆ t ) T. T ˆ. i Un. v. e zn ， g c則h在i 顯著水準  下拒絕虛無假設 . ( H 0 : pt  pˆ t ) ，其中 z 係標準常態於  之百分位數；反之，若檢定統計量不大於 z ，在顯著水準  下則不拒絕虛無假設。. 第二節原始紅綠燈檢定. Tasche D. (2003) 介紹原始之 Traffic lights test (下面簡稱 TLT) 之概念與分割點之求法，其中提出兩種分色點之求法分別為：The granularity 6.

(14) adjustment approach 與 Fitting the default rate distribution with moment matching。首先，利用 Vasicek one factor model 作為債務人之風險函數，定義投資組合內有 N t 個債務人， D( N t ) 是在所觀察的期間內違約發生的次數， Nt. 表達成 D( N t )   I (  X  1    i   ) ，其中 X 與  1 , ,  Nt 是獨立的常態 i 1. 隨機變數，  是債務人資產價值違約的門檻值，又為了使 E D( Nt )  np ， 1 1 則    ( p) ，  () 為標準常態分配之反函數，另外，資產間之相關性在. Basel II 的規定中，不宜設定超過 0.24。接著，為了使 TLT 可以順利進行，. 政治大 Moment matching 之方法。立. 必頇決定各種顏色的臨界值，下面分別介紹 The granularity adjustment 與. ‧ 國. 學. The granularity adjustment：. ‧. 設定臨界值 K  q , D( N t )  1，其中. Nat. io. sit. y. q , D( Nt )  minx : pD( Nt )  x   ，因為 D( Nt ) 計算不易，令. er. I.. n. R( Nt )  D( Nat ) / Nt ，採用 R( Nt ) 來取代 D( N vt ) 做運算，因此 Nt. i l C n U h , Dn( Ng)c 。h i  q , R( N )  qe t. t. 根據 Gordy (2002) 建議之 granularity adjustment approach 近似. q , R( N t )。該近似方法係根據二階泰勒展開式將 q , R( N t ) 做展開如下. q , R( N t )  q( , R  h( R( N t )  R)) | h1  q( , R) . .  q( , R  h( R( N t )  R)) | h 0 h. 1 2 q( , R  h( R( N t )  R)) | h0 ， 2 h 2 7.

(15) t  X 又 R  lim RNt     1  N t  .  ，  .    1 ( )  t  。 q( , R)     1    . 因為 D( Nt ) 為間斷型隨機變數，因此無法計算在泰勒展開式中的微分，利用 Martin and Wilde (2002) 提出之微分技巧得出. q , D( N t )  N t q( , R) . 立. 學. Moment matching：. ‧. Nt. y. i 1. sit. Nat. 將 DNt    I (  X  1    i   ) 與 R( Nt )  D( Nt ) / Nt 利用 Beta. io. distribution 近似，且 Beta 分配的參數由 R( Nt ) 的一階與二階動差決. n. al. er. II..     q(1   , X )  t  1   q(1   , X )     1    . 政治大. q( , R)(1  q( , R))    q(1   , X )  t       1    . ‧ 國. . 1 2q( , R)  1 2. 定。. Ch. 令 Z ~ Beta (a, b) ，. E(Z ) . engchi. i Un. v. a  E R ( N t  ， ab. Var ( Z ) . ab  Var ( Rn ) ， (a  b) (a  b  1) 2. 解得. a. b. E ( RN t ) Var ( RNt ). E( R. 1  E ( RN t ) Var ( RNt ). Nt. E( R. . )(1  E ( RNt ))  Var ( RNt ) ，. Nt. . )(1  E ( RNt ))  Var ( RNt ) ， 8.

(16) 其中 E ( RNt )  p ， Var ( RNt ) . Nt  1 p  2 (t , t ,  )   p2 。 Nt Nt. 為了方便 MSexcel 計算，該文採用 Tong (1990) 提出之二維常態近. e t 1 (  2 2 ) ，似：  2 (t , t ,  )  (t )  2 2 t 2. 2. 最後藉由 q , D( Nt )  Nt q( , Z ) 得出 q , D( Nt ) 。由上述兩個調整方法，當我們在找尋分割點時，可以將債務人間的相關性考慮進來，避免檢定過程過於簡化而喪失一般性。. 政治大第三節二項分配之紅綠燈檢定立. ‧ 國. 學. 張揖平等 (2009) 針對巴賽爾銀行監理委員會 (The Basel Committee on. ‧. Banking Supervision，BCBS) 在多期數下建議採用之 Extended Traffic Lights. sit. y. Nat. test (以下簡稱 ETLT)，改善其容易造成高型一誤差與低檢定力之結果。ETLT. n. al. er. io. 參考新巴賽爾協定所建議之 Vasicek model 做為資產組合信用風險模型，假. i Un. v. 設第 t 期某一評等之第 i 個債務人標準化資產報酬 X t ,i 受到單一系統因子 Vt. Ch. engchi. 與非系統因子  i,t 影響， X i ,i 可以表示成： X i ,t  Vt  1    i ,t ，其中 X i ,t ~ N(0,1) ， i ,t ~ N (0,1)；債務人的相關性 corr ( X i ,t , X j ,t )   ，i  j 。假設第 t 期某一評等之第 i 個債務人之標準化資產報酬 X i , t 低於門檻值  i,t ，則表示違約。令 1,當 X i ,t   i ,t Yi ,t . 0,當 X i ,t   i ,t 9.

(17) 假設在第 t 期，相同評等等級之債務人具有相同的真實違約機率 pt ，則 pt  P( X i ,t  i ,t )  ( i ,t ) ，. 其中 () 係標準常態之分配函數 (distribution function)，為非條件違約機率， 1 將上式取反函數得  i ,t   ( pt ) 。. 在已知系統因子 Vt 時，第 t 期某一評等債務人之條件違約機率 t (Vt ; pt ,  ) 可表示為. t (Vt ; pt ,  )  P(Yi ,t  1 | Vt ). 政治大  P( X   | V ) 立 i ,t. t. io. n. al. Ch. y.    . sit. ‧ 國 Nat.   1 ( pt )  Vt    1  .    . ‧.   1 ( pt )  Vt  P  i ,t  1  . . 學. .  P Vt  1    i ,t   i ,t | Vt. er. i ,t. i Un. v. 違約機率的校準是利用統計檢定方法判斷違約機率是否準確，其虛無假設與對立假設分別如下：. engchi. H 0 : pt  pt 0 , t  1T H1 : pt  pt 0 , t  1T 其中，T 為違約機率的期數， pt 和 pt 0 分別為第 t 其某一評等授信戶的違約機率和預測違約機率。. 該文提出改善 ETLT 的方法，二項分配之 Traffic lights test (下面簡稱 TLT-Bin)，先利用 Vasicek model，當系統因子 Vt 已知且虛無假設為真之下， 10.

(18) 違約個數 Dt ~ Binomial ( Nt , t (Vt ; pt 0 ,  )) ，因此違約個數的臨界點為. P( Dt  k )  E( P( Dt  k | Vt ))  Nt   t (v; pt 0 ,  ) i (1 t (v; pt 0 ,  )) Nt i  (v)dv   i 0  i . . . k. 其中  () 為標準常態之機率密度函數 (probability density function)。 (TLT  Bin ). 令決定綠燈、黃燈和橘燈的臨界點分別為 k t , g. (TLT  Bin ). 、 kt , y. (TLT  Bin ). 與 k t ,o. ，. 政治大. (TLT  BIn )  BIn ) ) 、 P( Dt  k t(,TLT )與由於 Dt 為間斷型分配，因此 P( Dt  k t , g y. 立.  BIn ) P( Dt  k t(,TLT ) 之臨界點可能不會剛好等於 q g 、 q y 與 q o ，所以該文使用 o. ‧ 國. 學. randomization 的技巧使發生在綠燈、黃燈與橘燈的機率等於 q g 、 q y 與 q o 。. ‧. (TLT  Bin ). 與 k t ,o. 分別滿足. n. k. (TLT  Bin ) t,y.  max k | P( Dt. er. io.  Bin ) kt(,TLT  maxk | P( Dt  k )  q g  g. al. y. 、 kt , y. sit. (TLT  Bin ). Nat. (TLT  Bin ). 令 kt ,g. i n C U  k) h  qe  q  h i ngc g. v. y.  Bin ) kt(,TLT  maxk | P( Dt  k )  q g  q y  qo  o. 為使綠燈的機率為 q g ，定義  t , g. (TLT  Bin ). 為綠燈對應 randomization 之機率，則.  Bin )  t(,TLT 需滿足 g  Bin )  Bin ) P( Dt  k g(TLT  Bin ) )   t(,TLT P( Dt  kt(,TLT  1)  q g g g. 因此，. 11.

(19) . (TLT  Bin ) t,g. .  Bin ) q g  P( Dt  k t(,TLT ) g  Bin ) p( Dt  k t(,TLT  1) g. ，. 同理黃燈與橘燈對應的 randomization 機率  t ,Y. (TLT  Bin ).  Bin )  t(,TLT  y.  Bin )  t(,TLT  o. 和  t ,O. (TLT  Bin ). 分別為.  Bin ) (q g  q y )  P( Dt  k t(,TLT ) y  Bin ) p( Dt  k t(,TLT  1) y.  Bin ) (q g  q y  qo )  P( Dt  k t(,TLT ) o  Bin ) p( Dt  k t(,TLT  1) o. 則定義燈號映射函數 C (TLT  Bin ) ( Dt ) 如下. 政治大.  Bin ) g , Dt  k t(,TLT g. 立. ‧ 國. 學.  Bin )  Bin ) g , Dt  kt(,TLT  1 & U t   t(,TLT g g  Bin )  Bin ) y, Dt  kt(,TLT  1 & U t   t(,TLT g g. ‧.  Bin )  Bin ) yY , kt(,TLT  1  Dt  kt(,TLT g y. sit. y. Nat.  Bin )  Bin ) v o, Dt a kl t(,TLT  1 & U t   t(,TLT i y y. n. C (TLT  Bin ) ( Dt ). er. io.  Bin )  Bin ) y, Dt  kt(,TLT  1 & U t   t(,TLT y y. Ch. n engchi U.  Bin )  Bin ) o, kt(,TLT  1  Dt  kt(,TLT y o.  Bin )  Bin ) o, Dt  kt(,TLT  1 & U t   t(,TLT o o  Bin )  Bin ) r, Dt  kt(,TLT  1 & U t   t(,TLT o o. Bin ) r , Dt  k t(.TLT 1 o. 其中 U t 為 Uniform(0,1) 產生之亂數。令第 T 期資料由 C (TLT  Bin ) ( Dt ) 所出現的 (TLT  Bin ). 綠燈、黃燈、橘燈及紅燈的次數分別為 Ag(TLT  Bi n) 、 Ay 12. 、 Ao(TLT  Bin ) 及.

(20) Ar(TLT Bin ) ，則定義檢定統計量 Z (TLT  Bin ) 為 Z (TLT Bin )  (T  1)3 Ag(TLT Bin )  (T  1) 2 Ay(TLT Bin )  (T  1)1 Ao(TLT Bin )  Ar(TLT Bin ). 在顯著水準  下，當 Z (TLT  Bin )  z ，則拒絕虛無假設；反之則不拒絕虛無假設，其中 z 的決定方式與 ETLT 相同。. 第三章研究方法. 政治大. 由上一章節當中可以知道，原始的 Extended Traffic Lights test 在檢定時，. 立. 需要有若干假設：(1) 債務人間為獨立且違約事件無時間相關性；(2) 各期. ‧ 國. 學. 違約機率均相等，因此在 Blochwitz et al., 2004 中，當情境中之違約事件具相關性且違約事件與時間有相關性時，便顯得不適用 (無法利用中央極限定. ‧. 理近似違約機率，且判斷顏色之分色點並未隨債務人間之相關性而增加)，. y. Nat. io. sit. 另外，由該文數量模擬之結果顯示：當債務人間為獨立且違約事件無時間相. n. al. er. 關下，模擬之型一誤差均會大於所設定之顯著水準，表示其所模擬出之型二. Ch. i Un. v. 誤差係被低估的，導致該檢定方法之檢定力有高估之效果，因此本文將建議. engchi. 在無時間相關性及債務人間無相關性下，採用 Poisson mapping 方法，使其型一誤差可以與所設定之顯著水準相當，再由此 size alpha test 估算真實檢定力；若具時間相關性及債務人亦具有相關性下，本文建議採用二項分配及 Granularity adjustment 方法，調整各種顏色的分色點，以符合債務人具相關性下，違約事件可能會有群聚發生之結果，該調整亦可有效改善原始 ETLT 高估其型一誤差之錯誤，並建議其真實之檢定力。. I.. Extended traffic lights test with Poisson mapping (以下簡稱 ETLT-Poi)：依照原始 ETLT，本文先就符號定義如下： 13.

(21) Nt , t  1,, T ，表示在時間 1…T 之間，各期的債務人總數。 Dt ~ Binomial ( Nt , pt ), t  1T ，表示在時間 1…T 之間，各期對應之違約次數。 T  9 ，檢定期數需在 9 期以下。. 由於 Dt 為二項分配，二項分配可以由常態或 Poisson 近似，本文採用 Poisson 近似二項分配，因此在各種顏色的分色點表示如下： d Dt ~ Binomial ( Nt , pt )   Poisson(t  Nt pt ). 立. 學. ‧ 國. K1,t  F 1 (q g , t  N t pt ). 政治大. K 2,t  F 1 (qg  q y , t  N t pt ). ‧. K3,t  F 1 (qg  q y  qr , t  Nt pt ). Nat. sit. y. 即 S1,t 、 S1,t 與 S1,t 分別滿足. n. al. K 2,t  maxk | P( Dt. er. io. K1,t  maxk | P( Dt  k )  qg . i n C U  k) h  qe  q  ngchi g. v. y. K 3,t  max k | P( Dt  k )  q g  q y  qo . 其中 q g 、 q y 、 q o 及 q r 的設定與本文參考文獻相同，分別為 q g  0.5 、 1 q y  0.3、qo  0.15、qr  0.05 且 q g  q y  qo  qr  1，F () 為 Poisson. 之反函數。因為 Poisson 為間斷型分配，因此可以利用 randomization 的方法使其在各期發生的機率等於所設定之 q g  0.5 、 q y  0.3 、 qo  0.15 及. qr  0.05 。 14.

(22) 為使綠燈的機率維持 q g，定義  t , g 為綠燈對應之 randomization 之比率， Poi. 則  t , g 需滿足 Poi. P( Dt  K1,t )   tPoi , g P( Dt  K1,t )  q g 因此，  tPoi ,g . q g  P( Dt  K1,t ) P( Dt  K1,t ). 同理黃燈與橘燈對應之 randomization 比率為.  tPoi ,y . . P( Dt  K 2,t ). qo  P( Dt  K 2,t. 立. 政治大 )  (1   )  P( K  D  K Poi t,y. 2 ,t. t. ). P( Dt  K 3,t ). 定義燈號顏色映射函數為. ‧. g , Dt  K1,t. n. al. y. sit. io. y, Dt  K1,t & U t   tPoi ,g. er. Nat. g , Dt  K1,t & U t   tPoi ,g. i n C U y, K  K hDe n gchi 1,t. t. 2,t. y, Dt  K 2,t & U t   tPoi ,y C Poi ( Dt ) . 3,t. 學. ‧ 國. . Poi t ,o. q y  P( Dt  K1,t )  (1   tPoi , g )  P( K1,t  Dt  K 2,t ). o, Dt  K 2,t & U t   tPoi ,y o, K 2,t  Dt  K 3,t. o, Dt  K3,t & U t   tPoi ,o r , Dt  K3,t & U t   tPoi ,o r , Dt  K 3,t 15. v.

(23) 其中 U t ~ Uniform(0,1) 。令 T 期資料所出現的綠燈、黃燈、橘燈及紅燈 Poi. Poi. 的次數分別為 Ag 、 Ay 、 AoPoi 及 ArPoi ，則檢定統計量為. V Poi  1000 AgPoi  100 AyPoi  10 AoPoi  ArPoi 虛無假設與對立假設為. H 0 : TruePD  ForecastPD. H1 : TruePD  ForecastPD 因此在顯著水準  下，當 Vt Poi  v 時，則拒絕虛無假設，若 Vt Poi  v ，. 政治大則不拒絕虛無假設，其中 v 為滿足 P(V  v)   之最大值。立 . ‧ 國. 學. Binomial mapping with granularity adjustment (以下簡稱 ETLT-BinGA)：. ‧. 原始 ETLT 在具時間相關性且債務人之間具相關性下，無法利用中央極. Nat. io. sit. y. 限定理使違約機率近似標準常態，因此本小節則直接採用違約次數 Dt ，. Dt ~ Binomial，因此無中央極限定理適用之問題，並加入 Tasche (2003). er. II.. al. n. iv n C granularity adjustment 使各種顏色之分割點得以隨債務人之相關性而改 hengchi U 變。. 符號定義：. N t , t  1T ，表示在時間 1…T 之間，各期的債務人總數。 Dt ~ Binomial ( N t , t. pt ), t  1T ，表示在時間 1…T 之間，各期對應之違約次數。 T  9 ，檢定期數需在 9 期以下。. Dt ~ Binomial ( N t , pt ) ，各種顏色之分割點分別為 16.

(24) K1,t  F 1 (qg ; N t , pt ) K 2,t  F 1 (qg  q y ; N t , pt ) K 3,t  F 1 (q g  q y  qo ; N t , pt ) 其中 F 1 () 為二項分配之反函數。然此方式並無法因為債務人之間的相關性而調整違約次數，因此本文建議採用 Tasche (2003) 中之 granularity adjustment 使各種顏色的分割點得以隨債務人之相關性而增加，改善型一誤差過多的模擬結果。. 立. 政治大. 令 K t  quantile (qc , Dt )  1. ‧ 國. 學. 其中 quantile (qc , Dt )  min k : PDt  k   qc ， c  g , y, o, r. ‧. 為了執行計算，令違約比率 R( N t )  Dt / Nt ，因此違約比率 R( N t ) 之百分. io. Nt  quantile qc , R( Nt )  quantile (qc , Dt ). n. al. Ch. er. sit. y. Nat. 位數可表示為. i Un. v. 利用 Gordy (2002) 之結果，使用二階泰勒展開式. engchi. quantile qc , R( Nt )  quantile qc , R  hR( Nt )  R h1  quantile (qc , R) .  quantile qc , R  hR( N t )  R  h 0 h. 1 2  q u a n tiqlc e, R  hR( N t )  R  h0 2 h 2 其中. . . Dt ~ Binomial N t , p  X  1    i   當 N t   ，則違約比率收斂至. 17. . (1).

(25) p. . . .  X  1    i    p  i  . t  X 即 R  lim RNt    1  N t  . t  X t X       1  1   .    .    . 則 R 在 qc 之百分位數為    1 (qc )  t   quantile (qc , R)     1   . (2). 雖然上式容易計算，然上式(1)之定義式(2)無法運用在二階泰勒展開式，. 政治大. 即泰勒展開式中之微分因為 Dt 為間斷型分配而不存在，利用 Martin and. 立. Wilde (2002) 之結果如下. ‧ 國. 學. quantile (qc , Dt )  n  q(qc , R) . ‧.            q 1  q , X  t 1         q qc , R 1  q qc , R  1 c  2qq c , R   1   q1  q c , X    2   q1  q c , X   t   1           1     . n. er. io. sit. y. Nat. al. 1 e 其中  ( x)  2.  x2 2. Ch. engchi. i Un. v. ，為標準常態之機率密度函數。. 因此新分割點則依下式求得 K1,t  quantile (q g , Dt )  1 K 2,t  quantile (qg  q y , Dt )  1 K 3,t  quantile (qg  q y  qo , Dt )  1. 18.

(26) 因 Dt ~ Binomial ( N t , pt ) 為間斷型分配，因此可採用 randomization 方法使上述條件滿足。. 為使 q g 維持一定比率，令  t , g. Bin GA. 為綠燈對應之 randomization 比率，則. GA GA  tBin 需滿足 P( Dt  K1,t )   tBin P( Dt  K1,t )  q g ，同理為使 q y 與 q o 維 ,g ,g. 持比率，則  t , y. Bin GA. 與  t ,o. Bin GA. 分別需滿足. GA GA P( Dt  K1,t )(1   tBin )  P( K1,t  Dt  K 2,t )  P( Dt  K 2,t ) tBin  qy ,g ,y. 政治大. GA GA P( Dt  K 2,t )(1   tBin )  P( K 2,t  Dt  K3,t )  P( Dt  K 3,t ) tBin  qo ,y ,o. 立. ‧ 國. 學. Bin GA Bin GA Bin GA 因此  t , g 、  t , y 與  t ,o 分別為. GA q y  P( Dt  K1,t )  (1   tBin )  P( K1,t  Dt  K 2,t ) ,g. y. al. n. . sit. P( Dt  K 2,t ). er. io. . Bin GA t ,o. . P( Dt  K1,t ). Nat. . Bin GA t,y. q g  P( Dt  K1,t ). ‧. GA  tBin  ,g. i Un. v. GA qo  P( Dt  K 2,t )  (1   tBin )  P( K 2,t  Dt  K 3,t ) ,y. Ch. ePn(Dg cKh i) t. 19. 3,t.

(27) 定義顏色燈號之函數為 g , Dt  K1,t GA g , Dt  K1,t & U t   tBin ,g GA y, Dt  K1,t & U t   tBin ,g. y, K1,t  Dt  K 2,t GA y, Dt  K 2,t & U t   tBin ,y GA o, Dt  K 2,t & U t   tBin ,y. C Bin GA ( Dt ) . 立. 政治大 o, K  D  K 2,t. t. 3,t. ‧ 國. 學. GA o, Dt  K3,t & U t   tBin ,o. ‧. GA r, Dt  K3,t & U t   tBin ,o. y. sit. Nat. r , Dt  K 3,t. n. al. er. io. 其中 U t ~ Uniform(0,1) 。令 T 期綠燈、黃燈、橘燈及紅燈的發生次數分 Bin GA 、 g. 別為 A. iv. n AyBin GAC、 AoBin GA 與 ArBin GA 。檢定統計量為 hengchi U. Vt Bin GA  1000 AgBin GA  100 AyBin GA  10 AoBin GA  ArBin GA. 虛無假設與對立假設為. H 0 : TruePD  ForecastPD. H1 : TruePD  ForecastPD 因此在顯著水準  下，當 Vt BinGA  v 時，則拒絕虛無假設，若 Vt Bin GA  v ，則不拒絕虛無假設，其中 v 為滿足 P(V  v)   之最大值。 20.

(28) 第四章模擬方法與數量結果. Model for simulation： . t 表示觀測時間，假設觀測期間 t  1T. . 在時間 t 時，一個 pool 中的債務人有 N t 個， N t  1000. . 真實違約機率採用 Vasicek model，總體經濟變數(系統風險)的影響由 S t 表示，其中 S t ~ N (0,1)；個別債務人之非系統風險(idiosyncratic risk)  i ,t ~ N (0,1). . 立. 政治大. 總體經濟變數 S t 的聯合分配由個別獨立之標準常態分配組成，相關. 學. ‧ 國. ‧.  1 r12  r1T    r2T   r21 1 係數矩陣為    ，其中 rst  g |s t| ，且 g  0,1 ，       r   T1   1 . sit. y. Nat. 表示總經變數各年度之間的相關性。. al. 第 t 年之違約機率為 pt. n. . io. . er. I.. Ch. engchi. i Un. v. 第 t 年之違約個數 Dt | S t ~ indpendent _ Binomial ( N t , pt (S t )) ，則由   1 ( pt )   t S t Vasicek model，條件違約機率為 pt ( S t )    1  t . . 第 t 年債務人間之相關係數以  t 表示. . H 0 :   0.  。  . H1 :   c0. 檢定力函數： p( X  R  ) ，在 H 0 之下，檢定力函數為型一誤差；. 21.

(29) 在 H 1 之下，檢定力函數則為檢定力。為了建構檢定力曲線以比較 ETLT 與改良後 ETLT 之檢定力，令 ratio . truePD ， 1  ratio  3 forecastPD. Ratio 表示真實違約機率為預測違約機率之倍數。當 ratio=1 時，表示檢定力函數在 H 0 為真地型況下；當 ratio>1 時，表示檢定力函數在 H 1 為真的情況下。. 政治大模擬真實違約次數立. Extended traffic lights test with Poisson mapping 演算法： A.. 先造出相關矩陣  ，再用多元常態 MN(0,  )隨機抽出五個值. 學. a.. ‧ 國. 表示總經變數的數值(St)。. ‧. 利用 Vasicek model，估計真實違約機率(條件違約機率). io. a indpendent Dt | S t ~ _ Binomial ( N t , pti(vS t )) ，由二項亂數抽出 t l n. c..  。  . y. Nat.   1 ( pt )   t S t pt ( S )     1  t . sit. b.. er. II.. Ch. n engchi U. 個年度之條件違約次數。 B.. 建立各種顏色之分割點. K1,t  F 1 q g ; t  K 2,t  F 1 q g  q y ; t  K 3,t  F 1 q g  q y  qo ; t  1 其中 F () 為 Poisson 之反函數， t  N t pt 。. 22.

(30) C.. Randomization， Dt 近似   Poisson(t ).  tPoi ,g . D.. . Poi t,y. . Poi t ,o. . . q g  P( Dt  K1,t ) P( Dt  K1,t ) q y  P( Dt  K1,t )  (1   tPoi , g )  P( K1,t  Dt  K 2,t ) P( Dt  K 2,t ) qo  P( Dt  K 2,t )  (1   tPoi , y )  P( K 2 ,t  Dt  K 3,t ) P( Dt  K 3,t ). 判斷顏色，得出檢定統計量，判斷是否落在拒絕域. 政治大. green, Dt  K1,t  Dt  K1,t & U t   1,t. 立. yellow, U t   1,t & Dt  K1,t  K1,t  Dt  K 2,t  Dt  K 2,t &U t   2,t. ‧ 國. 學. orange, U t   2,t & Dt  K 2,t  K 2,t  Dt  K 3,t  Dt  K 3,t &U t   3,t. ‧. red, Dt  K 3,t &U t   3,t  Dt  K 3,t. y. Nat. io. sit. 重複 A~D 兩萬五千次，計算落入拒絕域的比率。. n. al. er. E.. Ch. i Un. v. III. Binomial mapping with granularity adjustment 演算法： A.. 模擬真實違約次數 a.. engchi. 先造出相關矩陣  ，再用多元常態 Multivariate Normal (0,  ) 隨機抽出五個值表示總經變數的數值(St)。. b.. 利用 Vasicek model，估計真實違約機率 (條件違約機率)   1 ( pt )   t S t pt ( S )     1  t . c..  。  . Dt | S t ~ indpendent _ Binomial ( N t , pt (S t )) ，由二項亂數抽出 t 個年度之條件違約次數。. 23.

(31) B.. 建立各種顏色之分割點 K1,t  quantile (qg , Dt )  1 K 2,t  quantile (q g  q y , Dt )  1 K 3,t  quantile (q g  q y  qo , Dt )  1. C.. Randomization GA  tBin  ,g. . Bin GA t,y. . q g  P( Dt  K1,t ) P( Dt  K1,t ) GA q y  P( Dt  K1,t )  (1   tBin )  P( K1,t  Dt  K 2,t ) ,g. 立. ‧ 國. 2,t. GA qo  P( Dt  K 2,t )  (1   tBin )  P( K 2,t  Dt  K 3,t ) ,y. P( Dt  K 3,t ). 判斷顏色，得出檢定統計量，判斷是否落在拒絕域. ‧. D.. t. 學. GA  tBin  ,o. 政 P治 ( D  K大 ). sit. y. Nat. green, Dt  K1,t  Dt  K1,t & U t   1,t. n. al. er. io. yellow, U t   1,t & Dt  K1,t  K1,t  Dt  K 2,t  Dt  K 2,t &U t   2,t. Ch. i Un. v. orange, U t   2,t & Dt  K 2,t  K 2,t  Dt  K 3,t  Dt  K 3,t &U t   3,t. engchi. red, Dt  K 3,t &U t   3,t  Dt  K 3,t E.. 重複 A~D 兩萬五千次，計算落入拒絕域的比率。. 24.

(32) IV. 模擬結果：由表 1-1：I_SC 及 I_LC 的模擬結果，原始 ETLT 之型一誤差在各種顯著水準設定之下，皆有高估的效果，然當採用改良後之 ETLT-Poi，不論何種顯著水準，均可以將型一誤差有效維持在所設定的水準之內，並且相當接近所設定的顯著水準。另外，由表 1-1：I_SV 及 I_LV 的模擬結果，原始 ETLT 在顯著水準=0.1、0.05、0.025 及 0.01 時所模擬出之型一誤差亦有高估的情形，然改良之 ETLT-Poi 則可將型一誤差控制在接近設定之的水準內。因此當違約事件及各年度違約機率獨立下，雖然在檢定過程中 ETLT 並未違背中央極限定理之使用，仍建議採用. 治政 Poisson 分配近似違約機率，取代常態分配近似違約機率，以控制型一大立誤差之水準。 ‧ 國. 學 ‧. 原始 ETLT 需假設違約事件間無相關性且違約事件亦無時間相關性，. sit. y. Nat. 始得利用中央極限定理近似違約機率。Tasche 測試該方法在違約事件間. io. er. 有相關性且有時間相關性下之穩健性 (robustness) ，由表 1-2：DC_SC 及 DC_LC 模擬結果，原始 ETLT 在各種顯著水準下皆會高估型一誤差，. al. n. iv n C 尤其當顯著水準小於 0.01 h e 後，型一誤差無法再降低，然使用改良之 ngchi U ETLT-BinGA 改善後，在顯著水準=0.1、0.05 及 0.25 時皆可有效控制型一誤差在設定的顯著水準內，雖然顯著水準較小時 (0.01、0.005 及 0.001) 改良後之 ETLT-BinGA 仍然會有高估型一誤差的結果，然跟原始 ETLT 無法有效降低誤差的結果仍有明顯之改善。由表 1-2：DV_SC 及 DV_LC 模擬結果，原始 ETLT 在各種顯著水準亦會高估型一誤差，尤其當顯著水準小於 0.01 後，型一誤差亦無法再降低，然使用改良之 ETLT-BinGA，在小違約機率時 (DV_SC) ，部分顯著水準有低估型一誤差的結果；在大違約機率時 (DV_LC) ，雖仍有小部分會高估，然大多可以維持型一誤差在設定的水準下。雖然改善後的 ETLT-BinGA 在部分情境下仍有高 25.

(33) 估或低估型一誤差的結果，然相較於 ELTT 之結果更為接近設定之顯著水準，且就經濟上之意涵，違約事件具有相關性表示違約事件會有叢聚發生的傾向，因此針對不同違約事件之相關係數調整各種顏色之分割點係更符合直覺與實務，因此當違約事件及違約事件在時間上皆具有相關性時，本文建議將此調整加入原始 ETLT 中以更貼近現實。所以不論違約機率大小、違約事件是否在時間上與相互間為獨立，採用原始 ETLT 需注意方法犯錯的可能性，意即銀行並未低估預測之違約機率，然檢定卻顯示低估之結果，此將導致銀行需增加計提之資本，增加營運壓力。. 治政因為原始 ETLT 模擬得出的型一誤差大部分有高估的結果，因此會大立低估模擬出之型二誤差，造成檢定力高估。本文固定在 size alpha 下， ‧ 國. 學. 模擬真實之檢定力，當違約機率較小時 (I_SV) ，原始 ETLT 高估檢定. ‧. 力約 40%，當違約機率較大時 (I_LV) ，原始 ETLT 與改良後之 ETLT-Poi. sit. y. Nat. 之檢定力差異甚微。另外，本文亦將顯著水準固定在與原始 ETLT 相同. io. er. 之水準下，模擬得出相對應之檢定力，由表 3-1 及表 3-2，可以觀察到在相同顯著水準下，原始 ETLT 與 ETLT-Poi 之檢定力曲線幾乎呈現重. al. n. iv n C 疊的狀態，因此本文建議之不僅可以維持型一誤差在設定的 h e nETLT-Poi gchi U 顯著水準下，亦不失檢定的效果。. 當違約事件非獨立及違約事件在時間上有相關性時，原始 ETLT 所得出之檢定力亦有高估之結果，在 size alpha 下模擬得出之真實檢定力多較原始 ETLT 之檢定力小，然在設定顯著水準=0.025 時，改良後之 ETLT-BinGA 之檢定力反而超過遠始 TLT。因為原始 ELTL 高估檢定力 (低估型二誤差) ，則當監理機關在審理銀行送交之預測違約機率時，有可能無法判斷出低估之預測違約機率，造成金融機構需計提的資本減少，使極端事件發生下營運之風險升高。另外，由表 3-3 及表 3-4，在 26.

(34) 維持相同水準之型一誤差下，原始 ETLT 與 ETLT-BinGA 之檢定力曲線亦呈現幾乎重疊之狀態，因此本文建議之 ETLT-BinGA 不僅可以改善高估型一誤差之結果，亦維持與 ETLT 相同的檢定力。. 由數量模擬結果，本文建議之 ETLT-Poi 及 ETLT-BinGA 均可有效降低高估之型一誤差，並維持與 ELTT 相同水準，甚至更高的檢定力，避免增加銀行計提資本的壓力或在極端事件情況下營運的風險。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i Un. v.

(35) 表 1-1：Type I errors 比較表：分別為蒙地卡羅型一誤差與標準差. Nominal 0.1. 0.05. 0.025. 0.01. 0.005. 0.001. I_SC,. 0.1339631. 0.08392084. 0.0427644. 0.01217112. 0.00668444. 0.0016118. Normal. (0.01075698). (0.008697577). (0.006387266). (0.003479793). (0.002577970). (0.001272684). I_SC,. 0.08278772. 0.04906848. 0.0227558. 0.00991148. 0.00380852. 0.00094236. Poisson. (0.008728896). (0.001391937). (0.004720358). (0.0006270277). (0.001949628). (0.0001938825). I_LC,. 0.09998656. 0.06026824. 0.02865852. 0.01131008. 0.00482236. 0.00126692. Normal. (0.009540286). (0.007526736). (0.00524899). (0.00332421). (0.00482236). (0.001124582). I_LC,. 0.08099072. 0.04829636. 0.02246432. 0.00962604. 0.0036122. 0.00086116. level. 學. ‧ 國. 立. 政治大. (0.001324348). (0.004683486). (0.0006410967). (0.001909439). (0.0001937447). I_SV,. 0.1319280. 0.0864486. 0.04321104. 0.01343264. 0.00534448. 0.00121068. Normal. (0.01072460). (0.008819732). (0.006415337). (0.003640307). 0.04911484. 0.02279804. 0.00991828. (0.001382150). (0.004726604). (0.0006255285). (0.001102444). y. (0.002300718). io. Poisson. (0.008715422). I_LV,. 0.09677584. Normal. n. al. Ch. 0.00381116. 0.00093572. (0.001954475). (0.0001975974). 0.01142044. 0.00436004. 0.00103712. sit. 0.082803. er. I_SV,. ‧. (0.008686811). Nat. Poisson. i Un. v. 0.05938368. 0.02857804. (0.009359422). (0.007454607). (0.005308318). (0.003355694). (0.002079275). (0.001016751). I_LV,. 0.08093976. 0.04812076. 0.02254724. 0.00957208. 0.00357292. 0.00084572. Poisson. (0.008593442). (0.001343032). (0.004674005). (0.00062059). (0.001882048). (0.0001863943). engchi. 28.

(36) 表 1-2：Type I errors 比較表：分別為蒙地卡羅型一誤差與標準差. Nominal 0.1. 0.05. 0.025. 0.01. 0.005. 0.001. DC_SC,. 0.1208099. 0.07463968. 0.02876884. 0.01670076. 0.01480324. 0.00689672. Normal. (0.1859531). (0.146916). (0.07151754). (0.05609474). (0.05361766). (0.03413290). DC_SC,. 0.07417768. 0.04773576. 0.01750452. 0.01240288. 0.00722004. 0.00283464. Bin&GA. (0.1456483). (0.1153333). (0.05142755). (0.04519579). (0.03497124). (0.02271576). DC_LC,. 0.1359068. 0.1156417. 0.0253678. 0.02458948. 0.023433. 0.01921328. Normal. (0.2612078). (0.2474665). (0.1059754). (0.1098148). (0.1030691). (0.09662677). DC_LC,. 0.1069620. 0.06885344. 0.03379048. 0.01978356. 0.00962556. 0.00369036. Bin&GA. (0.2417757). (0.1904008). (0.1267987). (0.09714453). (0.06830129). (0.04233255). 0.01401164. 0.00651084. level. 學. ‧ 國. 立. 政治大. 0.06971184. 0.02508336. 0.01567624. Normal. (0.1903895). (0.1489472). (0.07161855). (0.05826018). (0.05654481). (0.03563108). DV_SV,. 0.06638664. 0.03942612. 0.01551292. 0.01038652. 0.00549592. 0.00234296. (0.1448099). (0.1088527). (0.05244454). (0.04441498). 0.1055668. 0.02337312. y. Normal. (0.2565658). DV_LV, Bin&GA. n. 0.1248340. Ch. sit. io. al. DV_LV,. (0.0314838). (0.02154861). 0.02235272. 0.02142676. 0.01743984. er. Bin&GA. ‧. 0.1120247. Nat. DV_SV,. engchi U. v ni. (0.2396027). (0.1052572). (0.1045290). (0.1016208). (0.0947134). 0.09752736. 0.061745. 0.03115076. 0.01859936. 0.00951252. 0.00343316. (0.2314745). (0.1824570). (0.1235015). (0.0954289). (0.06763966). (0.04017092). 29.

(37) 表 2-1：檢定力比較表：分別為蒙地卡羅檢定力與標準差. Nominal 0.1. 0.05. 0.025. 0.01. 0.005. 0.001. I_SV,. 0.3114129. 0.2151521. 0.1245659. 0.05431268. 0.02914984. 0.00897424. Normal. (0.01467916). (0.01292564). (0.01043926). (0.00718195). (0.005308871). (0.003014515). I_SV,. 0.2208972. 0.1455053. 0.07255632. 0.04079856. 0.0209618. 0.00712712. Poisson. (0.01307885). (0.01123966). (0.008118386). (0.006263688). (0.004521986). (0.002655779). I_LV,. 0.7351994. 0.6202434. 0.3936670. 0.3108734. 0.2404763. 0.1303151. Normal. (0.01392932). (0.01545018). (0.01554329). (0.01464185). (0.01348137). (0.01054488). I_LV,. 0.703085. 0.5883633. 0.3575780. 0.2868029. 0.2195807. 0.1193604. Poisson. (0.01440484). (0.01546997). (0.01507336). (0.01423844). (0.01297878). (0.01031814). level. 立. 政治大. ‧ 國. 學. io. al. 0.1859489. Normal. (0.2473890). DV_SV,. n. DV_SV,. 0.025. 0.01. 0.1270991. 0.0488054. Ch. y. 0.05. 0.005. 0.001. 0.03473516. 0.03036204. 0.01625276. sit. 0.1. level. er. Nat. Nominal. ‧. 表 2-2：檢定力比較表：分別為蒙地卡羅檢定力與標準差. engchi U. v ni. (0.2104995). (0.1109104). (0.09708456). (0.09175542). (0.06694184). 0.1229128. 0.07969308. 0.03392284. 0.0231354. 0.0144708. 0.0064084. Bin&GA. (0.2035711). (0.1644118). (0.087971). (0.07391155). (0.06022137). (0.03945714). DV_LV,. 0.2609636. 0.2354834. 0.06580284. 0.06253456. 0.06224848. 0.05116788. Normal. (0.3526921). (0.3455672). (0.1865952). (0.1829314). (0.1835279). (0.1686511). DV_LV,. 0.2343232. 0.169985. 0.08827328. 0.061177. 0.03442948. 0.01653676. Bin&GA. (0.3451382). (0.3014595). (0.2163243). (0.1832605). (0.1384788). (0.09542595). 30.

(38) 學. ‧ 國. 立. 政治大. 圖 1-1：檢定力曲線比較表.   設定的  (nominal alpha)，模擬得到的 . ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 1-2：檢定力曲線比較表.   設定的  (nominal alpha)，模擬得到的  31.

(39) 學. ‧ 國. 立. 政治大. 圖 1-3：檢定力曲線比較表.   設定的  (nominal alpha)，模擬得到的 . ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 1-4：檢定力曲線比較表.   設定的  (nominal alpha)，模擬得到的  32.

(40) 第五章結論. Bolchwitz et al. (2003) 之 Extended traffic light test 提供一個具有彈性的方法，監控銀行所提供之某一信用評等之下預測違約機率，其係基於假設違約事件之間為獨立且違約事件並無時間先後之關係所設計，因此在該方法於各種情境下之穩健性便有待商榷。對於銀行來說，銀行未低估預測違約機率，然被違約機率驗證方法判斷為低估預測違約機率，會造成銀行需增加計提之資本，以符合法令要求，因此型一誤差對於銀行係較為重要的，本文在不同. 政治大下高估的型一誤差。由上一章節，本文所建議之改善方法所模擬出之型一誤立. 情境假設下，分別建議 ETLT-Poi 與 ETLT-BinGA 以改善 ETLT 在各種情境. ‧. ‧ 國. 學. 差均較 ETLT 接近設定之顯著水準，可以避免銀行增加計提資本之壓力。. 在 Basel II 第二支柱架構下，監理機關為了使銀行滿足最低資本計提，. sit. y. Nat. 針對銀行使用低估之預測違約機率，但驗證的結果卻判定銀行並未低估預測. n. al. er. io. 違約機率而通過驗證，當違約事件發生時，銀行所提列之資本可能無法因應. i Un. v. 變動所造成之損失，此為監理機關之錯誤，因此監理機關較為重視型二誤差。. Ch. engchi. 本文建議採用之 ETLT-Poi 與 ETLT-BinGA 較原始 ETLT 之方法所得出之檢定力小，反映 ETLT 高估檢定方法之效用，有可能造成監理機關並未判斷出原本應該判斷出的低估之預測違約機率，造成銀行在面對重大事件時營運風險的增加。因此在監理機關之角度上，使用改良之 ETLT-Poi 與 ETLT-BinGA 始可有效判斷銀行所呈報之預測違約機率是否有低估之現象。. BCBS (2005) 推薦多期數違約機率驗證可以採用 ETLT 或 Normal test，本文針對 ETLT 提出更為一般性之假設，違約事件之間可以具有相關性且違約事件會受到時間前後之影響，亦不需要假設每期違約機率皆為相等，在此 33.

(41) 一般性之開放下，改良之 ETLT-Poi 及 ETLT-BinGA 在型一誤差上的表現比原始 ETLT 更為接近設定之顯著水準，且檢定力的表現亦與之差異不大，可避免增加銀行計提資本的壓力或在極端事件情況下營運的風險，因此本文所建議之 ETLT-Poi 及 ETLT-BinGA 係值得使用之方法。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 34. i Un. v.

(42) 附錄.  推導 quantile (qc , R)    .   1 (qc )  t  ：  1  . Pf: p( R  k )  qc  t  X p    1   .     k   qc    . t  X  p   1 k   qc  1    . 政治大立 p  X   k  1    t   q 1. c. sit. a l   q  iv n Ch engchi U. n. . er. io.  1 k  1    t. y. Nat.   1 k  1    t    qc         1. c.  1 k  1    t    1 qc  . 1. k  . ‧.   1 k  1    t    qc p X       . 學. ‧ 國. I.. t    1 qc  1 .    1 qc   t   k     1    . 35.

(43) II.. 型一誤差情境說明：情境. 說明. I_SC. 違約事件之間獨立，年度違約機率較小且每年相同. I_LC. 違約事件之間獨立，年度違約機率較大且每年相同. I_SV. 違約事件之間獨立，年度違約機率較小但每年均不相同. I_LV. 違約事件之間獨立，年度違約機率較大但每年均不相同違約事件有時間前後之關係，每年具相同之資產相關係數，. DC_SC 年度違約機率較小但每年均不相同. 政治大年度違約機率較大但每年均不相同立. 違約事件有時間前後之關係，每年具相同之資產相關係數， DC_LC. DV_SV. 年度違約機率較小但每年均不相同. 學. ‧ 國. 違約事件有時間前後之關係，每年具不同之資產相關係數，. ‧. 違約事件有時間前後之關係，每年具不同之資產相關係數，. DV_LV. al. n. III. 檢定力情境說明：情境. y. er. io. sit. Nat. 年度違約機率較大但每年均不相同. Ch. i Un. v. e n g c h i 說明. I_SV. 違約事件之間獨立，年度違約機率較小但每年均不相同. I_LV. 違約事件之間獨立，年度違約機率較大但每年均不相同違約事件有時間前後之關係，每年具不同之資產相關係數，. DV_SV 年度違約機率較小但每年均不相同違約事件有時間前後之關係，每年具不同之資產相關係數， DV_LV 年度違約機率較大但每年均不相同. 36.

(44) IV. 模擬型一誤差之參數設定：時間. 資產. 相關係數. 相關係數. 情境. 0. ‧ 國. 3.0;3.0 0.1;0.2;0.3;. 1.0;2.0;3.0;. 1.0;2.0;3.0; 4.0;6.0. 0.05;0.05;0.0. 0.3;0.3;0.3;. 0.3;0.3;0.3;. 5;0.05;0.05. 0.3;0.3. 0.3;0.3. 0.05;0.05;0.0. 3.0;3.0;3.0;. 5;0.05;0.05. 3.0;3.0. 0.2. al. 0.2. 0.4;0.6. 4.0;6.0. ‧. V.. 3.0;3.0 0.1;0.2;0.3; 治 0;0;0;0;0 政大 0.4;0.6 0;0;0;0;0. n DV_LV. 3.0;3.0;3.0;. 0.2. io. DV_SV. 3.0;3.0;3.0;. 學. 0. Nat DC_LC. 0.3;0.3. y. 0. DC_SC. 0.3;0.3. 0;0;0;0;0. 立 I_LV. 0.3;0.3;0.3;. 0;0;0;0;0. 0. I_SV. 0.3;0.3;0.3;. sit. I_LC. 真實之 PD(%). er. I_SC. 預測之 PD(%). v ni. C h0.05;0.06;0.0 0.1;0.2;0.3; engchi U. 3.0;3.0;3.0; 3.0;3.0 0.1;0.2;0.3;. 7;0.08;0.09. 0.4;0.6. 0.4;0.6. 0.05;0.06;0.0. 1.0;2.0;3.0;. 1.0;2.0;3.0;. 7;0.08;0.09. 4.0;6.0. 4.0;6.0. 預測之 PD(%). 真實之 PD(%). 0.1;0.2;0.3;. 0.15;0.25;0.35;. 0.2. 模擬單點檢定力之參數設定：時間. 資產. 相關係數. 相關係數. 0. 0;0;0;0;0. 情境. I_SV. 37.

(45) I_LV. 0. DV_SV. 0.4;0.6. 0.45;0.65. 1.0;2.0;3.0;. 1.5;2.5;3.5;. 4.0;6.0. 4.5;6.5. 0.05;0.06;0.0. 0.1;0.2;0.3;. 0.15;0.25;0.35;. 7;0.08;0.09. 0.4;0.6. 0.45;0.65. 0.05;0.06;0.0. 1.0;2.0;3.0;. 1.5;2.5;3.5;. 7;0.08;0.09. 4.0;6.0. 4.5;6.5. 0;0;0;0;0. 0.2. DV_LV. 0.2. VI. I_LV & DV_LV Power Curve 的 true PD 與 ratio (用於計算)： TruePD. 立T=1. 政治大 T=2. T=3. T=4. T=5. 0.040. 0.060. 0.011. 0.022. 0.033. 1.2. 0.012. 0.024. 0.036. 0.013. 0.026. 0.039. 1.3. io 1.5. 0.028 0.042v a l0.014 ni Ch U 0.015 e n0.030 g c h i 0.045. n. 1.4. 0.044. 0.066. 0.048. 0.072. y. 1.1. sit. 0.030. er. 0.020. ‧. 0.010. Nat. 1.0. 學. ‧ 國. Ratio. 0.052. 0.078. 0.056. 0.084. 0.060. 0.090. 1.6. 0.016. 0.032. 0.048. 0.064. 0.096. 1.7. 0.017. 0.034. 0.051. 0.068. 0.102. 1.8. 0.018. 0.036. 0.054. 0.072. 0.108. 1.9. 0.019. 0.038. 0.057. 0.076. 0.114. 2.0. 0.020. 0.040. 0.060. 0.080. 0.120. 2.1. 0.021. 0.042. 0.063. 0.084. 0.126. 2.2. 0.022. 0.044. 0.066. 0.088. 0.132. 2.3. 0.023. 0.046. 0.069. 0.092. 0.138. 38.

(46) 2.4. 0.024. 0.048. 0.072. 0.096. 0.144. 2.5. 0.025. 0.050. 0.075. 0.100. 0.150. 2.6. 0.026. 0.052. 0.078. 0.104. 0.156. 2.7. 0.027. 0.054. 0.081. 0.108. 0.162. 2.8. 0.028. 0.056. 0.084. 0.112. 0.168. 2.9. 0.029. 0.058. 0.087. 0.116. 0.174. 3.0. 0.030. 0.060. 0.090. 0.120. 0.180. 政治大. VII. I_SV & DV_SV Power Curve 的 true PD 與 ratio (用於計算)：. T=2. T=3. 學. 1.1. 0.0011. 0.0022. 0.0033. 1.2. 0.0012. 0.0024. 0.0036. 0.0013. 0.0026. 0.0039. 1.5. 0.0060. 0.0044. 0.0066. 0.0048. 0.0072. 0.0052. 0.0078. 0.0056. 0.0084. 0.0060. 0.0090. a0.0014 0.0028 0.0042v i l C n U 0.0015h e n0.0030 g c h i 0.0045. n. 1.4. io. 1.3. 0.0040. y. 0.0030. T=5. sit. 0.0020. T=4. ‧. 0.0010. Nat. 1.0. er. Ratio. 立T=1. ‧ 國. TruePD. 1.6. 0.0016. 0.0032. 0.0048. 0.0064. 0.0096. 1.7. 0.0017. 0.0034. 0.0051. 0.0068. 0.0102. 1.8. 0.0018. 0.0036. 0.0054. 0.0072. 0.0108. 1.9. 0.0019. 0.0038. 0.0057. 0.0076. 0.0114. 2.0. 0.0020. 0.0040. 0.0060. 0.0080. 0.0120. 2.1. 0.0021. 0.0042. 0.0063. 0.0084. 0.0126. 2.2. 0.0022. 0.0044. 0.0066. 0.0088. 0.0132. 2.3. 0.0023. 0.0046. 0.0069. 0.0092. 0.0138. 39.

(47) 2.4. 0.0024. 0.0048. 0.0072. 0.0096. 0.0144. 2.5. 0.0025. 0.0050. 0.0075. 0.0100. 0.0150. 2.6. 0.0026. 0.0052. 0.0078. 0.0104. 0.0156. 2.7. 0.0027. 0.0054. 0.0081. 0.0108. 0.0162. 2.8. 0.0028. 0.0056. 0.0084. 0.0112. 0.0168. 2.9. 0.0029. 0.0058. 0.0087. 0.0116. 0.0174. 3.0. 0.0030. 0.0060. 0.0090. 0.0120. 0.0180. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 40. i Un. v.

(48) 參考文獻中文部分張揖平，洪明欽，尹晟龢 (2009), “違約機率驗證之檢定”, 中國統計學報, Vol.47 113–128. 英文部分 Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) (2005), Studies on the Validation of Internal Rating Systems.. 治政 Blochwitz, S., Hohl, S., Tasche, D., and When, C. S. (2004), 大 “Validating default 立 probabilities on short time series”, Working paper. ‧ 國. 學. Blochwitz, S., Hohl, S., and When, C. S. (2005), “Reconsidering ratings”, Wilmott. ‧. magazine, May, 60–69.. sit. y. Nat. Gordy, M. (2002), “A risk-factor model foundation for ratings-based bank capital. io. er. rules”, Working paper.. Martin, R. and Wilde, T. (2002), “Unsystematic credit risk”, Risk magazine 15(11). n. al. 123–128.. Ch. engchi. i Un. v. Tasche D. (2003). “A traffic lights approach to PD validation”, Working paper.. 41.

(49)