國小資優生在時分針問題之解題表現分析

資優教育季刊民 99 年 12 月第 117 期第 33-40 頁

國小資優生在時分針問題之解題表現分析

劉晉瑋

嘉義縣、興中國小

實習教師

劉祥通

國立嘉義大學

數學教育研究所教授

康淑娟

國立嘉義大學

數學教育研究所專任助理

摘要 本研究主要目的在探討一位五年級資優生，對於有關時分針問題的解題表 現。在此個案研究中，為探究個案解題想法，根據個案的解答與圖形表徵為基礎 進行訪談，並從 Mayer (1 992)所強調的問題轉譯、整合與監控等三個層面做解題分 析。受限於篇幅，本研究只呈現三個問題的解題與分析。研究發現，個案因有良 好的轉譯能力，能化繁為簡以致成功地整合問題，並運用未知數列出正確方程式， 而在求得未知數後，又能發揮監控能力，終獲得合理的正確答案 o 闢鍵詞:解題表現、時針問題、資優生

An

alyses ofProblem Solving Performance for a

Gifted Subject Solving Clock-Hand Problems

Jin-Wei Liu

Practice Teacher

,

Chiayi Hsing-Jhong Elementary School

Shiang-Tung Liu

Professor

,

The Graduate Institute of

Mathematics Education

,

National Chiayi University

Shu-Juan Kang

Assistant

,

The Graduate Institute of

Mathematics Education

,

National Chiayi University

Abstract

The purpose of this case study was to investigate the problem solving performance of

clock-hand problems intended for a gifted subjec

t.

Based on his solution and drawing

presentation

,

further interviews were conducted to capture how he though

t.

Our close

observations indicated that the subject owned so excellent problem translation ability to

make complex problems to be simple. The equations he constructed also revealed that his

potentials in problem integration were exceedingly apparen

t.

Once the solutions were

derived from those equations

,

the gifted subject employed well his monitor ability to check

the reasonable answers as an indictor ofhis understanding.

壹、緒論

Renzulli

(1978)認為資優生具備高度創 造力，這樣的能力讓資優生對於白發性的解 題表現較一般生來得好，也比較容易成功， 而讓資優生解尚未學習過的課程之題目，觀 其解題方式及看待問題的角度明顯較一般 學生不同，甚至這些表現是讓一般人所意想 不到，但卻又是合理的解法。Yackel (2005)也 認為學生白發性的數學解題表現，是促進教師 了解學生想法的一扇窗，是一種無價的工具。 因此，研究者特別選擇五年級資優生作為研究 對象，而提供之數學問題也選擇學生尚未熟習 的時針問題，期待以非例行，性問題，觀察資優 生之自發性解題表現，並分析出較貼近資優生 的解題想法。而分析資優生數學解題策略，一 方面可從資優生數學解題的過程，獲得其如何 綜合地、創造性地運用各種數學知識去解決問 題的資訊;另一方面，可給予教師更多機會， 瞭解資優生在數學解題方面與生俱有的直覺 洞察力與聯想力，從中獲得一些數學教學的靈 感，因此，資優生的自發性解題表現是值得進 一步去探討的。 為探究資優生在時針問題的解題表現， 文獻探討分成數學解題的階段、資優生的數 學解題特質、時針問題等三項並分述如下。 一、數學解題的階段(歷程)

Mayer(

1992)從認知心理學的觀點看數 學解題的過程，將其區分成兩個階段，每個

階段下又有兩個子步驟:

(一)第一階段:問題表徵(representation)0 將問題的敘述轉成自己所能理解的形式。 1.問題轉譯 (translation) :運用語文知識 和語意知識等相關知識或舊經驗，將問題轉 譯成內在表徵，形成自己能理解的問題狀態。 2. 問題整合 (integration) :運用相關知識 和舊經驗，將題目中的各條件作連結，並以 基模知識搜尋相關問題類型及解題所需資 料等，以數學表徵形式呈現。 (二)第二階段:問題解答 (solution) 。 從表徵問題直到問題解決的過程。

1.解題計畫及監控(solution

planning and

monitoring)

:使用陳述性知識，擬定及修訂 解題的計畫，建立相關于目標。 2.解答的執行(solution

execution)

:應用 程序性知識，以相關數學原理或原則運算出 答案。 二、資優生的數學解題特質(策略)

Lamon

(2002)指出，當資優生在面對問 題時，通常會以較容易理解的方式作為解題 的策略，而這些策略很自然地在思考問題的 過程中產生，成為一種解決問題的能力。也 就是說，資優生常會自己創造解題過程，運 用正式或非正式的數學解題知識、經驗與技 巧，進而思考一些解題策略來解決問題，而 這些學生自行思索出的解題策略，通常具有 原創性。 Cai (2005)也指出兒童發明(invent) 的解題過程則是植基於他們深層的直覺與 自然思考方式。 Stonecipher比較資賦優異學生與普通學 生之數學問題解決歷程，其主要發現如以下 四點: (汪榮才，

1991)

I.資賦優異學生傾 向於用自己的語句重述問題以求理解，而普 通學生傾向於逐字重讀問題，而不加以重 組; 2. 資賦優異學生傾向於應用推理及評鑑 (例如:核對，即使用另一種方法解題以核 對結果是否相同)之歷程，而普通學生傾向 於猜測答案，對問題的情境常常誤解;3. 資 賦優異學生傾向於採用類化的策略，而普通 學生則傾向於採用嘗試錯誤或其他較無效 的策略; 4. 資賦優異學生在每一解題過程中 所使用之時間少於普通學生。正如同南自強

( 1993

)所提出的「時間差」與「路徑差」 之觀點，相較於一般生而言，資優生不僅表 現出學習相同概念所花費時間較短的「時間 差 J '更為重要的是在同一概念上其所展現 較為成熟之不同解題途徑的「路徑差」。 而 Polya的「擬定解題計畫」即為解題者 構思解題策略，及設定解題方法。資優生比 較特別的解題策略，研究者歸納如下: (一)應用特殊化(數值假設法) (劉貞 宜，

2001

;蔡子雲，劉祥通，

2007

;李佩樺'

2008 )

資優教育季刊民 99 年 12 月第 117 期第 33-40 頁 (二)慮擬代數法 (pseudo

algebra

method)

(蔡子雲'劉祥通，

2007)

(三)直觀法(看出題目的規則與結果) (劉貞宜，

2001

;蔡子雲，劉祥通，

2007)

三、時針問題

Pagni

(2005)歸納出在求2

:

04時，兩指 針的夾角這類型的問題，如果分針未超過時 針的話，發現測量角度的公式為 30H

-I -I/

2M

0 如果分針超過時針的話，公式為第 一個公式的負數，.-(30H 一 I I/2M) 三 I I/2M

-30H

_J

。所以任何一種例子都可表示成 30H II/2M或者是 30H

-

1 1/2M 1JO 絕對值。 研究者認為，學生如將該公式強記下來， 對於解例行性的時針問題應該大多皆可解題 成功，但解題所需的概念學生是否都具備了? 該公式是學者歸納出的結果，適合運用在求兩 指針的夾角，而學生必須理解時針與分針之間 的速度比等相關概念，對於解較困難或非例行 性的時針問題時，才會有較實質的幫助 O 本研究的目的在探討資優生在時針問 題的自發性解題表現，欲了解其如何思考題 目及解題成功的關鍵，所以特別從問題的轉 譯、問題的整合及監控這三個面向分析資優 生的解題表現。

貳、研究方法

本研究主要探討一位五年級資優生的白 發性解題表現，採用「個案研究法」進行研究。 一、研究者 研究者以學生解題完成的工作單為依 據，透過深入的訪談並分析資優生的解題表 現，觀察資優生如何運用基本的數學概念解 非例行性的時針問題，讓我們可以更了解資 優生的解題想法 o 二、研究對象 本研究之研究對象小勛是通過了瑞文 氏圖文推理測驗且百分等級為九十七以上 的資優生，並勇於嘗試運用自己正式與非正 式的數學解題思考方式來解題 o 而研究者給 予小勛一「時分針追趕」問題，題目為「在 下午一點到兩點之間，試求出時鍾的兩指針 完全重疊時，是在什麼時刻? J 。 小勛將時分針重疊的時刻設為口，因此 長針所走的距離表徵為【 12→ l →口】(即表 示長針從 12 走到 l 再走到重疊位置) ，而將短 針所走的距離表徵為【 l →口】(即表示短針 從 l 走到重疊位置)。 且小勛根據長針所走的距離是短針的 12 倍，將短針走的距離【 l →口】當成 l 倍， 長針走得距離【 12→ l →口】則為 12倍，因此 【 12→ l 】即為 II 倍，【 12→ l →口】的距離就

是【 12→ l 】距離的 2倍，又【 12→ l 】為5

分鐘，所以就可以算出口為許分 O

研究者認為小勛對於時針與分針行走 的速度關係非常清楚，並能善加利用比例關 係，且運用基準量轉換，如此依循線索做深 度推理，進而答題成功。小勛如此優越的自 發性解題思維，著實令研究者感到驚奇，因 此，研究者將以小勛為研究對象，以深入探 討他的解題思維。 三、工作單 本研究的工作單設計，題型主要根據

Diezmann

&

Watters (200

I)研究中測驗資優 生的題目、國民中學學生基本學力測驗的試 題及數學競試的題型，研究者參考以上題型 並修改語句與數字作為本研究工作單的題 甘，共三題，題目的類型如下:

開一糊糊糊

題型名稱 比例問題 重疊問題 夾角問題 題目性質 觀察判斷 指針彼此之間的速度比 探討前後二次重疊所花費的時間 探討某一時段時分針形成某個特定夾角的兩種可能

四、資料蒐集分析 資料來源主要是研究者設計的工作 單，以及個案接受訪談的錄音與錄影，並採 用 Mayer (1 992)所區分的解題過程中的其中 三個面向:問題的轉譯、問題的整合及解答 的監控做為分析的架構 o

參、研究結果與分析

依據小勛的解答、表徵及訪談紀錄，將 資料依據 Mayer (1992)所區分的解題過程中 的其中三個面向分析他的解題想法。 一、原棄一 問題 I :有一時鐘，時針在分針前面兩 個分間格，請問現在是什麼時刻?個案的解 題表現如圖 l 所示。

C

圖 1 個案的解題表現 (一)分析個案解題表現 1.從問題的轉譯之面向分析 個案小勛雖然不是當下看到題目就知 道如何解題，但隨後他就注意到時針在分針 前面兩個分間格這個關鍵條件，並意會出時 針與分針都會在分間格上，且小勛融合其舊 有的先備知識「兩指針之間速度比的關係為

I :

12

J '因而判斷分針的位置一定會在 12的 倍數上，這些想法簡化了問題並縮小了答案 的範間，即分針會在 12分、 24分、 36分、 48 分和 60分。 。 102T: 後來你想到甚麼?

0102S

:題目說時針在分針前面兩 個分問格，所以我就想到時針跟分針都 會在分間格上。

010

3T

:時針跟分針有沒有在分問 格上，有差別嗎? 0103S: 有阿，他們都在分間格上， 才可以知道他們中間差兩個分問格。 。 104T: 那麼時針跟分針都在分問 格上，讓你知道了什麼? 0104S: 因為時針要在分問格上， 所以我知道分針會在12 分、 24 分、 36 分、 48 分，還有數字 12 的位置。 。 105T: 為什麼時針在分問格上， 分針就一定會在你說的那些位置呢? 。 105S: 因為時針走l 小格，分針就 會走 12 格，走2 格，分針就走24 格... 2. 從問題的整合之面向分析 小勛基於上述的想法及判斷分析，決定 先將較有可能的答案列出來，也就是將時針 與分針之間差距較小的情況列出(即2: 12 、

4 :

24 、 5

:

24 、 7

:

36和 9

: 48)

，而其他的 時刻，例如2

:

36 、 4: 48 這些兩指針差距較 大的時刻，因不符合題目要求的條件，已從 小勛的考慮範閩中剔除。 0106T: 所以這些時刻你是怎麼找 出來的? 。 106S: 我就一個一個想可能的時 間有哪些，就是差距比較小的，把它們 列出來，差距太大的時間，不會只有差 兩格，所以就沒有列出來了。 3. 從解答的監控之面向分析 列出四個時刻後，小勛檢驗每一個時刻 是否符合題目的條件「時針在分針前面兩個 分間格 J '在檢驗的過程中，找出時針與分 針的確切位置，並進行判斷，結果是 2: 12 、

5 :

24 及 9: “這三種時刻不符合題目的條 件，

7 ;

36 才是正確的時刻。 。 107T: 你最後怎麼判斷這些時刻 是對的還是錯的?

0107S

:就把這些時間，時針和分 針的位置找出來，然後看他們差幾格。

0108T

:那你可以跟我說明一下為 什麼 4: 24 是錯的嗎? 。 108S :因為 4: 24 時，分針走了24 小格，所以時針會走2 小格，會走到22 分的位置，這樣子的話，是分針在時針 前面兩個分問格，跟題目的條件就不一

資優教育季刊民 99 年 12 月第 117 期第 33-40 頁 樣了。 0109T: 那 7: 36 為什麼是正確的?

0109S:

36 分就是分針走了3 個 12 小 格，所以時針會走3 個小格，就會走到 38 分的位置，這樣時針就在分針前面兩 個分問格了，跟題目說的一樣了。 二、原案二 問題2: 時鍾的分針與時針從第一次重 疊至第二次重疊，需經過多少時間?個案的 解題表現如圖2所示。

川口

\""2 κ 口-Li三丸。

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圖 2 個案的解題表現 (一)分析個案解題表現 1.從問題的轉譯之面向分析 個案小勛將原題目中兩指針兩次重疊 所花的時間想像成「兩人在賽跑，從相同起 點出發，其中一人速度較快，速度快的人在 追到速度慢的人所需要的時間 J '這樣的想 法讓小勛運用自己較熟悉的情境中思考如 何解題，理解題意後，小勛亦可從第一次重 疊至第二次重疊意會出分針比時針多走了 60個分間格。

020

lT

:請跟我說明一下，看到這 個問題，你是怎麼想的?

0201S: 我把它想成兩個人在賽跑。

0202T

:然後呢?可以再更清楚說 明你的想法嗎? 。202S: 一個速度快的人跟一個速 度慢的人在操場賽跑，兩個人從起點出 發，然後看速度快的人花多少時間可以 追到速度慢的人。

0203T

:你剛有提到起點，請問起 點一才是嗎?

0203S

:一樣阿!因為重疊意思就 是在一樣的位置。 0204T: 你這個式子中的60 是怎麼 來的?

0204S

:從第一次重疊到第二次重 疊，分針會比時針多走了一圈，一圈有 60個分問格，所以這邊就是60 。 2.從問題的整合之面向分析 個案小勛了解閹人的速度不變，即速度 差也不會變，所以每次追趕的距離不變時， 追趕過程所花的時間也不會改變(即分針欲

追趕時針60格，每分鐘追趕吉格，需要花費

「 6ot= 羿」分鐘)。這樣的觀念已讓小

勛掌握到了此題重要的關鍵，不需要在解題 過程中驗證每一次重疊所花的時間都一 樣，再加上小勛將題目成功的轉譯成「分針 比時針多走了60個分間格 J '而列出了 12X 口一口 =6。這個算式。

0205T

:你還想到什麼?可以說說 看阿!

0205S

:我有想到時鐘會一直走， 所以兩個人跑步也會一直跑。 0206T: 然後呢?這樣有代表甚麼 意思嗎?

0206S

:速度快的人追到速度慢的 人之後，過一些時間，還是會再一次追 到速度慢的人，所以我本來有在想要算 哪一次的時間比較對。 0206T: 所以你覺得要算哪一次的 追趕時間呢?

0206S

:算哪一次的都可以。 0207T: 為什麼?

0207S

:因為速度快的人在追到速 度慢的人之後，追到的位置跟一開始出 發的起點並不一樣。 0208T: 不太怪你的意思耶!可以 再解釋清楚一點嗎?

0208S

:因為兩個人的速度都不會 變，所以把追到的位置當成新的起點， 到下一次追趕上所花的時間也不會改 變。 的 12T: 可以跟我說明一下這個算 式是怎麼列出來的嗎?

0212S

:題目要算重疊所需要的時 間，分針又比時針多走了60個分問格， 所以用分針的位置減掉時針的位置就

可以列出 12x 口一口 =6。這個式子了。 3. 從解答的監控之面向分析 個案小勛使用虛擬代數法，以口表示時 針走的分間格數. 12x 口表示分針走的分間 格數，且在解題的過程可以發現，小勛展現 了監控的能力，了解口代表的是時針走的分 間格數，而因為分針的速度是時針的 12倍， 所以口乘上 12 後才是第一次重疊到第二次 重疊所花的時間。

0213T

:口代表甚麼意思?

0213S

:因為我不知道時針走了幾 次(即代表走了幾個分問格的意思)

•

所以我用口來表示。

0214T

:最後算出來的口為什麼要采 以 12

?

0214S

:因為分針的速度是時針的 12倍，上面式子有寫 12 X 口，是代表分 針走的分開格數，所以口乘上12 之後， 就是總共花了多少分鐘。 三、原案三 問題 3 :在下午六點到七點之間，成為 四十二度是在什麼時刻?個案的解題表現 如圖3 所示。

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圖 3 個案的解題表現 (一)分析個案解題表現 1.從問題的轉譯之面向分析 本題是要算出時針與分針成為 42 度時 的時刻，個案小勛真備了 l 個分間格等於 6度 這個基本的時間概念(行號的 02) .將題目 給的角度轉換成與題目情境相符的分問 格，以鐘面上可實際看到的分間格為方向， 思考解題的方法，而不以需要測量的角度做 為解題的思考方向。因此小勛的解題思維則 轉譯為「時間在六點到七點之間，時針與分 針相差 7 個分間格(行號0303)J .而從時鐘 一開始的位置六點整，了解時針一開始的位 置已領先分針 30個分間格，所以時針走的格 數必須加上 30 .才是代表時針的最後位置。

0301 T

:請跟我說明一下，這個問 題你是怎麼想的?

0301 S

:題目說成為 42 度 ·42 度就 是差距 7 個小格。

0302T

:請跟我解釋為什麼42 就是 差距 7 個小格?

0302S

:時鐘一固有 360 度，有 60 個 小格，所以 l 小格有 6 度，那 42 度就是有 7 個小格。

0303T

:那為什麼你要把它看成差 距 7 個小格呢?為什麼不用42 度解題目 就好了?

0303S

:因為時鐘上面有小格，這 樣比較好算，角度還要去量，我覺得比 較麻煩。

0304T

:這個算式中的30 是代表甚 麼意思(即式子30+ 口的 30)

?

0304S

:因為六點整的時後，時針 在 6 .分針在 12 .所以一開始的時後， 時針在分針前面30格，所以時針的位置 要加上 30 。 2.從問題的整合之面向分析 個案小勛能從題目給予的條件「時間是 下午六點到七點之間J .以一開始六點整時 針與分針的相對位置，判斷出兩種可能的時 刻，這兩種時刻的條件分別是時針領先分針 7個分間格及分針領先時針7個分間格，所以必 須找出時針與分針的位置，根據兩指針的位置 相差7個分間格，列出了(30+ 口)一 12 X 口 =7( 行號0307 )及 12 X 口一(30+ 口)

=7

(行號的08 )這兩個算式，進而解題成功。

0305T

:這邊看到你列出了兩個式 子，為什麼會有兩個式子?

0305S

:題目說時間在六點到七點 之間，所以分針還沒有超過時針時，他 們就會差 7 小格了，超過時針時，也會 差 7 個小格。

資優教育季刊民 99 年 12 月第 117 期第 33-40 頁 0306T: 所以不只有一個答案嗎?

0306S

:對，會有兩種時間，所以 有兩個答案。

0307T

:可以先跟我解釋上面這個 式子是怎麼列出來的嗎?

0307S

:前面這個30+ 口是時針的 位置，後面這個12X 口是分針的位置， 分針還沒走超過時針的時後，就會差7 格了，所以，時針的位置減掉分針的位 置會差 7 格，就是( 30+ 口)一 12 X 口 =7 這個式子了。

0308T

:那下面這個式子呢? 的 08S: 分針走超過時針後，也會差 7 格，所以分針的位置減掉時針的位置會 差 7 格，就是 12 X 口一( 30+ 口) =7 這 個式子了。 3. 從解答的監控之面向分析 個案小勛能使用虛擬代數法，以口表示 時針走的分間格數，且在解題的過程可以發 現，小勛展現了監控的能力，以12x 口表示 分針走的分間格數。由行號0310S '研究者 判斷小勛不僅了解口代表的是時針走的分 間格數，且清楚分針的速度是時針的12 倍， 所以口乘上12後則是代表分針走的格數，亦 就是題目所要求的時刻o

0309T

:口代是表甚麼意思?

0309S

:因為我不知道時針走了幾 次(即代表走了幾個分間格的意思)

,

所以我用口來表示。 的 lOT: 最後算出來的口為什麼要乘

r

J-

12

?

的 lOS: 因為分針的速度是時針的 12 倍，上面式子有寫 12 X 口，是代表分 針走的分間格數，所以口乘上 12 之後， 就是六點幾分的分了(即題目要求的時 刻)0

肆、討論與建議

一、討論 (一)從問題轉譯的觀點討論 原案一，重要關鍵是怎麼去解讀「時針 在分針前面兩個分間格」這個條件，個案小 勛將這個條件轉譯成自己的想法「時針跟分 針都在分間格上 J '並意會到時針在分間格 上，則分針位置必落在 12 的倍數上。原案 二，小勛運用自己較熟悉的賽跑情境進行思 考，並將第一次重疊到第二次重疊的條件轉 譯為「完成一次相遇，分針必須比時針多跑 了 60個分間格」。而原案三，小勛的解題思 維則將題目談到的角度轉換為鐘面上可實 際觀察到的分間格，亦就是把 42度轉換成 7 個分間格，且時針因領先分針 30個分間格， 所以其走的格數必須加上 30分格，才是代表 時針的最後位置。 由以上三個原案，研究者認為小勛在解 題時能從問題中看到解題的關鍵，並且能將 題目轉譯成另一情境又不失其原意，且具有 將題目條件成功轉譯並與過去習得之數學 知識整合的能力。 (二)從問題整合的觀點討論 原案一，小勛在考慮答案範間的過程 中，直接捨棄間格差距大的，因為「差距太 大的時間，不會只有差兩格」。原案二，個 案小勛體認到從一次的重疊到下一次的重 疊，分針會比時針多跑了 60個分間格，並將 此想法轉成 12 X 口一口 =6。這個數學式，進 而成功解題，而在解題過程中，小勛的思考 與以下當量除的思考有極相似之處。若將分

針的速率當做 I '而時針的速率肘，速率

差就是 l 'ω-2=60一llxl2 二?。以上

的作法， 60是分針追趕上時針後兩指針的差

距，古是分針每分鐘可追趕時針的距離，所

得的?是分針所走的格數，而分針走的格

數即是花費的時間。而在原案三，能從時鐘 一開始六點整的位置，並配合兩針相差 42度 的條件，判斷有兩種可能的時刻，正確列出

了(3 0+ 口)一 12 X 口 =7 與 12 X 口一(

30

+口) =7 這兩個算式。由上述所言，研究 者發現小勛在整合部分得以正確列出式 子，其轉譯能力是一重要關鍵。 (三)從解答的監控之觀點討論 在原案一中，個案小勛將列出的五個時 刻，一一的檢驗與題目給予的條件是否符 合，並剔除不合理的答案，其中4

:

24 時，

分針與時針差距為兩個分間格，但此時刻的 情況是分針在時針前面兩個分間格，與題目 要求相反，在判斷五個時刻的過程中，小勛 能清楚並正確的指出正確及錯誤的時刻。在 原案三中，題目要算出兩指針重疊所花費的 時間，也就是分針走的分間格數，但在解題 過程中，小勛所列的數學式子裡的口是代表 時針走的分間格數，而分針走的分間格數是 時針的 12 倍，所以求出口的數值後，小勛能 將口乘上 12 ，此與原案三要求出兩種時刻的 解題表現雷同，理解分針走的格數才是題目 所求，兩個題目皆解題成功。研究者發現小 勛在每個解題步驟時都非常清楚目前所要 運算的是哪個部分，以及每個步驟、每個數 字所表達的含意為何，而這也是小勛不容易 解題出錯的因素。 二、建議 (一)教學上，教師應引導學生看到問 題的關鍵並判斷答案合理性。 由討論一與二，研究者發現資優生能成 功解題主要在於能看見問題中所隱含的關 鍵，因此建議教師應在教學過程中培養學生 能從複雜數學問題中剖析問題關鍵的能 力 o 而由討論三，研究者發現資優生能藉由 自己的先備知識以及直覺去思考答案的合 理性，並且能清楚明瞭運算過程的下一步驟 該怎麼處理，因此建議教師也能鍛鍊學生去 做答案合理性的判斷與省思，以提供學生不 同的解題思維，而在計算過程中能棋密的思

考每個步驟。

(二)深入探討資優生在三個指針的非 例行問題之解題表現。 研究對象小勛亦能將時針與分針的速 度比 1

:

12 的概念充分運用至解題思考，但 如何將此概念運用到題目並解題成功，卻是 不容易的，所以研究者認為往後研究可挑戰 小勛及其他資優生有關三個指針的非例行 性問題，並探討他們如何以多元的思考方式 將時針、分針與秒針速度比 1

: 12 :

720的概 念運用至解題。 本研究蒙國科會專題研究計畫補助，計

畫編號 NSC 95-2521-S-415-004-MY3 '特誌

申謝，又蒙匿名審查委員提供的寶貴意見， 使本文更臻完善，在此一併感謝;文中所提 論點純屬作者個人之意見，並不代表國科會 立揚。

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來稿日期:

2010.10.15