排列組合的補救教學活動設計之研究-以「球與箱子題型」為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士楊凱琳博士. 排列組合的補救教學活動設計之研究 -以「球與箱子題型」為例. 研究生：沈宛瑩中華民國. 106 年. 6月.

(2) 致謝從構思研究題目到完成論文，前後大概花了兩年的時間。感謝這段時間許多人的支持和鼓勵，讓我能順利的完成這份研究。首先，最感謝的是願意擔任我的指導教授的曹博盛老師。在進行研究的這段時間，曹老師給我很大的空間讓我自由的選擇自己想研究的題目，並提供了許多相關資料與專業協助，讓我能夠有足夠的底氣從無到有去進行各方面的嘗試。同時，曹老師也花費許多時間理解我的研究中的每個部分的內容並給予適當的建議，真的讓我獲益良多，也讓我在設計和進行每個教學實驗的時候，都能非常開心地享受這段研究的過程。另一方面，曹老師在我碰到困難時，也給予我許多的關心與鼓勵，真的非常謝謝您！另外，也感謝楊凱琳老師與李源順老師，在百忙之中細心的審視我的論文並給出許多寶貴的意見，讓我的論文能夠更加完善。感謝一起努力奮鬥的好夥伴佑瑋和雅靜，能和你們並肩作戰，互相分享、互相支持的走到今天，實在非常開心。這段日子對我來說，不論是課業上還是生活中的點點滴滴，都是十分難得的經歷。感謝親愛的好朋友鴻逸和蘇蘇，在我遭遇到人生重大挫折的時候，一直不厭其煩地安慰我、陪伴我、幫我打氣，讓我得以平靜下來好好繼續將研究完成，真是萬分感謝！謝謝學校的同事們的各種支持和關心，特別感謝家寶幫忙協助暑期輔導的工作，讓我能心無旁騖順利修完學分。也感謝所有參與實驗的學生們，因為有你們的認真努力，整份論文最終才得以完成。最後，要感謝的是我的父母，謝謝你們能夠諒解包容我所有的固執和堅持，一直默默支持我的決定，我愛你們！謹以此論文獻給我的家人、師長及朋友們。. II.

(3) 摘要本研究目的在探討高中學生學習完成排列組合的課程內容後，在解排列組合時，會出現的錯誤類型有哪些，並針對這些學生的錯誤類型，去設計有效的補救教學活動。在本研究中，研究者選擇針對「球與箱子題型」進行補救教學教材的設計，並在補救教學課程設計完成後，以研究者所在之學校的學生為實驗樣本，進行補救教學活動。最後分析補救教學實驗中所獲得的資料，確認補救教學的實施成效。根據本研究，高中生在面對排列組合解題時，常見的錯誤類型可細分成 30 項，研究者將錯誤類型發生的原因歸納成下列四個類型：(一) 看不懂題目的要求、(二) 未具備對應的解題基模或不能選擇適當的解題基模、(三) 能選擇適當的解題基模但不能順利依照解題基模執行解題、(四) 計算錯誤。對於補救教學活動，研究者的設計方向有以下五點：(一) 減少符號的使用、(二) 使用圖示協助讀題、(三) 固定化的解題流程、(四) 根據題型分類示範解題方法、(五) 在教材中加入題目的分類圖表。補救教學活動實驗的前測與後測結果顯示，對於前測中答對率不佳的題型，後測時大部分學生皆能有顯著的進步。但若是前測答對率已達七成之題型，後測時學生的進步情形不顯著。而分析學生的解題過程，可知除了答對率，補救教學活動也確實提升了學生解題時的判斷題型的能力、使用圖示協助解題的比率和正確使用公式解題的比率。. 關鍵字(詞)：排列組合、補救教學. III.

(4) 目錄第壹章. 緒論............................................................................................................ 1 研究背景與研究動機 .................................................................. 1 研究目的與研究問題 .................................................................. 3 名詞解釋 ...................................................................................... 4. 第貳章. 文獻探討.................................................................................................... 6 高中現行的排列組合課程內容 .................................................. 6 數學解題歷程分析 .................................................................... 10 排列組合的解題分析 ................................................................ 16 認知負荷理論 ............................................................................ 20. 第參章. 研究方法.................................................................................................. 25 研究設計 .................................................................................... 25 研究對象 .................................................................................... 28 研究流程與研究步驟 ................................................................ 29 研究工具 .................................................................................... 32 研究限制 .................................................................................... 50. 第肆章. 第伍章. 研究結果之資料分析.............................................................................. 51 第一節. 自編排列組合試卷施測結果分析 ............................................ 52. 第二節. 錯誤類型調查問卷分析 ............................................................ 54. 第三節. 第一次補救教學實驗結果分析 ................................................ 59. 第四節. 第二次補救教學實驗結果分析 ................................................ 61. 結論與建議.............................................................................................. 81 結論 ............................................................................................ 81 建議 ............................................................................................ 84 IV.

(5) 參考文獻. …...................................................................................................... 86. 一、中文部分............................................................................................ 86 二、英文部分............................................................................................ 88 附錄. ….............................................................................................................. 92 附錄一現行課本中例題之「排列組合的球與箱子題型」.................... 92 附錄二自編排列組合綜合題型試卷........................................................ 96 附錄三錯誤類型問卷.............................................................................. 100 附錄四前測、後測、延後測試卷.......................................................... 101 附錄五教學活動設計教案...................................................................... 103 附錄六教學活動設計學習單 (附上課筆記&練習解答) ...................... 105 附錄七第二次補救教學課程-實驗組&控制組前測答對題數 ............. 114 附錄八第二次補救教學課程-實驗組&控制組前測結果原始資料 ..... 117 附錄九第二次補救教學課程-實驗組&控制組後測結果原始資料 ..... 120 附錄十複本信度實驗-前測&後測答對題數 ......................................... 123 附錄十一複本信度實驗-前測結果原始資料 ........................................ 125 附錄十二複本信度實驗-後測結果原始資料 ........................................ 127. V.

(6) 表目錄表 1-3-1. 排列組合的球與箱子題型範例 ................................................................ 4. 表 1-3-2. 排列組合球與箱子的分類圖表配置(表格) ............................................. 5. 表 3-4-1. 常見的解題錯誤原因分類 ...................................................................... 33. 表 3-4-2. 排列組合分組分堆問題與排列組合球與箱子題型之對照 .................. 35. 表 3-4-3. 排列組合的球與箱子題型 ...................................................................... 36. 表 3-4-4. 補救教學的解題分類圖表(第一版) ....................................................... 41. 表 3-4-5. 補救教學的解題分類圖表(第二版) ....................................................... 45. 表 3-4-6. 前測試卷的題目出處來源對照 .............................................................. 46. 表 3-4-7. 前測後測試題對應題型表 ...................................................................... 48. 表 4-2-1. 常見的排列組合錯誤類型問卷統計結果 .............................................. 54. 表 4-3-1. 前測、後測與延後測答對總題數 .......................................................... 59. 表 4-3-2. 前後測答題正確率相依樣本 T 檢定 ..................................................... 59. 表 4-4-1. 兩組的學生前測總答對題數獨立樣本 T 檢定 ..................................... 62. 表 4-4-2. 兩組的學生後測總答對題數獨立樣本 T 檢定 ..................................... 62. 表 4-4-3. 兩組的學生答對題數增量獨立樣本 T 檢定 ......................................... 62. 表 4-4-4. 實驗組的學生前後測答對題數相依樣本 T 檢定 ................................. 63. 表 4-4-5. 控制組的學生前後測答對題數相依樣本 T 檢定 ................................. 63. 表 4-4-6. 實驗組與控制組各題答題變化 .............................................................. 64. 表 4-4-7. 學生作答情形判例 .................................................................................. 68. 表 4-4-8. 實驗組前後測作答情形的改變 .............................................................. 69. VI.

(7) 圖目錄圖 1-3-1. 排列組合球與箱子的概念圖(樹狀圖) ..................................................... 5. 圖 2-1-1. 排列組合的教材地位分析。 .................................................................... 8. 圖 2-2-1. 解題策略基模大綱 .................................................................................. 12. 圖 2-2-2. 地磚問題的數學問題解題分析 .............................................................. 14. 圖 3-1-1. 第一次實驗設計模式 .............................................................................. 26. 圖 3-1-2. 第二次實驗設計模式 .............................................................................. 26. 圖 3-3-1. 研究流程圖 .............................................................................................. 29. 圖 3-4-1. 排列組合的錯誤類型問卷(節錄) ........................................................... 34. 圖 3-4-2. 固定解題流程範例 .................................................................................. 39. 圖 4-1-1. 自編試題個人答對題數統計圖 .............................................................. 52. 圖 4-1-2. 自編試題答對題數累積人數分布圖 ...................................................... 52. 圖 4-4-1. 實驗組個人於前測、後測答題正確率折線圖 ...................................... 66. 圖 4-4-2. 控制組個人於前測、後測答題正確率折線圖 ...................................... 66. 圖 4-4-3. 六類題型前後測對照圖 .......................................................................... 68. 圖 4-4-4. 實驗組第一類型題目前測答題情形統計圖 .......................................... 71. 圖 4-4-5. 實驗組第一類型題目後測答題情形統計圖 .......................................... 71. 圖 4-4-6. 實驗組第二類型題目前測答題情形統計圖 .......................................... 72. 圖 4-4-7. 實驗組第二類型題目後測答題情形統計圖 .......................................... 72. 圖 4-4-8. 實驗組第三類型題目前測答題情形統計圖 .......................................... 73. 圖 4-4-9. 實驗組第三類型題目後測答題情形統計圖 .......................................... 73. 圖 4-4-10. 實驗組第四類型題目前測答題情形統計圖 .......................................... 74. 圖 4-4-11. 實驗組第四類型題目後測答題情形統計圖 .......................................... 74. 圖 4-4-12. 實驗組第五類型題目前測答題情形統計圖 .......................................... 75 VII.

(8) 圖 4-4-13. 實驗組第五類型題目後測答題情形統計圖 .......................................... 75. 圖 4-4-14. 實驗組第六類型題目前測答題情形統計圖 .......................................... 76. 圖 4-4-15. 實驗組第六類型題目後測答題情形統計圖 .......................................... 76. 圖 4-4-16. 實驗組前後測使用圖示題數折線圖 ...................................................... 77. 圖 4-4-17. 實驗組 21 號樣本的前後測解題過程 .................................................... 78. 圖 4-4-18. 實驗組 37 號樣本的前後測解題過程 .................................................... 79. VIII.

(9) 第壹章緒論研究背景與研究動機在研究者心目中，排列組合一直是高中數學課程中一個十分吸引人的單元。要解開一個排列組合的題目，所需求的先備能力理應不多，但當想要正確並完整的解題時，其中卻有著不少阻礙。而當研究者實際觀察學生的學習情況時，又發現一些有趣的現象。例如原本上學期數學成績不佳的學生，到了這個單元時突然突飛猛進表現超群；或是也有部分學生，原本數學成績維持在班級的中段，但在碰到排列組合的單元時，小考與段考成績就直線跌落谷底。如果問一個高中應屆畢業生，他認為高中數學課程中，最有趣的單元是什麼呢？最困難的單元又是什麼呢？在研究者的經驗中，不論前者或後者，皆有很多學生都會回答出「排列組合」這個答案。審視教師手冊中排列組合這個單元的先備知識，一共包含了「邏輯思考、分析判斷與進行基本整數的四則運算」等三大項能力。而根據 103 課綱(即 99 課綱微調)所編寫的現行版本的教材，已經比過去 95 暫綱、99 課綱的教材簡化許多。此外課綱中也明定本章節的教學要避免情境不合常理、過深、或同時涉及太多觀念的題型。故現行的教材內容，事實上已不像以前那麼困難，那為何在研究者所任教的學校中(學生程度約 pr92)，依然有許多學生出現學習成效不佳的情況呢？扣除計算速度與正確率，數學能力強的人最重要的特質是什麼?不能否認，是否具備良好的邏輯思維必然是其中一大要件。在排列組合這個單元中不用花太多心思就能表現優秀的學生，也許可以反應出他具備不錯的邏輯思維能力。但對於多數在此單元中出現成績表現較弱勢的學生來說，除了解題過程中會發生一連串的大小失敗，就算最後解出答案也會不敢肯定自己算法的正確性，這樣的情形下，排列組合對他們來說就是一個極具挑戰或是非常麻煩的單元。而研究者身為一個教師，有什麼方法能有效的幫助這樣的學生解決學習這單 1.

(10) 元時所遇到的困難呢?如果教師能順利解決學生學習中的困難，是否也能間接地增加學生的自信心呢？因此，研究者對於學生在排列組合這單元中面對問題的思考方式、學習成就不佳的原因、會遇到的解題盲點與實際解題時遭遇到的困難類型與原因以及教師如何協助學生克服這些困難等等議題有很大的興趣。對於研究者心中的這些問題，相關的理論與研究也不少。對於實際解題時所遭遇的困難，如果四則運算的計算上並沒有問題，那問題有很大的可能性是發生在計算之前的讀題和列式上就已經遇到瓶頸了。所以到底學生在排列組合中的哪種類型的題目會出現最多的困難呢？又會在哪個解題步驟會最常出現錯誤呢？面對這些疑問，研究者決定在確認容易發生的錯誤類型後，試著針對學生在解排列組合時常見的錯誤去發展出一套合適的補救教學方案。除此之外，研究者也期待若此次補救教學實驗的成效良好，未來可將內容改進後直接使用在排列組合相關內容的教學上，讓學生能達到更有效的學習。. 2.

(11) 研究目的與研究問題研究目的：本研究的內容為先確認學生在解排列組合之錯誤類型、錯誤原因後，再針對「排列組合的球與箱子題型」設計補救教學活動。其中，補救教學的設計理念以改善學生在解題上發生的困難為目標。研究對象為「排列組合的球與箱子題型」上遇到解題困難的學生；在研究者設計完課程並實際進行教學後，觀察學生的解題狀況的改變確認補救教學的實際成效。並根據此研究目的，本研究的具體研究問題如下。. 研究問題： 1.. 以自編排列組合試卷及錯誤類型問卷進行施測，讓學生提供自己在解排列組合題目時會出現的主要錯誤類型有哪些？. 2.. 根據這些錯誤類型，補救教材的設計原則為何？. 3.. 經過補救教學活動之後，學生在「排列組合的球與箱子題型」的解題正確率上是否有顯著變化？. 4.. 經過補救教學活動之後，學生在「排列組合的球與箱子題型」的解題表現上有哪些變化？. 3.

(12) 名詞解釋一、排列組合的球與箱子題型所謂「排列組合的球與箱子題型」，在本研究中指的是能將題目敘述的文字改寫成「將 x 個相同(/不同)的球放入 y 個相同(/不同)的箱子，每個箱子內的球的數量任意(/至少一顆球/至多一顆球/其他額外條件)，有幾種放法？」這種敘述的排列組合題目，基本的題型範例如表 1-3-1。. 表 1-3-1. 排列組合的球與箱子題型範例基本的排列組合球與箱子題型. (1) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法？ (2) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法？ (3) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法？ (4) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法？. 此外，在本研究中，此類題目的解題形式大多為「一般組合、重複組合(包含分物類型)、重複排列、排列組合的綜合題型(分組、分堆、給人)」等類型，而較少出現「完全相異物排列、不盡相異物排列、單純組合數的計算」等類型的題目。. 二、六大類題型的分類圖表在本研究中，以「相同球、相異球、可重複球」與「相同箱子、相異箱子」配出六大類的題型，並以概念圖的設計理念，精簡後繪製成表格方式呈現，如圖 1-3-1 與表 1-3-2。. 4.

(13) 公式. 箱子相同. 列舉. 箱子不同. ....... 球相同. 箱子相同排列組合的球與箱子題型. 球不同箱子不同. 箱子相同球可重複箱子不同. 圖 1-3-1. 排列組合球與箱子的概念圖(樹狀圖). 表 1-3-2. 排列組合球與箱子的分類圖表配置(表格) 箱子相同. 箱子不同. 球相同. 第一類. 第二類. 球不同. 第三類. 第四類. 球可重複. 第五類. 第六類. 另外，分類圖表的內容和呈現方式在本實驗中有持續進行調整修正，而最終定案的分類圖表內容請見表 3-4-5，在此部分研究者不再針對分類圖表內容的細節進行額外說明。. 5.

(14) 第貳章文獻探討根據研究的目的，研究者先整理目前使用的排列組合教材內容與排列組合教學相關的文獻，並參考數學解題相關的研究來進行討論，最後再針對一般學生的常見排列組合解題錯誤行為與文獻中的教學建議，去進行分析整理。. 高中現行的排列組合課程內容一、103 課綱所規定的教學內容現行的高中數學適用的課綱為 103 課綱(即 99 課綱修正)。根據修正普通高級中學課程綱要，普通高級中學必修科目「數學」課程分為數學 I(函數)、II(有限數學)、III(平面座標與向量)、IV(線性代數)，各四學分。排列組合的單元編排於高一下學期(數學 II)的第二章節，包含「邏輯、集合與計數原理」、「排列與組合」、「二項式定理」三個子題。課綱指出，「排列組合」的定位為處理生活中常見的計數問題，並作為學習古典機率的準備。課綱建議排列與組合的教學內容，應避免太多刁鑽的題目，以免降低學習效率。學生應只需掌握下列概念的基本題型即可(教育部, 2013)： 1. 邏輯、集合與計數原理 1.1 簡單的邏輯概念：介紹「或」、「且」、「否定」及笛摩根定律。 1.2 集合的定義、集合的表示法與操作聯集、交集、補集、差集、乘積集合與文氏圖。 1.3 基本計數原理(含窮舉法，樹狀圖、一一對應原理) 2. 排列與組合 2.1 直線排列、重複排列 (一) 直線排列： 6.

(15) 1.. n 個相異物件的排列數為階乘數 n!。 (球與箱子模式：把編號是 1 到 n 的球，放入編號是 1 到 n 的箱子裡，每個箱子恰放一個球，放法總數為階乘數 n!。). 2.. 從 n 個元素的集合中，每次取出 k 個相異元素做排列，則總數為排 𝑛!. 列數𝑃𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!。 (球與箱子模式：把編號是 1 到 k 的球，放入編號是 1 到 n 的箱子裡，每個箱子最多放一個球，放法總數為排列數𝑃𝑘𝑛 。) (二) 重複排列：從 n 個元素的集合中，每次取出 k 個元素做排列，允許重複取出同樣的元素，則總數為𝑛𝑘 。 (球與箱子模式：把編號是 1 到 k 的球，放入編號是 1 到 n 的箱子裡，每個箱子裡的球數沒有限制，放法總數為𝑛𝑘 。) 2.2 組合、重複組合 (一) 組合：從 n 個元素的集合中每次取出 k 個相異元素，不同取法的總數是組 𝑛!. 合數𝐶𝑘𝑛 = 𝑘!(𝑛−𝑘)!。 (球與箱子模式：把 k 個沒有編號且不可分辨差異的球，放入編號是 1 到 n 的箱子裡，每個箱子最多放一個球，放法總數為組合數𝐶𝑘𝑛。) (二) 重複組合：從 n 個元素的集合中每次取出 k 個元素，允許重複取出同樣的元素，則不同取法的總數為重複組合數𝐶𝑘𝑛+𝑘−1 。 (球與箱子模式：把 k 個沒有編號且不可分辨差異的球，放入編號是 1 到 n 的箱子裡，每個箱子裡的球數沒有限制，放法總數為重複組合數𝐶𝑘𝑛+𝑘−1 。) 7.

(16) 3. 二項式定理 3.1 以組合概念導出二項式定理、巴斯卡三角形在課本編排上，排列組合單元的內容的教學順序與以上排序相同。而由上述內容可以看出，此類基本的排列組合題型，皆可轉換成球與箱子模式。已習教材. 本章教材. 未習教材. 集合的基本概念. 一一對應原理. 代數基本運算. 加法與乘法原理. 樹狀圖直線排列. 代數基本運算. 重複排列. 機率統計. 組合. 重複組合. 二項式定理圖 2-1-1. 排列組合的教材地位分析。. 資料來源：高中數學第二冊教師手冊。龍騰版。. 要讓學生能確實掌握基本題，就必須讓學生練習辨識題目的條件。排列組合以及計數的問題，最基本的公式通常並不複雜，學生學習的困難常在於無法把文字敘述的題目，適當地「翻譯」與「對應」到該用的公式。學習翻譯與對應的同時，也應該強調分辨「計數對象是什麼」的重要性，也就是要分清楚「什麼跟什 8.

(17) 麼是不同的物件」。這種將語文轉化為數學的題材，應在教材中詳細闡述，同時教師於課堂上也需按部就班引導學生，並讓學生多做閱讀練習，以建立學生在此方面的轉化能力(教育部, 2013)。研究者認為，若學生能順利的處理「原題目敘述」與「球與箱子模式的敘述」之間的轉換，是否就能減少解題上的困難？而仔細研究這類轉換，可以發現有些轉換很直觀，也有些題目的轉換對學生來說並沒有那麼容易，而有些簡單題目也並沒有必要去進行轉換。例如「現在要在 5 個自願者中，選 3 人出公差，有幾種選法？」這種對學生來說直接能得出答案的題目，並不需要去將題目改寫成「現在有 5 個不同的球要放入 3 個相同的箱子，若每箱恰放 1 球，球不必放完，則有幾種放法?」。但在題目敘述相近以致學生難以辨清題目條件的題型，或是改變部分題目條件的題組題型中，先將題目改寫成「球與箱子模式」的敘述再進行解題，的確有助學生將解題方式精確聚焦於題目條件上。有辨識題型需求的題目在實際教學上多不多呢？研究者將各課本例題中，適合先轉換成「球與箱子模式」，再進行計算的題型整理列出於附錄一。而這些題目中確實有一部分是學生經常出現錯誤的題目，故研究者最終決定以「球與箱子模式」的題型為本研究的研究內容的重點。. 9.

(18) 數學解題歷程分析一、Polya (1945)的數學解題歷程要談數學的解題歷程時，就不能忽略 “How to Solve It. (Polya, 1945)” 一書。在此書中將解題過程分成「瞭解問題、擬定計劃、實行計劃、回顧」四步驟的「解決問題」的過程，並詳細描述每個階段涵蓋的內容及案例。此四步驟內容如下： (一) 瞭解問題：確認題目要求的目標、題目給的條件是否充分、數據、未知數為何? (二) 擬定計劃：擬定一個求解的計畫、找出已知和未知數之間的關係、是否需要某些輔助去進行解題? (三) 實行計劃：實行你的解題計畫，並檢驗每個步驟。 (四) 回顧：驗證得到的答案。要解決一個數學的問題，從一開始閱讀題目、分析、嘗試解題到完成並確認答案正確，就是一個符合此系列步驟的過程。值得一提的，此四個步驟不一定是單向連續的過程，實際解題時常在到達某步驟後遇到困難，再回到前一個步驟檢視自己的解題狀態，直到順利解題完成才結束。對於學生實際解題時所遭遇的困難，也許在暸解問題時的「確認題目要求目標」就已經遇到瓶頸了，也可能是在擬定計畫時「無法建立解題的計畫」上，或可能是在執行解題計畫並列式完畢後，在四則運算的執行上出現問題等等。故研究者之後將在本研究根據此四個階段去進行排列組合解題的錯誤類型與原因的分析。. 二、Schoenfeld (1985)的數學解題歷程 Schoenfeld (1985)分析了數學解題的研究方向需要考慮四個變項：資源 (resources)、啟發術(heuristics)、控制(control)及信念系統(belief system)。資源指 10.

(19) 的是解題者擁有與解題相關的數學知識，這些數學知識包含了數學事實、數學定義、運算程序及相關技巧等訊息。啟發術是指啟發術策略(heuristics strategies)，例如簡化問題、畫表格、尋找組型、猜測等等。即使解題者具有豐富的解題資源，若缺乏適當的解題策略時，在解題的過程中，亦常會有不知如何著手的困擾。也就是說，就算學生已具備所需的排列組合的數學知識，但若無法產出適當的解題策略，也無法順利解題。控制的主要任務即是規劃、監控與調整整個解題歷程的活動，以使解題活動獲得最後正確的解答。Schoenfeld (1985)認為控制是很重要的，當解題者進行解題時，在選擇目標、決定適當的計畫、有效的運用資源、監控解題歷程與評估解題結果等，常常皆由控制因素所主導。信念系統(belief system)是指解題者對於數學的看法，當解題者對數學的看法與態度不同，也會影響解題者的解題情形。 Schoenfeld (1985)更進一步用控制的觀點將解題歷程分成「讀題(reading)、分析(analysis)、探索(exploration)、計畫(planning)、執行(implementation)、驗證 (verification)」等六個階段。而在分析、計畫及探索三個階段間也並不是線性的進行，解題時會持續在這三個階段間打轉，直到解題者能架構出完整的解題計畫為止，詳細的解題歷程請見圖 2-2-1。. 11.

(20) 給定問題. 分析瞭解問題的陳述簡化問題重組問題. 更有用的相關問題或新訊息. 有用的型式引用公式原則與技巧設計解題計劃建立解題的論點問題層次的分解整體到局部. 探索. 小困難. 基本上一樣的題目稍微修改的題目大幅修改的題目主要困難. 基模上的解答執行計劃一步一步的執行計劃局部的驗證暫時的解答驗證特殊的檢定一般的檢定. 圖 2-2-1. 驗證最後的答案. 解題策略基模大綱. 資料來源：“Mathematical problem solving”. Schoenfeld, A. H., 1985, p. 110.. 三、Mayer (1992)的數學解題歷程 Mayer (1992) 將數學解題歷程分成問題表徵(problem representation)、問題解決(problem solution)兩個步驟，每個步驟又包含兩個子步驟，分述如下： (一). 問題表徵(problem representation)：將文字或圖案轉換成心理表徵 1.. 轉譯(translation) 12.

(21) 將每一個句子或主要的詞句轉變成內在心理表徵。問題轉譯時需要具備良好的語言知識和語意知識。此步驟必須要將外在文字形式表示的題目，利用感官從感覺記憶一一抽取解題所需的條件轉成內在表徵並儲存在短期記憶中。因此題目的敘述方式與條件的複雜度，便會影響問題轉譯的過程。在解排列組合的題目時，若題目敘述方式彼此間的差異不大，要解題者將題目給的文字表徵轉換成心理表徵，有時是不太容易的。整合 (integration). 2.. 問題整合要求學生將問題的敘述組合成連貫的表徵，為了整合問題的訊息，需要具有基模知識，以區分問題的類型。此部分即為解題者要將數個題目給的條件組織出適合的架構，並分辨此題目為數種排列組合題型的哪種類別。 (二) 問題解決 (problem solution)：問題的心理表徵進行到最後答案的過程計畫與監控 (planning &monitoring). 1.. 計畫與監控需要具有如何解決問題的策略知識。當解題者知道問題是什麼類別時，根據整合的資訊擬出適當的解題計畫，此時需要策略知識的協助。執行 (execution). 2.. 需要以程序性知識，來正確且有效的應用算則，以執行計畫工作。正確的將列式計算出正確的答案。. Mayer (1992)同時指出，在解題歷程中，每個步驟所需的知識並不相同：問題表徵時，轉譯的過程需涉及語言和語意知識；而在整合的過程，則有賴於基模知識的運用；問題解決時，解答計畫與監控和策略知識有關；而解答的執行則和程序知識有關。 13.

(22) 圖 2-2-2 為 Mayer (1992)以地磚問題分析數學問題解題的例子。該地磚問題的題目敘述如下：「地磚是每邊 30 公分的正方形，如果每個地磚賣$0.72，則一間長 7.2 公尺、寬 5.4 公尺的長方形房子總共需要花費多少錢？」。階段. 知識種類. 地磚問題的例子. 問題陳述. 問題表徵. 一間寬 5.4 公尺、長 7.2 公尺的長方形房子。. 語言知識 (liguistic). 一公尺等於一百公分這是一個面積問題，所以面積等於長×寬. 轉譯. 語義知識 (semantic). 整合. 基模知識 (schematic). 問題解決計畫與監控執行. 策略知識 (strategic) 程序性知識 (procedural). 7.2×5.4=38.88 0.3×0.3=0.09 38.88/0.09=432 432×$0.72=$311.04. 答案. 圖 2-2-2. 首先算出房間面積 7.2× 5.4。第二步算出每塊地磚的面積 0.3×0.3。第三步用面積的除法計算所需地磚的數目。第四步，一塊地磚$0.72，用乘法算出所需的花費。. 地磚問題的數學問題解題分析. 資料來源： “Thinking, problem solving, cognition”. Mayer,R.E., 1992. p. 459.. 藉由圖 2-2-2，我們可以看出在解一個數學應用題時，所需具備的條件與知識有哪些，而在每部分分別進行了怎樣的操作與步驟。若由此簡單的解題架構，去觀察排列組合的應用題的解題流程，可以發現兩者間其實有很多部分有非常類似的情況。又以課程常出現的排列組合題目來看，大部分學生在語言和語義知識都已經足夠，而程序性知識的四則運算通常學習者也已經具備。所以排列組合題 14.

(23) 目解題的重點在於基模知識和策略知識的掌握。對於不同類別的題目，是否能使用適當的基模，並順利完成完整的解題策略，會直接影響學習者的解題能否成功。. 15.

(24) 排列組合的解題分析. 一、排列組合常見的錯誤原因無法辨別題目類型而誤用不適當的排列組合公式去進行解題，對學生來說是常見的錯誤原因。郭政良(2014)分析學生解題失敗的常見的可能原因可能有「對問題的想法有誤、混淆排列和組合的使用時機誤用導致解題失敗……」等。王筱惠(2010)認為學生在學習完樹狀圖、加法原理與乘法原理後，會誤用公式來處理「有相同物的排列」與「組合」問題。溫志偉(2011)在實際教學上也遇到當教學內容越來越難時，學生會有跟不上或者跟前面題型搞混的情形發生。謝佩真(2004) 發現，對於重複排列、重覆組合以及排列與組合的綜合問題等，因為學生的概念常會有所混淆，或者對於題意或文字敘述詮釋錯誤，導致學生不知如何下手解題或者解題方向錯誤。這說明了學生在解相似或複雜的題型時不易掌握關鍵字與題目的關係。在解排列組合的問題時，如果學生無法辨別題目的類型，便會將題目給的數字隨意代入某些較熟悉的公式進行解題。對於類似數學結構的題目，學生在解題時仍可能對應到不同的數學模式。林世偉(2011)從學生的錯誤的輸出表徵中發現，學生在解題時會傾向將所有數值放入輸出的數學模式，對於不確定答案的題目，學生會集中選擇 n k 、 Ckn 和 Pkn ，並且每種錯誤表徵皆有一定的輸出比例。根據 Polya (1945)的解題歷程階段，研究者將這些文獻中學生解排列組合問題常見的主要錯誤原因做了以下整理： (一) 瞭解問題： 1.. 由於學習者對不同題目類型間的辨別力不足，在題幹敘述相似度過高時，會無法分辨的題目之間的差異。. 2.. 由於學習者不夠細心，在讀題時會缺漏了題目部分的條件。. 16.

(25) (二) 擬定計劃： 1.. 由於學習者沒信心自己能成功解題或由於其他考量，對於未見過之題目直接放棄。. 2.. 由於學習者對題目類型的辨別力不足而無法辨別題目的類型，使用不合適(錯誤)的方法(或公式)來解題。. 3.. 由於學習者不夠細心或是公式解法掌握的不夠熟練，解題時沒有注意到所有條件或為了能順利解題而自行創造額外的條件。. (三) 實行計劃： 1.. 由於學習者不夠細心或是分類討論不熟練，造成解題時的分類討論不完全或在反向計算時在扣除時不完全。. 2.. 由於學習者未熟練公式𝑃𝑘𝑛 、𝐶𝑘𝑛 、𝐻𝑘𝑛 的定義，造成列式錯誤、列式後無法計算或計算錯誤。. 3.. 由於學習者不夠細心單純而計算錯誤。. (四) 回顧： 1.. 由於學習者不能完全掌握題目類型與該類型的適當解題方式，故對自己的列式正確與否沒有信心，無法進行適當的檢驗確認列式與計算出的答案是否正確。. 二、針對排列組合的教學建議圖示與符號在排列組合的解題上有著很強大的輔助地位。White (1984)在研究中指出，兒童在處理組合問題的表現上，對於資訊量高的題目比起資訊量低的題目，處理表現較差。實驗顯示出可能的原因是較複雜題目的信息量超過短期記憶容量可負擔的範圍。如果降低短期記憶區同時需要操弄的資訊量，像是提供兒童可視的代號協助解題，將會比直接在短期記憶中操作解題有更好的表現，但符 17.

(26) 號本身不能太過複雜。王筱惠(2011)則認為排列組合在教學設計上，應以學生直觀、自然的方法引入公式和符號。涂金堂與林佳蓉(2000)提出使用圖形符號能成功協助學生讀題與解題的例子。郭政良(2014)在研究國中資優生排列組合的解題歷程時提出「畫圖表徵」是學生的解題策略之一，建議在排列組合教學時應善用畫圖表徵幫助學習。根據這些研究結果，研究者認為若能利用具體且有代表性的簡單圖形符號去協助解題，應該夠降低學生解排列組合的綜合題型的短期記憶的負荷。在進行教學後，學生是否具備排列組合解題基模也是解題成功的關鍵之一，如果學生並沒有學習完成所有必備的基模知識，必然無法順利進行解題。而若學生已具備基模知識，再讓學生將讀題時所操作的圖示與解題時使用的基模產生連結，也就更容易能順利解題。溫志偉(2011)建議排列組合補救教學設計可以加入概念構圖的教學幫助學生學習。李政豐(1991)認為，一般課課本較偏向於教學目標縱向的研究，忽略了橫向的發展(例如:重複排列與重複組合之關係、分堆與重複組合之關係)，因而學生在綜合性試題的解題中，不能順利的解題。謝佩真(2004) 建議教師在學校教學時，應注意每個單元的題型的橫向的發展，如重覆組合與重覆排列，避免造成學生只是背題型，而非真的了解兩者之間差異的情形。故研究者認為，若能整合圖示與解題基模知識，成為一個客觀展示各不同題型間的解題基模知識的關係概念圖時，應能讓學生在解題時更順利的提取題型所對應的基模知識。另外，要達到成功的解題，教師在教學中應積極地去避免學生發生公式誤用的情形。Batanero (1997)指出教學後學生會出現對於順序上和重複與否上的錯誤以及對公式和樹狀圖的誤用情形。王筱惠(2010)的研究發現，在單一概念時對照起始例的教學有助於連結學生排列與組合的概念的分類與區辨。郭政良(2014)提出教師在教學上可以使用正面和反面兩種算法解題，並多舉例讓學生練習辨識排列或組合的使用時機。林世偉(2011)的研究結果顯示，學生在轉譯排列組合問題 18.

(27) 的過程中，擷取題目的數學材料時會受「關鍵字」和「練習過的題型」的影響，也會受排列組合問題外在情境影響。對中程度學校的學生，解排列組合問題需要先藉由列舉的模式觀察物件的關係和連結，才能進行成功的解題。所以要如何在教學中引入「利用圖示協助讀題」並將之與題型所對應的「排列組合的解題基模知識」順利產生連結，這就是本研究將要進行的研究目標之一。研究者統整上述文獻中的建議後，認為可以參酌的教學設計理念有以下幾點： (1) 利用圖示確認題目的條件與物件間的交互關係，並減少讀題時的負荷。(2) 由教師提供分類圖表，分類圖表中須包含題目類型、適用公式、例題與題型之間的差異比較。(3) 利用分類圖表協助讀題完成後的題型分類，並依照分類圖表的指示使用正確方式(公式或解題策略)進行解題，穩定解題時的步驟和流程。. 19.

(28) 認知負荷理論為何排列組合的題目對於學習者來說是如此的困難，認知負荷理論亦提供了一個很好的解釋。認知負荷理論是以認知架構為基礎的教學理論，Sweller (2011) 根據理論衍生出一些教學上很有說服力的教學事件與範例。在本研究中，研究者也依據此理論進行教學活動設計。以下是認知負荷理論的內容與教學啟示。. 一、長期記憶與基模長期記憶(long-term memory)是一個十分龐大、有組織的資訊庫，而我們平常所做的任何思考或行為，都倚賴長期記憶中所儲存的知識。而長期記憶中的知識差異性可能是造成新手和專家之間的差別的原因。以下棋為例，老手會利用累積在長期記憶中的大量棋局去選擇適合的棋步，而新手卻只能藉由解決問題的搜索去執行(De Groot＆Gobet, 1996)。故我們可以推測，問題解決能力的提升，應該直接來自相關知識的增加，而不是因為獲得了解決未定問題的策略。當我們進行更高層次的認知活動(如解決問題和思考)時，也必須依靠於長期記憶中的資訊內容。甚至我們還可以宣稱，如果一個人學習過後的長期記憶沒有任何變化，那就等同於他並沒有學習到任何東西。而知識是以什麼方式儲存在長期記憶中的?基模理論提供了一個很好的解釋 (Piaget, 1982)。元素(element)為學習者所必須學習的知識單位，而基模可以被定義為人類吸收知識的一種認知結構，它允許我們根據使用多個元素的方式將資訊的多個元素當成為單一元素(Chi, Glaser, ＆Rees, 1982)。長期記憶中保存無數數量的基模，這些基模決定了處理資訊的方式。我們看到和聽到的並不僅僅是通過影響我們感官的信息，而很大程度上是由儲存在長期記憶中的基模所決定 (Bartlett, 1932)。實際上，基模提供了一個允許我們輕鬆解決問題的模板。問題解決的基模讓我們能解決難以解決的問題。但相同的過程有時也有不可避免的負 20.

(29) 面後果。當問題看起來像是屬於一個特定類別的問題，但實際上並不是的時候，我們可能會嘗試使用不適當的基模來解決問題。當一個問題似乎與特定的基模相關，但實際上並不相關，而使用錯誤的基模提供的解題方式時，可能反而會使簡單的問題難以解決。(Luchins, 1942; Sweller, 1980 ; Sweller＆Gee, 1978)。因此，儲存在長期記憶中的基模對我們來說是很重要的，但有時候也會妨礙我們看到其實很明顯的答案。如果將排列組合中每種類型的解題方法(排列、重複排列、一般組合、重複組合)當成不同的解題基模，顯而易見的，對於排列組合的題目的解題，學生常常沒有使用正確的基模去解決問題，也因此造成可能原來很簡單的題目很難解決。. 二、內在認知負荷與外在認知負荷認知負荷是指個體從事特定工作時，加諸於個體認知系統的一種負荷。一般說來，認知負荷的來源有二，一為所學習教材本身的性質，一為教學活動所造成的額外負擔。前者稱為內在認知負荷(intrinsic cognitive load)，後者稱為外在認知負荷(extraneous cognitive load)。內在認知負荷的來源主要是學習教材內容中的互動性。如果學習教材的一個元素不需要與其他元素進行連結就可以單獨學習時，則元素互動性較低(low element interactivity)。此時由於工作記憶區只需處理單獨的元素，所以其內在認知負荷也會較低。而如果所學習的教材中，元素皆無法單獨學習，必須藉由與其他元素的互動，才能獲得有意義的學習成果時，則會產生較高的元素互動性。此時，由於認知系統必須同時處理數個元素，所以將導致較高的內在認知負荷。外在認知負荷又被稱為無效認知負荷(ineffective cognitive load)，主要是因為資訊的呈現方式或學習者必須參與的活動所產生的。在許多情況下，用於呈現材料的教學設計可能會增加認知負擔，而這種認知負擔是不必要的、無關於學習目 21.

(30) 標的。也就是說，學習者會耗費認知資源從事「無助基模的建構」的學習活動。外在認知負荷是因為不適當的教學活動設計所導致，而學習者的常因外在認知負荷而降低其學習成效。內在和外在的認知負荷共同確定了需要學習的材料所施加的總認知負荷。學習者必須在工作記憶(working memory)中處理教學資訊。如果處理內在和外在認知負荷所需的資源超過工作記憶可用的資源，則認知系統的資訊處理必然會失敗 (或至少有一部分會失敗)。相較於長期記憶，工作記憶的資源是很有限的。所以如何降低總認知負荷量以求不超過工作記憶的負荷，即為認知負荷理論在教學應用上的重點(Sweller, 1996)。. 三、認知負荷理論在教學中意義對於學習者來說，內在認知負荷的來源是必須處理的信息所固有的(Sweller, 1994)，完全由元素交互性的程度來決定。元素交互性可以用來定義“理解” (Marcus, Cooper, ＆Sweller, 1996)。當所有元素的交互作用都可以在工作記憶中被處理時，資訊被完全理解。當元素的交互作用沒有在工作記憶中適當的處理時，就會發現無法理解。低元素交互性的資訊易於理解，因為它可以在工作記憶中輕鬆適當地處理。對於一個數學方程式，如果無法在工作記憶中處理所有的原始數字、符號和它們之間的關係，學生就可能無法理解要如何解決這個問題。在某種意義上，內在的認知負荷是不能改變的，因為它是特定教材內在本身的性質。如果學習任務不變和學習者的知識水平保持不變，內在的認知負荷也將保持不變。但內在認知負荷可以通過改變學習任務的性質而改變或改變所學知識的本質來增加或減少。例如，教學時利用將教材分段的手法，或是教學時刻意忽視元素間的關聯性，使得每個元素的處理好像與其他元素沒有關係，即可以減少元素互動性和內在認知負荷。而在排列組合題目中，每個元素之間的交互性並不算低，所以學生可能無法 22.

(31) 順利的在工作記憶中一次處理所有題目出現的數字和物件間的關係性，因而造成解題失敗。對於元素互動性超高而導致幾乎完全不可能學習的知識，先背起來也可能是一個不可避免的過度方法(Pollock, Chandler, ＆Sweller, 2002)。硬背教學時將不再教導元素之間的相互作用關係，而是將整組所有元素和其中的互動性，當成一個新的元素去學習，此時學習者不再在意元素間的互動性，內在認知負荷也會因此而降低了。不過對於大多數知識，充分理解元素之間相互作用的關係可能是非常重要的，所以對於排列組合中那些元素交互性較高的題目，考慮製造一些樣板讓學生能直接套用，也是一種教學手段。但也必須注意此樣板使用時是否在相互作用的理解上，能有正面的影響，而不單單只是讓學生代公式去解題就好了。另一方面，教學設計的另一個重要目標是減少外在認知負荷，使更大比例的工作記憶資源可用於與學習密切相關的問題，而不是無關學習的活動上。如果內在的認知負荷很高，外在認知負荷的高低就會變得更為重要，因為可能會超過可用的工作記憶資源的負荷量導致資訊處理失敗。故教學設計上應盡可能減少外在認知負荷，從而減少用於外在無關問題的工作記憶資源，讓工作記憶資源可以轉而專門用於處理與學習過程密切相關的內在認知負荷而不再需要處理外在認知負荷。所以在教學設計上，應該避免會造成額外負擔的不必要的活動。對於常常一題內就有太多零碎條件導致超過負荷的排列組合題型，利用圖示將零碎的條件整合成一個條件，也就是將圖示當成一個新的元素去處理計算，應該可以確實降低認知負荷。而先前提出的分類圖表的想法是否能降低學生解題時工作記憶區的負荷量？經過思考，研究者認為這應該是可行的。如果使用分類圖表時，能直接對照分類圖表上的資訊去辨別題型，並直接使用該題型需要的解題策略去進行解題的運算，就不會出現學生必須在工作記憶區同時處理並比較不同題型的解題基模何者適用的狀況，從而大幅減低工作記憶的負擔。唯一的缺點是，如果分類圖表使用不當，可能讓學生出現硬記公式的情況，所以教師在教學時， 23.

(32) 除了直接教學如何利用分類圖表上的內容去進行解題以外，對於整張分類圖表每個部份間的交互關係、對比、相關性的討論，也必須非常重視。而教學設計的最終目標為，在學生熟練使用分類圖表解題之後，可以將整張分類圖表的內容，以有組織性的方式儲存至長期記憶中，這樣才能說學生真正成功的掌握了解題技能。. 24.

(33) 第參章研究方法本章共分成五節，第一節為「研究設計」，第二節為「研究對象」，第三節為「研究流程與研究步驟」，第四節為「研究工具」，第五節為「研究限制」。. 研究設計本研究設計主要分成研究準備、研究發展與研究執行期三階段。在研究準備期主要工作為收集、整理並驗證解排列組合常見的錯誤類型，其中包含文獻整理、自編試卷測驗及錯誤類型問卷填寫；研究發展期主要工作是發展研究所需的各項工具，如補救教學教案與測驗試題；研究執行期主要工作為進行補救教學實驗、分析實驗結果並撰寫研究論文。在研究準備期，研究者根據文獻資料，建立數學解題過程適用的學習理論、收集常見的錯誤類型。並利用自編測驗去驗證解排列組合題目時，可能發生的錯誤類型與產生的原因。研究者將蒐集的錯誤類型歸納整理成 30 項錯誤解題表現的細目，並依此細目編製成問卷(附錄一)。實際引導學生填寫問卷完成後，根據問卷結果，找出這批學生相對較常發生的錯誤類型及原因為何，並根據數學解題過程所適用的學習理論，提出有效的教學策略。另外，本研究並不針對每一單項的錯誤類型去設計補救教學，目標是泛用形式的教學策略，希望以最少的教學內容改善最大的學習成效。研究發展期是根據這些教學策略去構思可行的補救教學設計，並發展相應的測驗工具。包含前後測試卷的編制，以及教學活動教案、學習單等的設計。研究執行期是實際進行補救教學活動，並於教學活動完成後，依據學生在前測、後測與延後測的答題正確率以及錯誤類型發生率之變化，利用統計工具分析教學活動成效。. 25.

(34) 本研究之研究方法，對於第一次補救教學實驗，採單組前後測設計(one-group pretest-posttest)，以補救教學活動為實驗操弄項目，以學生於前測與後測的答題表現與答對率作為實驗觀察之結果。實驗設計的模式為如圖 3-1-1 所示，其中 O1 為實驗操弄前的前測，X 為補救教學活動實驗，O2 為實驗操弄後之後測，O3 為實驗操弄後之延後測。. O1 → X → O2 → O3 圖 3-1-1. 第一次實驗設計模式. 資料分析方式包含： 1. 前測、後測答對題數的改變，使用成對樣本 T 檢定，*p=0.05 2. 前測、延後測答對題數的改變，使用成對樣本 T 檢定，*p=0.05 3. 後測、延後測答對題數的改變，使用成對樣本 T 檢定，*p=0.05. 由於第一次補救教學的樣本數偏少，且經過實驗後發現教案有部分可以再改進，故研究者決定再進行第二次補救實驗。第二次實驗採前後測控制組設計 (pretest-posttest)，以補救教學活動為實驗操弄項目，以實驗組與控制組兩組學生於前後測的答題表現與答對率作為實驗觀察之結果。. 實驗組 O1 → X → O2 控制組 O1 → C → O2 圖 3-1-2. 第二次實驗設計模式. 資料分析包含實驗組與控制組的全部答題數分析、各題答題結果分析，觀察實驗數據是否有顯著改變。分析方式包含： 26.

(35) 1. 實驗組與控制組前後測答對題數增量改變，使用獨立樣本 T 檢定，*p=0.05 2. 實驗組前測與後測答對題數改變，使用成對樣本 T 檢定，*p=0.05 3. 控制組前測與後測答對題數改變，使用成對樣本 T 檢定，*p=0.05 4. 實驗組各題答題變化改變，使用 2x2 列連表的「McNemar test」，採雙尾檢定，*p=0.05 5. 控制組各題答題變化改變，使用 2x2 列連表的「McNemar test」，採雙尾檢定，*p=0.05 6. 實驗組的解題狀況分析，採計兩題組共 6 小題的前後測計算過程。. 27.

(36) 研究對象本研究參與的研究對象依序分成四個部分，第一部分為自編排列組合測驗的施測，第二部分為參與錯誤類型問卷資料填寫的樣本，第三部分為用來檢測前後測試卷信度之施測樣本，第四部分為兩次補救教學實驗中，實際接受補救教學課程並進行測驗之樣本。 (一) 在研究準備期，研究者藉由暑期開學考的機會，抽選了所在學校 104 學年度上學期一共 5 個班的二年級生進行自編排列組合題的測驗，得到有效樣本 164 份。 (二) 在研究準備期中，對於錯誤類型問卷資料收集的部分，研究者於任教的學校中抽選 5 班共 204 位學生，針對 104 學年度一年級下學期第二次段考的考試結果，進行排列組合解題錯誤類型問卷之填寫。 (三) 在研究發展期中，對於檢測前後測試卷的信度調查的部分，研究者於任教的學校中徵求 50 位自願的學生進行施測。 (四) 在研究執行期中，實際進行補救課程教學的部分，由於此課程是為了在排列組合之「球與箱子題型」去設計的，因此研究者在任教的學校的學生中，選出已進行過完整的排列組合的教學，但此部分問題的成績表現較不佳的學生當成研究對象。第一批實驗對象為 104 學年度一年級生共 8 人。第二批實驗對象為 105 學年度一年級生共 99 人，根據學生的個人意願，將他們分成實驗組 52 人，控制組 47 人。其中有完整參加前測與後測的樣本為有效樣本，實驗組有 50 人，控制組有 38 人。本教學實驗研究的樣本均為研究者所在的學校中，符合實驗需求並有意願參與實驗的學生，並在取得家長的同意後，從中選出符合實驗需求數量的樣本參加課程實驗。故實驗樣本並非隨機抽樣的樣本。除了第四部分的第一次實驗的 8 個樣本有事先參與過第二部分錯誤類型問卷的填寫，其餘的實驗樣本皆不重複。. 28.

(37) 研究流程與研究步驟一、本研究的研究流程如下：確定研究方向與研究前期目標 ↓ 文獻蒐集與整理與自編教材施測 ↓ 設計錯誤類型調查問卷 ↓. 第一階段. 研究準備期. 進行問卷調查並分析調查結果 ↓ 確定研究目的及研究方法 ↓ 針對學生解題過程與錯誤類型設計教學計畫 ↓ 編制前測與後測試卷 ↓. 第. 研. 二階段. 究發展期. 第三階段. 研究執行期. 進行前測與後測試卷的相關性分析實驗 ↓ 進行第一次教學實驗 1. 進行前測 2. 進行教學活動 3. 進行後測 4. 進行延後測 ↓ 分析第一次教學實驗結果 ↓ 進行第二次教學實驗 1. 進行前測 2. 進行教學活動 3. 進行後測 ↓ 分析第二次教學實驗結果 ↓ 完成研究圖 3-3-1. 研究流程圖 29.

(38) 本研究的流程說明如下： (一) 第一階段：準備階段 1.. 研究者先確定研究方向為「排列組合的補救教學」相關的內容。. 2.. 蒐集相關的文獻資料，並研究文獻中關於排列組合的解題過程與常見錯誤、數學解題過程與認知心理學、補救教學課程的實施等等內容。. 3.. 以自編測驗檢視學生的解題方式、解題特徵與錯誤類型。. 4.. 由於排列組合錯誤類型的文獻已經足夠充分，且於自編測驗的結果中得到一定程度的支持。故研究者決定直接整理文獻中出現過的錯誤表現與錯誤類型去進行錯誤類型問卷的編制。. 5.. 進行問卷施測，並根據學生的問卷回饋，分析可行的補救教學的內容與理念設計目的，並確認補救教學的課程內容範圍。. (二) 第二階段：發展階段 1.. 研究者將「相同、相異、球與箱子」形式的排列組合題目命名為「排列組合的球與箱子題型」，並決定本研究的目標在於設法透過教師的補救教學活動，去減低學生在「排列組合的球與箱子題型」中常見的解題困難。. 2.. 研究者針對課本教材(各版本中的課本例題)中所出現的「排列組合的球與箱子題型」與本實驗準備階段分析而得的資料，去構思設計補教教學的課程內容，並進行教案與教材的編寫。. 3.. 在補救教學活動設計與學習單皆編寫完成後，研究者再根據補救教學內容與各版本課本、講義例題，去編製前測試卷。. 4.. 完成前測試卷後，根據前測試卷編製後測(延後測)試卷。 30.

(39) 5.. 抽選學生樣本進行前後測試卷的相關性研究(即確認試題的複本信度)。. (三) 第三階段：實施階段 1.. 選擇第一次實驗的樣本，並於該批學生一升二的暑假進行前測 (50 分鐘)、六節課的教學活動、後測(50 分鐘)、延後測(50 分鐘)。. 2.. 分析第一次實驗的施測結果。並在檢討實驗結果後，調整教學活動內容(內容編排增減、精簡教師上課內容並增加學生課後的練習的部分)。. 3.. 在研究者任教的一年級共三個班級進行前測，並立意取樣抽選第二次實驗的樣本，根據學生個人意願分成實驗組與控制組，並於課後時間進行前測(50 分鐘)、兩節課的補救教學活動、後測(50 分鐘)。. 4.. 進行第二次補救教學實驗的施測結果分析。. 31.

(40) 研究工具在本研究的研究準備期，研究者為觀察本校之學生在排列組合部分的答題情況與程度，使用研究者自編排列組合綜合題型試卷進行施測，而在錯誤類型資料的蒐集上所採用的研究工具為研究者所設計之排列組合的錯誤類型問卷；而在研究發展期與執行期的部分，研究工具為研究者所設計之「排列組合球與箱子題型」的補救教學活動，以及前測、後測與延後測試卷。. 自編排列組合綜合題型試卷原測驗設計為 10 題一組的題組題型，測驗對象為某高中高一重補修學生共 47 人。但於測驗後進行第一次試題分析後，本試題難度對受試者來說較高，且試題題數較少，並有一些修辭敘述上的瑕疵和其他的問題，因此決定在修改題目後再次進行施測。最後定稿的測驗題目為 18 題一組的題組題型，附加一題概念圖繪製，測驗時間 50 分鐘。題目詳見附錄二。此試卷設計先依題幹敘述的相似性分組，各組內再由題目的難度排列順序，依序由簡單到困難。測驗對象為研究者所任教的高中高二學生，共 5 班 164 人，但由於非研究者自身所教學之班級，學生在測驗概念圖前並沒有接受概念圖的教學，故學生僅依試卷上的指導語去繪製概念圖。此次測驗的目的為觀察學生在排列組合的試題中，解題的概念是否正確，而非考驗學生的計算能力。故這次測驗要求試題答案只需列式並標出列式的原因和算式中數字代表含意，不需化簡或計算出精確數值。在測驗後實際批閱學生的答案時，正確的答案類型不只一種(例如同一題的答案可寫出: C1012 或. P12 12 1110  ...  3 12! 或 10 或 )，可以觀察學 10!2! 10! 10!. 生的答案表示方式不同時，解題時的內涵的思考路徑。. 32.

(41) 排列組合的錯誤類型問卷此問卷的施測目標，是為了調查學生在解排列組合題目時可能發生的錯誤類型與其發生頻率高低。故問卷設計成學生在填寫問卷時，第一步先標出答錯的題目的題號，第二步再根據自己答錯的題目，在表列的 30 項錯誤原因中選擇該題自己發生的錯誤原因，並簡述錯誤發生情形。問卷表列中的錯誤原因，為研究者整理所收集之文獻中出現過的排列組合錯誤類型，進行錯誤類型的分類與統整後，以 Mayer (1992)的數學解題歷程為架構，歸納出四大類共 30 項學生有可能的發生的錯誤類型。30 項錯誤類型分類與編號如下表所示：表 3-4-1. 常見的解題錯誤原因分類. 解題歷程所需知識問題表徵語言知識、 -轉譯語意知識. 問題表徵基模知識 -整合. 錯誤類型與編號 1 2 3 4 5 6. 完全不了解題目的意思錯誤理解題目的意思漏掉題目條件額外增加題目條件不清楚𝑃𝑘𝑛 的定義不清楚𝐶𝑘𝑛 的定義. 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. 不清楚𝐻𝑘𝑛 的定義不清楚巴斯卡定理的定義不清楚二項式定理的定義不會計算完全相異物或不盡相異物的排列數不會計算重複排列數不會計算組合數不會計算重複組合數無法辨別題目條件適用的類型不清楚什麼題目是排列題型，什麼題目是組合題型不清楚什麼題目是重複組合題型. 17 18 19 27 28. 沒有畫圖輔助導致無法整合題目條件沒有列式輔助導致無法整合題目條件用了錯的方法或公式去解題完全不知道怎麼開始算對於不會算的題目，直接使用𝐻𝑘𝑛 進行解題 33.

(42) 問題解決策略知識. 20 直接計數時發生錯誤. -計畫與監控. 21 22 23 24 25. 對於需要多步驟討論的問題，無法順利執行分類討論不完全，有所缺漏分類討論不完全，有所重複不知何時要使用逆向算法(扣除法) 不知何時要使用取捨原理協助列式. 26 使用取捨原理列式時有缺漏問題解決程序性知識 -執行. 29 四則運算的計算錯誤 30 二項展開時的計算錯誤. 此問卷的施測背景，是讓學生根據自己在第二次段考(104 學年度第二學期高一)中發生錯誤的題目，標出錯誤題號後，選出每一題答錯的錯誤類型(可複選)，並盡量寫出詳細的實際情形。完整問卷內容請參考附錄三，而學生實際填寫情形請參考圖 3-4-1。. 圖 3-4-1. 排列組合的錯誤類型問卷(節錄). 34.

(43) 「排列組合的球與箱子題型」教學活動設計研究者根據文獻探討中的認知理論基礎、其他排列組合的錯誤類型和教學建議的相關研究內容，再加上研究者自編綜合題試卷與錯誤類型問卷的施測結果，去進行補救教學課程的內容設計。本研究的補救教學設計概念為「減少符號使用」、「使用圖示協助讀題」、「固定化的解題流程」、「根據題型分類示範解題方法」與「在教材中加入題目的分類圖表」。關於此五點補救教學設計概念的採用緣由，請參閱本研究的第四章第一節與第二節。. 初步的教學活動設計. (一). 一開始，研究者先以「減少符號使用」、「使用圖示協助讀題」、「固定化解題流程」三點進行補救教學活動設計。 1.. 「球與箱子題型」與「一般題型」比較在設計教學活動前，研究者先整理了「排列組合的球與箱子題型」出. 現過的各種課本例題與習題，發現這種分組分堆的問題，除了題幹敘述雜亂，對於各類型的解法也沒有一個概觀的論述，故研究者對於這樣的情況，先嘗試以球與箱子改寫這些出現的分組分堆問題，舉例如下表。. 表 3-4-2. 排列組合分組分堆問題與排列組合球與箱子題型之對照 A. 一般問題. 1.. 將 5 個完全相同的彈珠任意分成 3 堆，每. B. 球與箱子題型 1.. 堆至少一個，則有幾種分法？ 2.. 把 4 本不同的書分給 3 個小朋友，每人所. 若每箱至少一個球，則有多少種分法? 2.. 得的數目不限，則有幾種分法？ 3.. 每碗剉冰可以任選 4 份配料，每種配料都. 將 5 個顏色不同的球放入 3 個相同箱子，. 將 4 個顏色不同的球放入 3 個相異的箱子，若每箱的球數不限，則有多少種分法?. 3.. 現在有 10 種不同顏色的球，而且每種球都. 可重複選取。如果冰店今天準備了 10 種不. 超過 4 個，若要在 4 個相同的箱子內各放. 同的配料供客人選擇，那麼一碗剉冰會有. 1 球，則有幾種放法?. 多少種不同的組合？. 35.

(44) 2.. 「球」與「箱子」兩種物件之間的判定原則 (1) 球與箱子的對應原則中，「球」是代表被拿來直接操作的物品，通常是指被分配的物體，例如球、糖果、書…等；而「箱子」是指分配的參照物，像是放置著不動的物品或位置，例如箱子、袋子、堆、組…等。此對應原則的其他特殊對應條件如下： (2) 根據題目的不同，同樣的東西在不同的題目可能屬於不同的類別。「人去搭船」，人是「球」，船是「箱子」；「將糖果給人」，糖果是「球」，人是「箱子」。 (3) 只要是人，不論是「球」或是「箱子」，皆視為相異物。 (4) 「取了要排列」視為「相異的箱子」，「取了不排列」視為「相同的箱子」；有次序性的「位置」視為「相異的箱子」，無次序性的「位置」視為「相同的箱子」(例如分堆的「堆」)；有名稱的分組的「組」視為「相異的箱子」，沒名稱的「組」視為「相同的箱子」。. 3.. 增廣的「排列組合的球與箱子題型」確認所有分組分堆問題皆能寫成「球與箱子」的敘述後，研究者將關. 於「排列組合的球與箱子題型」的可能出現題目形式推廣後列出，如下表 3-4-3：. 表 3-4-3. 排列組合的球與箱子題型排列組合球與箱子題型之推廣. (1) 將 3 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法？ (2) 將 3 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法？ (3) 將 3 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法？ (4) 將 3 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法？ (5) 將 3 顆不同的球放入 5 個不同的箱子，有幾種放法？ (6) 將 3 顆相同的球放入 5 個不同的箱子，有幾種放法？ (7) 將 3 顆不同的球放入 5 個相同的箱子，有幾種放法？ 36.

(45) (8) 將 3 顆相同的球放入 5 個相同的箱子，有幾種放法？ (9) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法？ (10) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法？ (11) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法？ (12) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法？ (13) 將 3 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，每箱恰 1 顆球，有幾種放法？ (14) 將 3 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，每箱恰 1 顆球，有幾種放法？ (15) 將 3 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，每箱恰 1 顆球，有幾種放法？ (16) 將 3 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，每箱恰 1 顆球，有幾種放法？ (17) 將 3 顆不同的球放入 5 個不同的箱子，每箱至多 1 顆球，有幾種放法？ (18) 將 3 顆相同的球放入 5 個不同的箱子，每箱至多 1 顆球，有幾種放法？ (19) 將 3 顆不同的球放入 5 個相同的箱子，每箱至多 1 顆球，有幾種放法？ (20) 將 3 顆相同的球放入 5 個相同的箱子，每箱至多 1 顆球，有幾種放法？ (21) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，每箱至少 1 顆球，有幾種放法？ (22) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，每箱至少 1 顆球，有幾種放法？ (23) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，每箱至少 1 顆球，有幾種放法？ (24) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，每箱至少 1 顆球，有幾種放法？ (25) 將 3 種不同的球(每種都超過 5 顆)放入 5 個不同的箱子，每箱恰 1 球，有幾種放法？. (26) 將 3 種不同的球(每種都超過 5 顆)放入 5 個相同的箱子，每箱恰 1 球，有幾種放法？. 4.. 固定解題流程設計本研究的補救教學活動設計重點就是在以上這種題組題型在題幹敘. 述如此接近的情況下，要如何減低學生在讀題時的認知負荷以及能夠成功進行讀題。最終研究者提出以「讀題→繪出該題的圖示→標出額外條件」的固定解題流程為手段，再使用圖示進行解題操作，解題流程如下圖 3-4-2。. 37.

(46) 1. 根據題意畫出球 (ex.5 球) a. i. ii.. b. d. e. 若球是相異的=>可以分辨=>下一步若球是相同的=>不能分辨 =>根據箱子的數目畫出相同球可能的鄰居關係來幫助分辨球 (EX .5 球 3 盒) *要按順序數，且不能重複. 2. 根據題意畫出箱子 (ex. 3 盒) A i. ii.. c. B. C. 若箱子是相異的=>可分辨=>下一步若箱子是相同的=>不可分辨 =>根據球的數目畫出箱子裡可能的球數來幫助分辨箱子 (EX .5 球 3 盒). *要按順序數，且不能重複. 3. 根據題意畫出補充要求(若無則跳過) (ex. 5 球 3 盒，每箱至少一球) *要按順序數，且不能重複. 38.

(47) 4. 根據 1.2.3 的畫圖結果，將球放入箱子 (ex. 5 球 3 盒，每箱至少一球，異球異箱). A. B. C. 3!. 𝐶35 × 𝐶12 × 𝐶11. × 2!. 𝐶25 × 𝐶23 × 𝐶11. × 2!. 3!. 5. 根據 4 的結果，分類計算出所有可能的放法數圖 3-4-2. 5.. 固定解題流程範例. 教學限制與優點檢討研究者在試算所有題型後發現，此種方式雖然能夠完成所有題目的詳. 細流程，但依然有一些缺點。在與教授與同事討論便檢討過程後，認為此解題方式的限制有以下幾點： (1) 此方法適用於數字小的所有題型，但數字較大的時候會有計數、計算量過於龐大的問題。 (2) 每個條件分開處理完再整合，會造成計算不夠簡潔，耗費許多不必要的時間去列舉與畫圖。 39.

(48) (3) 對於重複組合的題目，雖能用列舉的慢慢算出來。卻無法明顯的連結𝐶𝑘𝑛+𝑘−1 的重複組合公式(例如第 2、6、10 等題)。 (4) 學生必須具備「不盡相異物的直線排列」與「分組分堆」的概念，才能在條件分析完畢後，順利整合列舉出的內容，並寫出算式。. 另一方面，此種計算方式亦有許多優點： (1) 在學生不知從何開始分析時，提供一個標準流程給學生當成解題參考。 (2) 以圖示協助文字表徵的理解題意，對學生解題來說能有具體的操作物件。 (3) 對於數字不大的分組分堆題型，皆可在詳細列舉後得到答案。 (4) 在每個條件的閱讀分析時，一次僅讀取 1~2 個單一條件做分析，降低在多個條件時認知負荷負擔太大的可能性。 (5) 對每個條件都各自進行分析，能清楚分辨相似題幹間的條件的異同性。 (6) 所有條件依序分析後再做整合，較不容易漏掉題目中的條件。. 根據以上優點及缺點分析，研究者在與專家教授討論後，決定以此利用圖示的列式計算方式為基礎，再加入「根據題型分類示範解題方法」與「在教材中加入題目的分類圖表」兩項，繼續進行補救教學活動設計的修改。. 40.

(49) 補救教學課程設計-第一版. (二). 除了先前初步的教學活動設計」的概念，研究者再加入「根據題型分類示範解題方法」與「在教材中加入題目的分類圖表」兩項，繼續進行補救教學活動設計的修改。教學設計理念中的分類圖表，為依據「球」與「箱子」的性質，製成的表格式分類圖。其中將球與箱子題型分成 6 類，再根據這 6 類題目的不同特性，詳細列舉出各類的計算方式與公式，如下表 3-4-4。. 表 3-4-4 I.. 補救教學的解題分類圖表(第一版). ball 類型-相同，box 類型-相同. II.. ball 類型-相異，box 類型-相同. a. b. c. d. ●1. 無特殊條件：. ●1. 無特殊條件：. A. 直接數：. A. 直接數後分配：. 利用 ball 的數目，由大到小數出 box 中可能. a. 由(I-1A)的數法開始，數完後再分配 ball. 的 ball 數組，也就是直接數每箱各有幾顆. b. 根據題目給定每 box 的 ball 數量去分配 ball. 球的可能數。 III.. ball 類型-相同，box 類型-相異. IV. ball 類型-相異，box 類型-相異. a A. B. C. b. A. c B. ●1. 無特殊條件：. ●1. 無特殊條件：. A. 重複組合：. A. 重複排列：. 利用 A+B+…=ball 數，列出重複組合數. 種類= box數. C kk  ( n 1). ●2. 有特殊條件：. ●2. 有特殊條件：. A. 直接數後分配：. A. 重複組合(同上). a. 由(I-1A)的數法開始，. d C. ball數. 數完後先分配 ball (先 II-1A)，再分配給. B. 直接數後分配： 41.

(50) a. 由(I-1A)的數法開始，數完再分配給 box. box b. 由(I-1A)的數法開始，. b. 根據題目給定每 box 的 ball 數量去分配. 數完先分配給 box (先 III-2B)，再分配 ball. 給 box. c. 根據題目給定每 box 的 ball 數量去分配. C. 扣除法：. box 和 ball. 若(I-1A)的數法分類太多，則進行不可行的. B. 扣除法：. 分配方式的列舉，之後再分配給 box。最後. 若(I-1A)的數法分類太多，則進行不可行的. 用無特殊條件的全部數(II-1A)扣掉不可行. 分配方式的列舉，之後先分配 ball，再分配. 的數目。. 給 box。最後用無特殊條件的全部數(IV-1A) 扣掉不可行的數目。. V.. ball 類型-可多次，box 類型-相同，每. VI. ball 類型-可多次，box 類型-相異，每. box 恰 1 個 ball. a. b. box 恰 1 個 ball. c. d. a. b. A. c. B. d. C. ●1. 無特殊條件：. ●1. 無特殊條件 (每個 box 可以選擇任意種. A. 重複組合：. 類的 ball) ：. 利用 a+b+…=box 數，列出重複組合數. A. 重複排列：. C. k  ( n 1) k. 種類= ball數. box數. ●2. 有特殊條件：. ●2. 有特殊條件：. A. 重複組合(同上). A. 直接數後分配：. B. 直接數：. 先數每種 ball 各用幾次，再分配給 box. 數每種 ball 各用幾次，也就是數每種球各. B. 扣除法：. 用幾顆. 若(VI-2A)的數法分類太多，則進行不可行的. C. 扣除法：. ball 出現次數的列舉，再分配給 box。最後. 若(V-2B)的數法分類太多，則進行不可行的. 用無特殊條件的全部數(IV-1A)扣掉不可行. 分配方式的列舉，用無特殊條件的全部數. 的數目。. (V-1A)扣掉不可行的數目。. 表中的「直接數」是指「數出每個箱子中可配給多少球的可能組數」。例如將 5 顆球分給 3 個箱子，可以配出(5, 0, 0)、(4, 1, 0)、(3, 2, 0)、(3, 1, 1)、(2, 2, 1) 五種可能的配給方法，故進行直接數的動作後，可得出結果有 5 組。. 42.