具冠狀與齒形修整之螺旋齒輪的齒印分析
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(2) 具冠狀與齒形修整之螺旋齒輪的齒印分析 Bearing Contact Analysis of Helical Gears with Crowned and Profile Modification Teeth 研 究 生： 蘇政豪. Student：Jheng-Hao Su. 指導教授： 蔡忠杓. Advisor：Chung-Biau Tasy. 國 立 交 通 大 學 機 械 工 程 學 系 碩 士 論 文 A Thesis Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in. Mechanical Engineering June 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十五年六月 - ii -.
(3) 中文摘要 具冠狀與齒形修整之螺旋齒輪的齒印分析. 研究生：蘇政豪. 指導教授：蔡忠杓 博士. 國立交通大學機械工程學系碩士班 摘要 漸開線螺旋齒輪早已普遍使用多時，其相關之齒面修整方式亦有諸多 研究及運用，冠狀修整、轉位修整與改變壓力角等均為業界所常用之齒形 修整方式。但目前尚未見有具冠狀且具轉位齒形修整之漸開線螺旋齒輪的 整合齒面數學模式，亦缺少對此類具齒面修整之齒輪進行接觸研究與齒印 分析，因此，建立其齒面數學模式並進行研究分析，以及考量裝配誤差為 非定值之偏擺誤差的影響及特性，將可對漸開線螺旋齒輪之齒面修整的特 性更為瞭解，並有助於本文所提及齒面修整技術在產業上的運用。 本論文依據齒輪原理與創成機構以推導出具冠狀與齒形修整之螺旋齒 輪的齒面數學模式，進而利用齒輪嚙合原理建立齒面接觸分析與齒印分析 之數學模式，並輔以電腦分析程式之開發，進行各項齒輪接觸模擬分析。 本研究在接觸分析方面已找出修整型螺旋齒輪在理想狀況或具裝配誤差以 及發生偏擺時之接觸點的位置與運動誤差，齒印分析則已模擬求得齒輪於 嚙合接觸時之齒印形狀與位置，也探討齒面修整方式對於漸開線螺旋齒輪 之影響。. -i-.
(4) Bearing Contact Analysis of Helical Gears with Crowned and 英文摘要 Profile Modification Teeth. Student：Jheng-hao Su. Advisor：Dr. Chung-Biau Tasy. Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University Abstract Involute helical gears have been widely used for a long time, and there are many researches and applications on the tooth modification methods for that. Tooth crowning, shifting modification and changing pressure angle are frequently used methods for tooth modifications by industry. However, an integrated mathematical model for helical gears with crowned and profileshifted modification teeth has not been developed yet, and lack of researches on tooth contact and bearing contact analysis on modified tooth gears. Therefore, this study develops a mathematical model and performs the analysis with considerations on the influence and properties of gears with runout errors that the values of misalignment errors are varied. This enables us to increase the understanding of characteristics of tooth modifications, and facilitates the industry applications to this kind of gears. In this thesis, according to the theory of gearing and gear generation mechanism, a mathematical model for helical gears with crowned and profile–shifted modification teeth has been developed. Based on the gear meshing theory, mathematical models of tooth contact and bearing contact analysis have also been established. The location of contact points and kinematic errors of gears with ideal, misalignment and runout assemblies have been investigated. Bearing contact pattern and location as well as the influences of tooth modifications on the involute helical gears have also been studied. - ii -.
(5) 誌謝 本論文能順利完成，得先感謝指導教授 蔡忠杓博士，即使平日甚為忙 碌，仍細心與認真地在教學、研究與論文，甚至待人處世上給予學生指導 和教誨，令學生受益匪淺，故在此由衷地感謝老師為學生的付出。 於論文中雖來不及放上實驗的相關成果，但仍需感謝三陽工業研發中 心的甯攸威博士、尤志文先生、范俊彥大哥以及振動與噪音實驗室的各位， 對計畫與論文的幫助，獲得甚多實務上之經驗。 同時也感謝馮展華學長與劉家彰學長對學弟論文的指正與建議，令本 論文得以更為完備。亦感謝齒輪實驗室的大家，曾瑞堂學長、陳冠宇學長、 趙立碁學長和黃俊諭同學的疑難資詢與意見提供，宗賢、健育及家誠三位 學弟的陪伴，令我對能待在這實驗室以及認識大家而感到十分慶幸。 此外則是陪伴我放鬆壓力與忙裡偷閒的社團朋友們，感謝有你們作為 我的中途休息站，讓我總是可以調整狀態再出發。 接著則不得不感謝我的父母親，因為有你們多年以來的養育與栽培， 以及上大學以來的信任與支持，我才能夠到達今天的成就，感激之情難以 言語表達。 最後，感謝至今所有曾給予過我幫助的人，謝謝。. - iii -.
(6) 目錄 中文摘要 ................................................................................................................ i 英文摘要 ...............................................................................................................ii 誌謝 ......................................................................................................................iii 目錄 ...................................................................................................................... iv 圖目錄 .................................................................................................................. vi 表目錄 ................................................................................................................viii 符號表 ................................................................................................................... x 第一章 緒論 ......................................................................................................... 1 1.1 前言 ......................................................................................................... 1 1.2 文獻回顧 ................................................................................................. 2 1.3 研究內容 ................................................................................................. 3 第二章 冠狀修整與齒形修整............................................................................. 5 2.1 冠狀修整 ................................................................................................. 5 2.2 齒形修整 ................................................................................................. 7 第三章 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪的齒面數學模式 .................. 12 3.1 前言 ....................................................................................................... 12 3.2 齒條刀之齒面數學模式....................................................................... 13 3.3 接觸線之共同法線向量....................................................................... 21 3.4 嚙合方程式 ........................................................................................... 22 3.5 齒輪之齒面數學模式........................................................................... 25 3.6 本章結論 ............................................................................................... 27 第四章 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪接觸與齒印分析 .................. 28 4.1 前言 ....................................................................................................... 28 - iv -.
(7) 4.2 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪齒面接觸分析數學模式....... 29 4.3 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪接觸齒印分析的數學模式... 34 4.4 例題與討論 ........................................................................................... 39 4.5 本章結論 ............................................................................................... 64 第五章 具偏擺誤差之齒輪接觸與齒印分析................................................... 66 5.1 前言 ....................................................................................................... 66 5.2 偏擺誤差之數學模式........................................................................... 67 5.3 例題與討論 ........................................................................................... 74 5.4 本章結論 ............................................................................................... 82 第六章 結論與未來展望................................................................................... 83 6.1 結論 ....................................................................................................... 83 6.2 未來展望 ............................................................................................... 84 參考文獻 ............................................................................................................. 86. -v-.
(8) 圖目錄 圖 2.1 轉位滾削之齒輪其齒面的冠狀修整效果............................................... 5 圖 2.2 滾齒機之一般滾削路徑與冠狀齒形滾削路徑示意圖........................... 6 圖 2.3 正轉位切削之齒輪外形........................................................................... 8 圖 2.4 負轉位切削之齒輪外形........................................................................... 9 圖 2.5 轉位齒輪之嚙合長度............................................................................. 11 圖 3.1 兩嚙合齒輪之座標系間的運動示意圖................................................. 13 圖 3.2 齒條刀 Σi 法向剖面圖 ............................................................................ 15 圖 3.3 齒條刀 Σi 之圓弧導角法向剖面圖 ........................................................ 15 圖 3.4 形成具導程角之齒條刀的相關座標系關係......................................... 18 圖 3.5 刀具之位移量及齒輪冠狀修整量之關係............................................. 19 圖 3.6 空間中兩嚙合運動曲面之關係示意圖................................................. 23 圖 3.7 齒條刀與小齒輪之相對運動關係......................................................... 23 圖 3.8 經修整之齒輪電腦輔助繪圖範例......................................................... 27 圖 4.1 齒輪組具裝配誤差之座標系間的關係示意圖..................................... 30 圖 4.2 兩嚙合齒面與切平面座標系之空間關係示意圖................................. 35 圖 4.3 固定一θ t 角時之 rt − Z t 截面示意圖 ...................................................... 35 圖 4.4 切平面座標系之關係圖......................................................................... 38 圖 4.5 具不同之齒面冠狀修整量之螺旋齒輪的理論接觸齒印 .................... 41 圖 4.6 不同之轉位修整的冠狀螺旋齒輪的理論接觸齒印............................. 44 圖 4.7 不同壓力角之冠狀螺旋齒輪的理論接觸齒印..................................... 47 圖 4.8 冠狀量 E1 =0.005mm 之齒輪組在具有裝配誤差時之接觸齒印 ......... 50 圖 4.9 冠狀量 E1 =0.025mm 之齒輪組在具有裝配誤差時之接觸齒印 ......... 52 圖 4.10 冠狀量 E1 =0.05mm 之齒輪組在具有裝配誤差時之接觸齒印 ......... 54 - vi -.
(9) 圖 4.11 轉位量 x = 0.25 之冠狀修整齒輪組在具裝配誤差狀況下之接觸齒印. ................................................................................................................... 56 圖 4.12 轉位量 x = −0.25 之冠狀修整齒輪組在具裝配誤差狀況下之接觸齒印. ................................................................................................................... 58 圖 4.13 壓力角 α n = 19° 之冠狀修整齒輪組在具裝配誤差時的接觸齒印 .... 61 圖 4.14 壓力角 α n = 21° 之冠狀修整齒輪組在具裝配誤差時的接觸齒印 .... 63 圖 5.1 齒輪之裝配偏擺示意圖 .......................................................................... 67 圖 5.2 具偏擺誤差之座標系關係圖 ................................................................. 70 圖 5.3 具軸偏擺誤差之座標系關係圖 ............................................................. 71 圖 5.4 具偏心誤差之座標系關係圖 ................................................................. 72 圖 5.6 具偏心誤差之冠狀修整螺旋齒輪的接觸齒印..................................... 78 圖 5.7 具軸偏擺誤差之冠狀修整螺旋齒輪的運動誤差................................. 80 圖 5.8 具軸偏擺誤差之冠狀修整螺旋齒輪的接觸齒印................................. 81 圖 5.9 具軸偏擺誤差之冠狀修整螺旋齒輪的接觸軌跡變化......................... 82. - vii -.
(10) 表目錄 表 2.1 齒輪正負轉位特性比較表 ....................................................................... 8 表 4.1 具冠狀修整之螺旋齒輪的主要設計參數 .............................................. 40 表 4.2 具冠狀修整之螺旋齒輪在理想裝配下的接觸分析與運動誤差 ........ 40 表 4.3 具冠狀及轉位修整之螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配下的 接觸分析與運動誤差(1).......................................................................... 42 表 4.4 具冠狀及轉位修整之螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配下的 接觸分析與運動誤差(2).......................................................................... 43 表 4.5 修整型螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配狀況下之接觸分析 與運動誤差(1).......................................................................................... 45 表 4.6 修整型螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配狀況下之接觸分析 與運動誤差(2).......................................................................................... 45 表 4.7 修整型螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配狀況下之接觸分析 與運動誤差(3).......................................................................................... 46 表 4.8 修整型螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配狀況下之接觸分析 與運動誤差(4).......................................................................................... 46 表 4.9 具裝配誤差時之冠狀修整螺旋齒輪的接觸分析(1)............................ 49 表 4.10 具裝配誤差時之冠狀修整螺旋齒輪的接觸分析(2).......................... 51 表 4.11 具裝配誤差時之冠狀修整螺旋齒輪的接觸分析(3) .......................... 53 表 4.12 具裝配誤差時之轉位修整螺旋齒輪的接觸分析(1).......................... 55 表 4.13 具裝配誤差時之轉位修整螺旋齒輪的接觸分析(2).......................... 57 表 4.14 具裝配誤差時之修整型螺旋齒輪的接觸分析(1).............................. 60 表 4.16 具裝配誤差時之修整型螺旋齒輪的接觸分析(2).............................. 62 表 4.17 漸開線螺旋齒輪齒面之各修整方式對於接觸分析與齒印狀況的影響 - viii -.
(11) 及特性概略表........................................................................................... 65 表 5.1 冠狀修整螺旋齒輪的主要設計參數 ..................................................... 75 表 5.2 具偏心誤差之冠狀修整螺旋齒輪的接觸分析..................................... 76 表 5.3 具軸偏擺誤差之冠狀修整螺旋齒輪的接觸分析................................. 79. - ix -.
(12) 符號表 au(i ). 齒條刀設計參數( i = p, g )(mm). (圖 3.2). al(i ) bi C Cx ΔC x ΔC y. 齒條刀設計參數( i = p, g )(mm). (圖 3.2). ΔCNx ΔCNx di E E1 E2 fu(i ). 齒條刀設計參數( i = p, g ) (mm) (圖 3.2) 理論中心距(mm) (圖 4.1 及 5.2) 嚙合中心距(mm) (圖 4.1 及 5.2) 平行中心距方向之裝配誤差(mm) (圖 4.1 及 5.2) 垂直中心距方向之裝配誤差(mm) (圖 4.1 及 5.2) 第 N 齒之平行中心距方向之裝配誤差(mm) 第 N 齒之垂直中心距方向之裝配誤差(mm) 點 PT 至齒面Σi 的距離( i = 1,2 ) (圖 4.3) 冠狀修整之刀具轉位量(mm) (圖 3.4 及 3.5) 齒筋方向之冠狀量(mm) (圖 3.5) 冠狀修整之刀具最大轉位量(mm) (圖 3.4 及 3.5) 圓弧導角設計參數( i = p, g )(mm) (圖 3.3). fl (i ) Fi Ai L ij. 圓弧導角設計參數( i = p, g )(mm). mn ms M (i ) M 0(i ) M ij. 法向模數(mm/齒) 傳動面之模數(mm/齒) 齒條刀刀面之動點 (圖 3.2) 齒條刀刀面之固定點 (圖 3.2) 齊次座標轉換矩陣：(座標系 S j 轉換至座標系 Si ). M (i φ ). 位置向量轉換矩陣：( ri 旋轉 φ1' 角)( i = ΔD, Δγ ). (圖 3.3). 嚙合方程式( i = p, g ) 齒條刀齒面設計參數( i = p, g )(mm) (圖 3.2) 法向量轉換矩陣：(座標系 S j 轉換至座標系 Si ). n(i) c. 座標系 Sc 上齒條刀刀面之單位法線向量( i = p, g ). n(i) f N N N(i) c Oi pi. 座標系 S f 上齒條刀刀面之單位法線向量( i = p, g ) 第 N 齒(N = 1,2,…T) 嚙合齒面之共同法線向量 座標系 Sc 上齒條刀刀面之法線向量( i = p, g ) 座標系 Si 之原點 嚙合接觸點之位置向量的分量( i = x, y, z ) -x-.
(13) P Pt PΔγ. 嚙合齒面之共同接觸點 座標系 St 上之動點. (圖 4.3) (圖 5.2). rΔ( Df ). 齒輪旋轉軸之一端點 軸承內環之外徑(mm) 嚙合節圓半徑( i = 1,2 )(mm) (圖 2.5) 基圓半徑( i = 1,2 )(mm) (圖 2.5) 節圓半徑( i = 1,2 )(mm) (圖 3.1) 齒頂圓半徑( i = 1,2 )(mm) (圖 2.5) 軸承內環移浮動範圍之半徑(mm) 切平面T 上之向量 (圖 4.3) 偏心誤差之位置向量 (圖 5.2) 軸偏擺誤差之位置向量 (圖 5.2) 偏心誤差表示於固定座標系 S f 之位置向量. rΔ( γf ). 軸偏擺誤差表示於固定座標系 S f 之位置向量. Ri Rt. 齒輪齒面軌跡之位置向量( i = 1,2 ) 點 OT 至點 PT 之長度(mm). (圖 4.3). RB(i ). 冠狀修整之圓弧曲率半徑( i = 1,2 )(mm). (圖 3.4). R (i) c. 齒條刀刀面於座標系 Sc 之位置向量( i = p, g ). ra rbi rgi ri rki ro rt rΔD rΔγ. R (i) f. 齒條刀刀面、齒面軌跡於固定座標系 S f 之位置向量 ( i = p, g ,1,2 ). R (i) r. 齒條刀刀面於座標系 Sr 之位置向量( i = p, g ). R (i) t Si ( X i , Yi , Z i ). 齒輪齒面軌跡於座標系 St 之位置向量( i = 1,2 ) 座標系 Si ( i = f , h, m, n, s, t , v ). S (fi ) ( X (fi ) , Y f(i ) , Z (fi ) ) 座標系 S (fi ) ( i = 1,2 ) S (ji ) ( X (ji ) , Y j(i ) , Z (ji ) ) 座標系 S (ji ) ( i = p, g ， j = a, c, d , f , r , B ) T Ti ui. V (ij) Vf(i) Vf(ij) W xi. 嚙合齒面之共同切平面 齒數( i = 1,2 ) 齒條刀齒面設計參數( i = p, g )(mm) 物體 i 相對於物體 j 之速度 物體i 在座標系 S f 之速度. (圖 3.6) (圖 3.4). 物體i 相對於物體 j 之速度表示於座標系 S f 齒寬(mm) 轉位係數( i = p, g ) - xi -. (圖 3.4).
(14) y. βi γi γ oi Δγ h Δγ v Δγ Nh Δγ Nv δ ε εα θt. 中心距補正係數 嚙合壓力角(度) 傳動面之壓力角(度) 法向壓力角( i = p, g )(度) 螺旋角( i = p, g ) (度) 靠模版參數( i = p, g ) (度) 靠模版參數極限值( i = p, g ) (度) 水平軸向裝配誤差(度) 垂直軸向裝配誤差(度) 第 N 齒之水平軸向裝配誤差(度) 第 N 齒之垂直軸向裝配誤差(度) Z m 軸與 Z n 軸之夾角(度) Z n 軸與 Z t 軸之夾角(度) 橫向接觸比 切平面 T 上之角度(度). θ u(i ). 圓弧導角參數(度). (圖 3.3). θ l(i ) λi. 圓弧導角參數(度) 導程角( i = p, g ) (度). (圖 3.3). ρu(i ). 圓弧導角之半徑(mm). (圖 3.3). ρl(i ) φi. 圓弧導角之半徑(mm). (圖 3.3). α bs αs. α n(i ). φj φN φi' Δφ2 ωi ωi Σi. (圖 2.5) (圖 3.2 及 3.3) (圖 3.4) (圖 3.4) (圖 3.4) (圖 4.1) (圖 4.1). (圖 4.4) (圖 4.4) (圖 4.2). (圖 3.4). 齒輪創成時之旋轉角( i = 1,2 ) (度) (圖 3.7) 偏 擺 誤 差 之 位 置 向 量 rj 的 旋 轉 角 (圖 5.3 及 5.4) ( j = ΔD, Δγ ) (度) 齒輪旋轉至第 N 齒之角度(度) 齒輪嚙合時之旋轉角( i = 1,2 ) (度) (圖 4.1) 運動誤差(弧度-秒) 齒輪之旋轉角速度(純量)( i = 1,2 ) (弧度╱秒) 齒輪之旋轉角速度( i = 1,2 ) (弧度╱秒) (圖 3.1 及 3.7) 齒條刀、齒輪之齒面( i = p, g ,1,2 ). - xii -.
(15) 第一章 緒論 1.1 前言 漸開線螺旋齒輪主要應用於平行軸的傳動，而螺旋齒輪其實亦可視為 由無限多個極薄的正齒輪，沿著齒輪之旋轉軸作螺旋運動所組合而成。由 於漸開線螺旋齒輪(Involute Helical Gear)相對於正齒輪來說，因為具有較大 的齒輪接觸比，齒輪嚙合應力較小且運轉較平順，故廣泛地被產業界所使 用。為配合實際製造和使用之問題以及特殊之需求，漸開線螺旋齒輪經常 必須對其齒面進行修整，以改變齒輪之接觸比(Contact Ratio)、齒輪之強度 與齒面接觸齒印等齒輪性質及避免齒輪過切(Tooth Undercutting)的問題。一 般漸開線螺旋齒輪之齒面修整主要有冠狀 (Crowning) 及齒形修整 (Profile. Modification)，冠狀修整乃是沿著漸開線螺旋齒輪之齒筋方向，亦即導程 (Lead)方向，利用刀具將漸開線螺旋齒輪齒筋方向兩端之齒肉進行微量之刮 除，使得齒輪在齒筋方向兩端之齒厚(Tooth Thickness)略微縮小；齒形修整 則是針對漸開線螺旋齒輪之齒形 (Profile) 作改變，可調整齒輪壓力角. (Pressure Angle) 之角度及轉位量 (Amount of Shift) ，或對齒輪之齒冠 (Addendum)或齒根(Dedendum)進行特殊之修整加工，使齒輪之齒形產生變 化。一齒輪對在嚙合時，其接觸點或接觸線將因齒面受力而造成彈性變形， 使得其接觸點或接觸線變成一個接觸區域，而此接觸區域一般是呈現橢圓 之形狀，故亦稱為接觸橢圓或接觸齒印(Bearing Contact)，亦即嚙合之兩齒 輪接觸時於其齒面上所產生之接觸區域。工業上所進行之齒輪齒印試驗， 一般是使用紅丹作為顯示齒印之顏料，而在理論分析模擬齒輪之齒印時， 則多以紅丹之顆粒大小作為理論模擬的依據。無論是具冠狀或經過齒形修 整之漸開線螺旋齒輪，其接觸狀況皆會隨著齒輪修整量之多寡而產生變 化，藉由齒印分析則可直接觀察到該齒輪於嚙合時之接觸狀況，並能更進 -1-.
(16) 一步了解改變冠狀修整量與轉位量之齒形修整對漸開線螺旋齒輪接觸狀況 之影響。. 1.2 文獻回顧 漸開線螺旋齒輪是一種廣為工業界所使用之齒輪，故已有不少相關研 究，冠狀及齒形修整亦是工業界所普遍運用的技術，但對進行冠狀及齒形 修整之漸開線螺旋齒輪的接觸狀況及接觸齒印之探討與研究尚不多見。. Litvin[1][2]提出齒輪理論之相關探討及接觸分析。蔡等人[3][4]於 1986 年推 導漸開線螺旋齒輪之數學模式，以及提出漸開線螺旋齒輪之電腦模擬與接 觸分析。蔡等人[5]於 1988 年進行冠狀正齒輪之研究。王[6]於齒輪原理概要 中提及冠狀與轉位之理論與相關之齒輪方程式。李[7]論述正齒輪之轉位設 計與運用。仙波[8]對轉位正齒輪與轉位螺旋齒輪有諸多探討及研究。陳[9] 於 2001 年提出假想齒輪刀具之修整型螺旋齒輪的特性研究。梅山[10]於. 1995 年以三維切線極座標建立具齒面修整之螺旋齒輪方程式，並探討壓力 角、螺旋角(Helix Angle)及冠狀與齒面修整對傳動誤差(Transmission Error) 之最佳化(Optimization)。張[11]於 1996 年提出模擬電腦數控滾齒機，以滾 削冠狀螺旋齒輪並建立相關之齒輪齒面數學模式和進行齒輪接觸分析. (Tooth Contact Analysis, TCA) 。蔡 [12]於 1998 年提出以圓弧型之磨輪 (Grinding Wheel)或切削刀具來創成修整型螺旋齒輪並探討在負載下的齒印 分析。王[13]於 1997 年研究修整型螺旋齒輪之接觸分析。張[14]於同年進行 修整型螺旋齒輪之傳動誤差之測試與分析。曾[15]及趙[16]於 2005 年分別探 討圓弧線圓柱型齒輪和球形齒輪之齒面數學模式及接觸齒印分析及其相關 研究。. -2-.
(17) 1.3 研究內容 經冠狀修整與齒形修整之漸開線螺旋齒輪，除齒輪之齒筋及齒形會改 變外，其接觸狀況及齒印亦會依齒輪之修整方式及修整量而有所不同，本 論文即探討漸開線螺旋齒輪其冠狀量、轉位量及壓力角改變時，齒輪之接 觸齒印會產生何種變化。首先將利用 Litvin[1][2]所提出之齒輪原理及蔡等 人[3]所發展之齒輪數學模式的推導流程，來建立具冠狀與齒形修整之漸開 線螺旋齒輪的數學模式。接著運用電腦輔助設計技術，對經過齒形修整的 漸開線螺旋齒輪進行接觸齒印模擬與分析，探討不同之齒輪修整量時之接 觸齒印，並假設嚙合齒輪組具有裝配誤差的情形下，經修整之漸開線螺旋 齒輪的接觸特性。本研究更考量齒輪在製造與裝配之實務問題，亦即製造 或裝配誤差具有非定值的偏擺誤差之情況下，漸開線螺旋齒輪的接觸狀 態的變化。 茲臚列本論文之研究大綱如下： 第一章為緒論。概述漸開線螺旋齒輪之冠狀修整與齒形修整及齒印分析， 並進行文獻之回顧與介紹各章之研究內容。 第二章則探討漸開線螺旋齒輪之冠狀修整與齒形修整。介紹本研究中漸開 線螺旋齒輪所使用的修整方法，並做為後續章節建立齒輪齒面數學模式之 依據。 第三章係探討具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪的齒面數學模式。運用 創成共軛運動對之相關理論為基礎，建立具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋 齒輪的齒面數學模式。 第四章探討具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪接觸與齒印分析。依據第 三章所推導之齒面數學模式配合齒輪組之裝配狀態與齒面接觸條件，建立 齒輪對之接觸分析模式並據以模擬一對齒輪的嚙合傳動狀態及接觸齒印。 第五章則探討具齒面修整之螺旋齒輪在具有偏擺誤差時之齒輪接觸模擬與 齒印分析。建立齒輪對在具有偏擺誤差時之關係數學模式，進而探討具偏. -3-.
(18) 擺誤差且具有冠狀修整之漸開線螺旋齒輪的接觸模擬與齒印變化。 第六章為本論文之結論與未來展望。. -4-.
(19) 第二章 冠狀修整與齒形修整 2.1 冠狀修整 在齒輪製造與裝配的過程中，製造與裝配誤差是在所難免，漸開線螺 旋齒輪本身雖具有容許些微中心距誤差之特性，但在齒輪旋轉軸呈軸向裝 配偏差的情況，除造成嚙合之齒輪組的運動誤差 (Kinematical Error)增加 外，齒輪嚙合時之接觸齒印的位置和分佈，亦會從原本理想組裝狀態之平 均分佈於齒面之齒筋方向轉而偏至齒筋方向之兩端面，亦即接觸齒印可能 會落於齒輪之端面上，造成所謂的齒緣接觸(Edge Contact)。齒緣接觸除了 會造成齒面應力集中外，亦可能導致齒面的崩壞和減少齒輪之使用壽命， 也會因為齒輪的傳動不平穩而產生振動及噪音問題。 為了因應上述情形之產生，產業界常對齒輪進行齒面冠狀修整，如圖. 2.1 所示，則是工業上常用的改善之道，亦即是沿著齒輪之齒筋方向，利用 刀具轉位滾削的方式，將齒輪齒筋方向兩端之齒肉做微量的刮除，使其兩 端之齒厚縮小，以避免因裝配時具有旋轉軸之軸向偏差，而導致接觸齒印 偏向齒筋方向之兩端面，使得齒輪齒面之接觸位置可以落於齒筋之中央區 域。. 圖 2.1 轉位滾削之齒輪其齒面的冠狀修整效果. -5-.
(20) 在實際滾削齒形具有冠狀效果之齒輪時，乃是使用滾齒刀具於滾齒時 加入冠狀滾削，或使用刮刀(Shaving Cutter)或磨輪對齒輪進行再加工。加工 路徑的選擇，在傳統滾齒機是使用靠模板(Curved-Template Guide)來控制刀 具與工件軸心之距離，如圖 2.2 所示，亦即控制轉位量以達到齒形具冠狀之 目的。靠模板之曲線設計雖可依製造者決定，但一般均設計及考慮靠模板 曲線為一圓弧。. 圖 2.2 滾齒機之一般滾削路徑與冠狀齒形滾削路徑示意圖 -6-.
(21) 2.2 齒形修整 漸開線齒輪在設計製造時，若選用之齒數過少，則齒輪會發生所謂的 齒形過切(Tooth Undercutting)現象，亦即齒輪之齒根部分在創成過程中會被 刀具之齒冠過度的切除，於是在齒輪之截面上可發現其齒形上產生一尖 點，亦即所謂的奇異點(Singular Point)，造成漸開線齒形之斜率的不連續。 齒輪之齒形過切除了影響齒輪傳動的平穩外，齒輪運轉時也會伴隨產生振 動及噪音，更可能因齒輪之齒根部分被過度的切除，而導致齒輪之齒根應 力集中而使得該齒輪易於發生崩壞斷裂與影響齒輪之壽命。此外，齒形之 過切也會影響到齒輪的接觸比，亦影響到齒輪運轉時之振動、噪音和運轉 的平穩度，一般而言，接觸比越高的齒輪對，其振動及噪音較低，傳動平 穩度也會較佳。 產業界常用之齒形修整即為應對上述情況的齒輪修整方法，藉由齒輪 之齒形改變以減少齒形過切現象或提高接觸比或避免齒緣接觸發生，進而 改善齒輪之振動、噪音和傳動平穩度等問題。齒形修整的方式除了對齒冠 或齒根進行特殊的再加工，於漸開線齒輪設計製造時使用適當的齒形轉位 切削，亦因漸開線齒輪容許中心距誤差的特性，而為漸開線齒輪特有的常 用齒形修整法；另外調整齒輪之壓力角亦為齒形修整常用之方式。 茲以齒條刀(Rack Cutter)來模擬切製齒輪，齒輪轉位修整之轉位量是指 齒條刀在切製齒輪時，齒條刀之基準節線(Standard Pitch Line)與齒輪之基準 節圓(Standard Pitch Circle)之切線，沿著兩者之共同法線所量得之距離，而 此轉位量等於齒輪模數 m(Module)與轉位係數 x (Shifted Coefficient)的乘 積。當基準節線與基準節圓相離時，其轉位稱為正轉位，轉位量稱為正轉 位量，如圖 2.3 所示。當基準節線與基準節圓相交時，該齒輪之轉位稱為負 轉位，轉位量則為負轉位量，如圖 2.4 所示。正轉位與負轉位切削對漸開線 齒輪之齒形修整的效果及影響不同，齒輪之轉位特性概略歸納如表 2.1 所 -7-.
(22) 表 2.1 齒輪正負轉位特性比較表 正轉位. 負轉位. 過切現象. 減少. 增加. 接觸比 作用壓力角 齒根強度 齒頂 全齒深 振動與噪音. 下降 變大 略增 變尖 變短 增加. 上升 變小 略減 變寬 變長 減少. 圖 2.3 正轉位切削之齒輪外形 -8-.
(23) 圖 2.4 負轉位切削之齒輪外形. -9-.
(24) 示。一般來說，齒輪正轉位切削主要是為了避免或減輕過切現象的發生， 可提升齒根強度，但是會降低齒輪接觸比；負轉位切削與正轉位切削之效 果剛好相反，一般而言，負轉位切削可增加齒輪之接觸比，但卻也會增加 齒形過切現象的發生及齒根強度之下降。因此，在使用轉位切削來進行齒 形修整時，必須依齒輪之特殊需求及條件來適當選擇正轉位或負轉位切削 以及適當之轉位量。 若以調整壓力角的方式來進行齒輪之齒形修整，其主要之目的是在改 變齒輪之接觸比及齒輪強度，而齒輪之橫向接觸比(Transverse Contact Ratio) 是指在傳動面上，兩齒輪之嚙合長度(Contact Length)與法向節距(Normal. Pitch)之比值，嚙合長度即如圖 2.5 所示，其中的 α bs 是傳動面上之作用壓力 角(Operating Pressure Angle)，為兩齒輪於嚙合時所呈現的壓力角，rg 與 rk 分 別為齒輪基圓半徑及齒頂圓半徑，rb 則為轉位齒輪嚙合時之節圓半徑，王[6] 於書中以數學式表示螺旋齒輪之橫向接觸比 εα 如下：. εα =. rk12 − rg12 + rk 2 2 − rg 2 2 − C x sin α bs. π ms cosα s. (1.1). 其中： 下標 1 及 2 分別表示齒輪 1 與齒輪 2， Cx 為兩齒輪嚙合之中心距離， ms 為 齒輪傳動面之模數， α s 則為齒輪傳動面之壓力角。 由上式中可看出齒輪接觸比與壓力角之關係，而作用壓力角與齒輪之 壓力角乃是呈現正相關，故於其他齒輪參數固定的條件下，齒輪壓力角變 小時，其接觸比會增大；反之，當齒輪壓力角變大時，則其接觸比會下降。 然而齒輪之壓力角亦不宜過小，較小的齒輪壓力角雖然會增加齒輪之接觸 比，但也容易造成齒輪之過切，而較小壓力角之齒輪其齒形則會變得較為 細長，且易增加齒根應力集中的效應，造成齒輪之齒根強度減弱而可能導 致輪齒的斷裂。 - 10 -.
(25) 圖 2.5 轉位齒輪之嚙合長度. - 11 -.
(26) 第三章 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪的齒面數學模式 3.1 前言 一對嚙合的漸開線螺旋齒輪，可分為一小齒輪 (Pinion) 與一大齒輪. (Gear)，大小齒輪一般在滾齒製造時可用同一把滾刀來滾削，而在滾齒機上 一般所使用的滾齒刀(Hob Cutter)之滾齒動作，即可視為是齒條刀作平移運 動及工件作旋轉運動所構成之相對運動。因此，在模擬齒輪之創成時，其 小齒輪可視為由一把齒條刀切製而成，而大齒輪則可由另一把齒條刀切製 而成。基本上，在齒輪之切製過程的每一瞬間，齒條刀與被切製的齒輪可 視為線接觸，而所切製的大小齒輪嚙合時亦為線接觸。圖 3.1 為兩齒輪在嚙 合時，其齒輪之節圓相互運動與相關座標系之關係示意圖，此圖亦同時顯 示以齒條刀在切製小齒輪與大齒輪時之創成運動示意圖，其中座標系 S1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) 係固聯於小齒輪之座標系，而座標系 S 2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 係固聯於大 齒輪之座標系。當切製小齒輪時，齒條刀置於實心之小圓筒(Cylinder)形工 件的上方，小圓筒形工件之半徑為小齒輪之節圓(Pitch Circle)半徑加上小齒 輪之齒冠高，亦即小齒輪之外徑，齒條刀及小圓筒形工件在創成時之相對 運動和方向示意如圖 3.1 所示。當切製大齒輪時齒條刀則置於實心之大圓筒 形工件下方，大圓筒形工件之半徑為大齒輪之節圓半徑加上大齒輪之齒冠 高，齒條刀及大圓筒形工件在創成時之相對運動和方向示意圖亦如圖 3.1 所 示。因漸開線螺旋齒輪是由齒條刀所切製創成而成，因此，欲推導漸開線 螺旋齒輪之齒面數學模式時，必須先從齒條刀之數學模式著手，再利用齊 次座標(Homogeneous Coordinates)轉換矩陣方程式，根據齒條刀創成齒輪以 及冠狀修整之路徑進行座標轉換，並依微分幾何原理找出接觸點或線的位 置及其在接觸面上的共同法線向量(Common Normal Vector)，同時加入轉位 之齒形修整，再配合齒面運動機構之嚙合方程式(Equation of Meshing)，如 - 12 -.
(27) 此即可分別推導出小齒輪與大齒輪之齒面數學方程式。. 圖 3.1 兩嚙合齒輪之座標系間的運動示意圖. 3.2 齒條刀之齒面數學模式 如前所述，漸開線螺旋齒輪可由齒條刀所切製創成，茲假設Σp 和Σg 分別代表切製小齒輪和大齒輪之兩把齒條刀之刀具面，被創成之漸開線螺 旋齒輪的大齒輪和小齒輪之齒面則分別以Σ1 與Σ2 表示，亦即齒條刀之刀 - 13 -.
(28) 具面Σp 切製小齒輪之齒面Σ1，而齒條刀之刀具面Σg 則切製大齒輪之齒面 Σ2。如圖 3.2 所示之齒條刀Σp 和Σg，其兩側呈左右對稱，而齒條刀之主體 為其直邊刀刃，直邊刀刃的兩端分別接續齒條刀之齒根導角 (Dedendum. Fillet)與齒頂導角(Addendum Fillet)，亦即齒條刀之上導角(Upper Fillet)與下 導角(Lower Fillet)。在齒條刀切製齒輪的過程中，齒條刀之直邊將創成齒輪 之漸開線齒形部分，齒條刀之齒根導角將會創成出齒輪之齒頂導角，而齒 條刀之齒頂導角將會創成出齒輪之齒根導角。於本論文往後各章節中，為 避免齒條刀與齒輪之導角產生混淆，齒條刀之齒根導角與齒頂導角改以齒 條刀之上導角與下導角稱呼之。此外，由於無論大齒輪或小齒輪，其切製 流程均相同，故Σp 和Σg 皆以Σi 表示，往後各參數中之 i 即代表 p 和 g，即. i = p, g。 圖 3.2 所示為齒條刀Σi 之法向剖面圖(Normal Cross Section)，其中 α n(i ) 係法向壓力角(Normal Pressure Angle)， A i 則為直邊刀刃之一設計參數，表 示 由 固 定 點 M 0(i ) 沿 著 齒 刀 面 到 其 直 邊 之 任 一 動 點 M (i ) 之 距 離 ， 即 JJJJJJJJJK JJJJJJJJJK A i = M 0(i ) M (i ) ，其範圍定義為 0 ≤ A i ≤ M 0(i ) M (i ) 。圖 3.3 則為圖 3.2 中齒條刀 Σi 之上下導角之放大圖，其中 ρu(i ) 係齒條刀之上導角的圓弧半徑， ρl(i ) 則為 其下導角之圓弧半徑，θ u(i ) 與 θ l(i ) 分別是描述上導角與下導角的圓弧參數， 而 α n(i ) ≤ θ u(i ) ≤ π ╱ 2 和 α n(i ) ≤ θ l(i ) ≤ π ╱ 2 則為此兩參數之定義範圍。 在圖 3.2 及圖 3.3 中所示之齒條刀的法向剖面，其直邊及上下導角的各 相關參數說明如下：. α n(i ) 表法向壓力角(Normal Pressure Angle)； au(i ) 表齒根高，於本研究中設定 au(i ) = 1.0mn，mn 為法向模數(Normal Module)； al(i ) 表齒冠高，於本研究中設定 al(i ) = 1.0mn ；. 2bi 表齒條刀法向節距之一半，亦等同於齒厚，即 2bi = Pn ╱ 2 ，其中 Pn 為周 節(Circular Pitch)；. - 14 -.
(29) fu(i ) 表上導角起始點位置參數，於本研究中設定 fu(i ) = 0.1mn ； fl (i ) 表下導角起始點位置參數，於本研究中設定 fl (i ) = 0.15mn ；. JJJJJJJJJK A i = M 0(i ) M (i ). 圖 3.2 齒條刀Σi 法向剖面圖. 圖 3.3 齒條刀Σi 之圓弧導角法向剖面圖 - 15 -.
(30) 茲將齒條刀Σi 之各部分的法向剖面在 S r(i ) ( X r(i ) , Yr(i ) , Z r(i ) ) 座標系之通式表示 式為：. ⎡ xr(i ) ⎤ ⎢ (i ) ⎥ R (i) = ⎢ yr ⎥ r ⎢ (i ) ⎥ ⎣⎢ zr ⎦⎥. (3.1). 由圖 3.2 及圖 3.3 可知，齒條刀Σi 之左半邊的直邊方程式為. R (i) lsr. ⎡ ⎤ A i cosα n(i ) − al(i ) ⎢ ⎥ = ⎢A i sin α n(i ) − al(i ) tan α n(i ) − bi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ ⎥⎦. (3.2). 齒條刀Σi 之左半邊上導角方程式為. R (i) lur. ⎡ ⎤ ρu(i ) sin θ u(i ) − ρu(i ) sin α n(i ) + au(i ) ⎢ (i ) ⎥ = ⎢ − ρu cosθ u(i ) + ρu(i ) cosα n(i ) + au(i ) tan α n(i ) − bi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥. (3.3). 齒條刀Σi 之左半邊下導角方程式為. R (i) llr. ⎡ ⎤ − ρl(i ) sin θ u(i ) + ρl(i ) sin α n(i ) − al(i ) ⎢ ⎥ = ⎢ ρl(i ) cosθ l(i ) − ρl(i ) cosα n(i ) − al(i ) tan α n(i ) − bi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ ⎥⎦. (3.4). 齒條刀Σi 之右半邊直邊方程式為. R (i) rsr. ⎡ ⎤ A i cosα n(i ) − al(i ) ⎢ ⎥ = ⎢ −A i sin α n(i ) + al(i ) tan α n(i ) + bi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥. (3.5). 齒條刀Σi 之右半邊上導角方程式為. - 16 -.
(31) R (i) rur. ⎡ ⎤ ρu(i ) sin θ u(i ) − ρu(i ) sin α n(i ) + au(i ) ⎢ ⎥ = ⎢ ρu(i ) cosθ u(i ) − ρu(i ) cosα n(i ) − au(i ) tan α n(i ) + bi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ ⎥⎦. (3.6). 齒條刀Σi 之右半邊下導角方程式為. R (i) rlr. ⎡ ⎤ − ρl(i ) sin θ u(i ) + ρl(i ) sin α n(i ) − al(i ) ⎢ (i ) ⎥ = ⎢ − ρl cosθ l(i ) + ρl(i ) cosα n(i ) + al(i ) tan α n(i ) + bi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥. (3.7). 茲考慮欲模擬切製具螺旋導程角(Lead Angle) λi 且又具有轉位之齒條刀 外形時，則齒條刀之正交剖面應依如圖 3.4 所示之移動路徑運動，才可形成 此齒條刀之外形。座標系 Sc(i ) ( X c(i ) , Yc(i ) , Z c(i ) ) 為齒條刀之固定座標系，其中. Yc(i ) − Z c(i ) 平面為齒條刀之基準節線和被切製之齒輪節圓所在平面。座標系. Sa(i ) ( X a(i ) , Ya(i ) , Z a(i ) ) 為一輔助的移動座標系，Ya(i ) 軸與 Z c(i ) 軸間的夾角為被創成 齒輪之螺旋導程角 λi ， Z a(i ) 軸與 Z c(i ) 軸間的夾角則為被創成齒輪之螺旋角. β i 。在切製無冠狀修整的漸開線螺旋齒輪時，齒條刀Σi 之法向剖面需置放 於 X a(i ) − Ya(i ) 平面，ui 為一設定之參數，表示由固定座標系的原點 Oc(i ) 到移動 JJJJJJJK (i ) 座標系的原點 Oa 之距離，即 ui = Oc(i )Oa(i ) ，而齒條刀Σi 係沿著 Oc(i )Oa(i ) 移動 以切製齒輪。若欲切製具有冠狀修整齒形之漸開線螺旋齒輪，則需令齒條 刀Σi 之法向剖面固聯於座標系 Sr(i ) ，且以 OB(i ) 為原點 RB(i ) 為半徑，使其與座 標系 S a(i ) 一同沿著 Oc(i )Oa(i ) 的方向移動，座標系 S r(i ) 與座標系 S a(i ) 之距離是一 個變動的參數 E(如圖 3.4)，可表示齒條刀於某一位置之轉位量，亦即滾齒 機在滾切時滾齒刀於某一位置之轉位量，而齒輪在節圓處的齒筋方向冠狀 量之值則以 E1 表示(如圖 3.5(a)與(b)所示)；γ i 則為靠模板曲線參數之一，用 以決定刀具於靠模板曲線的位置，當 γ i = γ oi 時，刀具的轉位量 E 達到最大 值 E2 (如圖 3.4 及圖 3.5(a)與(c)所示)，此時齒筋方向之冠狀修整量亦達到最 - 17 -.
(32) 圖 3.4 形成具導程角之齒條刀的相關座標系關係. - 18 -.
(33) 圖 3.5 刀具之位移量及齒輪冠狀修整量之關係. - 19 -.
(34) 大量 E1。在此設定靠模板曲線為一圓弧，則其曲率半徑為 RB(i ) 。根據以上所 述之關係，可求得以下關係式：. ui = RB(i ) (sin γ oi − sin γ i ). (3.8). E = RB(i ) (1 − cos γ i ). (3.9). E2 = RB(i ) (1 − cos γ oi ). (3.10). 其中， − sin −1. W W −1 ≤ γ ≤ sin ，W 則表示齒寬。 oi 2 RB(i ) sin λi 2 RB(i ) sin λi. 依據圖 3.4 所示之齒條刀Σi 與各座標系間的關係，即可利用齊次座標轉換 矩陣方程式將齒條刀Σi 之齒刀面數學模式表示於座標系 Sc(i ) 如下： (i) R (i) c = M ca M ar R r. (3.11). 其中. ⎡1 ⎢0 M ar = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. 0 1 0 0. 0 −E ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦. 0 ⎡1 ⎢0 sin λ i M ca = ⎢ ⎢0 − cos λi ⎢ 0 ⎣0. 0 cos λi sin λi 0. (3.12). 0 ⎤ ui cos λi ⎥ ⎥ ui sin λi ⎥ ⎥ 1 ⎦. (3.13). M ar 及 M ca 即為齊次座標轉換矩陣，分別表示將位置向量從座標系 S r(i ) 轉換 至座標系 S a(i ) ，以及從座標系 S a(i ) 轉換至座標系 Sc(i ) 。齒條刀Σ i 之齒刀面 數學模式轉換至座標系 Sc(i ) 後可得：. ⎡ ⎤ xr(i ) − RB(i ) (1 − cos γ i ) ⎢ ⎥ (i ) (i ) y sin R (sin sin )cos R (i) λ γ γ λ = + − ⎢ r i B oi i i ⎥ c ⎢ (i ) ⎥ (i ) ⎣⎢ − yr cos λi + RB (sin γ oi − sin γ i )sin λi ⎦⎥. - 20 -. (3.14).
(35) 3.3 接觸線之共同法線向量 齒條刀Σ i 與被其創成之齒輪兩者在切製過程為共軛運動 (Conjugate. Action)關係，在切製過程中兩者間會有共同之接觸線且其法線向量是一致 的。依據微分幾何原理，若齒條刀Σi 之齒刀面數學模式分別對其兩個刀面 參數 A i 及 γ i 取其偏微分後再求兩者之外積，即可求得齒刀面之法線向量並表 示在座標系 Sc(i ) 如下：. N(i) c. ∂R (i) ∂R (i) c = × c ∂A i ∂γ i. (3.15). 其單位法線向量則可由下式求得：. n(i) c. N(i) = c(i) Nc. (3.16). 因此，齒條刀Σi 之左邊直邊刀面的法線向量可求得如下：. n(i) lsc. ⎡ ⎤ − sin α n(i ) cos γ i ⎢ ⎥ = A ⎢ cosα n(i ) cos γ i sin λi + sin α n(i ) sin γ i cos λi ⎥ ⎢ ⎥ (i ) (i ) ⎢⎣ − sin α n sin γ i cos λi + cosα n cos γ i sin λi ⎥⎦. 其中 A =. (3.17). 1 cos 2 γ i cos 2 α n(i ) + sin 2 α n(i ). 同理，齒條刀Σi 之右邊直邊刀面的法線向量亦可求得如下：. n(i) rsc. ⎡ ⎤ sin α n(i ) cos γ i ⎢ ⎥ = A ⎢ cosα n(i ) cos γ i sin λi − sin α n(i ) sin γ i cos λi ⎥ ⎢ ⎥ (i ) (i ) ⎢⎣ − sin α n sin γ i cos λi − cosα n cos γ i sin λi ⎥⎦. 其中 A =. 1 cos 2 γ i cos 2 α n(i ) + sin 2 α n(i ). - 21 -. (3.18).
(36) 3.4 嚙合方程式 齒輪之嚙合方程式是表示齒輪齒面座標 A i 和 γ i 與運動參數 φ 之間的關 係式。由於兩嚙合曲面於嚙合時其齒面之接觸狀態應為連續性，如圖 3.6 所 示，P 點為兩嚙合運動曲面Σ1 與曲面Σ2 於空間相切時之共切點(Common. Tangent Point)，同時亦為兩嚙合曲面之瞬時接觸點。兩嚙合曲面在 P 點具 有共同法線向量 N；V(12)則表示曲面Σ1 與曲面Σ2 在 P 點之相對速度。 由於兩曲面在嚙合運動的過程中為連續之接觸狀態，既不會產生一個 曲面嵌入另一個曲面，也不會發生兩曲面分離而失去接觸狀態，故不論兩 曲面嚙合時是點接觸或線接觸，在其共同法線向量的方向並不存在相對速 度 V(12)。但兩嚙合曲面間必存在有相對速度才有嚙合運動關係，故兩者間 之相對速度必定與其共同法線向量垂直且落於兩曲面之共同切平面. (Common Tangency Plane)T 上，如圖 3.6 所示。 由上述現象可得知：兩嚙合運動之曲面，其共同法線向量 N 與其相對 速度 V(12)在共切點 P(亦即瞬時接觸點)處必相互垂直，亦即兩者之內積為零：. N ⋅ V (12) = 0. (3.19). 此關係式就是齒輪原理中兩共軛曲面之嚙合運動條件式，亦即所謂的嚙合 方程式(Equation of Meshing)。 現在就以齒條刀Σp 切製小齒輪Σ1 為例，來推導兩者間之嚙合方程式。 如圖 3.7 所示，若在齒輪之切製過程中未考慮轉位切削時，則齒條刀Σp 所 在的座標系 Sc( p ) ( X c( p ) , Yc( p ) , Z c( p ) ) 會與參考座標系 S d( p ) ( X d( p ) , Yd( p ) , Z d( p ) ) 重合， 亦即 Sc( p ) = Sd( p ) 。在切製過程中，齒條刀Σp 在小齒輪工件Σ1 之瞬軸面(即. Yd( p ) − Z d( p ) 平面)上方由右向左平移。若在小齒輪之切製時考慮轉位切製且以 轉位係數 x p 來進行轉位之齒形修整，則齒條刀座標系 Sc( p ) 會與相對於參考 座標系 Sd( p ) 沿著 X d( p ) 軸向平移一轉位量 xP mn，而齒條刀Σp 的速度表示在固 定座標系 S f ( X f , Y f , Z f ) 為： - 22 -.
(37) 圖 3.6 空間中兩嚙合運動曲面之關係示意圖. 圖 3.7 齒條刀與小齒輪之相對運動關係. - 23 -.
(38) Vf(p) = −ω1r1 jf. (3.20). 被切製之小齒輪Σ1 的速度表示在固定座標系 S f 則為： JJJJJJK (1) Vf = ω1 × (O1Oc( p ) + R (p) c ) JJJJJJK 其中 O1Oc( p ) = (r1 + x p mn )i f − r1φ1 jf. (3.21). (3.22). 而相對速度 Vf(p1) = Vf(p) − Vf(1) ，故將(3.20)至(3.22)式代入後相減，即可得到 齒條刀Σp 與小齒輪Σ1 在切製過程之相對速度如下：. Vf(p1). ⎡ ω1 (− yc( p ) + r1φ1 ) ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ω1 ( xc( p ) + x p mn ) ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ ⎥⎦. (3.23). 根據前述嚙合方程式之條件： (p1) n(p) =0 f ⋅ Vf. (3.24). (p) 因座標系 S (f p ) 與座標系 Sc( p ) 間並無相對之旋轉，故 n(p) f = n c 。將求得之法線. 向量與相對速度代入(3.24)式，即可求得齒條刀Σp 與小齒輪Σ1 之嚙合方程 式：. F1 (A p , γ p ,φ1 ) = n(fxp ) (− yc( p ) + r1φ1 ) + n(fyp ) ( xc( p ) + x p mn ) = 0. (3.25). 上式經整理簡化後亦可表示成下列之關係式： ( p) yc( p ) n fy φ1 = − ( p ) ( xc( p ) + x p mn ) r1 n fx r1. (3.26). 同理，以齒條刀Σg 切製大齒輪時，若其轉位係數為 xg ，則齒條刀Σg 與大 齒輪Σ2 兩者之相對速度為：. ⎡ ω 2 ( yc( g ) − r2φ2 ) ⎤ ⎢ ⎥ Vf(g2) = ⎢ω 2 (− xc( g ) + xg mn ) ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎣⎢ ⎦⎥. (3.27). 而兩者之嚙合方程式則可求得如下式： - 24 -.
(39) F2 (A g , γ g ,φ2 ) = n(fxg ) ( yc( g ) − r2φ2 ) + n(fyg ) (− xc( g ) + xg mn ) = 0. (3.28). 經整理後亦可化簡成下列之關係式： (g) yc( g ) n fy φ2 = − ( g ) ( xc( g ) − xg mn ) r2 n fx r2. (3.29). 3.5 齒輪之齒面數學模式 根據齒輪原理可知，若將齒條刀Σp 切製小齒輪Σ1 時，兩者每一瞬間 的接觸點或接觸線轉換至小齒輪之座標系 S1 ( X 1, Y1, Z1 ) ，即可求得齒條刀Σp 表示在 S1 座標系之軌跡方程式，此軌跡方程式若再與兩者之嚙合方程式聯 立，即為小齒輪Σ1 之齒面數學模式。 因此，若要推導小齒輪之齒面數學模式，必須先以下列之齊次座標轉 換矩陣方程式來求得齒條刀表示在 S1 座標系之軌跡方程式：. R1 = M1f M fc R (p) c. (3.30). 其中，. ⎡1 ⎢0 M fc = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. 0 0 x p mn + r1 ⎤ 1 0 − r1φ1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 1 0 ⎥ 0 0 1 ⎦. ⎡cos φ1 − sin φ1 ⎢ sin φ cos φ1 1 M1f = ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎣ 0. (3.31). 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦. (3.32). 亦即齒條刀Σp 表示於小齒輪座標系 S1 之軌跡方程式為：. ⎡ xc( p ) cos φ1 − yc( p ) sin φ1 + x p mn cos φ1 + r1 (cos φ1 + φ1 sin φ1 ) ⎤ ⎢ ⎥ R1 = ⎢ xc( p ) sin φ1 + yc( p ) cos φ1 + x p mn sin φ1 + r1 (sin φ1 − φ1 cos φ1 ) ⎥ ⎢ ⎥ zc( p ) ⎣⎢ ⎦⎥ - 25 -. (3.33).
(40) 若將此軌跡方程式與兩者之嚙合方程式聯立，即可求得小齒輪Σ1 之齒面數 學模式。 同理，若將齒條刀Σg 創成大齒輪Σ2 時，兩者每一瞬間的接觸點或接 觸線轉換至大齒輪之座標系 S 2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) ，並與兩者之嚙合方程式聯立，即 可求得大齒輪Σ2 之齒面數學模式。齒條刀Σg 表示於 S 2 座標系之軌跡方程 式可由下列齊次座標轉換方程式求得：. R 2 = M 2f M fc R c(g). (3.34). 其中，. ⎡1 ⎢0 M fc = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. 0 0 − xg mn + r1 ⎤ 1 0 −r2φ2 ⎥ ⎥ ⎥ 0 1 0 ⎥ 0 0 1 ⎦. ⎡ cos φ2 ⎢ − sin φ 2 M 2f = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0. sin φ2 cos φ2 0 0. (3.35). 0 −(r1 + r2 )cos φ2 ⎤ 0 (r1 + r2 )sin φ2 ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 0 1 ⎦. (3.36). 而齒條刀Σg 表示在大齒輪座標系 S2 之軌跡方程式為：. ⎡ xc( g ) cos φ2 + yc( g ) sin φ2 − xg mn cos φ2 − r2 (cos φ2 + φ2 sin φ2 ) ⎤ ⎢ ⎥ R 2 = ⎢ − xc( g ) sin φ2 + yc( g ) cos φ2 + xg mn sin φ2 + r2 (sin φ2 − φ2 cos φ2 ) ⎥ ⎢ ⎥ zc( g ) ⎢⎣ ⎥⎦. (3.37). 若將此軌跡方程式與兩者之嚙合方程式聯立，即可求得大齒輪Σ2 之齒面數 學模式。 大小齒輪之齒頂導角及齒根導角部分亦可依照相同之方式，分別將其 軌跡方程式與嚙合方程式聯立，即可求得齒條刀上下導角所創成之相 對應大小齒輪之齒頂與齒根導角的齒面數學模式。. - 26 -.
(41) 3.6 本章結論 由前面章節所推導而得具冠狀與轉位修整之漸開線螺旋齒輪之齒面數 學模式，若再配合電腦輔助程式運算及繪圖，即可將齒輪之三維齒形描繪 出來，茲有螺旋齒輪具下列之主要設計參數：法向模數 mn = 1.75 mm╱齒， 齒數為 40 齒，壓力角為 20° ，左旋導程角為 80° ，齒寬為 20mm，冠狀修整 量 E1 = 0.35 mm ，轉位係數 x = −0.1 ，齒條刀之齒冠高 au = 1.0mn ，齒根高. al = 1.0mn ， 法 向 節 距 之 一 半 2b = π mn ╱ 2 ， 上 導 角 fu = 0.1mn ， 下 導 角 fl = 0.15mn ，經本章所建立之齒面數學模式及電腦輔助繪圖技術，即可繪出 此漸開線螺旋齒輪之外形，如圖 3.8 所示。本研究所推導得到之大小齒輪的 齒面數學模式，其冠狀與齒形修整乃是根據一般滾齒機之冠狀與漸開線齒 輪轉位滾製方式推導所得，故所推導之齒輪齒面數學模式將有助於產業界 實際滾製具有冠狀與轉位之漸開線齒輪及其分析與模擬工作。此數學模式 對於具有冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪的齒印分析更是重要。. 圖 3.8 經修整之齒輪電腦輔助繪圖範例. - 27 -.
(42) 第四章 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪接觸與齒印分析 4.1 前言 齒輪組於進行嚙合運動時，齒輪的齒形與裝配狀態皆會對齒輪組的傳 動造成影響，依據蔡等人[4]建立之螺旋齒輪的齒面接觸分析(Tooth Contact. Analysis)方法，將本論文前一章節所推導得到的理想齒輪齒面數學模式後， 配合齒輪組之裝配狀態與齒面接觸條件，即可建立出一套齒輪接觸分析模 式，可供模擬一對齒輪的嚙合傳動。而此理論之分析過程，包含以下之假 設條件： 一、齒輪齒面不因受力而變形，即假設齒面為剛體(Rigid Body)。 二、齒輪齒面的製作誤差小到可忽視，即假設為理想之漸開線螺旋齒面。 三、不考慮溫度變化和潤滑狀態所造成之影響。 四、齒輪組之裝配狀態穩定，誤差皆為定值或周期性變化。 於上述假設條件下，透過本章所建立之齒面接觸分析模式，即可得知 理想之齒輪嚙合傳動的接觸點和接觸軌跡，亦可求得齒輪經齒形修整與具 有裝配誤差之狀況下，該齒輪對在嚙合傳動時之運動誤差及接觸點、接觸 齒印和接觸軌跡。 齒印之模擬分析是於接觸分析中，進一步模擬齒輪因齒面受力而造成 彈性變形，使其接觸點變成一個接觸區域。具負載之齒印分析主要使用有 限單元法(Finite Element Method)來分析模擬，而剛體齒印分析有齒面曲率 分析法[1]及齒面外形法(Surface Topology Method)。本論文主要是採用較為 直覺的齒面外形法來模擬接觸齒印，其原理是仿照齒輪的齒印試驗，在兩 嚙合齒面之接觸點附近，齒面原先所塗佈之紅丹顆粒因齒面接觸而被刮 除。因此，設定齒印試驗所使用之紅丹顆粒大小，依齒輪接觸分析所得之 接觸點的周遭，找出符合紅丹顆粒大小條件之範圍視為接觸區域。齒印分 - 28 -.
(43) 析的目的在於使得模擬接觸分析能更接近實際之情形，以及得知齒輪嚙合 接觸時的主要接觸情況與其變化趨勢。. 4.2 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪齒面接觸分析數學模式 進行齒輪之接觸分析時，首先必須將各齒輪之齒面數學模式以及齒面 單位法線向量皆轉換至同一座標系後再加以分析。圖 4.1 所示為小齒輪Σ1 與大齒輪Σ2 之裝配關係示意圖，座標系 S1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) 與 S 2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 分別為 固聯於小齒輪與大齒輪之座標系，其中 Z1 為小齒輪之旋轉軸， φ1' 為小齒輪 實際嚙合時的旋轉角； Z 2 為大齒輪之旋轉軸， φ2' 為大齒輪實際嚙合時的旋 轉角。 S f ( X f , Y f , Z f ) 為固定座標系，座標系 S s ( X s , Ys , Z s ) 為相對於固定座標 系 S f 與齒輪座標系 S1 和 S 2 ，具有平行中心距方向的裝配誤差 ΔC x 與垂直中 心距方向的裝配誤差 ΔC y 之輔助座標系。座標系 Sh ( X h , Yh , Z h ) 與座標系. Sv ( X v , Yv , Z v ) 分別為相對於固定座標系 S f 與小齒輪座標系 S1 和大齒輪座標 系 S 2 ，具有水平軸向裝配誤差 Δγ h 與垂直軸向裝配誤差 Δγ v 之輔助座標系。 首先將兩相嚙合之小齒輪Σ1 和大齒輪Σ2 之齒面數學模式與單位法線 向量，利用齊次座標轉換方法表示於同一固定座標系 S f 如下：. R (1) f = M fs M sh M hv M v1R 1. (4.1). n(1) f = L fs L sh L hv L v1n1. (4.2). 其中. ⎡1 ⎢0 M fs = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. 0 0 ΔC x ⎤ 1 0 ΔC y ⎥ ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎥ 0 0 1 ⎦. (4.3). - 29 -.
(44) 圖 4.1 齒輪組具裝配誤差之座標系間的關係示意圖. - 30 -.
(45) 0 ⎡1 ⎢0 cos Δγ h M sh = ⎢ ⎢0 − sin Δγ h ⎢ 0 ⎣0. M hv. ⎡ cos Δγ v ⎢ 0 =⎢ ⎢ − sin Δγ v ⎢ 0 ⎣. 0 sin Δγ h cos Δγ h 0. 0 sin Δγ v 1 0 0 cos Δγ v 0. 0. ⎡ cos φ1' sin φ1' ⎢ − sin φ1' cos φ1' ⎢ M v1 = ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎣⎢ 0. 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦. (4.4). 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦. (4.5). 0 0⎤ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1 ⎦⎥. (4.6). ⎡1 0 0 ⎤ Lfs = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦. (4.7). 0 ⎡1 Lsh = ⎢0 cos Δγ h ⎢ ⎢⎣0 − sin Δγ h Lhv. ⎡ cos Δγ v 0 =⎢ ⎢ ⎢⎣ − sin Δγ v. ⎤ sin Δγ h ⎥ ⎥ cos Δγ h ⎥⎦. (4.8). 0 sin Δγ v ⎤ 1 0 ⎥ ⎥ 0 cos Δγ v ⎥⎦. (4.9). 0. ⎡ cos φ1' sin φ1' 0 ⎤ ⎢ ⎥ L v1 = ⎢ − sin φ1' cos φ1' 0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎦. (4.10). 經由上式之運算，小齒輪Σ1 表示於固定座標系 S f 之齒面方程式為：. - 31 -.
(46) R (1) f. ⎡ x (1) ⎤ ⎡ ( x1 cos φ1' + y1 sin φ1' )cos Δγ v + z1 sin Δγ v + ΔC x ⎤ f ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' ' = ⎢ y (1) f ⎥ = ⎢ cos Δγ h ( − x1 sin φ1 + y1 cos φ1 ) + A1 sin Δγ h + ΔC y ⎥ ⎢ (1) ⎥ ⎢ ⎥ sin Δγ h ( x1 sin φ1' − y1 cos φ1' ) + A1 cos Δγ h ⎢⎣ z f ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦. (4.11). 其中. A1 = −( x1 cos φ1' + y1 sin φ1' )sin Δγ v + z1 cos Δγ v 小齒輪Σ1 表示於固定座標系 S f 之齒面單位法線向量為：. ⎡ n(1) ⎤ ⎡ (n1x cos φ1' + n1 y sin φ1' )cos Δγ v + n1z sin Δγ v ⎤ fx ⎢ (1) ⎥ ⎢ ⎥ ' ' n n n B cos ( sin cos ) sin n(1) γ φ φ γ = = Δ − + + Δ ⎢ ⎥ ⎢ 1x 1 1y 1 1 f fy h h⎥ ⎢ (1) ⎥ ⎢ ⎥ ' ' ⎣⎢ n fz ⎦⎥ ⎣⎢ sin Δγ h ( n1x sin φ1 − n1 y cos φ1 ) + B1 cos Δγ h ⎦⎥. (4.12). 其中. B1 = −(n1x cos φ1' + n1 y sin φ1' )sin Δγ v + n1z cos Δγ v 同理，亦可將大齒輪Σ2 的齒面數學模式與單位法線向量表示於固定座標系. S f 如下所示：. R (2) f = M f2 R 2. (4.13). n(2) f = L f2n 2. (4.14). 其中. ⎡cos φ2' ⎢ sin φ2' M f2 = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0. − sin φ2'. ⎡cos φ2' ⎢ Lf2 = ⎢ sin φ2' ⎢ 0 ⎢⎣. − sin φ2'. cos φ2' 0 0. cos φ2' 0. 0 C⎤ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1 ⎥⎦. (4.15). 0⎤ ⎥ 0⎥ 1 ⎥⎥ ⎦. (4.16). 經由上式之座標轉換，大齒輪Σ2 表示於固定座標系 S f 之齒面方程式為：. - 32 -.
(47) ⎡ x (2) ⎤ ⎡ x2 cos φ2' − y2 sin φ2' + C ⎤ f ⎢ (2) ⎥ ⎢ ⎥ ' ' R (2) f = ⎢ y f ⎥ = ⎢ x2 sin φ2 + y2 cos φ2 ⎥ ⎢ (2) ⎥ ⎢ ⎥ z2 ⎢⎣ z f ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦. (4.17). 大齒輪Σ2 表示於固定座標系 S f 之齒面單位法線向量為：. n(2) f. ⎡ n(2) ⎤ ⎡ n2 x cos φ2' − n2 y sin φ2' ⎤ fx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' ' n sin n cos φ φ = ⎢ n(2) = + ⎥ ⎢ 2x 2 2y 2⎥ fy ⎢ (2) ⎥ ⎢ ⎥ n2 z ⎣⎢ n fz ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥. (4.18). 當修整型之漸開線螺旋齒輪在進行嚙合運動時，因小齒輪齒面Σ1 與大 齒輪齒面Σ2 相切，兩嚙合齒面之瞬間接觸點 P 落於切平面上，如圖 3.6 所 示。根據本文 3.4 節中所述的嚙合條件，嚙合之兩齒輪的齒面在固定座標系. S f ( X f , Y f , Z f ) 中，其位置向量必定相同，而且兩齒面的單位法線向量必為 共線。因此，兩嚙合齒面接觸時必需滿足下列方程式： (2) R (1) f = Rf. (4.19). (2) n(1) f × nf = 0. (4.20). 方程式(4.19)表示兩嚙合齒輪在其齒面共同接觸點處的位置向量相 等，而該式亦可表示為三個獨立的位置向量方程式： (2) x (1) f = xf. (4.21). (2) y (1) f = yf. (4.22). (2) z (1) f = zf. (4.23). 方程式 (4.20)則表示兩嚙合齒輪在其齒面共同接觸點處之單位法線向量共 線，亦即兩者的單位法線向量之外積為零，但此方程式因係單位法線向量. n(1) = n(2) = 1 ，所以雖然也包含下列三個方程式，其中卻僅有兩個獨立方 f f 程式： (2) (2) (1) n(1) fy n fz − n fy n fz = 0. (4.24) - 33 -.
(48) (2) (2) (1) − n(1) fx n fz + n fx n fz = 0. (4.25). (2) (2) (1) n(1) fx n fy − n fx n fy = 0. (4.26). 在以兩把齒刀Σp 和Σg 來分別創成小齒輪Σ1 和大齒輪Σ2 的過程中，因為 有兩個獨立的嚙合方程式(3.26)及(3.29)，所以進行齒面接觸分析時，共有七 個獨立方程式來解八個未知數 A p 、 A g 、 γ p 、 γ g 、φ1 、φ2 、φ1' 和 φ2' 。若將實 際嚙合時小齒輪的旋轉角 φ1' 設為已知，便可利用數值分析的方法，以此七 個非線性方程式來求解其餘之七個未知數。 在求得兩嚙合齒輪之接觸點的各參數後，其齒輪嚙合運動時的運動誤 差 KE 則可以透過以下關係得知：. KE = Δφ2 = φ2' −. T1 ' φ1 T2. (4.27). 其中 T1 與 T2 分別為小齒輪與大齒輪的齒數。. 4.3 具冠狀與齒形修整之漸開線螺旋齒輪接觸齒印分析的數學模式 接觸齒印分析所使用之齒面外形法，如圖 4.2 所示，乃是假設佈滿紅 丹顆粒之兩嚙合齒面，將其接觸瞬間的接觸點作為共同切平面座標系. St ( X t , Yt , Z t ) 之原點 Ot ，其中 Z t 軸與接觸點之法線向量 n 同方向， X t 軸與 Yt 軸皆必然落於共同切平面 T 上。於兩齒面之接觸點周圍的紅丹顆粒將因齒 面間距小於紅丹顆粒大小而被刮除，此刮除的區域即為所求之接觸齒印。 換言之，兩嚙合齒面接觸點附近所有兩齒面間距小於紅丹顆粒大小所構成 的區域便是接觸齒印，亦即齒輪之嚙合接觸區域。 在實際之接觸齒印模擬時，乃是將兩嚙合之齒面數學模式經由座標轉 換 至 兩 齒 面 之 共 同 切 平 面 座 標 系 St ( X t , Yt , Z t ) ， 再 沿 著 與 X t 軸 夾 角. θ t ( 0 ≤ θ t < 2π )之向量 rt 的方向，如圖 4.2 所示，計算該嚙合瞬間兩齒面之間. - 34 -.
(49) 圖 4.2 兩嚙合齒面與切平面座標系之空間關係示意圖. 圖 4.3 固定一θ t 角時之 rt − Zt 截面示意圖. - 35 -.
(50) 距。圖 4.3 為固定一θ t 角時之 rt − Z t 截面圖，其中 Pt ( 0 ≤ Pt ≤ Pt ' )為 rt 方向上 JJJJK 之一動點，且 Ot Pt = rt = Rt 。點 Pt 至齒面Σ1 與Σ2 的距離分別為 d1 與 d 2 ，d1 與 d 2 相加之值即表示在該動點 Pt 處兩齒面的間距。沿 rt 方向漸增動點 Pt 的位 置，以極座標表示為 Pt (θ t , Rt ) ，當計算所得之間距值等於紅丹顆粒大小. (0.00632mm)，即確定此動點 Pt 的位置與齒輪接觸齒印的範圍值，亦即在θ t 角 之方向，由 Ot 點至 Pt 點之間的紅丹顆粒均會因小於兩齒面間距值而被刮 除。繼續改變θ t 值，重覆上述過程以求得在該θ t 值時，齒面之接觸齒印的範 圍值。接觸點 Ot 周圍所有符合間距條件的 Pt (θ t , Rt ) 點集合，即為齒輪組之兩 嚙合齒面於此接觸瞬間的接觸齒印外形。 為進行接觸齒印分析，如前所述，首先亦需將兩齒輪之齒面數學模式 皆經由座標轉換至切平面座標系 St ( X t , Yt , Z t ) ，圖 4.4 為切平面座標系與其 他座標系間之關係示意圖，其中座標系 S f ( X f , Y f , Z f ) 為齒輪組之固定座標 系，座標系 S m ( X m , Ym , Z m ) 與 S n ( X n , Yn , Z n ) 為輔助座標系， δ 角為 Z m 軸與 Z n 軸之夾角( 0 ≤ δ < 2π )， ε 角為 Z n 軸與 Z t 軸之夾角( 0 ≤ ε < 2π )。接觸點 Ot 在 座標系 S f 之座標值為 px ， p y 和 pz ，亦即接觸點位置向量的三個分量。若 將兩嚙合齒輪的齒面數學模式表示於同一切平面座標系 St 如下： (i) R (i) t = M tn M nm M mf R f ，(i = 1,2). (4.28). 其中. 0 − px ⎤ 0 − py ⎥ ⎥ 1 − pz ⎥ ⎥ 0 1 ⎦. M mf. ⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0. M nm. 0 ⎡1 ⎢0 cos δ =⎢ ⎢0 sin δ ⎢ 0 ⎣0. 0 1 0 0. 0 − sin δ cos δ 0. (4.29). 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦. (4.30). - 36 -.
(51) ⎡cos ε ⎢ 0 M tn = ⎢ ⎢ sin ε ⎢ ⎣ 0. 0 − sin ε 1 0. 0 cos ε. 0. 0. 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦. (4.31). 經座標轉換至切平面座標系 St ( X t , Yt , Z t ) 後之齒面方程式為：. ⎡ xt(i ) ⎤ ⎢ (i ) ⎥ R (i) = ⎢ yt ⎥ t ⎢ (i ) ⎥ ⎣⎢ zt ⎦⎥ ⎡ x (fi ) cos ε − y (fi ) sin ε sin δ − z (fi ) sin ε cos δ − px cos ε + sin ε ( p y sin δ + pz cos δ ) ⎤ ⎢ ⎥ y (fi ) cos δ − z (fi ) sin δ − p y cos δ + pz sin δ =⎢ ⎥ ⎢ (i ) ⎥ (i ) (i ) ⎢⎣ x f sin ε + y f cos ε sin δ + z f cos ε cos δ − px sin ε − cos ε ( p y sin δ + pz cos δ ) ⎥⎦. (4.32) 由於接觸點之單位法線向量 n 與 Z t 軸重合，故從圖 4.4 中之幾何關係可知：. tan δ = tan ε =. n fy. (4.33). n fz n fx 2. n fy + n fz. (4.34). 2. 其中 n fx 、n fy 和 n fz 為單位法線向量 n 的三個分量。根據以上推導所得之接觸 齒印分析數學模式，用以計算接觸齒印範圍的 Pt (θ t , Rt ) 值之方程式可表示如 下：. xt(1) = xt(2) = xt. (4.35). yt(1) = yt(2) = yt. (4.36). 其中 xt 和 yt 為 Pt (θ t , Rt ) 位置向量表示於 X t 軸與 Yt 軸上的兩個分量，故有四個 獨立方程式，加上兩個嚙合方程式(3.26)及(3.29)式，共有六個獨立方程式可 供來求解六個未知數 A p 、 A g 、 γ p 、γ g 、φ1 和 φ2 。由前述座標系之間的關係 亦可知： - 37 -.
(52) JJJJJG O f OT = px i f + p y jf + pz k f 圖 4.4 切平面座標系之關係圖. - 38 -.
(53) zt(i ) = di ，(i = 1,2). (4.37). 若將所求得的六個參數分別代回表示於切平面座標系 St ( X t , Yt , Z t ) 之小齒輪 與大齒輪的齒面方程式，即可得到 zt(1) 與 zt(2) 之值，接觸齒印的範圍值或. Pt (θ t , Rt ) 點之條件則可表示如下： d1 + d 2 = zt(2) − zt(1) = 0.00632mm. (4.38). 所有符合上述條件的 Pt (θ t , Rt ) 點之集合，即為所求之接觸齒印的輪廓點。. 4.4 例題與討論 依據 4.2 節及 4.3 節推導所得到之齒面接觸齒印的數學模式，並發展電 腦輔助模擬程式，以進行各種組裝狀況下之齒輪接觸模擬。以下將分別討 論具冠狀修整量、轉位修整量及不同壓力角之漸開線螺旋齒輪，在理想與 具裝配誤差時之齒面接觸狀況與齒印，以及探討不同修整量對接觸齒印之 影響。. 例題 4.1 具冠狀修整之螺旋齒輪在理想裝配下的接觸齒印分析 漸開線螺旋齒輪的主要設計參數如表 4.1 所示，若齒輪之齒面冠狀修整 量 E1 有三個不同修整量，分別為 0.005mm、0.025mm 和 0.05mm，轉位係數. x = 0，壓力角均為 20°，其齒輪組在理想裝配狀況下嚙合，亦即 ΔCx = 0 mm、 ΔC y = 0 mm、 Δγ h = 0.0° 和 Δγ v = 0.0° 。 經接觸模擬與分析，具齒面冠狀修整的螺旋齒輪在理想裝配下，其接 觸分析及齒輪組之運動誤差分析結果如表 4.2 所示。由模擬結果可知在理想 裝配狀況下，齒面之冠狀修整量大小並不影響該齒輪組之接觸分析和運動 誤差，亦即不論齒面冠狀量是 0.005mm、0.025mm 或是 0.05mm，齒輪組之 理論接觸點均相同而且均無運動誤差。圖 4.5 即顯示具冠狀修之整螺旋齒輪 在不同齒面冠狀修整量時的理論接觸齒印，由齒印分析結果可知，接觸橢 - 39 -.
(54) 圓之長軸會隨著齒面冠狀量的增加而縮短，亦即冠狀量越大，齒輪之嚙合 接觸區域越集中，而齒面冠狀量很小時，其齒輪之接觸趨近於線接觸，此 與理論相符。 表 4.1 具冠狀修整之螺旋齒輪的主要設計參數 模數 (mm/齒). 齒數. 壓力角 (度). 導程角 (度). 齒寬 (mm). 冠狀量 E1 (mm). 轉位 係數. 0 0. 齒輪 1. 1.5. 40. 20. 75(右旋). 15. 0.005 0.025 0.050. 齒輪 2. 1.5. 20. 20. 75(左旋). 15. 無冠狀. 中心距 (mm). 46.587. 表 4.2 具冠狀修整之螺旋齒輪在理想裝配下的接觸分析與運動誤差 裝配狀態： ΔC x = 0 mm、 ΔC y = 0 mm、 Δγ h = 0.0° 、 Δγ v = 0.0°. φ1' (度). φ1 (度). φ2 (度). φ2' (度). A p (mm). A g (mm). -6.709 -6.000 -4.000 -2.000 0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 8.260. -6.709 -6.000 -4.000 -2.000 0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 8.260. -13.417 -12.000 -8.000 -4.000 0.000 4.000 8.000 12.000 16.000 16.519. -13.417 -12.000 -8.000 -4.000 0.000 4.000 8.000 12.000 16.000 16.519. 0.000 0.136 0.520 0.904 1.288 1.672 2.055 2.439 2.823 2.873. 0.000 0.136 0.520 0.904 1.288 1.672 2.055 2.439 2.823 2.873. (a) 冠狀量 E1 =0.005mm - 40 -. KE (arc-sec.) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000.
(55) (b) 冠狀量 E1 =0.025mm. (c) 冠狀量 E1 =0.05mm 圖 4.5 具不同之齒面冠狀修整量之螺旋齒輪的理論接觸齒印. 例題 4.2 具冠狀修整及轉位修整之螺旋齒輪在理想裝配下狀況下的接觸齒 印分析 具冠狀及轉位修整之漸開線螺旋齒輪的主要設計參數如表 4.3 和 4.4 所 示，齒輪之轉位係數分別為 x = 0.25 之正轉位和 x = −0.25 之負轉位，但兩者 之齒面冠狀修整量均為 E1 = 0.025 mm，壓力角亦均為 20° ，其齒輪組在理想 裝配狀況下嚙合，亦即 ΔC x = 0 mm、 ΔC y = 0 mm、 Δγ h = 0.0° 和 Δγ v = 0.0° 。 由於齒輪若有轉位修整時，將會使得齒輪之外徑及節圓改變，故進行 理論嚙合時需進行齒輪組之中心距補正，王[6]提出之齒輪組中心距補正係 數 y 如下：. - 41 -.
(56) y=. T1 + T2 cosα s ( − 1) 2cos β cosα bs. (4.39). 其中，. α bs = inv −1 (2 tan α n (. x1 + x2 ) + invα s ) T1 + T2. (4.40). T1, T2 為齒輪 1 與齒輪 2 之齒數； x1, x2 為齒輪 1 與齒輪 2 之轉位係數； β 為 齒輪之螺旋角；而 inv 則表示漸開線函數。 齒輪組之嚙合中心距 C x 則可表示如下：. Cx = r1 + r2 + ymn. (4.41). 經由接觸模擬與齒面外形法分析後，具相同之冠狀修整與不同之轉位 修整的螺旋齒輪組在理想裝配狀況下，其齒面之接觸分析及齒輪組之運動 誤差分析結果如表 4.3 和 4.4 所示。分析結果顯示，不同之轉位係數導致齒 輪組之理論接觸點位置有所不同，但其運動誤差均為零。圖 4.6 則顯示，不 同之齒輪轉位係數導致齒輪組之理論接觸點改變，但接觸橢圓大小因冠狀 修整量相同而看不出有所變化。而由表及圖中皆可見齒輪嚙合之接觸點於 正轉位時，較為鬆散且偏向漸開線齒形之下方，負轉位時則較為密集且偏 向漸開線齒形之上方。 表 4.3 具冠狀及轉位修整之螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配下的 接觸分析與運動誤差(1) 模數 (mm/齒) 齒輪 1 齒輪 2. 齒數. 壓力角 (度). 導程角 (度). 齒寬 (mm). 冠狀量 E1 (mm). 轉位 係數. 中心距 (mm). 75(右旋) 40 20 15 0.025 0.25 46.953 無冠狀 75(左旋) 20 20 15 0 裝配狀態： ΔC x = 0 mm、 ΔC y = 0 mm、 Δγ h = 0.0° 、 Δγ v = 0.0° 1.5 1.5. φ1' (度). φ1 (度). φ2 (度). φ2' (度). A p (mm). A g (mm). -6.025 -6.000. -4.873 -4.848. -13.201 -13.152. -12.049 -12.000. 0.000 0.005. 0.021 0.025. - 42 -. KE (arc-sec.) 0.000 0.000.
(57) -4.000 -2.000 0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 7.385. -2.848 -0.848 1.152 3.152 5.152 7.152 9.152 8.537. -9.152 -5.152 -1.152 2.848 6.848 10.848 14.848 13.618. -8.000 -4.000 0.000 4.000 8.000 12.000 16.000 14.770. 0.389 0.772 1.156 1.540 1.924 2.308 2.692 2.574. 0.409 0.793 1.177 1.561 1.945 2.329 2.712 2.594. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000. 表 4.4 具冠狀及轉位修整之螺旋齒輪的主要設計參數及其在理想裝配下的 接觸分析與運動誤差(2) 模數 (mm/齒) 齒輪 1 齒輪 2. 齒數. 壓力角 (度). 導程角 (度). 齒寬 (mm). 冠狀量 E1 (mm). 轉位 係數. 中心距 (mm). 75(右旋) 0.025 40 20 15 -0.25 46.201 無冠狀 75(左旋) 20 20 15 0 裝配狀態： ΔC x = 0 mm、 ΔC y = 0 mm、 Δγ h = 0.0° 、 Δγ v = 0.0° 1.5 1.5. φ1' (度). φ1 (度). φ2 (度). φ2' (度). A p (mm). A g (mm). -7.232 -6.000 -4.000 -2.000 0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 8.972. -8.544 -7.312 -5.312 -3.312 -1.312 0.688 2.688 4.688 6.688 7.660. -13.152 -10.688 -6.688 -2.688 1.312 5.312 9.312 13.313 17.313 19.257. -14.464 -12.000 -8.000 -4.000 0.000 4.000 8.000 12.000 16.000 17.945. 0.000 0.236 0.620 1.004 1.388 1.772 2.156 2.540 2.924 3.110. 0.025 0.262 0.646 1.029 1.413 1.797 2.181 2.565 2.949 3.136. (a) 轉位係數 x = 0.25. - 43 -. KE (arc-sec.) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000.
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