幾乎每個數都有3

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幾乎每個數都有

３

許介彥

大葉大學 通訊與計算機工程學系

這個怪題目是在說什麼？看完這篇文章 後，您就清楚了。 我們先從整數的表示方式談起。從小學 以來，我們都習慣於將數值以十進制的方式 表示，利用一連串阿拉伯數字來表示一個數 值的大小，例如：整數 167 是由 1、6、7 等 三個阿拉伯數字組成，而四位數 5225 則是由 5 與 2 兩個阿拉伯數字組成（每個數字各出 現兩次）等。當然，同一個數值在不同的進 位系統裡可能有不同的表示方式，例如十進 制的 18 相當於七進制的 24，又相當於三進 制的 200 等。英文裡，一個整數的數值本身 稱為 integer，而用來表示數值大小的一連串 數字或符號則稱為 numeral；因此我們所謂 「整數 167 是由 1、6、7 等三個阿拉伯數字 組成」，說得精確一點，其實是針對該整數在 十進制中的表示方式而言。 考慮以下問題：對任意正整數 n ，所有 小於 10n_{的非負整數中，含有至少一個阿拉} 伯數字 3 的共有幾個？以 n = 1 為例，小於 101的非負整數共有 10 個：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，其中只有一個含有 3，也就是 3 本身。 當 n = 2，小於 102_{的非負整數有 0 至 99 等} 100 個，其中含有至少一個 3 的有 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93 等 19 個。 對任意正整數 n，假設 an代表小於 10n 而且含有至少一個 3 的非負整數的個數，那 麼我們已經知道 a1 = 1 及 a2 = 19，我們希望 能找出 an的一般式。 這個問題如果用遞迴的方式來思考，我 們可以問自己：如果 an−1的值已知，也就是 小於 10n−1_{且含有至少一個 3 的非負整數的個} 數已知的話，對求出 an的值有沒有幫助呢？ 答案是肯定的。以我們已知的 a2 = 19 為例， 這項資訊 對求出 a3的值很有幫助，因為如果 我們把所有小於 1000 的非負整數分成十等 份：0 到 99、100 到 199、200 到 299、……、 900 到 999 等，那麼我們已經知道第一份的 100 個整數（0 到 99）中含有至少一個 3 的 非負整數有 19 個；不只如此，除了 300 至 399 較特殊外，其他八份的每一份應該也都 各包含了 19 個含有至少一個 3 的整數，而 300 至 399 這一份則是全部 100 個數都含有 至少一個 3（因為百位數已經是 3）。因此， 100 9 ₂ 3= a + a 或者，更廣泛地說， 1 1 10 9 ₋ + − = n n n a a 再配合 a1 = 1 的初始條件，我們有了完整的 遞迴定義：    > + = = ₋ − 10 1 9 1 1 1 1 n a n a _n n n

幾乎每個都有３ − 25 − 由此不難推導出 an = 10n − 9n, n ≥ 1. 原來是這麼簡潔的一個式子。 既然 an的一般式這麼簡單，當然值得我 們探尋是否存在著一個簡單的解釋。仔細一 想，讀者很容易就能看出其中的道理，因為 小於 10n_{的非負整數總共有 10}n_{個，而其中完} 全不包含 3 的整數總共有 9n_{個（因為每個位} 數只有 9 種可能的選擇）。 由上面的推導過程，讀者不難發覺阿拉 伯數字 3 其實並沒有什麼特殊之處，即使原 來的問題 不是問數字 3 而是問另一個阿拉伯 數字，只要不是 0，答案其實都是一樣的； 如果是數字 0 則情況稍有不同。我們平常在 書寫一個整數時，只要這個數不是 0，我們 就不會將它的最左邊的位數寫為 0，也就是 說，我們不會將 167 寫成 0167 或 00167；在 這樣的習慣下，對任意正整數 n ，所有小於 10n的非負整數中，含有至少一個阿拉伯數字 0 的共有幾個呢？ 還是由最簡單的情形開始考慮。當 n = 1，所有小於 101的 10 個非負整數中只有一 個含有 0，也就是 0 本身。當 n = 2，所有小 於 102_{的 100 個非負整數中含有至少一個 0} 的有 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 等十 個。對任意正整數 n ，假設 bn代表小於 10n 而且含有至少一個 0 的非負整數的個數，那 麼我們已經知道 b1 = 1 及 b2 = 10；我們希望 也能找出 bn的一般式。 如果 bn−1的值已知的話，對 bn的求值有 沒有幫助呢？答案同樣是肯定的。如果我們 把所有小於 10n _{的非負整數比照之前的分法} 分 為 十 等 份 ， 那 麼 我 們 已 經 知 道 第 一 份 的 10n−1個整數（0 至 10n−1_{−1）中含有至少一個} 0 的非負整數總共有 bn−1個；其他九份的每 一份中，完全不包含數字 0 的整數各有 9n−1 個（為什麼？），因此， ) 1 9 1 10 ( 9 1+ − − − − = n n n b n b 再配合 b1 = 1 的初始條件，我們有了完整的 遞迴定義：    > − − − + − = = 1 ) 1 9 1 10 ( 9 1 1 1 n n n n b n n b 由此不難推導出

( )

9 1 8 9 10 − − = n n n b , n ≥ 1. 這就是我們要找的一般式。 最後我們再看一個類似的問題：對任意 正整數 n，所有小於 10n_{的非負整數中，含有} 至少一個「 27」（即，一個阿拉伯數字 2 緊接 著一個阿拉伯數字 7）的共有幾個？在繼續 往下看之前，請讀者自己先試試看。 這個問題看起來雖然和前面的問題差不 多，實際上是一個較難的問題；由正面著手 不大容易，我們不妨試試由反面來思考。在 以下的做法中，我們假設 an代表小於 10n而 且不含「27」的非負整數的個數，因此，小 於 10n _{而且含有至少一個「27」的非負整數} 有(10n _{− a} n)個。 還是由最簡單的情形開始考慮。當 n = 1，所有小於 101的 10 個非負整數全都沒有 「27」，因此 a1 = 10。當 n = 2，很明顯，所 有小於 102_{的 100 個非負整數中不含「27」} 的共有 99 個，因此 a2 = 99。 當 n ≥ 3，如果我們把所有小於 10n_的非 負整數比照之前的分法分為十等份，那麼第

科學教育月刊 第 247 期 中華民國九十一年三月 − 26 − 一份的 10n−1_{個整數（0 至 10}n−1_{−1）中不含「27」} 的有 an−1個；不僅如此，除了第三份（即以 數字 2 開頭的那一份）之外，其他八份也都 各含有 an−1個沒有「27」的整數。 以 2 開頭的那一份的 10n−1_{個整數中，不} 含「27」的共有幾個呢？並不是 an−1個，沒 有這麼多，因為所有小於 10n−1_{且不含「27」} 的 an−1個非負整數中，有些整數是以 7 開頭 的(n−1)位數，這種整數共有 an−2個，而這些 整數如果在最左邊補上一個 2 將會成為含有 「27」的 n 位數。因此，以 2 開頭的 10n−1_{個 n} 位數中，不含「27」的共有(an−1 − an−2)個。 有了上述推論，我們知道對所有 n ≥ 3， 以下的遞迴關係是成立的： 2 1 2 1 1 ( ) 10 9 ₋ + ₋ − ₋ = ₋ − ₋ = n n n n n n a a a a a a 據此可寫出數列的遞迴定義：      > − = = = − − 2 10 2 99 1 10 2 1 a n a n n a n n n 有了這個定義，只要 n 是一個正整數， 我們就可以算出 an的值，例如 980 10 99 10 3= × − = a 9701 99 980 10 4 = × − = a 96030 980 9701 10 5 = × − = a 等；要是讀者熟悉常係數線性遞迴關係的求 解，其實不難由以上的遞迴定義進一步得出 an的一般式：

(

) (

)

_   _{+ − −} = +1 +1 6 2 5 6 2 5 6 4 1 n n n a 因此，對任意正整數 n ，所有小於 10n 的非負整數中，含有至少一個「27」的共有

(

) (

)

_   _{+ − −} − +1 +1 6 2 5 6 2 5 6 4 1 10n n n 個。 再回到我們原來的問題，我們已經知道 所有小於 10n_{的非負整數中有} ) 9 10 ( n − n 個整 數包含了至少一個 3，就比率而言，有 3 的 整數占了全部的 n n n n _     − = − 10 9 1 10 9 10 隨著 n 的增大，含有 3 的整數的比率將越來 越大： n 10n 含有 3 的整數個數 1 10 1 2 100 19 3 1000 271 4 10000 3439 5 100000 40951 6 1000000 468559 7 10000000 5217031 8 100000000 56953279 9 1000000000 612579511 10 10000000000 6513215599 當 n 趨於無窮大，比值將趨近於 1；因此， 就全部無窮多個非負整數而言，「幾乎每個數 都有 3」。 最後筆者提供五個與本文相關的問題讓 讀 者 想 想 看 ； 只 要 您 能 掌 握 本 文 提 及 的 概 念，這些題目都不難回答。 1. 所有小於 710的七進制非負整數中，含有至 少一個阿拉伯數字 4 的共有幾個？ 2. 對任意正整數 n ，所有小於 bn的 b 進制非 負整數中，含有至少一個阿拉伯數字 0 的 共有幾個？ 3. 對任意正整數 n ，所有小於 3n的 3 進制非

幾乎每個都有３ − 27 − 負整數中，含有至少一個「 201」的共有幾 個（寫出遞迴定義即可）？ 4. 對全部無窮多個正整數而言，完全平方數 （即，可以表示成某個整數的平方的數） 幾乎不存在，為什麼？ 5. 對全部無窮多個正整數而言，幾乎每個數 都含有 1、2、3、4、5 等五個阿拉伯數字 至少各一個，為什麼？

參考資料

1. 許介彥（2001），遞迴函數的求解技巧， 科 學教育月刊，第 238 期。 2. 許介彥（2001），遞迴關係在計數問題的應 用，科學教育月刊，第 243 期。

3. R. P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics , 4th edition, Addison-Wesley, 1999. 作者信箱：chsu@mail.dyu.edu.tw （上承第 34 頁）

結語

Catalan numbers 和數學上另一個有名的 數列費氏數列（Fibonacci numbers ）在 某方面相當類似，就是在我們求解數學問題 的過程中常常會與它們「不期而遇」，許多不 同 類 型 的 計 數 問 題 都 和 它 們 有 關 ； 本 刊 第 243 期「遞迴關係在計數問題的應用」一文 中的第六個例題就是另一個例子，該問題涉 及為一個運算式安排運算順序的各種可能。 看了這麼多例子之後，您是不是覺得自己也 可以「製造」出更多的例子呢？試試看吧！

參考資料

許介彥（2001），遞迴關係在計數問題的 應用，科學教育月刊，第 243 期。

J. A. Anderson, Discrete Mathematics with Combinatorics , Prentice Hall, 2001.

K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 4th edition, McGraw-Hill, 1999.