National Sun Yat-sen University Institutional Repository:Item 987654321/38857

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行政院國家科學委員會專題研究計畫期中進度報告

分子動力學結合有限元素法於薄膜奈米壓痕之多尺度模擬

分析(1/2)

計畫類別：個別型計畫計畫編號： NSC94-2212-E-110-010- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日執行單位：國立中山大學機械與機電工程學系(所) 計畫主持人：朱訓鵬報告類型：精簡報告報告附件：出席國際會議研究心得報告及發表論文處理方式：本計畫可公開查詢

中華民國 95 年 5 月 28 日

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行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

附件一

□成果報告

5

期中進度報告

分子動力學結合有限元素法於薄膜奈米壓痕

之多尺度模擬分析

計畫類別：

5 個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC 94－2212－E－110－010

執行期間：九十四年八月一日至九十五年七月三十一日

計畫主持人：

朱訓鵬

共同主持人：

計畫參與人員：

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：

5 精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立中山大學機械與機電工程研究所分子工程研究室

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中文摘要 本計劃主要以分子動力學結合有限元素法與平行運算建構多尺度模擬 (multi-scale simulations)系統，對厚度 10 nm 尺度以上之銅薄膜做奈米壓痕 (nanoindentation)的模擬分析，並與相同尺度之完全以分子動力學所建構的奈米壓痕模擬系統進行比對驗証，包括壓痕曲線、薄膜應力、硬度及楊氏模數等重要之物理參數。經由上述物理參數的比對分析，兩者有著非常符合之結果，驗証了本計劃所建構的奈米壓痕之多尺度模擬系統的正確性。 Abstract

The hybrid multi-scale method, which combines molecular dynamics (MD) simulation and finite element method (FEM), with the implementation of parallel computing is employed to simulate the nanoindentation process in the project. We utilize the hybrid multi-scale method to construct the copper substrate of 20 nm thickness that performance the nanoindentation analysis. Moreover, we also implement the same scale of full MD as the hybrid multi-scale model, and compare with the mechanical parameter of two models including the indentation curve, the atomic stress of substrate, the hardness and Young’s modulus. From the results of the comparisons

and analysis of two models under nanoindentation, we have confirmed the accuracy of the hybrid multi-scale model.

關鍵字 : 分子動力學、有限元素法、平行運 算、奈米壓痕、銅薄膜 1. 前言 奈米壓痕檢測技術為目前量測奈米尺度材料之機械性質的最主要方法之一。隨著近幾年奈米科技的蓬勃發展，製程技術所可以製造出之奈米元件的尺寸也愈來愈小，以往巨觀的檢測技術已不夠使用，尤其到了原子級的尺寸更是巨觀檢測技術所望塵莫及的，因此奈米壓痕檢測技術乃成為是倍受關注的微觀檢測技術。對於奈米壓痕的研究，在微米尺度下大都以實驗作為主要的研究方法【1-17】，大致可歸類為基板對薄膜之彈性模數及硬度的影響分析【1,6,11】；薄膜在其他不同成份材料的摻入下，摻入量對薄膜之彈性模數及硬度的影響分析【2,12,14】；不同成份的複合薄膜的機械性質量測分析【4,5,10,15,17】；薄膜在奈米壓痕下之塑性（ Plasticity ）、差排（Dislocation）、堆積隆起（Pile-up）、陷下凹入（Sink-in）及晶粒成核（Nucleation）等微觀現象的分析【10,17】；薄膜的尺寸效應對其機械性質的影響分析【7,13】;薄膜在不

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同的表面粗糙度下，對薄膜之彈性模數及硬度的影響分析【3】；探針在不同的探針半徑、探針對薄膜的不同接觸面積及不同的作用速率下，對薄膜機械性質的影響分析【8】。而在微米尺度下的奈米壓痕研究中，以實驗結合數值分析的數值模擬方面則以有限元素法為主要的模擬方法【18-21】，包含了 Wang 利用奈米壓痕的實驗及有限元素的 Marc.商業軟體分析銅薄膜在奈米壓痕下之堆積隆起的微觀現象【18】；Lepienski 利用奈米壓痕的實驗及有限元素的 ABAQUS 商業軟體分析銅及鉻薄膜在不同的探針半徑、探針對薄膜的不同接觸面積及不同的壓痕深度下，對薄膜機械性質的影響【19】； Fivel 利用奈米壓痕的實驗及三維離散差排模式（Discrete Dislocation Model）結合有限元素法分析壓痕塑性區的塑性行為【20】； Zhou 利用奈米壓痕的實驗及有限元素的 Ansys 商業軟體分析微機電元件中的銅薄膜機械性質【21】。對於有限元素法以外的數值分析方法則是以 Enriqu 利用奈米壓痕的實驗及蒙地卡羅法（Monte Carlo Method）對銅與銀之複合薄膜作奈米壓痕的分析【22】。至於在微米尺度下完全以數值模擬做奈米壓痕之研究則是以 Zhu 的分子動力學及有限元素法對銅薄膜在奈米壓痕過程中的塑性、差排及晶粒成核等現象做綜合分析【23】。對於以限元素法分析奈米尺度下之奈米壓痕的相關研究，目前則尚無文獻可見，主要是因為有限元素法乃架構於巨觀連體力學理論的數值方法，因此無法精確地表現出奈米尺度下的材料行為，而由於電腦技術的快速發展，運算能力的大幅提升，對於在奈米尺度下的奈米壓痕數值研究方法，目前均藉助於分子動力學來模擬其過程之種種機制。Landma 是第一個利用分子動力學來模擬奈米壓痕【24】，他以鎳（Ni）為針尖壓入金（Au）薄膜來研究兩金屬間吸附力之相互作用關係、接觸時的形態及其力學反應。其模擬結果再與原子力顯微鏡的實驗結果進行比對，發現兩個重要現象：第一個現象是當鎳尖針很接近金薄膜時，交界面處之金原子發生非彈性變化而造成不穩定之 Jump-to-contact 現象。第二個現象則是當尖針與薄膜分離時，因兩材料之吸附力而導致薄膜的金原子黏附在鎳尖針上，進而造成頸縮現象。後續學者亦在相關的研究上做探討【25-30】。除了上述關於尖針與薄膜接觸之交互作用的研究外，Gannepalli 則探討壓痕形成時，薄膜從彈性變形至塑性變形的過程中，尖針對薄膜所造成的局部變形與基板結構所產生的變化【31】。Cheong 則是以分子

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動力學探討矽（Si）薄膜在壓痕過程中，各種階段的轉換過程，並提出一應力準則（Stress Criterion）來作為轉換過程的力學描述【32-33】。上述的研究都是設定在尖針與薄膜為一等溫，且尖針以等速度運動的條件。Hualiang 則是以薄膜溫度與尖針施加力（等速度）為變數，來探討尖針對薄膜所造成壓痕深度的影響【34】。Yan 則記錄了整個壓痕過程中薄膜溫度的變化，更發現了由薄膜不可逆形變所導致的原子結構改變，進而造成薄膜溫度瞬間產生提高的現象【28】。而 Hsieh 乃以系統溫度為變數來探討對尖針與薄膜的影響【35】。以分子動力學來模擬奈米尺度下的各種奈米壓痕機制，在最近幾年已被廣泛的研究。但是在過去的研究中，對於所分析的薄膜厚度均在 10 nm 以下，所模擬的尺度都非常的微小，此與薄膜製程技術所能達到的薄膜真實尺度是有非常大的差距的，而為彌補與實際上尺度的差異，大部份均採用週期邊界的假設，而然此種條件假設條件僅能用於與探針壓痕行為無關的維度方向（ Dimension Direction），因此在與探針壓痕有關的維度方向的尺度模擬上，仍是與實際的情況有著非常大的差距。基於前述之因素，因此本計劃預計以分子動力學結合有限元素法與平行運算的多尺度模擬方式對厚度 10 nm 尺度以上之銅薄膜做奈米壓痕的模擬分析，並與相同尺度之完全以分子動力學所建構的奈米壓痕模擬系統進行比對驗証，包括壓痕曲線、薄膜應力、硬度及楊氏模數等重要之物理參數，以確立本計劃所建構的奈米壓痕之多尺度模擬系統的正確性。 2. 模擬方法 分子動力學與有限元素法的多尺度接合，其主要原理是在系統中設定一過渡區（Transition Zone）將兩種數值分析方法接合起來，而接合的主要方式則是將有限元素的網格循序漸進地逐漸縮小到過渡區時，元素網格的尺寸乃縮小到與銅晶格常數相同的尺寸，並與過渡區相對應位置的邊角原子重疊交會，如此在過渡區的元素網格即具有與晶格結構相同的晶格型態，且元素網格的節點將會一對一的與相對應位置的邊角原子相接合，如圖 16 所示。圖 1 分子動力學與有限元素法接合示意圖在過渡區中，由於有限元素法的六面體元素

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缺少晶格面心原子的自由度，因此有限元素法的節點自由度位移所產生的能量是低於分子動力學的原子位移所產生的能量，因此利用 Broughton 的權函數修正理論【36】來修正有限元素法的元素剛性矩陣，以降低過渡區的元素節點剛性，而使其自由度位移所產生的能量增大，以彌補不足於分子動力學的原子位移所產生的能量。對於整個接合系 統的能量以 Hamiltioian【37-41】表示為。 ( ) _∑∑ ∑ ∑ + + = atoms Ne ne l N j i l （1） j l j i l i l N j i k i j i j i j i N i i iv w V r r w u k u m H , , 2 2 1 , 2 1 2 1 式（22）中，N 為系統的總粒子數， 為系 統第 i 個粒子的質量， 為分子動力學的原子數量，為分子動力學的 Tight Binding 多體勢能，為有限元素法的元素數目，則為有限元素法的節點數目，為元素的剛性矩陣，及則分別為分子動力學 與有限元素法的權函數。 i m atoms N j i V e N ne N k_il_j j i w wl 圖 2 所示為本計劃預定以多尺度模擬之奈米壓痕的物理模型圖，圖中的探針（Tip）部份是以鑽石結構的碳原子所排列組成，而薄膜的上半部是以分子動力學的面心立方結構（FCC）所排列組成，下半部則是以有限元素法的元素網格及元素節點所排列組成，至於薄膜的最底層則設定為與基板連接的固定層。由於原子在晶格裏的震動頻率一般都在 Hz 以上，因此要觀察原子的運動行為，所使用的時間步必須要小於秒，才能可靠地模擬原子運動軌跡，因此在本計劃中所使用的時間步階為秒。為了讓本計劃所建立的物理模型能更符合實際的過程，整個模擬過程中，探針與薄膜的溫度均設定在常溫（Room Temperature）300 K，並且為了讓系統達到平衡狀態，在一開始的幾萬個時步階內，探針不作任何的動作，並讓 探針與薄膜之間的距離大於 7 Å 以上，避免 探針與銅原子的長程力作用。等到系統逹到平衡後，接下來的時間步階讓碳針以等速下降，當逹到所預定的壓痕深度時，同樣以相同的速度等速提針，直到探針完全離開薄膜 為止。 3 SP 13 10 13 10− 15 10− 圖 2 奈米壓痕的物理模型示意圖

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目前因為並無共價鍵與金屬鍵的專屬勢能，因此在本計劃中的探針與薄膜間的交互作用乃是以二體勢能函數的 Morse 勢能來模擬碳原子與銅原子間的交互作用力【42】，雖然不及於多體勢能來得準確，但各項參數都是由光譜資料所求得，因此這種半實驗方式的 Morse 勢能依然被廣泛地應用在分子動力學的分析上。對於 Morse 勢能的函數定義如下

( )

rij =D

{

exp

[

− α

(

rij−ro

)

]

− ⋅exp

[

−α

(

rij−ro

)

]

}

φ 2 2 （2） 式（2）中，、D 和r_o α分別為原子平衡距離、內聚能（Cohesion Energy）及彈性模數（Elastic Module），其相關值如表 1 所示【86】。表 1 Morse 勢能參數表若模擬的薄膜原子屬於過渡金屬，則而 Tight-Binding 勢能考慮到過渡元素 d 軌域電子效應，且形式較為簡單，不論計算的準確性與運算時均優於不考慮電子軌域效應的多體勢能 EAM（Enbedded Atom Method）【43】，因此薄膜原子間的作用勢能乃採用 Tight-Binding 勢能來模擬，其勢能函數及參數如式（3）至式（5）及表 2 所示。

(

)

∑

+ = i i R i B c E E E （3）

(

)

{

}

∑

⋅ − − = j ij i R A p r r E exp / ₀ 1 （4）

(

)

[

0

]

1/2 2 _exp ₂ _/ ₁ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − ⋅ − =

∑

j ij i B q r r E ξ （5）表 2 不同金屬之 tight-binding 勢能參數在分子動力學的模擬中常採用的幾種積分法則分別為 Verlet 算法（含 Leap-Frog 法）、 Gear 五階預測修正算法及 Velocity Verlet 算法等，而 Velocity Verlet 算法是一較為簡潔的運算法則，比起 Gear 五階預測修正算法計算更為迅速，因此本計畫係利用 Velocity Verlet 算法做時間的積分，如下所示 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( F t t m t t v t r t t r +δ = + δ + δ （6）

[

F t F t t

]

t m t v t t v δ ( ) ( δ )δ 2 1 ) ( ) ( + = + + + （7）巨觀應力的計算方式上，在連體力學中所探討的為處處連續、處處可導的物理模型，因此若要將連體力學所推導的應力公式直接應用在分子動力學上，勢必會產生錯誤，因此我們必須應用原子級的應力公式來做探討【44-46】；當物系中所含粒子數達兩個以

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上時，雙原子模型的應力概念就無法使用，這種多粒子的原子級應力公式，J.M.Haile、 N.Miyazaki 及 T.Iwaki 等學者均曾經推導過【44-46】。其中文獻【44-45】是以統計力學概念的數學方法推導，文獻【46】則是以壓力的概念推導，較為容易了解，其指出應力乃物系內單位面積在單位時間中所接受粒子的衝量變化。此衝量變化又可分為兩項，一是原子運動對某區域平面所造成的衝量變化；另一來自原子間作用力對某區域平面 所造成的衝量變化，其公式如下所示。

∑

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − = i i ij n ij m ij ij ij i I n i m i S mn R x x R R V V v v m N ) ( 2 1 1 φ σ （8）其中 3 3 4 i i a V = π 為區域原子半徑體積。

∑

− − = ₂ 1 2 _ij ij i r r a 為區域粒子半徑。 m、n 為平面； 為 i 粒子速度；為系統粒子總數；為粒子間相對距離；為在 x 方向的分量。 i v N_s ij r xij rij 因為分子動力學為一具有質量、速度與加速度的動態數值分析方法，因此本計劃將以無阻尼（Undamped）動態方程式與分子動力學接合之【36-41】。對於本計劃所使用的無阻尼（Undamped）動態方程式中，元素節點的質量矩陣乃採用團塊質量（Lumped Mass）矩陣，而所使用的內插函數（Interpolation Function）則分別為八節點二十四個自由度的六面體元素（Quadrilateral Element）及六節點十八個自由度的稜柱體元素（Triangular Element），並使用平均加速度法做為無阻尼動態方程式的動態模擬方式【47】。為驗証本計劃所建構之銅薄膜多尺度奈米壓痕模擬系統的正確性，本計劃亦建構相同尺度及作用條件但完全為分子動力學之奈米壓痕模擬系統，如圖 3 及圖 4 所示，並比對兩者之壓痕曲線、薄膜應力、硬度及楊氏模數等重要之物理參數，以確立本計劃所建構之多尺度奈米壓痕模擬系統的正確性。圖 3 多尺度奈米壓痕模擬系統示意圖

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圖 4 分子動力學奈米壓痕模擬系統示意圖 3. 結果與討論 3.1 多尺度接合之權函數利用 Broughton 及 Naknao 的接合理論，本計劃建構了 FCC 晶格結構（100）軸向平面的銅薄膜多尺度的模擬測試系統，並得到相對應的權函數值，如表 3 及表 4 所示。表 3 銅多尺度模擬系統之勢能函數權函數值表 4 銅多尺度模擬系統之元素剛性權函數值 3.2 多尺度與全分子動力學之壓痕曲線本計利用壓痕過程中探針的受力計算對應壓痕深而得到多尺度及全分子動力學之奈米壓痕曲線，如圖 5 所示。由圖 5 之曲線變化趨勢可知，在探針逹到最大壓痕深度前，探針的作用力是隨著深度增加而變大，在探針逹到最大壓痕深度後，探針的作用力則隨著壓痕深度的減少而變小。另外，無論是多尺度或是全分子動力學之壓痕曲線，在壓痕的過程中，曲線在過了局部頂峰點後呈現急速掉落之現象，此現象主要是薄膜在壓痕過程中，當薄膜受到探針作用使得薄膜產生壓痕變形而使薄膜的能量增加因而造成薄膜之胚胎成核，當能量累積到曲線的局部頂峰點上時，薄膜的晶格結構即產生錯位滑移來使能量釋放，因而壓痕曲線在過了局部頂峰點後會有隨即急速掉落的現象。此外，在比對兩者的壓痕曲線後可發現，在壓痕深度逹到 8 Å 前之初期壓痕階段，多尺度與全分子動力學的曲線變化趨勢有著比較大的差異，此乃因為在淺壓階段，由於多尺度中的

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分子動力學的厚度與全分子動力學的厚度不同，因此系統整體的熱振盪現象所反應出自我週期的伸縮程度亦不同，因而探針在淺壓時受到兩者的反應差異較大，但是過了在 8 Å 的壓痕深度後，由於薄膜受到探針的深壓作用，系統的自我週期的伸縮現象逐漸變小，因此兩者的壓痕曲線呈現符合的趨勢走向。由圖 4 之壓痕曲線比對結果顯示了本計劃所建構的多尺度奈米壓痕模擬系統的正確性。 0 5 10 15 20 Indentation depth ( Å ) 0 100 200 300 Inde ntation forc e ( nN ) MD + FEM Full MD 圖 4 分子動力學奈米壓痕模擬系統示意圖 3.2 薄膜的機械性質為解本計劃所建構的奈米壓痕薄膜系統的材料性質，本計劃利用 Oliver【48】對圖 4 的壓痕曲線進行計算，以求得多尺度及全分子動力學等薄膜的硬度及楊氏模數等材料性質，並將兩者的材料性質與參考獻比較【49】，如表 4 所示。表 4 中，多尺度薄膜的硬度值為 7.2 GPa，全分子動力學薄膜的硬度值為 7.3 GPa，參考文獻的硬度值則在 6.8 GPa 至 8.7 GPa 的範圍。由表 4 之硬度值所顯示的結果可知，本計劃所建構的多尺度薄膜與全分子動力學兩者計算所得的硬度值均在參考文獻的範圍內，顯示了本計劃所建構的多尺度奈米壓痕模擬系統的可靠性。在楊氏模數方面，多尺度薄膜的楊氏模數值為 113.8 GPa，全分子動力學薄膜的楊氏模數值為 115.4 GPa，參考文獻的楊氏模數值則在 104 GPa 至 126 GPa 的範圍，由表 4 之楊氏模數值所顯示的結果可知，本計劃所建構的多尺度薄膜與全分子動力學兩者計算所得的楊氏模數值均在參考文獻的範圍內，進一步顯示了本計劃所建構的多尺度奈米壓痕模擬系統的可靠性。為進一步了解本計薄膜的應力變利用壓痕表 4 機械性質比較表 3.3 多尺度與全分子動力學之應力曲線為進一步了解本計劃所建構的奈米壓痕薄

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膜系統在壓痕過程中的應力變化趨勢，本計劃利用原子級應力公式【44-46】計算多尺度及全分子動力學等薄膜在壓痕過程中之壓痕方向的薄膜平均應力，如圖 5 所示。由圖 5 之曲線變化趨勢可知，在探針逹到最大壓痕深度前，薄膜的應力變化乃是隨著深度增加而變大，在探針逹到最大壓痕深度後，薄膜的應力變化則隨著壓痕深度的減少而變小，此趨勢與圖 4 的壓痕曲線相同。另外，多尺度及全分子動力學之應力曲線在過了局部頂峰點呈現急速掉落之現象亦與圖 4 的壓痕曲線相同，由圖 5 之應力曲線對照圖 4 之壓痕曲線變化趨勢可知，薄膜受到探針作用的應力反應有著與探針作用在薄膜上時相同的反應，顯示了薄膜應力曲線的正確性。另外，在比較多尺度與全分子動力學兩者之薄膜應力曲線可知，除了在初期的淺壓階外，在整個壓痕過程中，兩者的應力曲線趨勢走向非常接近，再次確立了本計劃所建構的多尺度奈米壓痕模擬系統的正確性。 0 10 20 30 4 Indentation depth ( Å ) 0 -4 -2 0 2 4 No rma l s tr ess o f z di rect io n ( G p a ) Indentation Retraction MD + FEM Full MD 圖 5 薄膜平均應力曲線比較圖 4. 結論本計劃以分子動力學結合有限元素法與平行運算建構多尺度模擬 (multi-scale simulations)系統，在壓痕曲線、薄膜應力、硬度及楊氏模數等重要之物理參數與全分子動力學所建構的奈米壓痕模擬系統進行比對驗証下，兩者有著非常符合之結果，驗証了本計劃所建構的奈米壓痕之多尺度模擬系統的正確性。 5. 參考文獻

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