柱面型共振腔模態之研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 柱面型共振腔模態之研究 Study of laser modes generated from a hemi-cylindrical cavity 研究生：吳易哲指導老師：陸亭樺博士. 中華民國一○三年六月.

(2) i.

(3) ii.

(4) 摘要本文利用柱面鏡作為雷射共振腔的前鏡來產生具有像散特性的空間模態。由於柱面鏡水平(x)方向和垂直(y)方向有不同的曲率半徑，造成雷射模態在 x、y 軸上有不同程度的聚焦，因而影響雷射模態在行進間的結構有所變化。我們針對這種特殊的共振腔進行實驗與理論分析。. 另外在外部加上一柱狀透鏡後，可以將高階 Hermite-Gaussian(HG)轉換成高階 Laguerre-Gaussian (LG)模態，而這一個外部柱狀透鏡，會將原來柱面鏡雷射腔造成的聚焦差異修正回來，而隨著行進間的轉變，我們亦將其記錄。對照 1993 年 L. Allen 等人用 HG 基底重組後可得 LG 模態，此種方式只能處理遠場轉換完成的 LG 卻不能處理行進間的變化過程；本文運用海更士積分和 ABCD 法來呈現隨行進間的模態變化，並針對柱面鏡垂直兩軸的曲率半徑不同所改寫的 HG 模態，能以此描述行進中的模態變化，和以 HG 基底重組後所呈現的 LG 模態，將模擬模態的行進過程和實驗記錄對照。. 系統在裝置外加柱透鏡時，當拉大聚焦系統對雷射腔體的離焦或離軸時，會發現一些特殊的模態，非一般的 LG 模態，此類因為其特殊腔長下作離焦離軸所產生的模態稱為” flower-type mode”，其成因為相同能量的模態疊加而成，在本文中並對雷射腔體所呈現出的 flower-type mode 紀錄並對此嘗試做出數值模擬。. 關鍵字:柱面型共振腔、海更士積分、ABCD 法. iii.

(5) Abstract We experimentally researched the astigmatic fundamental mode and high order Hermite-Gaussian mode from hemi-cylindrical laser cavity which has cylindrical mirror as front mirror. Laser light profile is changing along propagation because beam divergence are different with cylindrical mirror different radius on x and y axis. This phenomenon called astigmatism. We recorded and analyzed these laser modes. Another way, we set a plane-convex cylindrical lens as extra-cavity to transform high-order Hermite-Gaussian mode into high-order Laguerre-Gaussian mode because beam divergence can adjust by extra-cavity cylindrical lens. We also recorded the transform along propagation. Afterward, we followed L. Allen’s research’s concept at 1993 that they used Hermite-Gaussian mode as basis to reconstruct Laguerre-Gaussian mode. To present those mode’s numerical fitting, we combine Huygens integral and ABCD law to descript mode transform along propagation and revise the function for cylindrical mirror. Finally, we did numerical fitting to compare with experimental result. Specially, when we increased the pump offset or the pump size, we observed some unique modes, called “flower-type mode” We displayed these kind mode related to the coherent superposition of Laguerre-Gaussian mode.. Keyword: hemi-cylindrical laser cavity, Huygens integral, ABCD law. iv.

(6) 致謝兩年的時間其實對於研究生而言可能只是剛掌握住實驗發展就已經要準備畢業了。回顧完成這篇論文的這兩年點點滴滴，著實受到太多人的幫助，因為你們我才能順利完成我的碩士論文。感謝陸亭樺老師，老師總是很有耐心、不厭其煩的指導我們專業上的事物，在犯錯的時候也一直包容，老師懷孕的時候，還要忍受身體的不適來教導我們這群學生，真的很感謝老師；另外老師做研究的態度和一絲不苟的精神，是在專業之外更加讓我敬佩的地方。兩年前從懵懂無知的菜鳥，到發現研究的樂趣都是老師一步一步拉拔的，老師這兩年對學生的教導，真的是我非常非常貴重的經歷。感謝冠銘學長，薇棉學姊還有家豪，在我剛進實驗室的時候，教我如何架設實驗、寫模擬、還有閱讀論文的指導，使我在剛進實驗室時能更快入手和解除陌生感；感謝建豪、政浩，這兩年的時間一起修課、實驗、交換心得、做海報、趕論文，能一起做事一起畢業真的很令人開心，感謝你們這兩年的包容；另外也謝謝晢剛、裕雯、仁璽，雖然只有一年的相處時間，但實驗室有了你們真的熱鬧許多，也在實驗室生活中增加趣味。最後謝謝爸爸、媽媽、弟妹還有育慈，謝謝爸媽一路含辛茹苦地拉拔我長大供我念書，一直支持我，包容我的任性，讓我可以一路順利完成學業，更做為榜樣以身教教導我做人做事的態度，去面對各種挑戰，真的很感謝你們也很愛你們。也謝謝育慈一路在我身邊陪我走過，聽我嘮叨一些不順心，很開心現在能和你分享這一切。回顧這段求學生涯，一路上真的是受到太多太多人不求回饋的幫助，所以以這篇文致謝大家，接下來就準備要出社會了，我也會抱持著不求回饋、盡我所能的回報社會。. v.

(7) 目錄論文授權書 i 摘要 iii Abstract 致謝目錄圖表. iv v vi vii. 第1章 1.1 1.2. 緒論............................................................................................................ 1 前言............................................................................................................ 1 研究動機.................................................................................................... 3. 第2章 2.1. 理論背景.................................................................................................... 4 雷射晶體 Nd:YVO4 介紹 .......................................................................... 4. 柱面型共振腔............................................................................................ 9 2.2.1 共振腔的穩定條件........................................................................ 9 2.2.2 柱面型共振腔的波函數.............................................................. 13 2.3 橫向模態與縱向模態的頻寬比.............................................................. 19 2.2. 2.4. Hermite-Gaussian 模態的疊加 .............................................................. 21. 第3章 3.1 3.2. 柱面型共振腔雷射模態實驗結果與分析 ............................................. 23 實驗裝置架構.......................................................................................... 23 像散的模態之近遠場變化...................................................................... 26 3.2.1 像散的基本模態之近遠場結果.................................................. 26 3.2.2 像散的 Hermite-Gaussian 模態之近遠場結果 .......................... 29 3.3 像散的 Hermite-Gaussian 模態行進理論分析 ...................................... 30 3.4 腔外柱狀透鏡的模態轉換...................................................................... 33 3.4.1 像散的基本模態之轉換.............................................................. 33 3.4.2 像散的 Hermite-Gaussian 模態之轉換 ...................................... 34 3.5 模態轉換之理論分析.............................................................................. 35 3.6 柱面型簡併腔模態轉換.......................................................................... 39 3.7 實驗結果討論.......................................................................................... 42. 第4章 4.1 4.2. 未來工作.................................................................................................. 43 模態轉換參數與腔長關係...................................................................... 43 轉換模態的干涉圖形.............................................................................. 45. References 46. vi.

(8) 圖表圖 2-1 單位 YVO4 晶體結構示意圖[22] ................................................................................................ 5 圖 2-2Nd:YVO4 能帶示意圖................................................................................................................... 6 圖 2-3 Nd:YVO4 A、B、C 三軸 ............................................................................................................. 6 圖 2-4 雷射腔腔體示意圖 ...................................................................................................................... 9 圖 2-5 𝑔1 − 𝑔2關係圖，斜線部分表示共振腔達到穩定條件的解。 .............................................. 12 圖 2-6 模態系數與頻寬示意圖 ............................................................................................................ 20 圖 3-1 實驗裝置示意圖 ..................................................................................................................... 24 圖 3-2 外加柱透鏡的實驗裝置示意圖 ................................................................................................ 24 圖 3-3 傳統雷射腔外加柱透鏡的實驗裝置示意圖............................................................................. 25 圖 3-4(A) – (E):為實驗上基本模態的近遠場變化； (A’) – (E’):為理論模擬基本模態的近遠場變化。 ........................................................................ 26 圖 3-5 不同軸向光束半徑隨行進方向上的變化圖............................................................................. 28 圖 3-6 為圖 3-5 在 ΩZX 和 ΩZY 的交會點放大圖，可看出聚焦差異 .................................................... 28 圖 3-7(A) – (E):為實驗上 HERMITE-GAUSSIAN 模態在近遠場的變化； (A’) – (E’):為理論模擬 HERMITE-GAUSSIAN 模態在近遠場的變化。 ...................................... 29 圖 3-8(A) – (E):為實驗上基本模態轉換後的近遠場變化； (A’) – (E’):為理論模擬基本模態轉換後的近遠場變化。 ......................................................... 33 圖 3-9(A) – (E):為實驗上 HERMITE-GAUSSIAN 模態在近遠場的變化； (A’) – (E’):為理論模擬 HERMITE-GAUSSIAN 模態在近遠場的變化。 ........................................ 34 圖 3-10(A)、(C)模態的腔長為 11.950mm，離軸 0.315mm，離焦 1.720 mm (B)、(D)模態的腔長為 11.600 mm，離軸 0.350 mm，離焦 2.600 mm .............................. 39 圖 3-11(A)、(C)模態的腔長為 14.710 mm，離軸 0.280 mm，離焦 2.000 mm； (B)、(D)模態的腔長為 14.723 mm，離軸 0.0 mm，離焦 4.390 mm .................................. 40 圖 3-12 (A)、(C)模態的腔長為 15.550 mm，離軸 0.36 MM，離焦 3.700 mm； (B)、(D)模態的腔長為 15.510 mm，離軸 0.024 MM，離焦 3.741 mm ............................... 40 圖 3-13(A) Ω=2/7 腔長的實驗結果；(B)數值模擬疊加 HG 的結果 HG4,8+HG2,13+HG0,18 ............... 41 圖 4-1 外部住透鏡旋轉角度與雷射模態關係 .................................................................................... 43 圖 4-2 腔長 6.230 mm，HG0,7，在外加柱透鏡後在(A)17⁰ (B)18⁰ (C)19⁰ (D)20⁰的拍攝 .................. 44 圖 4-3 腔長 12.230 mm，HG0,6，在外加柱透鏡後在(A)19⁰ (B)20.2⁰ (C)21⁰ 的拍攝 ....................... 44 圖 4-4 腔長 19.230 mm，HG0,6，在外加柱透鏡後在(A)11⁰ (B)12⁰ (C)13⁰ (D)14⁰ 的拍攝............... 44. vii.

(9) 第1章緒論 1.1 前言在 1958 年，Charles Hard Townes 和 Arthur Leonard Schawlow 於貝爾實驗室發現了現今所謂的雷射(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, LASER)，因其高度集中的能量、同調性等特性。在現今的世界可說是運用廣泛，甚至在結構性光場上能提供重要的貢獻，從 1992 年 S. J. van Enk 與 G. Nienhuis 以量子力學中的運算子方式來描述空間中傳播的光波[1]，我們可以瞭解對於量子力學中運動隨時間的演變的概念，對應為在光波中隨空間演變，而使得粒子與光波的相對應關係在數學模式上的展現可見一斑。. 由波動光學中的波前錯位( wavefront dislocations )中，使得光波具有角動量。在 1936 年 R. A. Beth 就已經可以測得光的自旋角動量，而光的自旋角動量在光的性質上的展現，即為一般人知道的光的偏振性(如線偏振、圓偏振等等)[2]，並且造成此種角動量產生的光學儀器即是波片(有四分之一波片、半波片、全波片)， 1970 年 Arthur Ashkin 利用這樣的光學性質提出 optical trapping 的概念[3]，接下來衍生出的各種技術，如在生物學中使用 optical tweezers [4]、在化學上分子原子的操作[5]有重要應用，1992 年 L. Allen 提到 Laguerre-Gaussian 的光場分佈可以被認為是具有可完整定義的軌道角動量[6]，而後光的軌道角動量在量子資訊、量子糾纏上也有重要的貢獻[7-12]。. 在波動光學的理論上可以了解到，在球型共振腔的邊界條件下所得到的波函數和物質波的 Schrödinger Equation 中的二維簡諧振盪子波函數，具有相同數學形式[13-14]，實驗上藉由操作雷射共振腔了解雷射光束的物理性質，以及影響其性質的參數為何，本實驗屬於外部共振腔，相對於微型共振腔來說可調整的參數. 1.

(10) 非常多，其雷射光波函數對應於共振腔的邊界條件變化性亦高，基本上仍以近軸近似( paraxial approximation)下的 Hermite-Gaussian 模態或 Laguerre-Gaussian 模態為常見解。因此在理論中數學形式的相同解使得我們可以從雷射共振腔的實驗結果來對應物質波二維簡諧振盪子中的運動狀況。. 最後這種藉由巨觀的物理實驗來觀察微觀的物理現象，連結起巨觀與微觀的物理稱為「介觀物理(mesoscopic physics)」[15-16]，我們可以從明確的可測量物理量中呈現出量子物理的表現，而雷射共振腔則是作為介觀物理中一個很好的實驗平台。. 2.

(11) 1.2 研究動機由於近年來雷射用於光性質的研究非常廣泛，對於一般泛用的固態雷射而言，雷射共振腔更具有高度可調性，可透過調整雷射共振腔的腔長，和不同程度的離焦離軸造成輸出模態的多樣性。從基本的 Fundamental mode(TEM00 mode )到高階的 Hermite-Gaussian 模態，另外亦可外加柱狀透鏡使得 Hermite-Gaussian 轉換成 Laguerre-Gaussian 模態[6,17]，而各種模態間亦有很多有趣的物理性質可供研究，例如鎖模[18]或是魔梯現象[19]。針對這種雷射共振腔的理論和實驗研究也是相當大量的。. 從 Justin L. Blows 在 1998 年的文章中[33]以量子力學運算子方式探討由兩個柱面鏡組成的共振腔產生像散的基本模態作為基礎，使用此種柱面鏡所組成共振腔，因為這類具有像散特性的共振腔探討的論文不多見，具有研究潛力。故從實驗中探討此種共振腔的基本模態及高階 Hermite-Gaussian 模態特性。. 另外參考 L. Allen 在 1993 年的文章[17]以一組柱透鏡將 Hermite-Gaussian 模態轉換成 Laguerre-Gaussian 模態，我們也對柱面型共振腔的轉換亦感到興趣。其中又以 Laguerre-Gaussian 模態的雷射光中具有軌道角動量(Orbital Angular Momentum，簡稱 OAM)性質的相關研究頗為廣泛並具前瞻性，而產生 Laguerre-Gaussian 模態的方法使用一般常見液晶屏幕調製[20]、相位盤調製[21] 和基礎雷射腔外加光學元件[17]等方法。此篇文章亦探討以柱狀前鏡架構成雷射腔所產生像散的 Hermite-Gaussian 模態以外加一個柱狀透鏡完成。. 3.

(12) 第2章理論背景由馬克斯威爾方程式所導出的雷射共振腔近軸近似波方程和二維簡諧振盪子的薛丁格方程式有相同型式，故可做其光與粒子的類比。在本章中會先從所採用的增益介質 Nd:YVO4 討論其性質。接下來會討論到如何使雷射腔穩定出光及其條件為何，最後再從球型共振腔近軸近似下的波方程出發針對 x、y 軸各異的曲率半徑(在此為柱狀鏡)修正該方程為適用方程。. 2.1 雷射晶體 Nd:YVO4 介紹在普通情況下原子或分子內的電子大都位在低能階上，高能階的電子數量一般不會多於低能階，但如果要產生雷射則須使高能階的電子數量較低能階多，即一般所稱的「居量反轉(Population Inversion)」。一般常見的雷射多是三級或四級結構來運作居量反轉，使電子受激到高能階的狀態下很快轉成亞穩態。而增益介質 Nd:YVO4 即是一種四級系統。. Nd:YVO4 中文全名為「摻釹釩酸釔」，在雷射共振腔中作為增益介質，其分子結構 YVO4 可由圖 2-1 示意[22]。相對於其他晶體(如: Nd :GdVO4、Nd : YAG) 採用 Nd:YVO4 的原因，主要是因為(1)較高的輸出功率和重覆頻率，(2)適合用於高重複頻率的雷射介質，(3)有較大的輻射截面 ( large emission cross section )，在 808nm 附近的吸收帶寬約為 Nd : YAG 的五倍多[23]。對於二極體雷射作為激發光源是較佳的，可有效提升雷射輸出的功率和品質[24]，缺點則為散熱不易。所以針對二極體激發固態雷射而言，Nd:YVO4 是此種雷射類型中普遍常見的增益介質。. 4.

(13) YVO4 晶體摻釹(Nd3+)離子後，由於釹本身為鑭系元素( 其外層電子組態為 10. 4. 2. 6. 2. 10. 3. 4d 4f 5s 5p 6s )，在失去 3 個電子變成 Nd3+後其外層電子組態變為 4d 4f 5 2. 6. 2. 3. 2. 6. s 5p (4f 一個電子和 6s 兩個電子)，使 4f 的三個電子參與躍遷，再者因 5s 5p 3. 為滿殼層對於 4f 的三個電子產生屏蔽效應，所以使得摻入晶體後的能級結構可 3+. 以和相應的自由離子能級結構相同，其 Nd 的發射譜線很窄[25]，故能作為良好的增益介質，可吸收波長為 808nm 的近紅外光，在雷射腔內放出1064nm 與 1342nm 兩種波段雷射光，其能帶示意圖如圖 2-2 所示。這種晶體本身的物質特性是具正單軸(Positive uniaxial)的雙折射(Birefringence)晶體，由圖 2-1 可看出其晶體結構，用直角坐標系內的 x、y、z 三軸來表示其晶軸方向，如圖 2-3 所示，其中 a、b 軸的長度相同，c 軸較其他兩軸長，所以光束沿著 c 軸方向出光，其特性不同於 a、b 兩軸，光沿著 a、b 軸傳播的折射率為 no( no = na = nb )，沿 c 軸的折射率為 ne( ne = nc )，對比其他同類型雷射晶體 Nd:GdVO4、Nd:YAG 的資料可見表 2-1。. 圖 2-1 單位 YVO4 晶體結構示意圖[22]. 5.

(14) 圖 2-2Nd:YVO4 能帶示意圖. 圖 2-3 Nd:YVO4 a、b、c 三軸. 6.

(15) 表 2-1(a). Physical Properties : [22、26、27]. Crystal Structure. Zircon Tetragonal. Lattice Parameters ( Å ). a = b = 7.12 ； c = 6.29. Atomic Density ( atoms/cm3 ). 1.37x1020. Density ( g/cm3 ). 4.22. Melting Point ( ˚C ). 1810 ± 25. 表 2-1(b) Optical Properties : Lasing Wavelengths. 914nm，1064 nm，1342 nm positive uniaxial , no = na = nb ，ne = nc. Refractive indexes. no = 1.9573 , ne = 2.1652 , @ 1064nm no = 1.9721 , ne = 2.1858 , @ 808nm no = 2.0210 , ne = 2.2560 , @ 532nm. Thermal Optical Coefficient. dna / dT = 8.5x10-6/K , dnc / dT = 3.0x10-6/K. Stimulated Emission Cross-Section. 25.0x10-19cm2, @1064 nm. Absorption Coefficient. 31.4 cm-1. @ 808 nm. Absorption Length. 0.32 mm. @ 808 nm. Polarized Laser Emission. parallel to optic axis (c-axis). Diode Pumped Optical to Optical > 60% Efficiency Gain Bandwidth. 0.96 nm (257 GHz) @ 1064 nm. Sellmeier Equation (for pure YVO4 crystals) : no2= 3.77834 + 0.069736/( λ2- 0.04724) - 0.0108133 λ2 ne2= 4.59905 + 0.110534/( λ2- 0.04813) - 0.0122676 λ2. 7.

(16) 表 2-1 (c). Nd:YVO4 與 Nd:YAG、Nd:GdVO4 之比較 Nd:doped σ. Crystal ( atm% ) Nd:YVO4. 1.1. a-cut. 2.0. ( ×10. −19. 2. :. α(cm-1). T(μs). Lα(mm) 𝜌th(mw). 31.2. 90. 0.32. 72.4. 50. 0.14. 𝜂s (%). cm ). 25. 78. 48.6. 231. 45.5. Nd:YVO4 1.1. 7. 9.2. 90. 0.85. 6. 7.1. 230. 1.41. 115. 38.6. 7.6. 78. 95. 0.18. 70. 50. c-cut Nd:YAG. Nd:GdVO4 1.2. 註：表 2-1 (c) 中各種晶體的雷射性質之數值會隨 Nd 摻雜濃度不同而有所改變。. σ : Stimulated emission cross section. α : Absorption Coefficient. T : Fluorescent lifetime. 𝐿α : Absorption length. 𝜌th: Threshold power. 𝜂s : Conversion efficiency. 8.

(17) 2.2 柱面型共振腔柱面型共振腔不同於一般常見的球面型共振腔，其前鏡為一鍍膜柱面結構，在其 y 軸上有曲率半徑，而 x 軸的曲率半徑理想中接近無限大(亦可 x、y 軸的曲率半徑交換)，但我們可以從球型共振腔出發，藉由 x 軸與 y 軸曲率半徑不同且互相垂直的情況改寫原本 Hermite-Gaussian 方程，並討論該方程的物理意義。. 2.2.1. 共振腔的穩定條件. 在雷射領域的共振腔所指的是光學中光波在腔內形成駐波的腔體，其組成方式為兩面反射鏡，而鏡子的種類可為平面鏡、凹面鏡、凸面鏡或者柱面鏡，並選擇欲共振的光波波段，在兩面鏡面上鍍上該波段反射率極高的鍍膜，使光在腔體內來回通過增益介質，最後當光放大到臨界狀態時輸出雷射光。在這過程中最優先要確保的是光能在腔體內保留及避免過度逸散，如何維持光在腔體內不逸散使得雷射出光穩定便成為第一要務。而由兩塊反射鏡所組成，當中彼此距離即為腔長 L，而以這兩塊反射鏡的曲率半徑的圓心連線作為光軸，如圖 2-4 所示，兩反射鏡的曲率半徑別為 R1、R2。. 圖 2-4 雷射腔腔體示意圖. 9.

(18) 接著推導穩定共振腔的數學條件，如果光在雷射共振腔內經多次往返來激發，因此用一般常見的矩陣光學 ABCD 法來描述一束光來回共振腔一趟的移動情形: [. 𝐴 𝐶. 1 𝐵 ] = [− 2 𝐷 𝑅1. 0 1] [. 1 1 𝐿 ] [− 2 0 0 𝑅2. 0 1 1] [0. 𝐿 ] 1. 2𝐿2 𝑅2 2𝐿 4𝐿 4𝐿2 1− − + 𝑅2 𝑅1 𝑅1 𝑅2 ]. 2𝐿 𝑅2 = 4𝐿 2 2 − − [𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 1−. 2𝐿 −. (2.2.1). 而光束在雷射共振腔內經過 N 次來回後，可將矩陣推廣成[28]. 𝐴 [ 𝐶. 1 𝐴 sin 𝑁𝜃 − sin(𝑁 − 1)𝜃 𝐵 𝑁 ] = [ 𝐶 sin 𝑁𝜃 𝐷 sin 𝜃. 𝐵 sin 𝑁𝜃 ] 𝐷 sin 𝑁𝜃 − sin(𝑁 − 1)𝜃. (2.2.2). 由式 2.2.2 中矩陣行列式值為 AD-BC=1，所以可以定義其角度 θ， 1. cos 𝜃 = 2 (𝐴 + 𝐷) 亦即θ = 𝑐𝑜𝑠 −1 (. 𝐴+𝐷 2. ). (2.2.3) (2.2.4). 當中式 2.2.3 的 A 和 D 可用式 2.2.1 的數值帶入，且因為 cos 函數有大小限制即|cos 𝜃| ≤ 1，因此可以得到 −1 ≤. 𝐴+𝐷 ≤1 2. 10.

(19) 帶入式 2.2.1 的 A、D 兩參數的值 −1 ≤ 1 −. 2𝐿 2𝐿 2𝐿2 − + ≤1 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2. 整理後 𝐿 𝐿 𝐿2 0≤1− − + ≤1 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 (2.2.5) 在雷射領域內我們會將式 2.2.5 表示成 0 ≤ 𝑔1 𝑔2 ≤ 1 (2.2.6) 𝐿. 𝐿. 其中，𝑔1 = 1 − 𝑅 、𝑔2 = 1 − 𝑅 1. 2. R 在式子中代表為凹面鏡的曲率半徑，如果是凸面鏡則式 2.2.6 中的負號要改為正號。. 因此從式 2.2.6 中了解雷射共振腔穩定所需要的條件，所以當共振腔的 𝑔1 𝑔2 < 0或 𝑔1 𝑔2 > 1時就代表這是一個不穩定的共振腔狀態，圖 2-5 中以𝑔1 表示縱軸，𝑔2 表示橫軸，圖 2-5 中斜線部分代表穩定情形，而在邊界上的點分別代表一些特殊情況。. 11.

(20) 圖 2-5 𝑔1 − 𝑔2 關係圖，斜線部分表示共振腔達到穩定條件的解。. 12.

(21) 2.2.2. 柱面型共振腔的波函數. 從馬克斯威爾四大方程式(Maxwell’s Equation )出發，由近軸近似的邊界條件可得 𝛻∙𝐸 =0 𝛻∙𝐻 =0 𝛻 × 𝐸 = −𝜇 𝛻×𝐻 =𝜖. 𝜕 𝐻 𝜕𝑡. 𝜕 𝐸 𝜕𝑡. (2.2.7) 再由 Helmholtz wave equation 表示成 𝜕2 (𝛻 + 𝜖𝜇 2 ) 𝐸 = 0 𝜕𝑡 2. (2.2.8) 並從邊界條件可以使用到分離變數法，將電場 E 表示為𝐸 = 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡，並帶入式 2.2.8 改寫成在位置空間上的表示式 (𝛻 2 + 𝑘 2 )𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 (2.2.9) 當中 k 為波向量，光波的傳遞方向訂為 z 方向並且進一步表示為 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑒 𝑖𝑘𝑧. 代回式 2.2.9. 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ( 2 + 2 + 2 ) 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 + 𝑘 2 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (2.2.10). 13.

(22) 式 2.2.10 中. ∂2 ∂2 𝜀 𝜕𝜀 𝜕𝜀 𝑖𝑘𝑧 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑒 = ( + 2𝑖𝑘 − 𝑘 2 𝜀)𝑒 𝑖𝑘𝑧 ≈ (2𝑖𝑘 − 𝑘 2 𝜀)𝑒 𝑖𝑘𝑧 2 2 ∂z ∂z 𝜕𝑧 𝜕𝑧. ∂2 𝜀. 當中∂z2 ≈ 0忽略不計帶回式 2.2.10，相消後可以得到近軸方程. ∂2 ∂2 ∂ ( 2 + 2 + 2𝑖𝑘 ) 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≈ 0 ∂x ∂y ∂z 𝛻𝑇2 = (𝛻𝑇2 − 2𝑖𝑘. 𝜕2 𝜕2 + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2. 𝜕 ) 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝜕𝑧. (2.2.11) 接著假設 ε(x,y,z)=Ψ(x, y)G(x, y, z)，當中 Ψ(x, y)表示為光束變化的橫向波函數， G(x, y, z)是為高斯球型波方程，而 G(x, y, z)可以寫成. 𝑥2 + 𝑦2 𝜔0 𝑥2 + 𝑦2 G(x, y, z) = ∙ exp {𝑖𝑘𝑧 [ 2 ]} = ∙ exp{𝑖𝑘( )} 𝜔(𝑧) 𝑧𝑅(𝑧) 𝑧(𝑧 + 𝑧𝑅2 ) √𝑧 2 + 𝑧𝑅2 𝑧𝑅. (2.2.12) ω0 是光束半徑在前進方向上最小時(通常設定此位置為 z = 0)的大小，ω(z)代表光束半徑在任意位置的大小，R(z)是曲率半徑，𝑧𝑅 是 Rayleigh range。相關關係可整理為: 𝑧 ω(z) = 𝜔0 √1 + ( )2 𝑧𝑅 𝑧𝑅 R(z) = z[1 + ( )2 ] 𝑧 𝜋𝜔02 𝑧𝑅 = 𝜆. 14.

(23) 最後可以將式 2.2.11 化成式 2.2.13 (∇2𝑇 − 2ik. ∂ ) Ψ(x, y)G(x, y, z) = 0 ∂z. (2.2.13) 通過代數運算後可得到 G(x, y, z)∇2𝑇 Ψ(x, y) + Ψ(x, y) (∇2𝑇 − 2ik G(x, y, z) (∇2𝑇 −. ∂ ) G(x, y, z) = 0 ∂z. (k ∙ 𝑧𝑅 )2 2 (𝑥 + 𝑦 2 )) Ψ(x, y) = 0 (𝑧 2 + 𝑧𝑅2 ). (2.2.14). 將式 2.2.14 中關於橫向的波方程提出來看，可寫成. (∇2𝑇 −. 4(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ) Ψ(x, y) = 0 ω(z)2. (2.2.15) 接著橫向變化的 Ψ(x, y)中，因 x、y 軸是垂直獨立分量，且 x、y 軸曲率半徑不同進而其相關參數也要改寫，將 Ψ(x, y)改寫成 Ψ(x, y)=f(x)g(y)，並分開處理成. d2 4𝑥 2 [ 2 + 𝑘𝑥2 − ] f(x) = 0 dx ω𝑥 (z)2 [. d2 4𝑦 2 2 + 𝑘 − ] g(y) = 0 𝑦 dy 2 ω𝑦 (z)2. (2.2.16) 假設當中f(x) = ν(x) ∙. −𝑥 2⁄ 2 (𝑧) 𝜔𝑥 e. ，ξ = √2𝑥⁄𝜔 (𝑧) 𝑥. 則式 2.2.16 的微分方程可以表示為 d2 ν dν 𝑘𝑥2 𝜔𝑥2 (𝑧) − 2ξ + [ − 1] 𝜈 = 0 dξ2 dξ 2 (2.2.17). 15.

(24) 其形式與 Hermite polynomial : y’’-2xy’+2my = 0 相同，因此可以將式 2.2.17 以 Hermite polynomial 解 1. Ψ(x, y) =. 1. ×. 1. ×𝑒. −𝑥2 (ωx[𝑧])2. ×𝑒. −𝑦2 (ωy[𝑧])2. 1. √2𝑚−2 × 𝑚!. √2𝑥 ] ωx [𝑧]. × H𝑚 [. √2𝑛−2 × 𝑛! × 𝜋. √2𝑦 ] ωy [𝑧]. × H𝑛 [ (2.2.18) 本徵值(Eigenvalues)為 2. 2. 𝑘𝑥2 = 𝜔2 (𝑧) (2𝑚 + 1) ；𝑘𝑦2 = 𝜔2 (𝑧) (2𝑛 + 1)，m、n = 1, 2, 3,…… 𝑥. 𝑦. 而 Hm( ) 代表 m 階的 Hermite polynomial。. 最後可以得到 ε(x, y, z) = Ψ𝑚,𝑛 (x, y) ∙ (𝑒. 1 2. −𝑖(𝑛+ ) tan−1 [. 𝑧 ] zRy. ) ∙ (𝑒. 1 2. −𝑖(𝑚+ ) tan−1 [. 𝑧 ] zRx. )∙𝑒. 𝑥2 +𝑦2 ) 2(𝑧2 +z02 ). −𝑖𝑘𝑧(. (2.2.19) 其中 Ψ𝑚,𝑛 (x, y) =. 1 1 𝑚− 2. √2. ×𝑒. 1. × × 𝑚!. −𝑦2 (ωy[𝑧])2. 1 𝑛− 2. √2. × 𝑛! × 𝜋. ×. 1 √ωx [𝑧]. ×. 1 √ωy [𝑧]. ×𝑒. −𝑥2 (ωx[𝑧])2. √2𝑥 √2𝑦 ] × H𝑛 [ ] ωx [𝑧] ωy [𝑧]. × H𝑚 [. (2.2.20). 最後雖然其方程式看似複雜但仍可以屏除其係數後單純討論，討論式 2.2.19 和式 2.2.20，其物理意義為. 16.

(25) 2. −𝑦 −𝑥2 ε(x, y, z) 1 1 = × × 𝑒 (ωx[𝑧])2 × 𝑒 (ωy[𝑧])2 ε0 √ωx [𝑧] √ω [𝑧] y { }. ×𝑒. 1 2. −𝑖(𝑛+ ) tan−1 [. ×𝑒. 𝑧 ] zRy. 1. ∙ 𝑒 −𝑖(𝑚+2) tan. −1 [ 𝑧 ] zRx. 𝑥2 +𝑦2 +1) 2(𝑧2 +z02 ). 𝑧 𝐿. −𝑖(𝜋 )∙(𝑙+(𝑚+𝑛+1)×𝛺)∙(. … … … 振幅. … … … 縱向相位 … … … 橫向相位. 若是在柱狀坐標系下，將座標參數改為(r, θ, z)，式 2.2.13 將寫成該座標表示式 (∇2𝑇 − 2𝑖𝑘. ∂ ) ε(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 0 ∂z. (2.2.21) 展開後波方程為 1𝜕 𝜕 1 𝜕2 𝜕 ( (𝑟 ) + 2 2 − 2𝑖𝑘 ) ε(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 (2.2.22) 當中ε(𝑟, 𝜃, 𝑧) = Ψ(𝑟, 𝜃)G(𝑟, 𝜃, 𝑧)，並可以猜測ε(𝑟, 𝜃, 𝑧)以符合方程式解 ε(𝑟, 𝜃, 𝑧) = Ψ(𝑟, 𝜃) ∙. 𝑘 𝜔0 −𝑖 𝑧 𝑟 2 ∙ 𝑒 2𝑅(𝑧) 𝜔(𝑧). 接著因其邊界條件符合 Laguerre polynomial 的形式，解得 2. Ψ𝑝,𝑙 (𝑟, 𝜃) = √. −𝑟 2𝑝! √2𝑟 𝑙 𝑙 2𝑟 2 ∙( ) L𝑝 [ 2 ] ∙ 𝑒 𝜔(𝑧)2 ∙ 𝑒 𝑖𝑙𝜃 (1 + 𝛿0,𝑙 )𝜋(𝑝 + 𝑙)! 𝜔 𝜔. (2.2.23) 其中當 l = 0 時，𝛿0,𝑙 = 1；當𝑙 ≠ 0時，則𝛿0,𝑙 = 0，最後解得柱狀座標系的電場波函數 ε(𝑟, 𝜃, 𝑧) = Ψ𝑝,𝑙 (𝑟, 𝜃) ∙. 𝑧 𝑘 𝜔0 −𝑖 𝑧 𝑟 2 −𝑖[𝑘𝑧−(2𝑝+|𝑙|+1) tan−1 𝑧 ] 𝑅 ∙ 𝑒 2𝑅(𝑧) 𝑒 𝜔(𝑧). (2.2.24). 17.

(26) 外在 Hermite-Gaussian 模態中橫向模態係數為(m, n)，而在 Laguerre – Gaussian 模態中的橫向模態係數(l, p)，兩者之間有一關係式 2p + |𝑙| + 1 = 𝑚 + 𝑛 + 1 (2.2.25) 亦整理式 2.2.24，並觀察其物理意義 2. −𝑟 ε(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝜔0 ={ ∙ 𝑒 𝜔(𝑧)2 } × ε0 𝜔(𝑧). {𝑒. −𝑖[𝑘𝑧−(2𝑝+|𝑙|+1) tan−1. {𝑒. −𝑖. 𝑘𝑧 2 𝑟 2𝑅(𝑧). }. … … … 振幅 𝑧 ] 𝑧𝑅. }×. … … … 縱向相位 … … … 橫向相位. (2.2.26). 18.

(27) 2.3 橫向模態與縱向模態的頻寬比我們知道能量正比於頻率，而在雷射共振腔中空間上的頻率可分為橫向和縱向，而能量和橫向縱向的頻寬比的關聯，本文對其做討論. 𝑓(𝑚, 𝑛, 𝑙) = ∆𝑓𝐿 [𝑙 + (𝑚 + 𝑛 + 1) × (∆𝑓𝑇 /∆𝑓𝐿 )] (2.3.1) 其中𝑓𝐿 = 𝑐/2𝐿表示縱模的頻寬，𝑓𝑇 表示為橫模的頻寬，l 表示橫模係數，m、n 1. 1. 表示橫模係數，當中(𝑚 + 𝑛 + 1) 是由 [(𝑚 + 2) + (𝑛 + 2)]，並且可以將橫模與縱模的頻寬比表示為 P/Q. Ω=. ∆𝑓𝑇 𝑃 1 = = cos −1 √𝑔1 𝑔2 ∆𝑓𝐿 𝑄 𝜋. (2.3.2) 𝐿. 𝐿. 當中𝑔1 = 1 − 𝑅 ，𝑔2 = 1 − 𝑅 ；𝑅1 、𝑅2 為雷射共振腔兩面面鏡的曲率半徑 1. 2. 1. 在此以一例來討論，即Ω = 2，代表∆𝑓𝑇 : ∆𝑓𝐿 = 1: 2 我們已知光的能量正比於頻率，再表示成. E ∝ 𝑓𝑚𝑛𝑙 = [∆𝑓𝑇 (𝑚 + 𝑛 + 1) + 𝑙 ∙ ∆𝑓𝐿 ] (2.3.3). 當中有趣的地方是當能量為固定大小，頻率組合則有多種可能，所以當組合不同 1. 但能量相同的模態，稱為簡併態。若以Ω = 2為例，可以用下面的示意圖表示，已知∆𝑓𝑇 : ∆𝑓𝐿 = 1: 2，所以假設∆𝑓𝑇 = 1，∆𝑓𝐿 = 2；其中讓 n = 0，用 m 和 l 的變化來討論. 19.

(28) 圖 2-6 模態系數與頻寬示意圖. 上圖的橫坐標表示頻率，縱座標表示強度；用系數(m, n, l)且已知 ∆𝑓𝑇 = 1，∆𝑓𝐿 = 2，所以當 m 系數增加 2，則 l 的係數就要少 1；這樣可以使得式 2.3.2 所得到的能量都是固定。取其中一組系數為(10, 0, l)，因為取Ω = 1/2的簡併態，所以下一組系數為(12, 0, l-1)，仍符合E ∝ 𝑓𝑚𝑛𝑙 = [∆𝑓𝑇 (𝑚 + 𝑛 + 1) + 𝑙 ∙ ∆𝑓𝐿 ]的狀況，以此類推，當同能量的模態疊加時，即會形成頻寬比Ω = 1/2的簡併態。. 20.

(29) 2.4 Hermite-Gaussian 模態的疊加在實驗上常可以看到的許多不同於 Hermite-Gaussian 模態，尤其當中有點狀結構，此種結構應為光束疊加後的巨觀現象 [19,31,32]，而在 2.2 節已經得到雷射共振腔內的波函數形式，並在 2.3 節討論相同能量的簡併態，因此應用波函數方程去運算並疊加模態來模擬與實際上的實驗結果的模態相對照。本文在此節嘗試了解疊加的 Hermite-Gaussian 模態的理論。. 在近軸近似下，雷射共振腔的波函數在直角坐標系下加入橫模縱模頻寬後 Hermite-Gaussian 函數表示成 (𝐻𝐺) Φ𝑚,𝑛,𝑙 (x, y, z). = Φ𝑚,𝑛 (x, y, z) ∙ 𝑒 ∙𝑒. 1 2. −𝑖(𝑛+ ) tan−1 [. −𝑖𝑘𝑧×(𝑙+(𝑚+𝑛+1)×𝛺)(. 𝑧 ] z𝑅𝑦. ∙𝑒. 1 2. −𝑖(𝑚+ ) tan−1 [. 𝑧 ] z𝑅𝑥. 𝑥2 𝑦2 + +1) 2(𝑧2 +𝑧𝑅𝑥 2 ) 2(𝑧2 +𝑧𝑅𝑦 2 ). 其中 1. Φ𝑚,𝑛 (x, y, z) =. 1. √2𝑚−2 × 𝑚! ×𝑒. −𝑦2 (ωy[𝑧])2. 1. × 1. √2𝑛−2 × 𝑛! × 𝜋. ×. 1 √ωx [𝑧]. ×. 1 √ωy [𝑧]. −𝑥2. × 𝑒 (ωx[𝑧])2. √2𝑥 √2𝑦 ] × H𝑛 [ ] ωx [𝑧] ωy [𝑧]. × H𝑚 [. 當中𝑧𝑅𝑥 和𝑧𝑅𝑦 代表 x 軸和 y 軸的 Rayleigh length，𝑧𝑅# =. 2 𝜋𝜔0# ⁄ = √𝐿(𝑅# − 𝐿)， 𝜆. #代表坐標軸，𝜔# (𝑧)是光束半徑，𝜔# (𝑧) = 𝜔0# √1 + (𝑧/𝑧𝑅# )，當中𝜔0# 是光腰半徑。. (𝐻𝐺). 當頻寬比 Ω 對應到有理數 P/Q 時，k = 0,1,2,3….的Φ𝑚0 +𝑝𝑘,𝑛0 +𝑞𝑘,𝑙0 +𝑠𝑘 (x, y, z)能 𝑃. 組成一群頻率簡併態，且要符合方程式 𝑠 + (𝑝 + 𝑞) 𝑄 = 0，而各系數皆為整數[19]，因此由方程式可以知道 p+q 要為 Q 的整數倍，即 p+q=KQ，其中 K = 0, 1, 2,….。. 21.

(30) (𝐻𝐺). 由Φ𝑚0 +𝑝𝑘,𝑛0 +𝑞𝑘,𝑙0 +𝑠𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧)組成的波函數疊加過後表示為: 𝑀 𝑝,𝑞,𝑠 (𝑥, 𝑦, 𝑧; ∅0 ) Φ𝑚 0 ,𝑛0 ,𝑙0. (𝐻𝐺). = ∑ 𝑒 𝑖𝑘∅0 Φ𝑚0 +𝑝𝑘,𝑛0 +𝑞𝑘,𝑙0 +𝑠𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘=0. (2.4.1) ∅0 表示在 z = 0 時 Hermite-Gaussian 模態的各個相位。將方程式整理為 𝑝,𝑞,𝑠 (𝑥, 𝑦, 𝑧; ∅0 ) Φ𝑚 0 ,𝑛0 ,𝑙0. =. 𝑝,𝑞 (𝑥, 𝑦, 𝑧; ∅0 ) Φ𝑚 0 ,𝑛0. ∙𝑒. 𝑃 𝑄. 𝑥2 𝑦2 + +1) 2(𝑧2 +𝑧𝑅𝑥 2 ) 2(𝑧2 +𝑧𝑅𝑦 2 ). −𝑖𝑘𝑧×(𝑙0 +(𝑚0 +𝑛0 +1)× )(. (2.4.2) (𝐻𝐺). 𝑝,𝑞 𝑖𝑘∅(𝑧) (𝑥, 𝑦, 𝑧; ∅0 ) = ∑𝑀 其中Φ𝑚 Φ𝑚0 +𝑝𝑘,𝑛0 +𝑞𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘=0 𝑒 0 ,𝑛0. (2.4.3) 𝑧. 式 2.4.3 中的∅(z)表示為∅(z) = (𝑝 + 𝑞) tan−1 (𝑧 ) + ∅0 𝑅. 𝑝,𝑞,𝑠 (x, y, z; ∅0 )呈現的圖案是由由方程式 2.4.1 可知，在三維同調態Φ𝑚 0 ,𝑛0 ,𝑙0 𝑝,𝑞 (x, y, z; ∅0 )藉由不同的相位因子∅(z)同調疊加的結果。[19] Φ𝑚 0 ,𝑛0. 22.

(31) 第3章柱面型共振腔雷射模態實驗結果與分析 3.1 實驗裝置架構本文所使用的雷射系統為 Nd:YVO4 的固態雷射，架設方式為外部共振腔，光泵是波長為 808nm 的二極體雷射，腔體皆由已鍍膜的柱面鏡和增益介質所組成。圖 3-1 表示實驗架構圖，本文用曲率半徑 R = 20 mm 的柱面鏡作為前鏡，而前鏡的鍍膜對 1064nm 波長的反射率為 99.8%，由前面討論過的雷射共振腔的穩定條件可知，其腔長 L 需小於前鏡的曲率半徑 R。. 實驗所使用的增益介質是 a-cut Nd:YVO4 ，規格為 8 × 8 × 2 𝑚𝑚 3，Nd doped : 2%，AR/PR@1064nm，增益介質出光面鍍膜為針對 1064nm 波長，其反射率可達 99 %。光泵輸出最大功率可達 3 W，並用直徑 100 μm 、數值孔徑 0.16 的光纖耦合雷射輸到聚焦系統，聚焦系統的焦距為 20mm、耦合效率 90%，最後再由聚焦系統將波長 808nm 雷射光輸入到共振腔。而聚焦系統、前鏡和增益介質皆是固定在五個維度可調的平台，主要藉著在 x、y、z 軸上的位置改變來調整參數，產生不同的雷射圖樣，精確度達 0.01mm，另外此平台還另外具有 θ 與 φ 的維度。. 23.

(32) 圖 3-1 實驗裝置示意圖. 上述的裝置在聚焦系統處於不同的的離軸時會出現不同的 Hermite-Gaussian 模態，如再外加一柱狀透鏡，並轉至特定角度，如圖 3-2，可將 Hermite-Gaussian 模態轉換成 Laguerre-Gaussian 模態，外加的平凸柱透鏡規格為直徑 25mm，凸面的曲率半徑為 12.5mm，有效焦距為 25mm。原本無光之軌道角動量的 HG 在外加柱透鏡後轉換成具有光的軌道角動量的 LG，當中造成轉換的柱透鏡被稱為”converter”[6、17]。. 圖 3-2 外加柱透鏡的實驗裝置示意圖. 24.

(33) 傳統上使用雷射共振腔產生 Laguerre-Gaussian 模態是使用凹面鏡腔，在外加聚焦鏡和兩個柱狀透鏡，柱面鏡的擺放角度與水平夾 45 度[6]，如圖 3-3，而兩個柱面鏡的距離要為柱面鏡焦距的√2倍，這樣的設置即可使 HG 轉換成 LG，稱為 π/2 converter。如果改變柱面鏡距離為 2 倍焦距，則使 LG 的軌道角動量 l ħ 變為 - l ħ，反之亦然，稱為 π converter。[17]所以本文所使用的系統在 HG 轉換成 LG 會相對傳統轉換裝置上少用兩件光學元件。. 圖 3-3 傳統雷射腔外加柱透鏡的實驗裝置示意圖. 25.

(34) 3.2 像散的模態之近遠場變化 3.2.1. 像散的基本模態之近遠場結果. 本文中柱面型共振腔是由柱面鏡再加上鍍膜增益介質所構成，可視為像散的共振腔[30]，其基本模態在z軸上傳播和一般傳統的球面共振腔比較下有所不同，此種像散的基本模態( astigmatic fundamental mode )在行進過程中，其光的輪廓變化從近場到遠場的實驗記錄為圖3-4(a)-(e)，從增益介質鍍膜面設為z = 0 mm開始紀錄，其中腔長長度為L為8mm，因為柱面型前鏡y軸的曲率半徑遠比x軸小，使得x、y軸光的輪廓在行進過程中有所差異，可以觀察到在近場情形下圖3-4 (a)，在剛出光z = 0 mm下光的輪廓在y軸的聚焦比x軸大，呈一個水平狹長形，而在當光逐漸行進的過程中，在z = 5L mm時，如圖3-4 (c)，可以見到x、y軸上的聚焦大小相當，而行進到遠場時，如圖3-4 (e)，光束形狀已經變成一垂直狹長形。. 圖 3-4(a) – (e):為實驗上基本模態的近遠場變化； (a’) – (e’):為理論模擬基本模態的近遠場變化。. 26.

(35) 而圖 3-4(a’) – (e’)我們嘗試找出方程式來模擬，也可以看出模擬非常近似，相關的理論由 3.3 節探討. 在 ωz 上可以看出光束大小在 x、y 軸上的差異，由圖 3-5 可以看出，該圖縱軸代表光束半徑大小，以 mm 為單位，橫軸表示從出光後光束大小在行進方向 z 軸的位置，以 mm 為單位，ωzx 代表在 xz 平面上光束半徑大小的變化，而 ωzy 代表在 yz 平面上光束半徑大小的變化。ωzy 在 z = 0 mm 的大小比在 x 軸上 ωzx 的大小來得小，但 ωzy 在行進過程中的變化對於 ωzx 卻相對來得大，和圖 3-3 所示的實驗結果相符。再由圖 3-6 可知當光行進到約在 z = 30mm 左右，ωzx 和 ωzy 大小接近，光束大小約在 170μm 到 180μm 左右，可以看到在理論上光束大小在 z 軸行進的趨勢和實驗上的結果相符。. 由圖 3-6 可以看出 ωzx 和 ωzy 的聚焦情形不同，這種在不同軸向上聚焦的位置不同稱為像散，主因為前鏡兩軸向上的曲率半徑大小不同。特別的是 x 軸上的曲率半徑應是無限大，但仍有聚焦情形，是因為聚焦系統將雷射光打在增益介質上時，對於平面的增益介質會產生熱透鏡效應，使得聚焦在增益介質上的點區域會有折射率改變狀況，進而使腔體的平面在實際上並不是一個完美的平面，故使 x 軸上仍有聚焦狀況。. 27.

(36) Spot size (mm). ωzy. ωzx 行進距離 (單位 mm). 圖 3-5 不同軸向光束半徑隨行進方向上的變化圖. Spot size (mm). ωzy. ωzx. 行進距離 (單位 mm). 圖 3-6 為圖 3-5 在 ωzx 和 ωzy 的交會點放大圖，可看出聚焦差異. 28.

(37) 3.2.2. 像散的 Hermite-Gaussian 模態之近遠場結果. 由於柱面型前鏡的特性―其中一軸的曲率半徑遠大於另一軸，在此 x 軸是曲率半徑為無限大的一軸，在聚焦系統離軸時，x 軸上的離軸並不會使模態有所改變，所以此種雷射腔所能展示的模態皆為 H0,x。而在曲率半徑較小上的離軸所產生的 Hermite-Gaussian 模態和一般傳統的 HG 有所不同，主要在兩軸的束腰半徑的發散情形不同，也是前面所說的像散狀況。所以 H0,x 在兩軸上的發散情形會和圖 3-5、3-6 相似。在剛出光時圖形為扁平狀，拉到遠場後兩軸的發散差異極大，圖形變為一狹長型圖形。由圖 3-7(a) – (e)展示實驗近遠場結果，(a’) – (e’)展現理論模擬的結果，其對比也是非常接近。. 圖 3-7(a) – (e):為實驗上 Hermite-Gaussian 模態在近遠場的變化； (a’) – (e’):為理論模擬 Hermite-Gaussian 模態在近遠場的變化。. 29.

(38) 3.3 像散的 Hermite-Gaussian 模態行進理論分析近軸近似的像散的 Gaussain 模態波動方程式已經有相關的論文運用運算子法來明確表示[13,29]，當中通過海更士積分應用於 ABCD 法來描述在光學系統內的波方程[34]，該方程式表示為 ∞ 𝑖 −𝑖𝑘𝑑 𝜋(𝐴𝑥02 − 2𝑥0 𝑥 + 𝐷𝑥 2 ) u(𝑥, z) = √ 𝑒 × ∫ 𝑢𝑛 (𝑥0 , 𝑧0 ) ∙ exp[−𝑖 ] 𝑑𝑥0 𝐵𝜆0 𝐵𝜆 −∞. (3.3.1) λ 表示在真空中的波長. 考慮到輸入系統中的高階 Hermite-Gaussian(HG) 模態形式. 𝑢𝑛 (𝑥0 , 𝑧0 ) = √. √2 2𝑛 𝑛! 𝜔0 √𝜋. 𝐻𝑛 (. 𝜋𝑥0 2 √2𝑥0 )exp(−𝑖 ) 𝜔0 𝜆𝑞0. (3.3.2). 欲討論 HG 模態行進距離 d 後的光強度分布時，將式 3.3.2 帶入式 3.3.1 中可得 ∞ 𝑖 𝜋𝑥0 2 √2 √2𝑥0 √ √ u𝑛 (x, z) = {∫ [ 𝐻 ( )exp(−𝑖 )] 𝐵𝜆 −∞ 2𝑛 𝑛! 𝜔0 √𝜋 𝑛 𝜔0 𝜆𝑞0. ∙ e−𝑖. 2 𝜋(𝐴𝑥2 0 −2𝑥0 𝑥+𝐷𝑥 ) 𝐵𝜆. (3.3.3). 30. 𝑑𝑥0 }.

(39) 式 3.3.3 中的相位項𝑒 −𝑖𝑘𝐿 對於本文接下來要討論光強度分布|u𝑛 (𝑥2 , 𝑧2 )|2 並無影響，故後面會忽略此項；接著運用 Hermite 多項式的產生方程(generating function) ∞. e. 2𝜉𝑡−𝑡 2. = ∑ 𝐻𝑛 (𝜉)𝑡 𝑛 ⁄𝑛! 𝑛=0. (3.3.4) 而𝐻𝑛 與u𝑛 對於多項式有關係數可以表示成 u𝑛 =. 𝐻𝑛 √𝑛!. → 𝐻𝑛 = √𝑛! u𝑛. 帶回式 3.3.4 整理得 ∞. ∑. 𝑡𝑛. √𝑛! 𝑛=0. u𝑛 (x, z). ∞. 2 2 𝜋(𝐴𝑥2 0 ) 0 −2𝑥0 𝑥+𝐷𝑥 ) 𝑖 2 ∞ 𝑡𝑛 1 √2𝑥0 (−𝑖𝜋𝑥 −𝑖 𝜆𝑞 0 ∙e 𝐵𝜆 √ 𝑛 =√ √ ∫ ∑ 𝐻𝑛 ( )e 𝑑𝑥0 𝐵𝜆 𝜋 −∞ 𝜔0 √𝑛! 2 𝑛! 𝜔0. 𝑛=0. ∞. 2 2 𝜋𝑥 2 𝑖 2 ∞ (𝑡⁄√2)𝑛 √2𝑥0 (−𝑖 0 ) −𝑖𝜋(𝐴𝑥0 −2𝑥0 𝑥+𝐷𝑥 ) √ ∫ [∑ 𝐵𝜆 =√ 𝐻𝑛 ( )] e 𝜆𝑞0 ∙ e 𝑑𝑥0 𝐵𝜔0 𝜆 𝜋 −∞ 𝑛! 𝜔0. 𝑛=0. ∞. 2 2 𝜋𝑥 2 𝑖 2 ∞ (𝑡⁄√2)𝑛 √2𝑥0 (−𝑖 0 ) −𝑖𝜋(𝐴𝑥0 −2𝑥0 𝑥+𝐷𝑥 ) √ ∫ [∑ 𝐵𝜆 =√ 𝐻𝑛 ( )] e 𝜆𝑞0 ∙ e 𝑑𝑥0 𝐵𝜔0 𝜆 𝜋 −∞ 𝑛! 𝜔0. 𝑛=0. 2 2 𝜋(𝐴𝑥2 0 ) 0 −2𝑥0 𝑥+𝐷𝑥 ) 𝑖 2 ∞ 2𝑥𝜔0𝑡−𝑟22 (−𝑖𝜋𝑥 −𝑖 𝜆𝑞 0 ∙e √ ∫ 𝑒 0 𝐵𝜆 =√ e 𝑑𝑥0 𝐵𝜔0 𝜆 𝜋 −∞. (3.3.5) 再對次方上的數字整理，針對 x0 一元二次方程式的公式解，整理後再用積 ∞. 分表∫−∞ exp(−𝑎𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = √𝜋⁄𝑎 針對指數二次方求解，最後通過代數計算得到結果:. 31.

(40) 𝑛+ 1 𝑢𝑛 (x, z) = √ 𝑛 ( ) 2 𝑛! 𝜔0 √𝜋 𝐴 + 𝐵⁄𝑞0. √2. 1⁄ 2. 𝜔 𝑛 𝜋𝑥 2 √2𝑥 ( ) 𝐻𝑛 ( )exp(−𝑖 ) 𝜔0 𝜔 𝜆𝑞. (3.3.6) 當中q1 = (𝐴𝑞0 + 𝐵)⁄(𝐶𝑞0 + 𝐷)，另外 2. ω = 𝜔0 ((𝐴 + 𝐵⁄𝑞0 ) + 𝑖[2𝐵𝜆(𝐴 + 𝐵⁄𝑞0 )⁄𝜋𝜔0 ])1⁄2. 最後再考慮柱面鏡在兩個軸的曲率半徑不同的情況下，完整的 HG 的光強度分布表示為 𝑢𝑛,𝑚 (x, 𝑦, z) = 𝑢𝑛 (x, z) ∙ 𝑢𝑚 (y, z) 1. 𝑚+. 𝑛+ 2 1 1 1 = √ 𝑛+𝑚+1 ( ) ( ) 2 𝜋 𝑛! 𝑚! 𝜔0𝑥 𝜔0𝑦 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 ⁄𝑞0𝑥 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 ⁄𝑞0𝑦. 1 2. 𝑚. 𝜔𝑥 𝑛 𝜔𝑦 ( ) ( ) 𝜔0𝑥 𝜔0𝑦. 𝜋𝑥 2 𝜋𝑦 2 √2𝑥 √2𝑦 × 𝐻𝑛 ( )𝐻 ( )𝑒𝑥𝑝 [−𝑖 ] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑖 ] 𝜔𝑥 𝑚 𝜔𝑦 𝜆𝑞𝑥 𝜆𝑞𝑦 (3.3.7) 到此已經由式 3.3.7 展現出柱面鏡共振腔 HG 模態的行進公式，當中因出光後無外加任光學元件，故 q 當中的 ABCD 表示 1 𝑧 𝐴 𝑀𝑥 (𝑧) = 𝑀𝑦 (𝑧) = [ ]=[ 0 1 𝐶. 32. 𝐵 ] 𝐷.

(41) 3.4 腔外柱狀透鏡的模態轉換 3.4.1. 像散的基本模態之轉換. 本文另一重點即是柱面型共振腔外加一柱狀透鏡，調整其擺設後可以使像散的 Hermite-Gaussian 模態轉換成 Laguerre-Gaussian 模態，和傳統雷射腔在實驗和理論上所謂的”converter”在裝置上有所不同[17]。因為常見以一組柱狀透鏡轉換的實驗，是將原本不具像散性的雷射模態藉由通過第一個柱狀透鏡造成像散，接著再由第二個柱狀透鏡將像散造成的差異修正。而本文系統中柱面型共振腔會使得模態從剛出光就具有像散性，故實際上只需一個柱狀透鏡將原本的像散的模態修正及可。當中的外部柱狀透鏡其有效焦距為 25mm，其擺放位置為將柱狀鏡平面處置於出光後 20mm 左右，旋轉角度為與水平擺放時夾角約 20˚左右。. 圖 3-8(a) – (e)為腔長 5mm，外部柱狀透鏡旋轉角度 18˚時的基本模態近遠場變化圖。(a’) – (e’)則是運用 HG 基底重組的概念作為數值模擬後的結果，和實驗圖形極為接近. θ. 圖 3-8(a) – (e):為實驗上基本模態轉換後的近遠場變化； (a’) – (e’):為理論模擬基本模態轉換後的近遠場變化。. 33.

(42) 3.4.2. 像散的 Hermite-Gaussian 模態之轉換. 像散的 Hermite-Gaussian 模態經由外部柱狀透鏡將 HG0,6 模態轉換成圓對稱分佈的 Laguerre-Gaussian 模態，腔長為 5mm，離軸為 100μm，可以觀察圖 3-8(a)~(e) 中像散的 HG 在轉換的過程中從 z = 30mm 處由歪斜線狀慢慢變成橢圓狀在 z = 150mm 處可以觀察，最後在 z = 400mm 變成甜甜圈狀的偏圓型分佈，此為 LG 模態。. 本文採取 L.Allen 在 1993 年論文內的概念[17]，將 HG 拆解成基底並重組，當中並運用 3-3 節中的海更士積分應用於 ABCD 法的方法，當中 ABCD 法表示為柱透鏡的矩陣代入，重組過程中以旋轉座標和直角座標的方程互相比較後剩下的即為轉換係數，3.5 節將討論如何達成。. 圖 3-9(a) – (e):為實驗上 Hermite-Gaussian 模態在近遠場的變化； (a’) – (e’):為理論模擬 Hermite-Gaussian 模態在近遠場的變化。. 34.

(43) 3.5 模態轉換之理論分析對於 HG 模態轉換成 LG 模態的相關實驗和理論都有論文闡述[17]，轉換是由相關模態作為基底並滿足 mode-matching 條件，而本文嘗試去修改成符合柱面型共振腔，這類兩軸曲率半徑並不相同，而造成雷射模態像散，並且只外加一個外部柱狀透鏡達到轉換。. 首先將一個欲旋轉成的 LG 模態的高階 HG 模態分解成 HG 基底(basis)展開，並找出其權重係數: 𝑢𝑛,𝑚 (𝜉1 , 𝜂1 , 𝑧1 ) = 𝑢𝑛 (𝜉1 , 𝑧1 )𝑢𝑚 (𝜂1 , 𝑧1 ) 𝑁. = ∑ 𝐷𝑠 (𝜃)𝑢𝑛,𝑚 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑠=0. (3.5.1). 當中 N = n+m，且(ξ，η)和 x，y 關係為. {. 𝜉1 = 𝑥1 cos 𝜃 + 𝑦1 sin 𝜃 } 𝜂1 = 𝑥1 (−sin𝜃) + 𝑦1 cos 𝜃. (3.5.2). 重寫橫向面兩軸的 HG 的方程式. e. ⃑ 𝑟−𝑟 2 2𝜉. ∙e. ⃑ 𝑡−𝑡 2 2𝜂. ∞. ∞. 𝑚=0. 𝑛=0. 𝐻𝑚 (𝜉 )𝑟 𝑚 𝐻𝑛 (𝜂)𝑡 𝑛 = ∑ ∑ 𝑚! 𝑛!. (3.5.3). 35.

(44) 其中ξ = √2𝜉 ⁄𝜔1 ，𝜂 = √2𝜂⁄𝜔1 ，𝑥 = √2𝑥⁄𝜔1 ，𝑦 = √2𝑦⁄𝜔1. 在此先假設 x，y 軸的曲率半徑相同，進而使式 3.5.2 帶入式 3.5.3 的等式左側得到:. ⃑. 2. 2. 2. e2𝜉𝑟−𝑟 ∙ e2𝜂⃑𝑡−𝑡 = e2(𝑥⃑⃑⃑⃑1 cos 𝜃+𝑦⃑⃑⃑⃑1 sin 𝜃)𝑟−𝑟 ∙ e2[𝑥⃑⃑⃑⃑1 (−sin𝜃)+𝑦⃑⃑⃑⃑1 cos 𝜃]𝑡−𝑡 2 +2(𝑟 cos 𝜃−𝑡 sin 𝜃)𝑥 ⃑⃑⃑⃑1. = 𝑒 −(𝑟 cos 𝜃−𝑡 sin 𝜃). 2. 2 +2(𝑟 sin 𝜃+𝑡 cos 𝜃)𝑦 ⃑⃑⃑⃑1. 𝑒 −(𝑟 sin 𝜃+𝑡 cos 𝜃). (3.5.4). 將式 3.5.4 整理成 HG 的產生方程(generating function). 2 +2(𝑟 cos 𝜃−𝑡 sin 𝜃)𝑥 ⃑⃑⃑⃑1. 𝑒 −(𝑟 cos 𝜃−𝑡 sin 𝜃). 2 +2(𝑟 sin 𝜃+𝑡 cos 𝜃)𝑦 ⃑⃑⃑⃑1. 𝑒 −(𝑟 sin 𝜃+𝑡 cos 𝜃) 2. 2. 2. ⃑⃑⃑⃑⃑1 +𝑦 ⃑⃑⃑⃑⃑1 ) 𝜋𝜔1 (𝑥 𝜋 𝑖 2𝑞 𝜆 1 0 = √ 𝜔1 𝑒 × 2. ∞. 𝑁 𝑁⁄2. ∑2. ∑. 𝑁=0. 𝑠=0. 𝑁. 𝑠. 𝑁−𝑠. = [∑ ∑ ∑ 𝑠=0 𝑣1 =0 𝑣2 =0. (𝑟 cos 𝜃 − 𝑡 sin 𝜃)𝑠 (𝑟 sin 𝜃 + 𝑡 cos 𝜃)𝑁−𝑠 √𝑁 − 𝑠!. √𝑠!. 𝑢𝑠,𝑁−𝑠 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ). (𝑟sin𝜃)𝑣2 (𝑡 cos 𝜃)𝑁−𝑠−𝑣2 𝐶𝑣𝑠1 (𝑟 cos 𝜃)𝑣1 (−𝑡 sin 𝜃)𝑠−𝑣1 𝐶𝑣𝑁−𝑠 2 √𝑠!. √(𝑁 − 𝑠)!. (3.5.5). 式 3.5.3 等號左手邊處理後為式 3.5.5. 36. 𝑢𝑠,𝑁−𝑠 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )].

(45) 再處理式 3.5.3 等號的右手邊，可整理為 ∞. ∞. 𝑚=0. 𝑛=0. 𝐻𝑚 (𝜉 )𝑟 𝑚 𝐻𝑛 (𝜂)𝑡 𝑛 ∑ ∑ 𝑚! 𝑛!. 𝜋 𝑖 = √ 𝜔1 𝑒 2. 2 2 ⃑⃑⃑⃑⃑ +𝜂 𝜋𝜔1 2 (𝜉 1 ⃑⃑⃑⃑⃑1 ) 2𝑞1 𝜆0. 𝑚. ∞. 𝜋𝜔 2 ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝜉 (√2𝑟) 2 1 𝑖 1 1 × ∑ √√ √ 𝑚 𝐻𝑚 (𝜉⃑⃑⃑1 )𝑒 2𝑞1𝜆0 𝜋 2 𝑚! 𝜔1 √𝑚! 𝑚=0 [. 𝑛. ∞. 𝜋𝜔 2 ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝜂 (√2𝑡) 2 1 𝑖 1 1 × ∑ √√ √ 𝑛 𝐻𝑛 (𝜂 ⃑⃑⃑1 )𝑒 2𝑞1𝜆0 𝜋 2 𝑛! 𝜔1 √𝑛!. 𝑛=0. 𝜋 𝑖 = √ 𝜔1 𝑒 2. 2 2 ⃑⃑⃑⃑⃑1 +𝜂 ⃑⃑⃑⃑⃑1 ) 𝜋𝜔1 2 (𝜉 2𝑞1 𝜆0. 2. 2. ] ∞. 𝑁 𝑁⁄2. ∑2. ∑. 𝑟𝑚. 𝑡 𝑁−𝑚. √𝑚! √𝑁 − 𝑚 𝑚=0. 𝑁=0. 𝑢𝑚,𝑁−𝑚 (𝜉1 , 𝜂1 , 𝑧1 ). (3.5.6) 比較式 3.5.5 和 3.5.6 可以得到𝑣1 + 𝑣2 = 𝑚的關係式，接著讓𝑣1 = 𝑚 − 𝑣， 𝑣2 = 𝑣: 𝑣1 = 0~𝑠 {𝑣2 = 0~𝑁 − 𝑠 𝑚 = 0~𝑁 (3.5.7) 接著將式 3.5.7 代入式 3.5.5 後改寫成 2. 2. 2. ∞. ⃑⃑⃑⃑⃑1 +𝑦 ⃑⃑⃑⃑⃑1 ) 𝜋𝜔1 (𝑥 𝜋 𝑖 2𝑞 𝜆 1 0 √ 𝜔1 𝑒 ∑ 2𝑁⁄2 × 2. 𝑁=0. 𝑁. 𝑁. [∑ ∑ ∑ 𝑠=0 𝑚=0 𝑣. 𝑠! (𝑁 − 𝑠)! 𝑟 𝑚 𝑡 𝑁−𝑚 (cos 𝜃)𝑁−𝑠+𝑚−2𝑣 (− sin 𝜃)𝑠−𝑚+2𝑣 (−1)𝑣 √𝑠! √(𝑁 − 𝑠)! (𝑚 − 𝑣)! (𝑠 − 𝑚 + 𝑣)! 𝑣! (𝑁 − 𝑠 − 𝑣)!. (3.4.8). 37. 𝑢𝑚,𝑁−𝑚 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )].

(46) 式 3.5.8 等價於式 3.5.6，最後逐項比較可得到光場分佈： 𝑁. 𝑢𝑛,𝑚 (𝜉1 , 𝜂1 , 𝑧1 ) = ∑ 𝑑 𝑁 𝑠=0. ⁄2 𝑁 2. 𝑠− ,𝑚−. 𝑁 2. (𝜃) 𝑢𝑠,𝑁−𝑠 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ). (3.5.9) 式 3.5.9 當中 𝑑𝑁. ⁄2 𝑁 2. 𝑠− ,𝑚−. 𝑁 2. (𝜃) = √𝑠! √(𝑁 − 𝑠)! √𝑚! √(𝑁 − 𝑚)! 𝜃 𝑛+𝑠−2𝑣. 𝑚𝑖𝑛[𝑁−𝑛,𝑠]. ×. (−1)𝑣 [cos ] 2. ∑ 𝑣=max[0,𝑠−𝑛]. 𝜃 𝑛−𝑠+2𝑣. [sin 2]. 𝑣! (𝑁 − 𝑛 − 𝑣)! (𝑠 − 𝑣)! (𝑛 − 𝑠 + 𝑣)!. (3.5.10) 當中(𝜉1 , 𝜂1 )為式 3.5.2 所示，式 3.5.10 即是轉換係數. 最後再以 HG 基底作為轉換成 LG 模態中運用運算子法對不同基底找出座標轉換運算子∑𝑁 𝑠=0 𝐷𝑠 (𝜃)，展現出來得即是式 3.5.9。當中出光後 d 距離的位置加設一外加柱透鏡，其焦距 f，所以 q 的 ABCD 法表示成: 1 𝑀𝑥 (𝑧) = [ 0 𝑀𝑦 (𝑧) = [. 𝑧 1 𝑑 ][ ] 1 0 1. 1 1 𝑧 ][ ⁄ −1 𝑓 0 1. 38. 0 1 𝑑 ][ ] 1 0 1.

(47) 3.6 柱面型簡併腔模態轉換由前面 2.3、2.4 節，本文已處理了這種在特殊腔長下所展現的簡併模態，在柱面型雷射共振腔也會出現這類不屬於基本 HG 模態的簡併態，當加上外部柱透鏡轉換此模態成為簡併 Laguerre-Gaussian 模態，主要可以觀察到具有點狀結構，當中式 2.3.2: Ω=. ∆𝑓𝑇 𝑃 1 = = cos −1 √𝑔1 𝑔2 ∆𝑓𝐿 𝑄 𝜋. 由於實驗的腔體是平凹腔，𝑔2 對應平面反射鏡的大小為 1，表示為: Ω=. 1 1 cos−1 √𝑔1 = cos −1 √1 − 𝐿⁄𝑅1 𝜋 𝜋. (3.6.1) 接著可由上式計算出不同有理數與其對應的相對腔長，下列為實驗結果圖 3-9 為 Ω=1/4 時的圖樣當中(a)與(c)分別為簡併 HG 模態和其轉換後的 LG 模態， (b)與(d)亦為相對應 HG 與 LG，Ω=1/4 的理論腔長為 10mm，實驗時出現 Ω=1/4 的腔長為 11.6~12mm。圖中所展示的特性也極為有趣，在 Ω=1/4 時以中央點為圓心同半徑的光點通常為四點或是四的倍數。. 圖 3-10(a)、(c)模態的腔長為 11.950mm，離軸 0.315mm，離焦 1.720 mm (b)、(d)模態的腔長為 11.600 mm，離軸 0.350 mm，離焦 2.600 mm. 39.

(48) 圖 3-10 為 Ω=2/7 時的圖樣，理論腔長為 12.220mm，實際 Ω=2/7 的對應腔長約 14.7mm 左右。一樣在 Ω=2/7 時所展現出的花紋，以中央點為圓心，同半徑的亮點或暗紋，都會呈現七或是七的倍數。. 圖 3-11(a)、(c)模態的腔長為 14.710 mm，離軸 0.280 mm，離焦 2.000 mm； (b)、(d)模態的腔長為 14.723 mm，離軸 0.0 mm，離焦 4.390 mm. 圖 3-11 為 Ω=3/10 時的圖樣，理論腔長為 13.100mm，實際 Ω=3/10 的對應腔長約 15.5mm 左右。. 圖 3-12 (a)、(c)模態的腔長為 15.550 mm，離軸 0.36 (a)、(c)模態的腔長為 15.550mm，離軸 mm，離焦 3.700 mm； 0.36mm，離焦 3.700mm； (b)、 (d)模態的腔長為 15.510 mm，離軸 0.024 (b)、(d)模態的腔長為 15.510mm，離軸 mm，離焦 3.741 mm 0.024mm，離焦 3.741mm. 40.

(49) 接著取其中三種 Ω 來表示，實際上 Ω 中的分母數字常在 LG 模態裡展現在圖形的幾何表現上；另外理論所計算出來的腔長通常小於其實驗上對應的腔長，實驗腔長較理論腔長多 2mm，因為理論腔中的介質是設想為真空狀態，而實驗腔體中，卻有一個厚 2mm 增益介質的折射率要考量，所以才會有實驗腔長較理論腔長多約 2mm 的狀況。. 而圖 3-12 是針對 Ω=2/7 腔長所得到實驗結果，尋找接近的 HG 疊加情形的數值模擬，由 HG4,8+HG2,13+HG0,18 所疊合而成. 圖 3-13(a) Ω=2/7 腔長的實驗結果；(b)數值模擬疊加 HG 的結果 HG4,8+HG2,13+HG0,18. 41.

(50) 3.7 實驗結果討論實驗針對柱面型共振腔所產生的模態做相關研究，從基本模態到 Hermite-Gaussian 模態的實驗結果已做相關記錄，模態的像散性也在實驗中展現。另外參考 S. J. M. Habraken 的文章[34]中針對 x、y 軸曲率半徑不同模態所推導的方程式作數值模擬，該方程式將 ABCD 法結合於波函數中，以便能夠對行進中所經過的光學元件做修正，並且亦對行進間的模態做模擬來比對實驗結果，式 3.3.7 所展現即是柱面鏡共振腔 HG 模態的行進公式. 第二部分將外加柱透鏡至於柱面型共振腔外，將 Hermite-Gaussian 模態轉換成 Laguerre-Gaussian 模態在行進間的相關圖形變化紀錄，並對此變換做相關參數紀錄。在數值模擬方面，參考 L.Allen 論文的概念[17]以 Hermite-Gaussian 模態作為基底疊加來變換成 Laguerre-Gaussian 模態。當中式 3.5.10 即是轉換係數，並且亦對行進間的變化模擬來比對實驗結果。. 第三部分本文發現在實驗中常常出現不為一般常見的 Hermite-Gaussian 模態或 Laguerre-Gaussian 模態，當中特別是 Laguerre-Gaussian 模態常會有點狀結構所構成像花一般的圖形，猜測為同能量的簡併態疊加而成，我們參考 Y. F. Chen 對共振腔內所具有的魔梯現象相關論文[19]來做數值模擬，其結果接近於實驗圖形。. 42.

(51) 第4章未來工作 4.1 模態轉換參數與腔長關係在轉換的過程中，外部柱透鏡與增益介質鍍膜面的距離和旋轉角度都會影響轉換後是否呈現完整或是歪斜的 LG 模態，其外住透鏡的旋轉角度與圖形關係如圖 4-1，於是我們有紀錄相關的數據，對於呈現出我們認為比較圓或是比較完整的 LG 模態當下的參數紀錄後，如圖 4-3 所示，發現在腔長為 12.230mm 時，轉換角 θ=20.2⁰是所有紀錄的腔長中最大的轉換角，隨著腔長從該位置變長或變短，轉換角皆有變小趨勢，如圖 4-2 和圖 4-4 所示，我們拿其能紀錄之最大和最小腔長的圖代表；而本實驗裝置所測得最大腔長為 24mm，腔長 12mm 恰為最大腔長之一半，因為其中雷射光的發散角θ = 𝜆⁄𝜋𝜔0，當中𝜔0 大小與腔長有關，可以合理猜測其轉換角與束腰半徑𝜔0 有關，但最大問題仍是如何定義何謂完整 LG 模態。. 另外在實驗上的轉換角度約在 18⁰左右，但模擬所輸入的角度卻是在 40⁰到 45⁰間，猜測可能是模擬的公式尚未考量發散角的影響。. θ. 圖 4-1 外部住透鏡旋轉角度與雷射模態關係. 43.

(52) 圖 4-2 腔長 6.230 mm，HG0,7，在外加柱透鏡後在(a)17⁰ (b)18⁰ (c)19⁰ (d)20⁰的拍攝. 圖 4-3 腔長 12.230 mm，HG0,6，在外加柱透鏡後在(a)19⁰ (b)20.2⁰ (c)21⁰ 的拍攝. 圖 4-4 腔長 19.230 mm，HG0,6，在外加柱透鏡後在(a)11⁰ (b)12⁰ (c)13⁰ (d)14⁰ 的拍攝. 44.

(53) 4.2 轉換模態的干涉圖形在了解相關含有光的軌道角動量的雷射模態後，我們可將此類含有軌道角動亮的光先分光後將其中一束光進入達夫稜鏡(Dove prism)使其旋性相反，並和另一道分光疊合，將兩束旋性相反的光互相干涉後產生叉型圖樣(fork-like pattern) 來確認圖形的叉型圖樣的位置和軌道角動量的大小。. 45.

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