具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

(1)

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

計畫類別：個別型計畫

計畫編號： NSC92-2212-E-151-015-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

執行單位：國立高雄應用科技大學模具工程系

計畫主持人：李聰慶

報告類型：精簡報告

報告附件：出席國際會議研究心得報告及發表論文

處理方式：本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中華民國 93 年 11 月 1 日

(2)

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

Synthesis of Spatial 8-Link Mechanisms with a One-Dimensional

Infinity of Bifurcation Postures

計畫類別：■ 個別型計畫　　□ 整合型計畫

計畫編號：NSC 92－2212－E －151 －015－

執行期間：92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

計畫主持人：李聰慶

共同主持人：

計畫參與人員：

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：■精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

■出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列

管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年■二年後可公開查詢

執行單位：國立高雄應用科技大學模具工程系

中華民國九十三年七月三十一日

■成果報告

□期中進度

報告

(3)

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

Synthesis of Spatial 8-Link Mechanisms with a One-Dimensional Infinity of

Bifurcation Postures

計劃編號：NSC 92-2212-E-151-015

執行期限：92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

主持人:李聰慶國立高雄應用科技大學模具工程系教授

一、中文摘要

本研究根據群論法，利用位移集之李

群代數結構，有系統地合成及分析具有一

次無限雙分歧的空間八桿機構且加以証明

其所具有的不連續可動特性。分歧現象屬

於不連續的特性，又有雙分歧及多分歧等

構形的區別。而不連續可動性的內容較一

般性變自由度更為一般化。一般而言，空

間八桿單迴路機構雙分歧的不連續可動構

形，發生於同一運動迴路中具有兩個或兩

個以上的位移次群。研究中首先完整的探

討群論及位移集李群代數結構應用於機構

雙分歧不連續可動性的基本原理，接著，

將其應用於合成及分析具一次無限雙分歧

構形的新不連續可動空間八桿機構。再以

位移集的群代數結構及群論法則，確認所

合成的新機構確實具有一次無限雙分岐現

象的不連續可動性，並更進一步探究其有

限與瞬時自由度的變化情形。本計畫已獲

得具代表性的三類一次無限雙分歧之新空

間八桿機構。為簡化及明膫起見，以下除

介紹建立的基本理論外，將舉一類合成所

得的不連續可動機構，利用群論法加以說

明其具一次無限雙分歧的不連續可動性；

且分析可變形的摺疊方塊玩具應用實例的

不連續可動性。

關鍵詞:

一次無限雙分歧、不連續可動性、

變自由度特性、空間八桿機構、群論、李

群代數結構、位移集。

Abstract

In this project, applying the group theory and

the group algebraic structure of the displacement

set, we systematically synthesize and analyze

spatial 8-link mechanisms with a

one-dimensional infinity of bifurcation as well as

make a confirmation on their existence of

discontinuity mobility. Fork or Furcation for

mechanism is a type of discontinuity. There are

various types of discontinuous mobility existing,

such as bifurcation or multifurcation. The

discontinuous mobility seems to be more general

than the generalised kinematotropy. In general,

bifurcation postures of spatial 8-link single-loop

mechanism occur as two or more independent

subgroups are involved in the same kinematic

loop. In this work, we firstly & completely

derive the algorithm and fundamentals linked

with group theory and Lie group algebraic

structure of displacement set to explore the

discontinuous mobility of mechanisms. Then, we

apply the derived criteria & approach not only to

analyze and synthesize the new discontinuously

movable spatial 8-link mechanisms with

one-dimensional infinity of bifurcation but also to

confirm the derived mechanism characterized by

a discontinuous mobility of the 1-d. infinity

bifurcation postures. Moreover, the finite and

infinitesimal mobility are discussed as well. In

the following, we provide three types of new

spatial 8-link mechanism with a 1-d. infinity of

bifurcation posture. For the reason of clearness

and simplicity, after introducing the derived

fundamentals, we will only take the first kind of

synthesized mechanism as an illustration to

explain a one-dimensional infinity of bifurcation

based on the group-theoretical approach. At last,

one practical application of discontinuous

mobility for a folding square-block toy is also

demonstrated.

Keywords:

One-dimensional infinity of

bifurcation, Discontinuous mobility,

Kinemato-tropy, Spatial 8-link mechanism, Group theory,

Lie group algebraic structure, Displacement set.

(4)

二、計畫緣由與目的

機構有各種不同形式的不連續可動性

存在，分歧現象(Furcation or fork)為其中

之一種。而分歧構形又有雙分歧

(Bifurcation)、三分歧(Trifurcation)及多分

歧(Multifurcation)等構形的區別；本計畫

主要針對具有雙分歧特性的不連續可動性

加以探討。一般的運動分歧，大部份發生

在機構的某幾個特定的過渡構形；然而，

具一次無限雙分歧構形 (One-dimensional

infinity of of bifurcation)的空間機構，卻有

無窮多的位置構形可形成分歧現象的不連

續可動特性。此類具有一次無限分歧現象

的空間機構屬於不連續可動機構，未來具

有變構形機構產品、太空摺疊裝置或構架

與無奇異並行機構的設計等實際應用的潛

力。一般而言，大部份自由度定義明確

(Well-defined degree of freedom)的機構，

其運動迴路中獨立位移集的交集為具有明

確階次的平滑流形簇(Smooth manifold)。

然而，對不連續可動的機構而言，其交集

(Intersection)卻為兩個或兩個以上流形簇

或位移次集的聯集(Union)。此種不連續可

動性雖有部份是發生在不定構形的位置，

但不定構形的自由度數的增加大部份為瞬

間或暫時性的 (Instantaneous or

transitory)；因此，無法以不定構形的特性

完整詮釋之。以群論的觀點而言，更精確

的定義為:不連續可動性發生在運動迴路中

存在兩個或兩個以上的流形簇(Manifolds)

或位移次集(Displacement subset)且相互間

的運動關係具有特殊的牽制或限制關係。

除此之外，對自由度的類型亦必須加以區

別；一般的自由度可視為位移集的次方

(Dimension of displacement set)，而機構的

整體自由度(Global degree of freedom)則為

描述整個運動鏈運動的獨立變數數目；至

於機鍵(Mechanical bond or liaison)的自由

度可定義為機構任意兩桿間所有可能的相

對運動位移集之次元。

群論(Group theory)[1,2]為機構分類與

探討其可動性的有效數學方法[3,4]，更為

空間機構設計的基礎工具[5]。近年來，筆

者與 Hervé 教授並將其推廣於探討空間機

構的不連續可動性及應用於合成新的不連

續可動空間四至七桿機構[6-9]。有關機構

不連續可動性的研究，除部份學者探討的

變自由度機構(Kinematotropic mechanism)

[10-13]可視為不連續可動機構的特例外，

筆者近年來的相關研究著作中，亦有詳細

的探討[6-9,14,15]。然而，這些內容大部

份屬於在某些特定特殊構形下，才可能具

有不連續的可動特性。雖然近幾年筆者對

不連續可動機構的研究大部份屬於此種類

型且侷限於空間四至七桿的機構。但是具

有一次無限雙分歧構形的不連續可動空間

機構，將存在於原始機構為具有兩個或兩

個上自由度以的空間運動鏈中。因此，本

研究計畫主要針對此類型的空間八桿機構

加以詳細探討，以提供未來對具無限的多

分歧構形 (An infinity of multifurcation

posture)不連續可動空間機構的進一步深入

研究之基礎。目前有關合成及分析具有無

限雙分歧的不連續可動機構的研究，除仍

有待系統化及完整地加以深入探究外，其

理論應用的相關研究主題仍具有無窮的開

發潛力，此乃因而促使本計畫之研究動

機。

相對於研究瞬時可動性(Instantaneous

mobility)的螺旋理論 (Screw theory)[16,17]

而言，群論法(Group-theoretic approach)在

詮釋空間機構的全程、整體或有限的可動

性(Full-cycle, global or finite mobility)上，

有其特定的優點。因此，本研究計畫根據

群論法，利用位移集之李群代數結構(Lie

group algebraic structure of displacement set)

提出一套有系統的方法合成及分析具有無

限雙分歧構形的新不連續可動空間八桿機

構，且加以証明其確實具有一次無限雙分

歧的不連續可動現象，並進一步探究其有

限及瞬時自由度的變化情形。提供未來可

能進一步將應用合成所得的機構於產生新

的變自由度多迴路機構 (Multiloop

kinematotropic mechanism)及做為摺疊太空

構架裝置或機構之合成建構單元，並可能

推廣應用於無奇異構形(Singularity-free)並

聯式機構(Parallel Mechanism)建構肢的運

動鏈或新的變形機構產品設計之用。更預

(5)

期可提供探討空間機構不連續可動性的機

構運動學基礎理論之參考。

三、研究方法及成果

以集合論(Set theory)的觀點，一個群

(Group)為具有二元運算(Binary operation)

的非空集合，且滿足運算封閉性

(Closed)、結合律與存在單位元素、反元

素等特定特性。在位移群中，其二元運算

為位移的乘積(Product)。在機構原理中，

位移稱為剛體或桿的運動，而機構由運動

對與桿所組成。運動鍵(Kinematic bond)或

機鍵為任意兩剛體間連接的數學模式，為

其間允許的相對運動位移集。當以實物呈

現時，將導致運動對的產生。迴轉對、滑

行對、螺旋對、圓柱對、球面對及平面對

等六種低對接頭或運動對 (Kinematic

pairs)，其各自的相對運動關係為一種位移

次群(Displace-ment subgroup)，可視為剛

體運動群的子集：屬於群且為李群 (Lie

subgroup)。因此，空間機構之接頭運動屬

於群，亦為李群。茲將此六種位移群及本

研究有關的群論基本法則及原理說明如下:

{R(N, u)}:迴轉對接頭的相對運動的位移

集所構成，繞空間某轉軸(N, u)且其

轉軸經某定點 N 及平行於已知單位向

量 u 轉軸的旋轉次群 (Subgroup of

rotations)

{T(u)}:滑行對接頭的相對運動位移集，沿

平行某單位向量 u 的平移次群

(Subgroup of translation)。

{H(N,u,r)}: 螺旋對的相對運動位移集，繞

經某定點 N 且平行已知單位向量 u 的

空間某轉軸(N,u)轉軸及根據r值沿 u

方向移動特定量的 1- 次元

(1-dimensoinal)的位移次群

{C(N, u)}: 2-次元的位移次群，圓柱對接

頭的相對運動位移集，繞經空間某定

點 N 且平行單位向量 u 轉軸轉動及可

沿平行於 u 方向運動的平移-旋轉次群

(Subgroup of rotations & translation )

{G(u)}: 3-次元的位移次群，為平面對的相

對運動位移集；在選定的參考座標

下，可以矩陣群表示之，而稱 SE(2)

{S(N)}: 3-次元的位移次群，為球面對的相

對運動位移集；以 N 為原點的任意參

考座標下，通常以矩陣群表示為 SO(3)

{E}: 單一變換位移集 (Identity

transfor-mation set)為不具有相對運動之兩剛體

間的關係，其各點並無相對位置變化

{D}:6- 次元之位移李群；任意參考座標

下，可以矩陣群表示，通常稱為 SE(3)

{L(i,j)}:桿 j 相對於桿 i 的運動位移次集或

桿 i 與 j 間之運動鍵或機鍵

(i,j=1,2,3,…,8)

{G

1

},{G

2

}:單迴路運動鏈中，任意兩桿間

由串聯運動鏈所產生的位移次集

{L(n/D)(i,j)}:桿 j 相對於桿 i 的 n-次元流形

簇且嚴格地包含於 6-d.位移群{D}內；

n<6

{L(n/G)(i,j)}:桿 j 相對於桿 i 的 n-次元流形

簇且嚴格地包含於 3-d.位移群{G}內；

n<3

另值得注意的是本研究發現必須區別

局部可動性(Local mobility)與全程可動性

(Full-cycle mobility)。局部可動性相當於

瞬時可動性(Instantaneous mobility)。事實

上，局部可動性為幾何特性與時間無關，

有無限小的振幅，與全程可動性或有限的

可動性不同。局部可動性的自由度(Degree

of freedom, dof) 可由線性獨立的螺旋

(Screw)或旋量(Twist)數目獲得之；這些旋

量乃由運動對相對運動的速度場所產生。

而且，局部可動性依運動對的幾何排列決

定。對一組已知的接頭幾何排列，無限小

的可動性(Infinitesimal mobility)並不依接

頭的排列次序而定。然而，有限的可動性

卻依照接頭連接的順序而改變。自由度可

視為位移集的次元；當位移集與R

n

_間有一

對一的對應關係時，稱具有 n- 次元

(n-dimension)。大部分機構中，一剛體相對

於另一剛體的運動為一包含於位移群的流

形簇(Manifold)且流形簇的次元又稱機鍵

自由度。在機構原理中，鍵的次元也稱為

連接性(Connec-tivity)。然而，必須特別強

調的是有些特殊的閉迴路運動鏈，可能產

生其機鍵具有兩個或兩個以上流形簇的聯

集，而非單一且平滑的流形簇。在一般性

連續可動的機構中，兩桿間的相對運動為

(6)

具有定義明確次元之流形簇(Manifold)。

然而，在不連續可動性中相當於兩桿間之

位移集值交集非為單一流形簇，而是兩個

或兩個以上位移集之聯集，可以為不同的

流形簇且分別具有特定的次元。

在空間八桿單迴路運動鏈中，若任意

選取兩剛體桿件，則可得連接此兩構件的

兩個串聯鏈(Serial chain)。而表示介於此

兩剛體運動的位移次集或機鏈(Mechanical

bond)，即為所得兩串聯鏈之位移集的交

集(Intersection set)。若考慮具有八桿的空

間單迴路機構，則其位移集的閉合方程式

可以表示如下:

{L(1,2)}{L(2,3)}{L(3,4)},…,{L(7,8)}

{L(8,1)} ={E}

(1)

其中， {E} 為單一位移集 (Identical

displacement set)。根據群及集合論(Group

& set theory) [1,2]，集積的集合亦為其各

別積的集合。且可進一步將迴轉對、滑行

對、圓柱對…等機鍵{L(i-1,i)}的位移集分

別以{R(N, u)}、{T(u)}、{C(N, u)}…等次

群表達之。以群論及位移群代數結構觀點

而言，若空間機構在某種特殊軸向安排或

幾何尺寸的限制下，同一運動鏈迴路中，

具有兩個或兩個以上的獨立次群

(Independent subgroups)或謂其交集為單一

位移集群(Identical displacement set group)

則機構可能產生不連續的可動性

(Discontinuous mobility)。因此，本研究計

畫根據群論及位移集的李群代數結構(Lie

group structure of displacement set)，配合

立體幾何學與三度空間電腦繪圖工具，有

系統的探討具一次無限雙分歧不連續可動

特性的空間八桿機構且合成其機構構造，

並找尋不連續可動機構的可能應用實例。

利用本研究所得的群論方法及步驟完

成的研究成果中，已陸續合成具有一次無

限雙分歧構形的新不連續可動空間八桿機

構。其中最具代表性三個機構實例，如圖

一至三所示；且已發現一類可變構形的摺

疊方塊玩具的應用實例。為求研究成果的

推廣及貢獻，以達到廣泛交流的目的，以

下僅就研究計畫執行成果中所獲得的第一

類具一次無限雙分歧構形的空間八桿機構

的群論法之不連續可動性探討加以說明；

並舉出可變形摺疊方愧玩具機構的應用實

例敘述之。

圖一、第一類不連續可動空間八桿機構

圖二、第二類不連續可動空間八桿機構

圖三、第三類不連續可動空間八桿機構

不連續可動空間八迴轉對機構

圖一所示機構為空間八迴轉對機構，

為本計畫所得第一類新的具一次無限雙分

歧的不連續可動機構。此機構在初始構形

分別具有兩組互相平行的四根迴轉軸；而

當運動後，在任何構形下仍將保持兩組分

別平行的三相鄰轉軸。若將接頭 C、D、E

(7)

及 F 間的-C-D-E-F-連接方式拆開，改變為

-C-E-D-F-的連接關係，則所得

A-B-C-E-D-F-G-H 機構為具有三個有限自由度的機

構，其自由度的計算並不遵守一般自由度

(dof)的計算公式。此機構為特殊的運動

鏈，具有兩個被動的平面 1-dof 的運動

(Passive planar1-dof motion)，而第三個自

由度則來自於兩個平面位移群的交集；即

線性的 1-dof 平移次群。以群論法說明如

下：

機構 A-B-C-E-D-F-G-H 的閉合迴路位

移集方程式為

{R(A,u)}{R(B,u)}{R(C,u)}{R(E,u)}{R(D,

v)}{R(F,v)}{R(G,v)}{R(H,v)} = {E}

(2)

根據群論法得知 R(A,u)}{R(B,u)}{R(C,u)}

={G(u)}:

且 {R(F,v)}{R(G,v)}{R(H,v)}=

{G(v)}。因此，{R(A,u)}{R(B,u)}{R(C,u)}

{R(E,u)}={G(u)}{R(E,u)}={G(u)} 且 {R(D,

v)}{R(F,v)}{R(G,v)}{R(H,v)}={R(D,v)}{G

(v)}={G(v)} ；可得知第三個自由度為

{G(u)}∩{G(v)}={T(w)}純平移位移次群；

u

⊥w & v⊥w。

接著，以位移集的李群代數結構，證

明及分析圖一的機構具有一次無限雙分歧

的不連續可動特性。機構

A-B-C-D-E-F-G-H 的閉合迴路位移集方程式為

{R(A,u

z1

)}{R(B,u

z2

)}{R(C,u

z3

)}{R(D,u

z4

)}

{R(E,u

z5

)}{R(F,u

z6

)}{R(G,u

z7

)}{R(H,u

z8

)}

= {E}

(3)

若以單位向量 u

1A

、u

2B

、u

3B

、u

4B

、u

5C

、

u

6D

、u

7D

及 u

8D

分別表示經過點 A、B、

C、D、E、F、G & H 的 u

z1

、u

z2

、u

z3

…

&u

z8

；則(3)式可進一步簡化為

{R(u

1A

)}{R(u

2B

)}{R(u

3C

)}{R(u

4D

)}{R(u

5E

)}

{R(u

6F

)}{R(u

7G

)}{R(u

8H

)} = {E}

(4)

參考圖一，由剛體 8 與 4 間並行排列的串

聯運動鏈所產生的兩個位移次集{G

1

} 及

{G

2

} 分別為 {G

1

}={R(A,uz

1

)}{R(B,uz

2

)}

{R(C,uz

3

)}{R(D,uz

4

)} 、 {G

2

}={R(H, uz

8

)}

{R(G,uz

7

)}{R(F,uz

6

)}{R(E,uz

5

)} 。很明顯

地，桿 4 相對於桿 8 的機鍵{L(8,4)}可表

示為位移集之交集：{L(8,4)}={G

1

}…{G

2

}=

{R(A,u)}{R(B,u)}{R(C,u)}{R(D,v)}∩{R(H,

v)}{R(G,v)}{R(F,v)} {R(E,u)} 。由群論法

可證明得知 {R(A,u)}{R(B,u)}{R(C,u)}≅

{G(u)}；其中，{G(u)}為垂直 u 的平面運

動次群。同理， {R(H,v)}{R(G,v)}{R(F, v)}

≅{G(v)} 。因此導致 {G(u)}∩{G(v)}=

{T(w)}，w⊥u & w⊥v；{T(w)}為沿 w 方向

的純平移次群。故知

{R(A,u)}{R(B,u)}{R(C,u)}{R(D,v)}∩

{R(H,v)}{R(G,v)}{R(F,v)}{R(E,u)} ≅

{G(u)} {R(D,v)}∩{G(v)}{R(E,u)} ⊇

{G(u)}{E}∩ {G(v)}{E} = {T(w)}

(4)

而且 {G(u)}{R(D,v)}∩{G(v)}{R(E,u)}⊇

{G(u)}{E}∩{E}{R(E,u)}={R(E,u)} 。由群

的一般性理論：{G(u)}∩{G(v)}={T(w)} 得

知 {G(u)}∩{G(v)}]{R(E,u)}={T(w)}{R(E,

u)}={G(u)}{R(E,u)}

∩{G(v)}{R(E,u)}={G(

u)}

∩{G(v)}{R(E,u)} ；其中， {G(u)}⊃

{R(E, u)} (群的積具有封閉性)。因此，可

以證明得

{G(u)}{R(D,v)}∩{G(v)}{R(E,u)}

⊇{G(u)} ∩ {G(v)}{R(E,u)}

= {T(w)}{R(E,u)}

(5)

以相同的方式，亦可證得

{G(u)}{R(D,v)}∩{G(v)}{R(E,u)}

⊇{G(u)} {R(D, v)}∩{G(v)}

= {T(w)}{R(D, v)}

(6)

故可將其寫成

{L(8,4)}={G

1

}…{G

2

} ≅ {G(u)}{R(D, v)}

∩ {G(v)}{R(E, u)} ⊇ {T(w)}{R(E, u)}

∪ {T(w)} {R(D, v)}

(7)

其中，

∪表示聯集。由(6)式知若且唯若

{R(D, v)}={E}時得{T(w)}{R(E, u)}；而且

若且唯若{R(E, u)}={E}時得{T(w)}{R(D,

v)}。因此，得結論為桿 8 與 4 間的機鍵可

以表示為 {T(w)}{R(E,u)}∪{T(w)}{R(D,

v)}。其結果並非一平滑的流形簇，而是

兩個相交集為{T(w)}的二次元流形簇或位

移集。故證明得此機構為具有一次無限雙

分歧的不連續可動特性。當桿 4 相對於桿

8 純平移運動時，所產生的無限構形均可

能開始發生雙分歧，兩種運動模式中各有

一個迴轉對接頭不動且互相獨立，當

{T(w)}={E}時，.{G

1

}…{G

2

}

≅ {R(E, u)}∪

(8)

{R(D, v)}且{R(E,u)}∩R(D,v)}={E}。故知

在同一鏈迴路中存在兩個獨立次群{R(E,u)}

與{R(D,v)}且兩者的運動互相牽制。

應用實例-摺疊方塊玩具

以下舉出現存應用於可變構形摺疊方

塊玩具的不連續可動機構，如圖四所示為

由八個相同小方塊以八個迴轉對連接而成

的空間 8R 機構。由圖五組合構造示意圖

知其具有等桿長 (Link-length) 且等扭角

(Link-twist)的特殊幾何構造。在初始構形

下，軸

z

1

(A)&z

7

(G), z

3

(C)&z

5

(E) 與

z

4

(D)&z

8

(H)分別共線，但是軸 z

2

(B)&z

6

(F)

互相平行。此機構若以 Grubler-Kutzhach

一般性判別式計算，其整體有限自由度數

目為 2 dof。然而，事實上其可動性會因

接頭的旋轉運動而變化。以位移集的李群

代數結構說明如下：

圖四、摺疊方塊玩具-空間 8R 機構

圖五、摺疊方塊玩具組合構造示意圖

根據群論及位移集的群代數結構，此

機構的位移集的閉合迴路方程式為

{R(A,u

z1

)}{R(B,u

z2

)}{R(C,u

z3

)}{R(D,u

z4

)}

{R(E,u

z5

)}{R(F,u

z6

)}{R(G,u

z7

)}{R(H,u

z8

)}

={E}

(8)

其中，{E}為單位位移集，且 u

z1

、u

z2

、

u

z3

,..., u

z8

為沿軸 z

1

、z

2

、z

3

,….& z

8

.的單位

向量。若以滑動向量 u

A

、u

B

、u

C

、u

D

、

u

E

、u

F

、u

G

及 u

H

分別表示經過點 A、B、

C,…, &H 的單位向量

u

z1

、 u

z2

、

u

z3

, …,&u

z8

；則(2)式可進一步以同等的形

式表示為

{R(u

A

)}{R(u

B

)}{R(u

C

)}{R(u

D

)}{R(u

E

)}

{R(u

F

)}{R(u

G

)}{R(u

H

)} = {E}

(9)

在圖一的初始位置時， u

A

=u

G

=u ，

u

C

=u

E

=v ， u

D

=u

H

=w ， u

B

=m//u

F

=n ，

{R(u

A

)}={R(u

G

)}={R(u)}，{R(u

C

)}={R(u

E

)}

={R(v)}，且{R(u

D

)}={R(u

H

)}={R(w)}。故

(9)式在簡化為

{R(u)}{R(m)}{R(v)}{R(w)}{R(v)}{R(n)}

{R(u)}{R(w)} = {E}

(10)

此運動鏈迴路中，介於桿 8 與 6 間的兩個

串聯鏈的位移次集 {G

1

} 及 {G

2

} 分別為

{G

1

}={R(A,u

z1

)}{R(B,u

z2

)}{R(C,u

z3

)}{R(D,

u

Z4

)}{R(E,u

z5

)}{R(F,u

z6

)} ={R(u

A

)}{R(u

B

)}

{R(u

C

)}{R(u

D

)}{R(u

E

)}{R(u

F

)} 與 {G

2

}=

{R(H, u

z8

)}{R(G,u

z7

)} = {R(u

H

)}{R(u

G

)}。

因此，桿 6 相對於桿 8 的機鍵{L(8,6)}為

位移集的交集 :{L(8,6)}={G

1

}∩{G

2

)}

={R(u

A

)}{R(u

B

)}{R(u

C

)}{R(u

D

)}{R(u

E

)}{R

(u

F

)}∩{R( u

H

)}{R(u

G

)}。在一般情形下，

除局部奇異外，六個 1-d.旋轉次群的積為

完全的 6-d. 位移群 {D}:{R(u

A

)}{R(u

B

)}

{R(u

C

)}{R(u

D

)}{R(u

E

)}{R(u

F

)}={D} 。因

此，{R(u

A

)} {R(u

B

)}{R(u

C

)}{R(u

D

)}{R(u

E

)}

{R(u

F

)}∩{R(u

H

)}{R(u

G

)}={D}∩{R(u

H

)}{R

(u

G

)}={R( u

H

)}{R(u

G

)}，而導致 2-次元的

流形簇或位移集。此點印證當所有運動對

作動時，一般的空間 8R 運動鏈擁有 2 個

有限的或全程可動性。

為分析其不連續可動性，由桿 8 與 4

間判別出兩位移次集為{G

1

}與{G

2

}，則其

機鍵{L(8,4)}為{L(8,4)}={G

1

}∩{G

2

}={R(A,

(9)

(H,u

Z8

)}{R(G,u

Z7

)}{R(F,u

Z6

)}{R(E,u

Z5

)}=

{R(u

A

)}{R(u

B

)}{R(u

C

)}{R(u

D

)}∩{R(u

H

)}

{R(u

G

)}{R(u

F

)}{R(u

E

)}。根據前述推論得

知{L(8,4)}包含 2-d.流形簇，以{L(2/D)(8,

4)} 表示。 . 因此， {L(8,4)}⊇{L(2/D)(8,

4)}。現在固定繞 u

B

& u

F

.轉動的兩旋轉

對，即 {R(B,u

Z2

)}={R(u

B

)}={E}

與

{R(F,u

Z6

)}={R(u

F

)}={E} ；機鍵 {L(8,4)}

={R(u

A

)}{E}

{R(u

C

)}{R(u

D

)}∩{R(u

H

)}{R(u

G

)}{E}{R(u

E

)}

={R(u

A

)}{R(u

C

)}{R(u

D

)}∩{R(u

H

)}{R(u

G

)}

{R(u

E

)}

⊆ {R(u)}{R(v)}{R(w)}；桿 4 相對

於桿 8 的運動包含於{R(u)}{R(v)}{R(w)}

中，其可能的旋轉運動為繞 u

A

(u

G

)，u

C

(u

E

)

或 u

D

(u

H

)轉動。具有三個瞬時自由度。若

設定繞轉軸 u

D

(z

4

)&u

H

(z

8

) 的轉動角度為

零；{R(u

D

)}={E}，{R(u

H

)}={E}，則(9)式

可簡化為

{R(u

A

)}{R(u

C

)}{R(u

E

)}{R(u

G

)}= {E}

(11)

上式表示具有兩對共軸線的特殊的 4R 鏈

迴路，其機鍵 {L(8,4) 為 {L(2/G)(8,4)}

=R(u

A

)}{R(u

C

)}{E}∩{E}{R(u

G

)}{R(u

E

)}=

{R(u

A

)}{R(u

C

)} (或{R(u

G

)}{R(u

E

)})。此為

二次元流形簇或位移次集，具有兩個有限

的或整體的自由度，如圖六所示。桿 4 相

對於桿 8 的運動圍繞軸 u

A

(u

G

)或 u

C

(u

E

)旋

轉。而且由三根平行旋轉軸所構成的平面

運動次群{G(u)}，在其內積的運算具有封

閉性，因此， R(u

A

)}{R(u

C

)}

⊂ {G(u)}或

{R(u

G

)} {R(u

E

)}) ⊂ {G(u)}。故得證{L(4,8)}

⊇

{L(2/G)(8, 4)}，{L(2/G)(8, 4)}表示垂直

平行轉軸 u 的 2-dof 平面運動。相反地，

令轉軸 z

1

(u

A

)&z

7

(u

G

) ， z

2

(u

B

)&z

6

(u

F

) 與

z

3

(u

C

) & z

5

(u

E

)的旋轉角度等於零；{R(u

A

)}

={E} ， {R(u

G

)}={E} ， {R(u

C

)}={E} ，

{R(u

E

)}={E} ， {R(u

B

)}={E} ， {R(u

F

)}=

{E}。因此，(11)式變為

{R(u

D

)}{R(u

H

)} = {E}

(12)

此構行為具有一對共旋轉軸線的鏈迴路；

{L(8,4)} 為位移次集表示為 {G

1

}∩{G

2

}=

{E}{E}{E}{R(u

D

)}∩{R(u

H

)}{E}{E}{E}=

{R(u

D

)} (或{R(u

H

)})。桿 4 將繞軸 u

D

(或

u

H

)轉動；具有一個有限全體自由度，如

圖七所示。因此，在幾何外形的限制下，

圖一的過渡構形中，機鍵{L(8,4)}等於兩

個有限的自由度{L(2/G)(8,4)}與一個有限

的自由度{R(u

D

)}的聯集；形成兩者之間的

雙分歧，而且兩者間互相牽制妨礙。很明

顯地，亦具有兩個獨立的流形簇； {R(u

D

)}

∩ [{R( u

A

)}{R(u

C

)}]={E}。

圖六、二個整體有限的自由度

圖七、一個整體有限的自由度運動

當圖六的旋轉軸繼續分別繞 u

A

(u

G

) 與

u

C

(u

E

) 軸旋轉達半圈可得圖九的過渡構

形。在此構形時，當軸 u

_A

&u

G

，u

C

&u

E

與

u

B

&u

F

的轉動角度設定為零；即{R(u

A

)}，

{R(u

G

)} ， {R(u

C

)} ， {R(u

E

)} ， {R(u

B

)} 與

{R(u

F

)}可簡化為{E}。則桿 8 與 4 間的機

鍵 {L(8,4)} 為 {G

1

}∩{G

2

}={E}{E}{E}

{R(u'

D

)}∩{R(u'

H

)}{E}{E}{E}={R(u'

D

)}(或

{R(u'

H

)})= {R(w')}；桿 4 將繞 u'

D

(或 u'

H

)

(10)

流形簇與 2-d.流形簇間之雙分歧不連續可

動特性。

圖八、具一個有限的自由度之共線構形

圖九、具雙分歧的過渡構形

本研究計劃目前已完成兩篇論文的成

果發表[14,15]，其中一篇探討變自由度機

構的不連續可動性。而另一篇則說明現有

的雙分歧不連續可動的應用實例-摺疊方

塊玩具的不連續可動性。而有關不連續可

動八桿機構的群代數法，目前正整理論文

發表中。至於其他相關的研究成果，未來

亦將陸續分別整理論文發表之；預期可提

供機構運動幾何學基礎理論研究及應用發

展之參考。

四、結論與討論

本計畫研究成果已建立如何利用群論

及位移集李群代數結構，來探討及合成具

有一次無限雙分歧空間八桿機構；且已獲

得具代表性的不連續可動機構，未來將陸

續整理論文發表之；並將其應用於合成多

迴路之不連續可動的空間機構，以期建立

更完整的機構不連續可動性的基礎理論與

判定準則。在研究成果的呈現上，除已發

表的兩篇文章外，未來將繼續整理成期刊

論文形式發表，以期學術研究成果的推廣

及提供機構運動學學術研究之參考。至於

含有矛盾運動鏈的不連續可動機構的研究

內容，雖然不在本計畫的研究範圍內，卻

由此次研究探討過程中，得知此部份值得

提供未來更進一步繼續研究的新主題。至

於所舉的可變形摺疊方塊玩具，僅為現有

簡單的應用實例之一，未來或許可朝太空

摺疊裝置或構架方面合成或應用發展。

五、參考文獻

[1] Macdonald, I. D., The Theory of Groups,

Oxford, 1968.

[2] Karger, A. and Novak, J., Space Kinematics

and Lie Groups, Gordon & Breach, 1978.

[3] Hervé, J. M., ″Analyse Structurelle des

Mécanismes par Groupe des Déplacements,″

Mechanism and Machine Theory, Vol.13,

1978, pp.437-450.

[4] Hervé, J. M., ″The Mathematical Group

Structure of the Set of Displacements,″

Mechanism and Machine Theory, Vol.29,

No.1, 1994, pp.73-81.

[5] Hervé, J. M., ″The Lie Group of Rigid Body

Displacements, a Fundamental Tool for

Mechanism Design,″ Mechanism and

Machine Theory, Vol.34, No.5, 1999,

pp.719-730.

[6] Lee, C. C. and Hervé, J. M., ″Discontinuous

Mobility of Four-Link Mechanisms with

Revolute, Prismatic and Cylindric Pairs

through the Group Algebraic Structure of the

Displacement Set,″ Proc. VIII Int. Conf. on

the Theory Mach. Mech., Liberec, Czech

Republic, 2000, pp.377-382.

[7] Lee, C. C. and Hervé, J. M., ″Discontinuous

Mobility of One Family of Spatial 6R

Mechanisms Through the Group Algebraic

Structure of Displacement Set,″ Proc. 27

th

ASME Mech. Conf., DETC02, Montreal,

Canada, DETC2002/MECH-34273, 2002.

[8] Lee, C. C. and Hervé, J. M., ″Synthesis of

Two Kinds of Discontinuously Movable

Spatial 7R Mechanisms Through the Group

Algebraic Structure of Displacement Set,″

(11)

Proceedings of the 11th World Congress in

Mech.Mach. Sci., Tianjin, Vol.1, pp.197-201.

[9] Lee, C. C. and Hervé, J. M., ″Synthesis of

New Discontinuously Movable Spatial

7-Link Mechanisms Via Displacement

Subgroups or Subsets,″ Revised for IMechE.

[10] Wohlhart, K., ″Kinematotropic Linkages,″

Recent Advances in Robot Kinematics,

Kluwer, 1996, pp.359-368.

[11] Galletti, C. and Fanghella, P.,

″Kinematotropic Properties and Pair

Connectivities in Single-Loop Spatial

Mechanisms,″ Proc. 10

th

_{World Congress on}

the Theory of Machines and Mechanisms,

Vol.1, 1999, pp.560-565.

[12] Galletti, C. and Fanghella, P., ″Single-Loop

Kinematotropic Mechanisms,″ Mechanism

and Machine Theory, Vol.36, 2001,

pp.437-450.

[13] Galletti, C. and Giannotti, E., ″Multiloop

Kinematotropic Mechanisms,″ Proc. 27

th

ASME Mech. Conf., DETC02,

DETC2002/MECH-34251. 2002.

[14] Lee, C. C., " Discontinuous Mobility of a

Folding Square-Block Toy – A Class of

Single Loop Spatial 8-bar Mechanism,"

Proceedings of ESDA2004: 7

th

_Biennial

ASME Conference on Engineering Systems

Design and Analysis, ESDA2004-58123,

Manchester, UK, 2004.

[15] Lee, C. C., Nov. 2001, "Discontinuous

Mobility of a Class of Single Loop Spatial

Eight-Bar Mechanism," Proc. 4th Nat. Conf.

on the Design of Mech. Mach., Taiwan,

R.O.C, 2001, pp.151-156.

[16] Ball, R. S., A Treatise on the Theory of

Screws, Cambridge, 1900.

[17] Hunt, K., Kinematic Geometry of

Mechanisms, Oxford, 1978.

(12)

出席國際學術會議報告

報告人姓名: 李聰慶

職稱: 教授

服務機關: 國立高雄應用科技大學模具工程系

補助單位: 國科會

核准文號: 國科會計畫編號 NSC 92-2212-E151-015

會議名稱:

第七屆 ASME 工程系統設計及分析研討會 (7

TH

Biennial ASME Conference on Engineering

Systems Design and Analysis)

會議時間: 九十三年七月十九日至七月二十二日

會議地點: 英國曼徹斯特市曼徹斯特大學

發表論文: 摺疊方塊玩具的不連續可動性 – 一類單迴路空

間八桿機構

(Discontinuous Mobility of a Folding

Square-Block Toy – A Class of Single Loop Spatial

8-Bar Mechanism)

(13)

(一) 參加會議經過

第七屆 ASME 工程系統設計及分析研討會 (7

TH

Biennial ASME

Conference on Engineering Systems Design and Analysis)於民國九十三年七月

十九日至二十二日在英國曼徹斯特市(Manchester)的曼徹斯特大學舉行。此

類會議每兩年舉行一次；而此次會議是由英國曼徹斯特大學及 ASME 英國及

北愛爾蘭分區共同主辦。並獲得英國機械工程師協會(IMechE)、勒夫堡大學

(Loughborough University)、美國 ASME International Region XIII 等單位的協

辦及贊助。此行國內尚有許昆明博士、蔡孟勳博士、胡惠文博士、黃宇中博

士和筆者等前往參加並發表論文。

此次筆者於七月十七日早上由高雄小港國際機場出發，經桃園中正國際

機場搭乘 EVA 航空(BR067)直接轉往英國，同日晚上到達倫敦希斯洛國際機

場後，隨即再轉搭英倫航空班機(BMI BD594)前往開會地點曼徹斯特市。並

於十八日下午在曼徹斯特大學 Dalton Ellis Hall 完成辦理註冊及報到手續。次

日(十九日)早上在本次大會主席 J. E. Cooper 和相關單位代表的開幕致詞及

BAE Systems S. Howison 的第一場專題演講『Future Technology-An Aerospace

View』後，隨即展開為期四天緊湊而豐碩的論文分組發表。此次大會除技術

論文分組研討發表外，並特別安排八場專題演講。專題演講內容涵蓋的專長

領域甚廣，時間分別安排於每日議程的早上及下午第一場論文分組發表之

前，以方便各種不同領域專長的參加者聆聽。

此次大會分別有來自英國及世界各國等三十多個國家的學者專家，投稿

論文有四百六十篇(含未投完稿之論文)，最後經由評審而被接受及按時投遞

而所能發表的論文約有兩百八十三篇，涵蓋機械工程各種領域。被分別安排

在每天六或七個同時並行舉行的技術論文分組中加以討論，討論場面十分熱

(14)

烈。其中國內計有八篇論文在會中發表。筆者的論文題目"摺疊方塊玩具的

不連續可動性 – 一類單迴路空間八桿機構"(

Discontinuous Mobility of a

Folding Square-Block Toy – A Class of Single Loop Spatial 8-Bar Mechanism)，

被安排於七月二十二日下午三點至四點，在 Session 23pm，Track 7 技術論文

分組 – 應用力學-控制 (Applied Mechanics-Control)中發表，與會者對筆者

論文所提之摺疊方塊玩具的不連續可動特性甚感興趣，於會中討論時詢問甚

詳；本人亦就此類相關之空間八桿機構的不連續可動特性、群論法的分析概

念及未來可能的研究方向，和與會者互相砌磋及交換意見。在此鼓勵我國研

究人員及專家學者積極參加國外所舉辦之類似國際學術會議，及發表論文於

建立人脈，可搭起一條與國際學術交流的高速公路，引導更多國內學者邁向

世界學術舞台。

此次大會除了白天的技術論文發表會與專題演講外，亦安排曼徹斯特大

學工程學院及機械工程實驗室的參觀行程。另值得一提的是在第一天(十九

日)晚上於科學與工業博物館(Museum of Science and Industry)舉行的接待歡

迎酒會，讓與會的各國學者專家在敘舊及認識新朋友之餘；有機會欣赏工業

革命時期英國所發明的各類機器，目前仍保養相當完善，且依然可以操作及

運轉，可見其維護古物之用心；此外第三天(二十一日)晚上在市政廳(The

Great Hall of Manchester Town Hall)舉行一場付費的文化及藝術晚宴，除欣賞

舊市政廳相關歷史典故、文物及藝術外，並於會中發表論文介紹及回顧曼徹

斯特大學第一位工程教授 Osborne Renolds 的偉大事蹟。大家除了學術交流

外，又透過各種參觀、接待及晚宴等活動，認識更多的人、事、物，建立另

類的文化交流，使與會者均有不虛此行之感。

(15)

(二) 與會心得

此次第七屆 ASME 工程系統設計及分析研討會所發表的論文及講題共分

為五十個技術論文發表分組(Technical Sessions)、八個專題演講(Keynote

Talks)及一個特別論文發表會(Special Session –on the work of Osborne Renolds)

等。其中論文發表分組方面被接受發表的論文，可概分為以下十六個技術領

域:(1)高等能量系統(Advanced Energy Systems, AES, 18 篇)，(2)高等工程系

統熱傳(Advanced Heat Transfer in Engineering Systems, AHTES, 12 篇)，(3)

高等材料(Advanced Material Systems, AMS, 21 篇)，(4)高等流動可視化

(Advances in Flow Visualisation, AFV, 12 篇)，(5)應用力學-振動聲學、磨

潤、控制及動力學(Applied Mechanics-Vibro-Acoustics, Tribology, Control and

Dynamics, APM, 80 篇)，(6)應用熱流(Applied ThermoFluids, ATF, 10 篇)，

(7)自動化與機器人學(Automation and Robotics, AUR, 16 篇)，(8)自動車工

程系統 (Automotive Engineering Systems, ATS, 9 篇 ) ， (9) 生物工程

(Bio-Engineering, BIO, 13 篇)，(10)設計工程(Design (Bio-Engineering, DES, 13 篇)，

(11) 維護工程 (Maintenance Engineering MNE, 16 篇 ) ， (12) 製造工程

(Manufacturing Engineering MAN, 19 篇)，(13)醫學與保健工程(Medical and

Healthcare Engineering MHE, 14 篇 ) ， (14) 微系統、 MEMS 及微流體

(Microsystems, MEMS and Microfluidics MMI, 13 篇 ) ， (15) 感應器技術

(Sensor Technology, 6 篇)，(16)系統工程及工程社會觀(System Engineering

and Social Aspects of Engineering, SSE, 11 篇)。很明顯地，本次會議所發表的

技術論文主題相當廣泛，幾乎涵蓋機械工程範疇的各相關研究領域，所提供

的頂尖新知，有助於各學者研究水準之提升。大會將四天的論文發表議程排

得相當緊湊，算得上是大型的國際學術研討會，也提供來自工業界、學術界

(16)

及研究單位等工程師、學者專家及研究人員，互相交換研究方法與心得及技

術交流的很好機會。

有關大會中的專題演講，第一場安排在第一天(十九日)早上於開幕致詞

後隨即舉行，另七場則分別安排在每天議程的早上或中午。而此八場大會邀

請的專題演講題目分別為:(A)未來技術-太空觀點(Future Technology – An

Aerospace View) ， (B) 零放射能量 - 技術表達 (Zero Emission Power

Generation – Technology Implications)，(C) 一百年-Rolls-Royce(100 Years,

Rolls-Royce) ， (D) 雷射表面紋理藝境 (State of the Art in Laser Surface

Texturing) ， (E) Morphing 飛機結構 - 預測及實驗 (Morphing Aircraft

Structures-Predictions and Experiments) ， (F) 微奈米感測 (Biosening using

Micro/Nanoscale Cantilevers) ， (G)Neuro- prosthetics

新工程方法

(Neuroprosthetics: New Engineering Approaches to Disorders of the Nervous

System) (H) 工程設計過程之探究 (Researching the Engineering Design

Process)。以上的演講者依序分別來自英國 BAE Systems 工程部的 Dr. Simon

Howison、英國 Alstom 技術主管 Dr. Nick Otter、英國 Rolls-Royce 的 Dr.

David Clarke、以色列 Technion 的 Dr. Izhak Etsion、美國維吉尼亞的 Prof.

Daniel J. Inman、歐洲丹麥大學的 Prof. Aric Menon、美國猶他大學的 Prof.

Richard Normann 及英國劍橋大學的 Prof. Ken Wallace。

筆者在此次會議中的另一重要收穫，即是有機會與國外各種不同領域的

優秀學者專家及國際友人聯絡，並建立交換學術研究心得之關係。並因而得

知英國及歐洲近年來在機械各領域的研究概況及未來趨勢，可謂受益匪淺。

此次大會所提供的論文集亦為 CD-ROM 格式，用此方式來容納大量資料已

成為目前各種研討會提供論文的主要方式且可收錄彩色圖片或照片，攜帶方

便。

(17)

(三) 建議

筆者此次參加第七屆 ASME 工程系統設計及分析之國際學術研討會，在

學術新知的吸取、了解國外工程系統設計及分析技術領域研究現況，及與外

籍學者學術交流上，獲益良多。而且此次論文發表會的重點包含應用力學

(振動聲學、磨潤、控制及動力學)、設計、製造、應用熱流、高等能源系

統、高等材料、自動化工程、生物工程及微奈米系統工程等方面的研究領

域，筆者除本身機構運動學與設計工程的專長領域外，亦有機會參與其他領

域的探索。經由在會議中與多位學者專家之接觸，可深切體會出英國及歐洲

對機械系統工程技術應用領域的研究相當積極，值得我們觀摩學習。此次會

議發表的論文範圍相當廣泛，然而在大會巧思安排下，將相關專長領域的論

文集中在一整天或數個相連接的論文分組發表，除方便工業界參加者聆聽

外，亦可使論文發表作者在時間的應用及調整上方便許多。此次大論文集已

採用 CD-ROM 格式，方便且節省空間，且在議程簡冊及論文摘要集的設計

上，簡單明瞭且容易攜帶，值得國內未來舉辦相關的學術研討會之參考。

本次會議中有來自台灣學者所發表共八篇之論文，參加人數為八人。筆

者因能有此次的出國補助機會，得以進一步了解英國及歐洲在機械工程領域

方面的研究現況。除個人論文發表外，並能有此機會與國際學者專家共同討

論及交換研究心得。在此特別對國科會研究計畫出席國際會議的補助表示由

衷地感謝；並建議政府應繼續多鼓勵及贊助學者前往各國參與各項國際學術

會議，以拓展學術外交。另一方面，筆者亦深感近年來在國科會、教育部及

加強的是能在國內多舉辦或贊助類似之國際性學術會議，如此可藉由各國學

者的與會，以打響台灣在國際學術界的知名度。筆者再次非常感謝國科會的

(18)

經費贊助，深感此種國際會議是很好的學術交流機會，更能讓國內研究步調

與世界同步。希望有關單位繼續積極鼓勵國內更多學者參與，提升我國國際

學術地位，並建立國際學術交流的暢通管道及另類的國際學術外交。

(四) 攜回資料名稱及內容

1. 大會 CD-ROM 論文集- Proceedings of the 7

TH

Biennial ASME Conference on

Engineering Systems Design and Analysis - ESDA2004, Manchester, United

Kingdom, July 19-22, 2004 (ISBN:0-7918-3741-6)。

2. 大會論文摘要集 Book of Abstracts – 7

TH

Biennial ASME Conference on

Engineering Systems Design and Analysis – ESDA2004。

3. 7

TH

Biennial ASME Conference on Engineering Systems Design and Analysis

會議詳細議程壹冊。

4. ESDA 2004 會議代表名冊。

5. The Next Generation PDPA/LDV Systems & Power View Stereoscopic PIV

System, TSI Instruments Ltd.量測儀器資料。

(19)

(五) 附錄 – 發表之論文全文

摺疊方塊玩具的不連續可動性 – 一類單迴路空間八桿機構

(Discontinuous Mobility of a Folding Square-Block Toy –

A Class of Single Loop Spatial 8-Bar Mechanism)

(20)

Proceedings of ESDA2004: 7th Biennial ASME Conference Engineering Systems Design and Analysis

July 19-22, 2004, Manchester, UK

ESDA2004-58123

DISCONTINUOUS MOBILITY OF A FOLDING SQUARE-BLOCK TOY – A CLASS OF

SINGLE LOOP SPATIAL 8-BAR MECHANISM

Chung-Ching LEE

Professor, Dept. Tool & Die-Making National Kaohsiung University of Applied Sciences 415 Chien Kung Road, Kaohsiung, Taiwan, R.O.C. Tel:886-7-3814526ext.5411 E-mail:[email protected]

ABSTRACT

Based on the group theory and group algebraic structure of the displacement set, an interesting playing toy of the magic folding square block belonging to one class of single-loop spatial eight-revolute mechanism is offered to illustrate the discontinuous mobility of mechanism. This folding toy′s mobility generally has two finite global dofs as a whole kinematic chain. Nevertheless, during the movement, the permanent finite mobility of mechanism depends on the various positions of joints. When the block profile-shape constraints are taken into account, one bifurcation between one 2-dimensional manifold and one 1-2-dimensional manifold occurs at an initial transition position and the other bifurcation between two 1-dimensional manifolds exists in another specified configuration. In addition, any motion of one working mode destroys the geometrical condition that is required for the other modes but a bifurcation toward a spatial mode with two finite dofs remains possible by ingoring the profile shape constraints. In fact, there is a discontinuous mobility with a trifurcation among three subsets. It is composed of a general spatial mode with 2-dimensional manifold, one part mobility chain of 2-dimensional manifold and another part mobility chain of 1-dimensional manifold.

INTRODUCTION

The mobility of mechanism, as we know, is not only dependent on the topology. The well-known Grubler-Kutzbach formula is just permitted to determine the minimum degree of freedom of a given mechanism. By changing the link parameters, higher mobility of mechanism might be attained,

such as that of paradoxical mechanisms. The paradoxical property has attracted many researchers to focus on identifying the finite continuous mobility of overconstrained mechanisms. This kind of motion is supposed to have the proper configurations with no part chain mobility; that is, none of the joints in the chains can be replaced by lower-pair joints with connectivity one and the chains have mobility one without the locked joints. However, the discontinuously movable or generalized kinematotropic configurations are ignored in some related studies. Now, much to our surprise, a simple variation of joint variables can result in permanent change in the mobility of mechanism. This is called kinematotropy by Prof. Wohlhart [1]. In his opinion, the case, which does not change the global or permanent mobility, is not regarded as kinematotropic mechanism. But, recently, Galletti and Fanghella [2,3] extended Wohlhart’s concept to be related to changes in the connectivity of the kinematic pairs of a mechanism. Meanwhile, it is able to yield a permanent change in the connectivity of joints without changing the degrees of freedom. We call this extension the generalized kinematotropy.

About the study of discontinuously movable mechanisms, Prof. Hervé and the author [4] have worked on it in the near past years. Some co-work papers have formally appeared in the proceedings [5-7]. Actually, there are different types of discontinuity existing. In general, discontinuous mobility of a single-loop spatial chain happens as two or more independent subgroups or manifolds are involved in the same chain loop. In this discontinuous motion, maybe any two joint axes are collinear or a rigid body reaches an uncertainty or change-point position. Discontinuously movable mechanisms have some

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potential applications, such as the foldable double-sided door hinges and the instantly changeable-shaped toy. The relevant investigation named kinematotropic linkage was first made by Prof. Wohlhart [1] and then was extended by Galletti and Fangahella [2,3]. As to group algebra, Prof. Hervé [8,9] not only introduced a systematic and rational classification of mechanisms by the theory of groups but also distinguished three main families of mechanisms. In this work, the discontinuous mobility is more general than kinematotropy and more precisely includes the generalized kinematotropy. In the following, aplying group theory and the group algebraic structure of the displacement set, we will offer a class of discontinuously movable spatial eight-revolute mechanism to illustrate the analysis of discontinuous mobility.

PRELININARY FUNDAMENTALS

A group is a non-empty set endowed with a binary operation in the set satisfying some definitive condition [10]. A subset of elements of a group G is called a subgroup of group G if the subset constitutes a group which has common group operation with group G. Furthermore, a group is called a Lie group [11] if a group G is an analytic manifold and the mapping GxG to G is analytic. If the Lie group is a set of transformations, which act on elements of another set, it is also a continuous transformation group. A kinematic pair can be represented by the set of relative displacements between two rigid bodies [8, 9]. This motion can be viewed as a subset of the group of rigid-body motion, and this displacement set is also a group, more precisely, a Lie group. The set of relative motions characterized by the revolute pair constitutes the subgroup of rotations about a fixed axis which passes through a given point N and is parallel to a given unit vector

u

. It is represented by {R(N,

u

)}, where curly brackets are employed for the designation of sets. The set of relative motions defined by the prismatic pair makes up a subgroup of translation along a direction parallel to a unit vector

u

and it is represented by {T(

u

)}. Moreover, the set of relative motions allowed by the cylindric pair defines the subgroup of rotations about an axis passing through a given point N and paralleling to a unit vector

u

, plus a translation along a direction parallel to vector

u

. Its representation is {C(N,

u

)}. As for an identity transformation set corresponding to two rigid-coupled bodies and leaving all points in the space unchanged, its representation is {E}.

By choosing two rigid bodies in a single closed loop chain, we obtain two serial chains that connect the chosen bodies. The displacement subset that represents the mechanical bond between the two chosen bodies is the intersection set of the sets that represent these two serial chains. Let us consider a single closed loop chain with the 8 numbered rigid bodies. The displacement subset which represents the allowed displacements in the kinematic pair of the bodies 1 and 2 is denoted by {L(1, 2)}, and the rest can be done accordingly. Then, the formulation of the closure equation for a closed loop of 8 bodies is expressed as

{L(1,2)}{L(2,3)}{L(3,4)}…{L(7,8)}{L(8,1)}={E} (1) in which {E} is an identical displacement set. We recall [10] that the product of sets is the set of products. The displacement subset of {L(i-1,i)} for a mechanical bond of the revolute, prismatic or cylindric pair is indicated by a subgroup {R(N,

u

)}, {T(

u

)} or {C(N,

u

)} as cited above.

One has to avoid the confusion between local mobility and full cycle mobility. Local mobility corresponds to instantaneous mobility. It is different from the full-cycle or finite mobility, because a local mobility produces only infinitesimally limited motion. For a given geometrical arrangement of the kinematic pairs, infinitesimal mobility does not depend on the pair ordering in the chain whereas finite mobility may happen or change according to the pair linking. The degree of freedom (dof) can be regarded as the dimension of a set. In many usual mechanisms, the motion of a body with respect to another body is a manifold included in the displacement group and the manifold dimension is also called the degree of freedom of the mechanical bond. Nevertheless, a closed kinematic chain may also produce mechanical bonds that are represented by the union of two or several manifolds.

In the commonplace case of continuous mobility, the displacement subset of relative motion between two links is a manifold that has a well-defined dimension. However, in discontinuous mobility, the displacement subset, which is the intersection set of relative motions between two specific links in the chain is not a manifold but is the union set of two or several sets, which may be distinct smooth manifolds and each of which has a dimension. Uncertainty or change-point positions characterize a mechanism with discontinuous mobility. At these special configurations, the dof of the local mobility does exist. But passing through these situations, some extra or different global degrees of freedom are attained. The general criterion for determining the discontinuous mobility is set up when there are two or more independent subgroups or manifolds involved in the same chain loop. Some working modes prohibit the motion of the other ones. Furthermore, it is worth mentioning that the ″independent″ means that the intersection set of the two subsets is the set {E} made of only one element E, the identical displacement.

DESCRIPTION OF MECHANISM

One kind of discontinuously movable spatial eight-revolute mechanism has shown in Fig.1 and Figure 2 shows its assemble relationship. This little physical model made of eight square blocks with the same size is originally designed for a playing toy of magic square box. Its configuration is characterized by all same link-lengths and all normal link twists, in which at initial position joint axes z1(A) & z7(G), z3(C) & z5(E) and z4(D)

& z8(H) are collinear respectively but joint axes z2(B) & z6(F)

are parallel. In the form of Denavit and Hartenbergs′ notation [12], the link parameters of mechanism are shown in Table 1. This mechanism is also a generalized kinematotropic one as

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mentioned by Galletti & Fanghella [2, 3]. Extensively speaking, it is regarded as a discontinuously movable mechanism discussed in this work. And it might have one, two or even three full-cycle or instantaneous degrees of freedom because of joint position variations. We will explain this in detail by the group-theoretic approach in the next section.

Fig.1 A magic square box

Table 1 Link parameters

i 1 2 3 4 5 6 7 8

ai a a a a a a a a

αi -90

o ₉₀o ₉₀o ₉₀o ₉₀o _-90o ₉₀o ₉₀o

Si -d 0 d 0 d 0 -d 0

Fig.2 A assembly configuration

According to the general Grubler-Kutzhach criteria, this mechanism generally has two degrees of freedom. Its angular displacement graph with respect to the time provided by Working Model motion simulation package [13] is demonstrated in Fig.3, in which, for the reason of conciseness, the angular velocities for two input drivers of joints z1 & z8 are

separately assigned to be a value of 15 deg./s.

(a)

(b)

Fig.3 Animation of a spatial mode with 2 finite dofs

Referring to Figs.1 and 2, as the joint angles of axis z2 & z6

are taken to be zero, we can obtain one kind of configuration with two finite dofs. The motion of this chain is verified in Fig.4, in which the joint axes z₁&z₇ and z₃&z₅ are respectively coaxial and movable. Arising from Fig.1 again let the rotation of joint axes z2&z6, z3&z5 and z1&z7 are locked. Then, we will

have a kind of motion with one finite dof, in which joint axes z₄&z₈ are coaxial and movable. The configuration of Fig.5 can verify it. Furthermore, when the configuration of mechanism in Fig.4 or Fig.5 is changeable into a flat form. Then joint axis

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z1&z7, z3&z5, z4&z8 are coaxial but axis z2&z6 are just parallel

and we get one kind of a on-line configuration with one finite dof occurring in joint axes z4&z8, as shown in Fig.6.

(a)

(b)

Fig.4 Animation of a kind of 2 global dofs′ motion

(a)

(b)

Fig.5 Animation of a kind of one global dof′s motion

(a)

(b)

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC92-2212-E-151-015-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

執行單位： 國立高雄應用科技大學模具工程系

計畫主持人： 李聰慶

報告類型： 精簡報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處理方式： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中 華 民 國 93 年 11 月 1 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

Synthesis of Spatial 8-Link Mechanisms with a One-Dimensional

Infinity of Bifurcation Postures

計畫類別：■ 個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC 92－2212－E －151 －015－

執行期間：92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

計畫主持人：李 聰 慶

共同主持人：

計畫參與人員：

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：■精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

■出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列

管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年■二年後可公開查詢

執行單位：國立高雄應用科技大學模具工程系

中 華 民 國 九十三 年 七月 三十一 日

■成果報告

□期中進度

報告

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

具一次無限雙分歧空間八桿機構之合成

Synthesis of Spatial 8-Link Mechanisms with a One-Dimensional Infinity of

Bifurcation Postures

計劃編號：NSC 92-2212-E-151-015

執行期限：92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

主持人:李聰慶 國立高雄應用科技大學模具工程系教授

一、中文摘要

本研究根據群論法，利用位移集之李

群代數結構，有系統地合成及分析具有一

次無限雙分歧的空間八桿機構且加以証明

其所具有的不連續可動特性。分歧現象屬

於不連續的特性，又有雙分歧及多分歧等

構形的區別。而不連續可動性的內容較一

般性變自由度更為一般化。一般而言，空

間八桿單迴路機構雙分歧的不連續可動構

形，發生於同一運動迴路中具有兩個或兩

個以上的位移次群。研究中首先完整的探

討群論及位移集李群代數結構應用於機構

雙分歧不連續可動性的基本原理，接著，

將其應用於合成及分析具一次無限雙分歧

構形的新不連續可動空間八桿機構。再以

位移集的群代數結構及群論法則，確認所

合成的新機構確實具有一次無限雙分岐現

象的不連續可動性，並更進一步探究其有

限與瞬時自由度的變化情形。本計畫已獲

得具代表性的三類一次無限雙分歧之新空

間八桿機構。為簡化及明膫起見，以下除

介紹建立的基本理論外，將舉一類合成所

得的不連續可動機構，利用群論法加以說

明其具一次無限雙分歧的不連續可動性；

且分析可變形的摺疊方塊玩具應用實例的

不連續可動性。

關鍵詞:

一次無限雙分歧、不連續可動性、

變自由度特性、空間八桿機構、群論、李

群代數結構、位移集。

Abstract

In this project, applying the group theory and

the group algebraic structure of the displacement

set, we systematically synthesize and analyze

spatial 8-link mechanisms with a

one-dimensional infinity of bifurcation as well as

make a confirmation on their existence of

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

計畫類別：個別型計畫

執行單位：國立高雄應用科技大學模具工程系

計畫主持人：李聰慶

報告類型：精簡報告

報告附件：出席國際會議研究心得報告及發表論文

處理方式：本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中華民國 93 年 11 月 1 日

計畫類別：■ 個別型計畫　　□ 整合型計畫

計畫主持人：李聰慶

中華民國九十三年七月三十一日

主持人:李聰慶國立高雄應用科技大學模具工程系教授

之一種。而分歧構形又有雙分歧

具一次無限雙分歧構形 (One-dimensional

間或暫時性的 (Instantaneous or