National Sun Yat-sen University Institutional Repository:Item 987654321/30065

行政院國家科學委員會補助專題研究計劃成果報告

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※ ※

※

數位廣義系統 H

_∞

控制之研究

※

※

H

∞

Control for Discrete-Time Descriptor Systems ※

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計劃類別: R個別型計劃 £整合型計劃

計劃編號: NSC 89-2213-E-110-072

執行期限: 89 年 08 月 01 日至 90 年 07 月 31 日

計劃主持人: 李 立

本成果報告包括以下應繳交之附件：

£赴國外出差或研習心得報告一份

£赴大陸地區出差或研習心得報告一份

£出席國際學術會議心得報告及發表心論文各份

£國際合作研究計畫國外研究報告書一份

執行單位：中山大學電機系

中 華 民 國 90 年 10 月 19 日

行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告

數位廣義系統 H

∞

控制之研究

H

∞

Control for Discrete-Time Descriptor Systems

計劃編號: NSC 89-2213-E-110-072

執行期限: 89 年 08 月 01 日至 90 年 07 月 31 日

主持人: 李立 中山大學電機系 副教授

一、中文摘要 本計劃係研究數位廣義系統的 H∞ 控制 問題。亦即：對一給定的數位廣義系統，吾 人希望設計一控制器，使得補償後閉迴路系 統的轉移矩陣之 H∞-範數小於 1，同時，還 要保證系統的正則性、因果性和穩定性。吾 人將分別考慮靜態狀態迴授、和動態輸出迴 授兩種不同的控制架構。 關鍵詞：數位廣義系統、界實引理、代數 Riccati 不等式 Abstract

This project aims at the

H

_∞ control

problem for discrete-time descriptor systems, i.e. for a given such system, we want to design a controller such that the transfer matrix of the

closed-loop system has

H

_∞ -norm smaller

than 1 and ensures simultaneously the regularity, causality, and stability. We will consider two kinds of design configurations: the static state feedback design and the dynamic output feedback design.

Keywords: discrete-time descriptor systems, Bounded real lemma, Algebraic Riccati inequality, 二、緣由與目的 廣義系統（ descriptor systems）的數學模 型包含微分（以描述其動態）和代數（以描 述其限制條件）兩種結構。由於其對實際系 統的描述較標準系統模型更直接，適用性更 廣泛，至今已有許多應用的實例，如機器人 系統、電力系統、大型網路系統，以及經濟 系統等[1]。許多標準（狀態空間）系統的研 究結果，如可控性、可察性，靈敏度分析、 最佳調節器設計、極點佈置等，也相繼被推 展到廣義系統[1,2]。近年來，控制學界對動 態系統之穩定度及性能的強韌性研究的熱 潮[3]，亦帶動了對廣義系統的強韌穩定性， 以及強韌控制等相關研究[4,5]。 在研究一個控制系統的問題時，經常會 考慮下面兩種情況： (1) 運 用 數 學 模 式 來 描 述 實 際 物 理 系 統 時，由於數學模式的簡化，高頻動態 的省略，元件的老化，量測誤差以及 負載變化所造成工作點的漂移，因此 以數學模式來表示實際受控系統時， 需同時考慮模式化的不確定項。 (2) 系統連接時(節點)，所引進的不確定外 來干擾訊號。 為 了 研 究 抑 制 上 述 兩 種 情 況 對 系 統 的 影 響，在 1981 年 Zames[6]提出以 H∞範數作為 其性能要求的規範值，因而開啟了 H∞控制

理論的研究。在 1989 年 Doyle[7]等，對 H∞ 的控制問題的控制器設計提出了一套狀態 空間(state-apace)的方法(系統是由狀態空間 來描述)，亦即控制器的參數可經由解 Riccati 方程式而求得。因此引發了對 H∞控制理論 的研究的盛行。其中，文獻[8, 9]是對於連續 或數位狀態系統的 H∞控制的研究，而文獻 [5,10]係探討連續廣義系統的 H∞控制問題。 這些文獻提出了代數的方法來處理 H∞控制 的問題，例如：代數 Riccati 方程式和代數 Riccati 不等式、廣義代數 Riccati 方程式 (generalized algebraic Riccati equations)和廣 義代數 Riccati 不等式(generalized algebraic Riccati inequalities)。雖然廣義系統的理論受 到研究者的注意，但由近幾年發表的期刊或 會議論文中所探討的主題可以發現，很少有 關數位廣義系統的 H∞控制理論的研究。 有鑑於前述對數位廣義系統 H∞控制理 論的缺乏，本計劃擬將發展出一套設計方 法。在理論推導上，本計劃首先將提出一個 界實引理，因而能將 H∞的控制問題表之以 求解數位廣義代數 Riccati 不等式的問題。在 控制器的架構上，分別考慮靜態狀態迴授控 制器跟動態輸出迴授控制器兩種架構。 三、結果與討論 考慮一數位廣義系統，描述如下：

(

)

( )

( )

( )

( )

1 Ex k Ax k Bw k z k Cx k + = + = (1) 其中 x(k)是廣義系統的狀態變數，w(k)是外 部干擾訊號的輸入，z(k)是控制訊號的輸 出。為了表示上的方便，吾人以(E, A, B, C) 來 表 示 此 系 統 。 假 如 此 系 統 具 有 正 則 性 (regular)，則從w 到 z 的轉移矩陣可定義為

(

)

1 zw T =C zE A B− − 在本計劃中，首先將推導數位廣義系統 的界實引理。為了符號使用上的方便，我們 令

(

)

1 , , , , ; : ( ) T T T T T T E A B C R P A PA E PE C C A PB B PB R B PA− Ξ = − + − + 定理 1：下列敘述是等價的 (I) 系統(E, A, B, C)具有正則性、因果性和穩 定性且

T

_{zw ∞}

<

1

(II) 存在一個矩陣P P= T∈¡ 使得 n n×

(

, , , , ;

)

0 0 0 T T E A B C I P I B PB E PE Ξ − < − < ≥ (III) 存在一個矩陣Q Q= T∈¡ 使得 n n×

(

, , , , ;

)

0 0 0 T T T T T T E A C B I Q I CQC EQE Ξ − < − < ≥ 根據定理 1的結果本計劃將探討數位廣 義系統 H∞的控制問題，連接方式如圖 1 所 示 圖 1 所考慮的數位廣義系統 G，描述如下： G：

(

_{( )}

)

( )

_{( )}

( )

( )

( )

k C x

( )

k y k x C k z k u B k w B k Ax k Ex 2 1 2 1 1 = = + + = + (2) 其中x(k)是廣義系統的狀態變數，u(k)是控制 器的輸入，w(k)是外部干擾訊號的輸入，z(k)

是控制訊號的輸出，y(k)是量測的訊號。 本計劃中將針對下列兩種控制器的架 構進行研究： (1) 靜態狀態迴授控制器 在這個控制器的架構中，需假設所有的 狀態都可測得，即y(k)=x(k)，這時系統的參 數

C

2

=

I

。其目標是欲找出一常數矩陣 K 使得控制律u= Kx滿足閉迴路系統

(

) (

) ( )

( )

( )

k Cx

( )

k z k w B k x K B A k Ex 1 1 2 1 = + + = + ₍₃₎ 從w 到 z 的轉移矩陣的 H∞-範數小於 1，而 且還要保證系統的正則性、因果性和穩定 性。 根據我們研究後，所提出的控制器設計 準則描述如下 定 理 2：假如存在一個矩陣P P₌ T_{∈¡ 使}n n× 得

(

1

)

1 1 , , , , ; 0 0 0 T T E A B C R P I B PB E PE Ξ < − < ≥ 其中B=

[

B B1 2

]

、 0 0 0 I R_{= }− _  ，則控制器K 為 1 K _{= − Φ Ψ}− 其中

(

)

1 2 1 1 1 1 2 2 2 : B PB I B PBT T − B PBT B PBT Φ = − +

(

)

1 2 1 1 1 1 2 : B PB I B PBT T −B PA B PAT T Ψ = − + 將使得閉迴路系統(3)具有正則性、因果性和 穩定性且從w 到 z 的轉移矩陣的 H∞-範數小 於 1。 (2)動態輸出迴授控制器 在這個控制器架構中，控制器的描述為

(

)

( )

( )

( )

k C x

( )

k u k y B k x A k Ex C C C C C C = + = + 1 (4) 在此控制器中的矩陣 E 跟受控系統中的 E 是一樣的。因此，控制器的階數跟受控體的 階數是一樣的。其目標是欲找出 AC、BC和 CC，使得閉迴路系統 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

[

]

( )_{( )}      =       +             =       + +       k x k x C k z k w B k x k x A C B C B A k x k x E E C C C C C C 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 (5) 從w 到 z 的轉移矩陣的 H_∞-範數小於 1，而 且還要保證系統的正則性、因果性和穩定 性。 根據我們研究後，所提出的控制器設計 準則描述如下 定理 3：假如下列兩種條件成立 (I) 存在一個矩陣P P= T∈¡ 使得 n n×

(

)

(

)

1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 , , , , ; 0 0 0 : 0 T T T T T T E A B C R P I B PB E PE B PB B PB I B PB − B PB Ξ < − < ≥ Φ = + − > (II) 存在一個矩陣Q Q= T∈¡ 使得 n n×

(

, , , 1, ;

)

0 0 0 T T T T T T E A C B R Q I CQC EQE Ξ < − < ≥ 其中

[

1 2

]

B= B B 、 0 0 0 I R_{= }− _  和

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 T T T T T T T A A B I B PB B PA B B I B PB B PA B PB I B PB B PA C C C C − − − − = + − = − Ψ = + − = Φ Ψ   =  _{ }

則控制器(4)的參數為 2 2 c c c A A B K LC B L C K = + + = − = 其中

(

)

(

)

(

)

1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 T T T T T T T T T T T B B B I B PB B PB C Q C I CQC CQA C QA C Q C I CQC CQC C Q C K L − − − − − = + − Γ = − + Π = − + = − Φ Ψ = − Γ Π 將使得閉迴路系統(5)具有正則性、因果性和 穩定性且從w 到 z 的轉移矩陣的 H∞-範數小 於 1。 四、計劃成果自評 1、 學術理論貢獻： (I) 提出數位廣義系統的界實引理。 (II) 推導出靜態狀態迴授控制器的設 計法則。 (III) 推導出動態輸出迴授控制器的設 計法則。 2、 實際應用貢獻 對於一些適合以數位廣義系統建立其 動態模型的實例，如 Leontief 模式和大型 網路系統等，本計劃的研究成果將可以設 計控制器，使得系統降低干擾訊號的影 響。所以本計劃的發展深具實用性。 五、參考文獻

[1] L. Dai, Singular Control Systems- Lecture notes in control and information sciences, vol. 118, Springer-Verlag, Berlin, 1989. [2] D. J. Bender and A. J. Laub, “The

linear-quadratic optimal regulator for

descriptor systems,” IEEE Trans.

Automat. Contr., vol. 32, pp. 672-687, 1987.

[3] K. Zhou, J. C. Doyle, and K. Glover, Robust and Optimal Control, Prentice- Hall, 1996.

[4] C. H. Fang, L. Lee, and F. R. Chang, “Robust control analysis and design for discrete -time singular systems,” Automatica, vol. 30, pp. 1741-1750, 1994.

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sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses,” IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 26, pp. 301-320, 1981.

[7] J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar and B. A. Francis, “State-space solutions to standard H2 and H∞ control problems,” IEEE Trans. Automat. Contr. , vol.34, pp. 831-846, 1989.

[8] M. Sampei , T. Mita and M. Nakamichi, “An algebraic approach to H∞ output feedback control problems,” Systems and Control Letters, vol. 14, pp. 13-24, 1990. [9] P. A. Iglesias and K. Glover, “State-space

to discrete-time H∞ control,” Int. J. Control, vol. 54, pp. 1031-1073, 1991.

[10] H. S. Wang, C. F. Yung and F. R. Chang, “Bounded real lemma and H∞ control for descriptor systems,” IEE Proc.-Control Theory Appl., vol. 145, pp. 316-322, 1998.