行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
懸壁板非線性波力分析之數值研究(II)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2611-E-009-002- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立交通大學土木工程學系 計畫主持人： 吳永照 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 93 年 10 月 11 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
懸壁板非線性波力分析之數值研究(Ⅱ)
The Numerical Study of Nonlinear Wave Force on Cantilever Plate
計畫編號：NSC 92-2611-E-009-002
執行期間：九十二年八月一日至九十三年七月三十一日
計畫主持人：吳永照 國立交通大學土木工程系
一 、 中 文 摘 要 本研究利用線性元素之邊界元素 法，針對二維未碎孤立波通過剛性鏤空 式 平 板 之 變 形 進 行 相 關 數 值 上 的 探 討。藉由數值解析的方式，以研究此類 長波在通過鏤空式平板的過程中，其作 用於鏤空式平板上揚力之變化，以及鏤 空式平板造成波浪的變形，作為未來海 洋工程上設計及應用的參考，數值模式 之正確性，可藉由數值模擬過程中之質 量 及 能 量 守 衡 關 係 而 得 到 合 理 之 印 證。由分析得知，平板的長度，平板與 水面間的距離，以及入射孤立波的波高 均會影響作用於平板的上揚力，也會影 響透過波的消減效果。基本上鏤空式平 板越長消減波能效果越好，但平板承受 的波力也越大，鏤空式平板離水面越高 承受的波力越小，但對入射波的消減效 果不佳。此外入射孤立波的波越高則作 用於平板的波力也越大。 關鍵詞：孤立波、鏤空式平板、上揚力 AbstractWith the assumption of potential flow, the uplift wave forces of solitary waves acting on suspending plates are studied by using boundary element method（BEM）in this study. Numerical results show that the wave force varies with the plate width, the clearance between water surface and plate, and the solitary wave height. Transmitted wave height decreases with the increase of plate width but total wave force on plate
will increase. Low clearance can reduce the transmitted wave height but will increase the uplift force on plate. This study is restricted to the two-dimensional case of nonbreaking solitary waves approaching normal to the suspending plate.
Keywords: Solitary Wave, Suspending Plate, Uplift Force
二、緣由與目的 海岸結構物已是海岸保護中不可 或缺的工程，但因海洋波浪不斷的侵 襲，容易因堤腳沖刷或波力過大而遭破 壞，因此設置適當的消波設施，對於保 護海岸結構物確實有其需要。鏤空式平 板構造簡單，施工容易且便宜，既可當 作一種海洋結構物(如棧橋式碼頭)，也 可當作消波用的消波構造物，降低海岸 或海牆承受的波力。本研究主要目的即 在探討孤立波通過剛性鏤空式平板引 起的變形及對平板的作用力，考慮的因 素 包 括 鏤 空 式 平 板 的 長 度 及 設 置 高 度，入射孤立波的高度。 早期研究波浪與海岸結構互制問 題多以水工試驗為主，近年由於計算機 進步快速，而且在數值計算上也有不少 突破性的發展，加上水工試驗花費較 大，因此利用數值水槽的方法研究波浪 與海岸結構互制問題漸漸廣為應用。利 用數值水槽的方法研究波浪與結搆物 互 制 的 研 究 有 很 多 (Ohyama and
Nadaoka, 1991;Nakayama, 1983; Tang and Chang; 1998; Hung and Dong,
1999)；有關波浪通過平板引起的波浪 變形研究也有很多，但以線性及沒水平 板為；主要研究對象，或利用試驗研究 或 利 用 數 值 方 法 分 析 ， 主 要 研 究 有 Hattori (1975) ， Siew and Hurley (1977) ， Patarapanich et al. (1989) ， McIver (1985)，Yu et al. (1991)，Parsons and Martin (1992) ， Kojima et al. (1992)。本研究則利用邊界元素法探討 非線性孤立波通過鏤空式水平板的變 形及其作用於鏤空式水平板的波力，有 關孤立波通過結構物的研究有：Sebra- Santos et al.（1987）探討孤立波通過一 三角突堤與一半無限長平台的變化情 形; Cooker et al.（1990）藉由實驗的方 式探討孤立波波高與半圓形潛沒物半 徑的相對影響。張、唐（1992,1996） 利用瞬時貼壁座標的有限解析法探討 孤立波與沒水台階及潛堤等之交互作 用及波形變化之問題。至於非線性孤立 波通過鏤空式水平板的變形及其作用 於鏤空式水平板的波力，有關研究並不 多，Lee and Lai (1988)及 Lai and Lee (1989) 曾利用領域轉變配合有限元素 法研究。French (1969)以實驗方式測量 鏤空式平板所承受的波浪上揚力；周與 邱(1981)利用水工模型實驗研究棧橋 式碼頭的上揚力。本研究利用邊界元素 法，模擬非線性孤立波通過鏤空式平板 引起的變形及波力變化。 二 、 理 論 模 式 假設鏤空式平板之板長為 B，置於 靜水面以上s 的高度，水深為 h(如圖 1 所示）。數值水槽的左、右兩面均為不 透水直立牆邊界，卡氏座標系統之原點 在靜水面上，X 軸向右為正，Z 軸向上 為正，孤立波是向+X 軸方向前進，其 波高為 H。由於孤立波為非線性波，為 了探討非線性波的效應，本研究將利用 Time Domain 計算的方式，來分析此非 線性孤立波之前進、變形及作用於鏤空 式水平板的上揚力變化。假設流體為無 黏滯性、不可壓縮、且呈非旋性之流 動，因此流場中存在滿足Laplace 方程 式的速度勢（Φ），故流場之控制方程 式為 圖1 孤立波通過鏤空式平板示意圖 0 2Φ= ∇ （1） 流場之流速Vϖ可表示成 ( )=∇Φ = u w Vρ , （2） 針對位於一數值水槽內的孤立波問題 而言，速度勢除了需滿足控制方程式 （1）外，尚需滿足下列之邊界條件： 1.自由水面運動邊界條件： η η =η ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ Φ ∂ = u z w on x t z （3） η 為水位。 2. 自由水面動力邊界條件： η ρ + = = + + + ∂ Φ ∂ z w u p on 0 gz 2 t 2 2 （4） p 為動水壓力，ρ 為水的密度，g 為 重力加速度。 3.底床邊界條件： h s B X Z
z h n =0 on = -∂ Φ ∂ ϖ （5） nϖ表邊界之單位法線向量，其向外為 正。 4.側向邊界條件： x L n =0 on =0, ∂ Φ ∂ ϖ （6） L 為數值水槽總長度； 5.平板底部及兩側之邊界條件： =0 ∂ Φ ∂ nϖ （7） 而在本研究中，孤立波於等水深區域 h 中的Φ及η值為已知，其表示式則是採 用 Medina（1989）所提出的近似解析 解型式，即 ( ) tanhα 3 2 0 3 H h c gH t= = Φ （8） ( ) α η 2 cosh 0 H t= = （9） 3 ( 0) 2 3 x x h H − = α （10） c= g(h+H) （11） 式中的 H 為波高，x0為波峰位置，c 為波速。 三 、 數 值 方 法 本研究中所採用的數值方法為邊界 元素法，應用BEM 處理問題時，須利 用 Green 第二恆等式將原來的邊界值 問題，轉換成一積分方程式的形式。而 在某一個任意選定的邊界源點 M 上， 其速度勢ΦˆM 可表示成
∫
Γ Γ ∂ Φ ∂ − ∂ ∂ Φ = Φ − d n q n q M ϖ ϖ ˆ 2βπ （12） 其中 q 為控制方程式的基本解，Γ為問 題的控制邊界，Φ為邊界上任意點的速 度勢，β為邊界源點 M 之內角。對一 個控制方程式為Laplace 方程式的二維 邊界值問題而言，其基本解為 = r q ln 1 2 1 π （13） 式中 r 為邊界源點 M 與其他邊界上任 意點間之距離。將(13)式代入(12)式並 經離散化，再代入邊界上適當之邊界條 件，最後將已知的部份移至右邊，未知 的部份移至左邊，重新整理可得 [ ][ ] [ ]A X = D （14） 式中[ ]X 為由未知之Φ及∂Φ/∂nϖ所組成 的向量，[ ]D 為已知向量，[ ]A 為係數矩 陣。方程式（14）可採用高斯消去法進 行運算。 同時為了保持原來問題的非線性 特性，本研究係採 Time Domain 的計 算方式。自由水面上水粒子的移動軌跡 是採用 Tayler 級數近似展開式(Dold and Peregrine，1984）加以計算，即( )
2 t O t dt d x x′= + ςδ + δ （15）( )
2 t O t dt d z z′= + ηδ + δ （16）( )
2 t O t dt dΦδ + δ + Φ = Φ′ （17） 同時為了便於追蹤自由水面水粒子的 運動，表面水粒子的座標及運動速度定義為 x=ς( )t,x0 z=η( )t,z0 （18） ς = η=ω dt d u dt d （19） 其中x0=ς(0 x, 0)，z0 =η(0 z, 0)。 在 整 個 的 計 算 過 程 中 ， 則 採 用 Euler-Lagrangian 描述法的觀念，即在 固定時間t時，由已知邊界上的節點作 標及節點上已知的Φ及∂Φ⁄∂n 求未知的 Φ及∂Φ⁄∂n 為一 Euler 描述法觀念的應 用，而在自由水面上，由上一個時段每 一節點的座標 x、z 及速度勢Φ進一步 求算下一個時刻節點的座標x′、z′及數 度勢Φ′則是為 Lagrangian 描述法觀念 的應用。整個的數值模擬過程中，其自 由水面波形之角度θ及切線方向（sϖ） 的變化量（如：∂Φ/∂sϖ等），均是採用
曲線近似法（Cubic Spline Method）的
方式求得。而水粒子的水平速度（u ） 及垂直速度（ w ），則可藉由下列的關 係式求得 ς cosθ sinθ n s dt d u ϖ ϖ ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ = = （20） η sinθ cosθ n s dt d w ϖ ϖ ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ = = （21） 而Φ對時間的全微分變量（dΦ/dt）與 偏微分變量（∂Φ/∂t）之關係可表示成 +
( )
•∇Φ ∂ Φ ∂ = Φ V t dt d ϖ （22） 將式（20）、（21）所求得的速度u 及 w ，代入式（4）中，並由式（22）的 關係式及自由水面上的壓力為大氣壓 力（P=0），可得(
)
2 2 2 w u g dt d + + − = Φ η （23） 式（15）~（17）中的一階全微分變化 量（dς /dt 、dη/dt及dΦ/dt），可由式 （20）、（21）及（23）求得。如此的步 驟反覆運算，直至模擬所需的時間為 止。 四 、 數 值 結 果 與 討 論 本研究係利用線性元素的邊界元素 數值方法，針對未碎孤立波通過剛性鏤 空水平板之變形及作用於板底之上揚 力進行相關數值上的探討。藉由數值解 析的方式，以窺探此類長波在通過平板 時，其作用於岸壁上的波力變化，作為 未來海洋工程上設計及應用的參考，以 確保海牆及後方海域的安全。 首先，為確保本數值模式之正確 性，圖 2 顯示孤立波(H=0.05h)於等水 深(h=1m)數值水槽中向前傳遞並遇垂 直岸壁而反射的波形變化之數值計算 結果，圖3 及圖 4 分別為本文數值模式 計算過程中每一時刻的總質量（V）與 初始質量（V∗）及總能量（E）與初始 能量（E∗）的變化關係圖。 圖2 前進及反射孤立波波形變化 由圖 2 可發現波形及波高於向前 傳遞及向後反射均保持幾乎不變，由圖 3 及圖 4 中可看出V/V∗及E/E∗的比值 皆趨近於1，也就是孤立波於向前傳遞 及向後反射過程中，質量及能量均維持 不變，顯示本數值模式具有一定之精確 性，由圖4 並可發現孤立波遇垂直岸壁 時，動能先轉變為位能造成波高增加，然後位能再轉變為動能造成波浪反射 的現象。圖 5 至圖 8 為入射孤立波高 H=0.3m，水深 h=1.0m，板長 B=5.0m， 板與靜水面間距s=0.11m 的情況下，孤 立波通過鏤空平板時波形的變化及板 承受的上揚力變化。 圖3 數值計算期間質量變化圖 圖 4 數值計算期間能量變化圖 由圖 5 發現鏤空平板基本上很難消 減孤立波的透過，尤其當板的寬度較窄 時，消減孤立波的效果並不明顯。圖 6 及圖 7 分別為孤立波作用於鏤空平上A 及B 兩點的上揚壓力隨時間的變化，其 中A 點位於距離前面端點 0.4m；B 點位 於距離後面端點0.4m，圖 8 為孤立波作 用於鏤空平板的總上揚力。圖中無因次 的壓力強度p*無因次的總壓力P*及無因 次的時間t*分別定義為 h p p* = /γ 2 / * P h P = γ h g t t*= 圖5 孤立波通過鏤空平板的變形 圖6 A 點之上揚壓力強度隨時間變化 圖中虛線代表動壓力實線代表總 壓力。由圖6 及圖 7 可發現當 t*等於 3.7 時(t=1.185sec)壓力強度會突然上升，此 現象不止發生在壓力強度圖，總壓力變 化圖也看得出此現象，經詳細檢查數值 計算過程發現，此現象發生於波前將通 過鏤空平板的右端時，此時端點附近 t ∂ Φ ∂ 變大，因此壓力強度突然上升，此 現象的發生是否因為數值誤差造成或是 實際上會有此一現象則有待進一步研 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 X (m) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 m 0 2 4 6 8 10 t* 0 0.2 0.4 0.6 0.8 p*
究。 圖7 B 點之上揚壓力強度隨時間變化 圖8 總上揚力隨時間的變化 五 、 結 論 本研究係利用線性元素的邊界元 素法來模擬二維未碎孤立波通過剛性 鏤空平板之變形及其作用於平板之波 力。藉由數值模擬過程中之質量及能量 守衡關係，來驗證本數值模式的正確 性。數值計算結果發現下列因素將影響 透過波的大小及鏤空平板的上揚力：鏤 空平板的長度，鏤空平板與靜水面之距 離，入射孤立波之波高，當然水深也是 一影響因素。基本上鏤空式平板越長消 減波能效果越好，但平板承受的波力也 越大，鏤空式平板離靜水面越高承受的 波力越小，但對入射波的消減效果不 佳。此外入射孤立波的波越高則作用於 平板的波力也越大。而當波前將通過鏤 空平板的右端時，壓力強度突然上升， 此現象的發生原因尚待進一步研究。 六 、 參 考 文 獻 1.張志華、唐啟釗（1992）"孤立波與 浸沒台階之交互作用"，第十四屆海 洋工程研討會論文集，817 頁-829 頁。 2.張志華、唐啟釗（1996）"孤立波與 潛堤後直立壁互制作用分析"，第十 八屆海洋工程研討會論文集，253 頁 -236 頁。 3.周宗仁、邱國瑞 (1981) "棧橋式碼頭 上揚力之研究"，河海研究第 9 號， 海洋大學河海工程系。 4.Cooker, M. J., D. H. Peregrine, C. Vidal and J. W. Dold（1990）‘‘The Interaction between a Solitary Wave and a Submerged Semicircular Cylinder,” J. Fluid Mech., Vol. 215, pp.1-22.
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