行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
應用逆運算法估算放電加工電極溫度與熱傳量之研究
研究成果報告(精簡版)
計 畫 類 別 ： 個別型
計 畫 編 號 ： NSC 98-2221-E-151-043-
執 行 期 間 ： 98 年 08 月 01 日至 99 年 10 月 31 日
執 行 單 位 ： 國立高雄應用科技大學模具工程系
計 畫 主 持 人 ： 楊慶煜
報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文
處 理 方 式 ： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 100 年 01 月 30 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
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應用逆運算法估算放電加工電極溫度與熱傳量之研究
應用逆運算法估算放電加工電極溫度與熱傳量之研究
應用逆運算法估算放電加工電極溫度與熱傳量之研究
應用逆運算法估算放電加工電極溫度與熱傳量之研究
計畫編號: 98-2221-E-151-043- 執行期限:98 年 8 月 1 日至 99 年 10 月 31 日 主持人: 楊慶煜 國立高雄應用科技大學模具系 中文摘要 中文摘要 中文摘要 中文摘要 放電加工廣泛運用於高性能材料 以及精密微小零件的加工上，放電加 工藉由電柱內的離子化所產生高溫， 使材料迅速產生蒸發、熔融的作用， 達到材料去除的目的。為掌握材料移 除效率與尺寸、形狀精度的加工表 面，放電加工產生熱現象為不可忽略 之環節，然實際加工過程並無法直接 量測電極加工面溫度與熱傳量。因此 本研究以逆運算法估算放電加工陽極 之溫度與熱傳量。運用實驗製作量取 所需之溫度數據，結合逆運算法建立 數值分析模型，將這些量測點之溫度 數據作一比較與相關分析，探討熱源 之能量範圍。透過研究便能推估出極 間溫度、陰極材料移除率、避免陽極 電極刀具損傷等。 有關放電加工行為探討，在過去 已引起學者之重視與探討。但如何求 得電極溫度與熱傳量過去較少論及。 在過去大多以經驗值判斷或猜測熱傳 量值代入分析比較求得粗略之估算 值。因此本計畫發展一精確、穩定與 快速的估算方法，為本計畫達成之目 標。 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞: 逆運算、放電加工、熱傳導 AbstractThe issues of inverse
manufacturing problems have been discussed such as the casting problem, the quenching problem, the grinding
problem, the drilling problem and the milling problem. The thermal behavior of the manufacturing process in is investigated in this research. The EDM process is based on the thermoelectric energy exchange between the electrode and the work piece. A pulse discharge occurs in a small gap between the electrode and the work piece, and it removes the material from the parent metal through melting and vaporing. The electrode and the work piece must have electrical conductivity to generate the electric spark. The accuracy of the determination of temperature during a discharge process in EDM is important because it causes the different conditions of the material removing and the surface of the cutting tool behavior. Therefore, the energy input and the temperature distribution in the tool surface of EDM is an important issues to investigate. Furthermore, an inverse algorithm is needed to develop to deal with the problem.
The purpose of this research is to investigate the thermal behavior of the EDM process. In this study, a sequential method combined with the concept of the future time is proposed to solve the energy input and the temperature distribution step by step.The
experimental results are used to estimate the boundary condition of the problem.
Keywords: Inverse Problems ,
EDM ,Heat Transfer 緣由與目的 緣由與目的 緣由與目的 緣由與目的 逆運算熱傳導問題簡稱為IHCP， 一般是應用熱電耦或紅外線光學法量 得固體內部點或表面的溫度值，以反 求邊界條件、熱傳係數、表面熱傳量、 內部熱源等。逆解熱傳導問題方法已 被廣泛的應用在許多設計與製造的問 題，尤其是當物體表面之狀態無法直 接量測時。例如量測機械切削時刀具 界面的溫度或熱傳量、量測燃燒室內 壁溫度或內外壁之熱傳遞係數、高速 飛行器之表面溫度等等。這些問題即 可歸納為逆運算問題。 一般而言逆熱傳估算結果的精確 度，是非常的不穩定，即使小小的量 測誤差也會造成無法接受的估算結 果。因此可採用正則化方法[1]或未來 時間觀念[2]解決估算不穩定的問題。 正則化方法將待定參數的變化量轉化 成非線性均方根的懲罰函數，而未來 時間觀念是假設未來幾個時間的待定 參數量是已知的[3-9]。逆運算方法尚 有疊代正規法[5]、the mollification method [10]、基因演算法[11]及數值循 序法[12]。逆運算法除上述理論之發展 外，同時亦有研究應用逆運算法於機 械加工估算熱傳問題的邊界[13-17]。 放電加工（Electrical Discharge Machining, EDM）廣泛運用於高性能 材料以及精密微小零件的加工上，放 電加工藉由電柱內的離子化所產生高 溫，使材料迅速產生蒸發、熔融的作 用，達到材料去除的目的。由於放電 加工時工件與電極之間，有別於傳統 加工利用機械力接觸工件達到加工目 的，因此加工阻力相當小，對於加工 微細及形狀複雜的精密機件，放電加 工提供了優良的加工性能，配合調整 放電時的電氣條件，精準地控制材料 的移除率，達到精密加工的需求。目 前放電加工已經被廣泛的使用在機 械、航太、電子、生醫、微機電及儀 器等零件製造，解決了各種難加工材 料和複雜形狀等機件的成形加工，其 主要的應用範圍包括：模具的製造： 如衝壓模、射出成形模、鍛造模、壓 鑄模等。難加工材料：如超硬合金、 導電陶瓷、鈦合金等材料等。微細零 件：如微氣油閥、電子顯微鏡光柵、 油氣噴嘴等。加工各種成形刀具、量 具等特殊成形加工。 為掌握材料移除效率與尺寸、形 狀精度的加工表面，放電加工產生熱 現象為不可忽略之環節，然實際加工 過程並無法直接量測電極加工面溫度 與熱傳量。因此本研究以逆運算法估 算放電加工陽極之溫度與熱傳量。運 用實驗製作量取所需之溫度數據，結 合逆運算法建立數值分析模型，將這 些量測點之溫度數據作一比較與相關 分析，探討熱源之能量範圍。並進而 計以模擬與實驗比較估算。透過研究 便能推估出極間溫度、陰極材料移除 率、避免陽極電極刀具損傷等。 有關放電加工行為探討在 1989 年，DiBitonto 等人[18]與瑞士AGIE 公司合作，發表陰極放電腐蝕模型； 利用點狀熱源模型(Point Heat-Source Model, PHSM)建立陰極的熱傳導偏微 分方程式計算陰極材料的體積移除 率。Patel 等人[19]提出陽極腐蝕模 型，利用圓形膨脹熱源模型建立陽極
的熱傳導偏微分方程式，計算陽極材 料的體積移除率，其主要假設則與陰 極腐蝕模型大致相同。其建立的熱傳 導模型，可以用兩極材料的熱物理性 質來表示最佳脈衝時間以及腐蝕加工 性，熱物理性質包含熱傳導性、熔化 溫度、比熱及熔化熱等。 1993年，Eubank等人[20]，利用變 質量圓柱電漿模型（Variable Mass Cylindrical Plasma Model,VMCPM）建 立電漿的熱傳導偏微分方程式計算放 電加工過程中電漿溫度、壓力與體 積。2002年，Vinod Yadav等人[21]提 出利用有限元素法模擬計算放電加工 過程熱應力範圍。熱應力可能會導致 工件產生微小的裂痕，對有限元素模 型作一能量熱源輸入；此熱源成高斯 分佈，模擬計算出溫度分佈，其中統 御方程式與邊界設定參考DiBitonto等 人[18]提出的陰極放電腐蝕模型，配合 有限元素理論與溫度分佈數據計算熱 應力分佈。2006年，Marafona與 Chousal[22]提出用焦耳熱效應（Joule heating effect）敘述電極通道的熱散佈 的熱電模型，而熱散佈隨著材料的熱 物理性質作變化，產生最大的溫度範 圍。加工過程是由電流穿越氣體介質 產生電漿火花，因此電極通道有局部 的電極熱能轉換為焦耳熱。使用有限 元素分析（Finite Element Analysis, FEA）模擬估算，與AGIE SIT的實驗 參數值、前者DiBitonto等人提出的刀 具損傷率（Tool Wear Ratio, TWR）、 材料移除率（Material Removal Rate,MRR）、表面粗糙度做一致性的 專家參數比較。2004年，Lasagni等人 [23]提出利用有限元素法分析極間電 弧在材料表面上，固體轉換液體再轉 換成蒸氣過程。能量熱源呈單點侵蝕 材料表面，熱源呈高斯分佈，分析過 程可清楚得到固液氣轉換過程的體積 變化，這樣能計算材料移除量與材料 熔融凹處的形狀。2007年，Abbas等人 [24]整理近幾年放電加工領域中，最常 被研究的方法或是加工環境，並收集 文章作優缺點的整理。 有關放電加工行為探討，在過去 已引起學者之重視與探討[18-24]。但 如何求得電極溫度與熱傳量過去較少 論及。在過去大多以經驗值判斷或猜 測熱傳量值代入分析比較求得粗略之 估算值。因此本計畫以一精確、穩定 與快速的方法，估算電極溫度與熱輸 入。 本計畫研究重點擬結合數值運算 與未來時間[9]的概念之循序方法於每 一時間區間求解電極溫度與熱傳量。 研究中所用之方法可避免以非線性最 小均方根法(Nonlinear least-squares error)架構估算熱邊界問題，避免增加 問題的非線性。求解步驟中以混合有 限元素與有限差分法結合未來時間， 循序解出待估測之物理量，再予以穩 定化。除了上述之優點外，本方法能 將未知條件假設可以不假設任何的形 式直接由計算機算出對應數值。這對 於處理較複雜形式的未知條件，或是 未知條件的形式難以預測時，均可準 確的描述其結果。透過實驗取得實際 溫度量測值，再藉由推導之數值模型 估算；以實驗得到的溫度分佈，估算 放電加工電極熱傳量與溫度問題。 總之本研究以新的方法，估算放 電加工的熱行為預測問題。透過理論 與實際的結合，能使逆運算法，推廣 應用於模具加工問題領域。
問題描述 問題描述 問題描述 問題描述 圖1 陽極電蝕傳導模型 [19] Patel 等人[19]所提出的放電加工陽極 電蝕損傷數學模式。假設電弧作用的 範圍有熱源作用，沒有電弧作用的範 圍為絕熱狀態，而電極本身只具熱傳 導，如圖1所示。電極為垂直圓柱體 （Vertical cylinder），而所探討的問題 為暫態熱傳導，因此溫度分佈T(r, z, t) 之極座標偏微分方程式，表示如下： 2 2 2 2 1 1 z T r T r r T t T ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ + + + + ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ + + + + ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = = = = ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
α
(1) 其中 α：熱擴散係數（Thermal diffusivity）， p c k ρ α ==== k：熱傳導係數（Thermal conductivity） ρ：密度（Density） pc ：比熱（Specific heat capacity）
而假設之初始條件（Initial condition）、 邊界條件（Boundary condition），表 示如下： IC: t====0 , T
(((( ))))
r,z ====T0 (2) BC: t>>>>0 , z====0 ,( )
r q z T k = ∂ ∂ − , for 0<r<rg( )
t = , for 0 r>rg( )
t (3) BC: t>>>>0 , z= r=== ====∞∞∞∞ , T =T0 (4) 在上述之邊界條件，除z====0是預測之 邊界外，其餘均為已知。 理論分析 理論分析 理論分析 理論分析 將使用線性有限元素將空間座標 離散化，並用有限差分法對時間座標 離散化。假設空間有np個離散點，當 j t t= 時，式(1-4)可被表示為下列矩陣 方程：[ ]
B{
Tj]
={ }
Sj −[ ]
A{ }
Tj & (5)[ ]
A 是具np維的熱矩陣[ ]
B 是np維的暫態矩陣{ }
Sj 是未知熱傳導向量{ }
Tj 是溫度向量 以及{
]
{ }
= = j j j T dt d T dt d T& 接著當t 時對j{
T& 採用回溯差分，可得j]
到下式：]
{
j{ }
j{ }
Tj 1 t 1 T t 1 T = − − ∆ ∆ & (6) 在此∆t是時間的增量 將(6)式代入(5)式中可得到下式[ ]
{ }
j[ ]
B{ } { }
Tj 1 Sj t 1 T K = − + ∆ (7) 在此[ ] [ ]
[ ]
B t 1 A K ∆ + = 當t====tj時，由(10)式可推得溫度分布{ }
T 如下：j{ }
[ ] [ ]
{ }
[ ]
{ }
j 1 1 j 1 j K B T K S t 1 T = − − + − ∆[ ]
C{ }
Tj 1 +[ ]
D{ }
Sj = − (8) 在此[ ]
[ ] [ ]
K B t 1 C = −1 ∆ 與[ ] [ ]
1 K D = − 相同的在t =tm,tm+1,...,tm+r−1時溫度分布 可表示如下：{ }
Tm =[ ]
C{
Tm−1}
+[ ]
D{ }
Sm{
Tm+1}
=[ ]
C{ }
Tm +[ ]
D{
Sm+1}
[ ]
{
m 1}
[ ][ ]
{ }
m[ ]
{
m 1}
2 S D S D C T C − + + + = M{
Tm+r−1}
=[ ]
C{
Tm+r−2}
+[ ]
D{
Sm+r−1}
[ ]
{
}
[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ]
{
}
[ ][ ]
{
}
[ ]
{
m r 1}
2 r m 1 m 2 r m 1 r 1 m r S D S D C S D C S D C T C − + − + + − − − + + + + = (9) 因此可得到溫度向量在(m+n)個時間 離散點。{
}
[ ]
{
}
[ ] [ ]
{
m n l}
l n 0 l 1 m 1 n n m C T C D S T + − = − + + = +∑
(10) n為整數且n=0,1,2,…, r-1 在一單位列向量[[[[ ]]]]
ui 乘到(9)式之左右 兩邊後，在第i個空間離散點的溫度可 表示如下：[ ]
[ ] {
}
[ ]
[ ] [ ]{
m n l}
l n 0 l i 1 m 1 n i i n m u C T u C D ST
+ − = − + + = +∑
[ ]
[ ]
{
}
∑∑
[ ]
[ ] [ ]
{ }
= = + − − + + = n 0 l n 1 j i l n m i l i 1 m 1 n i Q j Q j Qu
D C u T C uφ
(11) 在此{
}
{ }
φ
j Q Q j Q i l n m n 1 j i l n m u S − + = − + =∑
在此[ ]
i u 是一單位列向量且在i位置有 一單位的數值，而i即表示測量點。{ }
iQj u 是一單位行向量，在 j Q i 處有值。同時φ
iQj l n m+ − 表示在 j Q i 處的熱傳遞量大小。 nQ表示未知熱傳導的數量。因此溫度 在m+n的時間離散點與i位置離散點可 表示為：∑∑
= = − + + + + + = + n 0 l n 1 j i l n m i , i l m , n m i n m i n m Q j Q j Q r T α φ (12) where[ ]
[ ]
{
m1}
1 n i i n m u C T − + + = α[ ]
[ ] [ ]
{ }
j Q j Q i l i i , i l m , n m u C D u r + + = 將n由0遞增到r-1可得： j Q Q j Q i m n 1 j i, i m , m i m i m r T α∑
φ = + =(
)
∑
= + + + + + + = + + Q j Q j Q j Q j Q n 1 j i m i , i 1 m , 1 m i 1 m i , i m , 1 m i 1 m i 1 m r r T α φ φ∑
= + + + + + + + + + + + + = Q j Q j Q j Q j Q j Q j Q n 1 j i m i , i 2 m , 2 m i 1 m i , i 1 m , 2 m i 2 m i , i m , 2 m i 2 m i 2 m r r r T φ φ φ α M∑
= − + − + + − + − + + − + − + − + − + − + − + + + + + = Q j Q j Q j Q j Q j Q j Q j Q j Q n 1 j i 1 r m i , i m , 1 r m i 2 m i , i 3 r m , 1 r m i 1 m i , i 2 r m , 1 r m i m i , i 1 r m , 1 r m i 1 r m i 1 r m r r r r T φ φ φ φ α (13) 由上述推導，可得到： j Q j Q j Q j Q ii, 0 i, i m , 1 r m i, i m , 1 m i, i m , m r r e r = + =K= +− = j Q j Q j Q j Q i,i 1 i , i 1 m , 1 r m i , i 1 m , 2 m i , i 1 m , 1 m r r e r + + = + + =K= + − + =M j Q j Q j Q j Q i,i n i , i n m , 1 r m i , i n m , 1 n m i , i n m , n m r r e r + + = + + + =K= + − + = (14) 在此e的第一與第二標上標分別表示 量測與估量的離散點，而e的下標表示 第幾個未來時間。式(14)中的 i,iQj n e 值與 量測與待估量的位置有關，而且 i,iQj n e 的 值與處於第幾個未來時間有關，而與 全域的時間座標無關。也就是說，在 循序求解中 i,iQj n e 的值為常數，僅需計算 一次即可。而式(13)中的 i n m+ α 係數是由 前一狀態求得，因此需循序求得。 當t====tm時，在t====t1與t =tm−1間之 未知熱傳遞已求得，而熱傳遞在t=tm 時尚未知道，為了穩定化估算結果， 未來時間的概念必須加入運算過程 中，因此未來尚未估算的熱傳遞，可 假設如下： j Q j Q j Q j Q j Q i m i r m i r m i m i m φ φ φ φ φ ++++1==== ++++2====K==== ++++ −−−−2==== ++++ −−−−1==== (15) 在此r是未來時間的數目 加入未來時間後式(16)可改寫成：
∑
= + = Q j Q j Q n 1 j i m i, i 0 i m i m e T α φ(
)
∑
= + + = + + Q j Q j Q j Q n 1 j i m i, i 1 i, i 0 i 1 m i 1 m e e T α φ(
)
∑
= + + = + + + Q j Q j Q j Q j Q n 1 j i m i , i 2 i , i 1 i, i 0 i 2 m i 2 m e e e T α φ M∑
= − − + − + + + + + + = Q j Q j Q j Q j Q j Q n 1 j i m i , i 1 r i , i 2 i , i 1 i , i 0 i 1 r m i 1 r m e e e e T α K φ (16) 式(16)可改寫如下： j Q Q j Q i m n 1 j i, i k i k m i k m E T α∑
φ = + + = + (17) 因此式(17)可寫成： ΩΦ θ = (18) 在此 1 n i m i m i m Q nQ Q 2 Q 1 Q × = φ φ φ Φ M (pr)1 i 1 r m i 1 r m i 1 m i 1 m i m i m i 1 r m i 1 r m i 1 m i 1 m 2 i m i m i 1 r m i 1 r m i 1 m i 1 m i m i m p p p p p p 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 T T T T T T T T T × × − + − + + + − + − + + + − + − + + + − − − − − − − − − = α α α α α α α α α θ M M M M M M( ) Q Q n Q p 2 Q p 1 Q p Q n Q p 2 Q p 1 Q p Q n Q p 2 Q p 1 Q p Q n Q 2 2 Q 2 1 Q 2 Q n Q 2 2 Q 2 1 Q 2 Q n Q 2 2 Q 2 1 Q 2 Q n Q 1 2 Q 1 1 Q 1 Q n Q 1 2 Q 1 1 Q 1 Q n Q 1 2 Q 1 1 Q 1 n r p i , i 1 -r i , i 1 -r i , i 1 -r i , i 1 i , i 1 i , i 1 i , i 0 i , i 0 i , i 0 i , i 1 -r i , i 1 -r i , i 1 -r i , i 1 i , i 1 i , i 1 i , i 0 i , i 0 i , i 0 i , i 1 -r i , i 1 -r i , i 1 -r i , i 1 i , i 1 i , i 1 i , i 0 i , i 0 i , i 0 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E × × = K M M M M K K M M M M M M M M M M M M K M M M M K K K M M M M K K Ω 在此p為空間量測點的總數 當量測溫度 ==== ==== j j i j t t x x Y 與 代入θ 時，Φ中之元素可由線性最小均方根 求得如下結果：
(
Ω Ω)
Ω θ Φ& = T -1 T (19) 將以上述方法式(1-19)分別估算出電 極之熱傳量與溫度 例題 例題 例題 例題 圖2. 幾何模型與邊界設定 模型以2D軸對稱與邊界條件表示 於圖2，電極整體長度L= 25cm、半徑 R= 1.1cm，材質為銅。物理參數：密 度為8640(kg/m3 )、比熱為438(J/(m3-k)) 、熱傳導係數為367(W/(m-k))。圖3為 放電加工實驗時，在R=0，Z=1.5、5.5、 19.5(mm)這三點所量測到的溫度數 據。估算時以一點量測溫度來反推熱 傳輸入量與電極面之溫度如圖4、圖5。 圖3. 實驗量測之溫度分布 圖4. 以一點判斷所估算之熱傳量 圖5. 以一點估算之電極加工面溫度 計畫結果自評 計畫結果自評 計畫結果自評 計畫結果自評 本研究以實驗測量得電極棒上溫度，再以循序數值逆運算法，估算電 極放電面之熱傳量與溫度。研究中所 用之方法為一線性數值模式架構估算 熱傳輸入量與溫度估算之模組。計畫 中完成以一點在不同時間實驗量測之 溫度，當作估算之依據，再以文中發 展之逆運算法求得熱輸入與溫度。結 果顯示此方法可有效運用於不易量得 之熱傳邊界瞭解放電加工放電端面之 熱行為。 參考文獻 參考文獻 參考文獻 參考文獻
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