行動載具應用於數學橢圓單元之教學成效

全文

(1)第壹章緒論第一節研究背景數學講述式教學常被認為是過於規則化、條文化，學生持續被動地接受數學知識，但對這些知識不做深入研究、理解，僅僅只是記憶這些知識，這使得數學學習顯得困難與無趣。基於此，數學課堂教學是相當複雜的活動實踐，除了要達到課程內容的傳授、完成課程目標，為了提高學習動機與效率，教師經常會使用不同的教學策略、工具與媒體，而科技工具持續的進步與發展，對於傳統數學教學帶來新的衝擊及影響(Baki & Guveli, 2008)，也改變了教學的策略與形式。電腦輔助學習的實施有許多形式，亦有不少研究成果實證對學習有所助益，如概念建構與迷思概念診斷(Chang, Liu, & Chen, 1998)、電腦概念圖輔助學習 (Chang, Chen, & Sung, 2001; Chang, Lin, & Sung, 2005)，及電腦動畫呈現概念與模擬操弄實驗(Chang, Chen, & Sung, 2008)，而結合網路科技讓學習型態更加多樣化，如整合硬體與網路的合作學習(Chang, Sung, & Lee, 2003)等，許多研究皆指出以科技工具提供高互動的環境可以鼓勵較高層次的思考、提升學習成效及學習動機(Jonnassen, Howlan, Moore, &Marra, 2003)。美國全國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000)亦強調利用科技工具伴隨學習，而非僅是透過科技學習。在電腦的學習環境中，學生能夠使用個人電腦、網路、電子信件以及各種軟體工具(Baki, 2002)， Kong(2008)更認為將電腦科技工具與傳統教學更緊密的結合，除了可以減少教師手繪圖的時間，同時利用模擬展示與電腦化練習工具以降低學生探索學習所花費的時間，並結合無線網路及行動數位工具，將電腦工具從輔助學習的認知工具角. 1.

(2) 色昇華為學生學習助理，甚至成為學習伙伴。將電腦科技與教學內容透過網路科技的結合，對於學習是有成效與幫助的 (Chang, Sung, & Ho, 2006)，然而如何使用這些硬體或軟體科技工具輔助數學概念的學習，讓傳統課堂教學環境與資訊科技有效率的整合，數學教師扮演了一個重要角色。除了要輔助學生學習科技工具與數學內容，更重要的如何將資訊工具融合於教學現場中，讓教師的角色從教材的執行者，轉化成教材的設計者。一般的數學學習方式，學生只是聆聽內容，專注於課堂所傳授的內容上，部分教育工作者傾向使用不斷重複的解題練習，來使學生達到學習目標，卻造成教師和同學之間的互動較少，因而學生較無法解決學習困難，也較不參與課堂教學活動。傳統觀念中認為數學學習只需要動腦思考、動手解題，但如同其他自然科學一樣，數學知識也需要觀察與實驗來形成、發展以及檢驗理論的正確性，不同的是數學所面對的不是實際的物質材料，而是概念、符號與圖像等「數、量、形」的思想材料。 Sfard(1991)認為對數學物件具體操弄為得到新概念的最先步驟，而 APOS 概念發展論提到概念發展歷程為對既有數學物件行動、內化為心智程序與膠囊化成新數學物件，最後系統化成為解題基模(Dubinsky, 1991)。Kaput(1987, 1989, 1992) 則強調在數學課程內要強化代數、圖形、符號等多重表徵(multiple representations) 的連結，隨著電腦科技與數學軟體引入學習歷程，讓學生透過電腦具體觀察操弄數值、圖形、方程式等實際物件，可以動態視覺化呈現各種表徵讓學生透過拖曳實驗而觀察與分析(Chang, Sung, & Lin, 2007)，增強學生學習數學的主動、積極性，提高數學知識的應用並培養學生分析與解決問題(Chang, Sung, & Lin, 2006) 的能力。. 2.

(3) 第二節研究動機. 在抽象概念的建構過程中，常會引起許多猜測與假設，如空間的幾何變化、圖形變動與大量數值的趨勢歸納等，此時學習者若無法立即獲得實驗與驗證，則更深入探究知識的情境稍縱即逝。將行動載具融入傳統教室環境，可以配合課程而連結情境內容，學習過程中可隨時隨地進行各種數學模型的觀察與操弄，提供學習者主動探索與淬煉精化邏輯思維的機會，讓演譯與講述教學的環境，成為具有科學實驗探索的學習情境。有別於傳統學習方式，此種強調以學生為主的數學課程活動中，注入了更多、更廣泛的數學思想內容，在繁重且乏味的數學演繹推理等邏輯訓練及數值計算工作中，增添了更多趣味性、創造性。而將行動載具與代數幾何軟體整合應用於數學教學實踐，最適合的單元莫過於在解析幾何課程，原因有三：(1)即時動態視覺化 (2)同步具體操作性 (3)多重表徵的整合。. (一)、即時動態視覺化人類視覺機能是獲取外界資訊的最重要來源(Adams & Victor, 1993)，謝世杰 (民 95)提到操弄函數係數對圖形的影響，透過視覺化的操作，對於建構其概念心像有相當大的助益。隨著電腦軟體的發展，開始強調利用動畫、圖形的呈現與表達，或利用模擬操作來幫助建構數學概念認知與熟練運算過程(Akpinar & Hartley, 1996)。近年來數學軟體的發展對數學教育有著相當大的突破，其中動態幾何軟體 GSP (The Geometer’s SketchPad)的應用更是不乏大量研究。GSP 是能夠將變換(伸縮、平移、鏡射、移動軌跡……)以視覺上連續動態展示的軟體，GSP 建構函數圖形且可操弄的特性，除了動態視覺化地呈現幾何性質，更讓我們可以建構一個隨意操弄函數變數與圖形的實驗環境。. 3.

(4) (二)、同步具體操作性蕭燕玲(民 97)探討高工學生圓錐曲線的概念與運算及應用錯誤類型之研究，與陳吟汝(民 95)針對台南高二學生在圓錐曲線單元的解題過程錯誤類型及原因研究分析，其研究結果顯示高中、職生在學習圓錐曲線對於符號、文字定義與圖形連結上皆有共同問題。温安榮(民 96)以展示圓錐曲線圖形及動態模擬圖形進行教學，雖說學習成就略優於傳統聽講式教學但未達顯著差異，經研究者本身探究原因為限於教學環境硬體上的不便，無法讓學生親自操作練習，學生只是透過觀看圖形動態模擬觀察變化，缺乏實際的實驗操作。謝世杰(民 95)研究三角函數圖形的平移和單向伸縮變換之電腦輔助補救教學，以 GSP 展示圖形方式教學，對三角函數代數式與圖形連結成效不明顯，研究者事後分析認為應該在展示教學的同時讓學生也有機會操弄三角函數圖形，在課程教學時若能有硬體設備的配合，讓學生同步繪製並操弄三角函數圖形，學生可即時驗證黑板上所呈現的代數式推導，對於學習成效應可提升。賴信川(民 95)運用行動載具輔助空間幾何學習研究中，運用平版電腦結合可即時操弄的視覺化空間幾何教材與即時形成性評量，對於學生空間幾何的學習成效有顯著效果，可提升學生運用視覺化心像思考推理、視覺化構圖及視覺化操弄的空間幾何能力。故在概念學習的建構過程中，利用平版電腦同步具體操弄適當的模組，應可更加容易輔助概念的建構以及減少迷思概念的形成。. (三)、多重表徵的整合在國中數學幾何課程強調的是綜合幾何，而在高中幾何課程強調的是結合代數系統的解析幾何課程，因此在探討相關課程，強化圖形與代數的連結是相當重要的。而 GeoGebra 代數幾何軟體，兼具動態幾何軟體與代數軟體的優點，不僅可呈現動態圖形，更可以處理統計數值、代數方程式與微積分運算，可同時呈現. 4.

(5) 圖形表徵與代數表徵，完善地整合多重表徵，同時其以 Java 語言發展，可容易透過 Java Script 控制選擇其功能模組並整合於網頁，是值得深入探究使用的軟體。現今的學校教學仍然過度強調代數的運算，雖在過程中會以靜態圖形輔助學習，但從以上三角函數圖形操弄與圓錐曲線相關研究中顯示，學生的代數與圖形表徵的連結仍是相當薄弱的，縱使輔以觀看動態的模擬圖形的展示，對圖形表徵與其他表徵的連結難以有顯著成效。而透過行動載具的輔助，在一般傳統教學活動中，即時且同步提供學生多重表徵數學模型來操弄實驗，強化其深入理解與建構概念應是可以投入研究的教學方式。因此本研究嘗試融合代數幾何軟體 GeoGebra 與平版電腦等軟、硬體工具，於課堂講述教學過程中讓學生同步操弄動態視覺化學習模組，針對其知識建構過程中所產生之概念心像進行數學實驗，探討以此方式輔助學生數學概念的建構與概念多重表徵的整合運用之差異。. 5.

(6) 第三節研究目的綜合以上背景動機，本研究以 Dubinsky 數學概念認知發展理論為基礎，分析教學內容結構而設計融合平版電腦與代數幾何軟體 GeoGebra 之教學系統，讓學習者再學習過程中，可具體化操弄物件進行數學實驗活動，研究目的有三：一、透過行動載具、軟體與課程的整合，研究開發「動態幾何教學系統(Dynamic Geometry Teaching System , DGTS)」，以平版電腦提供融合幾何教學情境與可即時實驗之視覺化模組。二、於高職數學解析幾何課程之「橢圓」單元教學中，以平版電腦提供呈現多重表徵的代數幾何實驗環境，學生可即時且與教材同步進行視覺化物件操弄，輔助圖形表徵與其他多重表徵的連結。三、比較有無融入平版電腦於課堂教學，學生橢圓課程之學習成就、概念的表徵建構、多重表徵的整合運用，以及應用多重表徵解決問題的差異。. 6.

(7) 第貳章文獻探討. 本章共分四節，第一節探討資訊與通訊科技(Information and Communications Technology, ICT)對於數學教學與學習數學的益處與影響，融入教學的困難與成功應用的重要因素和方法，以及使用行動載具於課程中進行數學實驗的優點。第二節為探討數學概念的認知與發展過程，概念定義、概念心像的形成與操弄，同時在形成概念時的典範效應及衝突因素。從 Sfard 的思維發展與 Dubinsky 的認知發展論探究學生如何形成數學知識物件與基模。第三節為探討動態幾何軟體的應用與多重表徵理論，討論動態幾何多表徵連結對學生幾何概念形成的優點與所造成的問題以及如何改善。第四節分析圓錐曲線數學結構與學習歷程探討。. 第一節資訊與通訊科技在數學實驗之應用. 一、資訊與通訊科技在數學教育之應用 Ittigson 與 Zewe (2003)指出科技是數學的教與學不可缺乏的因素，在 NCTM (2000)的報告中指出使用科技教學可以促進更高層次的思考以及提升問題解決的策略能力。研究也證明在教育上使用資訊與通訊科技可改善學生自我概念認知與促進學習動機，並且在問題解決的能力有提升(Hew & Brush, 2007; Sivin-Kachala & Bialo, 2000)。我國 98 高職數學課程領域課程目標為：(1)引導學生瞭解數學概念與函數圖形，增進學生的基本數學知識。(2)培養學生基本演算與識圖能力，以應用於解決日常實際問題及未來工作領域內實務問題。(3)訓練學生運用電算器與電腦軟體解決日常實際問題及未來工作領域內實務問題。(4)增強學生基礎應用能力，以培養. 7.

(8) 學生未來就業、繼續進修、自我發展的能力(國立台灣師範大學教育研究中心，民 96)。強調利用資訊科技來精進數學概念，且相當著重幾何函數圖形的理解，以及期望學生使用科技來解決問題，提升創造與思考能力，而非僅是利用科技來計算。. (一)、用於數學教育的益處與困境數學教育最困難的為提起動機以及維持興趣，教學所希望達到的目標為抽象概念瞭解、不同層次之間的表徵轉移、抽象與具體應用的整合以及與生活情境的結合。傳統的講述式教學，很難達到以上目標，然而 ICT 改變了數學教學的方法，且可以提高學生對基礎概念的理解(Ittigson et al., 2003)。英國通訊與科技教育委員會(British Educational Communications and Technology Agency[Becta], 2003)研究報告中，綜合了使用 ICT 學習數學的益處如下： 1. 提高學生學習動機，促進合作學習機會並且鼓勵溝通交流與知識的分享。 2. 給學生迅速、不偏及準確的回饋，允許學生集中於解決問題的策略和解釋，而不是在乏味的計算上花費時間。 3. 多表徵的呈現，強化數學中符號、代數、圖形表徵之間的連結，透過動態模擬的呈現，讓學生能生成動態心像。 4. 支持建構學習概念，學生利用認知工具學習知識並且理解數學概念，透過觀察、探索與實驗的過程，精緻且明確化學生的思考邏輯。人類透過黑板於教室教學已經二個世紀了，在教學策略執行所需考慮的因素有(1)學習內容與活動指引管理。(2)教師與學生、學生與學生之間的互動。(3)學生學習技巧的建立與內容精熟。近年來儘管政府大力推行資訊融於學科教學，但是使用 ICT 進行數學教學活動的應用仍然相當稀少。英國數學協會(The Mathematical Association)出版的數學教師使用 ICT 教學訓練指引手冊提到，儘管有許多輔助學習的好例子，但教師對於使用 ICT 教學仍缺乏信心與訓練。在數學教學活動中常僅侷限在輔助圖形的繪製，如利用 Graphmatica, Advance Graph 繪製函數圖形，或. 8.

(9) 是將教學素材數位化或製成網頁形式，這只是書本的知識利用電子化傳遞，對於與學生教師之間的互動，並無太大助益(Oldknow, 2004)。數學教師若能善用工具與教學的結合，對於數學課堂上知識的傳遞，或課後的學習活動，都是一個相當強大的工具。然而在數學教學上使用不普遍的原因為 (Oldknow, 2004; Keong, Horani, & Daniel, 2005; Jones, 2004)： 1. 資金與資源的供應缺乏：缺乏政策與資金支援，硬體工具與適合教育使用的軟體不足，教育工作者在取得合適的教學工具有困難。 2. 教育工作者訓練不足：因教師年齡與資訊素養等因素，教師缺乏使用經驗，除了使用工具上的問題，更缺乏整合於課程內容的策略方法與知識，造成教師缺乏整合工具與教材的信心。而使用的益處太少被實證闡述，數學教師對使用 ICT 的教學成效存有疑慮。 3. 課程教材的取得與使用策略不足：教學內容常並非以使用 ICT 工具為設計，且落實 ICT 工具於教學的教學策略太少，教師與學生在取得這些學習素材不容易。 4. 應用的教學時間的不足：學校的課程活動中缺乏時間使用 ICT 工具，同時若要於單一課堂時間使用不同的 ICT 工具更加困難，轉換使用不同工具花費太多時間。綜合研究得知融入 ICT 於教學所需要考慮的因素：(1)教師的態度與信念。(2) 教學技巧與教學法。(3)教學成效的評估。(4)教學資源的支持與取得。(5)學校學習環境的文化。(6)教師的專業發展。(7)實行者的領導力(Hew et al., 2007; Wong & Li, 2006)。所以在推動使用 ICT 教學，教學執行者所扮演的角色顯的相當重要。 ICT 飛速的發展，但是這些工具常只是為了個人用途來設計，非為了教育現場使用，如果教師不去思索如何結合軟硬體使用、課程內容與實行策略，那麼其仍僅是一個設計精美的工藝品。英國教育辦公室(The Office for Standards in Education[Ofsted], 2002)研究報告中提到使用 ICT 在教學上的失敗，主要是電腦活動任務與教學內容的連結太弱，許多教師選擇某些教學軟體僅是為了視覺化呈現. 9.

(10) 內容，而非真正與課程內容相關。例如許多所謂科學模擬軟體只是將素材數位化，卻不能讓學習者真正體驗到科學實驗的經驗，使用 ICT 教學目的應為輔助學生探索、明確化思考、知識理論建構與精熟。 Ofsted(2004)研究結果指出在教學上使用 ICT 的注意事項： 1. 具有明確目的與目標的工作計劃，可使教學者使用 ICT 教學更加有效率。 2. 使用 ICT 來輔助教學需與課程內容緊密結合，教師應該有計劃的使用 ICT 進行學習活動，並非只是教師個人的喜好或傾向，並多加闡述使用 ICT 的益處與發展多元的教學策略。 3. 學生在使用 ICT 工具學習需被指引或監控是否符合學習目的與標準。針對以上問題綜合歸納文獻(Jones, 2004; Hew, 2007; Ofsted, 2004; Wong, 2006)，建議改進的方法為： 1. 教學上提升使用 ICT，鼓勵教學者與學習者接受變化、積極實踐並廣泛分享。 2. 大多數數學教師僅限於在課堂外利用 ICT 來準備與分析教學素材，對於課堂上的使用仍不夠具有信心，需要更多的支援與訓練。 3. 許多優秀的教學想法與應用在各地被使用，但缺乏廣泛的彙整，因此應該有更好的溝通分享管道資源。 4. 許多不錯的教學軟體被發展出來，需指引學校選擇適合的軟體，並推行、訓練與幫助使用，提高教師教學的效率。 5. 對數學教學來說最佳的使用策略在於輔助建構學生概念、探索知識、分析與精鍊其思考內容及驗證理論與猜想。 6. 最佳實踐方式為學校將 ICT 融入其課程，改變學生的學習方式與過程，強化課程內容的一致性與連貫性。 7. 推廣行動載具的應用，如圖形計算機、無線網路筆記電腦 laptops，讓學習環境不再侷限於電腦教室。. 10.

(11) 因此除了外在的軟硬體設施及資源問題，我們瞭解到教育工作者對使用 ICT 的教學信念與實行策略，實為影響是否成功的重要因素。. (二)、應用於數學學習的模式互動對數學學習是重要的，而科技可以支援教學互動(Olivier, 2005)。最近科技的發展支援了許多型態的教學方式，如投影機、電子白板，電腦輔助教學等。張國恩(1999)提到，教師在選定教材，如何利用電腦資源將其呈現出來，或電腦資源如何配合教學活動等，都是融入資訊科技於教學的接續工作，而一般教師較常用的三種模式分別為： 1. 電腦簡報的展示：為提高學習動機與教學效果，利用簡報系統輔助課堂教學是常用方式，教材的簡報需結合有意義的多媒體展示，亦即指任一媒體的展現都需包含教學意義，而不只是有趣而已。 Olivier(2005)的研究中利用 TablePC 結合投影片展示系統(Classroom Presenter) 實行數學教學，其研究成果歸納三個益處：(1)系統化的課程準備與規劃：在課程進行之前準備好教學素材，可組織化地呈現內容，且電子化的投影片可以包含豐富的資訊，如：圖形、表格、數值等內容。除了即時呈現教學內容，同時避免書寫上的錯誤。(2)課程進行增加互動與動機：手寫註解功能便於重點註解、減少繪圖時間。多媒體內容呈現可吸引學生注意，引起學習動機、增加互動。(3)課前、課後學習：將學習內容置於網路或網頁，學生可課前預習與課後複習。但其使用此缺點為：(1)首次素材製作較花時間。(2)教學策略、方法的成效，難以在短期時間看到。(3)投影片方式的教學容易失去了自由互動的空間，而淪為僅是將資料傳達給觀眾。(4)授課的重點不僅是傳遞知識，更包含了掌握學生的反應、促進自主的學習等。(5)初期需要硬體建製及長期維護成本。 2. 電腦輔助教學軟體的運用：選擇適當的軟體以電腦進行教導式的學習，來幫助教師教學或學生課後學習，其目是為了適應個別差異而達到個別化教學的理想。. 11.

(12) 常見的方法有： (1)操作模擬實驗學習：將難以理解的抽象數學概念，透過電腦軟體模擬互動，讓學生操弄與觀察進而分析、探索及建構知識。 (2)認知工具建構學習：認知工具為兼具心理學與電腦化的裝置，常用來輔助學生概念的學習與建立(Derry & LaJoie, 1993; Kommers, Jonassen, & Mayes, 1992)，結合情境策略與透過反覆練習、教導，讓使用者建立類似於反射性的動作。如加減乘除四則運算練習(Chang, Sung, Chen, & Huang, 2008)、分數棒(Kong, 2008)等認知工具，這樣的方式強調「從做中學」。 Kong(2008)研究提到，發展與使用電腦化輔助學習工具有三個問題： (1)如何在教育教學上擴大使用：在教育現場常受限於硬體環境等因素，造成無法讓學習者隨時隨地使用，且許多教學者對使用此類工具所達到的學習成效，尚有疑慮。 (2)如何改善工具的發展：認知工具適合作為探索知識的工具，可以刺激學習動機與對新知識更深入的自發探索，但建構出來的知識卻是比較多樣形式，同樣的表徵形式，學生可能會有不同的解讀，因此在設計上需要更詳盡的考慮。 (3)如何將工具整合入教學內容設計：電腦化輔助學習工具對於增加學習興趣以及師生之間互動有幫助，但與課程結合的緊密性不足，如果形式能更多樣化的呈現並與教學課程設計結合，應是可考慮發展的方向。 3. 網際網路的使用：網際網路上有相當多的資源，可視之為大型教材庫，利用網頁架設學習管理系統(Learning Management System)將教材網頁數位化，使得學生隨時隨地可以學習，而其內容多樣化，教師可以擷取、整合到教案中，對課程設計的編輯相當有幫助。在 Baki 等人(2008)的研究中利用 Web-Based 方式學習數學，其歸納有以下益處：(1)增加了學生學習數學的信心。(2)刺激學習動機與對新知識更深入的自發探. 12.

(13) 索。(3)增進教師與學生互動及學生之間的相互教學。(4)增進了合作學習、開放性討論以及知識共享。(5)減少教師手繪圖的時間。(6)增進學習內容的精熟度，利用認知工具檢驗問題任務的答案。(7)建構多樣形式的知識架構。從以上研究瞭解，使用資訊科技輔助數學學習，的確有其正面的價值。綜合前文分析，對於電腦工具應用於數學教學模式可分為(陳創義，民 97)： 1. 教學情境的佈置：利用電腦呈現多媒體(動畫、投影片、聲音、影片)或情境模擬，引起學習動機及輔助瞭解學習情境問題。 2. 概念的建立與統整：利用電腦化認知工具輔助學習及統整概念。 3. 實驗、分析與探索知識：透過給於學習實驗模組，學習者依據實驗問題與步驟進行實驗活動，由具體的操作過程中，透過觀察、歸納而建構知識。 4. 計算工具與圖表產生工具：利用電腦來處理複雜的數值計算資料與圖表繪製。 5. 驗證工具：驗證學習過程中的猜測與已經存在的理論及結果。 6. 綜合應用。然而科技進步的如此快速，在應用電腦科技的教學模式上，許多教師並無太多改變，仍然將科技用於遷就其內心的教法，鮮少有多元與創新的教學模式，在實際應用上偏向採用簡單、易學的軟體，進行例行性的教學準備或記錄工作，僅有少數教師透過電腦讓學生學習分析資料、溝通概念等探究式、計劃式或是合作式的學習方式(宋曜廷、侯惠澤、張國恩，2005）。學生使用電腦輔助學習的模式也是偏向重複練習式的、低思考層次的解題教學軟體，將操弄實驗模組當作成一種操作性考試，而失去「嘗試錯誤」的實驗精神，最後淪為電腦化測驗的窠臼，難以達到多元且高層次思考的目的。. 13.

(14) 二、行動科技與數學實驗在數學課堂上活用各種科技工具，如：電腦、圖形計算機、單槍投影機、個人數位助理、資料記錄器與互動白板等，對於心智或口語活動、論證、班級互動、班級討論與教學活動都有所幫助(Ofsted, 2001,2002,2004)。陳彥良(民 95)引用學者韋輝樑(2002)對於數學實驗的定義，認為數學實驗教學是讓學生通過自己動手操作電腦，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最後獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程。 Jonathan 與 David (2003)認為透過數學實驗方式的學習其優點如下：(1)培養學習者的洞察力與直觀能力。(2)發現數學性質的規律與規則。 (3)利用圖形呈現抽象的數學原理。 (4)測試或驗證對性質的猜測與假說。 (5)探索可能的結果以決定是否投入形式化的演繹證明。 (6)對於形式化的證明給予啟示方向。 (7)處理冗長的計算。 (8)確認分析所得的結果。因此透過電腦提供一個可以分析數學例子、驗證猜想、觀察規則與規律的實驗室，對於知識的建購發展有正面助益。在電腦化數學實驗的環境中，學習者以具有基礎數學知識為主體，透過實驗工具、數學符號及數學語言為中介，進行數學知識理解與應用的實踐。而將平版電腦融入傳統教室環境，不僅可即時性輔助學習，更有以下三點特點： (一)、學習工具的視覺化與操作性由於數學實驗所操弄的為概念、圖像與符號等思想材料，所以實驗的工具需能夠數學化的呈現實驗元素，並能被學習者有目的操弄。在活動過程中強調實證、具象與創造，提供數學實驗模組供與操弄驗證，透過實作的過程，進而探索抽象數學的規律與性質。從基礎數學知識經由發現、探索而精緻化成為更高層次的數學知識。 Ofsted (2001)強調在數學教學利用手持裝置輔助教學的益處逐漸增加，如利用圖形計算機來顯示圖形、分析資料，熟練代數的運算與解決問題，這些行動裝. 14.

(15) 置增加數學教學的品質，特別可以輔助教師提供教學上論證的資料。以平版電腦結合數學軟體不僅可以視覺化的呈現多重表徵圖像，更可以讓學習者直接具體地操作實驗，在持續不斷的活動中，不僅可吸引注意力，更可讓視覺化的抽象概念，更深入地與實體活動整合(Rogers, 2007)。 (二)、知識建構的主動性與迫切性在課堂數學教學的活動中，利用行動載具適時地進行數學實驗，輔助學習者概念的建構與精緻化，及培養解決問題能力，是可以嘗試的教學模式(Fister, McCarthy, & Maeve, 2007)。許多電腦化學習元件常僅是將內容演示，學生沒有經歷發現線索的過程，自然無法產生解題前的聯想猜測或解題中問題的轉化過程。進行數學實驗應強調以學習者為中心動手操作，其目的為在動手解決問題過程中，提高學習的主動積極性。比起單純觀察數學物件，學習者可主動針對其有興趣的物件實驗、收集資料進而歸納結論，擁有自身主動體驗的經歷能夠使得視覺化呈現更加有意義(Rogers, 2007)。學習者在抽象概念的學習發展過程，經常會產生許多的疑問、猜測、假設甚或至迷思，此時若能以工具實驗證明，將可以立即獲得正確的概念事實及破除迷思概念。或學習者需要大量的數值處理，如統計數據的紀錄、整理等，利用行動科技於進行活動同時觀察收集，即時性地記錄數位資料，可更容易達到高層次的分析與歸納(Rogers, 2007)。Ofsted(2004)研究亦發現在數學課堂上，利用手持圖形計算機，除了可以有效率的解決數學上的計算，提供圖形變化資訊，促進學生合作與資訊溝通，重要的是同步配合課程學習進行活動，克服不易進出電腦教室使用電腦的困難，讓更深入探究知識的機會不會稍縱即逝。 (三)、學習活動的互動性與情境化使用行動科技讓支援教學、資源的整合及提高學習成效創造了新的機會，其不僅擁有電腦的視覺化特性，更能隨時地伴隨著學習活動(Rogers, 2007)。結合行. 15.

(16) 動科技與傳統教室環境，可以配合課程需求將內容與情境連結或是模擬，如利用遊戲式模擬投擲骰子的情境進而轉化為數值資料。又如將文字敘述以情境模擬呈現，像是雪花碎形生成的情境模擬。並可對學習者的操弄實驗給予立即性的互動與回饋，學習者可以立即瞭解結果。數學實驗課程依據教學的需要，在實驗環境或條件下，經由預先組織設計、循序漸進且難易適中的數學實驗題材，讓學生透過儀器或工具來學習、理解數學，以基礎數學知識進行數學活動，而在實驗活動中所隱藏的指引者角色便是實驗設計。許多教師所受到應用資訊科技輔助教學的訓練，仍然停留在技術建立的層次，無法將資訊科技與教學單元或內涵融合(宋曜廷等人，2005）。為了進行數學實驗勢必需要教導學生使用數學軟體，然數學軟體的教學與數學知識建構的關係應區分清楚，利用數學軟體進行數學實驗，是為了驗證分析數學問題，不可落入教導數學軟體使用技巧的迷思，反而失去課程的目的精神。因此在數學教學中應該將課程內容設計與科技工具結合，並適時的引導學習者利用行動載具與軟體進行活動，將概念建構與實驗模組即時且同步緊密的結合，提供結合生活情境的題材、知識性的問題探索與開放性的自由思考等多樣化的學習素材。. 16.

(17) 第二節數學概念的認知與發展. 認知心理學主張人類把外在知識內化時，依照知識性質的不同形成兩種不同的表徵型態，分別為陳述性知識(declarative knowledge)與程序性知識(procedural knowledge)。陳述性知識為陳述事實、事物及其規則與關係的知識，亦即「know what」；而程序性知識為知道如何完成某件事情的知識，也就是「know how」。 Hiebert(1987)則將數學知識的分類為概念性知識(conceptual knowledge)與程序性知識(procedural knowledge)。其認為概念性知識為內部建構的邏輯關係與觀念所組成的知識網路。而程序性知識為數學的形式語言或符號表徵系統組成，強調完成數學問題所使用的運算法則。本節將探討數學概念認知與發展重要理論。. 一、概念的思維模式 Tall 與 Vinner (1981)共同發表一篇針對「概念心像」(concept image)與「概念定義」(concept definition)的討論的重要論文，但二人對概念心像的詮釋依然有不同的角度。Vinner 以笛卡兒哲學觀為思考基礎，藉由想法上的試驗，來分析當學生以不同方式聚焦在圖像和定義上時，發生了什麼事。Vinner 將概念心像與概念定義視為不同的單元，並從使用方式的不同加以微妙的分析。其認為人有可能用大腦理性的方式來處理，也可能用心智感性的方式來處理問題。. 解決輸出. 大腦. 心智概念心像. 概念定義. 問題輸入. 圖 2-1. Vinner 概念心像架構. 17.

(18) 而 Tall 則是從人性的角度來詮釋認，為「心智」是「大腦」運作的一種方式，是大腦運作架構不可分割的一部份，而概念定義既然可以透過文字表達或書寫形成，則概念定義應該視為大腦中概念心像的一部份。這與 Vinner 認為心智要區分在「大腦」之外是最大的差異。解決輸出大腦心智概念心像概念定義. 問題輸入. 圖 2-2. Tall 概念心像架構. Vinner(1983)提出抽象概念的認知結構模型，此一理論為往後數學教育所廣泛接受，因此後文所提到的概念定義與概念心像採用 Vinner 的定義。Vinner 對一個數學概念的認知結構，將其分成二個單元所組成，即概念心像與概念定義，在概念的認知結構中可能同時具備這二個單元，也可能只具備其中一個甚或都是空的。. (一)、概念定義與概念心像概念定義指一種以正確且非循環的方式解釋概念文字上的定義(黃哲男,民 90)。所謂非循環的方式解釋，例如：我們問學生何為向量，學生回答有向線段，那我們又問何為有向線段，學生回答就是向量，這樣就是循環的解釋。概念心像是由心智圖像(mental picture)和一些與該概念有相關連結的性質 (properties)或運算程序(processes)所形成。這裡的圖像(picture)廣泛的指任何可能的視覺化表徵，可能是圖形、符號甚或是方程式形式，例如：函數圖形或「 y=f(x) 」都是圖像。因此某人 P 對某概念 C 的心智圖像定義為「P 心中所有. 18.

(19) 關於 C 之圖像的總集」(Vinner, 1983)。對於一個概念我們可能包含有「概念定義」與「概念心像」，也可能沒有概念定義。例如，我們對「house」這個單字，可能只有產生一個房子的概念心像，但是並沒有定義什麼叫做 house，即使我們很瞭解 house 的心像，這些心像的產生可能是從實例的定義(ostensive definitions) (亦即生活經驗)所得到。然而某些概念也可能是一般文字上的定義，例如：森林(forest)其文字的定義就是很多樹(trees) 聚集在一起，當我們看到很多樹在一起，我們就產生了森林這個概念心像。雖然他們是獨自形成，但是兩者之間可能會有交互作用，而其有二個重要的特性：(1)一般透過概念心像操作概念而非概念定義 (2)概念定義較不被運用甚至容易遺忘，而概念心像總是容易喚起(evoke)。 Vinner(1983)解釋對於某些概念我們有其定義，如化學反應，座標系統與等邊三角形，這些定義不是被教導所得到，就是當我們被要求解釋這個概念的時候被我們自己建構起來的。換句話說這些我們所被教導的定義，是一般化所被公認的系統(以科學或數學的概念為例)的「正式概念定義」(formal concept definition)，而個體以語言對概念作文字的定義，這種個人建構出來的概念定義，我們稱為「個人概念定義」(personal concept definition)。當我們對某概念並沒有任何概念心像，我們被教導概念定義為了就是產生心像，來填補沒有概念心像這個空缺。一開始概念心像可能是空的，但在經過多樣的例子與解釋，其開始產生概念心像。但是對於同一概念常因認知方式不同，而各自在心智中發展出不同的意義與概念心像，造成理解的落差，進而影響處理問題(訊息)的策略。因此對於數學知識象牙塔上絕對標準的正式概念定義，每個人有不同的認知上的差異，此時的心像未必能忠實反映概念定義，而數學教育就是為了填補這樣的落差或差異，而使達到共同的標準。教師以及學院程度以上的學習者，其概念的形成方式是先瞭解嚴謹的概念定. 19.

(20) 義，再針對這個定義產生其概念心像。因此我們期待概念心像的形成是在嚴謹正確概念定義完備下所形成的概念心像，這樣的概念心像才能最忠實的反映概念定義的性質。. 概念定義. 概念心像. 圖 2-3 概念心像的形成(Vinner, 1983) 初學者在解題常常是利用概念心像來處理問題，而非利用嚴謹的概念定義來處理，因而造成處理上的落差。Vinner(1983)研究發現，雖然經由抽象定義來對學生介紹函數，但是在解題上他們不依賴抽象定義來處理，而常是以圖解或利用公式來處理函數問題。. 結果輸出. 概念定義. 概念心像. 問題輸入. 圖 2-4 直觀反應(Vinner, 1983) 然而教師期待學生的解題思路卻是希望如以下三種模式：. 結果輸出. 概念定義. 概念心像. 問題輸入. 圖 2-5 演繹思考(Vinner, 1983). 20.

(21) 結果輸出. 概念定義. 概念心像. 問題輸入. 圖 2-6. 直觀演繹思考(Vinner, 1983). 結果輸出. 概念定義. 概念心像. 問題輸入. 圖 2-7 概念定義與概念心像交互作用(Vinner, 1983) 教師們期待當學生處理複雜的數學問題，學生能夠利用心像輔助思考，在嚴謹的概念定義下正確地解決問題，但是從研究我們瞭解學生一開始接觸問題進入思考工作，最先接觸的是概念心像，因此概念心像對學習有相當的重要性。. (二)、典範現象 Vinner 將概念定義分成二種類型： 1. 數學邏輯上的形式定義：可以用文字語言描述的形式上定義。 2. 物理空間上的操作定義：例如物理學上的反射的定義，就是屬於操作定義。而將概念心像分成三種類型： 1. 心智圖像：視網膜空間圖像投射至記憶區的心像。 2. 概念性質：包含三個部分，分別為(1)屬性特徵(Attribute Understanding)：對於概念的某些屬性與性質。(2)典範案例(Prototypucality)：記憶中的典型心像例子。 (3)概念部分或全體的推理(Part-Whole Reasoning)：如函數圖形應該是無限延伸，. 21.

(22) 但在心像卻是有限的部分圖形。 3. 運算程序：操弄一個概念的行動過程與邏輯步驟。接下來我們要討論的是「典範現象」(prototypes)或稱為「原型現象」。 Vinner 和 Hershkowitz(1983)提到學習者概念心像中的典範現象，為當個體說明某一概念時，通常以心智中最熟悉的認知結構作為基礎來描述此概念，這種以基本範例說明某ㄧ概念的情形，就是一種對此概念所產生的典範現象。例如當要求學生畫一個三角形，學生所繪製的三角形通常為底部水平略為等腰的三角形，這個就是一種對三角形所形成的典範現象。典範案例是個體做為最先參考來學習概念的例子(Schwarz & Hershkowitz, 1999)，教學者對個體以操作型的定義介紹概念，個體會迅速在心智中浮現典範案例，透過典範案例的特性來學習概念。例如：個體習慣於一次函數與二次函數的內容，在學習高次函數會常以一次函數或二次函數來推論高次函數，而這種以典範案例來學習概念的方式，稱之為典範現象。但是這樣的案例卻不一定能夠忠實對應到正式的概念定義，甚至這樣的案例是錯誤的。如平面上鉛直拋物線的方程式，原本應該是 y = ax 2 + bx + c ，但是大多數的人卻都是寫 f ( x) = ax 2 + bx + c ，甚至當將拋物線推廣為水平拋物線，個體依然將其方程式以 y = ax 2 + bx + c 表示，而非正確的 x = ay 2 + by + c 方程式。概念的典範例子對整個學習架構內容提供了一個代表整體的範例，典範例子也比其他例子對於概念呈現更多的特性，研究者將典範例子稱為「概念參考點」，是用來形成、判斷概念最重要的例子。由於典範例子相較於其他例子的不對稱的被廣泛使用，其他例子對於概念的幫助有比典範例子更遠的距離，但是透過典範例子學習卻可能造成誤判，例如我們以蘋果這個水果的特性來推論橄欖的特性，會把橄欖定為一種水果(Hershkowitz ,1989)。因此典範例子也遭受到批評，不能作為一個代表整個概念的範例，除非典範例子連結特定目的，否則是無意義的。. 22.

(23) 對個體來說概念並不是一個穩定的結構，概念學習是一種持續動態改變的歷程，學習者從特殊的例子開始，根據規律來組織、延伸概念。Vinner(1983)的研究指出對於一個概念至少都有一個以上的典範例子，這些典範例子都包含了許多概念的屬性，但學習者的概念心像中，卻只常常存在一個典範例子，形成典範現象。因此典範現象直接影響概念的學習，但是典範現象對於概念的運作是助力或阻力？從研究的結果來看，關鍵在這些現象是否具有「排他性」，如果概念的典範現象具有排他性，表示此概念具有一個相當活躍的特殊例子，而個體常以這個特殊例子來判斷所有的狀況，且此概念之認知結構中的概念定義元素並不完整 (Schwarz et al., 1999)。另一方面，如果概念之典範現象不具有排他性，表示此典範案例的使用只是習慣，個體將此典範例當成參考例或者這個典範例只是眾多例子中最活躍的一個。一般來說專家的典範現象常不具有排他性，專家會回到更嚴謹的定義，可以一直修正而不會有排他性。但新手的典範現象卻相當難以改變，我們稱之為「頑固性」，同時因為經驗的不足，個體的典範常是不完整的，當問題超過典範現象能處理的範圍，學生則無法處理問題。例如：「過平面上相異兩點的函數圖形有幾個？」這樣的問題，新手學生一般只能回答直線，但事實上答案卻是無窮多個。 Vinner(1983)研究發現一般典範現象常見的錯誤有二類型：「視覺化規範型」與「過度推演型」。視覺規範型錯誤我們以梯形為例，一般學生的梯形典範例子為上下底平行，二側邊不平行，但當學生看到帶有直角的梯形，卻不認為這是屬於梯形。過渡推演型最常見的就是學生對正三角形的認知，學生認為正三角形為「方方正正」的三角形，所以必須底邊水平且三邊相等，對於旋轉角度造成非水平的正三角形，學生會認為這不是「正」三角形。這種現象在幾何概念的學習上，因視覺上的錯誤認知造成迷思概念特別容易發生。利用典範例子來處理問題也會讓學生容易忽略了真實情況的合理性，例如學. 23.

(24) 生常透過內插法、外插法來求函數值，卻忽略掉函數是否為線型函數，更甚者當求出來的答案不合現實環境，學生也會將其忽略。最常見的例子為用函數來表示現實生活中的情境，如：細菌的指數遞減，透過外插法，可能造成細菌數為負數，但這明顯不合理。因此概念心像的發展是當感覺器官接受刺激傳達到神經元形成不同反應和刺激逐漸發展而成，當個體受到刺激便會喚起對應的心像，因此在個體學習學習新概念之初，應該要考慮教學設計的多樣性，避免個體產生不嚴謹的典範案例，產生典範現象。. (三)、衝突因素個體形成的概念定義與概念心像可能包含了和正式概念定義衝突的因素，大致分成二類：潛在衝突因素(potential conflict factors)與認知衝突因素(cognitive conflict factors)。潛在衝突因素為「概念心像中會與其他部份衝突的因素，稱為一個潛在衝突因素」，而認知衝突因素為「潛在衝突因素在導致實際認知衝突時是不會被喚起的，但是如果它們是因此而被喚起，那麼可以被稱為認知衝突因素」。尤其潛在衝突因素與正式概念定義有衝突，這樣的因素會變成嚴重妨礙學習正式的概念(Tall et al., 1981)。例如：對實數 2 學生常認為這不是一個複數，學生理解當複數 a + bi 中 b = 0 時稱為實數，但學生認為實數不為複數，這就是一個潛在的衝突因素。又如在初學整數的減法，學習個體的概念心像常建立為「總是越來越少」、「拿掉物品」，但是這樣的概念心像就會是一個潛在的衝突，當學個體學到負數減法，如 3 − (−2) = 5 時，個體便會產生認知上的衝突，造成學習困難。因此在課程設計中，除了要避免讓學生產生潛在衝突因素，甚至利用認知衝突因素來促進學生概念成長，便是在課程設計中所需多加思量的。. 24.

(25) 二、 Anna Sfard 思維理論 Anna Sfard(1991)提出了數學思維認知理論，其認為數學概念分成操作性概念 (operational conception)與結構性概念(structural conception)。大多數人是以操作性概念作為獲得新的數學概念的第一步，經由許多活動而得到新概念的存在性。之後概念會被抽象為一個靜態的結構物件(object)，而後在處理數學概念時將其視為整體，而不再顧慮其過程細節。因此操作性概念為動態、連續且詳細的，而結構性概念的為較抽象、整合的，且在概念發展的階段上是較高階的，所以 Sfard 認為在概念發展的過程中，操作性概念發展優先於結構性概念。因而 Sfard 將計算性操作轉換至抽象的結構物件，其概念形成過程分為三階段：「先經過內化. (interiorization)、壓縮(condensation)，最後再物化(reification)而後操弄它」，其分別敘述說明如下：. (一)、內化(具體的操弄物件)：個體藉由操作數學物件並逐漸熟悉的整個過程，進而產生新的數學概念或心智圖像(mental image)，亦即個體能夠藉由操作的過程而瞭解數學物件，而這些數學物件可以在被拿來分析使用，而不需要再重複實際操作過程，則個體對這個數學物件達到「內化」的層次。. (二)、壓縮(動態的整合性質)：個體能夠將整個冗長的操作過程濃縮成一個整體的輸入與輸出關係，而不需要在顯示任何細部的操作，則我們說個體達到「壓縮」的層次。其如同在程式設計中，將一連串的程序寫成一個新的子程式，而將這個子程式成為直接其他程式中的函數使用。. (三)、物化(形式化的靜態結構)：個體將整個操作過程凝固成一個物件、進入一個靜態的結構。此時個體將可以理解其性質、表徵之間的各種不同關係，且能將整個過程產生的新物件隨即與產生它的過程分開，亦能夠解決問題，包括發現此一種類在滿足給定條件下的所有例子，則我們稱個體已經達到「物化」的階段。. 25.

(26) Sfard(1991)以函數概念的形成為例，當個體學到函數自變數與應變數之間運算的概念，且能利用函數關係式子求得應變數之值，則到達內化的層次。而當個體能夠將函數中變數對應關係視為一個整體，而非只是專注在數值的計算對應上，則個體已經進入了壓縮的層次。當個體將整個函數概念視為一個物件，且能進一步研究函數圖形、操弄函數與圖形的變換、將二個以上函數合成新函數，甚至推演出反函數，則我們說個體已經將達到函數物化的層次。因此內化與壓縮是一種動態的量的改變過程，而物化是一種瞬間質的改變。. 概念 C 物件 C 物化. 概念 B 物件 B. 壓縮內化在物件 B 過程. 物化壓縮內化. 概念 A. 在物件物件 A. A 過程. 物化壓縮內化具體物件. 在具體物件的過程. 圖 2-8 概念形成模型(Sfard, 1991). 26.

(27) 三、 APOS 認知發展論 APOS 認知發展理論為 Dubinsky(1991) 和他的同事 Cottrill(1996) 基於 Piaget 反思抽象(reflective abstraction)認知觀點與 Sfard(1991)指出數學概念包含具體化操弄與形式化結構二個部分，所提出一套學習理論。他們認為數學知識的學習由「行動(actions)、心智程序(processes)與物件(objects)」所構成，而這些物件被系統化成一個架構，稱為基模(schemas)，他們以 APOS 這個名稱來描述程序概念經過膠囊化(encapsulation)然後轉變成物件概念的過程。. Action. Interiorization. Objects. Processes Encapsulation De-encapsulation. Coordination Inversion. 圖 2-9 APOS 理論運作模型(Dubinsky, 1992). (一)、行動 Dubinsky(1992)指出學生在學習數學時，個體察覺到外在物件刺激，而在心智或動作上反覆不斷地操弄著(manipulate)具體的物件，透過外在物件所提供的資訊，個體以正確的步驟執行變換，這個操弄的過程稱為行動。而如果個體理解這個變換的深度，只在著重於依照步驟完成變換的行動﹐則我們說個體是停留於行動層次上。當學生完全熟悉這個過程而深映在腦海，而不需要依循固定步驟而可以自己想像，整個行動就內化(interiorization)成心智程序(process; P)。例如：個體知道求函數的函數值，為將變數帶入函數關係式，經過四則運算便可得到函數值，而當個體遇到新的函數，如果其能計算新函數在某變數的函數值，則個體就是在進行一個行動，但若個體可以計算函數值，但卻無法解釋函數. 27.

(28) 的自變數與應變數的意義，則個體對於函數的理解是侷限在行動的層次中，其除了依照四則運算法則計算函數值，對於函數的概念並非完全理解。. (二)、心智程序當行動被重複操作﹐而個體可以對這個行動進行反思時，則行動可能已被內化為一個心智程序。亦即個體內在建構了可以用來完成相同行動的心智程序，當由外在的刺激引發，一個已經建構出心智程序的個體能夠清楚描述，或甚至能顛倒程序的步驟，而不需要實際上執行這些操作的步驟。和行動不同的是，心智程序的感覺是內在化的，而且為了特定目的控制之下完成，不是個體僅對外在刺激的回應動作。如果個體認為一個變換就是一個程序，那麼稱個體對數學概念深度是在心智程序層次。例如：個體使用導數的定義，求定函數的導數時，則個體正在執行一個心智程序，如果個體能發現函數的導數，但是在第一階導數未被求得，個體就無法利用一階導數再一次操弄導數的定義而求得第二階導數，則個體對於微分的概念，停在心智程序層次。若個體除了瞭解導數定義，更能將其歸納成一個微分規則，可以用來求任意函數的任意階導數，則個體對求導數的觀念就達到物件的層次。. (三)、物件當心智程序進一步成為操弄的對象而任意轉換時，這心智程序就被膠囊化. (encapsulation)構成形式化的物件(object)，這物件便成為進一步被操弄的對象。亦即個體在反思特定程序中一些行動的時候，能夠把程序視為一個整體，並且這個整體能夠再度進行其他的變換(無論它們是行動或程序)，則我們說這個體已經將這個程序膠囊化重新建構為一個認知的物件。當個體能夠將想法或概念當成物件來處理，則我們說這個體已經達到物件的層次。如果個體有需要，其也能夠在物件上進行一些行動，且個體也能夠將物件. 28.

(29) 解膠囊化(de-encapsulate)，讓這個物件回復到原來的程序概念中，或是將已經主題化的數學基模還原為各種構成要素。例如：當個體 f ( x) =. ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ，求 f '(1) ＝？這樣的問題，如果個體 ( x − 5) 2. 只能去依照微分公式來先求得 f '( x) ，再將 x = 1 代入 f '( x) ，卻無法瞭解依照導函數定義利用 f '(a) = lim x →a. f ( x) − f (a) 去求得，甚至無法解釋這樣的定義，則我們說 x−a. 個體僅是停留在操弄微分公式物件這個行動上，其無法將這個物件任意拆解解膠囊化去活用。. (四)、數學基模數學基模為將行動、心智程序、物件與其他基模彼此緊密連結的形式化數學物件。個體能夠反思一個基模，然後將這個基模視為一個總體，在這個總體上執行行動的時候，稱之將基模主題化(thematized)，並且轉換基模形成一個新的物件。將具體物件轉換進而成為數學知識，成為學生心智上可操弄的抽象化數學物件，將學習者的思維帶入更抽象的層次。亦即要讓個體形成數學物件，只有讓他們歷經產生心智程序與內化心智程序的過程。就是必須先讓學生回到心靈上或肉體上的行動，再透過反思抽象將行動內化形成心智程序，進而膠囊化成數學物件，而若反轉到原始行動的過程便是所謂的解膠囊化(de-encapsulation)。因此隨著 APOS 循環的過程，學生的數學基模將會不斷地延展擴張，同時其操弄的物件將會更加抽象，所學的知識也將愈來愈形式化。我們以解方程式為例。當學生一開始學習解 x + a = 0 此類方程式，學生學過 x − 2 = 0 的解法，知道其作法為將其兩邊同時加上 2，得 x − 2 + 2 = 0 + 2 ⇒ x = 2 解. 得 x 之解，當學生遇到 x + 3 = 0 的方程式，其以相同作法 x + 3 + (−3) = 0 + (−3) ，解得 x = −3 ，則我們說其達到行動的層次。若學生能夠進一步反思瞭解其解題步驟. 29.

(30) 為等量公理的概念，則我們說他已經達到心智程序的概念。而當學生熟練這些操作，將這些程序簡化成 x + 3 = 0 ⇒ x = −3 (移項變號)，則我們稱學生將其膠囊化成為一個物件，當以後學生在解一元二次方程式，結合「 ab = 0 則 a = 0 或 b = 0 」以及「因式分解」這些物件，學生能夠將 x 2 − 3x + 4 = 0 分解 ( x − 4)( x + 1) = 0 ，進而得到 x = 4 或 x = −1 ，則我們說學生將這些主題化成為一個「解一元二次方程式」的數學基模。. Piaget 認為學習是個體不斷同化(assimilation)與調適(accommodation)舊經驗來獲得與外在環境平衡(equilibriu)的過程。Dubinsky(1992)基於這樣的理論推廣至數學學習，認為學生在不同的時空面對問題情境時，會喚起不同的心智結構，以不同的方法來面對問題，因此心智結構並不是靜態的，而唯有透過心智結構的擴張，學習才會發生。其認為學習數學是透過心靈上或行為上不斷地建構和組織. (constructing reconstructing)心智程序與物件的過程，透過不斷地循環，心智結構便得以擴充並進入較為抽象的層次。綜合以上研究，Vinner 對數學概念的高層次思維活動做了完善的分析和歸納，而 Sfard 與 Dubinsky 對於數學概念的獲得與理解，而至數學概念基模的形成，有了清晰明確的架構，對於錯誤數學概念的形成分析與教學模式及教學策略有相當重要的助益。. 30.

(31) 第三節動態幾何軟體與概念多重表徵. 傳統的幾何課程是靜態的圖形操弄，但應用電腦工具與代數幾何軟體，將其變成動態的幾何課程，在概念建構過程呈現文字、圖形、數值、代數方程等多重表徵，藉由實驗、模擬、驗證與歸納等過程而感受到數學定理的存在感。. Kaput(1992)認為數學學習為涵蓋數值、代數、圖型及語意……等各種表徵的交互作用，以電腦提供動態的表徵變化及各表徵之間的緊密連結，讓學習者體驗與探索並歸納結果，這是傳統黑板、粉筆的講述式教學所難以達到的。. 一、動態幾何軟體介紹與發展 (一)、動態幾何軟體 GSP GSP (The Geometer’s SketchPad)是由美國 Key Curriculum Press 所出版，其內含歐氏幾何作圖工具，左台益(2008)認為 GSP 具有以下三大特點：. 1. 綜合幾何：提供尺、規作圖工具，精準的繪出點、直線、射線、線段、圓、弧、平行線、垂直線、角平分線等，可繪製複雜的幾何圖形。提供精確幾何視覺化圖形操弄，便於探索幾何性質。. 2. 解析幾何：提供直角坐標系與極坐標系，以及由數值度量計算功能，可以量角度、長度、面積、周長、弧長等，提供使用者繪製函數或參數式圖形且操弄函數或參數式中的常數，觀察相對應的圖形變化。. 3. 變換幾何：提供基本保距變換及伸縮變換，能夠將變換(伸縮、平移、旋轉、鏡射、移動軌跡等)以視覺上連續動態展示。. GSP 除了可以輕易建構函數圖形，動態操弄幾何物件，且其模擬功能提供了幾何動態視覺化呈現，讓我們建構一個可以隨意操弄的實驗與模擬環境。. 31.

(32) (二)、代數幾何軟體 GeoGebra GeoGebra 是由 Markus Hohenwarter 於 2001 年在奧地利 Salzburg 大學，為了數學教育博士論文計畫所設計，以 Java 程式語言所完成的數學繪圖軟體，榮獲歐洲多項軟體大獎，現在已經發展具有多國語言，且為跨平台的數學繪圖軟體。. GeoGebra(Geo+Gebra)名稱取自幾何(Geometry)與代數(Algebra)所得。顧名思義其特色包含了代數圖形繪製、微積分與動態幾何操弄。當使用者繪製幾何圖形，軟體變同時產生代數方程式，反之當輸入代數方程式，程式同步產生幾何圖形，其特點為將綜合幾何與解析幾何表徵同步呈現的軟體。GeoGebra 在動態模擬無. GSP 來的強大，但在代數與幾何圖形的結合 GeoGebra 卻比 GSP 來的完善， GeoGebra 透過代數方程式所產生的圖形，可以直接做幾何變換操弄，同時 GeoGebra 還可做邏輯判斷，而這正是 GSP 最大的弱點。同時由於 GeoGebra 為使用 Java 所發展而成，故非但其有跨平台的特性，在網頁呈現來的比 GSP 完整且穩定，亦可利用 Java Script 語法控制其功能物件，因此結合網頁設計與資料庫，使得 GeoGebra 可以成為學習管理系統相當好的幾何工具。. (三)、動態幾何軟體的發展動態幾何軟體的發展一開始並非以教育為目的，而是為了可以精確繪製幾何圖形所設計的簡單尺規作圖工具軟體(Scher, 2000)，其特性為透過簡單的幾何構圖. (平行、垂直、角平分)與變換功能(對稱、平移、旋轉、縮放)，使用不同的作圖方法而可以得到相同的圖形，而讓幾何構圖呈現了更多樣性，不同構圖方式產生出的子物件，也有著不同的幾何動態性質。而後許多教育研究者將動態幾何軟體與課程設計結合，利用動態幾何軟體提供學生可動態建構及操弄幾何物件關係的實驗環境，鼓勵學生合作學習與探索研究，並且訓練學生推理與創造力，使得動態. 32.

(33) 幾何軟體從精巧的繪圖工具轉成為數學領域的探索工具。美國教師將傳統抽象幾何問題，利用 GSP 設計成了「實驗性問題」來引導學生學習，讓學生從瞭解從幾何內容的相關性質開始學習，隨後再進入證明的推理演繹。透過動態幾何的課程設計，將正規複雜的幾何內容轉成多樣化練習模組，引導學生瞭解幾何內容的相關性，更實證性發現數學的理論 (Ruthven, Hennessy,. & Deaney, 2008) 。在法國則利用另一套動態幾何軟體 Cabri，發展設計了精緻化的情境學習課程，學生於情境下操弄所獲得的結果反應可能會超出教師所預期規劃，教師更要接受一個電腦化無實體紙筆尺規的學習環境，因此教育方法的複雜度提高，而且課程架構也趨於複雜。動態幾何軟體的引入教學環境，大大改變了教師教學行為與信念，讓幾何教學從靜態的演譯推論證明，轉變成為一種啟發式實驗探索與融合情境的學習模式。動態幾何軟體使得數學變成一種實驗的科學，如同心智體操般的遊戲，數學變成一種有趣現象的探索，學生也如同科學家一般探索建構知識(Olive, 2002)。. 33.

(34) 二、動態幾何軟體與幾何教學荷蘭數學教育家 Van Hiele(1986)夫婦提出綜合幾何思考發展模式，把幾何學習分成五個層次，以下將五個層次分述如下：. 1. 視覺層次(visualization)：能依據整體外觀，分辨圖形形狀或描述圖形、比較與分類、辨認且操作圖形與幾何構圖，將幾何概念視為整體的物件，但不含有組成成分或屬性。. 2. 分析層次(analysis)：可以描述辨別圖形，根據圖形的組成要素與之間的關係，分析圖形的性質、特徵及構成要素，並用這些特性解決問題。. 3. 非形式演繹/抽象層次(informal deduction / abstract)：能建立形體之間的關係並使用定義，且能瞭解定義和非正式解釋論證，接受定義的等價形式。但不能掌握公理演譯的意義與區分敘述和其逆敘述。. 4. 形式演繹層次(formal deduction)：能在一個公設系統下瞭解定理的不同證明方式，學生不在記憶定理證明而是建構出證明來，能正式嚴密的邏輯推演證明和建立定理間的關係。. 5. 嚴密邏輯層次(rigior)：屬於理論建構的層次，學生能比較不同幾何系統，例如歐氏幾何與非歐幾何的比較。於不同公設系統下嚴謹地建立定理並且分析、比較這些系統，將幾何抽象出來(左台益、梁勇能, 2001)。. Van Hiele 理論類似 Piaget 的認知發展理論，認為每一層次有順序的發展，但不同的是 Van Hiele 夫婦認為發展層次與年齡無關，而與學習者自身經驗與學校教學因素有關，依此理論學生在適當的學習過程，將會經歷這五個層次。傳統上教師只是選擇教材而後根據內容進行教學活動，學生只是聆聽教材內容，在學習過程很難達到高層次的幾何思考，但動態幾何軟體的介入，不但容易進入視覺層次，透過動態的拖曳物件，學生可以分析圖形元素、動態觀察性質，掌握其之間的關係，並且非形式的演譯論證，達到更高的思考層次。幾何課程從. 34.

(35) 「教師演譯證明」嚴密系統的角度，讓教師角色轉換成為課程內容的中介指導與指引者，教師的角色從選擇教材、適應教材內容並且教導教材的角色，轉成將課堂操作練習結合教材內容，創新設計成更廣泛的學習架構，讓課程設計也變成課程的一部份，幾何學習的型態從演譯推論證明，透過動態幾何軟體學習伙伴，成為一種透過「感覺」的認知建構學習形式(Lampert, 1993)。. (一)、對教學的優點透過軟體將教師觀點以模組化的動態圖形來傳達給學生，提供和學習內容連結對應的動態模型，成為學生學習的輔助參考，同時透過動態圖形探索，可培養學生空間與圖形的感知(賴信川，民 95)，可幫助學生建立對內容的瞭解。而學生在操弄動態幾何模型中，學生可理解與探索幾何概念，同時指引學生自己發現幾何規則、型態與特性，使學生信服、瞭解以及記憶內容。一般利用尺規作圖比較粗糙，容易造成繪圖誤差，透過軟體使得學生繪圖工作更簡單、快速與精確，減少學生因為繪圖而從學習關鍵點分心，動態模型更能促進學生有更全面的觀點。動態幾何可拖曳改變圖形，學生透過拖曳而注意到某些數學的特性，使得圖形性質更易於理解，除了可以維持學生的學習注意力，使用動態幾何支持訓練條理表達能力，幫助學生觀念更佳清晰，瞭解數學的規則而不會模糊。教師透過事前設計與課程連結的動態模型，將可能的混淆學習的因素排除，以策略問題指引學生達到學習目標，而使得學生更容易瞭解性質。例如：教師可以限制學生只作某些動作，避免學生因介面不熟悉造成操作上困難浪費時間，透過準備好的圖形與測量操弄元件，讓學生更易於使用動態模型。動態模型給予學生幾何內容與軟體互動的體驗，建構學生使用動態幾何與數學理論規則的互動，使學生專注在數學內容的本質，透過課程設計引導學生瞭解幾何內容的相關性，優先於對幾何內容的推演證明 (Lampert, 1993)。動態模型可. 35.

(36) 改變的特性，學生可看到圖形改變，內容變的明顯易得且變化出無限的例子，亦可以找出不能成立的情況，例如直線與曲線的交點變化在某些條件下是無法構出圖形的，讓學生在活動中發展數學批判思考活動，且比起與教師討論，因為學生之間用語相近，所以透過動態幾何形成的討論比較少鴻溝(Ruthven et al., 2008)。. (二)、對教學的缺點與問題動態幾何的實驗性問題學習方式，讓課堂練習成為綜合與創造的學習方式，對於教師在傳達幾何概念過程，提供了更多的支援及讓課程內容產生了創新，亦可用於補救教學輔助學生突破障礙(Cuban, 1989; 謝世杰，民 95)。然而在引入動態幾何實驗環境輔助下，可能有些傳統課堂的幾何問題變得毫無意義(Lampert,. 1993)，且學生過度依賴工具性的操作模式學習而對學生組織能力的影響也飽受批評(Cuban, 1989; Cuban, Kirkpatrick, & Peck, 2001; Ruthven et al., 2008)。動態幾何軟體(GSP 或 Cabri)雖說功能強大且遵循歐氏幾何構圖原則，但許多數學教師僅能使用 GSP 的傳統操作技巧(Becker, Ravitz, & Wong, 1999)，或是設計比較簡單模組，無法設計更深入的模組來作為研究探討。部分數學教師只是將動態幾何軟體作為方便且精準的紙筆繪圖工具，主要用來產成精確的測量資料，以及透過視覺化拖曳呈現教材內容所包含的不變動數學性質，但是卻讓學生失去自主實驗學習的空間(Ruthven et al., 2008)。利用動態幾何軟體設計模組需要比較多的數學知識，學生難以自己建構模擬模型，大都只能操作教師設計好的元件，學生對此軟體難以精熟，以致難以自行設計模擬元件。如：繪製橢圓需利用到較多的數學性質。其次由於動態幾何的圖形可拖曳性，如果將模型設計過於制式化，造成學生操弄的物件過少，則失去探索實驗的機會。但反之太多可自由操弄的物件，則學生在操作過程中常會發生超乎預期規畫的效果，因此動態幾何課程設計最複雜的是如何管理學生多樣的思考模式，並且緊扣住學習內容，將這些處理的學習元素主題，重新排序整理建立起. 36.

(37) 一個適性的推論課程，又能不失去自由探索的價值 (Laborde, 2001; Lampert, 1993;. Ruthven et al., 2008; Wiske & Houde, 1993)。. (三)、對課程發展的衝擊教師準備動態幾何課程主要有二個信念：(1)學生學什麼：透過動態幾何工具要學生學到什麼內容。(2)學生如何學：動態幾何工具如何幫助學生學習課堂內容。因為傳統的課本教材並非以動態幾何概念為核心來設計，故當教師使用動態幾何軟體時，必須自己將這二者作整合應用。同時動態幾何將教師教學的角色轉為給予探索、建議、引導推測與論證的學習伙伴，同時將動態幾何的角色從練習模擬的工具，轉換成另一種形式的教師代理人。在課程設計需要突破與創新，動態幾何與情境化課程教材的設計，需將概念外觀呈現與課程內容核心關係緊密結合(Engstro¨m, 2004; Haggarty & Pepin, 2002; Remillard, 2005; Ruthven et al., 2008)。許多學科專家開始發展動態幾何課程，使得動態幾何在學校課程趨向正規化且更系統化，由於動態幾何被習慣用於觀察、測量與實驗，使得幾何變成一門實驗的科學，而非演繹的科學，強調實驗重於證明。透過動態幾何使得幾何課程不僅是幾何內容的學習，更是一個圖形、空間與測量能力的培養(Ruthven et al.,. 2008)。早期大部分的國家對於動態幾何的內容與課程綱要的連結較弱，但是近年來由於許多教學研究者對動態幾何的正視與支持，有著越來越多實證性的探索研究。動態幾何工具亦造成學習策略的改變，例如求過三點的弧，原本需要利用中垂線概念，但在動態幾何工具卻只需要直接利用選單工具，因此操作性工具與知識的連結使得課程的設計重新排序結構，將正規複雜的幾何內容轉成多樣化練習與學習模組，在課程設計上強調讓學生從抽象幾何「發現規則與模式」到「清楚的寫出規則」來辯證理論。. 37.

(38) (四)、小結教師以動態幾何支援數學教學，需分析內容架構來設計課程與建構模型，藉由指引性的參照模型，引導學生探索理論而學得知識。透過與動態圖形的互動，強化數學知識，讓學生「拖曳」不僅是隨意的拖曳，而是符合數學規則的拖曳。國內自從 80 年代引入 GSP 動態幾何至今，在推行上主要面對的三個問題為：. (一)、軟體使用與取得：GSP 為商業軟體，雖說目前許多學校都有取得校內版權，但學生依然無法自由取得軟體在家練習，且其介面為英文，對於使用中文的學生在使用上一直有障礙。但代數幾何軟體 GeoGebra 不但是跨平台且完全免費，更具有中文的介面，代數與幾何表徵的連結比 GSP 來的緊密，是值得推廣的軟體。. (二)、教學上器材的不便：在使用 GSP 輔助教學，最常使用的便是在教室以筆記型電腦搭配單槍投影機，或者在電腦教室實施實驗探索活動。但前者常淪為展示素材而失去學生探索實驗的精神，後者則與課程活動的連結太弱，無法進行程序性知識的教學同時，讓學生可以同步進行練習實驗，而隨著行動載具的發展，以上二點問題都可以透過硬體、軟體設計支援而克服。. (三)、課程設計與教學策略的缺乏：如上文獻探索，現行數學課程並非動態幾何概念設計，所以在教學實行的策略上，是最值得研究者深入發展的領域。因此結合行動載具支援、課程與軟體整合，在傳統教室以行動載具提供學生即時性同步操弄數學實驗模型，對於學習者的概念認知與發展應有相當助益。. 38.

(39) 三、多重表徵與動態代數幾何學習表徵為認知活動中的產物，經由表徵形式瞭解知識的結構與內涵，其呈現數學概念與思維，以輔助知識結構與內涵的瞭解，除了是數學本質上的一環，也是數學概念外在具體化的呈現形式。表徵系統在數學學習理論中佔著重要的地位，它們不僅是將數學概念結構具體呈現的工具，亦是將數學基本結果分類的方法(左台益、蔡志仁, 2001)。概念的性質常有多種面象，單一表徵常僅能呈現一個觀念或概念結構的某些部分，無法完全顯現出這些性質，學習者需建構此概念定義的多重表徵，方能形成較完整的概念心像(蔡志仁,民 88)。. Kaput(1987)結合內在知識結構與外在符號系統，如圖表、文字……等，將表徵系統分為(1)認知與知覺的表徵(cognitive and perceptual representation)：個體對於知識與訊息儲存或轉換的形式。(2)解釋的表徵(explanatory representation)：個體用以說明內在的表徵，如語言、圖像與其他符號等。(3)數學結構內在的表徵. (representation within mathematics)：不同數學結構之間的關係，以數學的某種結構來呈現另一種結構系統。(4)外在符號的表徵(external symbolic representation)：用以表達數學概念的外在符號系統。. Kaput(1989)的代數符號系統表徵研究中提到，表列表徵可以清楚的顯示數值量的變化，但資料卻都是零散、有限且無法涵蓋全部概念的。其認為代數式的表徵能夠有效的以符號呈現自變數與應變數之間的規則關係，且易於表示程序性知識，雖說代數式可傳達等式關係的概念性知識，卻難以整體掌握變數間整體關係。. Janvier(1987)指出線型函數包含「文字敘述表徵」、「表列表徵」、「代數式表徵」與「圖形表徵」，而圖形表徵可以視覺化的閱讀整體或局部的概念，並認為學習數學應該在同一物件上運用數個表徵，才能完整的詮釋概念。. Kaput(1989)亦認為數學學習應著重在表徵的製造和表徵之間的連結。而多重表徵系統的重要性，在於它們之間的轉移(translations)與它們本身內部的轉換. 39.

(40) (transformations)。轉移為在系統間的對應(between-system mappings)，轉換為在系統中的運作(within-system operations)，數學觀念的獲得與使用，很少只用單一表徵去獲得，所以在概念發展中，必須要做到對於單一表徵的完整建構，也要做到表徵間互相連結的工作(Lesh, Post, & Behr, 1987)。現今因為科技與軟體的輔助，不僅可以呈現圖形、代數與數值等多重表徵，更重要的可以動態同步的變動，彌補書本教材中表徵只是靜態無法對其行動操弄的缺陷。Dubinsky 強調經由對實體或心智物件的行動操作是學習新數學概念的重要關鍵，而視覺化呈現多重表徵的代數幾何環境，可讓學生具體地不斷實驗觀察數學物件並反思，透過對代數、數值與圖形的視覺化行動與觀察變動，進而內化成為心智程序，並最後膠囊結構化成為新的具有多重表徵之數學物件。. 40.

(41) 第四節橢圓數學結構與學習歷程探討. 數學上常以形式化的定義或符號描述數學概念，此為簡意賅地精緻化思維，但對初學者而言，卻難以清晰掌握意涵。數學思考方式的多樣性使得表徵許多風貌，而人透過不同的表徵形式以瞭解知識的結構與內涵，因而有多重表徵來呈現數學概念想法(左台益、蔡志仁， 2001)。解析幾何課程強調透過方程式的代數運算與意義來探討幾何圖形，因此特別強調代數表徵與圖形表徵之間的關係。在我國高中、高職課程數學內容架構，橢圓課程安排在多項式運算及其性質、座標平面與空間向量之後，從數學結構來上來分析，其先備知識為平面座標系統與多項式系統。蔡志仁(民 88)動態連結多重表徵視窗環境下橢圓學習之研究，將橢圓的多重表徵，以 Kaput(1987)表徵理論將其型式分為五種：. (一)、語意表徵：文字定義、情境描述、口語敘述、表列等。 (二)、圖形表徵：橢圓的幾何形狀以及構圖表徵，包含靜態的平面圖形，與電腦中動態的圖形。其中構圖表徵即為橢圓機械作圖之相關的圖形。. (三)、軌跡表徵：指以符號代數表現圖形軌跡方式，如 PF + PF ' = 2a 。 (四)、方程表徵：指所有橢圓方程式。如 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 、. x2 y 2 + = 1、 a 2 b2. x2 y2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 、、 + = 1 等。 + = 1 b2 a 2 a2 b2 b2 a2 (五)、結構表徵：橢圓中組成結構的表徵，例如長、短軸長與焦點距離的關係式、長軸長為定義中的固定長 2a 等。其並探討不同層次學生的內在思維心理歷程及其外顯表徵結構，得到如圖 2-10、圖 2-11、圖 2-12 之高中低三個層次學生的學習歷程圖。. 41.

(42) ：表示自行建構. 圖 2-10 高層次學生橢圓學習的歷程(蔡志仁，民 88). ：表示自行建構. ：表示教師指導. 圖 2-11 中層次學生橢圓學習的歷程(蔡志仁，民 88). ：表示自行建構. ：表示教師指導. 圖 2-12 低層次學生橢圓學習的歷程(蔡志仁，民 88). 42.