國小數學教科書小數教材表徵轉譯活動之內容分析

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國立臺中教育大學課程與教學研究所

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國立臺中教育大學課程與教學研究所碩士在職專班

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指導教授:游自達 博士

國小數學教科書小數教材

表徵轉譯活動之內容分析

研究生:余佳倫 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 一 月

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國小數學教科書小數教材表徵轉譯活動之內容分析

本研究旨在探討不同版本的數學教科書,對於小數教材的表徵轉譯活動安排 情形,以及教材在呈現概念所運用的表徵形式。 本研究選擇 97 年版國小數學教科書,通過審定且有完整小數教材編排的 A、 B、C 三個版本的課本為研究對象。研究採用「內容分析法」,並利用 Atlas.ti 電 腦分析軟體協助進行資料的分析與整合。 本研究之主要發現分述於下: 壹、在「小數的認識」教材中,三個版本所安排的表徵轉譯各不相同。A、C 版本 以「符號表徵的轉譯」為主,且集中於一位小數的符號意義學習內容,其他 學習內容則少有不同形式表徵間的轉譯活動安排。B 版本所安排的表徵轉譯 活動較多元,包括「符號表徵的轉譯」、「圖像表徵的轉譯」、「具體物操作的 轉譯」三大類,用以連結小數的圖像表徵、小數符號形式、讀法及化聚。 貳、在「小數的認識」教材中,三個版本表徵形式的運用皆於概念的初始活動中 最多元,主要以運用圖像表徵、符號表徵來呈現概念,之後的學習則逐漸以 符號表徵為主。 參、在「小數的計算」教材中,三個版本對於表徵轉譯活動的安排,僅有在小數 加、減法時出現「圖像表徵轉譯為符號表徵」,其他學習內容則以「文字符號 表徵轉譯為算式符號表徵」為主。 肆、在「小數的計算」教材中,三個版本對於小數加、減、乘、除法的運算原理 說明,除了 B 版本在小數加、減法的初始活動中,透過操作積木來讓學生理 解運算原理外,其餘主要以文字符號表徵為主。

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最後依據研究結果分別對教材內容設計、教材使用者與未來研究者提出相關 建議以供參考。 關鍵詞:表徵轉譯活動、小數教材、國小數學教科書、內容分析

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A Content Analysis of the Representation Translation Activities of Decimals in Elementary-School Mathematics Textbooks

Abstract

The main purpose of this study was to analyze the representation translation activities of decimals in different versions of mathematics textbooks, and the using of representation forms when the presented.

Three versions of the elementary school mathematics textbooks which had complete decimal concept were selected. Content analysis and Atlas.ti software were adopted for this study.

Four major findings of this study were as follows:

1. In “the decimal concept” of the teaching materials, the representation translation activities were arranged in all the three versions of the mathematics textbooks were different. A and C versions primarily arranged “the translation of symbolic

representations”, and massed in the content of the tenths decimal concept. Not many representation translation activities were arranged in the other content. B version arranged more kinds of representation translation activities, including of “the

translation of symbolic representations”, “the translation of picture representations” and “the translation of manipulative representations”.

2. In “the decimal concept” of the teaching materials, all the three versions of the mathematics textbooks primarily used the picture representations and the symbolic representations to present the decimal concept in the initial activities, and then changed to primarily use the symbolic representations.

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3. In “the decimal computation” of the teaching materials, all the three versions of the mathematics textbooks only arranged “from picture representation transfer to symbolic representation” for the addition and subtraction on decimals. The other content primarily arranged “from written symbolic representations transfer to equation”.

4. In “the decimal computation” of the teaching materials, except B version used the Cuisenaire rods to explain the rules of the operation in the initial activities of the addition and division on decimals, all the three versions of the mathematics textbooks when explaining the rules of the operation primarily used the written symbolic representations.

Finally, implications of the findings of this study were discussed, and suggestions were made to textbook editors, teachers and researchers.

Keywords: representation translation activities, decimals, content analysis, Elementary-school mathematics textbook

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第一章 緒論... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與問題 ... 3 第三節 名詞釋義 ... 5 第四節 研究範圍與限制 ... 5 第二章 文獻探討... 7 第一節 表徵與小數學習 ... 7 第二節 表徵轉譯與小數學習 ... 18 第三節 表徵轉譯之相關研究 ... 26 第四節 數學教科書內容分析之相關研究 ... 29 第三章 研究設計與實施 ... 35 第一節 研究設計 ... 35 第二節 研究對象 ... 36 第三節 研究工具 ... 38 第四節 資料處理與分析 ... 44 第五節 研究的信、效度 ... 46 第四章 結果與討論... 51 第一節 「小數的認識」教材中之表徵轉譯活動安排情形 ... 51 第二節 「小數的計算」教材中之表徵轉譯活動安排情形 ... 71 第五章 結論與建議... 85 第一節 結論 ... 85 第二節 建議 ... 86 參考資料... 91

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附錄ㄧ 表徵轉譯活動類型舉例說明 ... 101 附錄ㄧ 表徵轉譯活動類型舉例說明(續) ... 102 附錄二 表徵形式之說明 ... 103

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表目次

表目次

表目次

表目次

表 2-1-1 小數和分數符號表徵之比較 ... 14 表 2-1-2 小數和分數圖像表徵之比較 ... 15 表 2-1-3 整數、分數和小數表徵之比較 ... 18 表 2-3-1 表徵轉譯之相關研究 ... 26 表 2-3-1 表徵轉譯之相關研究(續) ... 27 表 2-4-1 數學教科書內容分析之相關研究 ... 29 表 2-4-1 數學教科書內容分析之相關研究(續) ... 30 表 2-4-1 數學教科書內容分析之相關研究(續) ... 31 表 3-2-1 數學教科書各冊別資料 ... 37 表 3-2-2 各版本各年級小數教材內容 ... 38 表 3-3-1 表徵轉譯活動之分析類目表 ... 41 表 3-3-2 表徵形式之分析類目表 ... 43 表 4-1-1 A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用 ... 52 表 4-1-1 A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用(續) ... 53 表 4-1-1 A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用(續) ... 54 表 4-1-2 A、B、C 版本「符號表徵的轉譯」類型範例 ... 55 表 4-1-3 B 版本「圖像表徵的轉譯」類型範例 ... 56 表 4-1-4 A、B、C 版本小數的化聚活動之表徵形式運用 ... 58 表 4-1-4 A、B、C 版本小數的化聚活動之表徵形式運用(續) ... 59 表 4-1-5 B 版本「小數的化聚」之表徵轉譯活動範例 ... 61 表 4-1-6 A、B、C 版本「小數與分數轉換」之表徵形式 ... 62 表 4-1-7 A、B、C 版本「小數比較大小」表徵形式運用情形 ... 64 表 4-1-8 A、B、C 版本「小數的認識」之表徵形式運用情形 ... 67

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表 4-1-9 A、B、C 版本「小數的認識」之表徵轉譯活動安排情形 ... 68 表 4-2-1 A、B、C 版本一位小數加、減法初始活動之圖像表徵運用 ... 73 表 4-2-2 A、B、C 版本小數加、減法直式算則學習教材之表徵形式運用情形 74 表 4-2-3 A、B、C 版本「文字符號表徵的轉譯」之形式 ... 76 表 4-2-4 A、B 版本「小數的整數倍」圖像表徵形式 ... 77 表 4-2-5 A、B、C 版本「小數的乘法」教材符號表徵轉譯為口語表徵範例 . 78 表 4-2-5 A、B、C 版本「小數的乘法」教材符號表徵轉譯為口語表徵範例(續) ... 79 表 4-2-6 A、B、C 版本「小數的除法」之解題表徵形式 ... 80 表 4-2-7 A、B、C 版本「小數的計算」表徵形式運用之情形 ... 81 表 4-2-8 A、B、C 版本在「小數的計算」表徵轉譯活動安排情形 ... 82

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圖目次

圖目次

圖目次

圖目次

圖 2-1-1 小數概念關係圖 ... 13 圖 2-1-2 以積木表徵小數和整數數值之比較 ... 17 圖 2-2-1 Lesh 五種數學學習表徵 ... 20 圖 4-1-1 B 版本具體物操作轉譯為口語表徵之範例 ... 57 圖 4-1-2 A 版本「小數的化聚」例題 ... 60 圖 4-1-3 C 版本「小數的化聚」例題 ... 60 圖 4-1-4 B 版本「小數與分數轉換」之符號表徵轉譯範例 ... 63 圖 4-1-5 A 版本「小數比較大小」之表徵轉譯活動 ... 65 圖 4-1-6 B 版本「小數比較大小」之表徵轉譯活動 ... 65 圖 4-1-7 B 版本「度量衡單位換算」之符號表徵轉譯為口語表徵範例 ... 66 圖 4-1-8 C 版本「度量衡單位換算」之符號表徵轉譯為口語表徵範例 ... 66 圖 4-2-1 B 版本二位小數直式算則概念之表徵轉譯活動安排 ... 75 圖 4-2-2 B 版本「小數的小數倍」教材圖像表徵形式 ... 77

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第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

本章節主要就研究動機、研究目的與問題、名詞釋義、研究範圍與限制加以 說明如下。

第一節

第一節

第一節

第一節

研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

數學是由日常生活的需求衍生而來,生活中除了最常見的整數外,亦隨處可 見小數的存在,例如身高 163.2 公分、體重 50.8 公斤、汽油每公升 23.5 元、汽 水 1.25 公升、里程數 2.4 公里……等。加上近幾十年來,電腦、計算機的普遍 使用及公制測量的需要,小數更成為現代科技社會必備的數學語言之ㄧ(Hiebert & Wearne, 1983)。然而從許多研究中可發現學生在小數的學習上並不理想,從 基本的讀法到複雜的乘除計算都可能產生迷思概念(劉曼麗,2006)。探究其原因 可能在於小數概念之複雜性,小數的符號意義與分數的等分概念有關,而小數的 結構又牽涉了整數的多單位記數系統。整數與分數等先備知識一方面支持小數的 學習, 另一 方面卻 也干擾 小數 概念的 建構 , 造成 學童小 數迷思 概念 的來源 (Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1989)。受整數概念 影響,可能使學生產生將小數點後面的數字讀成整數(梁惠珍,2003;鄭寰文, 2005),小數點後數字越多其值越大等迷思概念(劉曼麗,2003)。受分數概念影 響,則可能產生小數點後數字越多其值越小,分數與小數關係是由表面形式互換 等迷思概念(劉曼麗,2003)。在九年一貫教材中,小數的學習從國小三年級便開 始,但從相關研究中發現許多學生的小數概念基礎並不穩固,此現象讓研究者對 學生所學習的小數教材深感興趣。

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而在數學學習上,表徵的應用相當廣泛,其在數學學習上的角色如同溝通的 語言般,將數學概念外在具體化,使學生能透過表徵所呈現的數學語言來理解數 學概念。透過數學表徵進行學習時,學生應先具備理解與表達兩種能力,一方面 要能瞭解別人以書寫、圖形,或口語中所傳遞的數學資訊,另一方面,也要能以 書寫、圖形,或口語的形式,運用精確的數學語言表達自己的意思(教育部, 2003)。而對於數學概念的理解,Davis(1984)將其分為兩個面向,一是能夠以一 套符號或系統來表徵數學概念,一是能以多重表徵來呈現某一個概念,並且能夠 在不同的表徵系統之間作轉譯。因此學生若能就同一數學概念,運用不同表徵形 式表達自己的思考,並進行不同表徵間的轉譯,即代表了其對概念的掌握與理 解。由此看來表徵對於數學概念的學習相當重要,在學習的過程中,我們應提供 不同的表徵形式及表徵轉譯活動,讓學生能運用表徵表達想法,並透過表徵轉譯 活動來加強數學概念。就小數學習來看,許多從表徵觀點來探討小數教學的研究 中亦建議教學中應加入各種表徵形式的應用,以協助學生學習。例如透過具體物 或圖像的操作和比較以幫助學生建立多階單位間的關係(劉曼麗,2006);以不同 的圖像表徵為例,使學生能從圖形中發現小數的意義為「部分與全體」的關係(陳 宏麟,2008)。由此可見,在小數學習的過程中,表徵轉譯活動同樣具備協助學 生學習之功用。 在我國的教育環境中,教科書之地位不容小覷,其為教師教學及學生學習的 主要素材,即便許多學者不斷倡導教科書並非唯一的教材,但從高新建(1991) 的研究中可發現,90﹪以上的國內國小教師是按照課本來進行教學。就學生學習 的層面來看,課程、教學及教科書皆影響著學生的學習,教科書更為學生學習的 基本素材之一。因此綜看整個教育環境,可發現教科書仍引領著教學,教師及學 生對其依賴甚深。教科書既為學生學習環境的一環,因此若合理審慎的處理,則 能讓學生專注於學習,減少學生失誤的挫折,提昇學生的學習興趣(教育部,

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2003)。數學教科書在概念的呈現上,運用了許多不同形式的表徵來呈現數學概 念,期望學生能透過表徵來理解概念,能運用表徵與人溝通想法,然而表徵的運 用若僅是教科書單向的給予,卻缺乏讓學生實際進行轉譯活動的機會,那對學生 數學學習而言宛若一扇門少了一把鑰匙,學生並不易真正掌握數學概念意涵。 既然數學教科書是我國學生數學學習主要素材之一,那麼其內容之編排值得 重視。我國教科書已從國編本時代走入審定本時代,各家出版社所編寫之教材各 有其特色,因此近年來許多研究者紛紛投入教科書的研究。國小階段的數學內容 多為數概念的基礎學習,研究者在教學現場上使用不同版本教科書進行教學時, 感受到教材的呈現形式及活動的編排,對學生在數學概念的理解上會有不同的影 響,因而決定投入教科書的研究。 由上述來看,表徵轉譯活動的安排對學生數學概念學習相當重要,而數學教 科書的內容為學生學習的主要依據,因此其所安排的表徵轉譯活動關係著學生數 學概念的學習。國小學生在小數的學習上並不理想,而表徵既為學生學習數學概 念普遍運用的素材,因此在小數教材上,數學教科書中表徵轉譯活動的安排及表 徵的呈現形式成為研究者所關注的焦點,期能瞭解不同版本在小數教材上表徵轉 譯活動的安排情形,探究表徵轉譯活動在不同版本間運用的趨勢,並於歸納結果 後,提出教材編排、教師教學之建議。

第二節

第二節

第二節

第二節

研究目的與問題

研究目的與問題

研究目的與問題

研究目的與問題

基於上述研究動機,本研究係針對 97 年版數學教科書來進行分析,主要探 究小數教材中表徵形式的運用及表徵轉譯活動安排之情形,研究目的如下:

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一、分析國小數學教科書「小數的認識」教材中,其表徵形式運用及表徵轉 譯活動安排之情形。 二、分析國小數學教科書「小數的計算」教材中,其表徵形式運用及表徵轉 譯活動安排之情形。 三、歸納研究發現,提出結果與建議,以提供教科書編輯、教師教學及學校 選用之參考。 依據上述所列之研究目的,本研究提出的研究問題如下: 一、國小數學教科書「小數的認識」教材中,其表徵形式運用及表徵轉譯活 動安排之情形為何? (一)國小數學教科書不同版本之間,在「小數的認識」教材上表徵形式的 運用情形為何? (二)國小數學教科書不同版本之間,在「小數的認識」教材上表徵轉譯活 動的安排情形為何? 二、國小數學教科書「小數的計算」教材中,其表徵形式運用及表徵轉譯活 動安排之情形為何? (一)國小數學教科書不同版本之間,在「小數的計算」教材上表徵形式的 運用情形為何? (二)國小數學教科書不同版本之間,在「小數的計算」教材上表徵轉譯活 動的安排情形為何?

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第三節

第三節

第三節

第三節

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

本節針對研究中重要名詞分別界定與說明。 壹 壹壹 壹、、、、表徵形式表徵形式表徵形式 表徵形式 本研究主要參考 Lesh、Post 和 Behr(1987)對數學表徵的分類,而將教科書中 所運用的表徵形式分為具體操作物、圖像表徵、口語表徵及符號表徵等形式。而 教科書中表徵形式的運用係指課本在安排概念學習時,在呈現教材內容上其表徵 形式的選擇。 貳 貳貳 貳、、、、表徵轉譯活動表徵轉譯活動表徵轉譯活動 表徵轉譯活動 數學表徵根據 Lesh(1987)等人的分類,主要可分為真實情境、具體操作物、 圖像、口語及符號等形式。而表徵轉譯係指將某一表徵所代表之概念,改由其他 不同形式之表徵呈現。而本研究所探究之「表徵轉譯活動」係指教科書中以某種 表徵形式呈現概念學習內容後,由學生透過自身思考而改以另一種表徵形式表示 的活動,以透過此轉譯活動來理解概念。例如在「小數的認識」部分,教科書安 排操作積木後請學生用小數符號記錄下來,即為「具體物操作」轉譯為「符號表 徵」。若於布題後,教科書同時亦以不同表徵呈現概念或進行解題,而不是由學 生透過自身思考來進行轉譯,此則屬於教科書多元表徵的運用,非屬本研究表徵 轉譯活動之安排。

第四節

第四節

第四節

第四節

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

本節就研究的範圍與限制加以說明如下:

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壹 壹壹 壹、、、、研究範圍研究範圍研究範圍 研究範圍 一、版本方面 本研究以教育部審定合格之九十七學年度「國民小學數學」課本與教學指引 為對象進行小數教材的內容分析。依教育部公佈通過審定合格的國民小學數學課 本有:南一書局企業股份有限公司(簡稱南一版)、康軒文教事業股份有限公司 (簡稱康軒版)、國立教育研究院籌備處(簡稱國編版)、翰林出版事業股份有限 公司(簡稱翰林版)等四個版本。本研究從中選擇國小三到六年級具有完整小數 教材編排之版本,而上述由國立教育研究院籌備處所編寫之數學教材自 94 學年 度起由國小一年級開始逐年編寫,因此至 97 學年度國編版之教材僅具有ㄧ到四 年級,故本研究選擇以南一版、康軒版及翰林版的數學課本作為分析對象。 二、教科書方面 教科書包含課本、習作、教學指引、教學輔助材料等部分,本研究將針對國 小數學教科書第六冊到第十二冊的課本之內容進行分析,其餘習作內容、編輯要 點及編輯委員選材原則等並不列入討論範圍。 三、研究內容方面 依教育部九年一貫課程綱要,數學內容可分為數與量、幾何、代數、統計與 機率、連結等五大主題。本研究將針對數與量主題中的小數部分做為研究對象, 以探究小數教材編排中表徵轉譯活動安排及表徵的形式運用情形。 貳 貳貳 貳、、、、研究限制研究限制研究限制 研究限制 本研究針對教科書進行內容分析,主要由研究者透過自身觀點對資料進行詮 釋,難以得知同樣的資料由其他研究者進行分析是否會有相同推論。且研究對象 為數學課本,針對選定的範圍,探討其表徵轉譯活動的安排與表徵形式的運用情 形,對於編輯委員選用教材的用意、教材選擇的原理及其影響因素難以瞭解。

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第二章

第二章

第二章

第二章

文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本章將依研究焦點進行文獻之探討,以探討相關理論並從中建立研究之理論 基礎。本章分為三節,第一節說明表徵與小數學習之關係,第二節探究表徵轉譯 在小數學習上之意義,第三節整理表徵轉譯之相關研究,第四節歸納數學教科書 內容分析之相關研究,其研究方法、對象、焦點及對研究者之啟發。

第一節

第一節

第一節

第一節

表徵與小數學習

表徵與小數學習

表徵與小數學習

表徵與小數學習

在數學學習中,表徵的運用十分普遍。數學表徵是一種數學概念的呈現方 式,代表人們對於數學概念的理解與應用(NCTM,2000)。藉由表徵,使學生將數 學概念內化,進而提升為抽象思考層次。因此,在數學教育上,運用適當的表徵 是相當重要的,其除了可以輔助學生思考,學生亦可透過表徵呈現內在思維而達 到與人溝通之目的。本節將從表徵之內涵、表徵之分類及小數表徵形式之獨特性 三方面來探討表徵與小數學習之關係。 壹 壹壹 壹、、、、表徵之內涵表徵之內涵表徵之內涵 表徵之內涵 在數學教學與學習的過程中,表徵的運用相當廣泛。表徵可用來呈現數學概 念與思維,它除了是數學本質上的一環,也是數學概念外在具體化的呈現形式(陳 霈頡、楊德清,2005)。 廣義來說,表徵是以某種方式來表示某種事物(Goldin,2002; Kaput,1985)。 Rumelhart 和 Norman(1981)亦提出相同看法,指出表徵可視為一種「用某種事物 來取代另一種事物的效應」。由此看來,表徵包括兩個層面,一為表徵物,一為 被表徵物,兩者之間存在著一種關係,透過表徵物的運用以呈現被表徵物之意

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義。表徵就像是某種東西的信號,用以代表某種事物並傳遞某種事物的訊息(彭 聃齡、張必隱,2000)。 另外,學者依不同觀點而對表徵的意義有不同的見解:以心理學觀點來看, 表徵是指將外在現實的事物以另一種較為抽象或符號化的形式來表示的歷程(張 春興,1989)。從數學的觀點來看,表徵是指用某一種形式來將解題活動類型表 現出來,以達成溝通的目的(蔣治邦,1994)。若以學生運思觀點來看,表徵可詮 釋為心智過程模式化所使用的符號系統,像是圖形、符號、文字、具體操作物等, 也就是將學生內心的概念及運思過程轉為看的見的具體外在表現事物(Lesh, Post, & Behr, 1987)。

雖然學者們透過不同觀點而對表徵有不同的解釋,表徵可以是內在思維的具 體呈現,亦可以是外在事物的符號化。然而綜觀來看,表徵主要為一種形式,包 含表徵物與被表徵物兩部分,其表徵物與被表徵物之間的關係經常被看作是彼此 間的對 應或 代替, 當一個 事物 表示另 一個時 ,後 者也常 被看作 是代 表前者 (Goldin,2002)。 表徵在數學學習上扮演著概念與學生理解間溝通的角色,表徵是為了描述數 學概念或關係而使用,透過表徵將事物或想法以某種形式(符號或心理意象)重 新表現出來,以幫助學生在數學上的溝通更有效率(游自達,1995)。因此,在數 學活動中表徵具備了兩種功能:一是作為溝通工具,一是作為運思活動的材料(蔣 治邦,1994)。藉由表徵之運用,以協助學生思考與溝通。 就表徵的溝通功能來看,表徵是以某種特定形式,將解題活動類型表現出 來,以達成溝通的目的(蔣治邦,1994)。因此,表徵在數學教育上的運用應讓學 生先瞭解表徵約定俗成的意義,使表徵成為數學共通的溝通工具,進一步學生才 得以藉由表徵的溝通功能,來組織、記錄及溝通數學概念。因此進行數學教育時, 不僅僅要重視學生的演算能力,引導學生去建構或內化社會共通的數學符號系

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統,以進行數學思考與數學溝通亦為目標之一(游自達,1995)。 就表徵為運思材料的功能來看,學生進行數學學習時,表徵代表著物化的數 學概念或內蘊化的活動類型,學生就其中所代表的意義來進行活動(蔣治邦, 1994)。表徵可作為學習者有效的解題工具,學生經由操作的過程,來理解概念 背後的內涵。將表徵運用在數學教育上可以幫助學生達成數學知識的理解、和他 人溝通以及推理的目的。 表徵除了「溝通」和「協助運思」的功能外,表徵的運用亦有助於學生對數 學概念之建構。表徵是一個概念的多重具體化(concretization),期望學生能從 各種表徵中獲得共同的性質並成功地建構出該概念(Dufour-Janvier, Bednarz, & Belanger,1987).。 整體來看,藉由表徵的作用,個人得以理解外在世界,簡化思考過程,進行 運思,並與他人溝通(游自達,1995)。表徵在數學學習上的角色相當重要,不僅 讓數學學習變得有趣,且學生能透過表徵來進行數學概念的學習,將內在運思歷 程透過表徵呈現,以達到建構數學概念及與人溝通之目的。 另外,表徵本身具備了三種特性:系統性、多義性及多樣性(蔣治邦,1997)。 表徵的「系統性」是指表徵既為一種溝通工具,便須有完備的系統性,人們才不 需要去記憶系統中所有成員的意義,例如看到「2.5」便可知道其為小數的符號 表徵形式,看到「25 」便知其為分數的符號表徵形式;表徵的「多義性」是指一 種表徵可代表多個數學概念,例如符號表徵「8」,在不同情境中可代表著不同的 意義,它可以是 8 個人、8 枝鉛筆、8 塊蛋糕等;表徵的「多樣性」則是指不同 的表徵形式可代表著相同的數學概念,並不會隨著採用不同的外在表徵形式而有 所改變或差異,例如我們可以利用具體操作物、圖像、符號或口語等表徵形式來 表示單位小數 0.1。由表徵的特性來看,學生需掌握表徵的多義性及多樣性,瞭 解表徵之意涵,才不會產生學習上的困擾,進而對同一概念要能運用不同的表徵

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進行轉譯,才算真正掌握一數學概念。

表徵為學生在數學學習上不可或缺的一環,其能將抽象的數學概念以某種形 式來呈現,提供學生一有效的解題工具,幫助學生達成數學知識的理解、與他人 溝通以及推理的目的(Greeno & Roger,1997)。美國數學教師協會(NCTM,2000) 不僅表示表徵在數學上是一種數學概念的呈現方式,更進一步地在課程標準中強 調要建立和使用表徵來組織、記錄和溝通數學思維,且利用各種表徵來解決問 題。因此,在數學教育上,不僅教師要配合學生的認知發展歷程,運用表徵來輔 助教學,協助學生概念學習,在教材的編排上,亦要透過不同的表徵系統將抽象 的數學概念加以呈現,以提供學生一個具多元性的數學學習的平台。 貳 貳貳 貳、、、、表徵之分類表徵之分類表徵之分類 表徵之分類 由表徵的特性可知,表徵具有不同的形式樣貌,許多學者分別就不同面向對 表徵形式進行分類。有依存在形式來區分的,像是 Hiebert 和 Carpenter(1992) 將 表 徵 分 為 外 在 表 徵 ( external representation ) 與 內 在 表 徵 ( internal representation)兩類。外在表徵顧名思義指的是有形的,如語言、文字、符號、 圖片、具體物、活動或實際情境等。內在表徵則是無形的,是存在於個人心中或 腦海裡的,他人無法直接觀察的心智表徵。個體透過內在表徵進行想像、構思、 推理等思考活動,再透過外在表徵,表達出自己的想法,達到與他人溝通的目的。

有 依 運 思 觀 點 來 區 分 的 , 如 Bruner(1966) 便 認 為 人 類 是 透 過 動 作 表 徵 (enactive representation)、形象表徵(iconic representation)與符號表 徵(symbolic representation)來進行學習,認知這個世界。動作表徵是指個 體接受外界的刺激後,所引發的外在行動反應,以掌握概念或事物。此階段的學 習須以具體物為運思材料,當具體物不能被操弄或不存在時,其意義性便不存 在。形象表徵是指經由物體在腦海中所留下的「心像」(mental image)來掌握 概念,此階段具體物已消失,運思活動改以心像為材料,進行內在的活動。符號

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表徵是指個體利用符號、語言文字來掌握概念,進行運思,其中符號是代表了實 物或心像的某種性質的抽象意義。兒童的認知歷程先是經由動作表徵獲得經驗, 接著再運用感官對事物所得到的心像,去了解周圍的事物與現象,當思想趨近成 熟時,則能以抽象的符號表徵來代表他的經驗知識。因此在教學上表徵形式的運 用應配合學生的認知發展階段,使學生從活動中發現原則,進而將知識加以整 合,一步步帶領學生提升至抽象思考層次。 Kaput(1987)從認知的角度來看將數學表徵系統,而分成認知與知覺表徵 (cognitive and perceptual representation)、解釋性的表徵(explanatory representation)、數學內的表徵(representation within mathematics)及外 在符號表徵(external symbolic representation)四類。「認知與知覺表徵」 是指個體內在對於知識和訊息的表徵,也就是大腦將訊息儲存或轉譯的格式。「解 釋性的表徵」是指將自然語言或心像與其他數學符號連結,並表示兩者間關係的 系統。「數學內的表徵」是指不同數學結構之間的相互關連,也就是用數學的某 一種結構來呈現出另一種結構系統。「外在符號表徵」是指以外在的符號來表達 數學概念的系統,是用來表示抽象的數學概念的物質形式。由 Kaput(1987)對表 徵所作的分類來看,前三種屬於心智活動的產物,主要是個體腦海裡的心智運 作,第四種則屬於外在表徵,學生以不同的表徵方式表現其心智活動。 表徵與數學學習有著密不可分的關係,因此以數學學習和解題的角度來看, Lesh、Post 和 Behr(1987)等人將表徵系統分為五種: (一)以經驗為基礎的情境(experience-based “scripts”):也就是真 實情境(real scripts),指將真實世界中的知識組織起來做為一般的情境,而 用來解釋和解決其他的問題情境之脈絡。 (二)可操作之模型(manipulative models):利用模型的操作來探討數學 概念,例如古氏積木(Cuisenaire rods)、百格板、花片等材料,其本身不具多

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少意義,需加入關係或操作才得以適用其許多日常生活情境。 (三)圖畫或圖解(pictures or diagrams):利用靜態圖畫模型來探討數 學概念,例如物品圖像、數線、長條圖。 (四)口述語言(spoken languages):運用日常生活所使用的口語來表達 想法或概念,包含數學及其他領域的用語,例如將小數 0.25 讀作「零點二五」。 (五)書寫符號(written symbols):指的是像口述的語言一樣,包含專門 的語句和用語,例如小數的符號形式為 0.25,解題記錄可以寫作 0.4+1.7=2.1。 上述各學者所提出之表徵形式因其所持觀點不同而有所差異,像是 Bruner 的動作、形象及符號三種表徵形式代表的是學習者學習歷程中表徵的抽象程度, Kaput 的四種數學表徵系統代表著學習者的內在運思歷程,Lesh 等人的表徵形式 則是作為數學概念的溝通形式。Bruner 和 Kaput 兩人對表徵的分類包含了內在的 思考歷程與外在的溝通形式,Lesh 對表徵的分類則傾向於外在的溝通形式,可透 過學習者對不同表徵系統的運用來瞭解其對概念的掌握情形。然而不管如何分 類,表徵的主要功能在於輔助學習者將概念或內在運思過程具體化,以達溝通之 目的。 參 參參 參、、、、小數表徵形式之獨特性小數表徵形式之獨特性小數表徵形式之獨特性 小數表徵形式之獨特性 由於表徵具多義性,使得同一表徵在不同情境會有不同意義,而表徵又具多 樣性,使得同一概念可用不同形式的表徵來表示,因此學生在學習前須先內化社 會共通的數學符號系統,瞭解數學表徵的意義,才能將表徵當作解決問題的工 具,以運用不同形式的表徵來與人溝通。 小數非常抽象,除了度量外,學童不易由日常生活來連結(劉曼麗,2002)。 主要是我國的幣值是以一元為最小幣值單位,不像有些歐美國家具有一元以下的 幣值,而在度量上,又常將小數部分省略不提,因而我國學生不容易建立小數的 數感。另外,由圖 2-1-1 可發現小數概念之複雜,因小數的意義可從分數的「部

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分/整體」關係,及整數的「位值概念」兩方面來探討,小數概念便以這兩方面 為基礎進行學習。 1 圖 2-1-1 小數概念關係圖 資料來源:出自劉曼麗(2006:669) 小數與分數間有著密不可分的關係。由分數的「部分/整體」關係來看,當 1 圖 2-1-1 虛線部分為本研究於探究小數概念的表徵轉譯活動安排時之主要重點

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一個量被分割後,其中一部份的量稱為「分量」,分數就是用來表示這個分量的 記號。而當整數被分成十等分、百等分、千等分……時,便可使用另一種記錄方 法—小數(劉曼麗,1998)。因此,小數是分數中分母為 10n

時的特殊記法。根據 Resnick, Nesher, Magone, Leonard, Omanson 和 Peled (1989)的研究,從表 2-1-1 中可知小數及分數符號表徵在形式及意涵上都截然不同。從分數的符號表 徵形式來看,分母可顯示一個單位被等分成多少等分,分子顯示佔多少等分,整 體被分成任何等分,都能用分數表示;但在小數的符號中,一個單位被等分成多 少等分是隱含在位數中,佔多少等份是由小數點後的部份顯示,整體被分成 10n 等份,才能以小數表示(劉曼麗,2005a)。 表 2-1-1 小數和分數符號表徵之比較 小數(decimal) 分數(fraction) ◎小數的符號表徵形式 0.1 ◎分數的符號表徵形式 1 2 ◎小數的符號表徵意涵 ◎分數的符號表徵意涵 1.一個單位被等分成幾個數是隱含在數字 的位置中 1.一個單位被等分成幾個的數是由分母明 確界定 2.有多少等分是表示在小數的量中 2.有多少等分是表示在分數的分子中 3.整體僅可被分成的 10 的冪次方 3.整體可被分成任何一個等分的數 資料來源:整理自 Resnick et al.(1989: 12) 由於小數與分數符號表徵形式之不同,因此學生雖在有分數為基礎的先備經 驗下學習小數,然而若其概念不清仍易產生許多迷思。像是在分數轉換為小數 上,學生易直接把分母當成整數部分而把分子當成小數部分;或是把分子當成整

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數部分而把分母當成小數部分,如 a.b=a b 或 b a 。另有一部分學生則是不管分母 的數字,就直接把分子拿來當成小數部分(陳文利,2001;郭孟儒 2002;梁惠珍, 2003;劉曼麗,2003,2005b)。比較大小時則可能受分數法則影響,認為小數位 數越多會被分割成的部份就越小,所以它的值必定較小(郭孟儒,2002)。 雖然小數與分數在符號表徵形式上不同,但由於小數與分數的符號皆在記錄 一個「部分/整體」量的關係,因此小數與分數在圖像表徵上十分類似,兩者皆 須強調其部分量與整體量之關係,只是在分割數上有些許不同,小數僅能以 10n 為分割單位,分數則無限制。以下由表 2-1-2 來舉例說明小數和分數圖像表徵之 差異。 表 2-1-2 小數和分數圖像表徵之比較 小數 分數 ◎以 10n 為分割單位 ◎分割數無限制              分數的「部分/整體」關係是小數符號意義的基礎,因此學生若理解「部分/ 全體」的關係,便建立了理解與建構有理數中等值(equivalence)、大小順序 關係、以及運算符號選擇等先備概念的重要基礎(Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Behr & Post, 1988),若建立了分割的觀念,則建構分數與小數概念的 重要基礎與技能(Behr & Post,1988; Hiebert, 1984)。

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並且承襲了十進結構和記數規則,採用 0~9 十個數字,配合位值概念來記錄小 數(劉曼麗,1998)。因此,從小數中可知其每一個數字所具有的位值是緊鄰其 右邊的數字所具有位值的十倍,反之則為十分之一。 由於小數的記數系統與整數相同,都是採十進位制,在符號結構上十分相 似,學生在不了解小數意義的情況下,容易將之視為整數來處理(劉曼麗, 2005b)。例如進行化聚活動時,學生易以小數符號中最明顯的「.」來著手,直 接將兩階單位的數量分別視為小數點左、右兩邊的數(劉曼麗,2006)。在小數比 較大小的學習上可能產生依非整數部分的位數多寡來判斷大小(梁惠珍,2003)或 是以整數的概念來解釋小數,認為小數點後數值越大,其值越大(郭孟儒,2002)。 而當學生透過與具體物的連結來學習小數和整數數字系統的符號意義時,具 體物意義的轉變對學生認知上來說是ㄧ大考驗。從吳昭容(1996)的研究中指出, 面對整數問題時,外在表徵的單位 1 通常只佔很小的視覺空間,以便聚合成一個 較大的合成高階單位;但在面對小數問題時,外在表徵的單位 1 必須被相當程度 的放大,以便從事切割的活動,產生在空間上更小的高階單位。透過圖 2-1-2 來 舉例說明以積木表徵小數和整數數值之差別。數學積木被使用來處理整數十進位 系統時,單位 1 是以一公分立方的積木表示,但被用來處理小數十進位系統時, 單位 1 可能是以 100 個一公分立方所組成的平面,或是 1000 個一立方公分所組 成的大立方體來表示,因此形成這樣的內在表徵本身對學童就有很大的困難。在 整數系統中,ㄧ立方公分的積木視為 1,此與學生的生活經驗相合,因此很快的 便能接受與操作,然而到了學習小數時,ㄧ立方公分的積木不再一定當作 1,而 必須視其與整體量之關係來決定,例如以 10 立方公分的長條積木當作 1,那一立 方公分的積木便為 0.1,以 100 個立方公分的平面積木當作 1,則 10 立方公分的 長條積木為 0.1,ㄧ立方公分的積木便成了 0.01,也就是說積木所代表的數值意 義是視其與整體量之關係而定的。

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圖 2-1-2 以積木表徵小數和整數數值之比較 將整數、小數、分數三個數系統細部比較,可發現三者間有許多異同處,因 而影響了其表徵的呈現方式,由表 2-1-3 可知三個數系統在符號表徵、圖像表徵 及口語表徵上之差異。在符號及口語表徵上,小數與整數較為類似,差別僅在於 對於整數及不夠 1 的小數部分,小數須以「.」小數點作區隔,且不夠 1 的小數 部分只依數字的次序讀出即可,而小數與分數在符號與口語表徵形式上差異性較 大,分數有其獨立的記數系統及讀法。在圖像表徵上,小數則和分數較為類似, 需強調「部分/整體」關係,兩者差別僅在於小數在整體量的分割數上必須是 10n , 而分數則無限制。 整數 1000 100 10 1 小數 1 0.1 0.01 0.001

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表 2-1-3 整數、分數和小數表徵之比較

整數(integer) 分數(common fractions) 小數(decimal fractions) 符 號 表 徵 1.形式:abc 2.直式算則:向右對齊 1.形式:b a 2.計算有獨立的運算系統 1.形式:ab.c 2.直式算則:以小數點為 基準 口 語 表 徵 讀法:數字結合位值,如 168讀作「一百六十八」 讀法:「分母」分之「分 子」,如2 3 讀作「三分之 二」 讀法:以小數點為畫分, 小數點左邊的整數部分是 按照整數讀法讀出,右邊 數字則依照數字次序讀 出,如382.16讀作「三百 八十二點一六」 圖 像 表 徵 即記錄為 4,沒有 部分/整體的關係。 須知道整體量及分割數, 如塗色部分為全部的4 8 。 須知道整體量及分割數必 須為 10n ,如塗色部分為 0.9 張紙。

第二節

第二節

第二節

第二節

表徵轉譯與小數學習

表徵轉譯與小數學習

表徵轉譯與小數學習

表徵轉譯與小數學習

表徵在數學上可謂一獨特的數學語言,其具有不同的形式,作為一種數學概 念的呈現方式,以代表人們對於數學概念的理解與應用。在學生學習的過程中, 不但需要瞭解數學表徵的意義,也必須能運用不同形式的表徵來與人溝通,作為 解決問題的工具(NCTM,2000)。因此,學生具備表徵轉譯能力是必要的,其能就

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同一概念以不同表徵進行連結,才算真正掌握概念。本節將探究表徵轉譯活動在 數學學習上的意義、表徵轉譯活動中表徵形式之運用特性、表徵轉譯活動在小數 學習上之必要性及表徵轉譯活動與小數學習歷程四方面進行探討。 壹 壹壹 壹、、、、表徵轉譯活動在數學學習上的意義表徵轉譯活動在數學學習上的意義表徵轉譯活動在數學學習上的意義 表徵轉譯活動在數學學習上的意義 對於數學概念的理解,其表徵轉譯可包括兩個面向,一是能夠以一套符號或 系統來表徵數學概念,一是能以多重表徵來呈現某一個概念,並且能夠在不同的 表徵系統之間作轉譯(Davis,1984)。Brenner、Herman 和 Zimmer (1999)亦認為 表 徵 系 統 的 轉 譯 方 式 分 為 兩 類 , 一 類 是 在 某 一 個 表 徵 系 統 內 做 轉 換 (transformation);另一類則在各個表徵系統之間的轉譯(translation)。在某 一表徵系統內做轉換是意指像是小數符號 0.01,其亦可轉換為「1001 」、「1%」等 符號形式,而各個表徵系統之間的轉譯則是例如小數 0.01,除以符號表徵記錄 外,亦可透過具體操作物、圖像、口語表徵等形式來呈現。可見針對學生概念之 學習,多重表徵的運用及轉譯活動的安排不可少。學生進行數學學習時,必須要 注重不同表徵系統的連結,並能夠利用多樣化的方式來代表數學概念(游自達, 1995)。 在數學上多重表徵可以用來顯示同一種概念中的不同面向(Novick,1990)。 Janvier(1987)將表示概念的多重表徵譬喻為一星形的冰山,其中每一角都表 示一種表徵形式,而每次顯現的都只是其中浮在水面上的一角(如表格、圖示、 方程式、言辭、物體等),因此學習數學最理想的方法應在同一個物件上運用數 個不同的表徵形式,使學習者能就不同表徵而與數學概念連結。從圖 2-2-1 可知 在數學學習上各種表徵轉譯的形式,Lesh & Post (1987)特別強調多重表徵系統 之間的轉譯與表徵本身內部的轉換一樣重要;轉譯可視為在系統間的對應,轉換 可以視為在系統中的運作。而針對於表徵間的轉譯,Lesh 等人提出幾項原則(引 自劉秋木,2002):

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(ㄧ)需忽略「無關的」特質,簡化原始情境,使學生能注意到其他較有關的 因素。 (二)在所提供的模型與原始情境之間建立映射(mapping)。 (三)探究模型的性質以便產生對於原始情境的預測。 (四)將這些預測轉譯回原始情境。 (五)檢查所轉譯的預測是否有用和可理解。 圖 2-2-1 Lesh 五種數學學習表徵 資料來源:出自 Lesh et al.(1987: 34) 表徵轉譯的能力與學生概念之理解密切相關,要理解某一數學概念必須獲得 一套強有力的符號或系統以表徵數學概念,學生必須能以不同形式之表徵來代表 某一概念,而且能在不同形式的表徵系統間做轉譯(Putnam, Lanpert, & Peterson, 1990)。因此在數學學習的過程中,學生不但要了解各種數學表徵形式的意義, 還要能利用這些不同形式的表徵進行解題與溝通(林美惠,1997)。 靜態圖形 書寫符號 口語 真實腳本 具體操作物

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由於唯有當學習者對同一材料的多重表徵進行建構和協調時,有意義的學習 才會發生(Schnotz & Kulhavy,1994),因此教學活動中「表徵的轉譯」對概念的 獲得是必須的,對於某一概念與知識的教學表徵更不能只有一種(Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983)。僅用單一表徵把知識傳輸給學生並不恰當,多重表徵 的教學是必須要特別強調的(Noss & Hoyles,1996)。教師教學時需協助學生熟 悉不同表徵所呈現的數學溝通形式,善用各種表徵,避免以同一種方式教學,為 學習者搭起思考的鷹架,幫助學習者瞭解,並讓學習者能運用各種表徵的形式達 成與他人溝通的目的(洪郁雯、楊德清,2006)。 總言之,在數學教學上,教師對概念的呈現要輔以多重表徵並幫助學生進行 表徵間的轉譯外,在教材安排上亦應有各種表徵間形式轉譯的活動安排,如此才 能幫助學生透過不同表徵轉譯的活動來進行數學概念的學習。教師要進行一個計 算程序或一個必須記憶的資訊教學時,應讓兒童先理解其意義,建立表徵間的關 聯,然後才練習以求熟練(劉秋木,2002)。教師在從事數學教學時,須使學生理 解表徵物與被表徵物間的關係,並能在不同表徵間進行連結和轉譯,以不同表徵 形式來表示同一概念,如此學生才算真正瞭解及掌握一個數學概念。 貳 貳貳 貳、、、、表徵轉譯活動中表徵形式之運用特性表徵轉譯活動中表徵形式之運用特性表徵轉譯活動中表徵形式之運用特性 表徵轉譯活動中表徵形式之運用特性 好的數學學習是獲得各種適當的表徵,而不同表徵之間有密切的連結(劉秋 木,2002)。國小學生的認知發展階段以 Piaget 的認知發展論來看主要是位於具 體運思期,因此國小數學教學上運用教具繁多,透過各種表徵的呈現與操作,期 望學生建構正確的知識。依學生對概念的認知層次來看表徵形式的運用,劉秋木 (2002)建議教學的順序應由具體學習經驗開始,而後半具體學習經驗到抽象學習 經驗。具體學習經驗對國小學生最有效,可以使學生瞭解得最清楚,記得最久, 應用得最順手,因此概念學習之初要讓學生操作具體物以形成概念,將具體物與 符號連結以瞭解符號的意義。當學生可將具體物轉為「心像」時,則進入半具體

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的學習經驗,透過圖畫與符號連結以瞭解符號的意義。最後讓學生進行抽象思考 是教學的終極目標,概念學習的最後學生須能以符號來解釋符號。 表徵為數學概念之溝通語言,不同的表徵形式具有其呈現上的特性,對於學 生進行轉譯活動時便有不同的影響。為協助學生概念學習,我們必須要看到不同 表徵有其自身特質的差異,而使得不同表徵本身對學生學習有不同程度的難易 (Lesh et al.,1987)。在各種表徵形式中,真實情境、具體操作物及圖像表徵是 較易被理解的,因此多做為概念學習之基礎,使之與符號表徵相連結。數學既是 由生活需求衍生而來,因此數學學習若以生活問題為材料,則可激發學生學習興 趣,從解決生活問題來發現數學概念,進而再將數學概念應用於生活問題中(劉 秋木,2002),因此國小階段的教科書,其情境設計常以真實情境為基礎,使數 學不與生活脫節,學生也較能依照其生活經驗理解問題之情境而進行解題。在概 念學習之初,則常以運用具體物的操作以增進理解,從操作具體物中,學生將能 具體物與符號相對照,可瞭解各數字與其位置的意義,若將運算過程與操作相對 照,則能了解運算過程的意義(劉秋木,2002)。在具體物的運用上,積木是常被 使用的教具,例如以 1 立方公分的積木代表個位數,10 立方公分的長條積木代表 十位數,100 立方公分的平面積木代表百位數,則學生若以積木代表數字 426, 便需拿出 4 個 100 立方公分的平面積木,2 個 10 立方公分的長條積木及 6 個 1 立 方公分的積木,從操作過程中,學生可具體看見各數字所代表之意涵。因此教師 進行教學時,若能讓學生在真實的問題情境中解決問題,並透過具體物的操作來 思考,而與抽象符號作連結,對學生之理解有相當的助益,如此不僅可協助學生 會使用抽象符號而已,最重要的是還能幫助學生瞭解符號所代表的概念。瞭解概 念之意涵後,才有可能具備在不同表徵系統間轉譯之能力。 除教師教學上須注意轉譯活動中表徵之運用,教材內容的安排亦應以兒童既 有經驗為基礎,適當的運用各種表徵形式來安排表徵轉譯活動,期望學生對ㄧ問

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題情境或概念,能形成多種表徵及表徵間的連結,以增進對於問題的理解與解題 能力。 參 參參 參、、、、表徵轉譯活動在小數學習上之必要性表徵轉譯活動在小數學習上之必要性表徵轉譯活動在小數學習上之必要性 表徵轉譯活動在小數學習上之必要性 對許多學習小數的學生來說,他們無法理解小數是分數的另一種寫法,也不 知道小數是整數位值概念的延伸,大多數的學生認為小數是一個完全新的量系 統,只 有少 部分學 生能將 小數 符號和 從前學 習過 的整數 與分數 符號 相連結 (Callahan & Hiebret, 1987)。我國國小之數學教育,是以分數等分概念及整數 的位值系統為基礎來介紹小數,建立小數的符號與意義。然而整數與分數的先備 知識一方面會支持小數的學習,另一方面卻也會干擾小數概念的建構,而成為學 生小數迷思概念的來源(Resnick et al.,1989)。表徵既為數學上溝通的工具, 學生對小數概念的掌握便可透過表徵轉譯活動情形來觀察,但從許多研究中發現 學生在小數的表徵轉譯活動上存在著迷思概念,例如有些學生有單一表徵化的迷 思概念,認為一個白色小積木一定就是代表 0.01,而不會針對題目情境來判斷(陳 文利,2001)。而對於學生在圖像表徵轉譯的表現上,則缺乏良好的圖像表徵能 力(黃芳玉,2003),尤其要以數線模式來表徵小數對學生而言是困難的(杜建 台,1996;Martinie & Bay-Williams, 2003)。就問題情境上來看,不管是連續 量或離散量表徵,對分數意義的不瞭解使得學生在轉譯上存在著迷思概念,其中 內容物多個的離散量情境表徵對學生而言是最困難的(阮麗蓉、曹雅玲,2005; 梁文鎮,2007;鄭寰文,2005)。另外,一般教科書中均只提供學生一個已等分 好十片的披薩圖或一串 10 顆的彩珠,請學生塗出 0.4 個披薩或 0.3 串彩珠。在 這樣的布題下,學生即使不清楚 0.4 的意義,也能因多次練習而知道 0.4 個披薩 就是要塗 4 片;0.3 串就是塗 3 顆(劉曼麗、侯淑芬,2006),如此可能造成缺乏 「部分/整體」概念的學生,在圖像表徵與符號表徵轉譯時,會忽略圖形的總分 割數,而認為 0.a 即為圖形中的 a 份(陳宏麟,2008)。

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由上述學生在小數表徵轉譯活動上的迷思概念可知學生對於小數概念的掌 握並不理想。善用表徵及進行表徵轉譯活動將有助於學生小數概念之學習,因此 在教學過程中,應加強多重表徵的呈現及表徵間轉譯活動的安排,使學生能透過 表徵轉譯活動的進行而增進對概念的理解。 肆 肆肆 肆、、、、表徵轉譯活動與小數學習歷程表徵轉譯活動與小數學習歷程表徵轉譯活動與小數學習歷程 表徵轉譯活動與小數學習歷程 數學概念需透過多重表徵來呈現與連結,因而教學上僅用單一表徵的學習並 不恰當,因為在解題時不同的表徵角色結構會相互牽連,在解題時單一表徵必須 切換到其他表徵上(Noss & Hoyles,1996),像是學童在學習小數時,若只著重在 符號表徵的操作,學生只會操作符號來獲得正確的答案,容易因為缺乏反覆的訓 練而遺忘(郭孟儒,2002)。因此對於小數的學習,教師進行小數教學時,在教法 上亦宜採用多樣化的教學,多引用具體表徵和引入情境表徵,使學生對於小數學 習容易產生感覺和瞭解意義(劉曼麗,2001)。另外,圖像表徵能將原本複雜的文 字,用簡明的方式呈現,亦有助於解題(Diezmann & English,2001)。在小數學 習歷程中,Hiebert (1988)十分強調具體物的操作,他主張小數學習的認知過程 開始於小數符號與具體物的連結,進而才能脫離表徵物進行抽象思考。一位成功 的教師在協助學生學習小數時,必利用具體物表徵來讓學生看見小數的內涵,並 要做好具體物與小數符號的連結(Irwin,2000)。由此來看,在學習小數的意義 時,須先藉助適當的表徵讓學生理解小數符號所代表的意義,才進入小數的計算 的教學(劉秋木,2002)。 對於學生小數知識的建構,許多研究則指出可從具體操作及圖像表徵來協助 學生掌握小數的意義,進而進入抽象思考階段(江愛華,2002;陳文利,2001; 梁惠珍,2003;黃偉洲,2001)。教學上應提供學童多元的小數表徵與不同情境 來隨時與分數作連接(劉曼麗,2006),以不同的圖像表徵舉例,使學生能從圖形 中發現小數的意義為部分與全體的關係(陳宏麟,2008)。另外,透過圖像表徵帶

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小數,亦能用以凸顯小數點具有分隔整數部分與非整數部分的功用(劉曼麗, 2006)。 學生在學習小數化聚時常是倍感困難的,教師在教學時應提供學童具體的轉 換經驗並營造轉換的需求以幫助學童較易察覺被計數單位間的關係,並用之來解 題(劉曼麗,2006)。在小數的位值概念方面,可透過具體物或圖像的操作和比較 來幫助學童建立多階單位間的關係(劉曼麗,2006),透過古氏積木、百格板等來 介紹小數,以協助學生獲得小數的位值概念,進而利用圖形表徵的方式來加強學 生小數概念的抽象化(劉曼麗,2001)。進行小數比較大小時,宜透過百格板或積 木等具體物,讓學童實際操作,以建構小數比較大小的正確觀念(阮麗蓉、曹雅 玲,2005)。 小數的計算方面,當學童操弄表徵物做運算時,則必須與書寫符號和運算符 號做連結(Hiebert & Wearne, 1988),將具體操作物與運算過程相對照,能了解 運算過程的意義(劉秋木,2002)。艾如昀(1994)的研究亦指出,在教導學生做小 數的四則運算時,應配合學童所具有的小數數值知識,告訴學童使用規則的理 由,而不是強記運算規則。 整體來看,在小數教學方面,教師宜適時利用具體物或生活經驗,透過操作 使學生與概念連結,進而運用圖像表徵來加強學生在小數意義、小數結構及小數 應用上的各項知識。教師應用綜合的方法來進行小數的教學,給學生靈活運用與 連結與小數有關的多重表徵的機會(Thomson & Walker,1996)。因此教材之設計 與教師教學可善用生活中常見的實物,讓學童增加動手操作的機會,由操作中歸 納結果並內化成自身概念(張雅涵,2008)。從多位研究者的研究指出表徵的運用 對學生小數學習是有所助益的,而教科書既為教師教學與學生學習上相當重要的 文本,因此研究者期能以這些研究成果來檢視教科書內容的表徵運用及表徵轉譯 活動安排情形。

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第三節

第三節

第三節

第三節

表徵轉譯之相關研究

表徵轉譯之相關研究

表徵轉譯之相關研究

表徵轉譯之相關研究

表徵在各領域的應用相當廣泛,在語言、醫學、科學等領域上皆有許多表徵 之相關研究,而在不同領域表徵則有著不同的意義。在數學上表徵之研究亦相當 多,以下係將國內有關國小表徵轉譯之相關論文研究整理如表 2-3-1: 表 2-3-1 表徵轉譯之相關研究 研究者 研究 對象 研究工 具 數概 念 研究焦點 彭 嘉 妮 (2007) 國小六 年級學 生 紙筆測驗 及訪談 小數 分數 探討國小六年級學童在分數符號、小數符號和圖形表 徵三者間轉譯的表現。研究發現學童在「圖形表徵和符 號表徵間轉譯」的答題表現不佳,其中又以「圖形表徵 和小數符號間轉譯」的答題表現更差。 林 芳 玉 (2003) 國小四 到六年 級學生 紙筆測驗 及訪談 分數 探討國小四、五、六年級學生在等值分數概念上,對 各種表徵轉譯的表現情形為何。研究發現學生「圖形表 徵轉譯到符號表徵」的表現優於「符號表徵轉譯到圖形 表徵」。 盧 淑 津 (2005) 國小三 年級學 生 紙筆測驗 及訪談 小數 透過學生在具體物表徵、符號表徵及圖像表徵之間的 轉譯表現來探討國小三年級學童的一位小數概念。學童 在符號表徵和具體物表徵間與符號表徵和圖像表徵間的 轉譯良好。而在圖像表徵至符號表徵的轉譯優於符號表 徵至圖像表徵。 陳 麗 婷 (2005) 國小四 年級學 生 個案研究 訪談 小數 透過符號表徵與圖像表徵雙向轉譯來探討國小四年級 學童的二位小數概念。 鄭 寰 文 (2005) 國小三 至六年 級 訪談 小數 國小三至六年級學童的小數概念在不同表徵間轉譯的 答題想法與表現。研究結果發現,離散量內多情境對學 童最難,而在連續量情境上,二維的答對率比一維高。 王 淵 智 (2005) 國小四 年級學 生 實驗研究 分數 以 Behr 等人提出之表徵互動系統模式為基礎,設計多 元表徵分數課程進行教學實驗以探究其實施成效。研究 結果發現分數多元表徵課程的設計具體可行,接受此課 程的學童在分數解題表現上部分優於一般教材。 (接下頁)

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表 2-3-1 表徵轉譯之相關研究(續) 曾 靖 雯 (2003) 國小三 年級學 生 行動研究 分數 藉由分數概念的教學,探討國小三年級實際課堂中, 兒童運用表徵學習分數概念;分數概念如何在各種表徵 間呈現、轉譯;以及教師在分數教學策略中運用表徵的 情形。研究發現表徵的適當使用有助於分數教學,表徵 除了讓兒童藉以理解概念、表達想法之外;也能提供教 師傳達概念、了解兒童學習狀況的途徑。 陳 宏 麟 (2008) 國小五 年級學 生 紙筆測驗 及訪談 小數 以圖像、符號及真實腳本表徵的問題,探討五年級學 生小數概念的了解情形。研究結果發現學生較欠缺小數 的部分與整體關係之概念。在小數與分數的互換中,學 生較熟悉將小數化成分數,但對於分數化成小數的能力 較差。 黃 月 平 (2004) 國小六 年級學 生 紙筆測驗 及訪談 分數 V 探討學生將分數乘除算式符號表徵轉為數學文字題 之表徵轉換能力。研究結果發現學生在分數乘、除法之 擬題能力並無顯著差異。 陳 啟 明 (2000) 國小五 年級學 生 數學應用 問題測驗 及團體藏 圖測驗 探討不同題目表徵型式(文字題、短語題、圖畫題) 及相關因素(運算步驟、題目訊息和認知風格)對國小 五年級學生數學應用問題解題表現之影響。研究發現學 生在「圖畫題」上的解題表現顯著優於「短語題」和「文 字題」。 張 熙 明 (2004) 國小五 年級學 生 紙筆測驗 分數 探究國小五年級學童在教學前後分數表徵之迷思概念 的改變情形,以及從實際之實踐歷程中探討其可能產生 之困境與教學反思。研究發現操作具體物表徵或圖形表 徵對大部分學生的數學學習、分數概念的提升有幫助。 黃 芳 玉 (2003) 國小六 年級學 生 紙筆測驗 訪談 分析國小六年級學生的數學表徵能力與計算能力,研 究結果發現學生具有良好之計算能力,但不代表他們亦 伴隨著計算能力之精熟,而發展相同之圖形表徵能力與 符號表徵能力。 就研究主題、研究焦點、研究工具及研究結果等面向,探究表徵轉譯的相關 研究,可發現: (一)在研究主題方面 表徵轉譯之相關研究所選擇之研究主題以有理數的分數和小數為多。九年一 貫課程綱要中指出有理數為小學數學教育中最具挑戰性之數學主題,主要是因學 生較缺乏有理數的前置經驗及日常生活中有理數之情境較少(教育部,2003)。因 此在分數及小數的概念呈現上,表徵的運用與轉譯顯得非常重要,所以在研究主

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題方面,學生在分數和小數的學習為許多研究者所關注的焦點。 (二)在研究對象方面 表徵轉譯活動指的是由某一表徵形式轉譯為另一種表徵形式之活動,由表 2-3-1 來看,國內有關國小的表徵轉譯活動研究,其研究對象多集中於國小中、 高年級學生,藉由觀察學生在表徵轉譯活動上之表現,以瞭解學生對概念掌握之 情形。而且中年級階段為有理數概念初形成階段,而高年級則為概念檢驗階段, 因此許多研究普遍以此二階段學生為研究對象,以探究學生數學概念學習情形。 整體來看,在國內相關研究中未有以數學教科書為研究對象者,然而數學教科書 為學生數學學習與教師教學之主要素材,因此針對表徵轉譯之研究應除了關心學 生在各數學概念的實際表徵轉譯情形外,教科書內容中表徵轉譯活動之安排亦是 值得探究的主題。 (三)在研究工具方面 表徵轉譯之相關研究以質性研究為多數,以學生為研究對象,以透過紙筆測 驗與訪談來瞭解學生表徵轉譯之實際表現情形,期能透過研究歷程實際瞭解學生 概念轉譯之情形。 (四)在研究結果方面 學生要能以多種表徵來代表某一概念,而且能在不同形式的表徵系統間做轉 譯,才算對一數學概念的掌握。從表徵轉譯的相關研究中得知,多重表徵的呈現 與運用是有助於學生學習的。不過學生在轉譯上普遍具有迷思概念,就不同表徵 形式間的轉譯來看,學生在圖像表徵與符號表徵間的轉譯上表現較不佳,而就問 題之情境來看,學生學習最困難的是「離散量內容物多個」的情境,此皆顯示了 學生並無確切掌握對概念的理解,是否在教材呈現或教學上缺少這些表徵的運用 及表徵轉譯活動的安排,值得進一步檢視。 表徵轉譯對學生概念的建立是重要的,從上列表徵轉譯的相關研究中,我們

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可知表徵可以幫助學生學習數學概念,透過轉譯活動可瞭解學生學習情形。然而 從相關研究中透露出大多有關小數的表徵轉譯活動研究多是研究學生的表現以 提出學習建議,未見針對教科書的安排進行探究的研究。教科書內容既為教師教 學與學生學習主要參考依據,其內容編排更應審慎評估,因此以教科書為研究對 象,透過內容分析探討教科書中表徵轉譯活動安排之情形實為一值得關注之議 題。

第四節

第四節

第四節

第四節

數學教科書內容分析之相關研究

數學教科書內容分析之相關研究

數學教科書內容分析之相關研究

數學教科書內容分析之相關研究

雖然教科書不等於教材全部,然而在我國,教科書是學生學習的重要材料, 更是多數教師教學的依據,高新建(1991)的研究指出90﹪以上的國內國小教師是 按照課本來進行教學,足見教科書地位之重要性。近二十年來,教科書的研究數 量已逐漸增加,顯示教科書研究以慢慢形成風潮,越來越多研究者投入教科書的 開發與研究。以下整理近十年來數學教科書內容分析之相關研究於表2-4-1: 表 2-4-1 數學教科書內容分析之相關研究 研究者 研究方法 研究對 象 研究重點 吳明穎 (2002) 文獻分析 法、內容 分析法 一 年 級 教材 本研究以文獻分析法,整理出國小學童應具備的數學能力 與數學素養,並發展出一套內容分析模式,以分析國小一年 級教科書的教材內涵。 麥昌仁 (2004) 內 容 分 析、問卷 調查 第 二 學 習 階 段 教材 本研究首先根據教育部頒定之數學能力指標,進行數學教 科書內容之能力指標分析。接著進行數學教科書選用評鑑規 準表之建立,提供教師在選用數學教科書時之參考。最後運 用所建立的數學教科書選用評鑑規準表,進行問卷調查,提 供出版社將來編輯數學教科書之參考。 (接下頁)

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表 2-4-1 數學教科書內容分析之相關研究(續) 廖婉琦 (2004) 比較分析 法、內容 分析法 台 灣 和 美 國 之 幾 何 教 材 本研究採用比較分析法與內容分析法,透過分析架構表, 對我國以及美國每日數學教科書當中的幾何教材,分別就教 材目標、教材比重、教材內容組織以及幾何詞彙定義作分析 比較。 張琇涵 (2005) 內容分析 法、比較 研究法 台 灣 和 新 加 坡 之 三 角 函 數 教 材 本研究採用內容分析研究法與比較研究法,將台灣與新加 坡教科書依照描述、並列與比較等階段進行探討與分析。依 兩國之數學教學目標、一到十年級教材、佈題背景與問題情 境,歸納出兩國教科書突顯的特色,列出值得台灣參考與學 習之項目。 邱忻恬 (2005) 文件分析 法、內容 分析法、 比較法 台 灣 和 西 班 牙 教材 本研究主要在探討台灣與西班牙七至九年級數學課程安排 原理之異同,以及比較討論兩國數學教科書內容之銜接問題 與均衡問題。 吳麗玲 (2005) 內容分析 法 台灣、美 國 及 新 加 坡 之 五、六年 級 分 數 教材 本 研究 旨在 探 討台 灣九 年 一貫 康軒 版 、 美 國情 境 數學 (Mathematics in Context)與新加坡大家一起學數學(My Pals are Here! Maths.)之小學五、六年級分數教材內容。 以『單元』為單位,採用內容分析法探討三國分數教材之教 學目標、教學單元數、活動數與教學時數、教學引入情境與 概念編排順序及佈題呈現方式與問題知識屬性。 林美如 (2006) 內容分析 法 中國、香 港 和 台 灣 之 幾 何教材 本研究旨在探討中國義務教育課程標準實驗教科書、香港 廿一世紀現代數學、台灣九年一貫課程康軒版數學三地數學 科教科書,在幾何教材上呈現的情形。依內容分析類目表分 析幾何教材的主要概念分布情形,進而探討三地數學科幾何 教材所呈現的特徵。 林欣慧 (2007) 內容分析 法、比較 研究法 台 灣 和 美 國 之 整 數 教 材 本研究旨在於探討台灣南一版小學數學科教科書跟美國的 Everyday Mathematics 小學數學科教科書之整數教材的內 容。以內容分析法及比較研究法依研究者自行發展出的小學 整數教材內容分類表分析兩國小學數學教科書之整數教材的 教學目標、教材比重及教材內容,進而比較出兩國小學整數 教材所呈現的異同。 李金葉 (2007) 文件分析 法、內容 分析法 角概念 本研究採用的研究方法有兩種,以「文件分析法」蒐集相 關之文獻,歸納後做為分析之基本架構及內容分析之類目, 再以「內容分析法」分析牛頓版、南一版、康軒版及翰林版 國小數學教科書中角概念教材之概念發展、活動類型及插圖 實例。 張雅茹 (2007) 內容分析 法 全 數 教 材 本研究以內容分析法為研究方法,進行數學文字題的情境 分析。分析類目的制定方面,主要包含兩部分,生活化程度 的部分主要是參考學者的架構與定義;生活化類型部分的分 析架構,除了參考相關文獻外,主要是採行研究者在前導性 研究過程中,反覆修正所制定之架構。 (接下頁)

數據

表 2-1-3 整數、分數和小數表徵之比較

表 2-1-3

整數、分數和小數表徵之比較 p.28
表 2-3-1 表徵轉譯之相關研究(續)  曾 靖 雯 (2003)  國小三年級學 生  行動研究  分數    藉由分數概念的教學,探討國小三年級實際課堂中,兒童運用表徵學習分數概念;分數概念如何在各種表徵間呈現、轉譯;以及教師在分數教學策略中運用表徵的 情形。研究發現表徵的適當使用有助於分數教學,表徵 除了讓兒童藉以理解概念、表達想法之外;也能提供教 師傳達概念、了解兒童學習狀況的途徑。  陳 宏 麟 (2008)  國小五年級學 生  紙筆測驗及訪談  小數    以圖像、符號及真實腳本表徵的問題,

表 2-3-1

表徵轉譯之相關研究(續) 曾 靖 雯 (2003) 國小三年級學 生 行動研究 分數 藉由分數概念的教學,探討國小三年級實際課堂中,兒童運用表徵學習分數概念;分數概念如何在各種表徵間呈現、轉譯;以及教師在分數教學策略中運用表徵的 情形。研究發現表徵的適當使用有助於分數教學,表徵 除了讓兒童藉以理解概念、表達想法之外;也能提供教 師傳達概念、了解兒童學習狀況的途徑。 陳 宏 麟 (2008) 國小五年級學 生 紙筆測驗及訪談 小數 以圖像、符號及真實腳本表徵的問題, p.37
表 2-4-1  數學教科書內容分析之相關研究(續)  廖婉琦 (2004)  比較分析法、內容 分析法  台 灣 和美 國 之幾 何 教 材    本研究採用比較分析法與內容分析法,透過分析架構表,對我國以及美國每日數學教科書當中的幾何教材,分別就教材目標、教材比重、教材內容組織以及幾何詞彙定義作分析比較。  張琇涵 (2005)  內容分析法、比較 研究法  台 灣 和新 加 坡之 三 角 函 數 教 材    本研究採用內容分析研究法與比較研究法,將台灣與新加坡教科書依照描述、並列與比較等階段進行探討

表 2-4-1

數學教科書內容分析之相關研究(續) 廖婉琦 (2004) 比較分析法、內容 分析法 台 灣 和美 國 之幾 何 教 材 本研究採用比較分析法與內容分析法,透過分析架構表,對我國以及美國每日數學教科書當中的幾何教材,分別就教材目標、教材比重、教材內容組織以及幾何詞彙定義作分析比較。 張琇涵 (2005) 內容分析法、比較 研究法 台 灣 和新 加 坡之 三 角 函 數 教 材 本研究採用內容分析研究法與比較研究法,將台灣與新加坡教科書依照描述、並列與比較等階段進行探討 p.40
表 2-4-1  數學教科書內容分析之相關研究(續)  李豪文 (2007)  內容分析法  幾 何 教材    本研究旨在從課程組織原則的觀點,分析九年一貫課程綱要數學學習領域第一學習階段數學教科書之幾何內容。採用 內容分析法,主要探討幾何內容活動數、授課節數在各版本 的比重情形和分布狀況;活動數與授課節數間的關係與分佈 差異情形;教材組織及呈現情形;組織排序及呈現情形;各 版本與學生生活經驗統整並產生關連的情形。  李盈萩 (2007)  內容分析法、比較 分析法  一 年 級教材    本研究主要目的

表 2-4-1

數學教科書內容分析之相關研究(續) 李豪文 (2007) 內容分析法 幾 何 教材 本研究旨在從課程組織原則的觀點,分析九年一貫課程綱要數學學習領域第一學習階段數學教科書之幾何內容。採用 內容分析法,主要探討幾何內容活動數、授課節數在各版本 的比重情形和分布狀況;活動數與授課節數間的關係與分佈 差異情形;教材組織及呈現情形;組織排序及呈現情形;各 版本與學生生活經驗統整並產生關連的情形。 李盈萩 (2007) 內容分析法、比較 分析法 一 年 級教材 本研究主要目的 p.41
表 3-2-2 各版本各年級小數教材內容  版本  年級  小數的認識  小數的計算  小數的應用  三年級  ◎認識一位小數  ◎小數化聚與位值  ◎小數數線  ◎小數加、減法  ◎小數的大小比較  四年級  ◎認識二、三位小數  ◎小數化聚與位值  ◎分數、小數互換  ◎二、三位小數加減 ◎小數乘以整數  ◎整數、小數除以整數  ◎小數的大小比較 ◎度量衡單位換算  五年級  ◎小數乘以整數  ◎整數、小數除以整數 A 版 本  六年級  ◎小數的乘、除法及四  則混合運算  ◎四位以上小數的比較  三

表 3-2-2

各版本各年級小數教材內容 版本 年級 小數的認識 小數的計算 小數的應用 三年級 ◎認識一位小數 ◎小數化聚與位值 ◎小數數線 ◎小數加、減法 ◎小數的大小比較 四年級 ◎認識二、三位小數 ◎小數化聚與位值 ◎分數、小數互換 ◎二、三位小數加減 ◎小數乘以整數 ◎整數、小數除以整數 ◎小數的大小比較 ◎度量衡單位換算 五年級 ◎小數乘以整數 ◎整數、小數除以整數 A 版 本 六年級 ◎小數的乘、除法及四 則混合運算 ◎四位以上小數的比較 三 p.47
表 3-3-2 表徵形式之分析類目表  主類目  次類目  分析單位  類目名稱  說明  具體操作 物  活動指示詞  積木  以古氏積木、百格板等具體物來操作。  連續模式  指利用連通的物件作為整體量,透過 切分來呈現部分/整體的關係。 圖像 圖像  離散模式  指利用獨立分離的個別物件之集合 作為整體量,以表徵集合/子集合之 關係  邏輯用語  透過口語來說明自己的想法。 口語 語言  數學用語  以口語念出數學上之符號名稱。  數學符號  數學上專門使用之符號,如 0.1、 5.938、 2 7

表 3-3-2

表徵形式之分析類目表 主類目 次類目 分析單位 類目名稱 說明 具體操作 物 活動指示詞 積木 以古氏積木、百格板等具體物來操作。 連續模式 指利用連通的物件作為整體量,透過 切分來呈現部分/整體的關係。 圖像 圖像 離散模式 指利用獨立分離的個別物件之集合 作為整體量,以表徵集合/子集合之 關係 邏輯用語 透過口語來說明自己的想法。 口語 語言 數學用語 以口語念出數學上之符號名稱。 數學符號 數學上專門使用之符號,如 0.1、 5.938、 2 7 p.52
表 4-1-1  A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用(續)  ㄧ位小數  以面積模式圖像表徵說明小數符 號意義   (B-6-21)  二位小數  以面積模式圖像表徵說明小數符 號意義   (B-7-114) B版本  三位小數  透過操作積木來說明小數符號意 義   (B-7-119)  C 版 本  ㄧ位小數  透過積木圖像呈現積木間的關係來說明小數符號意義   (C-6-92)  (接下頁)

表 4-1-1

A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用(續) ㄧ位小數 以面積模式圖像表徵說明小數符 號意義 (B-6-21) 二位小數 以面積模式圖像表徵說明小數符 號意義 (B-7-114) B版本 三位小數 透過操作積木來說明小數符號意 義 (B-7-119) C 版 本 ㄧ位小數 透過積木圖像呈現積木間的關係來說明小數符號意義 (C-6-92) (接下頁) p.61
表 4-1-1   A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用(續)  二位小數  透過積木圖像呈現積木間的關係 來說明小數符號 意義   (C-8-48)  三位小數  以文字說明積木之間的關係來學 習小數符號意義   (C-8-94)  ※圖中的編號 A-6-80 代表 A 版本第 6 冊第 80 頁  二、各版本「小數的符號意義」教材之表徵轉譯活動安排  小數的符號意義學習包括小數的符號本身的意涵、讀法、寫法等部份,各版 本除了以圖像表徵、文字符號表徵來說明外,亦安排不同的表徵轉譯活動讓學生 就不

表 4-1-1

A、B、C 版本「小數符號意義」之表徵形式運用(續) 二位小數 透過積木圖像呈現積木間的關係 來說明小數符號 意義 (C-8-48) 三位小數 以文字說明積木之間的關係來學 習小數符號意義 (C-8-94) ※圖中的編號 A-6-80 代表 A 版本第 6 冊第 80 頁 二、各版本「小數的符號意義」教材之表徵轉譯活動安排 小數的符號意義學習包括小數的符號本身的意涵、讀法、寫法等部份,各版 本除了以圖像表徵、文字符號表徵來說明外,亦安排不同的表徵轉譯活動讓學生 就不 p.62
表 4-1-4  A、B、C 版本小數的化聚活動之表徵形式運用(續)  (C-6-97)  圖像表徵  (C-6-96) C  版  本  符號表徵  (C-8-51)  二、各版本「小數的化聚」教材之表徵轉譯活動安排  教材安排學生透過小數的化聚活動認識小數的數結構關係,而表徵轉譯活動 則用以協助學生建構小數的數結構概念,尤其是理解高階單位和低階單位間之關 係。各版本在「小數的化聚」教材中,相較於「小數的符號意義」的學習,A、C 版本所安排的表徵轉譯活動次數減少許多,B 版本則不管在轉譯活動的類型或安 排

表 4-1-4

A、B、C 版本小數的化聚活動之表徵形式運用(續) (C-6-97) 圖像表徵 (C-6-96) C 版 本 符號表徵 (C-8-51) 二、各版本「小數的化聚」教材之表徵轉譯活動安排 教材安排學生透過小數的化聚活動認識小數的數結構關係,而表徵轉譯活動 則用以協助學生建構小數的數結構概念,尤其是理解高階單位和低階單位間之關 係。各版本在「小數的化聚」教材中,相較於「小數的符號意義」的學習,A、C 版本所安排的表徵轉譯活動次數減少許多,B 版本則不管在轉譯活動的類型或安 排 p.67
表 4-1-5  B 版本「小數的化聚」之表徵轉譯活動範例  表徵轉譯 活動  單階單位化聚  多階單位化聚  符號表徵 轉譯為  具體物操 作  (B-6-24)   (B-6-24)  (B-7-121)  圖像表徵 轉譯為  符號表徵  (B-6-23)  (B-6-25)  具體物操 作轉譯為  符號表徵  (B-7-119)  ×  參參參 參、、 、各版本在、各版本在 各版本在「各版本在「「 「小數與分數轉換 小數與分數轉換」小數與分數轉換小數與分數轉換」」 」方面之表徵轉譯活動安排方面之表徵轉

表 4-1-5

B 版本「小數的化聚」之表徵轉譯活動範例 表徵轉譯 活動 單階單位化聚 多階單位化聚 符號表徵 轉譯為 具體物操 作 (B-6-24) (B-6-24) (B-7-121) 圖像表徵 轉譯為 符號表徵 (B-6-23) (B-6-25) 具體物操 作轉譯為 符號表徵 (B-7-119) × 參參參 參、、 、各版本在、各版本在 各版本在「各版本在「「 「小數與分數轉換 小數與分數轉換」小數與分數轉換小數與分數轉換」」 」方面之表徵轉譯活動安排方面之表徵轉 p.69
表 4-1-7  A、B、C 版本「小數比較大小」表徵形式運用情形  版本  表徵形式  課本範例  A 版本  文字符號表徵 定位板   (A-7-111)  圖像表徵     (B-6-28)  B 版本  定位板  (B-7-118)  積木圖像  定位板  (C-8-55) C 版本  文字符號表徵  (C-8-99)

表 4-1-7

A、B、C 版本「小數比較大小」表徵形式運用情形 版本 表徵形式 課本範例 A 版本 文字符號表徵 定位板 (A-7-111) 圖像表徵 (B-6-28) B 版本 定位板 (B-7-118) 積木圖像 定位板 (C-8-55) C 版本 文字符號表徵 (C-8-99) p.72
表 4-2-1  A、B、C 版本一位小數加、減法初始活動之圖像表徵運用  版本  ㄧ位小數加法  ㄧ位小數減法  A  版  本  (A-6-85)  (A-6-87)  B  版  本  (B-6-29)  ×  C  版  本  (C-6-100)  (C-6-103)  就理解直式算則方面的學習,只有 B 版本安排具體物圖像表徵的呈現來讓學 生理解算則記錄的意義。在一位小數加、減法學習內容中,B 版本先以積木圖像 表徵來呈現文字題之計算結果,而後再將之轉換為直式算則形式。A、C 版本則以 文字來說明

表 4-2-1

A、B、C 版本一位小數加、減法初始活動之圖像表徵運用 版本 ㄧ位小數加法 ㄧ位小數減法 A 版 本 (A-6-85) (A-6-87) B 版 本 (B-6-29) × C 版 本 (C-6-100) (C-6-103) 就理解直式算則方面的學習,只有 B 版本安排具體物圖像表徵的呈現來讓學 生理解算則記錄的意義。在一位小數加、減法學習內容中,B 版本先以積木圖像 表徵來呈現文字題之計算結果,而後再將之轉換為直式算則形式。A、C 版本則以 文字來說明 p.81
表 4-2-3  A、B、C 版本「文字符號表徵的轉譯」之形式  版本  「文字符號表徵的轉譯」之形式  A 版本   (A-8-31)  B 版本   (B-8-24)  C 版本   (C-8-101)     貳貳貳 貳、、 、各版本在、各版本在 各版本在「各版本在「「 「小數的乘法 小數的乘法」小數的乘法小數的乘法」」 」教材之表徵轉譯活動安排教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排   各版本小數的乘法教材內容編排順序,依序為小數的整數倍、整數的小數倍 及小數的小數倍

表 4-2-3

A、B、C 版本「文字符號表徵的轉譯」之形式 版本 「文字符號表徵的轉譯」之形式 A 版本 (A-8-31) B 版本 (B-8-24) C 版本 (C-8-101) 貳貳貳 貳、、 、各版本在、各版本在 各版本在「各版本在「「 「小數的乘法 小數的乘法」小數的乘法小數的乘法」」 」教材之表徵轉譯活動安排教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 各版本小數的乘法教材內容編排順序,依序為小數的整數倍、整數的小數倍 及小數的小數倍 p.84
表 4-2-5  A、B、C 版本「小數的乘法」教材符號表徵轉譯為口語表徵範例(續)  小數的整數倍  (B-8-41)  B 版本  整數的小數倍  (B-11-35)  C 版本  小數的整數倍  (C-8-106)     參參參 參、、、 、各版各版 各版本在各版 本在本在 本在「 「小數的除法「「小數的除法 小數的除法」小數的除法」」 」教材之表徵轉譯活動安排教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 各版本對於「小數的除法」教材的編排順序各不相同,A 版本教材內容依序

表 4-2-5

A、B、C 版本「小數的乘法」教材符號表徵轉譯為口語表徵範例(續) 小數的整數倍 (B-8-41) B 版本 整數的小數倍 (B-11-35) C 版本 小數的整數倍 (C-8-106) 參參參 參、、、 、各版各版 各版本在各版 本在本在 本在「 「小數的除法「「小數的除法 小數的除法」小數的除法」」 」教材之表徵轉譯活動安排教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 教材之表徵轉譯活動安排 各版本對於「小數的除法」教材的編排順序各不相同,A 版本教材內容依序 p.87
表 4-2-6  A、B、C 版本「小數的除法」之解題表徵形式  版本  表徵形式  課本範例  A  版  本  算 式 符 號表徵   (A-8-99)  圖像表徵         (B-8-46)                    (B-8-47) B  版  本  算 式 符 號 表徵  (B-8-48)  C  版  本  算 式 符 號表徵   (C-9-98)     在表徵轉譯活動的安排上,則全部為「文字符號表徵轉譯為算式符號表徵」, 安排將生活情境之布題轉譯為算式符號之解題活動。對於算

表 4-2-6

A、B、C 版本「小數的除法」之解題表徵形式 版本 表徵形式 課本範例 A 版 本 算 式 符 號表徵 (A-8-99) 圖像表徵 (B-8-46) (B-8-47) B 版 本 算 式 符 號 表徵 (B-8-48) C 版 本 算 式 符 號表徵 (C-9-98) 在表徵轉譯活動的安排上,則全部為「文字符號表徵轉譯為算式符號表徵」, 安排將生活情境之布題轉譯為算式符號之解題活動。對於算 p.88

參考文獻

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