I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/18664
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(3) 致謝 首先感謝金明浩教授，在我大學懵懂時期很有耐心的指導我，那時 期對於程式什麼都不懂的我，和現在的研究室同學韓政佑一起找金 明浩老師當專題指導老師，因為那時喜歡打工賺錢而不喜歡學習， 但老師還是一遍遍的教導我們，什麼事情都替我們著想，讓我們沒 有後顧之憂的學習，在大學畢業後，我們就可以靠自己的能力撰寫 軟體和硬體的程式了。 在碩士期間，通過金明浩老師介紹，找了李崇道博士當我碩士指導 老師，經過老師兩年的指導，不只學到了知識，還學到了態度和口 語訓練，而我也很感謝通訊系系助琦茵姐，因為碩二時有寫論文的 壓力，但是在通訊系做工讀認識了小茵姐，而小茵姐也很體諒我， 常常幫助我，不太給我壓力，也成為了無話不談的好朋友，喜歡聽 音樂的我也喜歡小茵姐所寫的曲子，而在寫程式時，偶爾會遇到一 些程式上的問題，常常會找研究室的同學陳芳萩討論，共同解決問 題，在這裡也很感謝在我身邊陪伴的每個人。.
(4) 運用在資通訊的完美高斯整數序列 1. 劉宗明. 李崇道. 2. 陳延華. 3. 義守大學資訊工程研究所. 摘要 一個複數由實部和虛部組成，當實部與虛部為整數時，此複數被稱為高斯整數。 一個週期長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1 的高斯整數序列，如果擁有理想的自相關特性，則 被稱為完美高斯整數序列(Perfect Gaussian Integer Sequence, PGIS)；本研究目的是 在建構完美高斯整數序列，利用有限體 Trace 表達二元序列，例如 m-序列、 Legendre 序列、 六次剩餘序列(Hall’s sextic residue sequence)、Gordon-MillsWelch(GMW)、三項序列、五項序列、Welch-Gong，也利用排序方法產生的二元 序列，例如 Segre hyperoval、Glynn type 1 hyperoval D(𝒙𝒌 ) 和 Glynn type 2 hyperoval D(𝒙𝟑𝝈+𝟒 ) ，建構出奇數長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1的完美高斯整數序列。. 關鍵字：完美高斯整數序列、二元序列、自相關特性。 _________________________ 1.作者 2.指導教授 3.共同指導教授 I.
(5) Perfect Gaussian Integer Sequences With Applications to Communication Systems Zong-Ming Liu. Chong-Dao Lee. Yan-Haw Chen. Department of Information Engineer, I-Shou University. Abstract It is well known that Gaussian integers are the complex numbers whose real and imaginary parts are both integers. There are very few studies focused on sequence design over Gaussian integers. Recent researches on the periods (lengths) of perfect Gaussian integer sequences are even numbers, prime numbers and twin-prime numbers. The aim of this research is to investigate the perfect Gaussian integer sequences of odd period 𝑛 = 2𝑚 − 1, where 𝑚 is a positive integer. For these periods, some perfect Gaussian integer sequences are presented by the different binary sequences, such as m-sequences, Legendre sequences, Hall’s sextic residue sequences, Gordon-Mills-Welch (GMW) sequences, three-term sequences, five-term sequences, Welch-Gong sequences, Segre hyperoval sequences, Glynn type 1 hyperoval sequences as well as Glynn type 2 hyperoval sequences. The binary sequences mentioned above can also be expressed as the sum of trace representations over the finite field 𝔽2𝑚 . One of the significant advantages for these obtained perfect Gaussian integer sequences is high energy efficiency with value close to one when 𝑛 is a very large period. II.
(6) 目錄 致謝. 摘要…......................................................................................................... I ABSTRACT ..............................................................................................II 緒論…......................................................................................................... 1 (一)前言 ............................................................................................................................................. 1 (二)研究動機與目的 ......................................................................................................................... 1. 貳、序列的數學背景 ................................................................................ 3 (一)完美高斯整數序列 ..................................................................................................................... 3 (二)TRACE .......................................................................................................................................... 4 (三)本元多項式 ................................................................................................................................. 4 (四)分圓陪集(CYCLOTOMIC COSET).................................................................................................. 4. 參、二元序列的種類 ................................................................................ 6 (一) 𝒎 -序列 ..................................................................................................................................... 6 (二)LEGENDRE 序列............................................................................................................................... 8 (三)六次剩餘序列 ............................................................................................................................. 9 (四)GMW 序列 .................................................................................................................................... 10 (五)三項序列 ................................................................................................................................... 11. III.
(7) (六)五項序列 ................................................................................................................................... 15 (七)WELCH-GONG 序列......................................................................................................................... 19 (八) SEGRE HYPEROVAL D(𝒙𝟔 ) 序列 .................................................................................................... 21 (九) GLYNN TYPE 1 HYPEROVAL D(𝒙𝒌 ) 序列 ......................................................................................... 21 (十) GLYNN TYPE 2 HYPEROVAL D(𝒙𝟑𝝈+𝟒 ) 序列 ................................................................................... 23. 肆、應用二元序列產生的完美高斯整數序列 ...................................... 25 (一) 採用 𝒎 –序列所建構的的完美高斯整數序列...................................................................... 25 (二) 採用 LEGENDRE 序列所建構的的完美高斯整數序列 ................................................................ 26 (三) 採用六次剩餘序列所建構的的完美高斯整數序列................................................................ 26 (四) 採用 GMW 序列所建構的的完美高斯整數序列 ....................................................................... 27 (五) 採用三項序列所建構的的完美高斯整數序列........................................................................ 28 (六) 採用五項序列所建構的的完美高斯整數序列........................................................................ 29 (七) 採用 WG 序列所建構的的完美高斯整數序列.......................................................................... 30 (八) 採用 SEGRE HYPEROVAL D(𝒙𝟔 ) 序列所建構的的完美高斯整數序列 ........................................ 31 (九) 採用 GLYNN TYPE 1 HYPEROVAL 序列所建構的的完美高斯整數序列 ........................................ 32 (十) 採用 GLYNN TYPE 2 HYPEROVAL 序列所建構的的完美高斯整數序列 ........................................ 33. 伍、研究分析與成果 .............................................................................. 34. 參考文獻................................................................................................... 37. 附錄…....................................................................................................... 39. IV.
(8) 圖目錄 圖 1. 週期 7 的 m-序列元素產生線路流程圖 ........................................ 7 圖 2. 週期 31 的三項序列元素產生線路流程圖.................................... 14 圖 3. 週期 127 的五項序列元素產生線路流程圖.................................. 18 圖 4. Weleh-Gong 生成器的構造流程圖................................................ 20 圖 5. 序列比較圖...................................................................................... 24. V.
(9) 緒論 (一)前言 現在科技技術非常發達，而人與人遠距離的聯絡方式脫離不了即時通 訊和網路，然而在某些時間地點正值人群巔峰的時候，訊號就無法在 同一時間供給大量的訊號給相對應的人數使用，然後就會發生訊號相 互干擾的情形，如果遇到緊急事件而無法即時與對方取得聯繫，造成 一個相當大的困擾，當一個用戶佔用同一組訊號的時間過長，就難以 供給給下一個人使用，而一個基地台如果能同時提供的訊號數量越來 越多的時候，就能有效的避免訊號互相干擾的情形；如果用戶佔用此 訊號的時間太長，所消耗的能源也會隨之增加，所以用戶當然也希望 訊號所需的能源越低越好，這樣可以增加他們所能使用的時間，而這 些就是現在科技所面臨的一些問題。. (二)研究動機與目的 時間離散序列如果具有理想週期性的自相關函數，被廣泛採納在多種 的應用上面，例如頻道計算、直流同步、降低峰平均功耗(PAPR) [1] 和區域搜索。現在有許多峰平均功耗的相關研究，在其中中山大學李 志鵬教授等人提出正交分頻多工(OFDM)系統的改良[2]，將傳統正 交 分 頻 多 工 的 前 置 編 碼 G 矩 陣 和 逆 傅 立 葉 轉 換 改 良 為 Walsh1.
(10) Hadamard 轉換(WHT)和離散不連續的傅立葉轉換(DFT)，有效降低 峰平均功耗 [3]，利用兩個或多個高斯整數 [4]套用在二元序列上， 使得此序列有週期性自相關係數的反相，稱為完美高斯整數序列，在 2012 年有學者發表建造的任何質數週期和偶數週期的高斯整數序列 建構方法 [5][3]，接著在 2013 年有學者發表雙質數週期的高斯整數 序列建構方法 [6]，而在 2012 年前，也有眾多學者發展出不同的序 列建構方式，所以本研究的目的是建構出 𝑛 = 2𝑚 − 1 奇數長度完美 高斯整數序列 [1][7]-[10]，產生出多組二元序列，再使用文獻[1] 或本文第肆章所提到的高斯整數計算公式來獲得兩個高斯整數使它 成為一組完美高斯整數序列並得到高的能源效益。. 2.
(11) 貳、序列的數學背景 (一)完美高斯整數序列 高斯整數是形如𝑎 + 𝑏𝑖的複數，其中𝑎, 𝑏為整數，𝑖 = √−1為虛部單 位.如果採用集合形式表示，高斯整數是如下的集合 {𝑎 + 𝑏𝑖| 𝑎, 𝑏 ∈ 𝕫, 𝑖 2 = −1} 高斯整數是一個複數，複數的實部和虛部都為整數，如果一個序列 s = {s(0), s(1), … , s(𝑛 − 1)}要被稱為完美高斯整數序列，需要滿足 一個有週期性自相關係數的反相，它的值都為 0 ，根據文獻 [5]， 也就是下列公式: 𝑛−1. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑅𝑆 (𝜏) = ∑ 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏) ,. 0 ≤ 𝜏 < 𝑛,. 𝑡=0. 𝐸, ={ 0,. for 𝜏 = 0 for 𝜏 = 1,2, … , 𝑛 − 1,. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 其中𝑠(𝑡 + 𝜏)是複數𝑠(𝑡 + 𝜏)的共軛複數。 範例 1：一個長度為 7 的高斯整數序列 s = {s(0), s(1), s(2), s(3), s(4), s(5), s(6)} = {−1 − 𝑖, 2𝑖, 2𝑖, −1 − 𝑖, 2𝑖, −1 − 𝑖, −1 − 𝑖}, 具有𝑅𝑠 (0) = 22 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (6) = 0，因此序列 s 是 一個完美高斯整數序列。. 3.
(12) (二)Trace 數字 𝑚 是一個正整數，利用一個 𝑚 次方本元多項式 𝑓(𝑥) 建立 𝑚 −2. 一個有限體 𝔽2𝑚 = {0,1, 𝛼, 𝛼 2 , … , 𝛼 2. }。. 定義 1：根據文獻 [7][9]，令數字 𝑘 整除 𝑚，一個 trace 函數， 符號記為 𝑇𝑟𝑘𝑚 (∙)，可以表示成： 𝑚 −1 𝑘 𝑘𝑖. Tr𝑘𝑚 (𝑥) = ∑ 𝑥 2 , 𝑖=0. 其中 𝑥 屬於有限體 𝔽2𝑚 的一個元素。任何 𝑥 使得 𝑇𝑟𝑘𝑚 (𝑥)屬於{0,1}。. (三)本元多項式 舉例 𝑚 = 3 時，𝑥 3 + 𝑥 + 1 和 𝑥 3 + 𝑥 2 + 1 可稱為 𝑚 = 3 的本元 多項式(primitive polynomial)。這兩個多項式可轉換成數字值如下： 𝑥 3 = −x − 1 = 𝑥 + 1 = 21 + 1 = 3. 和. 𝑥 3 = −𝑥 2 − 1 = 𝑥 2 + 1 =. 22 + 1 = 5。為了建構長度 2𝑚 − 1 之二元 𝑚-序列，在本論文附錄 的 𝑚 = 3 表格第一行中，寫成 𝑚-序列(3)。. (四)分圓陪集(cyclotomic coset) 當 n = 2𝑚 − 1 時，在有限體域裡可以將 {0,1,2, … , 𝑛 − 1} 拆分成 多個集合，公式如下： 4.
(13) 𝐶𝑖 = {𝑖 ∗ 2𝑗 | 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1},. 範例 2：在 𝑚 = 4 的集合裡，集合為 {0,1,2, … ,14}，可分為下面 5 個 子集合， 𝐶0 = {0}, 𝐶1 = {1,2,4,8}, 𝐶3 = {3,6,9,12}, 𝐶5 = {5,10}, 𝐶7 = {7,11,13,14}, 在附錄. 𝑚=4. 表格第一行的. 𝑚 - 序 列 (3). 中，序列. {0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1}，利用分圓陪集當代表，可以將此序列寫 成 (𝐶0 , 𝐶1 , 𝐶3 , 𝐶5 , 𝐶7 ) = (0,0,1,0,1)。. 因此，利用 trace 函數可以造出一個長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1的二元序列， 目前已知的二元序列有 𝑚 -序列、Legendre 序列、 六次剩餘序列、 GMW、三項序列、五項序列、Welch-Gong、Segre hyperoval 序列、 Glynn type 1 hyperoval D(𝒙𝒌 ) 序列和 Glynn type 2 hyperoval D(𝒙𝟑𝝈+𝟒 )序列，詳細內容請參見文獻[8]或本文第參章。. 5.
(14) 參、二元序列的種類 本章研究只探討長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1的二元序列，在此提出十種已知 的二元序列，其建構方式分為兩類，一類由有限體 Trace 運算產生前 六種二元序列(m-序列、Legendre 序列、 六次剩餘序列、GMW、三項 序列和五項序列)，一類由排序方法造出後四種二元序列(Welch-Gong、 Segre hyperoval 序列、Glynn type 1 hyperoval D(𝒙𝒌 )序列和 Glynn type 2 hyperoval D(𝒙𝟑𝝈+𝟒 )序列)。. (一) 𝒎 -序列 根據文獻 [1][7]，下列為 𝑚 -序列 ℳ = {ℳ(0), ℳ(1), … , ℳ(𝑛 − 1)}表示： ℳ(𝑡) = Tr𝑘𝑚 (𝛼 𝑡 ), 𝑡 = 0,1, … , 𝑛 − 1.. 範例 3：在長度 23 − 1 = 7中，令本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1， ℳ(𝑡) = 𝑇𝑟13 (𝛼 𝑡 ). 此二元序列所得出的結果 ℳ = {ℳ(0), ℳ(1), … , ℳ(6)} = {1,0,0,1,0,1,1}。. 6.
(15) 將 𝒹𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑡 ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2，再採用本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1 設計遞迴計算 𝒹𝑡+3 = 𝒹𝑡+1 + 𝒹𝑡 ，並可使用上列公式設計圖 1 之線 路圖，線路圖所輸出的 ℳ(𝑡) 與上面範例相同。. 圖 1. 週期 7 的 𝑚-序列元素產生線路流程圖. 7.
(16) (二)Legendre 序列 在長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1，整數 𝑢 使得 {𝑢0 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛−2 } = {1,2, … , 𝑛 − 1} = 𝕫𝑛 \{0}，有限體 𝔽2𝑚 用一個 𝑚次方本元多項式 𝑓(𝑥)產生，元素 𝛼 ∈ 𝔽2𝑚 使得 ⌊. 𝑛−1 ⌋−1 2𝑚 2𝑖. ∑ 𝑇𝑟1𝑚 (𝛼 𝑢 ) = 0, 𝑖=0. 根據文獻 [1]，下列為 Legendre 序列 ℒ = {ℒ(0), ℒ(1), … , ℒ(𝑛 − 1)} 表示： ⌊. ℒ(𝑡) =. 𝑛−1 ⌋−1 2𝑚 2𝑖. ∑ 𝑇𝑟1𝑚 (𝛼 𝑢 𝑡 ) , 𝑡 = 0,1, … , 𝑛 − 1 𝑖=0. 範例 4：在長度 23 − 1 = 7中，令 𝑢 = 3，本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1， 7−1 ⌊ ⌋−1 6 2𝑖. ∑ 𝑇𝑟13 (𝛼 3 𝑡 ). ℒ(𝑡) =. 𝑖=0 0 2𝑖. = ∑ 𝑇𝑟13 (𝛼 3 𝑡 ) 𝑖=0. = 𝑇𝑟13 (𝛼 𝑡 ). 此二元序列所得出的結果 ℒ = {ℒ(0), ℒ(1), … , ℒ(6)} = {1,0,0,1,0,1,1}。 8.
(17) (三)六次剩餘序列 在長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1，整數 𝑢 使得 {𝑢0 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛−2 } = {1,2, … , 𝑛 − 1} = 𝕫𝑛 \{0}，有限體 𝔽2𝑚 用一個 𝑚次方本元多項式 𝑓(𝑥)產生，元素 𝛼 ∈ 𝔽2𝑚 使得. 𝑛−1 ⌊ ⌋−1 6𝑚 6𝑖. ∑ 𝑇𝑟1𝑚 (𝛼 𝑢 ) = 0, 𝑖=0. 根據文獻 [1]，六次剩餘序列只有在 𝑚 = 5,7,17 的時候才擁有二元 序列，下列為六次剩餘序列ℋ = {ℋ(0), ℋ(1), … , ℋ(𝑛 − 1)}表示： 𝑛−1 ⌊ ⌋−1 6𝑚 6𝑖. ∑ 𝑇𝑟1𝑚 (𝛼 𝑢 𝑡 ) .. ℋ(𝑡) =. 𝑖=0. 範例 5：在長度 25 − 1 = 31中，令 𝑢 = 3，本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥2 + 1 31−1 ⌊ ⌋−1 30. ℋ(𝑡) =. ∑. 6𝑖. 𝑇𝑟15 (𝛼 3 𝑡 ). 𝑖=0 0 6𝑖. = ∑ 𝑇𝑟15 (𝛼 3 𝑡 ) 𝑖=0. = 𝑇𝑟15 (𝛼 𝑡 ). 9.
(18) 此二元序列所得出的結果 ℋ = {ℋ(0), ℋ(1), … , ℋ(30)} = {1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0}。. (四)GMW 序列 在長度為 𝑛 = 2𝑚 − 1，𝜇 為𝑚 的因素，𝑣和 2𝜇 − 1互質，有限體 𝔽2𝑚 用一個 𝑚次方本元多項式 𝑓(𝑥)產生，元素 𝛼 ∈ 𝔽2𝑚 ，下列為. GMW 序列表示： 𝜇. 𝒢(𝑡) = 𝑇𝑟1 ((𝑇𝑟𝜇𝑚 (𝛼 𝑡 ))𝑣 ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛 − 1, 1 ≤ 𝑣 < 2𝜇 − 1. 範例 6：在長度為 26 − 1 = 63，令 𝜇 = 3，𝑣 = 3，本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥 6 + 𝑥 + 1 𝒢(𝑡) = 𝑇𝑟13 (𝑇𝑟36 (𝛼 𝑡 )3 ) 3. = 𝑇𝑟13 ((𝛼 𝑡 + 𝛼 2 𝑡 )3 ) = 𝑇𝑟13 (𝛼 3𝑡 + 𝛼 17𝑡 + 𝛼 10𝑡 + 𝛼 24𝑡 ) = 𝑇𝑟13 (𝑇𝑟36 (𝛼 3𝑡 + 𝛼 5𝑡 )) = 𝑇𝑟16 (𝛼 3𝑡 + 𝛼 5𝑡 ) 此二元序列所得出的結果 𝒢 = {𝒢(0), 𝒢(1), … , 𝒢(62)} = {0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1, 1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0}。. 10.
(19) (五)三項序列 在奇數 𝑚 = 2𝑑 + 1 ≥ 5和 𝑛 = 2𝑚 − 1的條件下，有限體 𝔽2𝑚 用 一個 𝑚次方本元多項式 𝑓(𝑥)產生，元素 𝛼 ∈ 𝔽2𝑚 ，三項序列 𝒯 = {𝒯(0), 𝒯(1), … , 𝒯(𝑛 − 1)} 可由下列得出 𝒯(𝑡) = 𝑇𝑟(𝛼 𝑡 ) + 𝑇𝑟(𝛼 𝑞1𝑡 ) + 𝑇𝑟(𝛼 𝑞2𝑡 ), 𝑡 = 0,1, … , 𝑛 − 1.. 當 α 是 𝔽2𝑚 的元素和 𝑞1 = 2𝑑 + 1, 𝑞2 = 2𝑑 + 2𝑑−1 + 1。此二元 序列具有二階層自相關(two-level autocorrelation)[5]。 根據文獻 [10]，下列六個步驟為 Guang Gong 所提出的三項序列建 構方法：. 步驟1 選擇一個奇數 𝑚，且𝑚 = 2𝑑 + 1 ≥ 5 步驟2 計算 𝑞1 = 2𝑑 + 1, 𝑞2 = 2𝑑 + 2𝑑−1 + 1 步驟3 計算下列分別為 𝛼 1 、𝛼 𝑞1𝑡 、𝛼 𝑞2𝑡 的最小多項式(minimal polynomial) 𝑡 𝑓0 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑𝑚−1 𝑡=0 𝑐𝑡 𝑥 𝑡 { 𝑓1 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑𝑚−1 𝑡=0 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑𝑚−1 𝑡=0 𝑒𝑡 𝑥 ,. 𝒹𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑡 ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚 − 1 步驟4 { ℯ𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑞1𝑡 ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚 − 1 𝒻𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑞2𝑡 ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚 − 1,. 11.
(20) 𝑚−1 𝒹𝑚+𝑗 = ∑𝑡=0 𝑐𝑡 𝒹𝑡+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚 𝑚−1 𝑐𝑡 ℯ𝑡+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚 步驟5 { ℯ𝑚+𝑗 = ∑𝑡=0 𝑚−1 𝒻𝑚+𝑗 = ∑𝑡=0 𝑐𝑡 𝒻𝑡+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚,. 步驟6 𝒯(𝑡) = 𝒹𝑡 + ℯ𝑡 + 𝒻𝑡 , 𝑡 = 0,1, … , 𝑛 − 1. 範例 7：令 𝑚 = 5 則 𝑑 = 2 ，為了得到長度 31 的三項序列，根據上 面定義，我們獲得下列參數數據：. 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 1。 𝑞1 = 1 + 22 = 5 𝑞2 = 1 + 2 + 22 = 7 𝑓0 (𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 3 + 1, 𝑓1 (𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 + 1, 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 1, 𝒹𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼), 𝑆0 = (1,0,0,0,0), 𝒹5+𝑡 = 𝒹3+𝑡 +𝒹𝑡 ℯ𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 5 ), 𝑇0 = (1,1,1,0,1), ℯ5+𝑡 = ℯ4+𝑡 + ℯ3+𝑡 + ℯ1+𝑡 + ℯ𝑡 𝒻𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 7 ), 𝑈0 = (1,1,1,1,1), 𝒻5+𝑡 = 𝒻4+𝑡 + 𝒻3+𝑡 + 𝒻2+𝑡 + 𝒻𝑡. 12.
(21) 下列表格為範例 7 的𝒹, ℯ, 𝒻, 𝒯的元素 t. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19. 𝒹𝑡. 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. ℯ𝑡. 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 𝒻𝑡. 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 𝒹𝑡 ⨁ℯ𝑡 ⨁𝒻𝑡 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. = 𝒯(𝑡). t. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30. 𝒹𝑡. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. ℯ𝑡. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 𝒻𝑡. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 𝒹𝑡 ⨁ℯ𝑡 ⨁𝒻𝑡 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. = 𝒯(𝑡). 根據上面步驟的公式可繪製出圖 2 之線路流程圖。. 13.
(22) 圖 2. 週期 31 的三項序列元素產生線路流程圖. 14.
(23) (六)五項序列 當 𝑚 ≢ 0 mod 3，有兩種情形，則 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 的值如下表： 𝑞1 = 2𝑘 + 1 𝑚+1 k= 3. 𝑞2 = 22𝑘−1 + 2𝑘−1 + 1 𝑞3 = 22𝑘−1 − 2𝑘−1 + 1 𝑞4 = 22𝑘−1 + 2𝑘 − 1 𝑞1 = 2𝑘−1 + 1. 𝑚+2 k= 3. 𝑞2 = 22𝑘−2 + 2𝑘−1 + 1 𝑞3 = 22𝑘−2 − 2𝑘−1 + 1 𝑞4 = 22𝑘−1 − 2𝑘−1 + 1. 根據文獻 [10]，下列六個步驟為 Guang Gong 所提出的五項序列建 構方法： 步驟1 選擇一個正整數 𝑚，且 𝑚 ≢ 0 mod 3 步驟2 計算 𝑘, 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 , 步驟3 計算下列分別為 𝛼 1 、𝛼 𝑞1𝑡 、𝛼 𝑞2𝑡 的最小多項式(minimal polynomial). 15.
(24) 𝑚−1. 𝑓0 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑. 𝑐𝑖 𝑥 𝑖. 𝑓1 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑. 𝑑𝑖 𝑥 𝑖. 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑. 𝑒𝑖 𝑥 𝑖. 𝑓3 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑. 𝑓𝑖 𝑥 𝑖. 𝑖=0 𝑚−1. 𝑖=0 𝑚−1. 𝑖=0 𝑚−1. 𝑖=0 𝑚−1. 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑚 + ∑ 𝑔𝑖 𝑥 𝑖 , {4 𝑖=0 𝒹𝑖 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑖 ), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1 ℯ𝑖 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑞1𝑖 ), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1 步驟4. 𝒻𝑖 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑞2𝑖 ), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1 ℊ𝑖 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑞3𝑖 ), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1 {𝒽𝑖 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑞4𝑖 ), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1, 𝑚−1 𝒹𝑚+𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 𝒹𝑖+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚 𝑚−1 ℯ𝑚+𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 ℯ𝑖+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚. 步驟5. 𝑚−1 𝒻𝑚+𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 𝒻𝑖+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚 𝑚−1 ℊ𝑚+𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 ℊ𝑖+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚 𝑚−1 {𝒽𝑚+𝑗 = ∑𝑖=0 𝑐𝑖 𝒽𝑖+𝑗 , 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 − 𝑚,. 步驟6 ℱ(𝑡) = 𝒹𝑡 + ℯ𝑡 + 𝒻𝑡 + ℊ𝑡 + 𝒽𝑡 , 𝑡 = 0,1, … , 𝑛 − 1.. 範例 8：根據五項建構方法， 步驟1 𝑚 = 7 步驟2 𝑘 = 3, 𝑞1 = 5, 𝑞2 = 21, 𝑞3 = 13, 𝑞4 = 29 步驟3 𝑓0 (𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 + 1, 𝑓1 (𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1, 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 6 + 𝑥 3 + 𝑥 + 1, 𝑓3 (𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 6 + 𝑥 5 + 𝑥 2 + 1, 16.
(25) 𝑓4 (𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 4 + 1, 步驟4 𝒹𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 𝑖 ), 𝑆0 = (1,0,0,0,0,0,0), ℯ𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 5𝑖 ), 𝑇0 = (1,0,0,0,0,1,0), 𝒻𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 21𝑖 ), 𝑈0 = (1,1,1,1,1,0,1), ℊ𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼13𝑖 ), 𝑇0 = (1,1,1,0,1,0,0), 𝒽𝑡 = 𝑇𝑟(𝛼 29𝑖 ), 𝑈0 = (1,0,0,1,0,0,1), 步驟5 𝒹7+𝑡 = 𝒹1+𝑡 +𝒹𝑡 , ℯ7+𝑡 = ℯ3+𝑡 + ℯ2+𝑡 + ℯ1+𝑡 + ℯ𝑡 , 𝒻7+𝑡 = 𝒻6+𝑡 + 𝒻3+𝑡 + 𝒻1+𝑡 + 𝒻𝑡 , ℊ7+𝑡 = ℊ6+𝑡 + ℊ5+𝑡 + ℊ2+𝑡 + ℊ𝑡 , 𝒽7+𝑡 = 𝒽4+𝑡 + 𝒽𝑡 , 步驟6 ℱ(𝑡) = 𝒹𝑡 + ℯ𝑡 + 𝒻𝑡 + ℊ𝑡 + 𝒽𝑡 , 𝑡 = 0,1, … , 𝑛 − 1, ℱ={ 1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,1,0,1,0, 1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1 ,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0, 0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,1,0 ,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1}. 根據上面步驟的公式可繪製出圖 3 之線路流程圖。. 17.
(26) 圖 3. 週期 127 的五項序列元素產生線路流程圖. 18.
(27) (七)Welch-Gong 序列 有限體 𝔽2𝑚 用一個 𝑚 次方本元多項式 𝑓(𝑥) 產生，元素 𝛼 ∈ 𝔽2𝑚 ， Weleh-Gong 提 出 另 一 種 公 式 轉 換 獲 得 新 的 二 元 序 列 𝒲 = {𝒲(0), 𝒲(1), … , 𝒲(n − 1)}，定義如下： 𝒲(x) = Tr(𝑡(𝑥 + 1) + 1), 𝑥 ∈ 𝔽2𝑚 , 其中的 𝑡(x) = 𝑥 + 𝑥 𝑞1 + 𝑥 𝑞2 + 𝑥 𝑞3 + 𝑥 𝑞4 .其中 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , 𝑞4 的值參考第 15 頁。 五項序列{ℱ(0), ℱ(1), … , ℱ(n − 1)}與 Welch-Gong 的關係如下： 𝒲(0) = ℱ(0), 𝒲(𝑖) = ℱ(𝜏(𝑖)), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1. 其中的 𝜏(𝑖)計算如下： 𝛼 𝜏(𝑖) = 𝛼 𝑖 + 1, 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛 − 1. 範例 9： 根據範例 8 五項序列的結果與上面的關係，我們可以計算出 𝒲 = {1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1 ,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1 ,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1 ,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1 ,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1}. 19.
(28) 圖 4. Weleh-Gong 生成器的構造流程圖. 20.
(29) (八) Segre hyperoval D(𝒙𝟔 ) 序列 當奇數. 𝑛 ≥ 5 ， Segre 利 用 下 列 方 式 獲 得 二 元 序 列 𝒮 =. {𝒮(0), 𝒮(1), … , 𝒮(n − 1)}，第 t 個元素定義為 𝒮(𝑡) = {. 0, 𝑡 ∈ ℛ\{0} 1, 其他. 其中 ℛ = {𝑟|𝛼 𝑡 + 𝛼 6𝑡 = 𝛼 𝑟 , 𝑡 = 1,2, … , 𝑛 − 1}.. 範例 10：在長度 31 的條件下，令本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 1 造出一個有限體𝔽25 ，則依照上面公式依序算出 ℛ ={4,8,25,16,9,19,1,1,10,18,20,7,18,2,14,2,28,20,16,5,10,9 ,7,14,8,5,19,4,25,28} 將 ℛ 裡面的元素視為位置置入 0，其它位置放置 1。 所以 𝒮(𝑡) = {1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1}。. (九) Glynn type 1 hyperoval D(𝒙𝒌 ) 序列 當奇數 𝑚 ≥ 5， Glynn 利用下列方式獲得長度 𝑛 = 2𝑚 − 1的二元序 列 𝐺1 = {𝐺1 (0), 𝐺1 (1), … , 𝐺1 (n − 1)}，第 𝑡 個元素定義為. 21.
(30) 𝐺1 (𝑡) = {. 0, 𝑡 ∈ ℛ1 \{0} 1, 其他. 其中 ℛ1 = {𝑟|𝛼 𝑡 + 𝛼 𝑘𝑡 = 𝛼 𝑟 , 𝑡 = 1,2, … , 𝑛 − 1}. 而數字 𝑘 = σ + γ，定義如下：. σ=2 2. (𝑚+1) 2 ,. (3𝑚+1) 4 , if. m ≡ 1 (mod 4) γ = { (𝑚+1) 2 4 , if m ≡ 3 (mod 4).. 範例 11：在長度 31 的條件下，令本元多項式 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 2 + 1造 出一個有限體𝔽25 ，則依照上面公式依序算出 ℛ1 ={17,3,9,6,18,18,25,12,20,5,7,5,28,19,3,24,20,9,28,10,19 ,14,17,10,14,25,24,7,12,6}， 將 ℛ1 裡面的元素視為位置置入 0，其它位置放置 1。 所以 𝐺1 (𝑡) = {1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1}。. 22.
(31) (十) Glynn type 2 hyperoval D(𝒙𝟑𝝈+𝟒 ) 序列 當奇數 𝑚 ≥ 5， Glynn 利用下列方式獲得長度 𝑛 = 2𝑚 − 1的二元序 列 𝐺2 = {𝐺2 (0), 𝐺2 (1), … , 𝐺2 (n − 1)}，第 𝑡 個元素定義為 𝐺2 (𝑡) = {. 0, 𝑡 ∈ ℛ2 \{0} 1, 其他. 其中 ℛ2 = {𝑟|𝛼 𝑡 + 𝛼 𝑘𝑡 = 𝛼 𝑟 , 𝑡 = 1,2, … , 𝑛 − 1}. 而數字 𝑘 = 3𝜎 + 4，定義如下： σ=2. (𝑚+1) 2 .. 範例 12：在長度 31 的條件下，令本元多項式𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 2 + 1造出 一個有限體𝔽25 ，則依照上面公式依序算出 ℛ2 ={7,14,14,28,24,28,5,25,6,17,12,25,17,10,20,19,7,12,18,3 ,6,24,10,19,9,3,5,20,18,9}， 將 ℛ2 裡面的元素視為位置置入 0，其它位置放置 1。 所以 𝐺2 (𝑡) = {1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1}。. 23.
(32) 將上面十種建構序列的方式依性質整理出如圖 5 的比較圖， 𝑚-序列、Legendre 序列和六次剩餘序列的差別在於係數的 不同，將 𝑚-序列拆分成多個可以形成 GMW 序列，把 𝑚序列分成多項可以寫成三項序列和五項序列，利用五項序列 和 WG 序列的關係式可以將五項序列重新排列變成 WG 序 列，因為前面提到了排列，所以我們找到 Segre 序列、G1 序 列和 G2 序列。. 圖 5. 序列比較圖. 24.
(33) 肆、應用二元序列產生的完美高斯整數序列 本研究利用第貳章產生的二元序列當作兩個高斯整數的編排順序， 而兩個高斯整數必須滿足下面定理： 定理 1：針對 𝑚 ≥ 3，令兩個高斯整數為 𝑐0 = 𝑎0 + 𝑏0 𝑖和 𝑐1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖，整數𝑎0 、𝑏0 、𝑎1 和 𝑏1 必須滿足下列公式： (2𝑚−2 − 1)(𝑎02 + 𝑏02 ) + 2𝑚−2 (𝑎12 + 𝑏12 )+2𝑚−1 (a0 a1 + b0 b1 )=0. 範例 13： 當 𝑚 = 3時，𝑐0 = 2𝑖，𝑐1 = −1 − 𝑖。 當 𝑚 = 4時，𝑐0 = 2𝑖，𝑐1 = −1 − 2𝑖。 當 𝑚 = 5時，𝑐0 = 4𝑖，𝑐1 = −1 − 3𝑖。 當 𝑚 = 6時，𝑐0 = 4𝑖，𝑐1 = −1 − 4𝑖。 當 𝑚 = 7時，𝑐0 = 8𝑖，𝑐1 = −1 − 7𝑖。. (一). 採用 𝒎 –序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 3 得知長度 7 的二元序列 ℳ = {1,0,0,1,0,1,1}，根據 ℳ 序列 0 和 1 的排序方式， 本 研 究 尋 找 到 的 高 斯 整 數 序 列 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 } = {−1 − 𝑖, 2𝑖, 2𝑖, −1 − 𝑖, 2𝑖, −1 − 𝑖, −1 − 𝑖}，具 有𝑅𝑠 (0) = 22 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (6) =0，因此序列 s 是一個 完美高斯整數序列。 25.
(34) (二). 採用 Legendre 序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 4 得知長度 7 的二元序列 ℒ = {1,0,0,1,0,1,1}，根據 ℒ 序列 0 和 1 的排序方式， 本 研 究 尋 找 到 的 高 斯 整 數 序 列 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 } = {2𝑖, 1 + 1𝑖, 1 + 1𝑖, 2𝑖, 1 + 1𝑖, 2𝑖, 2𝑖} ， 具 有 𝑅𝑠 (0) = 22 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (6) =0，因此序列 s 是一個完 美高斯整數序列。. (三). 採用六次剩餘序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 5 得知長度 31 的二元序列 ℋ ={1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1, 0,0,0,0}。 根據 ℋ 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數序列 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 } = {−1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 具有𝑅𝑠 (0) = 400 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。. 26.
(35) (四). 採用 GMW 序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 6 得知長度 63 的二元序列 𝒢 = (0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1,0, 1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0)， 根據 𝒢 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數序列 𝑠 = (𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 ) = (4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖),. 具有𝑅𝑠 (0) = 1040 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (62) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。 27.
(36) (五). 採用三項序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 7 得知長度 31 的二元序列 𝒯 ={1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1, 1,0,1,1}, 根據 𝒯 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數序列 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 } = {−1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖},. 具有𝑅𝑠 (0) = 400 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。. 28.
(37) (六). 採用五項序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 8 得知長度 127 的二元序列 ℱ={ 1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,1,0,1,0, 1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1 ,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0, 0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,1,0 ,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1}. 根據 ℱ 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數序列 𝑠 = {𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 , 29.
(38) 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 }, 在 𝑐0 = 8𝑖，𝑐1 = −1 − 7𝑖，具有𝑅𝑠 (0) = 7232 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。. (七). 採用 WG 序列所建構的的完美高斯整數序列. 從範例 9 得知長度 127 的二元序列 𝒲 = {1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1 ,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1 ,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1 ,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1 ,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1}. 根據 𝒲 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數序列 𝑠 = {𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 , 30.
(39) 𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 , 𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐0 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 , 𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 ,𝑐1 }, 在 𝑐0 = 8𝑖，𝑐1 = −1 − 8𝑖，具有𝑅𝑠 (0) = 8192 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。 (八) 採用 Segre hyperoval D(𝒙𝟔 ) 序列所建構的的完美高斯整數 序列 從範例 10 得知長度 31 的二元序列 𝒮 = {1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1}， 根據 𝒮 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 } =(−1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 31.
(40) 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖),. 具有𝑅𝑠 (0) = 400 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。. (九) 採用 Glynn type 1 hyperoval 序列所建構的的完美高斯整數. 序列 從範例 10 得知長度 31 的二元序列 𝐺1 (𝑡) = {1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1}, 根據 𝐺1 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 } =(−1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖), 32.
(41) 具有𝑅𝑠 (0) = 400 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。 (十) 採用 Glynn type 2 hyperoval 序列所建構的的完美高斯整數. 序列 從範例 10 得知長度 31 的二元序列 𝐺2 (𝑡) = {1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1}, 根據 𝐺2 序列 0 和 1 的排序方式，本研究尋找到的高斯整數 𝑠 = {𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐1 } =(−1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, 4𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖, 4𝑖, −1 − 3𝑖, −1 − 3𝑖),. 具有𝑅𝑠 (0) = 400 和𝑅𝑠 (1) = 𝑅𝑠 (2) = ⋯ = 𝑅𝑠 (30) =0，因此序列 s 是一個完美高斯整數序列。. 33.
(42) 伍、研究分析與成果 建造的完美高斯整數序列方法有任何質數週期、雙質數週期或偶數週 期，而本研究的目的是建構 𝑛 = 2𝑚 − 1 完美高斯整數序列，我們整 理出 10 種方法，如下表，比對這十種序列，在不同長度 𝑚 的序列總 合，分析結果如下表，附錄的分析則表示不同的序列產生方式搭配不 同的本元多項式所比較後的結果。. 𝑚. 3. 4. 5. 6. 7. 𝑚-序列. 2組. 2組. 6組. 6組. 18 組. Legendre 序列. 𝑚-序列. 𝑚-序列. 2組. X. 2組. 六次剩餘序列. X. X. 𝑚-序列. X. 6組. GMW 序列. 𝑚-序列. 𝑚-序列. 𝑚-序列. 12 組. 𝑚-序列. 序列. 其中 6 組為𝑚-序列 三項序列. 𝑚-序列. X. Legendre 序列. X. 18 組. 五項序列. X. 𝑚-序列. Legendre 序列. X. 18 組. WG 序列. X. 𝑚-序列. 𝑚-序列. X. 18 組. Segre 序列. X. X. Legendre 序列. X. 五項序列. Glynn1 序列. X. X. 𝑚-序列. X. 六次剩餘序列. Glynn2 序列. X. X. 𝑚-序列. X. 五項序列. 序列數量總合. 2組. 2組. 8組. 12 組. 80 組. 34.
(43) 當一個離散時間序列 𝒵 = {𝓏(𝑡)}𝑛−1 𝑡=0 的能源效益 𝜂𝒵 被定義為 𝜂𝒵 =. 𝐸𝒵 𝑚𝑎𝑥0≤𝑡<𝑛 |𝓏(𝑡)|2. ，. 1. 2 一個序列 𝒵 的平均能源 𝐸𝒵 = ( ) ∑𝑛−1 𝑡=0 |𝓏(𝑡)| ，這裡提出了一個奇 𝑛. 數 𝑛 = 2𝑚 − 1 一個高能源效益的完美高斯整數序列，我們將所有 正整數 𝑚 區分成兩個類別，奇數和偶數，如果 𝑚 為偶數，所以 𝑚 = 2𝑙，𝑙 為正整數，那它就擁有以下的特性。 2𝑙 令 𝑆 = {𝑠(𝑡)}𝑛−1 𝑡=0 是週期為 𝑛 = 2 − 1 的完美高斯整數序列，那. 序列的兩個複數為 𝑐0 = 2𝑙−1 𝑗 和 𝑐1 = −1 − 2𝑙−1 𝑗，則 S 序列的能 源效益 𝜂𝑆 計算如下： 22𝑙−1 − 1 𝜂𝑆 = 1 − 2𝑙 (2 − 1)(22(𝑙−1) + 1) 根據序列中的每個 𝜏 值裡的兩兩複數中計算其數量， (𝑐0 , 𝑐0 ) 比 (𝑐0 , 𝑐1 ) (𝑐1 , 𝑐0 ) (𝑐1 , 𝑐1 ) 的排列數量少 1，兩個複數 𝑐0 和 𝑐1 的 數量分別為 22𝑙−1 − 1 和 22𝑙 ，可以將 𝜂𝑆 的公式化簡如下： (22(𝑙−1) )(22𝑙−1 − 1) + (22(𝑙−1) )(22𝑙−1 ) 𝜂𝑆 = (22𝑙 − 1)(22(𝑙−1) + 1) 22𝑙−1 − 1 = 1 − 2𝑙 . (2 − 1)(22(𝑙−1) + 1) 根據上面結果，當 𝑙 趨近於無限大的時候，𝜂𝑆 會接近 1。 同樣地，如果 𝑚 為奇數，所以 𝑚 = 2𝑙 + 1，𝑙 為正整數，令 𝑆 = 2𝑙 {𝑠(𝑡)}𝑛−1 𝑡=0 是週期為 𝑛 = 2 − 1 的完美高斯整數序列，那序列的兩 35.
(44) 個複數為 𝑐0 = 2𝑙−1 𝑗 和 𝑐1 = −1 − 2𝑙−1 𝑗，則 S 序列的能源效益 𝜂𝑆 計算如下： 22𝑙+1 − 2 𝜂𝑆 = 1 − 2𝑙+1 . 2 −1 當 𝑙 趨近於無限大的時候，𝜂𝑆 會接近 1。 文獻 [3]所建構的偶數長度完美高斯整數序列的能源效益 𝜂𝑆 上限 是 0.75，由上面結果所知，長度 2𝑚 − 1 完美高斯整數序列的能源 效益 𝜂𝑆 上限為 1，代表本序列建構方法是好的。. 36.
(45) 參考文獻 [1] C.-D. Lee, Y.-P. Huang, Y. Chang, and H.-H. Chang, “Perfect Gaussian Integer Sequences of Odd Period 2^m-1,” IEEE Signal Process Lett., vol. 22, no. 7, pp. 881-885, Jul. 2015. [2] S.-H. Wang, C.-P. Li, K.-C. Lee, and H.-J. Su, “A Novel LowComplexity Precoded OFDM System With Reduced PAPR, ” IEEE Trans. Signal Processing., vol. 63, no. 6, pp. 1366-1376, Mar. 2015. [3] W.-W. Hu, S.-H. Wang, and C.-P. Li, “Gaussian integer sequences with ideal periodic autocorrelation functions,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 60, no. 11, pp. 6074–6079, Nov. 2012. [4] Paul H. Bardell, William H. McAnney, and Jacob Savir, Built-In Test for VLSI: Pseudorandom Techniques. New York, 1987. [5] Y. Yang, X. Tang, and Z. Zhou, “Perfect Gaussian Integer Sequences of Odd Prime Length,” IEEE Signal Process Lett., vol. 19, no. 10, pp. 615-618, Jul. 2012. [6] X. Ma, Q. Wen, J. Zhang, and H. Zuo, “New Perfect Gaussian Integer Sequences of Period pq,” IEICE Trans. Fund. Electr. Commun. Computer Sci., vol. E96-A, no. 11, pp. 2290–2293, Nov. 2013. [7] J-S. No, K. Yang, H. Chung, and H.-Y. Song, “New Construction for Families of Binary Sequences with Optimal Correlation Properties,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 43, no. 5, Sep. 1997. [8] S. W. Golomb and G. Gong, Signal Design for Good Correlation：For Wireless Communication, Cryptography, and Radar. Cambridge University Press, 2004. 37.
(46) [9] C.-D. Lee, S.-J. Cai, Y-P. Huang, and Y. Chang, “Gaussian Integer Sequences With Ideal Periodic Autocorrelation Functions Based on Legendre Sequences,” 2014 IEEE Vehicular Technology Society Asia Pacific Wireless Communications Symposium, pp.1-2, Ping Tung, Taiwan, Aug. 2014. [10] Z.-M. Liu, S.-J Cai, C.-D Lee, and Y.-C. Lin, “More on Perfect Gaussian Integer Sequences of Length 2^m-1,” 2014 Conference on Photonics and Communications, 5 pages, Kaohsiung, Taiwan, Nov. 2014.. 38.
(47) 附錄 𝑚=3 分圓陪集. 𝐶0. 𝐶1. 𝐶3. m-序列(3). 1. 0. 1. m-序列(5). 1. 1. 0. 𝑚=4 分圓陪集. 𝐶0. 𝐶1. 𝐶3. 𝐶5. 𝐶7. m-序列(3). 0. 0. 1. 0. 1. m-序列(9). 0. 1. 1. 0. 0. 𝑚=5 分圓陪集. 𝐶0. 𝐶1. 𝐶3. 𝐶5. 𝐶7. 𝐶11. 𝐶15. m-序列(5) 六次剩餘序列(5) GMW 序列(5). 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. WG (23) Glynn1 (15) Glynn2 (15) m-序列(29) 六次剩餘序列(29) GMW 序列(29) WG (9) Glynn1 (27) Glynn2 (27) m-序列(23) 六次剩餘序列(23) GMW 序列(23) WG (15) Glynn1 (5) Glynn2 (5). 39.
(48) 分圓陪集. 𝐶0. 𝐶1. 𝐶3. 𝐶5. 𝐶7. 𝐶11. 𝐶15. m-序列(15) 六次剩餘序列(15) GMW 序列(15). 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. WG (5) Glynn1 (23) Glynn2 (23) m-序列(27) 六次剩餘序列(27) GMW 序列(27) WG (29) Glynn1 (9) Glynn2 (9) m-序列(9) 六次剩餘序列(9) GMW 序列(9) WG (27) Glynn1 (29) Glynn2 (29) Legendre 序列(5、23、15) 三項序列(5、23、15) 五項序列(5、23、15) Segre (5、23、15) Legendre 序列(29、27、9) 三項序列(29、27、9) 五項序列(29、27、9) Segre (29、27、9). 40.
(49) 𝑚=6 分圓陪集. 𝐶0. 𝐶1. 𝐶3. 𝐶5. 𝐶7. 𝐶9. 𝐶11. 𝐶13 𝐶15 𝐶21 𝐶23 𝐶27. 𝐶31. m-序列. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. (3) GMW 序列 (3) m-序列 (39) GMW 序列 (39) m-序列 (45) GMW 序列 (45) m-序列 (27) GMW 序列 (27) m-序列 (51) GMW 序列 (51) m-序列 (33) GMW 序列 (33) GMW 序列 (3) GMW 序列 (39) GMW 序列 (45) GMW 序列 (27) GMW 序列 (51) GMW 序列 (33). 41.
(50) 42. 0. ( 3 ). ( 4 3 ). ( 1 5 ). ( 1 2 5 ). ( 5 7 ). ( 9 ). ( 1 0 1 ). ( 6 3 ). ( 1 1 1 ). ( 7 5 ). m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 𝐶0. 分圓陪集. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 𝐶3. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 𝐶5. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 𝐶7. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 𝐶9. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶11. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 𝐶13. 𝑚 =7. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 𝐶15. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶19. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶21. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 𝐶23. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 𝐶27. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 𝐶29. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 𝐶31. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 𝐶43. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 𝐶47. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 𝐶55. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 𝐶63.
(51) 43. 0. ( 3 9 ). ( 1 1 9 ). ( 1 7 ). ( 8 5 ). m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. m - 序 列. 0. ( 2 9 ). ( 6 5 ). m - 序 列. m - 序 列. Legendre (3、57、9、101、63、. 119、17、83、29、65). Legendre (43、15、125、39、. 111、75、85、113). 0. ( 1 1 3 ). m - 序 列. 0. 0. 0. ( 8 3 ). m - 序 列. 0. 0. 0. 0. 𝐶0. 分圓陪集. 𝑚 =7. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 𝐶1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 𝐶3. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 𝐶5. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 𝐶7. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶9. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 𝐶11. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 𝐶13. 𝑚 =7. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶15. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶19. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 𝐶21. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 𝐶23. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 𝐶27. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶29. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 𝐶31. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 𝐶43. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 𝐶47. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶55. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 𝐶63.
(52) 44. 0. 0. 0. 0. 三 項 序 列 ( 4 3 ). 三 項 序 列 ( 1 5 ). 三 項 序 列 ( 5 7 ). 0. 0. 0. 0. 0. 0. 𝐶0. 三 項 序 列 ( 3 ). Glynn1 (15、119、65). 六次剩餘 (17、83、29). Glynn1 (57、9、75). 六次剩餘 (101、63、85). Glynn1 (3、111、113). 六次剩餘 (57、9、75). Glynn1 (43、125、39). 六次剩餘 (15、119、65). Glynn1 (17、83、29). Glynn1 (29) 六次剩餘 (43、125、39). Glynn1(101、63、85). 六次剩餘(3、111、113). 分圓陪集. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 𝐶1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶3. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 𝐶5. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶7. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶9. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶11. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 𝐶13. 𝑚 =7. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 𝐶15. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 𝐶19. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶21. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶23. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 𝐶27. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶29. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 𝐶31. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶43. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 𝐶47. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶55. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 𝐶63.
(53) 45. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 三 項 序 列 ( 6 3 ). 三 項 序 列 ( 1 1 1 ). 三 項 序 列 ( 7 5 ). 三 項 序 列 ( 3 9 ). 三 項 序 列 ( 1 1 9 ). 三 項 序 列 ( 1 7 ). 三 項 序 列 ( 8 5 ). 列. 三 項 序 列 ( 1 0 1 ). 序. 0. 項. ). 三. 9. 0. 三 項 序 列 ( 5 7 ). (. 𝐶0. 分圓陪集. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 𝐶1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶3. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 𝐶5. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 𝐶7. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶9. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 𝐶11. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 𝐶13. 𝑚 =7. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 𝐶15. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶19. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 𝐶21. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 𝐶23. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 𝐶27. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 𝐶29. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 𝐶31. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 𝐶43. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 𝐶47. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶55. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 𝐶63.
(54) 46. 0. 0. 0. 三 項 序 列 ( 2 9 ). 三 項 序 列 ( 6 5 ). 五 項 序 列 、 G 2 ( 3 ). ( 1 0 1 ). ( 3 ). ( 8 5 ). ( 1 7 ). S e g r e. ( 8 3 ). 五 項 序 列 、 G 2 ( 9 ). S e g r e. 五項序列、G2(57). S e g r e. 五項序列、G2(125). S e g r e. 五項序列、G2(15). S e g r e. 五項序列、G2(43). 0. 0. 0. 0. 0. 0. 三 項 序 列 ( 1 1 3 ). ( 1 1 9 ). 0. 三 項 序 列 ( 8 3 ). S e g r e. 𝐶0. 分圓陪集. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 𝐶1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶3. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 𝐶5. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 𝐶7. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 𝐶9. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 𝐶11. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶13. 𝑚 =7. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 𝐶15. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶19. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 𝐶21. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 𝐶23. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 𝐶27. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 𝐶29. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 𝐶31. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶43. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 𝐶47. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 𝐶55. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 𝐶63.
(55) 47. ( 4 3 ). ( 1 5 ). ( 2 9 ). ( 6 3 ). ( 1 1 3 ). ( 7 5 ). ( 3 9 ). ( 1 1 9 ). S e g r e. ( 1 7 ). 五項序列、G2(113). S e g r e. 五項序列、G2(83). S e g r e. 五項序列、G2(85). S e g r e. 五項序列、G2(17). S e g r e. 五項序列、G2(119). S e g r e. 五項序列、G2(39). S e g r e. 五項序列、G2(75). S e g r e. 五項序列、G2(111). S e g r e. 五項序列、G2(63). ( 1 2 5 ). 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 五項序列、G2(101). S e g r e. 𝐶0. 分圓陪集. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 𝐶1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 𝐶3. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 𝐶5. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 𝐶7. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 𝐶9. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶11. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶13. 𝑚 =7. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 𝐶15. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 𝐶19. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶21. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 𝐶23. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 𝐶27. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 𝐶29. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 𝐶31. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 𝐶43. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶47. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶55. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 𝐶63.
(56) 48. ( 5 7 ). ( 9 ). 序 列. 序 列. W G. W G. W G. ( 6 3 ). ( 1 2 5 ). W G 序 列. 序 列. ( 1 5 ). 序 列. W G. ( 1 0 1 ). ( 4 3 ). 序 列. W G. W G 序 列. ( 3 ). 序 列. ( 1 1 1 ). W G. S e g r e. 五項序列、G2(65). ( 9 ). 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 五項序列、G2(29). S e g r e. 𝐶0. 分圓陪集. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 𝐶1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 𝐶3. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 𝐶5. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 𝐶7. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 𝐶9. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 𝐶11. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 𝐶13. 𝑚 =7. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 𝐶15. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 𝐶19. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶21. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 𝐶23. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 𝐶27. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶29. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 𝐶31. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 𝐶43. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 𝐶47. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶55. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶63.
(57) 49. 0. ( 1 1 1 ). ( 7 5 ). ( 3 9 ). ( 1 1 9 ). ( 1 7 ). ( 8 5 ). ( 8 3 ). ( 1 1 3 ). ( 2 9 ). ( 6 5 ). W G 序 列. 序 列. 序 列. 序 列. 序 列. 序 列. W G. W G. W G. W G 序 列. 序 列. W G. W G 序 列. 序 列. W G. W G. W G. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 𝐶0. 分圓陪集. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 𝐶3. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 𝐶5. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 𝐶7. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 𝐶9. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 𝐶11. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 𝐶13. 𝑚 =7. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 𝐶15. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 𝐶19. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 𝐶21. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 𝐶23. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 𝐶27. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 𝐶29. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 𝐶31. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 𝐶43. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 𝐶47. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 𝐶55. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 𝐶63.
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