台鐵「軌枕埋入式軌道」振動特性研究

國立交通大學

工學院碩士專班

營建技術與管理組

碩 士 論 文

台鐵「軌枕埋入式軌道」振動特性研究

Dynamic Characteristics of Sleeper Embedded Track for TRA

研 究 生：郭致宇

指導教授：王彥博 博士

台鐵「軌枕埋入式軌道」振動特性研究

Dynamic Characteristics of Sleeper Embedded Track for TRA

研 究 生：郭致宇

Student： Chih-Yu Kuo

指導教授：王彥博 博士 Advisor： Dr. Yen-Po Wang

國立交通大學

工學院碩士專班營建技術與管理組

碩士論文

A Thesis

Submitted to Master Degree Program of Construction Technology and Management

College of Engineering

National Chiao Tung University

In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of

Master of Science

in

Construction Technology and Management

June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

台鐵「軌枕埋入式軌道」振動特性研究

研究生：郭致宇 指導教授：王彥博 博士

國立交通大學工學院碩士專班

營建技術與管理組

摘要

本研究提出一套以商用軟體 SAP2000 為分析工具，利用空間移動之三角 波時間函數為輸入擾動模擬單一及序列性等速移動荷重，並配合雙層離散黏彈 性支承分析模型，以模擬軌道系統之動態反應。透過與文獻結果之比較，確認 本文所提分析模式的合理性，將可應用於條件更複雜、得不到解析解的軌道系 統動力分析問題。運用此一數值模擬方式，本研究針對台鐵防振型軌枕埋入式 軌道(無道碴型式) 進行分析，分別探討在下部結構為隧道或橋樑等條件下，軌 枕質量、鋼軌墊片勁度及軌枕間距等軌道系統參數對動態反應之影響。此外， 本文亦就列車不同車速對於軌道系統造成之衝擊效應進行分析，以供實務參 考。 關鍵字：無道碴軌道、軌道振動、軌枕、衝擊效應

A Study on the Dynamic Characteristics of Sleeper-Embedded

Track of TRA

Student：Chih-Yu Kuo Advisor：Dr.Yen-Po Wang

Master Degree Program of Construction Technology and Management College of Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

A numerical scheme, using SAP2000 as the tool, for dynamic response analysis of railway track systems is proposed in this study by introducing move-in-space triangular wave functions as single or sequential constant moving loads, with a discrete double-layer viscous-elastic model for the bearings. Adequacy of the proposed scheme is confirmed by comparing the simulated results with those depicted in the literature, and thus allowing for dynamic analysis of railway track systems in more complex conditions where no analytical solution could be available. Based on the proposed numerical scheme, this study investigates the dynamic characteristics of the sleeper-embedded track (non-ballasted track) of TRA on either bridges or in tunnels. Effects of sleeper mass, rail pad stiffness & sleeper spacing on the dynamic responses have been explored. Moreover, the impact effects of the train moving speed is also investigated for practical concerns.

目 錄

頁次

中文摘要

...Ⅰ

英文摘要

...Ⅱ

目錄

...Ⅲ

表目錄

...Ⅴ

圖目錄

...Ⅵ

第一章 緒論

... 1 1.1 前言...1 1.2 研究動機及目的...1 1.3 文獻回顧...2 1.4 研究範圍及方法...3

第二章 無道碴軌道系統介紹

... 6 2.1 軌道系統構造簡介...6 2.2 無道碴軌道...7 2.3 軌枕埋入式軌道之結構配置...9

第三章 軌枕埋入式軌道力學分析

... 17 3.1 無道碴軌道分析模型之分類...17 3.2 軌枕埋入式軌道分析模型之建立...18 3.2.1 基本假設... 18 3.2.2 分析模型建立... 19 3.3 軌道單元之有限元素模型...20 3.3.1 隧道段軌道有限元素模型... 20 3.3.2 橋梁段軌道有限元素模型... 25

第四章 軌道系統之動力歷時分析

... 34 4.1 單一移動荷重模擬...34 4.2 SAP2000 程式初步分析結果驗証 ...35 4.3 序列性移動荷重模擬...35 4.4 軌枕埋入式軌道動力歷時分析...36 4.4.1 隧道段軌道之歷時分析... 37 4.4.2 橋梁段軌道之歷時分析... 38 4.4.3 軌道系統歷時分析結果說明... 39 4.5 實例分析...40

第五章 軌道系統之動態反應參數研究

... 69 5.1 軌枕質量對動態反應之影響...69 5.2 鋼軌墊片勁度對動態反應之影響...71 5.3 軌枕間距對動態反應之影響...72 5.4 列車不同車速作用下之衝擊效應...73 5.4.1 衝擊係數之定義... 73 5.4.2 軌道系統衝擊效應分析... 74

第六章 結論與建議

... 94

參考文獻

... 96

表目錄

表 1.1 台鐵現行無道碴軌道系統表 ...4 表 4.1 SAP2000 與 RKCODE 模型之系統參數比較表 ...42 表 4.2 北迴新線軌枕埋入式軌道系統參數表 ...42 表 4.3 隧道段軌道系統參數表 ...43 表 4.4 橋梁段軌道系統參數表 ...43 表 4.5 連續橋軌道系統參數表 ...44 表 5.1 隧道段/橋梁段軌道系統參數表(不同軌枕質量) ...76 表 5.2 隧道段─不同軌枕重量之軌道系統中點最大動態反應表...76 表 5.3 橋梁段─不同軌枕重量之軌道系統中點最大動態反應表...77 表 5.4 隧道段/橋梁段軌道系統參數表(不同鋼軌墊片勁度) ...78 表 5.5 隧道段─不同鋼軌墊片勁度之軌道系統中點最大動態反應表...78 表 5.6 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道系統中點最大動態反應表...79 表 5.7 橋梁段軌道系統參數表(不同軌枕間距) ...80 表 5.8 隧道段/橋梁段軌道系統參數表(不同車速) ...80 表 5.9 隧道段軌道系統中點最大位移及衝擊係數表 ...81 表 5.10 橋梁段軌道系統中點最大位移及衝擊係數表 ...82

圖目錄

圖 1.1 研究方法流程圖 ...5 圖 2.1 UIC 60 鋼軌示意圖 ...10 圖 2.2 JIS 60 鋼軌示意圖 ...10 圖 2.3 扣件系統示意圖 ...11 圖 2.4 台鐵平版式道床軌道示意圖 ...11 圖 2.5 台鐵混凝土基座道床軌道示意圖 ...12 圖 2.6 台鐵軌枕埋入式軌道示意圖 ...12 圖 2.7 台灣高鐵軌枕埋入式軌道示意圖 ...13 圖 2.8 台灣高鐵直接埋入式軌道示意圖 ...13 圖 2.9 浮動式道床軌道示意圖 ...14 圖 2.10 台灣高鐵日本框架式道床軌道示意圖 ...14 圖 2.11 軌枕埋入式軌道結構配置平面圖 ...15 圖 2.12(a) 軌枕埋入式軌道結構配置剖面圖...15 圖 2.12(b) 軌枕埋入式軌道結構配置剖面圖...16 圖 2.13 石碴散佈型軌枕埋入式軌道示意圖 ...16 圖 3.1 單層離散黏彈性支承模型示意圖 ...31 圖 3.2 雙層離散黏彈性支承模型示意圖(一) ...31 圖 3.3 雙層離散黏彈性支承模型示意圖(二) ...31 圖 3.4 隧道段軌道系統分析模型示意圖 ...32 圖 3.5 橋梁段軌道系統分析模型示意圖 ...32 圖 3.6 隧道段軌道元素自由度示意圖 ...32 圖 3.7 橋梁段軌道元素自由度示意圖 ...33 圖 4.1 單一移動荷重之單位載重歷時圖(第 m 結點位置) ...45 圖 4.2 單一移動荷重之位置、時間及荷重 3D 圖 ...45

圖 4.3 SAP2000 離散黏彈性基礎軌道模型示意圖...46 圖 4.4 RKCODE 連續彈性基礎軌道模型示意圖...46 圖 4.5 SAP2000 考慮 50 modes 之位移歷時圖 ...47 圖 4.6 RKCODE 考慮 50 modes 之位移歷時圖 ...47 圖 4.7 SAP2000 考慮 100 modes 之位移歷時圖 ...48 圖 4.8 RKCODE 考慮 100 modes 之位移歷時圖 ...48 圖 4.9 序列性台車系統示意圖 ...49 圖 4.10 序列性移動荷重之單位載重歷時圖(第 m 結點位置) ...49 圖 4.11 序列性移動荷重之位置、時間及荷重 3D 圖 ...49 圖 4.12 台鐵 K-18 活載重分佈示意圖...50 圖 4.13 SAP2000 結點單位載重歷時圖(K-18 活載重分佈)...50 圖 4.14 北迴新線版式軌道位移歷時圖 ...50 圖 4.15 隧道段軌道系統 SAP2000 分析模型示意圖...51 圖 4.16 橋梁段軌道系統 SAP2000 分析模型示意圖...51 圖 4.17 SAP2000 結點單位載重歷時圖(自強號列車軸重分佈)...51 圖 4.18 自強號列車車廂型式及規格示意圖 ...52 圖 4.19 隧道段─單一荷重─鋼軌位移歷時圖( ζ≒0 ) ...53 圖 4.20 隧道段─單一荷重─鋼軌加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...53 圖 4.21 隧道段─單一荷重─軌枕位移歷時圖( ζ≒0 ) ...54 圖 4.22 隧道段─單一荷重─軌枕加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...54 圖 4.23 隧道段─序列荷重─鋼軌位移歷時圖( ζ≒0 ) ...55 圖 4.24 隧道段─序列荷重─鋼軌加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...55 圖 4.25 隧道段─序列荷重─軌枕位移歷時圖( ζ≒0 ) ...56 圖 4.26 隧道段─序列荷重─軌枕加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...56 圖 4.27 簡支橋─單一荷重─鋼軌位移歷時圖( ζ≒0 ) ...57 圖 4.28 簡支橋─單一荷重─鋼軌加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...57

圖 4.29 簡支橋─單一荷重─軌枕位移歷時圖( ζ≒0 ) ...58 圖 4.30 簡支橋─單一荷重─軌枕加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...58 圖 4.31 簡支橋─單一荷重─橋梁位移歷時圖( ζ≒0 ) ...59 圖 4.32 簡支橋─單一荷重─橋梁加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...59 圖 4.33 簡支橋─序列荷重─鋼軌位移歷時圖( ζ≒0 ) ...60 圖 4.34 簡支橋─序列荷重─鋼軌加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...60 圖 4.35 簡支橋─序列荷重─軌枕位移歷時圖( ζ≒0 ) ...61 圖 4.36 簡支橋─序列荷重─軌枕加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...61 圖 4.37 簡支橋─序列荷重─橋梁位移歷時圖( ζ≒0 ) ...62 圖 4.38 簡支橋─序列荷重─橋梁加速度歷時圖( ζ≒0 ) ...62 圖 4.39 簡支橋─序列荷重─鋼軌加速度 FFT 分佈圖( ζ≒0 ) ...63 圖 4.40 簡支橋─序列荷重─軌枕加速度 FFT 分佈圖( ζ≒0 ) ...63 圖 4.41 簡支橋─序列荷重─橋梁加速度 FFT 分佈圖( ζ≒0 ) ...63 圖 4.42(a) 連續橋軌道系統 SAP2000 分析模型示意圖...64 圖 4.42(b) 簡支橋軌道系統 SAP2000 分析模型示意圖...64 圖 4.43 連續橋─鋼軌位移歷時圖( ζ＝0.025 ) ...64 圖 4.44 連續橋─鋼軌加速度歷時圖( ζ＝0.025 ) ...65 圖 4.45 連續橋─橋梁位移歷時圖( ζ＝0.025 ) ...65 圖 4.46 連續橋─第一橋跨─橋梁中點加速度歷時圖( ζ＝0.025 ) ...66 圖 4.47 連續橋─第二橋跨─橋梁中點加速度歷時圖( ζ＝0.025 ) ...66 圖 4.48 連續橋─第三橋跨─橋梁中點加速度歷時圖( ζ＝0.025 ) ...67 圖 4.49 連續橋與簡支橋中點加速度歷時比較圖( ζ＝0.025 ) ...67 圖 4.50 連續橋─軌道系統中點鋼軌加速度 FFT 分佈圖( ζ≒0.025) ...68 圖 4.51 連續橋─軌道系統中點橋梁加速度 FFT 分佈圖( ζ≒0.025) ...68 圖 5.1 隧道段─不同軌枕重量之軌道中點鋼軌最大位移圖...83 圖 5.2 隧道段─不同軌枕重量之軌道中點軌枕最大位移圖...83

圖 5.3 隧道段─不同軌枕重量之軌道中點鋼軌最大加速度圖...83 圖 5.4 隧道段─不同軌枕重量之軌道中點軌枕最大加速度圖...84 圖 5.5 橋梁段─不同軌枕重量之軌道中點鋼軌最大位移圖...84 圖 5.6 橋梁段─不同軌枕重量之軌道中點軌枕最大位移圖...84 圖 5.7 橋梁段─不同軌枕重量之軌道中點橋梁最大位移圖...85 圖 5.8 橋梁段─不同軌枕重量之軌道中點鋼軌最大加速度圖...85 圖 5.9 橋梁段─不同軌枕重量之軌道中點軌枕最大加速度圖...85 圖 5.10 橋梁段─不同軌枕重量之軌道中點橋梁最大加速度圖...86 圖 5.11 隧道段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點鋼軌最大位移圖 ...87 圖 5.12 隧道段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點軌枕最大位移圖...87 圖 5.13 隧道段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點鋼軌最大加速度圖...87 圖 5.14 隧道段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點軌枕最大加速度圖...88 圖 5.15 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點鋼軌最大位移圖...88 圖 5.16 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點軌枕最大位移圖...88 圖 5.17 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點橋梁最大位移圖...89 圖 5.18 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點鋼軌最大加速度圖...89 圖 5.19 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點軌枕最大加速度圖...89 圖 5.20 橋梁段─不同鋼軌墊片勁度之軌道中點橋梁最大加速度圖...90 圖 5.21 橋梁段─不同軌枕間距之軌道中點橋梁加速度歷時圖...91 圖 5.22 橋梁段─不同軌枕間距之軌道中點鋼軌加速度歷時圖...91 圖 5.23 橋梁段─不同軌枕間距之軌道中點橋梁位移歷時圖...91 圖 5.24 橋梁段─不同軌枕間距之軌道中點鋼軌位移歷時圖...92 圖 5.25 軌道系統中點位置鋼軌衝擊係數圖 ...93 圖 5.26 橋梁段軌道系統中點位置衝擊係數圖 ...93

第一章

緒論

1.1 前言

鐵路軌道系統依道床結構型式可分為兩大類，即道碴軌道(Ballasted Track) 及無道碴軌道(Non-Ballasted Track)。國內鐵路除台鐵大部分路段仍為傳統道碴 軌道外，台北捷運、高雄捷運、高鐵及中正機場捷運等均已大量採用無道碴軌 道系統。由於無道碴軌道之吸音減振功能不如道碴道床，因此各國有關無道碴 軌道之研究主要著重在減振及噪音防制方面，以提高旅客乘坐之舒適性。「台 灣鐵路管理局」近年來亦逐步開始採用無道碴軌道系統，除了因應未來維修人 力不足的問題外，主要亦在降低軌道維護的成本。台鐵對於無道碴軌道系統之 應用尚處於起步階段，應儘速建立相關技術之理論架構，據以發展適合本土之 軌道工程技術。

1.2 研究動機及目的

目前台鐵使用之無道碴軌道系統可整理如表1.1 所示，其中「彈性軌枕直 結軌道」屬於「軌枕埋入式軌道系統」［11］。該型軌道係利用鋼軌下方之橡膠 墊片及預力混凝土軌枕下方之彈性材，再配合軌枕兩端之橡膠被覆套，藉以增 加其吸音減振之功能。「交通部鐵路改建工程局」於鐵路地下化工程南港專案 之軌道工程，考量鐵路沿線多經過屬振動及噪音敏感帶之市區，遂以北迴新線 新南澳隧道採用之「彈性軌枕直結軌道」為基礎，以日本常磐新線之「石碴散 佈型彈性軌枕直結軌道」型式為輔，經研究後決定於橋梁及隧道段之軌道型式 採用「彈性PC 軌枕防振直結軌道」［11-12］，以減少列車行駛時所引起之噪音 與振動。 「彈性 PC 軌枕防振直結軌道」之主要功能為「減振」，惟該型軌道系統

之設計與結構分析檢核仍在靜力分析之層次，僅於列車動態載重部份額外考慮 一衝擊係數［12］。實際之減振效果則有待後續之監測分析加以評估驗証。本 研究擬嘗試以動態模型進行分析，以瞭解列車於不同車速行駛時之軌道振動特 性，並進一步探討該型軌道系統之減振效益。

1.3 文獻回顧

就輪軌運行之鐵路而言，其軌道系統之主要功能在於引導列車行進，並將 車輪之列車載重(集中力)經鋼軌、扣件組、道床傳遞至路基上。早期有關軌道 力學之研究，主要假設鋼軌為一無限長梁、鋼軌支承系統為一彈性基礎及列車 載重為靜態集中力等條件下進行模擬。捷克學者Winkler 於 1867 年便提出一項 假設：「若將鋼軌置於無限長彈性基礎上，即梁可視為平置於彈性基礎上，則 梁上任一點所受之反力與該點之位移成正比」，此即著名的Winkler Foundation

理論。此後Hetenyi(1946)根據 Winkler 之假設於『Beams on Elastic foundation』 乙書中推導出各種靜態載重之下，彈性基礎之無限長及有限長梁的變位解析方 程式。Kenny(1954)［1］及 Duffy(1990)［3］則將列車模擬成移動載重，並分 析梁之動態反應，其結果顯示，當車速與彈性基礎梁之波傳速度相同時，梁會 發生不穩定的現象。

國內學者陳永祥等人，包括：Chen(1987)、Chen & Sheu(1995；1996)、Chen

& Huang(2000)，何善杰(1995)、洪英哲(1997)、何仲騏(1999)、徐子明(2000)、 許家郎(2000)、劉得立(2003)，亦曾針對軌道之動態行為進行分析與探討。對 於鐵路橋梁之衝擊效應研究，則有姚忠達(1996)、胡俊明(1998)、楊崇孚(2002) 等人之研究。 近年來因電腦計算能力之大幅提升，使得吾人得以利用數值方法建立複雜 之結構分析模型，以模擬列車軌道系統之動態行為。學者楊永斌、姚忠達(2000)

於『高速鐵路車-橋互制理論』乙書中，以移動懸吊質量模擬車體，利用 Newmark-β 差分法配合動態濃縮觀念，將車體自由度濃縮到對應梁元素自由度 中，推導出車橋互制元素(Vehicle-Bridge Interaction，VBI 元素)，以作為橋梁衝 擊係數評估或車橋互制現象的動力分析工具。學者郭振銘帶領學生對於不同型 式軌道數值分析模型之建立，亦有不少成果，包括：陳志偉(2002)、潘濬瑋 (2003)、陳苡亦(2004)、陳家輝(2004)等。此外，學者洪振發(2005)及施光夏(2004) 則利用有限元素分析軟體進行分析，以探討台鐵無道碴軌道系統之動態特性。

1.4 研究範圍及方法

本研究首先針對「軌枕埋入式軌道」系統(無道碴軌道型式)建立其動態解 析模型，依據拉格朗日方程式(Lagrange， s equation)推導運動方程式，並以工程 實務上廣範運用之軟體 SAP2000 求解系統之動態歷時反應，以探討列車行進 時之軌道振動特性。 本研究有關軌枕質量、鋼軌墊片勁度、軌枕間距等參數，均採用工程實務 上常用之軌道系統參數，俾使動態反應影響評估具備工程應用價值。此外，本 文亦將探討列車於不同車速情況下對橋梁及隧道段軌道系統之動態衝擊，為使 分析結果較能符合實際情況，軌道系統衝擊效應分析之，係以序列性移動載重 模擬台鐵現行推拉式(Push-Pull)列車之軸重分佈，俾使分析結果更具實用價值。 本研究將無限長鋼軌簡化為有限長之Bernoulli-Euler 梁，主要探討軌枕埋 入式軌道系統之垂向振動反應，並嘗試以商用軟體 SAP2000 建立單一及序列 性移動荷重之軌道系統數值分析模型。該分析模型亦可適用於其他各型之「埋 入式軌道」，詳2.2 節。本文之研究流程整理如圖 1.1 所示。

表1.1 台鐵現行無道碴軌道系統表 無道碴軌道型式 地點/台鐵俗稱 軌道系統結構配置 南港溪橋/版式軌道 平版式軌道 苗南隧道/彈性基鈑軌道 鋼軌 彈性扣件組 混凝土道床版 CA 砂漿 彰化-追分/彈性基鈑軌道 混凝土基座式軌道 曾文溪橋/彈性基鈑軌道 鋼軌 彈性扣件組 長條形混凝土基座 和平-崇德/彈性軌枕直結 軌道 軌枕埋入式軌道 汐止高架/彈性 PC 軌枕防 振直結軌道 鋼軌 彈性扣件組 混凝土軌枕 彈性材及防振箱 混凝土道床版

圖 1.1 研究方法流程圖 相關資料蒐集、整理 z 無道碴軌道系統結構配置 z 軌道力學分析相關文獻 z 台鐵列車車輛參數 軌枕埋入式軌道系統 動態分析模型建立 運動方程式推導 橋樑段軌道 隧道段軌道 運用商用軟體求解動態反應 單一移動荷重 序列性移動荷重 軌道系統參數研究 單一移動荷重 序列性移動荷重 軌 枕 質 量 之 影 響 軌 枕 間 距 之 影 響 列車不同車速 之衝擊效應 實例分析(連續橋軌道動態模擬) 結論與建議 鋼軌墊片勁度之影響

第二章

無道碴軌道系統介紹

軌道系統廣義而言，包括所有具導引車輛行駛於特定路徑者，如鋼軌-鋼 輪、膠輪及磁浮導向推進系統等；狹義而言，則僅限於導引鋼輪列車行進於鋼 軌上之系統。本研究所討論者係屬於鋼軌-鋼輪之軌道系統。

2.1 軌道系統構造簡介

軌道系統基本上由鋼軌、扣件及承托系統三大構件所組成。以下分別說明 各項構件之功能： (一) 鋼軌 鋼軌為直接承載列車鋼輪並將荷重均勻向下傳遞之主要軌道構件，同時亦 具備提供列車平順流暢行駛及導引正確路徑之功能。近年來因載運量大、車速 提高及養護成本偏高，故鋼軌之設計已朝向延長壽命及降低維護成本之方向發 展。 鋼軌種類眾多，目前國際上較常使用的鋼軌規格，如國際軌道聯盟 (Internation Union of Railways)之 UIC 60 型(圖 2.1)及日本國家標準之 JIS 60 型 (圖 2.2)。國內之台鐵已逐步以 UIC 60 取代原有之 JIS 50N 型鋼軌，台北及高 雄捷運均使用UIC 60 型，高鐵則採用 JIS 60 型。 (二) 扣件系統 扣件系統係由早期木枕所使用之道釘，逐漸演進成為現行之彈性扣件系 統。現代軌道扣件系統可區分為扣夾、基鈑及錨碇組件三部分，如圖2.3 所示。 其主要功能包括：穩定鋼軌、維持軌距(兩鋼軌之中心距)使為一定合理值、抵

抗車行及溫度變化產生之力量等。現代化扣件系統須具備降低噪音振動及更 換、維護容易之特性，以兼顧行車安全性、舒適度及低成本之需求。 (三) 承托系統 承托系統為軌道構造中最下部之支承組件，通稱為道床，其下則銜接土木 結構。承托系統基本上可分成兩大類，一為道碴道床，其組成包括：軌枕、道 碴及底碴；一為無道碴道床，其組成型式眾多，詳本文2.2 節。基於維修成本 之考量，現行軌道多採無道碴道床，即俗稱之版式道床軌道。 就現代化無道碴道床而言，其主要功能為：提供堅實穩固的支撐使軌道不 易變形移位，並藉以吸收列車行駛所引起之衝擊荷重，同時亦具有低噪音及低 振動等特性。

2.2 無道碴軌道

無道碴軌道系統之承托組件是以混凝土構造為主軸，取代傳統軌道採用之 道碴及底碴系統。此外，道床之空間需求及整體重量亦較道碴軌道小而輕便。 無道碴軌道發展至今已數十年，世界各國皆依不同需求進行設計與研發， 故型式眾多。鄭國雄、張思(2002)等人就無道碴軌道與支承土木結構之結合方 式進行分類，主要區分成三種型式［9］，說明如下： (一) 直接固定式 直接固定式無道碴軌道係由扣件系統將鋼軌固定於軌道承托系統(道床) 上，而承托系統亦直接固定於支承結構上，如圖 2.4 及圖 2.5 所示。依道床構 造之不同型式，又可細分成以下三種：

(1)直座結構道床：直接將鋼軌以扣件組固定於結構體完成面上。此型軌道 並無道床，排水性質較差，軌道可能座落於排水層內。 (2)平版式道床：現場澆置混凝土道床版作為鋼軌及支承結構之介面層，兼 具排水功能。 (3)混凝土基座道床：或稱縱枕式軌道，以長條形之混凝土基座(有連續或 非連續型)作為軌道承托系統。台北捷運即採用此軌道系統。 (二) 埋入式 埋入式無道碴軌道係先將鋼軌固定於軌道承托系統(道床)中之軌枕上，於 施工時吊至現場定位後再澆置混凝土，俾便將軌枕與支承結構結合，如圖 2.6 及圖2.7 所示。依軌枕型式之不同又可細分成以下二種： (1)軌枕埋入式：由早期之木枕逐漸演變至混凝土枕、預力混凝土枕。由於 混凝土枕之重量重且調整空間小，日本已於近期開始推廣輕質且可現 場鑽掘孔洞並作為鋼軌定位之「合成木質纖維軌枕」。 (2)混凝土塊埋入式：係源自法國 STEDEF 軌枕，主要是以雙混凝土塊為 主體並藉鐵桿將其連成一體，其成本較混凝土枕低廉且質輕。近年來 多已捨去連接鐵桿，採用直接將混凝土塊埋入道床版內之施作方式。

目前台灣高鐵採用之LVT(Low Vibration Track)軌道系統即為本系統。

(3)直接埋入式：此型軌道之特點在於捨去固定鋼軌之扣件系統及軌枕，直 接於道床混凝土版預留凹槽，再將液態彈性材灌注於凹槽中使其凝

固，固定住鋼軌，如圖2.8 所示。目前台灣高鐵於台北站即採用此型軌

(三) 彈性支承墊式 彈性支承墊式無道碴軌道係於軌道版(道床)及支承結構間以彈性構材(可 為橡膠、機械式彈簧或CA 砂漿等)作為襯墊，以達吸音及減振功能，如圖 2.9 及圖2.10 所示。依軌道版型式之不同又可細分成以下二種： (1)浮動式道床(Floating slab)：軌道版為預鑄混凝土版，系統的自然頻率與 道版之尺寸、重量及彈性材之彈簧常數有關。 (2)日本框架式道床：先於支承結構上澆置道床之底層混凝土版，再將預鑄 框架式軌道版吊放於底層混凝土版上。其彈性材(CA 砂漿)係由柏油乳 劑、水、水泥、細骨材及添加劑拌合而成，施作於軌道版及底層混凝 土版間。目前台灣高鐵大量採用之 J-Slab 軌道系統即屬此型軌道系統。

2.3 軌枕埋入式軌道之結構配置

「軌枕埋入式軌道」為埋入式無道碴軌道系統的一種，其與支承結構之結 合方式如2.2 節之說明，該型軌道之結構配置主要包括：鋼軌、彈性扣件組、 軌枕及混凝土道床版，其下部結構通常為橋梁及隧道。現行軌枕埋入式軌道主 要利用彈性扣件組之鋼軌墊片(橡膠)及軌枕與道床版間之彈性材(橡膠)，來提 升系統之減振功能，如圖 2.11 及圖 2.12 所示。此外，日本則於軌道周圍加舖 吸音道碴，以提昇消音功能，如圖2.13 所示。有關此型軌道之力學分析將於本 文第三章說明。

圖2.1 UIC 60 鋼軌斷面示意圖(摘自RAILS,Nippon Steel Corporation)

圖2.3 扣件系統示意圖(摘自PANDROL VIPA：The next generation in track support systems)

圖 2.5 台鐵混凝土基座道床軌道示意圖

圖 2.7 台灣高鐵軌枕埋入式軌道示意圖

圖2.9 浮動式道床軌道示意圖(摘自GERB informs：Low Frequency Floating Floor System with accessible integrated spring elements)

圖2.11 軌枕埋入式軌道結構配置平面圖(摘自邱宇彰等(2005)，彈性 PC 軌枕 防振直結軌道與橋上長軌設計案例)

圖2.12(a) 軌枕埋入式軌道結構配置剖面圖(摘自邱宇彰等(2005)，彈性 PC 軌

圖 2.12(b) 軌枕埋入式軌道結構配置剖面圖(摘自邱宇彰等(2005)，彈性 PC 軌枕防振直結軌道與橋上長軌設計案例)

第三章

軌枕埋入式軌道力學分析

本章首先根據無道碴軌道之動力分析模型進行分類，並說明「軌枕埋入式 軌道」力學分析時所考慮之基本假設條件，進而推導軌道之運動方程式，並建 立動態解析模型，俾便進行數值模擬分析，以探討其振動特性及動態歷時反應。

3.1 無道碴軌道分析模型之分類

針對第二章所述無道碴軌道系統之各種型式，假設車體載重模擬為集中力 之前提下，本研究將動力分析模型分成以下三種型式： (一)軌道結構之配置依序為鋼軌、彈性扣件、基礎結構(含軌道版或基座)之單 層離散黏彈性支承模型，如圖3.1(a)及圖 3.1(b)所示。此分析模型適用於直座結 構道床軌道、平版式道床軌道及混凝土基座道床軌道等系統。 (二)軌道結構之配置依序為鋼軌、彈性扣件、軌枕、彈性材、基礎結構(含軌道 版)之雙層離散黏彈性支承模型(1)，如圖 3.2(a)及圖 3.2(b)所示。此分析模型適 用於軌枕埋入式軌道及混凝土塊埋入式軌道等。 (三)軌道結構之配置依序為鋼軌、彈性扣件、軌道版、彈性材、基礎結構(含底 層混凝土版)之雙層離散黏彈性支承模型(2)，如圖 3.3(a)及圖 3.3(b)所示。此分 析模型則適用於浮動式道床軌道及日本框架式道床軌道等。 其中，單層離散黏彈性支承模型可視為兩種雙層離散黏彈性支承模型之簡 化分析模型。此外，軌道系統之下部基礎結構分別考慮隧道及橋梁兩種狀況。

3.2 軌枕埋入式軌道分析模型之建立

軌道系統之力學分析理論，係以受力傳遞之行為作為基礎。以「軌枕埋入 式軌道」而言，其傳力程序可分為車體、懸吊系統、車輪、鋼軌、彈性扣件組、 軌枕、彈性材、道床版與基礎結構。模擬分析時可將車體視為列車簧上質量、 懸吊系統視為離散黏彈性支承、車輪視為簧下質量、鋼軌視為梁、彈性扣件組 視為離散黏彈性支承、軌枕視為剛體質量、彈性材視為離散黏彈性支承、再結 合道床版及基礎結構，如此即可建立多層離散多自由度系統分析模型。上述之 構件元素可依據分析精確度及效率的要求，適度予以簡化。

3.2.1 基本假設

本研究之分析主要基於以下假設條件： (一) 車體、懸吊系統、車輪 列車構造主要由車體、懸吊系統及車輪所組成，通常將其視為移動力量 (moving force)或移動質量(moving mass)。惟依據台鐵列車最高設計時速 130 公

里，並參考『高速鐵路車-橋互制理論』乙書對於決定移動載重形式之說明：「在 一般常速狀況(時速 150 公里以下)，當車身重量遠小於橋體重時，可將車身質 量慣性效應忽略，此時列車可視為移動力量」［8］，故本研究將以等速移動力 量模擬之。 (二) 鋼軌 鋼軌主要以 Bernoulli-Euler 梁或 Timoshenko 梁作為模擬分析之理論基 礎，其差別在於Bernoulli-Euler 梁僅考慮梁受純彎曲變形，未考慮剪切效應及 旋轉慣性。一般而言，鋼軌為均質材料、細長比小，故可忽略其剪切效應。且

工程實務上，若能簡化計算過程且保有一定之精度，較易為工程師所採納使 用，因此本研究將以Bernoulli-Euler 梁理論建立鋼軌之分析模型。 軌道系統之鋼軌行為近似無限長結構。惟根據陳永祥等(2001)及 Ruta & Wojcicki (1999)之研究認為，鋼軌長度只要達 12m 以上即可充份掌握無限長軌 道之特性［10］。因此本研究假設鋼軌為 30m 以上之有限長度進行分析。 (三) 軌枕 軌道系統之軌枕多使用混凝土材質，其寬度小，且以固定間距進行配置， 因此可忽略軌枕本身之彎曲變形，故吾人得以離散剛體質量模擬之。 (四) 鋼軌墊片及軌枕彈性材 軌道系統於列車作用下之垂直向位移量，除了鋼軌之變形外，主要由彈性 扣件組之鋼軌墊片(橡膠)及軌枕彈性材(橡膠)之振動變形所造成。本研究將考 慮以雙層離散黏彈性支承模擬之。 (五) 道床版及基礎結構 軌枕埋入式軌道系統常應用於隧道或橋梁段。如為隧道，由於其底版(明 挖覆蓋箱型隧道)或仰拱(山岳隧道)之剛度甚大，因此不考慮其對於軌道振動特 性之影響(即：假設底版或仰拱為剛性體)；若為橋梁，則會因橋梁構造型式不 同或跨徑之不同而產生不同之振動模式，因此橋梁之振動模態亦將納入理論分 析模型中。此外，由於道床版主要係以鋼筋或錨栓將其與基礎結構連結，因此 可視為基礎結構的一部分。

3.2.2 分析模型建立

茲根據3.2.1 節所述之基本假設條件，同時參考 2.3 節之軌枕埋入式軌道

之結構配置方式，建立軌道系統之動態分析模型如下： (1)基礎結構為隧道之等速移動荷重分析模型，如圖 3.4 所示。 (2)基礎結構為簡支橋梁之等速移動荷重分析模型，如圖 3.5 所示。

3.3 軌道單元之有限元素模型

本節將建立軌枕埋入式軌道系統之有限元素模型，考慮鋼軌座落在黏彈性 支承之情況進行推導。

3.3.1 隧道段軌道有限元素模型

首先取一小段梁元素進行分析，定義此一軌道元素之自由度及座標系統如 圖3.6 所示。本文只考慮系統垂直向及梁端轉角之振動反應，忽略系統水平向 位移之影響，將軌枕視為一剛體質量，將每一小段軌道視為基本元素，每段元 素包括兩個結點，共5 個自由度，再依據拉格朗日方程式(Lagrange， s equation) 推導出軌道元素之運動方程式。 系統自由度 根據圖3.6 所示之座標系統，鋼軌及軌枕之垂直向位移可表示如下： ) , ( tx u_r ＝ ( ) ( ) 4 1 t q x _i i i

∑

= φ 及 u_s(t) (3.1) 其中，

( )

x t ur , ：鋼軌垂直向位移 us

( )

x,t ：軌枕垂直向位移 ) (x i φ ：鋼軌形狀函數 q_i(t)：鋼軌形狀函數所對應之模態座標

系統動能 s r T T T = + (T_r：鋼軌之動能；T_s：軌枕之動能)

( )

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∫

•

∫

• l l r r r r r m u x t dx J u x t dx T 0 0 2 2 , , 2 1

( )

2 1 2 s s s T m u t • ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ 將式(3.1)代入上式可得：

( ) ( )

( ) ( )

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _′ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • = • = •

∫ ∑

∫ ∑

2 0 2 4 1 0 2 4 1 2 1 t u m dx t q x J dx t q x m T _s s l i i i r l i i i r φ φ (3.2) 系統位能 ss rs r U U U U = + + (Ur：鋼軌之擾曲變位能；Urs：鋼軌之彈性位能； ss U ：軌枕之彈性位能)

( )

(

)

∫

′′ = l r r EI u x t dx U 0 2 , 2 1

( )

( )

(

)

2 1 1 , 2 rs r s U = k u x t −u t

( )

(

)

2 2 1 2 ss s U = k u t 將式(3.1)代入上式可得：

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

( )

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _′′ =

∫ ∑

∑

= = 2 2 2 4 1 1 2 0 4 1 2 1 t u k t u t q x k dx t q x EI U s i s i i l i i i φ φ (3.3)

系統非保守能 c e W W W = + (W_e：外力所作之功；W_c：阻尼力所作之功) 在不考慮鋼軌內在阻尼情況下：

( ) ( )

x t u x t p W_e = , _r ,

( )

( )

(

( )

( )

)

( ) ( )

1 , , 2 c r s r s s s W c u x t u t u x t u t c u t u t • • • ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = −_{⎢ ⎜} − _⎟ − + _⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 將式(3.1)代入上式可得：

( )

_∑

( ) ( )

= − = 4 1 , i i i x q t t x p W φ

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ • = = • •

∑

∑

x q t u t x q t u t c u t u t c s _s i s i i i s i i 2 4 1 4 1 1 φ φ (3.4) Lagrange， s equation dt d ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ • i q T － _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ i q T ＋ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ i q U ＝ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ i q W ； i=_{1 L}, ,4 (3.5) 其中， T：系統動能 W：系統非保守能 U：系統位能 q：系統自由度 軌道元素運動方程式 將式(3.2)、(3.3)及(3.4)代入式(3.5)經整理可得：

(

) ( ) (

) ( )

_∑

( ) ( )

_∑

( ) ( )

= = • • • • + = + + + + 4 1 4 1 1 1 2 1 2 1 i i i i i i s s s su c c u t k k u t c x q t k xq t m φ φ (3.6)

( ) ( )

( ) ( )

( )

_∑

( ) ( ) ( )

∫ ∑

∫ ∑

= • • • = = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ + 4 1 , 1 0 4 1 , 0 4 1 , i j i j i i l j i l j i j i r j i r x x dx J x x dx q t c x x q t m φ φ φ φ φ φ

( ) ( )

x xdx k

( ) ( ) ( )

x x q t EI i j i j i l j i j i ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′′ ′′ +

∫ ∑

∑

= = 4 1 , 1 0 4 1 . φ φ φ φ

( )

_∑

( )

_∑

( ) ( )

_∑

( ) ( )

= = • = + + = 4 1 1 4 1 1 4 1 , i s i i s i i i x c x u t k x u t t x p φ φ φ (3.7) 式(3.6)及(3.7)可進一步表示如下：

( )

∗••

( )

∗ •

( )

∗ •

( )

∗

( )

∗

( )

∗ • • ∗ ₌ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ P t u k t q k t u c t q c t u m t q m_{r i s} s _{r i s} s _{r i s s} (3.8) 前述運動方程式可以矩陣型式表示如下： P Kz z C z M + + = • • • (3.9) M ＝ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ s m m m m m m m m m m m m m m m m m 0 0 0 0 0 0 0 0 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 為軌道單元之質量矩陣 C＝ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ s s s s s s s s s c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 4 3 2 1 4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 23 22 21 1 14 13 12 11 為軌道單元之阻尼矩陣 K＝ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ s s s s s s s s s k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 4 3 2 1 4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 23 22 21 1 14 13 12 11 為軌道單元之勁度矩陣

Z ＝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 2 1 t u t q t q t q t q s 為軌道單元之廣義位移向量 P ＝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 4 3 2 1 P P P P 為系統之外力擾動向量 其中， ∗ s m ＝m_s ∗ r m ＝

∑

= ∗ 4 1 , j i ij m ，m_ij∗ =m_r

∫

l _i

( ) ( )

x _j x dx+J_r

∫

l _i′

( ) ( )

x _j′ x dx 0φ φ 0φ φ ∗ s c ＝

∑

= ∗ 4 1 i si c ＋c_s，c_si∗ ＝-c₁φ_i (x)，c_s＝c₁＋c₂ ∗ r c ＝

∑

= ∗ 4 1 , j i ij c ＋

∑

= ∗ 4 1 i si c ，c_ij∗＝c₁φ_i(x)φ_j(x)，c_si∗ ＝-c₁φ_i (x) ∗ s k ＝

∑

= ∗ 4 1 i si k ＋k_s，k_si∗＝-k₁φ_i (x)，k_s＝k₁＋k₂ ∗ r k ＝

∑

= ∗ 4 1 , j i ij k ＋

∑

= ∗ 4 1 i si k ， kij∗ ＝ EI ( ) ( ) / 0φi′′ xφj′′ x

∫

dx ＋ k₁ φi(x)φj(x) ∗ si k ＝-k₁φ_i (x) ∗ P ＝

∑

= ∗ 4 1 i i P ，P_i∗ = p

( ) ( )

x,tφ_i x

3.3.2 橋梁段軌道有限元素模型

同3.3.1 節所述之方法，定義橋梁段軌道元素之自由度及座標系統，如圖 3.7 所示。將每一小段軌道(含橋梁)視為基本元素，每段元素包括兩個結點，共 9 個自由度，依據拉格朗日方程式(Lagrange，s equation)推導出橋梁段軌道元素 之運動方程式。 系統自由度 根據圖3.7 所示之座標系統，鋼軌及軌枕之垂直向位移可表示如下： ) , ( tx u_r ＝ ( ) ( ) 4 1 t q x _ri i i

∑

= φ ；us(t)；ub( tx, )＝ ( ) ( ) 4 1 t q x _bi i i

∑

= ϕ (3.10) 其中， ) , ( tx ur ：鋼軌垂向位移 us(t)：軌枕垂向位移 ) , ( tx ub ：橋梁垂向位移 ) (x i φ ：鋼軌形狀函數 ϕi(x)：橋梁形狀函數 ) (t q_ri ：鋼軌形狀函數所對應之模態座標 ) (t qbi ：橋梁形狀函數所對應之模態座標 系統動能 b s r T T T T = + + 則系統動能可寫為：

( ) ( )

( ) ( )

+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∫

∑

∫ ∑

= • = • l l i ri i r i ri i r x q t dx J x q t dx m T 0 0 2 4 1 2 4 1 2 1 _{φ φ}

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 0 0 2 4 1 2 4 1 2 1 2 1 t u m dx t q x J dx t q x m s s l l i bi i b i bi i b • = • = • + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∫

∑

ϕ

∫ ∑

ϕ (3.11)

系統位能 b ss rs r U U U U U = + + + 則系統位能可寫為：

( ) ( )

( ) ( )

+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ =

_∫

∑

_{∫ ∑}

= = l l i bi i b b i ri i r rI x q t dx E I x q t dx E U 0 0 2 4 1 2 4 1 2 1 _{φ ϕ}

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

_∑

₋

_∑

= = 2 4 1 2 2 4 1 1 2 1 i bi i s s i ri i x q t u t k u t x q t k φ ϕ (3.12) 系統非保守能 c e W W W = + 在不考慮內在阻尼情況下，系統非保守能可寫為：

( )

_∑

( ) ( )

( )

_∑

( ) ( )

( )

_∑

( ) ( )

= = = • • ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = 4 1 4 1 4 1 2 , i i bi i s i bi i s ri i x q t c u t x q t u t x q t t x p W φ ϕ ϕ

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ −

∑

∑

= = • • 4 1 4 1 1 i s ri i i s ri i x q t u t x q t u t c φ φ (3.13) 軌道元素運動方程式 將式(3.11)、(312)及(3.13)代入式(3.5)經整理可得：

( ) ( )

( ) ( )

_⎥⎦⎤

( )

+

( ) ( ) ( )

+ ⎢⎣ ⎡

_{∫ ∑}

₊

_{∫ ∑}

_{′ ′}

_∑

= • • • = = 4 1 , 1 0 4 1 , 0 4 1 , i j ri j i ri l j i l j i j i r j i r x x dx J x x dx q t c x x q t m φ φ φ φ φ φ

( ) ( )

x xdx k

( ) ( ) ( )

x x q t I E _ri j i j i l j i j i r r ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′′ ′′

∑

∫ ∑

₌ 4₌ 1 , 1 0 4 1 . φ φ φ φ

( )

_∑

( )

_∑

( ) ( )

_∑

( ) ( )

= = • = + + = 4 1 1 4 1 1 4 1 , i s i i s i i i x c x u t k x u t t x p φ φ φ (3.14)

( ) ( )

( ) ( )

( )

_∑

( ) ( ) ( )

∫∑

₌

∫∑

_{= ⎥⎦}⎤•• + ₌ • ⎢⎣ ⎡ _{+ ′ ′} 4 1 , 2 0 4 1 , ₀ 4 1 , ij bi j i bi l j i l j i j i b j i b x x dx J x x dx q t c x x q t m ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

( ) ( )

x xdx k

( ) ( ) ( )

x x q t I E bi j i j i l j i j i b b ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′′ ′′

∑

∫ ∑

= = 4 1 , 2 0 4 1 . ϕ ϕ ϕ ϕ

( ) ( )

( ) ( )

∑

∑

= = • + = 4 1 4 1 2 2 i i s i s i x u t k x u t c ϕ ϕ (3.15)

( ) (

t c c

) ( ) (

u t k k

) ( )

u t u m_s s + ₁ + ₂ s + ₁+ _{2 s} • • •

( ) ( )

_∑

( ) ( )

_∑

( ) ( )

_∑

( ) ( )

∑

= = = • = • + + + = 4 1 2 4 1 1 4 1 2 4 1 1 i bi i i ri i i bi i i ri i x q t c x q t k x q t k x q t c φ ϕ φ ϕ (3.16) 式(3.14)、(3.15)及(3.16)可進一步表示如下：

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ +} + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ +} • ∗ • ∗ • ∗ • • ∗ • • ∗ • • ∗ t q c t u c t q c t q m t u m t q m_{r ri s} s _{b bi r ri s} s _{b bi}

( )

( )

( )

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ ∗ ₊ ∗ ₊ ∗ t q k t u k t q k_{r ri s} s _{b bi} ∗ = P _(3.17) 前述運動方程式可以矩陣型式表示如下： P KZ Z C Z M + + = • • • (3.18) 9 * 9 44 43 41 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 44 43 42 41 34 33 32 31 24 21 22 21 14 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = b b b b b b b b b b b b b b b b s r r r r r r r r r r r r r r r r m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m M _{為軌道單元之質量矩陣}

9 * 9 44 43 41 41 4 34 33 32 31 3 24 23 22 21 2 14 13 12 11 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 21 22 21 1 14 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = b b b b sb b b b b sb b b b b sb b b b b sb sb sb sb sb s sr sr sr sr sr r r r r sr r r r r sr r r r r sr r r r r c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C _{為軌道單元之阻尼矩陣} 9 * 9 44 43 41 41 4 34 33 32 31 3 24 23 22 21 2 14 13 12 11 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 21 22 21 1 14 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = b b b b sb b b b b sb b b b b sb b b b b sb sb sb sb sb s sr sr sr sr sr r r r r sr r r r r sr r r r r sr r r r r k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K _{為軌道單元之勁度矩陣}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

9*1 4 3 2 1 4 3 2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = t q t q t q t q t u t q t q t q t q Z b b b b s r r r r 為軌道單元之廣義位移向量

1 * 9 4 3 2 1 0 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∗ ∗ ∗ ∗ P P P P P _{為系統之外力擾動向量} 其中，

∑

= ∗ ₌ 4 1 , j i rij r m m ，

∑

= ∗ ₌ 4 1 , j i bij b m m ，ms =ms ∗

( ) ( )

_∫

( ) ( )

∫

+ ′ ′ = l j i r l j i r rij m x x dx J x x dx m 0 0 φ φ φ φ

( ) ( )

_∫

( ) ( )

∫

+ ′ ′ = l j i b l j i b bij m x x dx J x x dx m 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ

∑

∑

= = ∗ _{= +} 4 1 4 1 , i sri j i rij r c c c ，

∑

∑

= = ∗ _{= +} 4 1 4 1 , i sbi j i bij b c c c ，

∑

∑

= = ∗ _{= + +} 4 1 4 1 i sbi i sri s s c c c c

( ) ( )

x x c crij = 1φi φj ，cbij =c2ϕi

( ) ( )

xϕj x 2 1 c c c_s = + ，c_sri =−c₁φ_i

( )

x ，c_sbi =−c₂ϕ_i

( )

x

∑

∑

= = ∗ _{= +} 4 1 4 1 , i sri j i rij r k k k ，

∑

∑

= = ∗ _{= +} 4 1 4 1 , i sbi j i bij b k k k ，

∑

∑

= = ∗ _{= + +} 4 1 4 1 i sbi i sri s s k k k k

( ) ( )

( ) ( )

∫

′′ ′′ + = l j i j i r r rij E I x x dx k x x k 0 1φ φ φ φ

( ) ( )

( ) ( )

∫

′′ ′′ + = l j i j i b b bij E I x x dx k x x k 0 2ϕ ϕ ϕ ϕ 2 1 k k ks = + ，ksri =−k1φ1

( )

x ，ksbi =−k2ϕi

( )

x

( ) ( )

x t x p P_i∗ = , φ_i

鋼軌 彈性扣件 隧道仰拱

(a)支承結構為隧道

鋼軌 彈性扣件 橋梁 (b)支承結構為橋梁 圖 3.1 單層離散黏彈性支承模型示意圖 鋼軌 彈性扣件 軌枕 彈性材 隧道仰拱 (a)支承結構為隧道 鋼軌 彈性扣件 軌枕 彈性材 橋梁 (b)支承結構為橋梁 圖 3.2 雙層離散黏彈性支承模型示意圖(一) (a)支承結構為隧道 鋼軌 彈性扣件 軌道版 彈性支承墊 隧道仰拱 鋼軌 彈性扣件 彈性支承墊 橋梁 (b)支承結構為橋梁 軌道版 圖 3.3 雙層離散黏彈性支承模型示意圖(二)

有 限 長 鋼 軌 彈 性 扣 件 軌 枕 彈 性 材 X Vt P mr,E1,I1 L Z k1 c1 k2 c2 ms V 圖 3.4 隧道段軌道系統分析模型示意圖 有 限 長 鋼 軌 彈 性 扣 件 軌 枕 彈 性 材 X V t P mr,E1,I1 L Z k1 c1 k2 c2 ms mb,E2,I2 簡 支 橋 梁 V 圖 3.5 橋梁段軌道系統分析模型示意圖

P

m

r,

E

,

I

k1 c1 k2 c2

m

s 1 3 S 4 2 r m ：鋼軌單位長度質量 J ：鋼軌單位長度轉動慣量 _r E：鋼軌彈性係數 I：鋼軌面積二次慣性矩 s m _{：軌枕質量 k1：鋼軌墊片彈簧常數} 1 c _{：鋼軌墊片阻尼係數 k} 2：軌枕彈性材彈簧常數 2 c ：軌枕彈性材阻尼係數 圖 3.6 隧道段軌道元素自由度示意圖

P mr,Er,Ir k1c1 k2c2 ms mb,Eb,Ib qr1 qr3 us qb3 qb1 qr2 qb2 qr4 qb4 r m ：鋼軌單位長度質量 mb ：橋梁單位長度質量 r E ：鋼軌彈性係數 I_r：鋼軌面積二次慣性矩 b E ：橋梁彈性係數 I ：橋梁面積二次慣性矩 b 1 k _{：鋼軌墊片彈簧常數} c_{1：鋼軌墊片阻尼係數} 2 k ：軌枕彈性材彈簧常數 c2：軌枕彈性材阻尼係數 s m _{：軌枕質量} 圖 3.7 橋梁段軌道元素自由度示意圖

第四章

軌道系統之動力歷時分析

本研究擬以SAP2000 程式做為分析工具。惟 SAP2000 並無直接模擬移動 荷載之狀況，因此本文將發展移動荷載之位形空間─時間函數結合 SAP2000 軟體進行分析。

4.1 單一移動荷重模擬

本節係以軌道系統離散結點位形空間─時間函數之載重歷時組合，模擬連 續性單一等速移動荷重，其模擬方式說明如下： 假設一有限長軌道系統總長為L，將其分成(n－1)小段長度為 l之軌道元 素(即：軌道系統共設 n 個結點)，則系統各結點位置之載重歷時方程式可表示 如式(4.1)，其第 m 結點位置之單位載重歷時如圖 4.1 所示。系統外力(單一移動 荷重)可表示為各結點單位載重之組合如式(4.2)，可以時間、位置及荷重三維座 標系表示，如圖4.2 所示。

( )

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Δ + ≥ Δ − ≤ Δ + < < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} Δ < < Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} Δ = 2 , 2 0 2 1 2 2 1 2 t t t t t t t t t t t t t p t t t t t t t p t p m m m m m m m m m ；Δt =2l V,m=1Ln (4.1) 其中，

( )

t pm ：第m節點位置之載重歷時 tm：荷重移動至第m結點之時間 t Δ ：荷重延時 n：軌道分成 n 個節點 V ：移動荷重速度 p ：荷重大小

( )

( )

( )

1 2 p t p t P p_n t =

⎧

⎫

⎪

⎪

⎨

⎬

⎪

⎪

⎩

⎭

M ；結點總數 =(l +1) L n (4.2)

4.2 SAP2000 程式初步分析結果驗証

為驗証本文提出之移動荷載分析模式之合理性，首先以 SAP2000 建立一 有限長且受單一等速移動荷重作用下之「簡支離散黏彈性基礎軌道」分析模 型，如圖4.3 所示，求出其位移反應並與陳苡亦(2004)以四階 Runge-Kutta method 撰寫程式RKCODE 分析「簡支連續彈性基礎軌道」(如圖 4.4﹝25﹞)所得之位 移反應進行比較。 上述兩種分析模型之系統各項參數比較整理於表 4.1。計算 50 個模態及 100 個模態疊加之軌道中點位移歷時，分別如圖 4.5 及圖 4.7 所示；RKCODE 計算50 個模態及 100 個模態疊加之軌道中點位移歷時則分別如圖 4.6 及圖 4.8 所示。由兩者之比較結果顯示，其振動趨勢相當接近，確認本研究以三角波函 數模擬等速移動荷重，配合 SAP2000 分析模型之合理性，吾人將可應用其處 理更複雜的軌道動力分析問題。

4.3 序列性移動荷重模擬

本節係以4.1 節所述之單一移動荷重之模擬方式為基礎，推廣至序列性等 速移動荷重分析模型之模擬。 假設一列車由連續k節台車聯結，每節台車各有前、後2 個輪軸，以速度 V 通過總長為L 之軌道系統，則視該列車輪軌接觸力為ㄧ序列性等速移動荷 重，如圖4.9 所示。以三角波函數模擬序列性等速移動荷重，則系統第 m 結點(假

設軌道系統共設 n 個結點)位置之單位載重歷時如圖 4.10 所示；系統外力(序列 性移動荷)可以時間、位置及荷重三維座標系表示，如圖 4.11 所示。 依據上述模擬方式，吾人嘗試建立軌道系統於序列性等速移動荷重作用下 之SAP2000 分析模型。該模型係依台鐵北迴新線之版式軌道系統(軌枕埋入式) 所建，其系統各項參數整理於表4.2。系統擾動外力則模擬台鐵工務規章 K-18 設計活載重分佈，如圖4.12 所示；其 SAP2000 結點單位載重歷時如圖 4.13 所 示。 在假設 V=0.01 m/s 之條件下(近似靜態模擬)，本模型分析結果之鋼軌中 點位移歷時如圖4.14 所示，其求得之中點最大位移 1.953mm，並與鄒坤晄(2003) 以ANSYS 程式建立有限元素 3D 靜力分析模型模擬同型式軌道所求得之最大 垂向位移1.877mm［24］，僅相差 0.076mm(約 4 %)。確認本研究所提之序列性 移動荷重模擬方式之合理性。

4.4 軌枕埋入式軌道動力歷時分析

本節將運用前述之移動荷重模擬方法，並以 SAP2000 進行數值分析計 算，以探討軌枕埋入式軌道受單一及序列性等速移動荷重作用下之動態反應。 首先依據3.2.1 節之基本假設條件，並參考台鐵現行軌枕埋入式軌道系統 結構配置，如圖 2.11 及圖 2.12 所示，分別建立隧道段及橋梁段軌道系統 SAP2000 之數值分析模型，如圖 4.15 及圖 4.16 所示。該分析模型之主要條件 說明如下： 1. 將近似無限長之鋼軌假設為有限長，並設定邊界條件為簡支。 2. 橋梁段係以單跨簡支梁進行分析，並設定橋梁跨度小於鋼軌長度，如 此較能符合實際情況。

3. 一般而言，隧道底版或仰拱之剛度甚大，因此分析時將忽略土壤反力 之影響，以簡化分析模型。 4. 考量台鐵軌枕埋入式軌道系統之軌枕間距約 60cm，及數值計算時之效 率問題，因此設定軌道元素長度為 30cm，以建立 SAP2000 有限元素 分析模型。 5. 單一移動荷重大小，係以台鐵軌道設計之列車最大軸重 18 tf 進行分析。 6. 序列性移動荷重，係模擬台鐵現行推拉式(Push-Pull)自強號列車之軸重 型式，使能符合實際情形。 7. 等速移動荷重之速度(車速)，係依據台鐵軌道設計最高速限 130 km/hr，採 37.5 m/s (135 km/hr )進行分析。 有關本節建立之軌道系統分析模型，其隧道段軌道系統各項參數整理於表 4.3，橋梁段軌道系統各項參數整理於表 4.4。以 SAP2000 模擬自強號列車行駛 時，輪軌接觸之軌道系統結點單位載重歷時(三角波函數)如圖 4.17 所示。列車 之車箱構造及軸重資料如圖4.18 所示。

4.4.1 隧道段軌道之

歷時分析

依據4.4 節建立之分析模型如圖 4.15 所示，假設系統為低阻尼比( ζ≒0 ) 情況下，並取全部模態疊加，計算隧道段軌道系統受等速移動荷重作用下之動 態反應，所求得之結果如下： (一) 系統受單一移動荷重作用之動態反應 軌道系統 L/4、L/2 (中點)、3L/4 位置之鋼軌位移及加速度歷時，分別如 圖4.19 及圖 4.20 所示。其軌枕位移及加速度歷時，分別如圖 4.21 及圖 4.22 所 示。

依據分析結果，軌道系統受單一移動荷重作用下，其L/4、L/2 (中點)、3L/4 位置之動態反應(位移及加速度)相當接近，確認本研究將近似無限長鋼軌假設 為有限長簡支梁(L=36m)之合理性，且與陳永祥等(2001)及 Ruta & Wojcicki (1999)研究認為鋼軌長度只要達 12m 以上即可充份掌握無限長軌道特性之結論 一致［10］。 (二) 系統受序列性移動荷重作用之動態反應 軌道系統 L/4、L/2 (中點)、3L/4 位置之鋼軌位移及加速度歷時，分別如 圖4.23 及圖 4.24 所示。其軌枕位移及加速度歷時，分別如圖 4.25 及圖 4.26 所 示。 本分析結果，軌道系統受序列性移動荷重作用下，其L/4、L/2 (中點)、3L/4 位置之動態反應(位移及加速度)相當接近。此亦符合單一移動荷重模擬之軌道 系統動態反應趨勢，確認序列性移動荷重模擬方式之合理性。

4.4.2 橋梁段軌道之

歷時分析

依據4.4 節建立之分析模型如圖 4.16 所示，假設系統為低阻尼比( ζ≒0 ) 情況下，並取全部模態疊加，計算單跨簡支橋軌道系統受等速移動荷重作用下 之動態反應，並利用 MATLAB 軟體針對軌道系統加速度進行快速 Fourier 轉 換，所求得之結果如下： (一) 系統受單一移動荷重作用之動態反應 軌道系統 L/4、L/2 (中點)、3L/4 位置之鋼軌位移及加速度歷時，分別如 圖4.27 及圖 4.28 所示。其軌枕位移及加速度歷時，分別如圖 4.29 及圖 4.30 所 示。其橋梁位移及加速度歷時，分別如圖4.31 及圖 4.32 所示。

(二) 系統受序列性移動荷重作用之動態反應 1. 軌道系統 L/4、L/2 (中點)、3L/4 位置之鋼軌位移及加速度歷時，分別 如圖 4.33 及圖 4.34 所示。其軌枕位移及加速度歷時，分別如圖 4.35 及圖 4.36 所示。其橋梁位移及加速度歷時，分別如圖 4.37 及圖 4.38 所示。 2. 軌道系統 L/2(中點)位置之鋼軌、軌枕及橋梁加速度 FFT 分佈圖，分別 如圖4.39、圖 4.40 及圖 4.41 所示。

4.4.3 軌道系統歷時分析結果說明

依據4.4.1 及 4.4.2 節隧道段及橋梁段軌道系統之數值計算結果，進行研判 並比較其差異性如下： 1. 橋梁段軌道系統之位移反應明顯大於隧道段軌道系統，此乃鋼軌及橋 梁互制產生之結果。 2. 橋梁段與隧道段軌道系統之鋼軌加速度反應並無顯著差別，係因鋼軌 相較於橋梁屬高頻振動，橋梁產生之低頻反應對軌道系統加速度影響 較小。 3. 依據序列性移動荷重模擬結果，鋼軌振動加速度峰值可達 10g 以上， 軌枕振動峰值約450gal，橋梁振動峰值則在 10~20gal 之間振盪。此結 果亦說明，列車行進時對旅客產生之不舒適感，主要因鋼軌振動造成。 4. 依據橋梁段軌道系統加速度 FFT 計算結果顯示，橋梁之主要振頻約 5.84Hz(1st mode)；軌枕之主振頻介於 10 Hz ~50 Hz 之間；鋼軌之振頻 則超過90Hz，最高可達 2000 Hz 以上。 5. 吾人亦將橋梁段軌道系統加速度 FFT 計算結果與隧道段進行比較，發 現兩者之振動頻率(鋼軌及軌枕)相當接近，此現象可推測不同下部基