行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告
適用於紙模型重建之網格參數化技術(1/2)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC94-2213-E-009-087- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 09 月 30 日 執行單位： 國立交通大學資訊工程學系(所) 計畫主持人： 莊榮宏 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 95 年 7 月 25 日
摘要
我們提出了一套針對紙模型重建需求之網格 模型參數化機制。為了讓攤平後的網格模型 可以重建三維立體模型，我們必須確保參數 化過程中邊界長度之固定，並將整體參數化 之最大誤差限制在一給定範圍內。為了達到 上述需求，我們首先針對網格模型之邊界進 行參數化，接著逐一將內部頂點由邊界向內 進行攤平。當參數化過程中有任一頂點之映 對誤差大於給上限，則對三維模型進行裁切 並重新執行參數化動作。此一步驟將會重複 執行直到所有頂點的映對誤差都在給定範圍 內為止。由於我們在邊界參數化的過程中限 制邊長為固定，因此邊界上的邊在重建的過 程中可以避免產生無法對映的問題，且產生 之參數化結果可以確保映對誤差小於一給定 範圍。 AbstractWe propose a mesh parameterization frame- work for paperfract design. The length of the boundary edges should be constrained during the parameterization process to ensure that the mesh after embedding can be reconstructed. Also, the maximum mapping error should be bounded after parameterization. To achieve these goals, we first apply the boundary param- eterization method to parameterize the bound- ary vertices. Then the internal vertices are parameterized iteratively from the boundary. For any vertex with the mapping error exceeds the given upper bound, we cut the mesh by finding the shortest path between the vertex and mesh boundary and then reparameterize it. The entire process is proceed iteratively until no vertex has the mapping error exceeds the given threshold. While the length of boundary edges are constrained with their length, the result of parameterization can be reconstructed.
1. 前言
參數化的目的在於得到三維網格與二維平面 間一對一的對應關係，以降低計算之複雜 度。近年來，網格模型參數化的研究有不少 成果被提出來，其應用相當廣泛，從網格重 建(remeshing)、網格壓縮、形變(morphing)、 模型編輯、與貼圖等，依據不同的應用，所 需的參數化方式也有所不同。 紙模型為一種將三維模型攤平至二維平 面之技術，並利用紙張可彎曲之特性將其重 建。其中由三維模型攤平至二維平面即為參 數化之動作，因此本計畫之目的在於找出合 適的參數化方法來符合紙模型重建之需求。 Mitani 等人是第一個嘗試找出自動化紙 模型設計之方法[1] 。他們利用簡單的規則來 對三維多邊形模型產生帶狀區域，並針對每 條帶狀區域進行模型簡化動作。其方法雖然 可以無失真的將攤平後的模型重建回簡化過 的模型，卻不能控制模型簡化前後的幾何誤 差。且 Mitani 等人的方法只能適用在高密度 且平滑的三角形網格模型上，對於低密度或 者是有明顯特徵邊線的模型則無法達到好的 效果。 雖然三角形網格模型可以透過裁切方式 攤平在二維平面上，且不造成任何扭曲，但 是此結果通常過於複雜以致於無法人工重 建。而大部分的參數化方法是透過找最小誤 差方式來求得對應關係，其誤差也可能過大 以致於使得重建後的模型有很明顯的失真。 且目前所知的參數化方法並沒有針對切割開 的邊線設限制，因此切割開的邊線在模型重 建後會產生明顯的破洞現象或完全無法粘 合。Sorkine 等人提出一套可限制參數化最大 誤差之方法[2]。透過從一種子三角形出發， 逐一向外擴張至超過誤差上限為止，並由該 區域開始將模型切割開來繼續擴張，直到所 有三角形都攤平為止。雖然該方法可以限制 住最大的誤差值，不過其最大誤差會落在網 格參數化後的邊界上，使得參數化結果無法 將被切割開的邊重建，因此無法適用於紙模 型設計上。 我們提出了一套針對紙模型特點設計之 網格模型參數化機制，使得參數化後之映對 誤差可以被限制在一範圍內，且邊界與裁切後的邊線長度可以被保留，使其可以被重 建。我們所提出之系統分為以下三部分：網 格邊界參數化、網格內部參數化、與網格裁 切。首先透過網格邊界參數化來對邊界頂點 之參數座標設限。之後再利用網格內部參數 化來找出內部頂點之參數座標，並累積參數 化過程之映對誤差值。當映對誤差大於給定 上限，透過網格裁切機制對模型進行切割以 降低誤差值。並重新執行邊界與內部參數化 直到所有頂點之誤差值都小於給定上限。
2. 文獻探討
早期參數化的概念是將三維模型網格的幾何 資訊，例如邊線的長度關係、邊與邊的角度 關係、多邊形面積大小…等等，計算出到二 維平面失真度最小的對映關係。 Maillot 等人首先提出以彈力系統理論 (elasticity theory)為基礎，將多邊形的邊線視 為彈簧，藉由計算其彈力網路最小能量，產 生出二維對映之參數平面 [3]。Eck 等人提出 利用 discrete harmonic map 之方式對於每個 邊線給於不同權重係數，並將整個求解方式 構建成一個線性系統，並透過解線性系統方 式 找 到 二 維 參 數 平 面 上 的 對 應 關 係 [4]。 Floater 利用 barycentric map 來建構線性系 統，並給予合適的權重值來達到保留外觀 (shape-preserving)的參數化效果 [5]。在 2003 年，Floater 又提出了另一種三角形座標的計 算方式，稱為 mean-value coordinate [6]以加快 參數化求解之速度。 為了解決在 Floater 的方法中固定模型邊 界所造成的失真，Hormann 與 Greiner 提出 MIPS 參數化方法，利用邊界的頂點可自由移 動的方式，找出最佳的網格邊界參數座標 (natural boundary)以降低其參數平面的失真 程度 [7]。他們的做法是利用一誤差評量的方 式來決定參數化前後每個三角形的誤差，並 疊代式(iterative)的降低參數化所產生的總體 誤差。但是缺點就是因為其最佳化的方法為 非線性，也使得計算複雜度提升許多。Sheffer 等人利用衡量網格頂點一圈(one-ring)範圍內 之角度變化方式，將參數化問題描述成一非 線性系統，並透過牛頓法迭代方式進行計算 [8]。Levy 等人提出利用最小平方差近似的方 法(least-squares approximation)，將多邊形保 留角度特性的公式轉成一個線性系統，因此 計 算 量 較 低 [9] 。 Desbrun 等 人 提 出 結 合 discrete conformal map 與 discrete authalic map 的方式來做參數化[10]。 Sander 等人針對三維模型網格提出了幾 何扭曲評量(geometry-stretch metric)之方法 [11]。其方法延伸 MIPS 中所提出的誤差評量 方式[7]，計算出參數平面對映之三維模型網 格的面積失真程度，並透過迭代(iterative)方 式降低整體面積失真。 Sorkine 等人提出限制扭曲之網格參數化 (Bounded-distortion piecewise mesh param- eterization)來將參數化所造成的失真控制在 一定範圍內 [2]。其作法由一種子三角形出 發，逐一將相鄰的三角形加入參數平面中。 由於三維網格中的一頂點對每個攤平後的三 角形可能會有不同的位置，因此 Sorkine 等人 利用區域性的鬆弛方式(local relaxation)將頂 點調整至最適當的位置，其中調整用的權重 值則利用 Sander 等人所提出的幾何扭曲評量 方式[11]來測量。 在紙模型設計上，Mitani 與 Suzuni 首先 將多邊形網格模型拆解成若干帶狀區域方式 來攤平，並配合模型簡化方式來降低重建時 的複雜度 [1]。Julius 等人利用 developability 的資訊來進行模型拆解，並可用於後續的重 建工作[12]。其主要概念為將 developability 的資訊建構成一評量標準，並在模型拆解時 利用該資訊來判斷模型上的兩部分是否適合 組成一個區塊(chart)。3. 研究方法
我們提出了一套針對三角形網格模型進行紙 模型重建之參數化方法。此一方法分為三部 份，首先針對網格邊界進行參數化。接著將 每個內部三角形由邊界向內逐一攤平在二維 平面上，並累積其攤平之誤差。當累積誤差 大於一上限值時，我們找出造成該誤差之三 角形頂點至網格邊界之最短路徑並將模型裁 切開來，並重新進行網格參數化。此一步驟 將重複進行直到網格模型上的所有三角形都 被攤平至二維平面，且其累積誤差小於上限 值為止。圖 1 為我們所提出之架構的流程圖。 以下將針對此三部分進行深入介紹。圖 1：系統流程圖。
3.1 網格邊界參數化
為了達到紙模型重建之目的，我們必須確保 攤平後的網格邊界之長度與三維網格上的長 度是一致的。目前已提出的網格參數化機制 多半是將內部頂點之參數座標最佳化以降低 攤平後的面積或角度誤差，此類方法並無法 保證網格邊界之長度固定。因此我們提出了 一套針對網格模型邊界之參數化機制。針對 三維網格模型之邊界，我們設定其邊界長度 為必須保持之限制，在參數化過程中設法降 低三維模型邊界上的頂點角度與攤平後之二 維平面上的角度差，透過解有限制之數值最 佳化方法求出三維網格模型邊界上的頂點在 二維平面上的最佳位置。 我們參考 Sheffer 等人所提出之網格模型 參數化機制[8]，加入邊長之限制，並將其延 伸至處理網格邊界之參數化。我們透過解有 限制之數值最佳化方式找出邊界參數化，為 了對三維模型與二維平面上的頂點角度差計 圖 2：邊界角度與映對示意圖。 算相鄰之最佳解，我們將三維網格簡化為一 頂點與其一圈(one-ring)範圍之型式，即將三 維網格中的所有內部頂點用一頂點取代，如 圖 2 所示，並設定欲求之目標函式為公式 1 之型式：( )
∑∑
(
)
= = − = n i j j i j i F 1 2 1 2 β α α (1) 其中 j i β 為三維模型邊界上的角度，而 j i α 為攤 平至二維平面後的角度。為了讓邊界可以圍 成一圈且內部三角形在攤平後不會退化為線 或點，我們必須對上述角度設定限制。以下 公式 2-4 為加入之限制。 ( ) 0 1 1 , =α ≥ε > j i j i g (2) ( ) 2 2 1 2 =α +α <π −ε i i i g (3) ( )(
)
2 0 1 2 1 3 =∑
− − − = = π α α π n i i i g (4) ( ) 1 0 sin sin 1 1 1 2 4 = − =∏
∏
= = n i i n i i g α α (5) 其中公式 2、3、4 為確保三角形在參數化後 仍為三角形，而公式 5 是用來保證網格邊界 在參數化之後可圍成一圈。為了達到邊界長 度的固定，我們又加入了一限制式： ( )(
)
(
)
0 sin sin sin sin 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 5 − = + + = + + + + i i i i i i i i i e e g α α α α α α (5) 其中 ei為邊界上邊 i 的長度。最後我們的目標 函式可以改寫成以下格式：( )
( )
( ) ( )∑
( ) = ∗ = + + + n i i ig g g F F 1 5 5 4 4 3 3 λ λ λ α α (6) e1 β1 e2 e3 e4 β2 β3 β4 α11 α12 α22 e1 e2 e3 e4 e5 α31 α32 α41 α42 α51 α52 f α21 Boundary Parameterization Mesh Cutting ResultPlace internal vertex
Measure the texture stretch metric Does the stretch error exceed threshold Have all vertices been parameterized Internal Param. yes yes No No
其中λ3、λ4、與λ5i 分別為一固定的常數來讓 該等式成立。而根據公式 3、4、6 我們可以 建出一非線性系統如公式 7。且透過求該非線 性系統之方式我們即可得到此參數化的最佳 解。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 5 4 3 1 5 5 4 4 3 3 = = = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = ∗ i n i j i i i j i j i j i j i g g g g g g F F α λ α λ α λ α α α α (7) 我們利用牛頓法來解公式 7 之非線性系統。 首先我們計算公式 7 之一階與二階偏微分， 並給定 j i α 之初始值為 j i β ，透過迭代方式將 j i α 值收斂到可容忍之範圍內。 在求得 j i α 後，二維平面上的邊界參數值 可以由 j i α 與 ei來計算。由一初始邊 e0出發， 將其起始頂點設定為原點且終點為 X 軸上長 度為該邊長的位置，之後將邊的仰角加入 1 1 2 0 α α + 值並計算下一個邊之終點座標，逐一 計算頂點座標直到所有頂點都算完為止。
3.2 網格內部參數化
當網格邊界上的頂點參數座標都決定之後， 接下來必須要對其內部頂點進行參數化。由 於網格邊界的三角形上有兩頂點之參數座標 已經固定，因此我們的參數化順序從網格邊 界出發，逐一針對每個三角形上剩下之一頂 點進行參數化。為了衡量參數化造成的誤 差，我們使用 Sander 等人所提出的誤差衡量 機制[11]。假設T =∆q1q2q3為一在三維座標的 三角形且T′=∆p1p2p3為其在二維平面上的 參數座標值，則該三角形由二維平面至三維 空間的映對的偏微分為：(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 2 p p p s s q s s q s s q t S S p p p t t q t t q t t q s S S t s − + − + − = ∂ ∂ = − + − + − = ∂ ∂ = 因此，該映對的誤差值為(
) (
)
(
) (
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 min 2 2 max 4 2 1 4 2 1 b c a c a b c a c a γ γ 其中a=Ss ⋅Ss b=Ss⋅St c=St⋅St。而γmax與 min γ 的值分別代表將一單位長度透過該映對 方式轉換到三維空間中的最大與最小長度。 因此我們定義一三角形之參數化誤差如公式 8 所示。(
)
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ′ min max 1 , max , γ γ T T D (8) 針對由網格邊界出發的每個三角形，由 於我們已經知道該三角形中兩個頂點的參數 座標，因此剩下的頂點座標可由該三角形於 三維空間中的角度值求得。但是因為三維網 格並不一定為平面結構，因此一內部頂點之 參數座標可能會根據其相鄰的三角形而得到 不同的值。為了解決此一問題我們先設定該 頂點為由鄰近三角形所得到之平均座標，並 計算鄰近三角形之映對誤差，在透過區域性 的 放 鬆 (relaxation) 方 式 調 整 該 頂 點 一 圈 (one-ring) 區域內的三角形的總誤差值至最 低，由此得到之參數座標值即為該頂點的座 標。3.3 網格裁切
在網格內部頂點參數化的過程中，我們 會計算三角形經過參數化之映對誤差。當此 誤差值過大時表示攤平後的三角形並不能有 效的表現原始幾何，因此我們必須降低該區 域的誤差值。將網格模型進行裁切是一種有 效率的降低區域誤差的方式。對於產生過大 映對誤差的內部頂點，我們找出該點至網格模型邊界之最短路徑，並沿著此路徑將網格 模型切割開，並重新進行邊界參數化。由於 邊界參數化對映對後的角度進行最佳化，並 同時保留邊長，因此可以大幅降低該頂點之 映對誤差。 我們使用 Sheffer 所提出之最小延伸樹 (Minimum Spanning Tree)之方法計算內部頂 點至邊界的最短路徑[13]。首先將產生過大映 對誤差之頂點與所有邊界頂點設為樹的端 點，接著透過一修改過的 Dijkstra 最短路徑演 算法求出一延伸樹，其中我們設定邊界上的 兩頂點之間的距離為 0。 在找出最短路徑後，我們將最短路徑上 的所有邊切割開來，並重新計算其邊界參數 化與內部頂點參數化。此一步驟將會重複執 行至沒有任何內部頂點產生過大的映對誤差 為止。
4. 實作與討論
我們使用 C/C++搭配 OpenGL 來實作此 系統，而計算網格邊界參數化所需要之非線 性系統則利用牛頓法迭代方式計算。透過牛 頓法來解非線性系統之方法如公式 9 所示：( ) ( )
k k k k x f x x f x x 1 1 − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − = (9) 其中( )
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ x x f k 為該非線性系統對每一變數偏 微分所組成之矩陣，且 k x 為第 k 次迭代後的 結果，因此公式 9 為一線性系統。我們利用 Matlab 來解牛頓法中每一次迭代所組成之線 性系統。 由於邊界參數化之非線性系統中，欲求 之目標函式已經包含對每一項限制的一階偏 微分，因此透過牛頓法來解該系統必須計算 所 有 限 制 的 一 階 與 二 階 偏 微 分 ， 且 矩 陣( )
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ x x f k 本身大小為(
3n+2) (
∗ 3n+2)
，如公 式 10 所示，其中 n 為邊界上的頂點個數，因 此線性系統本身極為複雜。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n k g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F x x f n n n n n n n n n n n n n n n n , 5 5 1 , 5 5 4 5 3 5 2 5 2 1 5 1 5 1 1 5 , 5 5 1 1 , 5 5 1 4 5 1 3 5 1 2 5 1 2 1 5 1 1 5 1 1 1 5 1 , 5 4 1 , 5 4 4 4 3 4 2 4 2 1 4 1 4 1 1 4 , 5 3 1 , 5 3 4 3 3 3 2 3 2 1 3 1 3 1 1 3 , 5 1 , 5 4 3 2 2 1 1 1 1 , 5 1 , 5 4 3 2 2 1 1 1 1 , 5 1 , 5 4 3 2 2 1 1 1 1 , 5 1 , 5 4 3 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ λ α α α α λ λ λ λ α α α α λ λ λ λ α α α α λ λ λ λ α α α α λ α λ α λ α λ α α α α α α α α α λ α λ α λ α λ α α α α α α α α α λ α λ α λ α λ α α α α α α α α α λ α λ α λ α λ α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α L L L M O M M M M O M M O M L L L L L L L L L L L L M O M M M M O M M O M L L L L L L M O M M M M O M M O M L L L (10) 我 們 目 前 的 實 作 在 不 考 慮 邊 界 長 度 限 制 (( )
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ x x f k 大小為(
2n+2) (
∗ 2n+2)
)的情況下 已經可以得到一最佳化的邊界參數化，但由 於長度限制(公式 5)之方程式本身相對於其他 限制複雜許多，因此目前的實作系統在加入 長度限制後無法收斂，我們仍在試圖解決此 問題。5. 參考文獻
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