國立臺中教育大學教育測驗統計研究所
教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文
指導教授：許天維博士
廖博毅博士
運用碎形維度分析訊息資料之研究
研究生：楊子謙 撰
中華民國 九十九 年 八 月
摘 要
本研究目的在以碎形維度探討臺灣東部地震帶之餘震b 值與其相關，並探討 碎形維度在國小學童繪畫與書法之運用。 在地震方面，其結果摘述如下： （一） 臺灣東部地震帶在1974~1978、1992~2000 及2000~2007 年為不穩定之斷 層系統。 （二） 臺灣東部地震帶在1978~1992年為單一斷層系統，其地震的分佈範圍集中 在東經121.5°~122°北緯23.5°~24°以及東經122.5°~123°北緯23.6°~34° （三） 當b值小於0.6、DC值小於1.65且兩者差大於0.9時或b值小於0.8、DC值 小於1.1且兩者同時下降時，可推斷該年有大地震發生。 （四） 臺灣東部地震帶在1974~2007年b 值與DC值 的關係式為： DC=1.683-0.30837b，顯示該地區為一個複雜的多斷層系統。 另外，以碎形維度分析國小學童繪畫表現，發現其兒童繪畫發展與Lowenfeld 的兒童繪畫發展階段理論及Gardner 的「U 型理論」相符合。 在書法運用方面，碎形維度可以用為一種評量的工具。 關鍵字：餘震 b 值、相關碎形維度、盒子維度、兒童繪畫、書法Abstract
This study aims to study the relationship between the b-value and the correlation dimension (DC) from the aftershock of the earthquake zone in the eastern Taiwan. Meanwhile, the application of the fractal dimension of the drawings and calligraphy works done by elementary school students is analyzed.
The results about the earthquake are listed as below,
1. The fault system of the earthquake zone in the eastern Taiwan is unstable from 1974 to 1978, 1992 to 2000, and 2000 to 2007.
2. During 1978 to 1992, the earthquake zone in the eastern Taiwan belongs is single fault system within the range centered at 23.5°~24°N 121.5°~122°E and 23.6°~34°N 122.5°~123°E.
3. A big earthquake could be predicted when the b-value is less than .6 , the value of DC is less than 1.65, and the difference between these two values is larger than .9, or when the b-value is less than .8 , the value of DC is less than 1.1, and both values are declining.
4. The correlation between the b-value and the value of DC of the earthquake zone in the eastern Taiwan during 1974 to 2007 is DC=1.683.0.30837b,
indicating that the earthquake zone there is a complex multi-fault system. Another results of the analysis about the fractal dimension of the elementary school students’ drawings indicate that the development of children’s drawing fits in with both Lwenfeld’s theory of the development of children’s drawings and Gardner’s U-type theory.
Also, in the application of calligraphy, the fractal dimension could be used as a method of assessment.
Keywords: the aftershock b-value, correlation dimension, box-counting, children’s drawing, calligraphy
目 次
第一章 緒論... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 3 第三節 研究問題 ... 3 第四節 名詞定義 ... 4 第二章 文獻探討... 5 第一節 測驗理論 ... 5 第二節 碎形理論 ... 14 第三節 碎形維度 ... 20 第四節 b值的研究 ... 22 第五節 b值與碎形維度的關係 ... 25 第六節 兒童繪畫發展理論 ... 26 第三章 研究方法... 31 第一節 碎形維度的計算 ... 31 第二節 餘震b 値的計算 ... 32 第三節 資料的來源與選取 ... 33 第四章 分析結果與討論... 39 第一節 b值和DC值的相關分析 ... 39 第二節 兒童繪畫的碎形維度分析 ... 49 第三節 兒童書法的碎形維度分析 ... 59 第五章 結論與建議... 63 第一節 研究結論 ... 63 第二節 研究建議 ... 64 參考文獻... 65 一、中文部分 ... 65 二、英文部分 ... 66 附 錄... 70 附錄一 一年級兒童繪畫作品 ... 70 附錄二 二年級兒童繪畫作品 ... 77 附錄三 三年級兒童繪畫作品 ... 84 附錄四 四年級兒童繪畫作品 ... 91 附錄五 五年級兒童繪畫作品 ... 98 附錄六 六年級兒童繪畫作品 ... 104附錄八 學習六年學生書法作品 ... 112 附錄九 學習三年半學生書法作品 ... 114
表 次
表 2-1 二元計分次序理論試題i和試題j答題人數之列聯表 ... 10 表 2-2 不同學者之兒童藝術發展階段 ... 30 表 3-1 兒童繪畫樣本人數分佈 ... 37 表 4-1 b與DC的相關 ... 48 表 4-2 各年級男、女生平均碎形維度 ... 49 表 4-3 師生書法作品的碎形維度表 ... 59圖 次
圖 2-1 受試者之作答情形所繪製的S-P表 ... 8 圖 2-2 學生診斷分析圖 ... 8 圖 2-3 ECD模式 ... 12 圖 2-4 大自然中的碎形 ... 15 圖 2-5 不同量測單位下的英國海岸線長度 ... 17 圖 2-6 碎形圖 ... 19 圖 2-7 自相似維度 ... 21 圖 2-8 盒子維度 ... 21 圖 2-9 地震數量與b 值隨時間變化圖 ... 24 圖 2-10 b值、p值和D值的關係。 ... 27 圖 3-1 臺灣東部地震圖位置示意圖 ... 35 圖 3-2 臺灣東部地震資料選取示意圖 ... 36 圖 4-1 b值和DC值每年的分佈圖 ... 40 圖 4-2 累積斜率變化示意圖 ... 41 圖 4-3 各年段的累積斜率變化圖 ... 43 圖 4-4 b值和DC值年段的分佈圖 ... 45 圖 4-5 各年段b值和DC值的迴歸結果 ... 46 圖 4-6 1978 年~1992 年餘震分佈範圍圖 ... 50 圖 4-7 1974 年~2007 年間b值和DC值的迴歸結果 ... 51 圖 4-8 發生大地震年份b值和DC值的分佈圖 ... 52 圖 4-9 研究樣本兒童繪畫盒子碎形維分佈圖 ... 53 圖 4-10 低年級繪畫作品 ... 54 圖 4-11 中年級繪畫作品 ... 56 圖 4-12 高年級繪畫作品 ... 57 圖 4-13 參考母群體學童繪畫盒子碎形維度分佈圖 ... 58 圖 4-14 參考母群體與研究樣本之學童繪畫盒子碎形維度分佈圖 ... 58 圖 4-15 師生書法作品的碎形維度分佈圖 ... 61第一章 緒論
本文以碎形理論為基礎，利用碎形維度為工具探討地震資料、兒童繪畫及書 法作品的碎形特性。首先討論臺灣東部地震帶的地震參數及其碎形維度之相關特 性；分析兒童繪畫的碎形特性，對應其與兒童繪畫心理發展的關連性；再次碎形 維度在書法上的評鑑運用上有何助益？本章將分別說明研究動機、目的，並對本 研究所需的特定名詞加以定義。第一節 研究動機
心理計量學是一門研究心理測驗(psychological testing)與評斷(assessment)的科 學 (Cohen, Montague, Nathanson, & Swerdlik, 1988) ， 是 一 門 包 括 量 化 心 理 學 (quantitative psychology)、個別差異(individual differences)、和心理測驗理論(mental test theories)等研究範圍的學問。比奈－賽門(Binet-Simon)的智力測驗，可說是人類 有史以來第一個心理測驗，測驗理論便是起源於此。測驗理論(test theory)（或全稱叫「心理測驗理論」）的發展，從古典測驗理 論(classical test theory)——主要是以真實分數模式(true score model) (Gullikson, 1987; Lord & Novick, 1968)為骨幹，以致到當代測驗理論(modern test theory) ——主要是 以試題反應理論(item response theory) (Hambleton & Swaminathan, 1985; Hambleton, Swaminathan, & Rogers, 1991; Hulin, Drasgow, & Parsons, 1983; Lord, 1980) 探討受試 者的能力估計值。在這其間發展出許多理論來輔助測驗理論的推展，如 以 S-P 表獲得受試學生的學習診斷資料及以順序理論探討知識結構。 碎形幾何理論是由數學家Benoit Mandelbrot 在七○年代提出的新幾何觀念。 目的是為了解釋自然界中許多狀似無秩序、不規則的複雜狀態與形象。碎形提出 至今將近 30 年，這期間已被數學、物理、生物、科學等領域多方應用與重視。 如同理論物理學家惠勒（John Wheeler）所說，在過去只有在人們了解到熵概念 後才能說他們受過科學教育；在未來「如果一個人不懂碎形，則他會被認為是科
學文盲。」由此可見碎形幾何理論的重要影響性。 地震是一種人類無法預測的自然現象，它的發生沒有明顯規則性存在，根據 許多學者的研究顯示，地震與山崩的規模與頻率關係，皆符合乘羃(碎形)定律。 且Bak（1989）提出地震的乘冪行為是自我組織臨界性（self-organized criticality） 的結果，認為開放、遠離平衡、時空延展的耗散系統，會自發演化到一種穩健態 （李馨慈，2005）。由此可知地震本身具自我相似性，因此分析地震的時間和空 間特性對長期預測地震有幫助。藉由餘震資訊的獲得可以計算出餘震 b 值， b 值 的改變可以反映出大小地震之間的比例關係，而隨著研究區域內的地質構造、應 力分佈情況及地體的構造等條件的不同，餘震 b 值也會有所變化。 藉由分析餘震的參數 b 值、破裂面的碎形維度等，可以瞭解整個破裂情形， 也能夠對該地區的地質特性做一推論。 在前人的研究中，發現碎形維度DC 值和 b 值是具有相關性的。如 b 值與碎 形維度DC 值在大地震發生之前的兩三年，都會明顯的下降，顯示這兩者之間具
有正相關（Enescu & Ito, 2001）；一般情形下大地震發生之前 b 值和碎形維度 DC 值也會降低（Ouchi & Uekawa, 1986）。但是 b 值跟碎形維度 DC 值之間，除 了存在正相關的關係也存在著負相關的情形，而不同的結果也意味著不同的地質 特性。本研究將利用臺灣東部地震帶自 1974 至 2007 這三十多年來的地震資料， 以斜率累積的方式切割出不同的時間區段，以此來分析餘震 b 值與碎形維度 DC 值，探究臺灣東部地震帶的地震活動情形。 碎形幾何理論藉由電腦高速運算下，所產生的碎形圖形更是為視覺設計開發 出一個視覺刺激的新場域。碎形圖形結構不僅可體現出如平衡、對稱等傳統美學 的標準，更有以此標準為基準的新表現；譬如，碎形圖形的平衡，是種動態的平 衡，一種畫面各個部分在變化過程中與整體相互制約的平衡；碎形圖形的對稱它 既不是左右對稱也不是上下對稱，而是畫面中局部與整體的對稱。碎形幾何所具 有的自我相似、渾沌動態及無窮分支、無限延展、非線性等特徵，使造形結構展 現出局部的變化與整體的統一性，而有別於歐基里德幾何（Euclid geometry）造
形所表現出的簡潔、線性、化約。碎形幾何所體現出的是後現代非線性的思維模 式，要求去中心化以及形式的開放，破除了線性及簡約的迷思；呈現出後現代的 破裂情境（黃真真，1998）。 近來碎形理論亦廣泛應用在繪畫上，利用其自我複製的特性，創造出許多令 人驚豔的作品。因此將繪畫進行碎形維度分析，是一個可探討的方向。陳冰海 （2009）運用碎形維度分析國小學童繪畫，發現兒童繪畫碎形維度與年級有顯著 相關，卻和性別無顯著關聯。而兒童繪畫碎形維度在小學三年級時達到最低點， 剛好是 Lowenfeld 主張的兒童繪畫發展理論中的分界年齡，顯示兒童繪畫發展階 段的轉變會影響兒童繪畫的表現（陳秉哲，2009）。以上研究皆顯示兒童繪畫碎 形維度和兒童發展應有相當的關聯。 在國小教育中，繪畫與書法都是藝術與人文的一環。而碎形幾何既然在繪畫 藝術領域上有所表現，那麼以此為理論基礎，對學童的繪畫及書法作品進行盒子 碎形維度的計算。藉以探討碎形維度與兒童繪畫發展的關聯以及在書法作品評量 上的運用。
第二節 研究目的
本研究目的在利用碎形維度分析自 1974 至 2007 年間臺灣東部地震帶的地震 資料、兒童繪畫及書法作品。以此分析臺灣東部地震帶的餘震b 值與碎形維度 DC 值的相關性，進而推論該地區的地質活動特性，探討碎形維度和兒童繪畫發 展的相關性以及碎形維度在書法評量上的運用。其具體目的分析如下： 一、探討臺灣東部地震帶的餘震 b 值與碎形維度DC 值相關性。 二、探討臺灣東部地震帶餘震 b 值與碎形維度DC 值的特性。 三、探討國小學童繪畫之碎形維度與兒童繪畫心理學的相關性。 四、探討碎形維度在國小學童書法作品上的運用。第三節 研究問題
根據研究目的，提出研究問題如下： 一、臺灣東部地震帶的餘震 b 值與碎形維度的相關性為何？ 二、臺灣東部地震帶餘震 b 值與碎形維度的特性為何？ 三、國小學童繪畫之碎形維度與兒童繪畫心理學的相關性為何？ 四、碎形維度在國小學童書法作品上的運用為何？
第四節 名詞定義
一、臺灣東部地震帶 本研究中臺灣東部地震帶係指北緯 20 ﾟ~ 24 ﾟ、東經 121 ﾟ以東之地震範圍。 二、訊息資料 本研究以不同的碎形維度計算方式，將實際地震的資料及兒童繪畫（畫樹） 與書法作轉變成數字資訊，以此探討其中的特性。 三、國小學童 本研究中，國小學童係指 97 學年度目前就讀於彰化縣地區的公立國民小學 學生。第二章 文獻探討
本章內容分為四節，第一節為測驗理論；第二節為碎形理論；第三節為碎形 維度；第四節為 b 值的研究及；第五節 b 值與碎形維度的關係以及第六節為兒童 繪畫發展理論之探討。第一節 測驗理論
測驗理論發展至今，以發展出許多不的理論來輔助測驗的推行，此節為探討 幾種不同的測驗理論工具。壹、S-P 表
S-P表（Student-Problem Chart,S-PChart ） 是由日本學者佐藤隆博 （Takahiro Sato）於1970年代所創，是一種將學生的作答反應情形「圖形化」 分析的方法，其目的在獲得每位學生的學習診斷資料，當作學習輔導之參考。S-P 表診斷學生的作答反應組型，嘗試藉由差異係數（disparity index）、同質性 係數（homogeneity index）、試題注意係數（item caution index）及學生注 意係數（student caution index）等指標，判斷不尋常之反應組型，並藉此提 供診斷訊息（余民寧，2002）。而衍生自S-P表理論的試題關聯分析法（許天維， 1995；簡茂發、劉湘川、許天維、林原宏，1995）也發現具有診斷學習結果，鑑 別學習成就的功效。 假設教師蒐集到一筆N個學生在N個試題上的反應資料，經過評分（答對者給 1，答錯者給0）之後，得到一個未經任何處理的原始得分Nxn階矩陣資料，稱為 「S-P原始資料表」。接下來，按照每位學生總分之高低，將學生的整個反應組 型及總分，由上（總分最高者排在最上面）往下（總分最低者排在最下面）依序 排列；接著，按照每道試題答對學生人數之多寡，由左往右（答對人數最多的試 題排在最左端）排列；最後，依據每位學生所得總分（即1的個數），從左端往 右端，數出和其總分相同的試題個數，並且在其右邊畫一條直線（分界線），如此一來形成的階梯狀曲線，稱作「S曲線」。依照同樣的方法，依據每道試題之 答對學生人數（即1的個數），從上往下開始數，數出和其答對學生人數相同的 學生個數，並且在其下邊畫1條直線（即分界線），如此一來所形成的階梯狀曲 線，稱作「P曲線」如圖2-1所示。S曲線是指學生得分之累加分布曲線，它是用 來區分學生答對答錯的分界線，S曲線以左的區域，大多數的數值都是1，因此這 個區域範圍內學生的反應大多數是答對的試題；同理，P曲線以上的部分，大多 數的數值都是1，因此這個區域範圍內學生的反應大多數是答對的試題。當S曲線 以左或P曲線以上全部出現為1時，這種情況稱為「完美量尺」的反應組型，但是 在實際的作答反應組型裡，這種狀況不太可能出現，反而容易出現S曲線以左或P 曲線以上的部分有學生答錯的情形，這種不完美量尺組型會呈現S曲線和P曲線分 離的狀態，S曲線和P曲線分離的程度，可以用差異係數（disparity index）來 表示（余民寧，2002）。 注意係數（Caution Index）是異常反應組型指標，注意係數是指S-P表資料 中的實際反應組型與完美反應組型之間的差異，占完美反應組型是最大差異的一 種比值，其數學意涵可以用下列的公式來表示： 注意係數 =（實際反應組型與完美反應組型間的差異）／（完美反應組型的 最大差異） 也可改寫為：1－（實際反應組型與基準變量之共變異）／（完美反應組型 與基準變量之共變異） 因此，當作答為完美反應組型時，注意係數 = 0；當作答為隨機反應組型時， 注意係數會接近於1，實際的反應組型之注意係數，通常介於0與1之間。注意係 數 ≥ .75時，表示試題或學生異常反應組型非常嚴重； .75 > 注意係數 ≥ .50 時，表示試題或學生異常反應組型嚴重； .50 ≥ 注意係數 > 0時，表示試題或 學生異常反應組型不嚴重（余民寧，2002）。 根據S-P表分析的結果，我們可根據學生的注意係數當作橫軸，以學生得分 之百分比當作縱軸，繪製學生診斷分析圖。學生診斷分析圖依據學生注意係數將
學生的學習狀況分為六大類（如圖2-2所示）：學習穩定型（A區）、粗心大意型 （A'區）、努力不足型（B區）、欠缺充分型（B'區）、學力不足型（C區）與學 習異常型（C'區）。這六種學習類型有下列幾項特性（余民寧，2002）： 一、學習穩定型（A區） 學習穩定型的學生學習狀況穩定良好，學業成績優良、能快速熟悉教材達到 精熟程度。對這一類型學生，教師只需予以持續的鼓勵和勉勵，即可維持他們持 續穩定的學習狀況。 二、粗心大意型（A'區） 粗心大意型的學生學習狀況稍欠穩定，雖然仍是班上程度較好的學生，但是 考試粗心大意，造成許多不經意的錯誤。 三、努力不足型（B區） 努力不足型的學生學習狀況尚稱良好，只是表現不如「學習穩定型」學生， 這類型的學生多半屬班上中上程度的學生，他們的學習尚稱穩定，但是可能因為 努力用功不足，而導致考試成績不夠理想。 四、欠缺充分型（B'區） 此類型學生學習準備不夠充分，偶爾也會粗心犯錯，學習狀況漸趨不穩定， 努力也不足。他們兼具用功不足與粗心大意兩種特性。 五、學力不足型（C區） 此類型學生基本學力不足，學習不夠充分，努力用功程度亦不足。他們的基 本問題在於過去並沒有奠定良好的學習基礎和背景知識，以致在學習新知識時倍 感吃力。 六、學習異常型（C'區） 此類型的學生學習極不穩定，對考試內容沒有充分準備，且隨便作答、盲目 猜題或有作弊之行為，導致作答組型異常。
試 題 號 碼 S P 2 3 7 4 9 1 6 5 10 8 總分 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9 9 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7 10 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 6 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 6 14 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 5 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 5 13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 5 6 1 0 0 0 1 0 0 0 0 5 15 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 11 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 4 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 3 8 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 學 生 座 號 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 12 11 10 9 8 8 7 6 5 4 80 圖 2-1 受試者之作答情形所繪製的 S-P 表 A 學習良好 穩定性高 A' 粗心大意，不 細心造成錯誤 B 學習尚稱穩定， 需要再用功一點 B' 偶爾粗心，準備不 充分，需要再努力 C 學力不足，學習 不夠充分，需要 更加努力用功 C' 學習極不穩定， 具有隨性的讀書 習慣，對考試內 容沒有充分準備 0.50 1.00 學生得分百分比 100% 75% 50% 0 學生注意係數 圖 2-2 學生診斷分析圖 S 曲線 P 曲線
貳、次序理論（Ordering Theory）
次序理論是以Guttman (1944) 所提出的Guttman量表圖分析法 (Guttman Scalogramgram analysis) 以及線性量尺技術 (linear scaling technique) 為 基礎所發展出的一種測量模式 (Jansson,1986) 。Guttman量表圖分析法能找出 測驗或問卷之問題階層關係，以利試題之編排 (Guttman,1944,1950) ，但由於 Guttman量表圖分析法僅侷限於線性的階層 (linear ordering) 關係，亦即每一 項目只出現在某一階層，且除了最高階之外，每一個項目都必是另一項目之先備 條件 (Bart & Airasian,1974) ，如： i → j → k → l ，其每一項目只出現在 某一階層，且除了最高階l 之外，其餘i 、j 均為另ㄧ個項目之先備條件。
但事實上根據一些邏輯與統計的分析結果指出，並非所以的次序都是線性 的，為了改進Guttman量表圖分析法的缺失，於是Airasian and Bart (1973) 提 出了一個可以分析線性與非線性次序的方法－「次序理論」 (Airasian & Bart, 1973;Bart&Krus,1973) ，次序理論的應用範圍較Guttman量表圖分析法更為廣 泛，次序理論除了將Guttman量表圖分析法之線性分析，延伸為非線性之測量技 術外，且其所呈現之階層關係能提供較多的訊息 (Bart,Frey,& Baxter, 1979) 。 在以往心理計量相關研究中，次序理論主要應用於衡量兩個試題間先備條件之次 序關係，進而呈現出試題階層，故常用來定義與分析試題間結構 (余民寧、陳嘉 成，1998；林原宏，2005，2006) 。Airasian and Bart (1973) 提出次序理論 分析可用來測試兩個概念間假設性之次序，以確定其階層關係，大致上可以分為 下列四個步驟，來檢驗概念間是否存在次序階層關係：
一、以言詞或繪製圖表，來呈現假定性之次序
試題i 指向試題j ，即試題i 為試題j的先備條件，以圖繪iÆj表示。 二、具體說明合理的 (confirmatory) 以及不合理的 (disconfirmatory) 反
應組型
例，其組型應為 (1,1) 、 (1,0) 、 (0,1) 以及 (0,0) 四種，其中表示試 題i 指向試題j 的合理反應組型為 (1,1) 、 (1,0) 和 (0,0) 三種，而 (0,1) 則為不合理的反應組型，表示試題i 不指向試題j 。
三、選擇容忍水準(tolerance level) 和適當的試題列聯表資料
Bart and Krus (1973) 根據二元計分的試題之列聯表資料，計算其先 備條件以及次序性關係。以二元計分 (答對以1 表示答錯以0 表示) 的試題 i 和試題j答題人數之列聯表為例，如表2-1 所示 (引自林原宏，2005) 。 表 2-1 二元計分次序理論試題 i 和試題 j 答題人數之列聯表 試題j 總和 1 0 1 n11 n10 n1‧ 試題i 0 n01 n00 n0‧ 總和 n‧1 n‧0 n= n11 +n10 +n01 +n00
根據表2-1 所呈現之列表資料，Bart and Krus (1973) 定義「試題i 指向試題j 」的衡量係數為n01/n，n01/n的範圍是0 ≤ (n01/n) ≤ 1 ，n01/n 若愈小，表示試題i可能為試題j 的先備條件。然而，由於不合理的反應組 型（0,1) ，可能肇因於答題者的猜測或遺漏，故允許極少數錯誤反應之比 例，稱為容忍水準或閾值(threshold) ，以ε表之（0<ε<1）。
Bart and Krus (1973) 建議可取閾值ε = .2，Airasian,Bart and Greaney (1975)建議取閾值ε值介於.05 到.1 之間，而Jansson (1986) 認 為在樣本不多的情形下，閾值ε值可以更小，且閾值ε值可由研究者依樣本 數決定。
四、執行容忍水準 (即閾值) ，判斷是否具有次序性關係
Bart and Krus (1973) 根據閾值ε 之值，決定試題i 與試題j是否 有次序關係，說明如下：
（一）、若 (n01 / n) <ε，表示試題i 為試題j 的先備條件，即試題 i 與試題j 有次序關係rij= 1表示，以圖繪iÆ j 表示。 （二）、若(n01 / n) ≥ε表示試題i 不是試題j 的先備條件，即試題 i 與試題j 沒有次序關係，此時以rij= 0表示，圖繪中i 沒有 指向j 。 次序理論可以應用在各領域上，包括課程結構安排、閱讀技巧、認知歷程的 次序階層等，但其後續主要應用來探討皮亞傑 (J. Piaget) 認知發展理論發展 階段之次序性 (林原宏，2006；Airasian & Bart,1973) 。
參、證據中心的評量設計（Evidence-Centered Design）
證據中心的評量設計（簡稱 ECD）是一個以推論證據來編製教育評量的方 法，學者Mislevy et al.(2003)認為一個ECD 評量系統可視為一評量傳送模式 (delivery model)，其中包含五個子模式（圖2-3）：學生模式(student model)、 證據模式(evidence model)、作業模式(task model)、組合模式(assembly model) 及呈現模式(presentation model)。 一、學生模式 學生模式主要探討在一份或多次測驗中研究者欲測的知識、技能、或 態度。模式中的變數代表在評量中欲推論的能力，也就是說變數代表在評量 中受試者的某種知識、技能、或態度。其模式可定義一個或多個變數，簡單 的學生模式明確指出學生在那些領域的作業能答對；較複雜的模式則可以說 明學生在那幾種知識、或不同作業結合的程度或種類的表現。 定義學生模式變數之前必須先明確說明其推論的目的。在開始給學生 評量時，研究者知道一些有關於學生的變數的資訊並希望能使推論的結果更 為清楚。因此，研究者需要慢慢地觀察並且一點一滴的收集證據，以及結合 新的資訊來推論學生模式變數更精確的狀態。
二、證據模式 證據模式主要是在描述這樣的一個過程：給定受試者某個作業，根據 其表現來提供資訊並更新學生模式變數的機率分佈。在教育評量中的證據模 式則描述如何從學生所完成的作業中取得可推論學生模式變數的證據。可觀 察的變數即為作業表現的一些特徵。 證據模式包含二部分，在參數估計中分別具有不同的意義。此二個部 分分別為證據規則及測量模式。 證據規則描述可觀察變數如何從受試者所完成的作業成果中概述受試 者的表現。這些可觀察值是主要的作業輸出結果。它們可提供二種資訊，其 資訊可被用來更新學生模式變數的信念，以及對受試者所完成的作業給予回 饋。在可操作的評量中，證據規則管理(guide)反應分數步驟(response scoring process)，並且定義及概述作業內可觀察變數中所蘊含的證據。 測量模式是證據模式的一部分，提供有關學生模式變數及可觀察變數的連結 資訊。心理計量模式即應用在這樣的目的上，包括古典測驗理論、試題反應 理論、潛在模式及認知診斷模式。在可操作的評量中，測量模式主要在於決 定總結分數的過程。 三、作業模式 作業是教育評量的中心，藉由受試者的作業表現可以產生證據以及回 饋、決定、預測等評量功能。 作業模式變數描述作業的特徵以及這些特徵與作業表現的關聯。作業 設計者藉由設計一個作業環境來提供情境，讓受試者能在此情境中被誘發出 符合評量目的所需要的行為，並使其行為表現提供證據給證據模式來使用。 研究者根據這些要素來設計其作業，並利用組合模式來組成評量。 作業模式的要素必須明確說明作業結果，明確定義模擬情境、條件以 及可提供的物件工具。一個給受試者的評量中可能出現多種作業模式，其作 業表現可在不同形式下用來提供證據，或者是在不同能力值觀點以不同的呈
現形式來提供證據，也就是用多元評量的觀點提供證據。 四、組合模式 組合模式描述如何將學生模式、證據模式及作業模式一同運作以構成 符合心理計量原則的評量。其目的在於描述如何準確地測出每個學生模式的 變數，及作業如何恰當且穩定地反應出測驗範圍的廣度及差異性。組合模式 中的限制將使多種形式的作業結合在一起構成一個評量。簡而言之，組合模 式是將所有已知的資料組成測驗，其形式可能為多元評量或電腦化適性測 驗，端視研究者的目的為何。 五、呈現模式 「呈現模式」其目的在於決定如何呈現不同形式的評量。例如，紙筆 測驗、或是經由電腦上的網頁，甚至透過電話的方式、學生的檔案資料來評 量學生。
第二節 碎形理論
碎形幾何 (Fractal Geometry)是數學家 Mandelbrot於1967年發展出的新 維度概念，揭露的是自然幾何學，在不規則中蘊藏某種規則的秩序，卻和尺寸無 關，就算放大或縮小，其中的複雜程度並未因此減弱。大自然中存在著許多的研 形結構（如圖2-4所示），碎形試圖解釋這樣的非線性現象與大自然複雜結構， 其觀念已延伸到如生理學、經濟學、社會學、氣象學，以及天文學中的星體分布 等不同的領域中。 碎形幾何理論中具有的自我相似性〈Self-similarity〉、分數維度、渾沌 的動態性〈Fractalgeometry〉、無窮分支、無限的延展性〈Unlimited expansion〉、 非線性等特徵，使造型結構展現出局部的變化性與整體的統一性，可以表現出潛 藏於自然界中的複雜造形，有別於傳統歐幾里德幾何學（Euclid geometry）所 表現出那種簡潔、線性、化約的造型。
取自：http://www.lovena.com.tw/page21.html
圖 2-4 大自然中的碎形
碎形是利用物體本身的自相似性來對物體做描述，因此碎形維度較一般維度 指標，更適合自然界景物的描述（王素芬，1997），Mandelbrot在研究－『英國 海岸線有多長？』的文章中，認為英國海岸線的長度是不確定的，比例尺越大或 使用之度量單位越小，則海岸線的長度越長，如這樣的運算下去會得到的結果 是，英國的海岸線是無限長的，而這樣的結論卻是毫無意義的，Mandelbrot利用 在不斷的度量單位的變化中找到共同的規則，就是自相似性的特徵，發展出碎形 維度的慨念（如圖2-5所示），其導出碎形維度的理論如下：
log L = C + (1-D)log S………(2-a) 其中D為碎形維度（fractal dimension），L為總長度、C為常數、S為量測 尺度。當D值越大時，海岸線越不規則；相反的，D值越小，海岸線則越平直。 碎形幾何其主要的基本特性如下：
壹、碎形具有分數維度
不同於整數維度的一維線段，二維矩形，碎形所具有的維度是分數的，例如 無窮擴張三分之四的卡區(Koch)曲線如圖 2-6(a），其維度是 1.2618。貳、碎形具有尺度無關性
對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺來量度「可觀察的區域」，碎 形會具有一致的碎形維度。例如，如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。圖形
單位長度 200 miles 100 miles 50 miles 25 miles
測量次數 7 16.25 40 96
總長度 1400 miles 1625 miles 2000 miles 2400 miles
圖 2-5 不同量測單位下的英國海岸線長度
當單位長度越小，量測岀的總長度越大，若用極小的單位長度量測，則海岸線長 度會趨近於無限大。
Note. From Fractal Geometry in Architecture and Design, by C. Bovill, 1996,
參、碎形具有自我模仿性
對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度一層一層縮小的結構重複性， 它們不僅在越來越小的尺度裡重複細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺 寸，造成某種循環重現的複雜現象。肆、碎形代表有限區域的無限結構
例如卡區雪花原本是一個正三角形，其結構不斷重複的線段，被限制在最初 三角形的正圓區域內，如圖2-6(b)；原本是一固定線段，最後變成一系列數量無 窮，但總長度卻為零的Cantor Set，如圖2-6(c)。伍、碎形隱含一種整體性
從某一尺度的碎形，可以推知瞭解其全貌，這意味著碎形隱含一種整體性， 從細微的傾向可以透露整體的變化，整體的絲毫改變可以令所有面貌改觀，造成 整個碎形圖形的變化。陸、碎形
是觀察手段的相對結果
作為碎形結構的海岸線本身，在某種意義下是無限長，但是對於不同的觀察 者而言，海岸線長度卻端視其手中的量尺（不同的觀察手段）而定，Mandelbrot 說：「數據結果是依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念，才促使他發展 出不同於過去科學家的維度量度的新理論。柒、碎形
是非線性動力過程的結果
大自然的外貌、結構是非線性動力過程所造成的結果，我們也只能在非 線性現象中，才能找到碎形的蹤跡，於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可 分的關係。 (引自吳文成教授網站：http://www.atlas-zone.com/complex/fractals)(a)
(b)
(c)
圖2-6 碎形圖 (a)卡區曲線 (b)卡區雪花曲線 (c)Cantor Set
資料來源：碎形理論應用於臺灣地區建地空間型態之研究(頁10)，李介中， 2005，國立臺灣大學地理環境資源研究所碩士論文，臺北市。
第三節 碎形維度
測量碎形維度的方法有很多種，常見的有相關維度（Correlation Dimension）、 自相似維度（Similarity Dimension）、盒子維度（Box Counting Dimension）等。 分別介紹如下：
壹、相關維度（Correlation Dimension）
相關維度又稱為雙點相關維度（DC, two points correlation dimension）， 主旨就是兩點之間的相關性，計算相關維度，主要是用來描述自然界中不規則離 散體的自然碎形，可以分析群體中個別質點分佈的疏密關係，瞭解其空間分佈的 特性。
貳、自相似維度（Similarity Dimension）
如果將一個集合分為 N 個小部分，每個小部分都是從原來圖形縮小 r 倍而 成（r >1），則把DS定義為自相似維度，如：DS= ) log( ) log( r N 。例如正方形可以分為 四個由原來圖形縮小兩倍而成的小正方形（如圖2-7所示），所以其自相似維度 DS= 2 ) 2 log( ) 4 log( = 。參、盒子維度（Box Counting Dimension）
大自然中存在許多碎形形態，除了容易看出擁有自我相似性的碎形結構之 外，還有許多看不出自我相似性之形態物體。此時就需要就需要使用其他方法來 計算碎形維度值，最常用的方法就是盒子計數法。其概念就是把碎形圖案放在適 當大小的方格中，然後再計算碎形圖案佔據了多少小方格即可(如圖2-8所示)。
圖 2-7 自相似維度
(引自吳文成教授網站：http://www.atlas-zone.com/complex/fractals)
圖 2-8 盒子維度
第四節 b值的研究
b 值的計算方式主要是由 Gutenburg and Richter 於 1944 年提出斷層帶地震規模與 頻率關係式： Log N = a – bM 推導而來的。其中 M 為地震規模，a、b 為常數， N 為發生規模大於或等於 M 的地震次數。a 值在數學上意義是地震個數對數值軸 的截距值，在物理意義上代表區域內地震活動頻率之劇烈程度。 b 值在數學上意義是 Log N 與 M 呈線性關係的斜率，在物理意義上代表區域 內的小地震個數多寡之比例，若b 值小，則表示大地震發生個數的比例較大，反 之，若b 值較大，則表示大地震發生個數的比例較小。因此 b 值可代表區域地質 構造的特性。（吳美琍，2007）
b 值的推論大致分為兩大方式：第一種方式為 Shi and Bolt 在 1982 年提出的 最小平方法（Least-squares method），利用計算規模 M 以上的地震數目 N ，並 找出兩者之間的關係式，此方法可廻歸出 a 和 b 值。a 值是廻歸直線於縱軸上 的截距，可以顯現這個地區地震活動的頻繁與否；b 值則為線性廻歸後的直線斜
率，可以反應出該地區的地質特性，且b 值會隨著不同的區域、時間或範圍大小
改變。
第二種方式是Aki and Utsu 在 1965 年提出最大概似法(maximum likelihood method)，此方法必須先得到完整之地震目錄，再由完整規模與平均規模求出 b 值，當大規模地震次數少，則地震發生頻率的分佈範圍也較大；相反的，當小規 模地震次數增加，地震發生頻率的分佈範圍也較小。因此，以最大概似法來計算 b 值時，各個規模區間內的地震數目越多，則計算上給予的加權比重則越高，也 因為這樣，最大概似法推估的 b 值，偏重資料較多的小規模地震。 b 值與應力的大小有顯著的關係，在應力較高的地區會得到較低的 b 值 (Schorlemmer, Wiemer, & Wyss，2005)。而低 b 值的區域容易累積較大的應力而 造成地拴（asperity），進而引發大地震的發生（Schorlemmer & Wiemer,2004）。
圖2-9 地震數量與b 值隨時間變化圖。A:每月規模大於2 的地震數量圖； B:b 值隨時間變化圖；C:每月規模大於4 的地震數量圖。
Note. From “Seismic quiescence before the 1999 Chi-Chi, Taiwan, Mw 7.6
日本學者 Imoto (1991)對日本地區的地震做空間和時間上的探討，發現在日 本Kanto、Takai、Tottori 三個區域中，在發生規模大於 6 的大地震之前，b 值的 確有變小的趨勢。Wu and Chiao(2006)挑選 1994 年到集集地震發生前，20 公里內 的地震資料，發現在大地震發生前的 9 個月 b 值也降低(圖 2-9)。
第五節 b 值與碎形維度的關係
地震是一種人類無法預測的自然現象，它的發生沒有明顯規則性存在，但是 它發生的時間、空間甚至規模大小卻也不是隨機的，所以可以把地震視為一種碎 形結構，它具有自我相似性，可以自我組織、複製，就好像一種動力系統在時間、 空間上朝向一種臨界穩定狀態自動發展(王薇茜，2006)。 在前人的研究中，就發現b值跟碎形維度D值之間，不只有存在正相關也存在 負相關的現象 (Mandal, Mabawonku, and Dimri，2005）。正相關表示有較弱的群 震關係，或是地震的分佈幾乎填滿整個二維空間。負相關則代表在大地震發生的 區間有較小的b 值，但分散在主震周圍有較多的群震發生，造成其碎形維度較高。 Aki(1981)則認為地震b值與地震碎形維度間存在正相關，彼此之關係式為: D=3b/c(c=1.5，是地震矩(Mo)取對數值，用最大概似法算出)，後來Turcotte (1986) 利用地殼變形的模型，證明並解釋Aki的關係式D = 2 b。 Hirata（1989）從 Tohoku 地區地震分佈來分析，取樣時間從1926至1986年 且規模大於4，以最大概似法（maximum likelihood method）取得b值，並用相關 碎形維度（correlation dimension）算出地震震央空間分佈的碎形維度，得到一負 相關：DC=2.3−0.73b，但 Hirata 沒有計算深度。Wang and Lin（1993）也算出臺灣西部地震b值與相關碎形維度DC值呈現負 相關，他們解釋此地區可能不是獨立或發育完整的斷層系統。
Ouchi and Uekawa（1986）則認為，在一般情況下，大地震發生前 b值會下 降，而集中的群震現象也會造成空間分佈的碎形維度值降低，而Roy and Nath （2007）發現，大地震前相關碎形維度DC值與b值會同時明顯降低。
王薇茜（2006）則使用集集餘震12個月內規模大於2.2的地震資料，利用最 小平方法（Least-squares method）計算b值，以此和相關碎形維度做比較，卻得出
正相關的結果。姚喬鈞（2006）也發現，地震頻率在許多大地震發生前確實有明 顯變大的現象，且Enescu and Ito（2001）分析Kobe大地震也發現，大地震發生之 前的兩三年，兩者都會明顯的下降，表示兩者有很好的相關性。 而在唐毅鈞、張永孚與李宛純（2007）的研究中，當大地震發生前後，b 值 與相關碎形維度 DC 值呈正相關性，但在主震發生後與第一個大餘震之間的第一 餘震區段內，b 值與DC值卻呈負相關性。在主震發生之後，餘震地震活動度會隨 著時間遞減，於是DC值依然減少而b值增加，但在之後DC值逐漸回復背景值（如 圖2-10）。
第六節 兒童繪畫發展理論
兒童繪畫發展的相關理論很多，如1947 年的Lowenfeld、1954 年的Arnheim、 1980 年的Gardner。本節主要介紹Lowenfeld及Gardner的繪畫發理論。壹、 Lowenfeld 兒童繪畫發展理論
Lowenfeld提出以兒童為中心的論點，主張兒童繪畫的發展是自然的由內而 外，兒童繪畫發展的理論大都分都與年齡的大小有關聯，但並非絕對以年齡來劃 分，當將兒童繪畫配合心智成長一起觀察，繪畫可將視為心智成長的一種反應。在藝術發展階段方面Lowenfeld and Brittain（1987）和皮亞傑一樣採取的 發展觀點，提出了兒童的藝術表現也有發展階段。將兒童繪畫發展分為塗鴉階段 （scribbling stage）、樣式化前階段（pre-schematic stage）、樣式化階段 （schematic stage）、黨群寫實階段（gang age stage）、擬似寫實階段 （pseudo-naturalistic stage）。茲將每個階段兒童的繪畫可能呈現特徵說明 如下： 一、塗鴉階段（二至四歲）： 此階段的兒童剛開始尚未具有控制能力的塗鴉，之後具有控制能力的塗鴉， 因手眼的協調，出現圓圈、縱橫線的塗鴉，漸漸從肌肉運動到想向思考，開始針 對圖像命名。塗鴉反應了兒童的生理發展，當發展日益成熟之時，兒童越能控制
圖 2-10 b 值、p 值和 D2值（D2即本文所稱之 DC）的關係。
資料來源：嘉義地區地震活動特性研究，唐毅鈞、張永孚、李宛純，
自己的身體，協調度越佳，因此其從塗鴉的線條，可判斷出兒童的發展年齡。 二、樣式化前階段（四至七歲）： 兒童開始發現在表現和所要表現的物體間存有關係，也開始出現人物的表 現，但經常會改變象徵符號，空間表現沒有任何秩序，畫面中所使用的色彩與實 際的顏色無關，只依據兒童的情感或注意力選擇。 三、樣式化階段（七到九歲）： 這個階段的兒童發現人的形體概念，產生人物樣式，進而透過樣式的改變來 表現主觀經驗。在此階段中人物樣式常使用幾何線條來表現。同時發現空間關係 具有明確的秩序存在，已開始採用基底線，但仍出現主觀空間的表現方式，並且 發現色彩與物體間存在著關係，開始使用固有色。 四、黨群寫實階段（九至十一歲）： 此階段的兒童比較意識到自我，開始脫離了幾何線條與樣式的表現方式，對 於人物，已能在細節上表現出男女的不同，比較傾向寫實，但人物的表現則比較 僵硬。空間表現上，發覺基底線間的空間的意義，發現了了平面的現象，如天空、 地面。所使用的色彩表現和情感經驗有密切的關係。 五、擬似寫實階段（十一至十三歲）： 此階段的兒童開始對自己的作品產生批判的意識。兒童表現方式可分為觸覺 型和視覺型；觸覺型的表現方式強調表現情感的性質，及個人的詮釋，對於色彩 的使用較為主觀或情感的反應，空間表現上可能會採用基底線的表現方式。視覺 型的表現方式強調光、陰影，在人物表現上強調寫實、客觀，採用關節的方式表 現，發現三度空間，並且會有表現的衝動。在色彩上會就其視覺印象來調整色彩 的呈現。 綜合言之，大部分的兒童會隨著年紀的增長，心理與生理逐漸的成熟，而在 造形、空間、色彩上有不同的表現方式，Lowenfeld and Brittain（1987）的兒 童繪畫發展階段理論在此似乎提供了可形成客觀性評量的向度(陳金燕，2006)。
貳、Gardner 兒童繪畫發展理論
Gardner and Winner(1982)提出兒童繪畫的「U 型理論」，表示繪畫發展過程 遵循一個「U 形曲線」，指出年幼兒童與成年藝術家的繪畫似乎非常相似，但到 了就學階段卻又不具有相似性，一直到成為成年藝術家時又復得此能力。這個理 論顯示兒童在線畫造形的生動、獨特、自在的性質，會隨其年齡的增加而有下降 的趨勢，這種下降的趨勢，明顯的發生在小學三、四、五年級(謝政達，2002)。 Gardner 認為下降的原因，在於小學階段的兒童傾向於寫實的表現，如:透視、明 暗、遮蔽、正確形狀、寫實色彩，這種寫實傾向使其逐漸遵循固定繪畫的方式， 而了無新意，並稱這段吸引人之性質下降的期間為美術創作的潛伏期(latency age)(Gardner, Ives, Silverman, & Kelly,1979)。
Gardner and Winner(1982)指出兒童繪畫發展隨著心智成熟而趨向視覺寫實， 隨著年齡的成長兒童繪畫將由知覺中心進入視覺中心。Gardner 將兒童繪畫 發展分成三個階段（吳惠琴，2004）： 一、塗鴉階段：0-4 歲 此階段的幼兒開始使用象徵符號來表達時，可分為「語言表達」及「視覺表 達」二種不同類型，「語言表達」型的繪畫內容較少，使用語言描述的部份較多； 而「視覺表達」型的繪畫內容較多，使用語言描述的部份較少。 二、圖式階段：4-8 歲 這個階段兒童了解社會文化的規範，開始創新並趨向寫實，已經可以熟練地 使用各種象徵符號，自我中心的作品逐漸減少。Gardner 將此期視為藝術的開花 期，是一個重要階段。 三、寫實階段：9 歲之後 此階段兒童進入寫實的階段，有些兒童會因為寫實能力的不足，在繪畫無法 上獲得應有的成就與樂趣，於是在此階段放棄畫畫；而有些兒童能夠突破寫實的 規範，恢復其創造力而成為藝術家。
兒童繪畫能力下降，並不一定表示能力的真正喪失，相反的卻可能是進行一 種能力的調整，這種調整對於日後繪畫創作能力是必須的，因此學校讓兒童學習 視覺象徵的方法，減少其獨創性與自由發揮是必要與值得的，因為當兒童掌握了 繪畫的常規（如寫實透視法），他們才有充分的力量來打破陳規（陶東風等譯， 1997）。也就是當他們擁有精密的寫實能力後，他們才有能力再次表現幼年繪畫 時獨創、天真爛漫的繪畫特色，也才能還原到幼年以簡化許多複雜的物體外形代 替真實物體的表現風格(謝政達，2002)。 將Lowenfeld及Gardner的兒童繪畫發展理論，按對兒童年齡的分野整理如表 2-2： 表 2-2 不同學者之兒童藝術發展階段 年齡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 學制 學齡前 國小 國中 高中 Lowenfeld (1947) 塗鴉期 前圖式 期 圖式 期 寫實萌 芽期 擬似寫 實期 決定階段 Gardner (1980) 塗鴉階段 圖式階段 寫實階段 由表 2-2 可以發現，不管是Lowenfeld 或是 Gardner，他們都認為兒童在 3 到4 歲及 8 到 9 歲這兩個時間點都是一個分界年齡，顯示兒童在這兩個時間點上 的藝術發展應有顯著的變化。
第三章 研究方法
本研究旨在以碎形維度為工具探討臺灣東部地震帶的活動形態以及在兒童 繪畫和書法上的運用。在地震方面，以臺灣東部地震帶的地震目錄計算碎形維度 DC 值和餘震 b 值，並探討其相關連。另外在自然界中樹的型態符合碎形結構，因 此國小學童書「一棵樹」的繪畫作品和書法作品，以盒子維度計算方法來分析其 碎形維度再加以探討。本章主要是在說明研究的方法與歷程，共分為三個部分： 第一節為碎形維度的計算、第二節為餘震 b 值的計算及第三節資料的來源與選取。第一節 碎形維度的計算
在本次研究裡主要使用的碎形維度有二種，分別為相關碎形維度（Correlation Dimension）與盒子維度（Box Counting Dimension），在此介紹如下：壹、相關碎形維度（Correlation Dimension）
相關碎形維度主旨是利用兩點之間的相關性來計算，使用的相關積分式是由 Grassberger and Procaccia (1983) 提出的，定義如下：
C(r)= ) 1 ( 1 − N N
∑
− − N j i j i X X r , ) ( θ ………(3-a) 其中C(r)為小於距離 r 之中所包含的組數 r 為距離 θ 為Heaviside function N 為空間中的觀察點總數 Xi 、Xj 為兩觀察點的座標位置 表示設定一段距離r，當兩點（Xi ,Xj）距離小於r 時，兩者有相關性，θ=1； 相反的話θ=0。C(r)最大值為 1，其為介於 0 到 1 之間的實數。由相關積分式得出 C(r)與 r 有一指數關係： C(r) ∝ rDC………(3-b)其指數為 DC，就是所謂的相關維度。
本研究採用的是 3D 相關碎形維度，由研究資料中得到餘震的資料，分別輸 入座標的經度、緯度及深度而獲得。
貳、盒子維度（Box Counting Dimension）
盒子維度的計算方式是以圖像呈現之物件分佈的不同，來處理其空間碎形維 度，利用網格的方式切割多邊形，然後計算在不同的切割單元下，研究主體所佔 的網格數目後，將網格數目與切割的單位長度各取對數值，求得其斜率（slope） 再取絕對值即為此研究區之碎形維度 D 值，其公式如下（陳亮瑜，2001)：
)
/
1
log(
)
(
log
lim
r
r
N
D
r→∞=
………(3-c))
/
1
log(
log
sizeratio
Npieces
Df
=
………(3-d) ) (r N ＝測量單位個數 r＝測量單位尺度 D＝碎形維度 Df＝盒計法之碎形維度 sizeratio＝測量單位的比例值（1/2、1/4、1/8…）第二節 餘震 b 値的計算
b 值的計算主要是根據古登堡關係式（Gutenberg-Richter law, 1944）的提出的 地震頻率與規模關係的基本假設：log N= a - bM，。其中 M；地震規模 N：為時間內規模大於 M 的地震發生次數。 a 、b 為常數。a 值是地震規模大於或等於 0 的總地震次數的對數值，可以反映該地區的地震活躍程度；而地震規模與數目的對數值則呈現一比例關係，它們 的比值就是b，通常應力大的地方，b 値會較小，如該區域釋放應力後，b 値就 會回復正常。
計算b值的方法大致有兩種，分別為最大概似法（maximum likelihood method） 及最小平方法（Least squares method）。
最大概似法較常用的為Aki(1965) and Utsu(1965)提出的計算式：
b= log10 e / (M−Mc)………..(3-e) 其中Mc 為最小規模限制（cutoff magnitude）。使用最大概似法的前提是小規 模的地震目錄資料必須完整，否則會影響迴歸結果。不然當計算樣本少時，估計 的值會被幾個少數樣本影響，如此得到的 b 值較不具代表性（吳美俐，2007）。 所以最大概似法推估的b 值較偏重資料較多的小規模地震，對 b 值之估計不會 有很大的影響，而在最小平方法中則會隨著產生不規則的變動；在此比較下，使 用最大概似法可以求取較穩定 b 值，是比較好的分析方法（盧怡利，2006）。 但是以往用最大概似法計算 b 值的最小規模限制都在 3 以上，但本研究最小 規模限制在 4 以上，地震總數目僅二千九百多個，容易因數目太少而使得誤差過 大因此本研究以最小平方法來計算 b 值。 本研究的計算方式為將地震目錄中規模大於Mi的地震找出，i = 1,2,3..., n，計 算其累積次數Ni並取對數，將之對應數值定義為( M1 , log N1 ), ( M2 , log N2),…, (Mn , log Nn )，再用最小誤差平方法，將log N 對M求出古登堡關係式的a、b 值。
第三節 資料的來源與選取
壹、地震資料
本文分析之地震資料來自中央氣象局網站，自 1974~2007，共計 34 年時間； 以臺灣東部地震帶為例，如圖 3-1，找出介於北緯 20 ﾟ~ 24 ﾟ、東經 121.5 ﾟ以東、 芮氏規模 4~5.5 的地震加以分析，如圖 3-2。
其中資料點共計 2913 個，包含年、月、日、經度、緯度、深度、規模等資 訊，以此來計算地震 b 值與相關碎形維度。
貳、兒童繪畫樣本
本研究樣本選自九十七學年度彰化縣三潭國小全體學生 338 名，再加上茄荖 國小、曉陽國小、路上國小共四所國小一到六年級的所有學生為參考母群體，篩 選無效樣本之後，母群體為 917 名，人數分佈如表 3-1。將學生的繪畫作品掃描 成電子檔後，利用Matlab 7.1 計算繪畫的盒子碎形維度。參、兒童書法作品
本研究樣本分別選自在坊問學習書法時間不同的學生及指導老師的作品，合 計一名老師及二名學生，分別書寫 11 個相同的字，將其作品掃描成電子檔後， 利用Matlab 7.1 計算繪畫的盒子碎形維度。（a） （b） 圖 3-1 臺灣東部地震圖位置示意圖 (a)臺灣三大地震帶位置示圖 (b)東部地震帶地震震源剖面圖 資料來源：桃園縣：國立中央大學應用地質研究所。2010 年 4 月 8 日， 取自：http://gis.geo.ncu.edu.tw/921/teach/地震的時空分佈首頁.htm
表 3-1 兒童繪畫樣本人數分佈 學校 性別 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 小計 合計 男 32 36 29 26 30 29 182 三潭國小 女 30 25 28 32 21 20 156 338 男 20 13 21 24 23 31 132 曉陽國小 女 21 18 18 16 23 18 114 246 男 18 26 16 19 26 28 133 茄荖國小 女 12 8 21 22 24 19 106 239 男 9 6 6 9 3 8 41 路上國小 女 6 11 12 8 6 10 53 94 男 79 81 72 78 82 96 488 女 69 62 79 78 74 67 429 合計 全 148 143 151 156 156 163 917
第四章
分析結果與討論
根據研究結果，本章將分為三個部分，分別為：第一節為 b 值和 DC 值的相 關分析、第二節為兒童繪畫的碎形維度分析及第三節為兒童書法的碎形維度分 析。第一節 b 值和 DC 值的相關分析
本研究將所有地震資料以年度為單位進行分析，分別計算出b 值和相關碎形 維度DC 值，得到圖 4-1 的分佈圖。但由於全部的地震資料長達 34 年的時間，不 方便做細部的推論，因此本研究採取分段的方式分別做b 值和 DC 值的相關分析。 判斷分段的標準是使用累積斜率的方法。如圖 4-2（a）所示，將 1974 年和 1975 年的b 值和 DC 值繪入圖中即可得到一個斜率值為-1.2897，圖 4-2（b）是 1974 年到 1976 年 3 個座標點的斜率值-1.1716，圖 4-2（c）是 1974 年到 1977 年的斜率值-2.457，藉由累積斜率的變化來當做一個分段的方法，如圖 4-3（a） 所示，自 1974 年開始累積斜率變化，累積到 1978 年時為最低，因此將 1978 年 當做是一個分段點。由圖 4-3（b）可以看到自 1978 年開始累積斜率直到 1922 年 其斜率值還是負值，可是累積到 1993 年時便轉為正值，因此將 1992 當做是一個 分段點。由圖 4-3（c）發現，自 1992 年開始累積斜率到 2000 年止，其間的斜率 值都是負值，累積斜率到 2001 年時，其斜率值由負值轉為正值，因此將 2000 年 當做是一個分段點。由圖 4-4（d）可以看到自 2000 年開始累積斜率，其斜率值 一直向負值移動。 藉由累積斜率的變化，本研究將 1974 年到 2007 年的地震資料區分成四個部 分，即 1974 年到 1978 年、1978 年到 1992 年、1992 年到 2000 年及 2000 年到 2007 年四個年段（圖 4-4）。再分別對這四個年段的b 值和 DC 值做相關分析（圖 4-5）， 得到的結果整理如表 4-1 所示。圖 4-1 b 值和 DC 值每年的分佈圖 圖 4-1 b 值和 D C 值 每年的分佈圖
（a）
（b）
圖 4-2 累積斜率變化示意圖
（c）
（d）
續圖 4-2 累積斜率變化示意圖
（a）
（b）
圖 4-3 各年段的累積斜率變化圖
（c）
（d）
續圖 4-3 各年段的累積斜率變化圖
圖 4-4 b 值和 DC 值年段的分佈圖 圖 4-4 b 值和 D C 值 年段的分佈圖
（a）
（b）
圖 4-5 各年段 b 值和 DC 值的迴歸結果 （a）1974-1978（b）1978-1992
（c）
（d）
鑟圖 4-5 各年段 b 值和 DC 值的迴歸結果 （c）1992-2000（d）2000-2007
表 4-1 b 與 DC 的相關
年段 1974~1978 1978~1992 1992~2000 2000~2007 b 與 DC 的相關 -2.5857 0.34099 -0.4655 -0.868
由表可以看出在四個年段中，只有 1978-1992 年 b 值和 DC 值的迴歸相關為 正值，其餘三個年段皆為負值。根據 Wang and Lin（1993）計算臺灣西部地震 b 值與 DC 值也呈現負相關，他們解釋此地區可能不是獨立或發育完整的斷層系統， 可見臺灣東部地區在這些年段中為不穩定之斷層系統。 由於只有在 1978-1992 年間，b 值和 DC 值呈正相關。於是對照地震目錄，將 1978-1992 年的地震資料找出，發現在這段時間內，地震的分佈範圍集中在東經 121.5°~122°北緯 23.5°~24°以及東經 122.5°~123°北緯 23.6°~34°這兩個區域（圖 4-6）。根據 Chen, et al.（2006）研究認為，當 DC 與 b 值為正相關時，代表該 地區為單一碎裂斷層或連通的斷層系統；而當其呈現負相關時，該地區可能為複 雜的多斷層系統。因此推測在這段期間內，臺灣東部地震帶呈現單一斷層系統在 活動。 將 1974-2007 年間的 b 值和 DC 值做迴歸（圖 4-7），得到結果為： DC=1.683-0.30837b……… …（4-a） 由於 b 值和 DC 值呈負相關，所以臺灣東部地震帶可能為複雜的多斷層系統。 比對地震資料發現，1999 年有 6 個規模(ML)大於 6.2 的地震；2001 年也有 1 個規模 6.7 的地震；2002 年則有 2 個規模 6.2 的地震；2003 年有 2 個規模大於 6.5 的地震；2004 年有 2 個規模大於 6.5 的地震；2006 年與 2007 年則各有一個 規模 6.2 的地震。對照b 值和 DC 值的分佈圖（圖 4-8），發現發生大地震的年份 有以下兩個特徵，當b 值小於 0.6、DC 值小於 1.65 且兩者差大於 0.9 時（如 2002、 2003、2004 與 2007 年）或b 值小於 0.8、DC 值小於 1.1 且兩者同時下降時（如 1999、2006 與 2001 年）。雖然本研究的資料只選取規模小於 5.5 的餘震，但卻可
以經由 b 值和 DC 值的變化，發現該年有大地震的發生。
第二節 兒童繪畫的碎形維度分析
本研究將利用盒子碎形維度來分析兒童的繪畫，主要分析樣本為彰化縣三潭 國小全部學生，另外以彰化縣茄荖國小、曉陽國小、路上國小加上三潭國小共四 所國小，一到六年級的所有學生為參考母群體。 經將學童繪畫作品掃描成電子檔後，計算出其盒子碎形維度。經整理後如表 4-2，並繪製成圖 4-9。 表 4-2 各年級男、女生平均碎形維度 年 級 性 別 一 二 三 四 五 六 男平均 1.35 1.38 1.32 1.32 1.36 1.47 女平均 1.38 1.35 1.34 1.27 1.37 1.40 總平均 1.36 1.37 1.33 1.29 1.36 1.42 由表 4-2 看出，學童繪畫碎形維度的變化情形為，從一、二年級較高的碎形 維度表現，到三、四年級時下降至最低點，到五、六年級時再逐漸昇高，到六年 級時為最高。茲將不同年段的學童繪畫表現分別探討如下：壹、 低年級
由圖 4-10 可以看出低年級小朋友的繪畫出現左右對稱的情形，雖然圖形構 造比較簡單，但卻符合了碎性理論的特徵中的自我相似性，因此也得到了較高的 碎形維度。圖 4-8 發生大地震年份 b 值和 DC 值的分佈圖 圖 4-8 發生大地震年份 b 值和 D C 值 的分佈圖 ……框線為 b 值小於 0.8、 DC 值小於 1.1 且兩者同時下降的年份 -。 -框線 為 b 值小於 0.6、 DC 值小於 1.65 且兩者差大於 0.9 的年份
（a）碎形維度：1.3859 （b）碎形維度：1.3978
（c）碎形維度：1.3738 （d）碎形維度：1.3939
圖 4-10 低年級繪畫作品
貮、中年級
因為在自然界中樹的型態是符合碎形結構的，尤其是枝葉的自我相似性，由 圖 4-11 可以發現三、四年級的學童在繪畫上無法將此一特點表達的較完整，如 圖 4-11（d），可以看到這位學童在枝葉的表現上不夠詳細，如紅色框線位置所示， 枝幹並沒有畫完整，使得碎形維度值降低。而圖 4-11（b）可以看到這位學童在 枝幹的表現上是比較完整的，因此碎形維度也相對的比較高。但總體來看，中年 級的學童在這方面是低於低年級的學童。參、高年級
由圖 4-12 發現高年級的學童在枝葉的表現上便顯得完整了許多，且佈滿了 整空間，表示高年級的學童所畫的細節更多，對空間的掌握也更純熟。因此相對 於其他兩個年段來比較，得到了較高的碎形維度值。 本研究取得參考母群體的碎形維度數據，並繪製成圖 4-13。另外將母群體與 研究樣本各年級的平均數做成分佈圖（圖 4-14），藉此與研究樣本的數據做比較。 由圖 4-14 可以看出母群體中碎形維度最低的是三年級，而研究樣本中碎形維 度最低的是四年級。在Lowenfeld 的理論中，認為 9 歲是一個分界年齡，顯示兒 童繪畫發展階段這一個時間點上會有所轉變，也可能因此會影響兒童繪畫作品的 呈現方式。而 9 歲剛好是國小三級的階段，從這一點來看，母群體是符合Lowenfeld 的理論，透過碎形維度的計算，可以明確的看出在國小三年級的繪畫發展是有轉 折的。而樣本中為何是國小四年級是最低的，其原因可能是該所學校從國小三年 級開始，就接受外聘的美術老師指導美術教學，進而延緩了轉折的時間，但是整 來看，不論是母群體或是研究樣本，其曲線是相似的。因此以碎形維度的方法， 是可以看出兒童繪畫發展的軌跡的。而Gardner and Winne 的「U 型理論」，發現在國小學童在三、四、五年級時 會進入所謂的「潛伏期」。與本研究相對照，可以發現不管在母群體或是研究樣 本，其最大的轉折都是在三、四年級。因此以碎形維度的方法來看國小兒童繪畫， 亦符合Gardner and Winne 的「U 型理論」。
（a）碎形維度：1.3198 （b）碎形維度：1.3299
（c）碎形維度：1.3213 （d）碎形維度：1.2826
圖 4-11 中年級繪畫作品
（a）碎形維度：1.5296 （b）碎形維度：1.5532
（c）碎形維度：1.6207 （d）碎形維度：1.5259
圖 4-12 高年級繪畫作品
圖 4-13 參考母群體學童繪畫盒子碎形維度分佈圖
第三節 兒童書法的碎形維度分析
本研究將利用盒子碎形維度來分析兒童的書法，主要分析樣本為坊間教 授書法的老師及接受其指導時間不同的學生的書法作品。由書寫 30 年的書 法老師和分別接受其指導三年半和六年的學生，書寫相同的字，掃描成圖檔 後，再分別計算作品的盒子碎形維度分別製成表 4-3 及繪成圖 4-15。 表 4-3 師生書法作品的碎形維度表 練習時間 書寫的字 30 年 6 年 3.5 年 眼 1.4701 1.4608 1.4143 議 1.5027 1.4864 1.4456 稀 1.4906 1.4618 1.4359 縱 1.4789 1.4509 1.4209 語 1.4677 1.4156 1.4119 搧 1.5073 1.4777 1.4575 硬 1.4633 1.4349 1.4159 綿 1.4794 1.4568 1.4499 授 1.457 1.4501 1.4462 戲 1.5044 1.4723 1.4516 瞪 1.5084 1.4778 1.4632 由圖 4-15 可以看到，在本研究中所選取的書法作品中，不管書寫的是 那一個字，老師書法的碎形維度都是最高的，學習書法六年的學生書法作品 都是第二位，而學習三年半的學生書法作都是在最低的，顯示有良好的次序 性。一般而言，在評判單字書法的好壞，主要是看「整齊平正」、「長短合度」、 「疏密均衡」這幾個方面。換言之，個體字的結構越均稱，書法的評價越高。 而圖形如果對稱性越高，那圖形的碎形維度也就會越高。以這個方向而言， 以研形維度看評鑑書法作品的好壞，是一個可行的方向。 由圖 4-15 可以看出，在全部的樣本中，每個字的碎形維度都顯示老師 和學生的作品有所差距，如在「稀」字的表現上可以看出老師、學習六年的 學生和學習三年半的學生，碎形維度值都大概差 0.02 以上。只有在「語」 字的表現上，學習六年的學生的碎形維度，接近學習三年的學生，造成老師 和學生的落差變大。 由圖 4-16 可以看出，老師和學習六年的學生來比較，可以看出老師書 寫的結構較均稱，而學生的作品較為鬆散，進而造成兩者之間的碎形維度值 有較大的差距。而兩位學生的作品互相比較，可以看出學習三年半的學生在 整個空間的運用上比學習六年的學生還來得不夠，但是結構較為緊密，也造 成了兩者之間的碎形維度值差距較小。 整體而言，雖然本研究的樣本數只有 11 個，可是從結果來看，以碎形 維度來評量書法作品，是一個可行的方式。因為書法作品講求結構的均稱， 這一點與碎形維度的對稱性是不謀而合的。因此透過碎形維度來評量書法作 品的優劣，應該是一個可行的方向。
（a）碎形維度：1.4677 （b）碎形維度：1.4156
（c）碎形維度：1.4119
圖 4-16 師生的書法作品
