相異 代表系面面觀
張鎮華
一. 緣起
相異代表系 (System of Distinct Representatives, 縮寫為 SDR) 是 1930年代的問題 [1], 我們可以將它視為委員會推派代表的問題, 也可以看成配對問題或婚姻問題, 甚至叫做橫截 理論(Transversal Theory) [2]。
在委員會推派代表的問題裏, 某個團體中的一群人, 組成若干性質不一的委員會, 每個人 可能參加幾個不同的委員會, 視個人意願而定; 問題是, 能否每個委員會各推派一位代表出來共 同議事; 前題是, 不同委員會推派出來的代表要相異, 這一些代表所組成的集合就是所謂的相異 代表系。 舉例來說, 下面是四個委員會 A1, A2, A3, A4 所組成的集合族:
A1= {張三, 李四, 王五}, A2= {李四, 趙六}, A3= {王五, 趙六}, A4= {王五, 趙六}.
在這個集合族中, 我們可以選派張三代表 A1, 李四代表 A2, 王五代表 A3, 趙六代表 A4; 或 者說, 這個集合族有一個相異代表系是 (張三, 李四, 王五, 趙六)。 事實上, 這個集合族恰好有 兩個相異代表系, 另一個是 (張三, 李四, 趙六, 王五)。 在以後的討論裏, 為了書寫的方便, 我們 改用符號或數字代替人名; 例如, 我們可以用 3, 4, 5, 6 分別代表張三、 李四、 王五、 趙六, 這 樣我們就可以說, 當 A1 = {3, 4, 5}, A2 = {4, 6}, A3 = {5, 6}, A4 = {5, 6}時, 集合族 (A1, A2, A3, A4) 恰好有兩個相異代表系, 一個是 (3, 4, 5, 6), 另一個是 (3, 4, 6, 5)。
如果我們要討論配對問題或婚姻問題, 可以設想有 n 個女孩, Ai 是第 i 個女孩所喜歡, 而 可能託付終身的所有男孩所成的集合, 當作一個成功的月老, 你的任務就是要在每個女孩喜歡 的男孩中選出一位白馬王子, 將他們配成一對, 當然, 二女不可同配一夫, 所以這個問題也一樣 成為相異代表系問題。
一般來講, 假如 F = (A1, A2, . . . , An) 是一含有 n 個集合的集合族, F 的一個相異代表 系就是一個含 n 個相異元素的序列 (a1, a2, . . . , an), 其中 ai ∈ Ai 對 1 ≤ i ≤ n 均成立。
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並不是所有集合族都一定有相異代表系, 下面這個例子就很明顯沒有相異代表系, 因為只 有 1可以代表 A1, 只有 2 可以代表 A2, 結果 A3 就找不到代表了。
A1= {1}, A2= {2}, A3= {1, 2}, A4= {1, 2, 3, 4, 5}.
讀者可以感覺到, 這麼一個看起來簡單的問題, 答案也應該不難, (其實, 這是要看你想得 到什麼樣的答案而定)。 這篇文章主要的目的, 是想借著這一個容易描述的題材, 從數學及其應 用的各種角度, 來闡述數學發展的一個例子, 它雖然談不上是有絕對的代表性, 卻可以看出數學 發展的戲劇性及多樣性。 數學傳播季刊早期有關相異代表系的文章請參見 [3, 4]。
二. Hall 定理及其證明
我們先從相異代表系的第一個基本定理說起。 首先, 讓我們來看下面這個例子, 考慮由下 列 10個集合所構成的集合族:
A1= {2, 3, 4, 6, 8}, A2= {3, 4, 7, 9}, A3= {2, 3, 6, 7, 9}, A4= {5, 6, 8, 11, 12}, A5= {2, 3, 4, 6, 8}, A6= {2, 4, 6, 7, 9}, A7= {3, 4, 6, 7, 8}, A8= {1, 3, 8, 10, 13}, A9= {2, 3, 4, 7, 9}, A10= {2, 4, 6, 8, 9}.
對於這個集合族, 並不是立刻就可以看出來它到底有沒有相異代表系, 如果有, 答案又為何。 我 們可以用窮舉法逐一嘗試, 例如: 先試著用2代表 A1, 3代表 A2, 6代表 A3, 5代表 A4, 4代表 A5, 7 代表 A6, 8 代表 A7, 1 代表 A8, 9 代表 A9, 這樣 A10 就找不到代表了; 接著, 再有系統
地嘗試其他所有可能的情況, 如此經過一段不短的時間, 當我們把所有可能的情況都試過以後, 最後的答案是: 這個集合族沒有相異代表系。
我們或許會不相信這個結論, 懷疑在冗長的檢驗過程中可能出錯, 那麼我們可以再試一次, 或者乾脆寫一個電腦程式幫忙檢驗。 其實不必這麼麻煩, 縱使不再重複這一個冗長的檢驗過程, 下面這個說法很快就可以讓人相信, 這個集合族的確沒有相異代表系。 首先, 去掉 A4 和 A8 這 兩個集合, 剩下的 8個集合, 如果將它們的元素通通拿出來, 只有 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9這 7個元素 而已, 所以不論如何分配, 總是不可能讓這 8個集合各自得到自己的代表。
更一般來說, 一個集合族要有相異代表系, 不可或缺的條件是, 隨便拿出 k 個集合出來, 其 所含的所有元素通通算起來, 至少要有 k 個。 換個方式來說, 如果你可以找到某 m 個集合出 來, 其所含的所有元素總共達不到 m 個, 那麼這個集合族一定沒有相異代表系。
上述的條件不只是一個集合族有相異代表系的必要條件, 其實也是一個充份條件; 也就是 說, 滿足上述條件的集合族就一定會有相異代表系。 這就是 1935年著名的 Hall 定理 [1], 現在 也常被人稱為婚姻定理 (marriage theorem)。
Hall定理: 集合族 F = (A1, A2, . . . , An) 有一個相異代表系的充分必要條件是, 任意從 F 中選取 k 個集合, 其聯集至少有 k 個元素。
到底是什麼樣的直覺使 Hall 相信, 那個簡單而容易明瞭的必要條件同時也是充份條件, 歷 史上並無記載; 然而, 就像許多數學定理一樣, 經過人們一再的精鍊, 我們已經可以提出種種簡 明的證明。 在普通的離散數學教科書中, 不難找到用數學歸納法寫出的證明; 不過, 最叫人讚賞 的還是 Rado 提出來, 用最小原理的證明。 簡單的說, 就是假設定理不成立, 所以有一個最小反 例, 再經過一些集合個數計算的方法, 最後導出矛盾。 這樣的手法, 基本上和數學歸納法有相同 的本質, 在離散數學的領域中, 是一種經常使用的法子。
Hall定理的第一種證法: (參見 [5,6]) 必要條件如前所述。
我們用數學歸納法證明充分條件。 當 n = 1 時, 定理顯然成立; 假設 n ≥ 2, 而且當 m < n 時定理成立。 對於 I = {i1, i2, . . . , ik} 我們用 A(I) 表示 Ai1 ∪ Ai2 ∪ · · · ∪ Aik。 則 Hall 的條件相當於: |A(I)| ≥ |I| 對所有 I ⊆ {1, 2, . . . , n} 恆成立。 分兩種情形證明。
(1) 除了 I = ∅ 或 {1, 2, . . . , n} 以外均有 |A(I)| > |I|。
由 Hall 的條件可知 |An| ≥ 1, 也就是 An 6= ∅, 所以可以選一元素 xn ∈ An。 考慮集 合族 (B1, B2, . . . , Bn−1), 其中各 Bi = Ai− {xn}; 對任一集合 I ⊆ {1, 2, . . . , n − 1},
|B(I)| ≥ |A(I)|−1 > |I|−1, 也就是 |B(I)| ≥ |I|, 所以由歸納法假設, (B1, B2, . . . , Bn) 有一個相異代表系 (x1, x2, . . . , xn), 再加上 xn 和這些元素都相異, (x1, x2, . . . , xn) 就是 (A1, A2, . . . , An) 的一個相異代表系。
(2) 有一真子集 I 滿足 |A(I) = |I| 。
由歸納法假設, 集合族 (Ai: i ∈ I) 有一相異代表系 (xi : i ∈ I)。 考慮另一個集合族 (Bi : i /∈ I), 其中 Bi = Ai\ A(I); 當 J ⊆ {1, 2, . . . , n} \ I 時, 由 B(J) = A(I ∪ J) \ A(I) 及 Hall 的條件, |B(J)| = |A(I ∪ J)| − |A(I)| ≥ |I ∪ J| − |I| = |J|, 根據歸納法假 設, (Bi : i /∈ I) 有一相異代表系 (xi : i /∈ I), 將這兩組相異代表系合起來, 就得到一個 (A1, A2, . . . , An) 的相異代表。
Hall定理的第二種證法: (參見 [2]) 必要條件如前所述。
假設充分條件不對, 找一個沒有相異代表系, 但滿足 Hall 的條件的最小集合族 F = (A1, A2, . . . , An), 也就是說, 從任一個 Ai 中去掉任一個元素之後, Hall 的條件就不再對了。
此時, 由 Hall 的條件, 每一個 Ai 都不是空集合, 如果 Ai = {xi}, 1 ≤ i ≤ n, 則由 Hall 的 條件, 可以知道這些元素 xi 都相異, 從而, (x1, x2, . . . , xn) 是 (A1, A2, . . . , An) 的一個相異 代表系。
假設某一集合, 不失一般性假設其為 A1, 含有兩相異元素 x 和 y, 我們要證明這是不可能 的。 考慮兩集合族 (A1−{x}, A2, . . . , An) 和 (A1−{y}, A2, . . . , An), 由於 (A1, A2, . . . , An) 是滿足 Hall 的條件的最小集合族, 這兩個新的集合族都不滿足 Hall 的條件, 因而存在 I, J ⊆ {2, 3, . . . , n} 使得
1 + |I| > |(A1− {x}) ∪ A(I)| ≥ |A(I)| ≥ |I|, 1 + |J| > |(A1− {y}) ∪ A(J)| ≥ |A(J)| ≥ |J|,
亦即 |X| = |I|, |Y | = |J|, 其中 X = (A1 − {x}) ∪ A(I), Y = (A1− {y}) ∪ A(J), 所以
|I| + |J| = |X| + |Y | = |X ∪ Y | + |X ∩ Y |
≥ |A({1} ∪ I ∪ J)| + |A(I ∩ J)|
≥ 1 + |I ∪ J| + |I ∩ J| = 1 + |I| + |J|,
得到矛盾。
Hall定理是一存在性的描述, 後來 M. Hall [7], Rado [8]和 Mirsky [2]等人也都推導出 一些量化的定理。 比如, 若一個集合族除了滿足 Hall 的條件以外, 還要求每個集合至少有 2 個 元素, 就可以證明這個集合族最少有 2 個相異代表系 (見習題 1)。 將此觀念推到另一種變化, 本 文作者 [9]曾提出下述的問題。
對於任一非負整數 t, 一個 (t, n)-集合族是指一對所有非空子集 J ⊆ {1, 2, . . . , n} 均滿 足 |A(J)| ≥ |J| + t 的集合族 F = (A1, A2, . . . , An)。 如果用 M(t, n) 表示 (t, n)-集合族相
異代表系最少的可能個數, 由 Hall 定理可知 M(0, n) ≥ 1, 事實上很容易知道 M(0, n) = 1。
考慮 F∗ = (A1, A2, . . . , An), 其中 Ai = {i, n + 1, n + 2, . . . , n + t}, 1 ≤ i ≤ n, 這是一個 (t, n)-集合族, 它共有 U(t, n) =
t
X
j=0
t j
n j
j! 個相異代表系。 [7]猜測 M(t, n) = U(t, n), 並且當 t ≥ 1 時, 上述 F∗ 也是唯一有這麼多相異代表系的 (t, n)-集合族。 這個猜測後來 Leung 和 Wei [10]宣稱用 permanent 的定理可以證出來, 可惜發現是錯的 [11]。
三. Hall 定理的應用
Hall定理除了它本身的精巧以外, 也是離散數學理論的一個基本定理, 在數學的各個領域 中, 一再被引用來做為證明其他複雜定理的工具。 下面我們將舉一個例子來說明。 其他更多的例 子可以參考一般離散數學的書籍, 如 [5, 6]。
所謂雙重隨機矩陣是一個 n × n 的非負實數矩陣, 其任一行或列的和均為 1; 如果其元素 又剛好均為 0 或 1, 則稱為排列矩陣, 換句話說, 每一行恰有一個1, 每一列也恰有一個 1, 其他位 置都是 0。 Birkhoff 和 von Neumann 曾經證明了一個雙重隨機矩陣的分解定理如下所述。
Birkhoff-von Neumann 定理: 對任意一個 n 階雙重隨機矩陣 D, 存在某正整數 m, m 個排列矩陣 P1, P2, . . . , Pm, 以及 m 個和為 1 的正實數 c1, c2, . . . , cm 使得 D = c1P1 + c2P2+ · · · + cmPm。 例如:
0.45 0.50 0.05 0.55 0.15 0.30 0.00 0.35 0.65
= 0.3
1 0 0 0 0 1 0 1 0
+0.5
0 1 0 1 0 0 0 0 1
+0.15
1 0 0 0 1 0 0 0 1
+0.05
0 0 1 1 0 0 0 1 0
.
證明: 假設 D 有 r 個非零項, 顯然 r ≥ n。 我們要用數學歸納法來證明這個定理。 當 r = n 時, D 是一個雙重隨機矩陣, 取 m = 1, c1 = 1, P1 = D, 定理成立。
假設 r > n, 而且當 r′ < r 時定理成立。 考慮集合族 (A1, A2, . . . , An), 其中 Ai = {j : Dij 6= 0}; 對於任一 I ⊆ {1, 2, . . . , n},
|A(I)| = X
1≤i≤n j∈A(I)
Dij ≥ X
i∈I j∈A(I)
Dij = X
1≤j≤ni∈I
Dij = |I|,
其中第 (最後) 一個等式成立是因為任一行 (列) 的和為1, 不等式成立是因為 Dij 非負, 接下去 的等式由 Ai 的定義可得。 由 Hall 定理 (A1, A2, . . . , An) 有一個相異代表系 (a1, a2, . . . , an), 令 P 為對應於排列 (a1, a2, . . . , an) 的排列矩陣, 同時 c = min1≤i≤nDiai, 則 0 < c < 1, 此 時 D′ = 1−c1 (D − cP ) 是一個非零項數為 r′ < r 的雙重隨機矩陣, 由歸納法假設, 存在排列矩
陣 P1, P2, . . . , Pm 及和為 1的非負實數 c1, c2, . . . , cm 使得 D′ = c1P1+ c2P2+ · · · + cmPm, 因此
D = (1 − c)D′+ cP = (1 − c)c1P1+ (1 − c)c2P2+ · · · + (1 − c)cmPm+ cP,
其中係數亦為非負且和為 1, 所以定理得證。
Birkhoff 和 von Neumann 原來的證明比較繁雜, 上述應用 Hall 定理的證明, 充份展現 了 Hall 定理的威力。 如果有機會回頭去讀 Birkhoff 和 von Neumann 兩人原來的證明, 就 會發現, 裏頭穩含後來發展出來的線性規劃的對偶定理相關的內容。 若再回到 Hall 定理來看, 這也暗示 Hall 定理應當和某些線性規劃或整數規劃有所關聯。 在這裏我們可以體會到, 一個數 學理論的發展 (例如線性規劃的理論), 常常不是單獨冒出來的, 在其發展的年代前後, 許多類 似或相關的思想, 總在同時期前前後後相繼出現。 從文獻上考據, Hall 定理出現在 1935年的論 文, 事實上, 早在1931年 K¨onig [12]就曾經用 (0,1) 矩陣的語言證明到相同的結果; 尤有甚者, Menger [13]在1927年時, 因為研究網路的連通性, 就有一些更一般化的定理。 Hall定理重要的 貢獻是, 這樣描述的定理, 開啟了一些緊閉的窗扉, 通向鮮為人知的大道。 從 1930 年代到 1950 年代之間是相異代表系的起步時期, 其中 Rado 的貢獻頗多; 一直到 1960年代, 這套理論和 擬 陣理論(matroid theory)(參見 [14, 15, 16]) 相結合, 更大放異彩。
四. 電腦和演算法
在許多實用的例子裏, 當我們把問題化為求集合族的相異代表系時, 其所涉及的集合及元 素個數常常是成千上萬, 用人力及紙筆的計算根本不可能。 電腦的發明打破了這個局限, 許多大 量及重複的計算, 在電腦無怨的默默運算下, 快速精確地完成。
事實上, 電腦的能力在第二次世界大戰時初試鸚啼, 到如今, 其對人類全面性的影響已經 十分明顯。 第二次世界大戰時, 美國軍方為了有效運用軍備及兵力, 由 Dantzig 發展出線性規 劃的單體法(simplex method), 配合上 von Neumann 設計出來的電腦, 應用到武器和兵力 在各戰場的分配, 得到很好的效果。 這便是運籌學(operations research) 的起源, 展現出數學 家在實用上的貢獻, 而這套理論, 要是缺少電腦快速計算的幫忙, 完全無從發揮效力。 戰後, 這 套理論被用到工商業界, 據說有很長久一段時期, 世界各地的電腦佔很大時間在執行單體法的 計算。 很有名的例子是, 美國航空 (US Air) 成立了一個運籌學小組, 替他們發展出一套飛機排 程及票務相關系統, 比原來人工安排精確並有效不少, 替公司省了不少經費。
電腦的進步十分快速, 比起早年初創, 快而方便千百倍; 不過, 不管電腦的速度多快, 一個 好的方法和一個差的方法, 寫成電腦程式, 執行起來的效果還是有極大的不同。 回到相異代表
系的問題來看, 如果用土法鍊鋼, 去嘗試一個個可能的答案, 縱使使用電腦, 找出答案的速度也 將很慢。那麼試試看 Hall 定理, 這麼漂亮的敘述應該有所幫助。 假設我們有 n 個集合, 為了 回答是否存在相異代表系, 我們必須對任意 k 個集合試看看其元素總數是否至少 k 個, 如果 很幸運, 所有可能的情況都是肯定的, 那就表示存在相異代表等, 如果在計算的中途有某 m 個 集合其元素總共不及 m 個, 就表示不存在。 從計算觀點來說, 任取 k 個集合的組合, 共有 2n 個可能: 取 0 個集合有 1 種, 取 1 個集合有 n 種, 取 2 個集合有 n(n − 1)/2 種, 取 3 個集合有 n(n − 1)(n − 2)/6 種, · · · 。 這其中的 2n 對於大一點的 n 其實是一個天文數字, 電腦也將無 可奈何。 為了讓大家有大略的感覺, 讓我列出一個參考表如下所示:
n n log n n2 n3 2n
10 2.3 × 10 102 103 103 102 4.6 × 102 104 106 1030 103 6.9 × 103 106 109 10300 104 9.2 × 104 108 1012 103000 105 1.2 × 106 1010 1015 1030000
從這個表中可以看出來, 只要 n = 100, 2n 就是一個可怕的數字。 舉個例子來說, 如果電腦每 秒鐘可以幫忙算 1010 個情況 (不算慢了), 以一年約有 3 × 107 秒估算, 利用 Hall 定理需花去 3 × 1012 年才能幫你驗算出相異代表系存在與否 (嘆! 我生苦短!), 更何況, 縱使驗算出最後答 案是肯定的, 知道相異代表系的確存在, Hall 定理並未提供你一個相異代表系。 從這個計算觀 點來看, Hall 定理簡直成了一大廢物。(所以說, 並無行諸四海皆通的道理。)
Hall定理並不是一個極端的例子, 在眾多實用的例子中, 電腦程式安排的好壞, 確有極大 的差別, 於是演算法理論應運而生。 簡單來說, 這個理論, 在消極方面是要在你提供的方法真正 寫成程式前, 先做一番理論的估算, 瞭解所花的時間不會像 2n 那樣的成長, 這是預防用的; 更 積極來說, 如果別人的方法從你的理論分析起來不佳, 這個行業的人有興趣的是替人消災, 看看 如何設計出有效的方法供人使用。
演算法理論發展至今五花八門, 方法各式各樣, 其中最基本用來判定一個方法好壞的準則, 是看其時間是否為 (或小於) 問題參數 n 的多項式, 一般以多項式時間的方法稱為有效算法, 拿 上表來看, 光是 n = 100 這樣小的數目, n3 和 2n 就可以差上許多, 可見一斑。 有關演算法的 書籍可參考 [17, 18, 19]。
當然, 實用上更精細的分析也常因問題及需要性而有差異。 舉個例子來說, n log n 和 n2 雖然一樣是多項式時間, 但是當 n = 105 時相差可達百倍, 這百倍說大不大, 說小可也不小。
比方說, 我們現在的大專聯考大約有十萬考生, 考完試以後, 閱卷、 計分、 排序、 填志願、 分發
· · · 試務極多, 就以排序一項來說, 要把十萬考生的成績由大而小排出來, 也算一大工程; 當然 啦, 在電腦的幫助之下, 排序算是一項簡單的工作, 學過一點資料結構入門的人至少也知道五種 排序方法; 可是這些方法確有種種不同, 有的容易寫程式, 有的速度快, 其中有的花的時間就是 n2, 有的花時間是 n log n。 這樣看來, 排序的快慢也有百倍之差, 也就是說, 寫的好的排序程 式, 可能兩三天排出來考生的成績, 寫的差的可能要一年。 一年! 如果真有這樣的排序程式被用 上的話, 那十萬考生考完聯考後, 最節省的方法就是先去當一年兵再回來看榜, 於是中華民國的 兵役制度就有了極大的變化了。
五. 匈牙利算法
匈牙利籍的 K¨onig 和 Egerv´ary 在 1930 年代發展出求相異代表系的有效算法, 現在俗 稱匈牙利算法。為了介紹這個方法, 我們順便引進圖論的語言, 在這套說法裏, 相異代表系問題 就相當於二部圖裏求最大匹配的問題。
一般而言, 一個圖(graph) 包括有限個頂點(vertices), 以及一些聯接兩頂點的邊(edges)。
圖 1 中的圖有 8 個頂點 A1, A2, A3, A4, 3, 4, 5, 6, 以及 9 條邊 (A1, 3), (A1, 4), . . ., (A4, 5), (A4, 6)。
圖1
將圖畫出來只是為了視覺上的幫忙, 其實我們只需要列出這些點和邊來就可以決定這個圖, 尤 其在電腦程式中, 更看不出圖 1這樣的東西來。 值得留意的是, 圖 1的頂點只有 8個, (A1, 5) 和 (A2, 4) 這兩條邊相交出來的點並不算頂點, 事實上, 聯接某兩頂點的邊其實只在表示這兩頂點 是有關係或相鄰而已, 到底是用直線或曲線表示, 並沒有差。 有關圖論的書請參考[20, 21]。
圖 1 的圖就是所謂的二部圖(bipartite graph), 因為其頂點可以分成兩個部份, 其中任一 部份內的任二頂點不相鄰, 換句話說, 任一條邊一定是聯接不同二部份的兩頂點。 其實, 圖 1 就 是本文起頭的第一個集合族的圖表示法, (A1, 3) 是一條邊, 表示 3 在集合 A1 之內 (我們已經
將張三、 李四、 王五、 趙六改用 3, 4, 5, 6代表)。 在圖論裏, (A1, A2, A3, A4) 的一個相異代表 系 (3, 4, 5, 6) 可以用(A1, 3), (A2, 4), (A3, 5), (A4, 6) 這四條邊來表示, 因為這分別表示了 3 ∈ A1, 4 ∈ A2, 5 ∈ A3, 6 ∈ A4; 這四條邊中任二條邊沒有共同頂點, 因為四個元素各為四 個集合的相異代表, 圖 1 中的四條粗線表示這四條邊。 像這種兩兩不含共同頂點的邊所組成的 集合稱為匹配(matching)。 所以求某集合族 (A1, A2, . . . , An) 的一個相異代表系, 相當於求 它所對應的二部圖中的一個含 n 條邊的匹配。
用二部圖表示集合族 (A1, A2, . . . , An) 的另一個好處是可以看出集合 Ai 和元素 bj 的 對稱性。 如果對每一個元素 bj, 定義集合 Bj = {ai : bj ∈ Ai}, 則 (A1, A2, . . . , An) 和 (B1, B2, . . . , Bm) 所對應出來的二部圖, 除了頂點左右相反, 名稱各異以外, 實際上是同一個 圖。 在婚姻問題中, 這顯示男女平等 (或女男平等)。
隨便給一集合族 (A1, A2, . . . , An), 並不一定存在相異代表系, 所以它的二部圖也不一定 找得到有 n 條邊的匹配。 一般來說, 我們有興趣的是, 隨便給一個二部圖, 求一個具有最多邊的 匹配。 換回集合族的語言, 某一集合族可能沒有相異代表系, 但我們可以求一最大的部份相異代 表系, 也就是有些集合不派代表, 但派代表的任兩集合也要派相異代表, 現在當然是要看最多能 有多少集合派出代表。 著名的匈牙利算法(Hungarian algorithm) 就是解決二部圖最大匹配問 題的有效方法。
給定一個二部圖 G = (A, B, E), 其中 A 和 B 表示頂點的二個部份, E 表示邊集, 任一 條邊有一個端點在 A, 另一個端點在 B。 圖 2表示一個有 12個頂點及13條邊的二部圖, 粗線的 四條邊形成一個匹配 M = {(a1, b1), (a2, b6), (a3, b2), (a4, b4)}。
圖2
一個圖 G 的一條 M-可擴張路徑(M-augmenting path) 是一條含 2n + 2 個頂點及 2n + 1 條邊的路徑 (v0, v1, . . . , v2n+1), 並滿足下列三個條件:
(A1) (v0, v1), (v2, v3), . . . , (v2n, v2n+1) 這 n + 1 條邊均不在 M 內;
(A2) (v1, v2), (v3, v4), . . . , (v2n−1, v2n) 這 n 條邊均在 M 內;
(A3) v0 和 v2n+1 都不是任一 M 中的邊的端點。
在上述定義中, 像 (A3) 中所描述的 v0 和 v2n+1 這樣的頂點, 叫做 M-暴露點(M-exposed vertices)。 例如在圖 2 中, a5, a6, b3, b5 都是 M-暴露點, (a5, b1, a1, b3) 是一條 M-可擴張路 線, (a6, b1, a1, b4, a4, b5) 也是。
找到一條 M-可擴張路徑 P 的用處是, 可以將 M 裹在 P 上的邊去掉, 換上 P 中不在 M 的邊, 得到一個新匹配 M∗, 其邊數比原來 M 的邊數多 1。 圖 4 就是用 (a5, b1, a1, b3) 做出 來的 M∗。
法國數學家 Berge 曾經證明下述的定理, 它對一般的圖都成立。
Berge定理: 任一圖中的匹配 M 是最大匹配的充分必要條件是不存在 M-可擴張路徑。
匈牙利算法的主要精神就是從二部圖 G = (A, B, E) 的任一匹配 M(例如空集合) 開始, 逐層有系統的尋找一條 M-可擴張路徑, 若找到就可以得到一個更大的匹配, 再繼續一直到不 存在 M-可擴張路徑為止。 其方法如下所述:
(H1) i ← 1; 列出 A 中所有 M-暴露點當第 i 層。
(H2) 當 i 是奇數時: 列出和第 i 層頂點相鄰但不曾被列出過的頂點當第 i + 1 層; 如果這 一層沒有頂點, 表示不存在 M 可擴張路徑, 這時 M 已經是最大匹配。
(H3) 當 i 是偶數時: 若第 i 層有一個 M-暴露點, 表示找到一條 M 可擴張路徑; 否則將 第 i 層每一頂點所連接的一條 M邊找出來, 另一端點當做第 i + 1 層的頂點。
(H4) i ← i + 1 並回到 (H2) 重做。
以圖 2 為例, 可以得到圖 3 所示層次, 因此就得到 (a5, b1, a1, b3) 這條 M-可擴張路徑。 利 用這條 M-可擴張路徑得到的新的匹配就如同圖 4所示。
圖3
圖4
如果用同一個方法作用到圖 4 的匹配, 可以得到圖 5 所示的層次, 這時候, 經過 5 層, 匈牙 利算法就停在步驟 (H2), 表示不存在可擴張路徑, 所以圖 4的匹配是最大匹配。
圖5
在結束這一節之前, 我要提出一個小的問題, 這是大部份文章或書籍內不曾關心到的小細 節, 一般人或許不在乎, 但當做一個數學研究者, 這樣的邏輯推演是要很在意的。 這個問題是:
為什麼匈牙利算法在 (H2) 步驟停下來時就表示找不到 M-可擴張路徑? (如果這是對的, 經由 Berge 定理, 自然可以說 M 是一個最大匹配。)
一般似乎覺得匈牙利算法這樣一層層的有系統找法, 應該已經把所有可能的 M-可擴張路 徑都找尋過了, 但這其實是直覺上的邏輯迷思。 主要的問題是, 在各步驟中, 各層頂點被列出的 次序並不限定; 當某層的頂點用不同順序列出來時, 其畫出的圖可能不同, 例如將圖 2的匹配執 行匈牙利算法時, 如果是 a6 先於 a5, 則可能得到圖 6 的層次 (請和圖 4 比較), 於是得到另一
M-擴張路徑 (a6, b1, a1, b3)。 所以一般而言, 可擴張路徑的找法有很多種, 我們不能說已經找 過所有路徑。
圖6
當然, 如果同樣是得到 M-可擴張路徑, 還是一樣可以得到更大的匹配 M∗。 麻煩的是, 如 果得不到可擴張路徑, 是否表示換另一種順序就一定得不到可擴張路徑? 或者更進一步來說, 如果在更早期的運作裏, 就用了各式各樣不同順序, 得到不同匹配, 會不會就在這一次就變成 可以找到可擴張路徑? 甚至, 有沒有辦法可以保證, 不可能再用其他任何方法找到可擴張路徑?
凡此種種, 從數學的嚴謹性來說都是必須講求的。 下一節, 我們將引進對偶(duality) 的說法來 解釋為何匈牙算法停下來時, 它的答案就是最大匹配。
六. 對偶理論
這一節我們準備引進對偶理論, 這樣的概念在離散數學或一般數學上很常見, 其精神也展 現了線性規畫的對偶性質, 是一個有用的方法。
在一圖 G = (V, E) 中, 一個頂點蓋集(vertex covering) 是指一個頂點集S ⊆ V , 使得 G 中任一條邊 (x, y) 至少有一端點在 S 中。 舉例來說, 圖 4的二部圖中, S = {a1, a4, b1, b2, b6} 就是一個頂點蓋集。 例如 (a1, b1) 這條邊就有 a1 這個端點在 S 中; (a1, b2) 更有兩個端點都 在 S 中; 其他邊也均相同。
如果 M 是任意一個匹配, S 是任意一個頂點蓋集, 則 M 中的任一條邊可以對應到一個 S 中是此邊端點的頂點 (若有兩個可能, 則隨便選一個頂點出來對應), 因為 M 是匹配, M 中 不同二邊並不會對應到相同的頂點, 所以 |M| ≤ |S|; 一般來說, 有些 S 中的頂點也可能不被 對到, 所以不等號可能成立, 因此, 可以得到下列的弱對偶不等式:
maxM |M| ≤ min
S |S|,
這就是說, 最大匹配的邊數不超過最小頂點蓋集的頂點數。
要說明匈牙利算法的確給出最佳解, 我們考慮下面兩集合 M∗ 和 S∗: 首先, M∗ 就是算 法停下來時的匹配; 其次, 在算法停下來的最後那次, 有些頂點被列出來, 有些未被列出來, S∗ 就是所有 A中未被列出的頂點和 B 中被列出的頂點所成的集合。 舉例來說, 由圖 4 這個匹配經 由圖 5顯示, 匈牙利算法停下來, 所以得到
M∗= {(a1, b3), (a2, b6), (a3, b2), (a4, b4), (a5, b1)}, S∗= {a1, a4, b1, b2, b6}.
如果我們能說明下列三件事情:
(D1) M∗ 是一個匹配, (D2) S∗ 是一個頂點蓋集, (D3) |S∗| ≤ |M∗|, 則可以得到下列不等式:
|M∗| ≤ max
M |M| ≤ min
S |S| ≤ |S∗| ≤ |M∗|, 因此, 所有不等式也就成為等式, 這其實一舉證明了下面三件事實:
(D1′) M∗ 是一個最大匹配。
(D2′) S∗ 是一個最小頂點蓋集。
(D3′) 最大匹配的邊數等於最小頂點蓋集的點數。
要說明 (D1)(D2)(D3) 成立並不難。 首先, 由演算法可以得知 M∗ 顯然是一個匹配, 所 以 (D1) 成立。
要說明 (D2), 假設 S∗ 不是一個頂點蓋集, 表示存在一條邊 (a, b), 其中 a 是 A 中被列 出來的頂點 (這個頂點在 i 為奇數的某個第 i 層), 而 b 是 B 中未被列出來的頂點。 但如果是 這樣的話, 當匈牙利算法在 (H2) 步驟做到第 i 層的 a 這個頂點時, 就應該將 b 列出來, 不可 能最後還不被列出來的。 可見 S∗ 是一個頂點蓋集, 所以 (D2) 成立。
要說明 (D3), 可分兩方面。 首先 S∗ 中任一頂點若是在 A 中, 必是未被列出來的某頂點 a, 此時必有一條 M∗ 中的邊和它相鄰, 要不然它應該在 i = 1 時就被列出來; 例如圖 4的 M∗ 中
a1 對應 (a1, b3), a4 對應 (a4, b4)。
如果 S∗ 中的頂點是在 B 中的某個頂點 b, 則它是被列出來的頂點, 它必是在某個偶數 i 的第 i 層, 由匈牙利算法的 (H3) 步驟, 它該對應某個 M∗ 中的邊; 例如圖 4 的 M∗ 中; 在圖 5 可見
b1 對應 (a5, b1), b6 對應 (a2, b6), b2 對應 (a3, b2)。
因此, S∗ 中的每一頂點均對應到 M∗ 中的某一邊, 當然, 不同頂點對應到不同邊, 所以 |S∗| ≤
|M∗|, 也就是 (D3) 成立。
七. 穩定婚姻問題
相異代表系的求解可以轉化為圖論中的二部圖最大匹配問題, 其解法我們已詳細解說如 上。 後來的發展朝各個方面展開, 例如:
(1) 更快的算法。
(2) 邊加權二部圖的最大匹配問題。
(3) 一般圖 (不一定是二部圖) 的最大匹配問題。
(4) 網路的最大流問題。
(5) 二擬陣相交問題。
(6) 穩定婚姻問題。
相關資料可參考 [15, 16, 17, 18, 19]。 這一節裏, 我們以穩定婚姻問題為例, 做一點介紹。 在這 方面交大資科系譚建民教授研究極多。
假設現有 n 男 n 女, 每個人對異性均排出其喜好的順序, 下面圖 7中的表裏顯示出 4男 4 女, 男生用 a, b, c, d 命名, 女生用 A, B, C, D 為名。 在某一男生所對應的橫列, 及某一女生所 對應的直行所在位置有二個數目, 第一個數目表示這男生對這女生的排序, 第二個數目表示這 女生對這男生的排序; 例如 (a, A) 位置所記載的 1, 3 表示 a 第 1 喜歡 A, 而 A 第 3 喜歡 a 。 就 a 來說, 他第 1 喜歡 A, 第 2 喜歡 B, 第 3 喜歡 C, 第 4 喜歡 D; 就 A 來說, 她第 1 喜歡 d, 第 2喜歡 c, 第 3喜歡 a, 第 4喜歡 b。
A B C D
a 1, 3 2, 3 3, 2 4, 3 b 1, 4 4, 1 3, 3 2, 2 c 2, 2 1, 4 3, 4 4, 1 d 4, 1 2, 2 3, 1 1, 4
圖7
當這 n 男 n 女各自對其異性列出其喜歡的順序後, 我們的問題是要將男女兩兩配對, 使 其成為穩定配對系統。
男女兩兩配對的方法很多, 總共有 n! 種, 那麼何謂穩定配對呢? 所謂穩定配對就是一種 配對方法, 其中不存在任何一對不穩定的男 x 女 y, 他們沒有被配在一齊, 但是 x 喜歡 y 的
程度勝過他喜歡目前配偶, 而且 y 喜歡 x 的程度也勝過她目前配偶; 反之, 如果存在這麼一男 一女, 這個系統就稱為不穩定, 其所以不穩定是因為 x 和 y 最有可能放棄目前配偶, 雙雙私奔, 造成社會不安。 舉例來說, 就上述圖 7的系統, 考慮下面的配對法:
a ↔ A, b ↔ B, c ↔ C, d ↔ D,
這樣的配對並不穩定, 因為存在 b 和 D, 他們目前未被配在一齊; 但是 b 第 2喜歡 D, 勝過第 4 喜歡他目前的配偶 B; 同時, D 第 2喜歡 b, 勝過第 4喜歡她目前的配偶 d。 如果考慮下列的配 對:
a ↔ C, b ↔ D, c ↔ A, d ↔ B,
就沒有不穩定的因素存在, 比方說, 看看 a 和 B 這兩個人, 他們目前未被配在一齊; a 第 2 喜 歡 B, 勝過第 3喜歡他目前的配偶 C; 但是在 B 這方面, B第 3喜歡 a, 差於她目前第 2喜歡她 的配偶 d; 所謂落花有意流水無情, a 雖然較喜歡 B, B 卻不會理他。 其他任何兩個未被配在一 齊的兩人也都類似, 不產生不穩定的情況, 所以這樣的配對是穩定的。
一般來說, 雖然不是任何一種配對都是穩定配對, 但也有不少是的。 縱使如此, 當男女數目 大一點時, 用目測的方法, 看表去找一組穩定配對, 卻也不容易。 或者問看看, 什麼樣的喜好順 序表有穩定配對? 什麼樣的沒有? 這似乎也不易看出來, 類似 Hall 定理的敘述也不清楚是否 存在。
令人驚訝的是, Gale 和 Shapley 兩人提出一個演算方法, 經過 n2− 2n + 2 個步驟以內, 不管表的長像如何, 永遠可以找到一組穩定配對。 以下就來說說他們的方法。
這個方法可以稱為女方守株待兔法, 方法是這樣的, 所有女生坐著等男生來求婚, 首先, 所 有男生都去找他第1喜歡的女生, 如果這樣的結果每個女生恰有一個男生來求婚就停止; 如果有 一個女生有多人向她求婚, 則展開第二回合。 在第二回合裏, 每一有多人求婚的女生暫時接受一 名, 就是她最喜歡的那一位, 拒絕其他人; 這些被拒絕的男生就退而求其次, 再去向他下一個喜 歡的女生求婚; 這時候如果每一女生恰有一男生向她求婚, 就停止; 如果至少有一女生有多人向 她求婚, 則類似剛才的方法, 再到下一回合。
以上這方法, 最多經過 n2 − 2n + 2 個步驟, 一定會停下來, 而且一定得到一組穩定配 對。(請證明之)
由這樣的方法找出來的配對, 同時也是男性最佳配對(man optimal), 也就是說, 如果還 有其他組穩定配對, 那麼任一男生在這組最佳穩定配對時, 其配偶的排名一定在另一方法時配 偶排名之前。 在直觀上, 這件事情其實很容易想像, 因為每位女生都是被動的坐在那裏等人來求 婚, 而男生則主動的由最喜歡的女生逐一求婚, 主動當然有利。 當然啦, 為了顧及女男平等, 我 們也可以讓男士們坐著等女仕來求婚, 這樣就會得到一組女性最佳配對。
穩定配對可以推廣到大專聯考的分發問題, 此時, 考生可視為男生, 各科系可視為女生, 每 一考生依其喜好填志願來排列各科系, 每一科系用考生的成績來排列考生。 這時比較大的不同 是, 考生不一定要將科系完全排名, 而同時, 各科系也可選擇超過一個學生 (而且通常如此), 但 是這些差別, 對於 Gale 和 Shapley 的算法卻沒什麼影響。 所以這個方法說起來是考生最佳分 配方法, 從這個觀點來說, 大專聯考的分發實在是替考生想盡了好處。 有一點值得注意的是, 以 前的聯考計分均採總分制, 每個科系對學生的排序均相同, 現在的計分採加權制, 不同科系加權 的科目不同, 對考生的排序也不同, 不過, 不管如何, 由以上的理論, 分發對考生仍是很有利的。
八. 擬陣理論
數學家最拿手的好戲之一是將事情抽象化, 這一方面是要將各個不同樣子的東西, 用一種 方式表達出來, 由一種說法來涵蓋許多已知的結果, 更進一步由此導出簡便的證明, 以及新的結 論。 就這一方向來說, 二部圖的配對可以抽象成二擬陣相交問題。
擬陣 (matroid) 也就是類似於矩陣的意思。 在線性代數(或者乾脆就說矩陣) 裏, 有線性 獨立的觀念; 在圖論討論生成樹時, 有不含迴圈的觀念; 在二部圖的配對裏, 有邊對 A (或 B) 各頂點的度數不超過 1的觀念; 另外在其他許多離散數學的內容中, 也有類似的觀念。 這些看起 來似乎不相干的東西, 都被一共同的抽象函蓋, 這個觀念就是擬陣。
擬陣理論始於1930年代 Whitney 的第一篇論文, 經後人的發揚光大, 將它和二部圖匹配 結合, 創下二擬陣相交的種種理論, 成為一重要的領域。 這中間有許多技術層面的道理, 有興趣 的讀者可參考 Welsh [22]及 Lawler [15]的書, 在此不多著墨。
九. 無窮集合的迷思
在討論相異代表系時, 我們一開始時規定集合族只有有限個集合, 而每個集合也只有有限 個元素。 如果我們將這有限的條件去掉, 那麼問題會有何變化呢?
變化可大著呢! 分三個層次來說。
首先, 如果集合個數還是有限, 譬如說有 n 個集合, 但有些集合有無窮多元素。 這時候問 題很容易, 我們可以先將問題限制在那些只有有限個元素的集合, 用 Hall 定理或任何一個方法 來看看, 這個小一點的系統有沒有相異代表系。 如果答案是肯定的, 那麼原來的大系統也一定有 相異代表系, 因為剩下的一些 (有限個) 集合每個都含有無窮多元素, 總有辦法找到代表自己的 元素。 如果答案是否定的, 那麼原來的大系統就更不存在相異代表系了。 事實上, 我們也可以說, 這個時候 Hall 定理照樣成立。 當然啦, 我們可以問, 如果是無窮集合, 它元素的個數是什麼意 思。 懂得一些集合論的人, 可視為基數, 不知道也暫時沒有關係, 就想像無窮大於有限好了, 因 為這時候集合只有有限個。
如果集合個數是無窮多個又如何? 例如, 考慮集合族 (A1, A2, A3, . . .), 也就是每一自然 數 n 都有一集合 An。這時許多事情就不一定成立了, 比方說, 最基本的 Hall 定理就不對, 簡 單的例子是下面的系統:
A1= {2, 3, 4, 5, . . .}, An= {n} 其中 n ≥ 2。
這時候任意拿出 k 個集合出來, 如果 k 是有限數, 這些集合可能總共有 k 個元素, 也有可能有 無窮多個元素 (如果拿到 A1 的話); 如果是拿出無窮多個集合, 那麼元素總共也會有無窮多個, 假如我們有共識無窮等於無窮, 那麼Hall 定理的條件總是成立的, 但是這個系統無論如何找不 出相異代表系, 因為 An 一定要用 n 當代表 (n ≥ 2), 所以 A1 就沒有人可以代表它了。
無窮集合的迷思早在本世紀初集合論被提出來就有種種討論, 我們趁此做一點簡單介紹, 不過, 在這之前, 讓我們來說一下 Rado 證明局部有限的Hall 定理。 這時候, 集合的個數可以 無窮, 但是每個集合的元素都一定有限, 在這個情況下, Hall 定理又對了, 事實上, Rado 的證 明顯示相異代表系存在的充要條件是對任意有限的 k 個集合其元素總共至少有 k 個。 也就是 不必拿無窮多個集合的條件來看。 Rado 的證明是 Hall 定理加上超無限歸納法, 這是無窮集合 的一個基本手段。
相異代表系在一般無窮的情況, 能講的實在很少, 我們就此打住。 在結束本文之前, 讓我們 來看一下無窮集合的一些有趣事情。
首先, 無窮本身其實是人類想出來的, 但我們不妨想像有所有自然數所成集合這種東西存 在。
無窮的第一個迷思是部份可以等於全部。 在歐氏幾何學裏, 開宗名義的幾個公理中, 有一 個是全部大於部份。這看起來是天經地義的嘛, 一線段若切出一部份, 當然短一些; 十個數取出 一半, 剩下5個, 當然就少了一些。 如今, 在無窮集合裡卻不這樣了。
首先, 我們先要講清楚, 兩個集合什麼時候叫做個數相同。 簡單的說, 就是可以將這兩個 集合的元素列成一對一的對應。 例如 {1, 2, 3} 和 {4, 5, 6}這兩個集合一樣多元素, 因為可以 1 ↔ 4, 2 ↔ 5, 3 ↔ 6 這樣一對一的配對。
同意了這個說法, 我們來看看所有自然數所成的集合 N = {1, 2, 3, 4, . . .}, 這是一個無 窮集合, 如果我們將其中的第 1 個元素去掉, 得到 N1 = {2, 3, 4, . . .}, 我們要說 N1 雖是 N 的一部份, 但是兩者的元素卻是一樣多, 這只要考慮下列的對應就可以了:
1 ↔ 2, 2 ↔ 3, 3 ↔ 4, . . . , n ↔ n + 1, . . . .
你可能會說, N 有這麼多元素, 少一個當然無所謂。 如果是這樣, 讓我們再去掉更多元素看看, 這次, 去掉所有奇數, 留下所有偶數所成的集合 N2 = {2, 4, 6, 8, . . .}。 去掉夠多了吧, 有一半 不見了呢! 但是別急, N2 還是和 N 有一樣多個元素, 請看下面的對應:
1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, . . . , n ↔ 2n, . . . .
如果你還是不滿意, 也可以說, 留下一半還是有很大比例嘛, 再看看下面這個例子, 去掉所有非 完全平方數, 只留下平方數, 這時 N3 = {1, 4, 9, 16, . . .}, 這時候, 從 1 到 n2 中間只留下 n 個 數, 所以留下的比例是 1/n, 當 n 接近無窮大時, 這個比例就近乎零, 所以說, 留下來的比例夠 小了吧! 可是, N3 還是和 N 有一樣多元素:
1 ↔ 1, 2 ↔ 4, 3 ↔ 9, . . . , n ↔ n2, . . . .
到此, 你可能還是會說, 總之, 都是無窮嘛, 所以當然都是一樣。 如果你有這樣的誤會, 請 看看下面這個例子, 設 I = (0, 1) 是介於 0 到 1 之間之所有實數所成的集合, 其中的每一元素 都可以用
0. a1 a2 a3 a4. . . .
的方式表達出來, 其中各個 ai 均是 {0, 1, . . . , 9} 中某一數。 我們要說, 這次 N 和 I 的元素 個數不同了。這可以用對角線法來說, 假設 N 和 I 的元素可以一對一應成如下:
1 ↔ x1 = 0. a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 . . . 2 ↔ x2 = 0. a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 . . . 3 ↔ x3 = 0. a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 . . . 4 ↔ x4 = 0. a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 . . .
...
n ↔ xn= 0. an,1 an,2 an,3 an,4 . . . ...
考慮這樣的一個實數0. b1 b2 b3 b4 . . ., 其中每個 bn 均和 an,n 不相同, 比方說, an,n = 1 時 就取 bn = 2, 而 an,n 6= 1 時就取 bn = 1。 這樣取出來的實數在 I 中, 但卻不可能是某個 xn
(因為 bn 不等於 an,n), 這就是一個矛盾, 所以 N 和 I 的元素個數不相同。
我們對無窮的例子就說到這裏, 本文也就此結束。 有興趣的讀者可以參考數學傳播中柯慧 美教授的譯文 [23], 或者一般集合論的書。
十. 習題
(1) 假設集合族 (A1, A2, . . . , An) 滿足 Hall 的條件, 並且每一集合 Ai 至少有 2個元素, 證明 這個集合族至少有兩個相異代表系。
(2) 若將上述的 「2 個元素」 改成 「 r 個元素」, 則可以得到什麼結論?
(3) 一最小 (t, n)-集合族是指一 (t, n)-集合族, 若去掉其中任一集合內任一元素, 結果就不再 是 (t, n)-集合族。 試證任一最小 (t, n)-集合族中的任一集合恰有 t + 1 個元素。
(4) 從實數列 x1, x2, . . . , xn 中找出連續一段, 使其和為最大, 其計算複雜最低可達多少? (可 以對所有 1 ≤ i ≤ j ≤ n 算出 x1+ xi+1+ · · · + xj 的值, 再求其中最大的, 這樣要花去 的時間大約是 cn3, 所以你的答案一定要比這更改進, 最好是 cn。)
(5) 當 r ≥ 1 時, 證明每一個 r-正則的二部圖一定有一個完全匹配。
(6) 一個 r × n 階拉丁矩陣 (r ≤ n) 是一個 r × n 矩陣, 其元素均為 1, 2, . . . , n 中的數, 而 且同行或同列都沒有相同的數。 證明: 當 r < n 時, 任一個 r × n 階拉丁矩陣, 均可增加 第 r + 1 列, 使成為一個 (r + 1) × n 階拉丁矩陣。
(7) 給定實數軸上的 n 個閉區間 [ai, bi], 1 ≤ i ≤ n, 考慮下面兩個問題。 第一個問題是要從 這 n 個區間中, 找出最多個兩兩相交的區間。 第二個問題是要將這 n 個區間, 分成最少類 (k 類), 每一類中的區間均兩兩不相交。 有一個方法是這樣的, 首先, 將 n 個區間的右端點 依大到小排序, 所以, 不妨假設 a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an。 現在考慮下面的著色方法: i 從 1到 n 逐一的對 [ai, bi] 著色, 其所著的顏色是最小的正整數 j, 使 [ai, bi] 和任一已經著 j 的 區間均不相交。
由上面的演算法很容易知道, 著同一色的區間兩兩均不相交。 如果已經知道總共用了 k∗ 個 顏色, 請用對偶原理證明, 這個 k∗ 是上述問題的最佳解。
(8) 證明所有正有理數和自然數有相同的基數。
參考文獻
1. P. Hall, On representation of subsets, J. London Math. Soc., 10 (1935), 26-30.
2. L. Mirsky, Transversal Theory, Academic Press, New York, 1971.
3. 王子俠著, 相異代表系統簡介, 「數學傳播」, 第四卷第四期 (民國 69 年 12 月), 8-12。
4. 張鎮華著, 相異代表系古今談, 「數學傳播」, 第十卷第一期 (民國 75 年 2 月), 53-59。
5. P. J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
6. C. L. Liu, Introduction to Combinatorial Mathematics, McGraw-Hill, New York, 1968.
7. M. Hall, Jr., Distinct representatives of subsets, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 922-956.
8. R. Rado, On the number of systems of distinct representatives of sets, J. London Math.
Soc., 42 (1967), 107-109.
9. G. J. Chang, On the number of SDR of a (t, n)-family, European J. Combin., 10 (1989), 231-234.
10. J. Y.-T. Leung and W.-D. Wei, A Comparison theorem for permanents and a proof of a conjecture on (t, n)-families, J. Combin. Theory, Ser. A., 61 (1992), 98-112.
11. G. J. Chang, Corrigendum, J. Combin. Theory, Ser. A., 73 (1996), 190-192.
12. D. Konig, Graphok es matrixok, Mat. Fiz. Lapok, 38 (1931), 116-119. [Hungarian with German Summary.]
13. K. Menger, Zur allgemeinen Kurventheorie, Fundamenta Math., 10 (1927), 96-115.
14. D. J. A. Welsh, Matroid Theory, Academic Press, London, 1976.
15. E. Lawler, Combinatorial Optimization: Networks and Matroids, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1976.
16. C. H. Papadimitriou and K. Steiglitz, Combinatorial Optimization, Algorithms and Complexity, Prentice-Hall, Englewood Cliff, NJ, 1982.
17. T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest and C. Stein, Introduction to Algorithms, Second Editioon, The MIT Press, Cambridge, 2002.
18. U. Mamber, Introduction to Algorithms, A Creative Approach, Pearson Education Tai- wan Ltd., Taipei, 2003.
19. A. V. Aho, J. E. Hopcroft and J. D. Ullman, The Design and Analysis of Computer Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1974.
20. D. B. West, Introduction to Graph Theory, Second Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2001.
21. R. Diestel, Graph Theory, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 2000.
22. D. J. A. Welsh, Matroid Theory, Academic Press, London, 1976.
23. 柯慧美譯, 無限集合的一些特殊性質, 「數學傳播」, 第一卷第一期 (民國 65 年 5 月), 53-57。
—本文作者任教於臺灣大學數學系—
