18
多項式函數的微積分
18.1
微分
割線PQ 的斜率 ∆y ∆x 之變化: 當Q點沿著曲線 Γ漸漸趨近P 點, 如果割線 PQ也漸漸趨近一個極 限位置的直線 l, 則l 為曲線 Γ 在 P 點的切線, 此時 P 點為切點, 極限值 lim ∆x→0 ∆y ∆x 為此切線 的斜率。(割線斜率的極限就是切線斜率) −11.0 −10.0 −9.0 −8.0 −7.0 −6.0 −5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 0 Finding the Secant Line of a Functionm =f (x0+h)−f (x0) h =f (2+1)−f (2) 1 =1−4 1 = 3
Looks a bit different but it is still just
m =∆x∆y
(Average Rate of Change)
This slope gives you the average rate of change for the function between points P
P(x0, f(x0)) Q(x0+ h, f (x0+ h)) h= ∆x = 1 1 3 平均變化率與瞬時變化率: 函數 y = f (x) 在兩點x1, x2 間的平均變化率為 ∆y ∆x = f (x2) − f(x1) x2− x1 , 若函數 f (x) 在 x = a附近為連續, 其極限值 lim x→a f (x) − f(a) x − a 必存在, 稱為函數 f 在 x = a 的瞬時變化率。 導數Derivative 的定義: 函數的瞬時變化率。 在x = a點的導數= lim h→0 f (a + h) − f(a) h 或x→alim f (x) − f(a) x − a 設 f : D → R 是一實函數 f (x) , 若極限值 lim x→a f (x) − f(a) x − a 存在, 則該極限值稱為 f (x) 在 x = a的導數值,以 f′(a)表示。 稱函數 f (x) 在 x = a點可微分。 在 x = a點的導數也可以用極限值 lim h→0 f (a + h) − f(a) h 或x→alim f (x) − f(a) x − a 表示之。 (注意:lim h→0 f (a + 2h) − f(a + h) h 存在, 並不意謂 f (x) 在x = a 一定可微分) x f HxL 1 f 'Hx0L x f 'HxL
圖
1: 函數 f (x) 的切線與切線斜率值 f′(x)切線的斜率: 對函數 y = f (x) 圖形上一點 P (c, f (c)) , 若極限 lim x→c f (x) − f(c) x − c 存在, 且等於 m , 則函數 f (x) 通過點P 的切線斜率為 m , 此時切線方程式為 y − f(c) = m(x − c) -6 -4 -2 2 4 6 x -80 -60 -40 -20 20 40 y f HxL = -x3 + x2+ 12 x - 3 x0 -6 -4 -2 2 4 6 x -100 -50 50 100 y f HxL = x3 - x2- 25 x + 35
圖
2: 函數 f (x) 的割線與切線 導數值與切線斜率: 若 f (x) 在 x = c 處可微分, 通過圖形 y = f (x) 上一點 P (c, f (c))之切線斜率 為 f′(c) 切線方程式為 y = f′(c)(x − c) + f(c) 法線方程式為 y = −1 f′(c)(x − c) + f(c) 函數在 x = a 可微分的充要條件: lim h→0+ f (a + h) − f(a) h = limh→0− f (a + h) − f(a) h = f′(a) 亦即 f′(a) = lim x→a f (x) − f(a) x − a = limh→0 f (a + h) − f(a) h 導數的一些觀念釐清: 1. lim h→0 f (a + h) − f(a − h) 2h 存在是 f′(a)存在的必要非充分條件。 2. f (x) = |x| x2 , limh→0 f (0 + h) − f(0 − h) 2h = 0 但f′(0) 不存在。 3. 若f (x) 在 x = a 處可微分, 則f (x) 在x = a 處為連續 4. 若f (x) 在 x = a 處為連續, 未必f (x) 在x = a 處可微分 5. f (x) = |x| , 在x = 0 為連續, 但不可微分 x= a沒有極限值 圖A: x= a有極限值但不連續 圖B: x= a連續但不可微分 (左右瞬時變化率不相等) 圖C: x= a連續、 可微分 圖D: 點 x = a在 A 圖中沒有極限值,在 B 圖有極限值但不連續, 在C 圖中有極限值且連續但不可 微分, 在 D 圖中為可微分。 函數 f (x) 的導函數 f′(x) : 當f (x)在(a, b) 區間內的每一個點x ∈ (a, b) , 其導數值均存在,成為 一個新的函數對應關係 g(x),稱 f′(x) = g(x) 為 f (x) 在(a, b) 區間上的導函數 。 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第2頁/共80頁]設 f : D → R 是一實函數, 若 x 在定義域 的每一點均可微分, 則稱函數f (x) 為可微分函數, f′(x) = lim h→0 f (x + h) − f(x) h x ∈ (a, b) 導函數符號: 函數 y = f (x)的導函數有以下表示符號: f′(x) , y′ , dy dx , df dx , d dxf (x) ,Dxy n 階導函數: f′(x) 是f (x) 的導函數, 稱為一階導函數。 f′′(x) 是f′(x) 的導函數, 稱為二階導函數。 fn(x) 是fn−1(x) 的導函數, 稱為 n 階導函數。 多項式函數的導函數: 1. 若 f (x) = c 為常數函數, 則f′(x) = 0 2. 若f (x) = mx + k 為一次函數, 則 f′(x) = m 3. f (x) = cxn ,則導函數為 f′(x) = ncxn−1 4. ddx[f (x)]n= n[f (x)]n−1f′(x) 5. 實係數多項式函數 f (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2+ a1x + a0 為可微分函數, 且 其導函數為 f′(x) = na nxn−1+ (n − 1)an−1xn−2+ · · · + 2a2x + a1 微分的運算性質: 若函數 f (x), g(x) 在x = a 處均可微分, 則
1. u(x) = f (x) + g(x) 亦在 x = a可微分, 且導數值 u′(a) = f′(a) + g′(a)
2. v(x) = f (x) − g(x) 亦在 x = a 可微分, 且導數值 v′(a) = f′(a) − g′(a)
3. 若g(x) = cf (x), c 為一常數, 則導數值 g′(a) = cf′(a)
4. 若 u(x) = f (x)g(x) 則 u(x) = f (x)g(x) 亦在 x = a 可微分, 且 u′(a) = f′(a)g(a) +
f (a)g′(a) 5. 若g(x) = 1 f (x), f (x) 6= 0 , 則g(x) = 1 f (x) 亦在 x = a 可微分, 且g ′(a) = − f ′(a) [f (a)]2 6. 若u(x) = f (x) g(x), g(x) 6= 0 , 則在 x = a 亦可微分, 且u ′(a) = f
′(a)g(a) − f(a)g′(a)
[g(a)]2
7. 函數 u(x) = [f (x)]n 亦在 x = a 可微分, 且u′(a) = n[f (a)]n−1· f′(a)
8. 若f (x) 恆正,則 g(x) = pk f (x) 亦在 x = a 可微分,且 g′(a) = 1 k[f (a)] 1 k−1f′(a) 若函數 f (x), g(x) 均為可微分函數, 則 1. u(x) = f (x) + g(x) 亦為可微分函數, 且 u′(x) = f′(x) + g′(x) 2. v(x) = f (x) − g(x) 亦可微分函數, 且 v′(x) = f′(x) − g′(x)
3. 若g(x) = cf (x), c 為一常數, 則導函數 g′(x) = cf′(x) 4. 若u(x) = f (x)g(x) 則 u(x)亦為可微分函數, 且u′(x) = f′(x)g(x) + f (x)g′(x) 5. 若g(x) = 1 f (x), f (x) 6= 0 , 則g ′(x) = − f ′(x) [f (x)]2 6. 若f (x), g(x) 為可微分函數 ( g(x) 6= 0 ), 則 u(x) = f (x) g(x) 亦為可微分函數,且 u′(x) = f ′(x)g(x) − f(x)g′(x) [g(x)]2 7. 函數 u(x) = [f (x)]n, n ∈ N 亦為可微分函數, 且 u′(x) = n[f (x)]n−1· f′(x) 8. 若f (x) 恆正,則 g(x) = pk f (x) 亦為可微分函數, 且g′(x) = 1 k[f (x)] 1 k−1f′(x) 9. 若y = f (u), u = g(x) ,且u在x ∈ D均可微分, f (u)在任意u可微分,則 d dxf (g(x)) = f′(g(x)) · g′(x) 鏈鎖定則: 若y = f (g(x)) 則 dy dx = dy dg · dg dx *L’Hospital定理:若f (x), g(x)在x = a點可微,但lim x→a f (x) g(x) 為不定型;則x→alim f (x) g(x) = limx→a f′(x) g′(x) *泰勒展開式: f (x) = c0+ c1x + c2x2+ · · · + cnxn = f (a) + f′(a)(x − a) + f ′′(a) 2! (x − a) 2+f3(a) 3! (x − a) 3 + · · · + f n(a) n! (x − a) n 試估計 √3 999 的值? f (x) = x13, f (999) ≈ f(1000) + f′(1000)(999 − 1000) = 10 − 1 300 多項式函數的導函數公式: f (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2 + a1x + a0 則 導函數 f′(x) = na nxn−1+ (n − 1)an−1xn−2+ (n − 2)an−2xn−3+ · · · + 3a3x2+ 2a2x1 + a1
例題
範例 1: 求函數 f (x) = 2x2− 5x 在x = 2 的導數? f ′(2) = 3 演練 1a : 求函數 f (x) = x2 在x = c 的導數? f ′(c) = 2c 演練 1b : 求函數 f (x) = x2− 4x + 2 在 x = a點的導數? f ′(a) = 2a − 4 演練 1c : 求函數 f (x) = x3+ 2x 在 x = 1 的導數? f ′(1) = 5 演練 1d : 求函數 f (x) =√x 在x = 1 的導數? f ′(1) = 1 2 範例 2: 討論函數 f (x) = |2x|在哪些點不可微分? x = 0, f′(0) 不存在, 不可微分 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第4頁/共80頁]演練 2a : 函數 f (x) = |x − 2| 在x = 2 為連續, 求在 x = 2 的導數? x = 2, lim x→2 f(x)−f(2) x−2 不存在 演練 2b : 函數f (x) = x2+ 1 , x < 2 4x − 3 , x ≥ 2 在x = 2 為連續,求在x = 2的導數? 4 演練 2c : 函數f (x) = ax + b , x < 2 √ 2x , x ≥ 2 在x = 2的導數值存在,求實數a, b的值? a = 1 2, b = 1 演練 2d : 函數 f (x) = x13 在 x = 0 時, 是否可微分? lim h→0 f(0+h)−f(0) h 不存在 演練 2e : 利用導數的極限定義, 求下列極限值對應到哪一函數在 x = a 點的導數值? 並進一步求其 值? 1. lim ∆x→0 [5 − 3(1 + ∆x)] − [5 − 3 × 1] ∆x =? f (x) = 5 − 3x, f′(1) = −3 2. lim ∆x→0 (−2 + ∆x)3+ 8 ∆x =? f (x) = x3, f′(−2) = 12 3. lim x→6 −x2 + 36 x − 6 =? f (x) = −x2, f′(6) = −12 4. lim x→9 2√x − 6 x − 9 =? f (x) = 2√x, f′(9) = 1 3 範例 3: 設函數 f (x) = x2+ x 的圖形為 Γ , 求通過 Γ 外一點 Q(1, 1)且與 Γ相切的直線方程式? 及切點坐標? (解:)切點 P (0, 0), L1: y = x 或 切於P (2, 6), L2 : 5x − y = 4 演練 3a : 求過函數 f (x) = x3− x圖形上點 P (2, 6)的切線方程式? y = 11x − 16 演練 3b : 求過函數 f (x) = x 2 4 圖形上點P (1, 1 4) 的切線方程式? y = 12x −14 演練 3c : 一石頭從高度為490公尺懸崖掉下,t 秒後的高度是 s(t) = 490 − 4.9t2 ,求 t 從0到10的平 均速度及 t = 10的速度? −49m/s; −98m/s 演練 3d : 在96呎高的屋頂, 以 80f t/sec 的速度往上投擲一球, 直到此球落地, 則此球在投擲 t 秒後 的高度 (呎)可以用函數 s(t) = −16t2+ 80t + 96表示之。 i. 求此球從投出經幾秒後會落地 (即此球在空中的時間)? 6 ii. 求此球投擲過程中幾秒後高度恰為屋頂高度? 5 iii. 求此球投擲過程中, t = 0秒到 t = 2 的平均速度? 48 ft/sec iv. 求此球投擲過程中, t = c 秒時的瞬時速度? −16(2c − 5)4 ft/sec v. 求此球投擲過程中, t = 2秒時的瞬時速度? 16 ft/sec
vi. 求此球投擲過程中, 第幾秒時的瞬時速度為零? 2.5 vii. 求此球投擲過程中, 掉落至屋頂高度時的瞬時速度為何? t = 5, −80 ft/sec viii. 求此球投擲過程中, 掉落至地面時的瞬時速度為何? t = 6, −112 ft/sec 演練 3e : 求平行直線3x − y + 1 = 0 與函數 f (x) = x3 相切的切線方程式? 3x − y − 2 = 0 演練 3f : 過函數y = f (x)曲線上一點(2, 5)的切線亦經過點(0, 9),求f (2),及f′(2)值? f (2) = 5, f ′(2) = −2 演練 3g : 求函數 y = f (x) = x4− 8x2+ 2 的水平切線? (解:)f′(x) = 4x3 − 16x, 水平切線的切點發生在 f′(x) = 0 , 即 x = 0, ±2 三點 , 切線 y − f(c) = f′(c)(x − c); c = 0, ±2 演練 3h : 函數 a,b,c,d的部份圖形, 如圖, 則其對應的導函數圖形分別為下列哪一圖形? 範例 4: 計算函數 f (x) = x3(x2+ 5) 的導函數 f′(x)? (解:)f′(x) = (x5 + 5x3)′ = 5x4 + 15x2 演練 4a : 求下列多項式函數 f (x) 的導函數? 1. 求 f (x) = 2x + 6 的導函數? f ′(x) = 2 2. 求f (x) = −3x2 + 2x + 9的導函數? f ′(x) = −6x + 2 3. 求f (x) = x3− 2x2+ 5x − 6 的導函數? f ′(x) = 3x2− 4x + 5 4. 求f (x) = 2x3− 7x2+ 6x − 21 的導函數? f ′(x) = 6x2− 14x + 6 5. 求f (x) = (x2+ 3)(2x − 7) 的導函數? f ′(x) = 6x2− 14x + 6 演練 4b : 求下列多項式函數 f (x) 的導函數? 1. 求 f (x) = x2− 4x − 2 的導函數? 2x − 4 2. 求f (x) = (x + 4)2 的導函數? 2x + 8 3. 求f (x) = (x + 4)3 的導函數? 3(x + 4) 2 演練 4c : 求函數 f (x) = (3x − 2x2)(5 + 4x) 的導函數 f′(x)? −24x 2+ 4x + 15 範例 5: 求函數 f (x) = (x3− x2+ 2x − 5)5 的導函數? 5(x3− x2+ 2x − 5)4(3x2− 2x + 2) 演練 5a : 求f (x) = (3x − 4)3 的導函數? f ′(x) = 9(3x − 4)2 演練 5b : 求f (x) = 3(5 − x)2 的導函數? f ′(x) = −6(5 − x) ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第6頁/共80頁]
演練 5c : 求f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)2 在x = 1 的導數? f ′(1) = −4 範例 6: 求f (x) = 1 − x 2 + x 的導函數? −3 (2+x)2 求f (x) = (1 − x 2 + x) 2 的導函數? 2( 1−x 2+x)((2+x)−32) 求函數 f (x) = x2− x + 1 x2+ x + 1 的導函數? 2x2− 2 (x2+ x + 1)2 演練 6a : 求下列多項式函數 f (x) 的導函數? 1. 求 f (x) = x4(x + 2) 的導函數? x 3(5x + 8) 2. 求 f (x) = 2x 2− 5x − 3 x − 3 的導函數? 2x2 −12x+12 (x−3)2 3. 求f (x) = 5x − 2 x2 + 1 的導函數? −5x2+4x+5 (x2+1)2 演練 6b : 求f (x) = x x2+ x 的導函數? −1 (x+1)2 演練 6c : 求f (x) = 3 − ( 1 x) x + 5 的導函數? −3x2+2x+5 (x2+5x)2 演練 6d : 求函數 f (x) = 3 − ( 1 x) x + 5 在點 (−1, 1)的切線方程式? y = 1 演練 6e : 已知函數 f (x), g(x) 的部份圖形, 若 u(x) = f (x)g(x), v(x) = f (x) g(x) , 求導數 u ′(1), v′(5) 值? x 1 y 1 0 f g u′(1) = 0, v′(5) = −2 3 演練 6f : 函數 f (x), g(x)已知 f (3) = 4, f′(3) = −6 及g(3) = 2, g′(3) = 5 , 求 1. 導數值(f + g)′(3) =? -1 2. 導數值(f g)′(3) =? 8 3. 導數值(f g) ′(3) =? -8 4. 導數值( f f − g) ′(3) =? 32 範例 7: 求函數 f (x) = x3− x 的一階導函數f′(x) ? 二階導函數 f ”(x) ?
(解:)f′(x) = 3x2 − 1, f′′(x) = 6x f · fª f 1.5 _2 2 _1.5 求函數 f (x) = x4− 2x3+ x + 1 的三階導函數 f′”(x) ? f ” ′(x) = 24x − 12 演練 7a : 求函數 f (x) = 2x2− x3 的一階導函數 f′(x) ? 二階導函數 f ”(x) ? 三階導函數 f ”′(x) ? 四階導函數f(4)(x)? (解:)f′ = 4x − 3x2, f ” = 4 − 6x, f”′ = −6, f4 = 0 演練 7b : 求函數 f (x) = x x − 1 的二階導函數f ′′(x) ? f ′′(x) = 2x−2 (x−1)4 演練 7c : 若已知一階導函數 f′(x) = x2 , 求二階導函數 f′′(x) 2x 演練 7d : 求函數 f (x) = x|x| 的導函數 f′(x) ? 二階導數值 f ”(1), f ”(0)是否存在? (解:)f′(x) = 2x , x ≥ 0 −2x , x < 0 = 2|x| ; f”(x) = 2 , x ≥ 0 −2 , x < 0 ;f ”(1) = 2, f ”(0) 不存在 演練 7e : 下列 a,b,c 圖形為函數f, f′, f′′ 的圖形, 請找出其關係? x y a b c f = a, f′ = b, f′′= c 範例 8: 將多項式f (x) = x4−3x2+ x + 7表成c 0+ c1(x −1)+c2(x −1)2+ c3(x −1)3+ c4(x −1)4 的形式, 其中 c0, c1, c2, c3, c4 為常數? f (x) = 6 − (x − 1) + 3(x − 1)2+ 4(x − 1)3+ (x − 1)4 演練 8a : 若函數 f (x) = ax2 + bx + c 過點 (2, 7) 的切線斜率為10, 且函數與 x 軸的其中一交點坐 標為 (1, 0),求此函數? f (x) = 3x 2− 2x − 1 演練 8b : 令P (t)表美國在時間 t (年)1992 ∼ 2000年的人口數,請依表格資料, 估計P′(1996)約多 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第8頁/共80頁]
少並解釋之? t 1992 255,002,000 1994 260,292,000 1996 265,253,000 1998 270,002,000 2000 274,634,000 P t! t 1992 2,562,750 1994 2,480,500 1998 2,374,500 2000 2,345,250 Pt ! P1996 t ! 1996 (解:)P′(1996) = lim t→1996 P (t) − P (1996) t − 1996 應介於2.48, 2.37之間,取其平均 ≈ 2.4 ,在1996 年 人口該年變化率為增加 2.4 百萬人/年 演練 8c : 求函數 f (x) =√x2+ x + 1 的導函數? 2x+1 2√x2+x+1 演練 8d : 求平行直線L : 3x + y = 1與函數f (x) = 1 − x 2 + x 圖形相切的切線方程式? (參考7頁例題) (解:)切點 P (−1, 2);y = −3x − 1 。 切點 Q(−3, −4),y = −3x − 13 習題II:2-1 微分 1. 求函數 y = f (x) = x2− 4x + 1 的切線斜率變化函數? 並求在x = 0, x = 3 時的切線斜率? 2. 在拋物線y = 3x2− 2x + 5 上找一點 P , 使通過點 P 之切線的斜率為10 3. 求通過曲線 y = 1x 上點P (1, 1) 的切線方程式? 4. 求平行直線 3x − y + 1 = 0 與函數f (x) = x3+ 2 相切的切線方程式? 5. 過函數 y = f (x) 曲線上一點 (−1, 4)的切線亦經過點 (3, 6), 求f (−1), 及 f′(−1) 值? 6. 求下列多項式函數 f (x) 的導函數? (a) 求f (x) = (6x + 5)(x3− 2) 的導函數? (b) 求f (x) = x x2+ 1 的導函數? (c) 求f (x) = x 2− 4 x − 3 的導函數? 7. 驗證: 函數 f (x) = 3x x + 2 與f (x) = 5x + 4 x + 2 的導函數相同, 並說明其關係? 8. 下列極限值對應到哪一函數在x = a 點的導數值? 並進一步求其值? (a) lim h→0 (1 + h)2− 1 h =? f (x) = x2, f′(1) = 2 (b) lim h→0 (2 + h)2− 4 h =? f (x) = x2, f′(2) = 4
(c) lim h→0 (3 + h)3− 27 h =? f (x) = x3, f′(3) = 27 (d) lim h→0 √ 9 + h − 3 h =? f (x) =√x, f′(9) = 1 6 9. 函數 f (x) = x23 在x = 0 時, 是否可微分? 10. 有一物從高為25呎處自由落下, 經過 t 秒後的高度為 S(t) = −16t2+ 25 ; 問當 t = 12 時, 該 自由落體的速度? 11. 設 y = f (x) = 2x3+ 3x2− 12x + 1之圖形為 Γ,試求 Γ 的水平切線及所對應的切點坐標? 12. 已知函數 y = f (x) 的部分圖形如下: 試比較下列各數值的大小? f′(−1), f′(0), f′(1), f′(2) −1 1 2 3 −4 −2 2 4 13. 某城市在 2016年7月1日的溫度變化如表: 令 T (t) 表在午夜過後時間 t (小時) 的溫度, 請依 表格資料, 估計T′(6) 約多少並解釋之? t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 23 26 29 32 33 33 32 32 14. 函數 f (x) = |x − 1|, 分別在 x = 0, x = 1, x = 2 處是否有導數, 若有其導數值為多少? 15. 設 f (x) = x4 − 2x3− x2+ 5x + 3 , 試求 f′(x)及f′(1) ? 16. 求 f (x) = (x3− x + 1)(2x2− x + 1) 的導函數 17. 求 f (x) = (3x − 1 x2+ 3) 2 的導函數 18. 求下列函數的導函數? (a) f (x) = 3(4 − x2)5 (b) f (x) = x2(x − 2)4 (c) f (x) = x(3x − 9)3 (d) f (x) = 1 x2 + 3x − 1 (e) f (x) = 1 (x − 3)2 (f) f (x) = (x + 5 x2+ 2) 2 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第10頁/共80頁]
19. 若函數 f (x) = (x − 1)10(2x − 5)30, 求f′(2) =? 20. 求 f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) (x − 4) , 在x = 1 的導數值 f′(1) =? 21. 若函數 f (x) 在x = a 的導數 f′(a) = 4 , 求 lim h→0 f (a + 3h) − f(a − 2h) h 的值? 22. 多項式函數g(x), h(x) 已知 g(5) = −3, g′(5) = 6及h(5) = 3, h′(5) = −25 ,若f (x) 為下列 函數, 求 f′(5) 值為何? (a) f (x) = g(x) + h(x) (b) f (x) = g(x)h(x) (c) f (x) = g(x) h(x) (d) f (x) = [g(x)]3 23. 已知 P (1, 3) 為函數 f (x) = −x3 + 4x 圖形上一點, 且直線L為函數 f (x) 以P點為切點的切 線, 求直線L 與f (x) 圖形的所有交點坐標? 24. 一質點 P 在直線上運動, 其位移S 公尺與時間 t秒的關係式為 S(t) = t3− t2+ 1 , 求 (a) 質點 P 在t = 2 至t = 4 之間的平均速度? (b) 質點 P 在t = 2 之間的瞬時速度? 及加速度? (c) 質點 P 在出發後幾秒的瞬時速度為最小? 25. 跳水選水從32呎高的平台跳水, 在跳離平台 t 秒後的高度 (呎) 可以用函數 h(t) = −16t2 + 16t + 32 表示之。 (a) 求此選手經幾秒後會落入水池 (即此人在空中的時間)? (b) 求此選手跳入水面時的瞬時速度? 26. 求曲線 xy + x − y = 0 在點P (2, −2) 的切線方程式? 27. 下列 a,b,c 圖形為函數 f, f′, f′′ 的圖形, 請找出其關係? −1 1 2 3 −2 2 4 c b a 28. 設P (x) 為一三次多項式, 且滿足P (−1) = 2, P′(−1) = 4, P′′(−1) = 6, P′′′(−1) = −12 , 求 P (1) 的值?
29. 設 y =√3 1 + x2 , 求y′ 30. 設 f (x) 為可微分函數, 且已知f (2) = 3, f′(2) = 5及 f′(3) = 7 , 回答下列問題: (a) 求[f (x)]2 在 x = 2 的導數值? (b) 求f (f (x)) 在x = 2 的導數值? (c) 求 x f (x) 在x = 2 的導數值? (d) 求g(x) = x7− 8x2 + 35x − 40在x = 0 的切線方程式? 31. 函數 f (x) = ax3 , x < 2 x2 + b , x ≥ 2 的導數每一點均存在, 求實數 a, b的值? 32. 函數 f (x), g(x) 已知 f (5) = 1, f′(5) = 6 及g(5) = −3, g′(5) = 2 ,求 (a) 導數值 (f g)′(5) =? (b) 導數值 (f g) ′(5) =? (c) 導數值 (g f) ′(5) =? 33. 已知函數 f (x), g(x) 為高次多項式函數,判斷下列式子是否恆真? (a) f g” − f”g = (fg′− f′g)′ (b) f g” + f ”g = (f g)”
習題
II:2-1
1. m = f′(x) = 2x − 4, f′(0) = −4, f′(3) = 2 2. P (2, 13) 3. y = −x + 2 4. 3x − y = 0 5. f (−1) = 4, f′(−1) = 1 2 6a. 24x3+ 15x2− 12 6b. −x2+1 (x2+1)2 6c. x2 −6x+4 (x−3)2 7. f′ = g′ = 6 (x+2)2; 兩函數為 平移關係,不會改變變化率 9. 不可微分 10. −16 呎/秒 11. P (1, −6), L1 : y = −6 或 P (−2, 21), L2 : y = 21 12. f′(1) < f′(0) = f′(2) < f′(−1) 13. T′(t)表在t時溫度的變化 率,T′(6) 約為 1◦/h 14. f′(0) = −1, f′(1)不存 在,f′(2) = 1 15. f′(x) = 4x3− 6x2− 2x + 5, f′(1) = 1 16. f′(x) = 10x4−4x3−3x2+ 6x − 2 17. f′(x) = 2(3x−1)(−3x2+2x+9) (x2+3)3 18a. f′(x) = −30x(4 − x2)4 18b. f′(x) = 2x(x−2)3(3x− 2) 18c. f′(x) = 27(x − 3)2(4x − 3) 18d. f′(x) = −(2x+3) (x2 +3x−1)2 18e. f′(x) = −2 (x−3)3 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第12頁/共80頁]18f. f′(x) = 2(x+5)(2−10x−x2) (x2+2)3 19. −50 20. 83 21. 20 22a. -19 22b. 24 22c. 4 3 22d. 162 23. (1, 3), (−2, 0) 24a. 22m/s 24b. 8m/s; 10m/s2 24c. 13 25a. 2 25b. -48 ft/sec 26. y = x − 4 27. f = c, f′ = b, f ” = a 28. 6 29. 23x(1 + x2)−23 30a. g′(x) = 2f (x)f′(x); g′(2) = 30 30b. f′(f (2))f′(2) = 7 × 5 = 35 30c. 1f (x)−xf[f (x)]2′(x) = 3−109 = −79 30d. y = g′(0)(x − 0) + g(0); y = 35x − 40 31. a = 13, b = −4 3 32a. −16 32b. −20 9 32c. 20 33a. True 33b. false
18.2
函數性質的判斷
函數的單調性: 遞增函數與遞減函數 若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≤ f(x2)則稱函數f (x) 為遞增函數。 (若恆有 f (x1) < f (x2) 則稱嚴格遞增函數) 若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≥ f(x2)則稱函數f (x) 為遞減函數。 (若恆有 f (x1) > f (x2) 則稱嚴格遞減函數) 遞增函數(遞減函數) 的導函數判別: 設函數 f (x) 在[a, b] 連續, 且在區間(a, b) 內可微分 1. 若f′(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則f (x) 在 [a, b] 是嚴格遞增函數。 (在區間(a, b) 內 f′(x) ≥ 0 稱f (x) 為遞增函數) 2. 若f′(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則f (x) 在 [a, b] 是嚴格遞減函數。 (在區間(a, b) 內 f′(x) ≤ 0 稱f (x) 為遞減函數) 註: f′(x) 為恆正或恆負是可微分函數f (x)單調的充分條件 (非必要條件)。 注意: 函數的單調性是一個區間上的性質, 要用導數在這一個區間上的正負符號來判定, 而不是 單一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性。A. 函數 f (x) 在其單調區間內, 除了 f′(x) > 0 外, 可能包含孤立點 (必連續) 或有限個 f′(x) = 0 的點。 B. 導數為零的點和不可導點, 可能是單調區間的分界點。 C. 劃分函數的單調區間: 先考慮方程式 f′(x) = 0 的根及f′(x)不存在的點來劃分函數定義 區間(單調區間分界點), 然後再判斷區間內導數的正負符號。 若分界點 f′(x) = 0 的點及 f′(x)不存在的點是函數定義區間內,為連續點則屬於單調區間。 多項式函數單調性的判別: 若多項式函數f (x)在區間[a, b]為連續,在(a, b)內均可微,滿足f′(x) > 0, 則f (x) 在 [a, b] 是嚴格遞增函數。 多項式函數一般在定義域的區間 [a, b] 內, 滿足f′(x) = 0 的點必為定義域內的連續點, 故屬於 單調區間。 多項式函數在 [a, b] 區間內無孤立點。 例: f (x) = x3 為單調遞增函數, f′(x) = 2x2 > 0 的區間為(−∞, 0), (0, ∞), 但在 x = 0 時,f′(0) = 0 為連續點, 故f (x) 在區間(−∞, ∞)為單調。 例: f (x) = x − sin x 為單調遞增函數, 但在 x = 2nπ, n ∈ Z 時,f′(0) = 0 使得 f′(x) = 1 − cos x > 0 不恆成立,但均為連續點。 故 f (x) 在區間(−∞, ∞) 為單調。 例: f (x) = −1 x 的單調遞增區間為 (−∞, 0), (0, ∞)。 因 f (x) 在x = 0 為不連續點。
均值定理: 若函數 f (x) 在區間 [a, b] 為連續, 且在區間 (a, b) 可微分, 則存在 c ∈ (a, b) 使得 f′(c) = f (b) − f(a) b − a 幾何意義: 連結 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 的函數圖形上, 至少有一點 C(c, f (c)) 的切線平行 於 ←→AB A a B b x0 (a)恰一點x0切線平行AB A a B b x0 x1 (b)有兩點切線平行AB A a B b (c)無窮多點的切線平 行AB
圖
3: 均值定理的意義: 函數f (x) 在[a, b]連續 , 可微分區間(a, b) 內, 至少存在一點x0的切線斜率等 於AB的斜率 例: f (x) = 1 x 在閉區間[−1, 2] 上不連續, 不存在 f ′(c) = −1 c2 = f(2)−f(−1) 2−(−1) = 1 2 。 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第14頁/共80頁]例: f (x) = 1 − x, 當0 ≤ x ≤ 1 x − 1, 當1 < x ≤ 3 , 在區間 [1, 3] 上連續, 但在 x = 1 為不可導, 不存在 f′(c) = f(3)−f(0) 3−0 例: f (x) = x2, 當− 2 ≤ x < 1 3 − x, 當1 ≤ x ≤ 2 ,在區間[−2, 2] 內, 在x = 1 處為不連續不可導, 但 存在 c = −3 8 , f′(c) = − 3 4 = f(2)−f(−2) 2−(−2) 函數圖形的凹向的判別: 圖形凹口向下 (自行車手把偏右側前進): 切線的斜率逐漸變小 (曲線上愈往右邊的點導數值愈 小, 即f′(x)為嚴格遞減函數)。 圖形凹口向上 (自行車手把偏左側前進): 切線的斜率逐漸變大 (曲線上愈往右邊的點導數值愈 大, 即f′(x)為嚴格遞增函數)。 設函數 f (x) 在區間I = (a, b) 可微分,f′′(x) 是f′(x)的導函數,則 1. 若 f′′(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞增函數。表示 f (x) 的圖形凹口方向向上。(此時切線在圖形下方) 2. 若 f′′(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞減函數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向下。(此時切線在圖形上方) 凹口向上,切線在圖形下方 凹口向下,切線在圖形上方 遞增、 凹口向下 f′(x) > 0, f′′(x) < 0 遞增、 凹口向上 f′(x) > 0, f′′(x) > 0 遞減、 凹口向下 f′(x) < 0, f′′(x) < 0 遞減、 凹口向上 f′(x) < 0, f′′(x) > 0 多項式函數圖形的凹向的判別: 若 f (x) 為二次以上的多項式函數 1. 若 f′′(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞增函數。表示 f (x) 的圖形凹口方向向上。
2. 若 f′′(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞減函數。 表示 f (x)
的圖形凹口方向向下。
反曲點: 若點 (a, f (a)) 為函數 f (x) 的一個反曲點, 則 f′′(a) = 0 或不存在。 (其逆不真)
若函數 f (x) 在 x = a 點附近的圖形中, x < a 時與 x > a 時的圖形, 凹向的方向相反, 則點 (a, f (a)) 稱為函數 f (x) 圖形的一個反曲點。 例: f (x) = x4, f′′(0) = 0,但點 (0, 0)並不是 f (x) 圖形的反曲點。 例: f (x) = (x − 2)53, 則 f′(x) = 5 3(x − 2) 2 3, f′′(x) = 10 9(x − 2)− 1 3,f′(2) = 0, f′′(2) 不存在, 在(−∞, 2), f′′(x) < 0,在 (2, ∞), f′′(x) > 0, 點(2, 0) 是函數 f (x) 的反曲點。 例: f (x) = x2, 當0 < x ≤ 1 x3, 當1 < x < +∞,f ′′(1)不存在,由於在x = 1的左右兩側恆有f′′(x) > 0, 函數的凹凸性不變, 點 (1, 1) 不是反曲點。 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 −1 1 2 f′′(x) = 0是否就是反曲點? f(x) = x3 g(x) = x2 h(x) = x4 1 2 3 4 −4 −2 2 f′′(x)不存在,可能是反曲點 f(x) = (x − 2)53 −2 −1 1 0.5 1 1.5 2 2.5 f′′(x)不存在,但不是反曲點 f(x) = x2 f(x) = x3 函數的相對極大值與相對極小值:
對函數 f : D → R ,若存在區間 (a, b) ⊂ D , 使c ∈ (a, b) 對所有x ∈ (a, b) 1. 若滿足 f (x) ≤ f(c) ,則稱f (c) 是函數 f 的相對極大值 (local maximum)。 2. 若滿足 f (x) ≥ f(c) ,則稱f (c) 是函數 f 的相對極小值 (local minimum)。 最大最小值: 函數 f (x) 為定義在 [a, b] 的函數, 滿足所有 x ∈ D, f(x) ≤ f(d) 則 x = d 有最大值 f (d)。 函數 f (x) 不一定有最大 (小) 值, 若有則最多只有一個最大 (小)值。 最大值、 最小值一定發生在極值位置。 但極值未必就是最大或最小值。 臨界點: 函數 f (x) 在定義域中, 使 f′(x) = 0 的點或不可微分的點稱為臨界點。 多項式函數的臨界點就是f′(x) = 0 的點。 三次函數圖形的凹向: 三次函數 f (x) = ax3+ bx2+ cx + d , 其中 a, b, c, d 均為實數,a 6= 0 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第16頁/共80頁]
1. 當a > 0 ; 若x > − b 3a , 則f′′(x) > 0,即函數圖形凹向上 若x < − b 3a , 則f′′(x) < 0,即函數圖形凹向下 2. 當a < 0 ; 若x > − b 3a , 則f′′(x) < 0,即函數圖形凹向下 若x < − b 3a , 則f′′(x) > 0,即函數圖形凹向上 三次函數 f (x) = ax3+ bx2 + cx + d 圖形判斷係數正負: 1. 當a > 0, lim x→∞f (x) = ∞ 當a < 0, lim x→∞f (x) = −∞ 2. 由反曲點x = −b 3a 位置決定 b 正負。 3. f′(0) = c : 由x = 0 點的切線斜率決定 c正負。 4. f (0) = d : 圖形交 y 軸於 (0, d)決定 d 正負。 三次函數 f (x) = ax3+ bx2+ cx + d 的大略圖形: f′(x) = 3ax2+ 2bx + c, f′′(x) = 6ax + 2b 1. f′(x) = 0 沒有實根: D = (2b)2− 4 · 3a · c = 4(b2 − 3ac) < 0 當a > 0且b2− 3ac < 0時 , f′(x) > 0恆成立, 函數f (x)是遞增函數 當a < 0且b2− 3ac < 0時 , f′(x) < 0恆成立, 函數f (x)是遞減函數 f (x) 零點 臨界點 反曲點 g(x) 零點 臨界點 反曲點 圖1-A:a > 0, f′(x) > 0 圖1-B:a < 0, f′(x) < 0
圖
4: f′(x) = 0 沒有實根且以反曲點(α, f (α))為切點的切線斜率恆正或恆負 2. f′(x) = 0 只有一實根 (重根 α): 此時 f′(α) = f′′(α) = 0, f′′′(α) = 6a 6= 0 D = b2− 3ac = 0, α = − b 3a 也是反曲點的 x 坐標; f′(x) 是恆正或恆負。 當a > 0且x 6= α時 , f′(x) = a(x − α)2 > 0 函數f (x)在區間(−∞, α], [α, ∞)是遞增函數 當a < 0且x 6= α時 , f′(x) = a(x − α)2 < 0 函數f (x)在區間(−∞, α], [α, ∞)是遞減函數f (x) 零點 臨界點 反曲點 g(x) 零點 臨界點 反曲點 圖2-A:a > 0, 且x 6= α 時, f′ > 0 圖2-B:a < 0 , 且x 6= α 時 , f′ < 0
圖
5: f′(x) = 0 只有一實根且以反曲點 (α, f (α)為切點的切線為水平線 (斜率為0) 3. f′(x) = 0 有兩相異實根 α, β : f′(x) = 3ax2+ 2bx + c = 3a(x − α)(x − β) 設 α < β, 以 α + β 2 , f (α + β2 ) = (−b 3a, f (−b3a)) 為反曲點 。 且 f′′(α) = 3a(α − β); f′′(β) = 3a(β − α) 當a > 0, f′′(α) < 0且f′′(β) > 0時 , f′′(α)是極大值, f′′(β)是極小值 當a < 0, f′′(α) > 0且f′′(β) < 0時 , f′′(α)是極小值, f′′(β)是極大值 x = α x = β x1 x2 f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1x = α x2 x3 x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 圖3-A:a > 0, f′′(α) < 0, f′′(β) > 0 圖3-B:a < 0, f′′(α) > 0, f′′(β) < 0圖
6: f′(x) = 0 有兩異實根且在 x = α, β 時, f (x) 有極值, 並以 α + β 2 , f (α + β2 ) 為反曲點 多項方程式的重根: 若 α 是f (x) = 0 的m 重根 ⇔ f (α) = f′(α) = f′′(α) = · · · = f(m−1)(α) = 0, f(m)(α) 6= 0 三次多項式方程式的實根個數: 根據三次函數 f (x) = ax3 + bx2+ cx + d, a > 0 的大略圖形, 與 x 軸的交點個數判斷 f (x) = 0的實根個數。 設 f′(x) = 3ax2+ 2bx + c, D = b2− 3ac 1. 若D > 0, f 有兩相異臨界值 (極值) α, β 且設 α < β (a) f (α)f (β) < 0 ⇔ f(x) = 0有三個相異實根。 (b) f (α)f (β) = 0 ⇔ f(x) = 0有一個二重根及另一個實根。 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第18頁/共80頁]表
1: 三次函數 f (x) = ax3+ bx2 + cx + d圖形分類: D = b2− 3ac f′(x) = 0 無實根D < 0 二重根D = 0 兩相異臨界點D > 0 a > 0 a < 0 (c) f (α)f (β) > 0 ⇔ f(x) = 0 有一個實根及兩個虛根。 x1 x2 x3 x = α x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1 x = α x2 x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1 x = α x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點 圖A:D > 0, f (α)f (β) < 0 圖B:D > 0, f (α)f (β) = 0 圖C:D > 0, f (α)f (β) > 0圖
7: D > 0, f (x) 有兩相異臨界值 2. 若D < 0, f (x) = 0 有一個實根及兩個虛根。 x1 x= −b 3a f (x) 零點 臨界點 反曲點 3. 若D = 0, f (x) 有一臨界值x = α = β (a) f (α) = 0 ⇔ f(x) = 0有三重根α 。 (b) f (α) 6= 0 ⇔ f(x) = 0有一個實根及兩個虛根。 費馬定理: 函數 f (x)為定義在[a, b] 的函數,c ∈ (a, b), 在c處有極大值或極小值,若f (x) 在x = c 可微分, 則f′(c) = 0。 f (x) 在 x = c 有極值⇒ f′(c) = 0或 f′(c) 不存在。 函數 f (x) 極大值、 極小值判定法: 函數 f (x) 為定義在 [a, b] 的函數, c ∈ (a, b), x = c 點可微分x1 x= −b 3a f (x) 零點 臨界點 反曲點 x1 x = α x= −b 3a f (x) 零點 臨界點 反曲點 圖A:D = 0, f (α) = f′(α) = f′′(α) = 0 圖B:D = 0, f′(α) = f′′(α) = 0, f (α) 6= 0
圖
8: D = 0, f (x)有一臨界值 若 f′(c) = 0且f′(x) 在x = c 點兩端異號 ⇒ f(c)為極大值或極小值。 1. x = c 有極大值 f (c) : 即 f (x) 在x = c 左端為遞增、 右端為遞減。 一階導數檢定法: f′(c) = 0 且 f′(c−) > 0, f′(c+) < 0 二階導數檢定法: f′(c) = 0 且 f′′(c) < 0 2. x = c 有極小值 f (c) : 即 f (x) 在c 左端為遞減、 右端為遞增。 一階導數檢定法: f′(c) = 0 且 f′(c−) < 0, f′(c+) > 0; 二階導數檢定法: f′(c) = 0 且 f′′(c) > 0 3. 若 f′(c) = f′′(c) = 0 則須進一步判定: 若 f′(c) = f(2)(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, f(n)(c) 6= 0則當n為偶數時, f (c)為f (x)的極值且當f(n)(c) < 0為極大值,f(n)(c) > 0 為極小值。 n 為奇數時, f (c) 不為 f (x) 的極值。 函數 f (x)反曲點 (c, f (c)) 判定法: (與極值判定法具有相似性) 函數 f (x) 為定義在 [a, b] 的函數, c ∈ (a, b) , x = c 點可微分 若 f′′(c) = 0且 f′′(x) 在x = c 點兩端凹口方向相反 (二階導數值異號) ⇒ x = c為 f (x) 的 反曲點。 1. 二階導數判定法: f′′(c) = 0且 f′′(c−)f′′(c+) < 0 2. 三階導數判定法: f′′(c) = 0且 f′′′(c) 6= 0 3. 若 f′′(c) = f′′′(c) = 0 則須進一步判定: 若 f′′(c) = f(3)(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, f(n)(c) 6= 0 則當 n 為奇數時, (c, f (c))為 f (x) 的反曲點。n 為偶數時, (c, f (c)) 不為 f (x) 的反曲點。 Note: f (x) 在 x = c 有反曲點 ⇒ f′′(c) = 0或 f′′(c) 不存在。 Ex: f (x) = x53, (0, 0) 為其反曲點但 f′′(0) 不存在。 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第20頁/共80頁]−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x y
圖
9: 函數中不可微分或導數值為0的臨界點可能有極值 極值的臨界點求法: 函數 f (x) 為定義在[a, b] 的實函數, 則極值可能發生在 f′(x) = 0 的點、 不可微 分的點或定義域的端點。 1. f′(x) = 0 的實根位置(可微函數 f (x) 的臨界值):(但f (x) 的臨界值未必會有極值) 若c ∈ (a, b) ,f(x) 在x = c 可微分, 當f′(c) = 0 (f (x)的臨界值)且當 f′(x) 在x = c 點兩端異號則在 x = c 處才有極大值或極小值。 2. 函數 f (x) 中的不可微分的點(尖點): 例: f (x) = |x − 2| − 2|x + 1| 在 x = −1 有極大 值f (−1) = 3 3. 函數定義域閉區間的端點: 閉區間的左端點 a, f (x) 在a 右邊附近為遞減(遞增), 則在 a 有極大值 (極小值)。 閉區間的右端點 b,f (x) 在 b 左邊附近為遞增 (遞減),則在 b 有極大值 (極小值)。 註: 臨界點: 函數 f (x) 中 f′(x) = 0 或不可微分的點稱為臨界點, 臨界點的函數值稱為其臨界 值。 若 f′(c) = f′′(c) = f(3)(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, f(n)(c) 6= 0 時: 1. 若f (c) = 0 則 x = c 為方程式 f (x) = 0 的n 重根。 2. 若n 為偶數, 則 f (x) 在x = c 時有極值。Ex: f (x) = x4, x = 0 有極小值。 3. 若n 為奇數, 則 f (x) 在x = c 時為反曲點。 Ex: f (x) = x3, (0, 0)為反曲點。 最大 (小) 值問題: 了解題意 → 定出變數, 整理出限制條件 (定出函數 f (x)) → 極值的一階、 二階 判定法 → 求出函數 f (x) 的最大值或最小值 。表
2: 初等函數 f (x)圖形的一些重要性質 性質 檢定法 f 交y 軸截距c f (0) = c f 交x軸截距 c f (c) = 0 函數f 的反函數g = f−1 f 與 g 函數圖形對稱於直線 y = x f (g(x)) = x 且 g(f (x)) = x f 圖形對稱於y 軸 f (−x) = f(x) f 圖形對稱於原點 (0, 0) f (−x) = −f(x) f 在x = a點有極限 limx→a−f (x) = limx→a+f (x) = L
f 在x = a點連續 lim
x→a−f (x) = limx→a+f (x) = f (a)
f 在x = a點可導 lim x→a f(x)−f(a) x−a = limh→0− f(a+h)−f(a) h = lim h→0+ f(a+h)−f(a) h f 圖形在c 有相對極大值 f′(c) = 0 且 f′ 在 c 符號由正變負(一階導數檢定) f′(0) = 0 且 f′′(c) < 0 (二階導數檢定) f 圖形在c 有相對極小值 f′(c) = 0 且 f′ 在 c 符號由負變正(一階導數檢定) f′(0) = 0 且 f′′(c) > 0 (二階導數檢定) f 圖形在c 有最大值 在 c為相對極大值或端點或不可微分點(孤立點、 尖點) f 圖形在c 有最小值 在 c為有相對極小值或端點或不可微分點(孤立點、 尖點) 函數f 在區間I 為遞增 區間 I內均可微,且f′(x) > 0 (此為充分非必要條件) 函數f 在區間I 為遞減 區間 I內均可微,且f′(x) < 0 (此為充分非必要條件) f 圖形在開區間I 為凹口向上 ∀x ∈ I, f′′(x) > 0 f 圖形在開區間I 為凹口向下 ∀x ∈ I, f′′(x) < 0 點(c, f (c))是函數f 圖形的反曲點 f′′在 c 左右異號,且一般f′′(c) = 0或f′′(c)不存在 f′′(c) = 0, f(3) (c) 6= 0 f 圖形有x = c的鉛直漸近線 lim x→c−f (x) = ±∞ 或 lim x→c+f (x) = ±∞ f 圖形有y = h 的水平漸近線 lim x→∞f (x) = h 或 lim x→−∞f (x) = h 若 f′(c) = f′′(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, 且 f(n) (c) 6= 0 若f (c) = 0則x = c 為方程式f (x) = 0的n重根 若n為偶數, 則f (x)在x = c 時有極值 若n為奇數, 則f (x)在x = c 時為反曲點 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第22頁/共80頁]
例題
範例 1: 討論函數 f (x) = x4+ 4x3 + 5 在哪些區間為遞增函數? x區間 −3 0 f′(x) − 0 + 0 + 遞增遞減 遞減 連續點 遞增 連續點 遞增 (0, f (0) (−3, f (−3) (解:)[−3, ∞) 演練 1a : 設函數f (x) = x3+ ax2+ ax + 2在實數R 上為遞增函數,求a值的範圍? 0 ≤ a ≤ 3 演練 1b : 討論函數f (x) = x3−3 2x 2 在哪些區間為遞增函數? 哪些區間為遞減函數?x > 1, x < 0 遞增;0 < x < 演練 1c : 討論函數f (x) = 2x3−3x2−12x在哪些區間為遞增函數? 哪些區間為遞減函數?x > 1, x < −2 遞增;−2 演練 1d : 討論函數f (x) = x2(3 − x)在哪些區間為遞增函數? 哪些區間為遞減函數?0 < x < 2 遞增;x > 2, x < 範例 2: 設函數 f (x) = x4− 2x2 , 求在區間 (−2, 2) 內滿足f′(c) = 0 的所有實數c ? (解:) −2 −1 −2 1 2 2 4 6 8 f′(−1) = 0 f′(1) = 0 f′(0) = 0 c = 0, ±1 演練 2a : 設方程式 f (x) = x5+ x3+ x + 1 = 0 利用中間值定理及均值定理說明方程式恰一實數根? (解:)f 可微分,. 且 f (−1) = −2, f(0) = 1 中間值定理:∃c ∈ (−1, 0), f(c) = 0; if f(c1) = f (c2) = 0均值定理:∃c′ ∈ (−1, 0), f′(c′) = f (c2) − f(c1) c2− c1 = 0 but f′(x) = 5x4+3x2+1 > 0 for all x 演練 2b : 若函數 f (x) = 5 − 4 x 在開區間 I = (1, 4) 皆為可微分, 求在區間 I 內滿足 f′(c) = f (4) − f(1) 4 − 1 的實數 c ?(解:) 1 2 3 4 5 2 4 (1, 1) (4, 4) f′(2) =4 − 1 4 − 1 切線 割線 c = 2 演練 2c : 函數f (x) = x2+ 1過點 P (−1, 2), Q(2, 5) ,先求過P,Q兩點的割線L 方程式? 利用均值 定理:求在區間I = (−1, 2) 內, 平行L 直線與函數相切的切線方程式L′ 及切點R 坐標? (解:)L : y = x + 3; L′ : y = x + 3 4; R( 1 2, 5 4) 演練 2d : 設函數 f (x) 在區間 I = (−2, 2) 為可微分, 且 f (−2) = −2, f(2) = 6 , 問是否存在 f (x) 函數,在區間I 內均滿足 f′(x) < 1 false;f′(c) = f(2)−f(−2) 2−(−2) = 2 範例 3: 討論函數 f (x) = x3 − 6x2+ 8 的圖形增減情形及凹口方向? 哪些點為圖形的反曲點? (解:) x 區間 0 2 4 f′(x) + 0 − − − 0 + 遞增遞減 遞增 遞減 遞減 遞減 遞增 f′′(x) − − − 0 + + + 凹向 向下 向下 向下 向上 向上 向上 f (x) 8 −8 −24 −2 2 4 6 8 10 −20 −10 10 反曲點(2,−8) 極值點(4,−24) 極值點(0,8) 討論函數 f (x) = x4− 4x3 圖形凹口方向? 哪些點為圖形的反曲點? 及函數的極值? (解:) x 區間 0 2 3 f′(x) − 0 − − − 0 + 遞增遞減 遞減 遞減 遞減 遞減 遞增 f′′(x) + 0 − 0 + + + 凹向 向上 向下 向上 向上 向上 f (x) 0 −16 −27 −2 2 4 6 −30 −20 −10 10 反曲點(0,0) 反曲點(2,−16) 極值點(3,−27) ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第24頁/共80頁]
演練 3a : 討論函數 f (x) = −3x5+ 5x3 圖形凹口方向? 哪些點為圖形的反曲點? 及函數的極值? (解:) −2 −1 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2 反曲點(0,0) 極值點(−1,−2) 極值點(1,2) 演練 3b : 討論函數 f (x) = −x3+ 3x2− 2 圖形凹口方向? 哪些點為圖形的反曲點? 及函數的極值? (解:) −2 −1 1 2 3 4 −2 2 反曲點(1,0) 極值點(0,−2) 極值點(2,2) 演練 3c : 討論函數 f (x) = x4 滿足 f ”(0) = 0 ,但函數圖形無反曲點? (解:)f ”(x) = 12x2 ≥ 0, ∀x 演練 3d : 試找函數 f (x) = x3− 3x2+ 5x + 2 反曲點? 並求過此點的切線方程式? (解:)f ”(x) = 6x − 6, P (1, 5);L : y = 2x + 3 範例 4: 有一三次函數f (x) , 其函數圖形的反曲點在(1, 4) , 且x = 1 也是一個臨界值,又 f (2) = −3,求函數 f (x) ? (解:)f (x) = −7x3+ 21x2 − 21x + 11 四次函數f (x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e圖形的反曲點是P (0, 0)與Q(2, −16) 且f′(0) = 0 ,求 f (x) x 4− 4x3 演練 4a : 函數f (x) = x4+ ax3+ bx2+ cx + d的圖形有兩個反曲點P (0, 4), Q(1, −3) ,求a, b, c, d 的值?
(解:)f (x) = x4− 2x3− 6x + 4 演練 4b : 三次函數 f (x) = ax3+ bx2+ cx + d 圖形, 滿足下列條件, 求實係數 a, b, c, d 值? 1. 點 (3, 3) 為相對極大,點 (5, 1) 相對極小, 反曲點為 (4, 2) f (x) = 1 2x 3− 6x2+ 45 2x − 24 2. 點(2, 4) 為相對極大,點 (4, 2) 相對極小, 反曲點為 (3, 3) f (x) = 12x3− 9 2x 2+ 12x − 6 範例 5: 描繪三次函數 f (x) = x3− 3x + 4 的圖形? (解:) x 區間 −1 0 1 f′(x) + 0 − − − 0 + 遞增遞減 遞增 遞減 遞減 遞減 遞增 f′′(x) − − − 0 + + + 凹向 向下 向下 向下 向上 向上 向上 f (x) 6 4 2 −3 −2 −1 1 2 3 −10 −5 5 10 描繪三次函數 f (x) = x3− 3x2+ 5x + 2 的圖形? (解:) x 區間 1 f′(x) + + + 遞增遞減 遞增 遞增 遞增 f′′(x) − 0 + 凹向 向下 向上 −1 1 2 3 −5 5 10 反曲點(1, 5) 演練 5a : 描繪三次函數 f (x) = x3− 3x + 2 的圖形? ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第26頁/共80頁]
(解:) −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 4 極值點(−1, 4) 極值點(1, 0) 反曲點(0, 2) 演練 5b : 描繪四次函數 f (x) = x4− 12x3+ 48x2− 64x 的圖形? (解:) −2 −1 1 2 3 4 5 −30 −20 −10 10 反曲點(4,0) 反曲點(2,−16) 極值點(1,−27) 演練 5c : 三次多項式函數 f (x) = x3 + x, g(x) = x3 + 3x2 + 3x, h(x) = x3 + x2 圖形中, 問: 沒 有水平切線的為哪一函數? 恰有一水平切線的為哪一函數? 有兩水平切線的為哪一函數? f:0,g:1;h:2 演練 5d : a,b,c圖形如下: 其中有圖形表汽車在時間t 的位置, 一函數圖形表汽車在時間t 的速度, 一 函數圖形表汽車在時間 t 的加速度,請找出其關係? t y a b c 0 a: 加速度,b: 速度,c: 位置 範例 6: 求方程式 x3+ 6x2+ 9x + 3 = 0 的實數解個數? (解:)f (−1)f(−3) < 0 方程是有三相異實數根 −6 −4 −2 2 −5 5 10 x1 x2 x3
就實數a 的範圍, 討論方程式x3+ 3x2+ a = 0 的實數解個數? (解:) 1. a > 0 , 只有一實根。 2. a = 0 , 有一個二重根及另一個實根。 3. −4 < 0 , 有三個相異實根。 4. a = −4 , 有一個二重根及另一個實根。 5. a < −40 ,只有一實根。 函數 f (x) = x4 + ax3+ bx2 + cx + d 的圖形有兩個反曲點 P (0, 4), Q(1, −3) , 求a, b, c, d 的 值? (解:)f (x) = x4 − 2x3− 6x + 4 範例 7: 已知函數 f (x) 及其導函數 g(x) = f′(x)的部分圖形: −1 1 2 f (x) f′(x) 1. 在哪些區間 f′(x) < 0 x < 0, x > 2 2. 在哪些區間 f′′(x) > 0 x < 1 演練 7a : 多項式函數 f (x) 在區間I : 0 < x < 9 時, 一階導函數 f′(x) 的圖形如下: 3 y 0 1 5 7 9 x y=fª(x) 1. 求函數 f (x) 在區間 I 的何時為遞增? 2 < x < 4, 6 < x < 9 2. 函數 f (x) 的極值發生點 ? x = 0, 2, 4, 6, 9 3. 函數 f (x) 在哪些區間的圖形凹口向上? 在哪些區間的圖形凹口向下? 凹口向上:1 < x < 3, 5 < x < 7, 8 < x < 9; 凹口向下: 0 < x < 1, 3 < x < 5, 7 < x < 8 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第28頁/共80頁]
4. 函數 f (x) 的反曲點的 x 坐標值 ? x = 1, 3, 5, 7, 8 演練 7b : 已知函數 y = g(x)的部分圖形如下: 試比較0, g(−2), g′(0), g′(2), g′(4) 數值的大小? y=© 1 3 4 _1 0 2 x y g′(0) < 0 < g′(4) < g′(2) < g(−2) 演練 7c : 多項式函數f (x)的二階導函數f ”(x)的圖形如下: 若函數f (x)圖形的反曲點發生在x = a 的點,求 a 為何? 1, 7 1 2 3 4 5 6 7 8 範例 8: 求下列函數的極值? 1. f (x) = x3+ 3x2+ 3x − 1 (解:)f (x)沒有極值; −3 −2 −1 1 2 −10 −5 5 10 2. 求多項式函數 f (x) = x4− 4x3− 8x2+ 30 的極值? (解:)f (0) = 30極大值, f (−1) = 27, f(4) = −98 為極小值 3. 求函數 f (x) = −x3 + 12x 在區間[−4, 3] 的最大值與最小值? (解:)x = 2, −4有 max = 16 ;x = −2有 min = −16 演練 8a : 求多項式函數 f (x) = 3x4− 4x3 在區間 [−1, 2] 內的最大值與最小值?
(解:) −1 1 2 5 10 15 (2, 16) (1, −1) (0, 0) (−1, 7) f (2) = 16 最大值, f (1) = −1 為最小值 演練 8b : 求多項式函數 f (x) = 3x4− 4x3− 12x2+ 5 的極值? (解:) −2 −1 1 2 3 4 −30 −20 −10 10 20 (2, −27) (−1, 0) (0, 5) x = −1, 極小值0,x = 2, 極小值 −27,x = 0,極大值 5 演練 8c : 受環境條件變化的細胞培養物其生長速率函數可以用時間t (小時)分裂數為 r(t) = 32t2− t4, t ∈ (0, 6) 表示之。 1. 此細胞分裂是否為遞增函數? 若否,何時為遞減? (4, 6) 2. 求此細胞分裂何時數量最多? 有多少? t = 4, M = 256 2 4 6 100 200 演練 8d : 求多項式函數 f (x) = 2x4− 4x2+ 4 在區間[−2, 0.5] 內的最大值與最小值? (解:)−2 −1 1 2 5 10 15 20 25 (−2, 20) (−1, 2) (0, 4)(0.5, 3.125) f (−2) = 20 最大值, f (−1) = 2 為最小值 範例 9: 極值問題應用: 1. 一正圓柱內接於底半徑為10公分,高為20公分的直圓錐面, 求這個正圓柱的最大體積? ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第30頁/共80頁]
(解:)V (r) = πr2(20 − 2r) ,max V = 8000π 27 立方公分 2. 坐標平面上,求拋物線y = 1 2x 2 上一點 P ,使點P 到點Q(4, 1) 的距離為最短? 最短距離 為何? (解:)P (2, 2), P Q =√5 3. 用一塊寬3公尺, 長8公尺的白鐵板, 先在四個角截去大小相同的正方形, 然後摺起四邊焊接 起來, 形成一個無蓋的長方體蓄水箱, 試問在各角截去的正方形邊長應為多少, 才能使水箱 的容積為最大 (不計鐵片厚度),又其最大容積為多少? (解:)V (x) = x(8 − 2x)(3 − 2x), 0 ≤ x ≤ 3 2 , 當x = 2 3 時,max V (x) = 200 27cm 3 演練 9a : 一圓柱體鐵罐,容量為1公升,若材料不論厚度所需的表面積為最小,則此種鐵罐的底面半徑 及鐵罐高分別為多少公分? (解:)r =q3 500 π ;h=2r 演練 9b : 一個底邊為正方形的無蓋長方體,若已知其表面積為108平方單位,求此種長方體的底邊、 高 為何? 會使長方體容量最大為多少? 底:6, 高:3,V = 108 演練 9c : 坐標平面上, 求拋物線 y = 4 − x2 上一點 P , 使點 P 到點 Q(0, 2) 的距離為最短? P (±q3 2, 5 2) 演練 9d : 用4公尺繩長恰可圍繞一正方形及一個圓形, 問正方形邊長為多少公尺時, 會使得兩面積和 為最大? 4 4+π 演練 9e : 已知一正三角形及一正方形的周長和為10,求正三角形的邊長為何?會使得兩面積和為最小 30 9+4√3 演練 9f : 矩形的兩邊分別在 x, y 軸的正向上, 若一頂點 p 落在直線 y = 6 − x 2 上, 求 P 點坐標為 何? 會使得此矩形面積為最大 P (3, 3 2) 習題II:2-2 函數性質的判斷 1. 討論函數 f (x) = 3x4− 4x3− 12x2+ 5 的遞增與遞減的所在區間? 2. 討論函數 f (x) = x4− 4x3− 2x2+ 12x + 1的遞增與遞減的區間? 3. 討論函數 f (x) = x + 1x 遞增與遞減的所在區間? 4. 討論函數 f (x) = (x + 2)2(x − 1) 在哪些區間為遞增函數? 哪些區間為遞減函數?
5. 利用函數 f (x) = x5 的圖形, 比較兩數 a = 19995+ 20075 2 與 b = 20035 的大小關係? 6. 討論函數 f (x) = 14x4− 2x3 圖形的凹口方向? 及其反曲點? 7. 求函數 f (x) = x3+ 3x2+ x − 7 圖形的反曲點? 8. 利用導數方法描繪函數 f (x) = 2x3− 6x − 1 的圖形 9. 描繪函數 f (x) = x3− 6x2+ 9x 的圖形 10. 若函數 f (x) = ax3+ bx2+ 1 圖形的反曲點為 (−1, 2) , 求此函數? 11. 函數 f (x) 是可微分函數,且函數圖形為凹口向上, 若已知f (3.99) = 251.1, f (4) = 251 求 (a) f (x) 在區間 [3.99, 4]的平均變化率為何? (b) f (x) 在區間 [3.99, 4]的平均變化率與 f′(4) 值哪一個比較大? 為什麼? (c) 若f (5) = 245, f′(5) = −2 試利用x = 5的切線(線性) 估計f (5.001) 值, 並說明此估計 值比實際值大或小? 12. 已知多項式函數 f (x) 均可微且其導函數 g(x) = f′(x)的部分圖形如下: −1 1 2 f′(x) (a) 函數 f (x) 在哪些區間為遞減函數? (b) 函數 f (x) 在哪區間的圖形為凹口向上? (c) 函數 f (x) 的臨界點(極值點)發生在哪一點? (d) 函數 f (x) 的最大值發生在哪一點? (e) 函數 f (x) 圖形的反曲點x =? 13. 已知多項式函數 f (x) 在定義域 {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 4} 的圖形如下: 選出正確的選項?(1) f (0) = 10 3 (2)f (x) 的值域為 {y ∈ R| 8 3 ≤ y ≤ 26 3} (3) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 0 恰有一實根 (4) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 4 有兩相異實根 (5) 函數 f (x) 為3次多 項式函數 (6) f′(−1) = 0 (7) f′(2) = 0 (8) 在定義域範圍下, 函數 f (x) 有兩臨界點 ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第32頁/共80頁]
(9) 點 (0,103) 為反曲點 (10) 在定義域範圍下, 函數 f (x) 的最小值為0 (11) f′′(0) < 0 x f (x) (−1,9 2) (0,103) (2, 0) (4,263) (−2,8 3) 4 −2 14. 設 (x − 1)2 是多項式 x15+ ax2 + b的因式, 求a, b 的值? 15. 已知正數 α 為三次方程式 x3− x2− 8x + k = 0 的二重根, 試求 a, k 及另一根? 16. 設 k 為實數且方程式 x3− 3kx2+ 4 = 0有三個相異實根, 求 k 的範圍? 17. 設f (x) = x3− 3x2− 9x + k ,試求滿足下列條件之 k 值? (1). f (x) = 0 有三相異實根? (2). f (x) = 0 有一實根兩虛根? (3). f (x) = 0有兩正根與一負根 ? 18. 設函數f (x) = ax3+bx2+cx+d的大略圖形如下,是判別a, b, c, d之正負值? 19. 就實數 a 範圍, 討論直線 y = 3x + a 與函數 f (x) = x3 圖形交點的個數? 20. 求多項式方程式 x3+ 4x + 5 = 0 的實根個數? 21. 求多項式函數 f (x) = x4+ 4x3 的極值? 22. 求函數 f (x) = 3x4 − 4x3− 12x2+ 5 的極大值與極小值? 23. 求函數 f (x) = x + 1x 的極大值與極小值? 24. 求函數 f (x) = x3+ 3x2− 9x − 10 在區間 [−4, 3] 的最大值與最小值? 25. 函數 f (x) 的導函數 f′(x) = x2(x − 3) , 求函數 f (x) 的極值所在? x 為何值時,f (x) 圖形會 有反曲點? 26. 多項式函數 f (x) = x3 + ax2 + bx + 2 在 x = 1 有極小值, 在 x = −1 有極大值, 求實係數 a, b 的值? 27. 多項式函數 f (x) = x3+ kx2− 3kx + 3 沒有極值, 求實數 k 的範圍?
28. 三次函數 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 極小值發生在 (3, 0), 極大值發生在 (1, 1), 求實係數 a, b, c, d 的值? 29. 求下列函數的極大值及極小值? (a) f (x) = x2− x3 (b) f (x) = 2x2 − 8x + 3 (c) f (x) = 3x2 − 24x + 15 (d) f (x) = x4− 8x2+ 5 30. 求下列函數在定義區間內求函數的最大值及最小值? (a) f (x) = 3 + 2(x + 1)2, x ∈ [−3, 2] (b) f (x) = 2x2 − x4− 16, x ∈ [−3, 2] (c) f (x) = −2x3+ 3x2, x ∈ [−2, 2] (d) f (x) = −(x5 + 3x3+ x), x ∈ [−1, 2] 31. 討論下列函數圖形的凹口方向? 及其反曲點? (a) f (x) = 5x3 + 12x2− 3x + 2 (b) f (x) = 16 + 4x + x2− x3 (c) f (x) = x4− x3− 3x2 + 5x − 12 (d) f (x) = x3− 2x2+ x − 2 32. 一農夫想順著筆直的水溝旁圍成一面積為 5000 平方公尺的長方形菜園, 因此他將一條繩子分 成三段分別當作兩個寬一個長邊 (水溝邊不圍)圍成長方形, 求所需的繩長 s 公尺最小值為何? 33. 一底半徑為3,高為12的直圓錐, 求內接於此直圓錐之圓柱的最大體積? 34. 在一半徑為2的半圓形內, 圖中 ABCD 為內接梯形, 試求此梯形 ABCD的最大面積? D A B C O 35. 一半徑為2的半圓形圖中 ABCD 為內接矩形,試求此矩形 ABCD 的最大面積? D A B C O ∼ 順伯的窩∼ 多項式函數的微積分 [第34頁/共80頁]
![表 3: 各種黎曼和的公式 若 a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < x n = b 是區間 [a, b] 的一分割,黎曼和 R = n P j=1 f (x ∗j )∆x 黎曼和方法 公式 矩形左和 R L = b − a n [f (a) + f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f(x n−1 )] 矩形右和 R R = b − a n [f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f(x n−1 ) + f (b)]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/7002707.2346/41.892.74.774.118.587/是區間一分割黎=∗∆矩形++矩形右和=+.webp)
![表 4: 定積分的應用公式 函數在區間 [a, b] 內 公式 曲線 f 與 x 軸所圍的面積 A = R a b f (x)dx 兩曲線所夾區域的面積 A = R b a |f(x) − g(x)|dx 立體 S 其垂直 x 軸截面 A(x), 則 S 體積 V = R a b A(x)dx 繞 x 軸的旋轉體體積 (disc method) V = R a b π[f (x)] 2 dx 兩曲線所夾區域繞 x 軸的旋轉體體積 V = R a b π{[f(x)] 2 − [g(x)] 2 }dx 質點位](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/7002707.2346/60.892.60.804.121.1262/在區間=|−立體其垂軸截則=域繞軸的旋轉體體=R.webp)
