應用互補裂隙矩形共振腔於新型複合式左右手寬頻任意耦合量設計之方向耦合器

國

立

交

通

大

學

電信工程研究所

碩

士

論

文

應用互補裂隙矩形共振腔於新型複合式左右手寬頻任意耦

合量設計之方向耦合器

A Novel Composite Right-/Left-Handed Broad Bandwidth

Coupled-Line Directional Coupler With Arbitrary

Coupling Level Based On Complementary Split- Rectangle

Resonators(CSRR)

研 究 生：古哲宇

(Che-Yu Ku)

指導教授：陳富強 博士

(Dr. Fu-Chiarng Chen)

應用互補裂隙矩形共振腔於新型複合式左右手寬頻任

意耦合量設計之方向耦合器

A Novel Composite Right-/Left-Handed Broad

Bandwidth Coupled-Line Directional Coupler With

Arbitrary Coupling Level Based On Complementary

Split-

Rectangle Resonators (CSRR)

研 究 生：古哲宇 Student：Che-Yu Ku

指導教授：陳富強 博士 Advisor：Dr. Fu-Chiarng Chen

國 立 交 通 大 學

電信工程研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Communication Engineering College of Electrical and Computer Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Communication Engineering July 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國 九十九年 七 月

應用互補裂隙矩形共振腔於新型複合式左右手寬頻任

意耦合量設計之方向耦合器

學生：古哲宇

指導教授：陳富強 博士

國立交通大學電信工程研究所碩士班

摘

要

本論文主要以裂隙矩形共振腔為電路基礎，提出兩大類任意耦合量傳輸線耦 合器設計。其中包含非對稱型相位耦合器、新型單頻方向選擇耦合器以及雙頻方 向選擇耦合器。裂隙矩形共振腔是一種後設材料，因為它擁有很多獨特的電磁特 性，所以近年來被廣泛的應用在微波電路及天線設計上。 論文前半部利用裂隙矩形共振腔(complementary split-rectangle resonators,

CSRR)實現複合式左右手傳輸線 (composite right/left-handed transmission line, CRLH)，並配合耦合模理論(coupled-mode theory , CMT)提出應用互補式裂隙矩形 共振腔之耦合器縮小化概念及非對稱型相位耦合器設計。其擁有相當高的耦合量 及方向性，且可藉由結構彈性大的裂隙矩形共振腔作電路尺寸縮小化的設計。 論文後半部同樣利用裂隙矩形共振腔實現所需的電路單元，且另外提出創新 的類傳輸線耦合概念，並充分運用此概念設計出新型單頻方向選擇耦合器以及雙 頻方向選擇耦合器，此耦合電路不僅可達到高耦合量及方向性，甚至能打破傳統 耦合理論的限制，大幅的增加耦合頻寬，且達到電路縮小化的效果。 在本研究中，新型 CRLH 方向耦合器無論在耦合量、隔離度或是耦合頻寬 的表現上都遠比一般傳統耦合器突出，所提出的類傳輸線耦合概念甚至能解決以 往微波電路設計的矛盾(trade-off)。在保持優良的耦合效能下，大幅縮小電路尺 寸，並增加與其它電路的整合性。

A Novel Composite Right-/Left-Handed Broad

Bandwidth Coupled-Line Directional Coupler With

Arbitrary Coupling Level Based On Complementary

Split-Rectangle Resonators (CSRR)

Student: Che-Yu Ku Advisor: Dr. Fu-Chiarng Chen

Department (Institute) of Communication Engineering

Nation Chiao Tung University

Abstract

In this thesis, we propose the design of coupled-line directional coupler with arbitrary coupling level based on complementary split-rectangle resonators (CSRR), which can be broadly classified into two major categories. The directional coupler includes an asymmetry phase coupler and two novel directional couplers, which are designed for single band and dual band. Complementary split-rectangle resonator, which is one kind of the meta-materials exhibits unique electromagnetic properties that lead to a wide range of application in design of microwave circuit and antenna.

In the first part of this thesis, a CRLH transmission line is implemented by utilizing the CSRR. And then we adopt the coupled-mode theory based on the new

structure to propose the concept of size reduction and design of the asymmetry phase coupler. This coupler exhibits the superior coupling and direction; furthermore, its size also can be reduced by means of CSRR.

In the last part of this thesis, a novel coupled line concept based on CSRR is proposed, and realized the single-band and dual-band couplers which feature not only high coupling and direction, but also breakthrough of the conventional coupled way to increase the coupling bandwidth and even miniature the circuit.

In the research, the coupling, isolation, and bandwidth of the novel CRLH directional coupler are more excellent than conventional couplers. Furthermore, the novel coupled line concept we propose can solve the trade-off in the microwave circuit design. Under the fine coupling potency, it can reduce the size of coupler largely, and increase the integration with other microwave circuit.

誌

謝

本論文研究能有今日之成果，首先將誠摯的感謝指導教授-陳富強博士，由 於老師悉心的教導，以及適時的指正研究方向，讓我無論是在尋找題目期間遇到 的迷失亦或是在論文的研究過程中遇到困難，皆能以事半功倍的效率突破瓶頸， 順利向前，且能從中得到更高的自信。除了學術研究以外，老師更是我的心靈指 導，不管是在人生方向或是做人的道理，皆可以從老師的寶貴經驗及溫心提醒中 得到面臨選擇時的最佳解答，使我這兩年中在各方面皆獲益匪淺。最重要的是， 由老師對學問嚴謹的態度，讓我能在面對未來之前學習到如何謹慎的處理生活及 工作中的任何事情。 在這兩年的日子裡，實驗室就像是我的另一個家，在這一個家中，除了充滿 了研究上的討論以及趕報告時的團隊感動以外，也夾帶的言不及義的瞎扯及互相 鼓勵的友情，感謝眾位學長、同學、學弟的共同砥礪，你們的陪伴讓這兩年的研 究生活變得更多采多姿。 感謝實驗室中的各位學長，由於陪打網球的運動咖-王小寧、愛玩無線遙控 的史帝夫、超強的 Salmax、擁有不能說的秘密的超帥 Juby、結婚正在幸福中的 Giant 以及去澳洲遊學的小 K 學長們不厭其煩的指出我研究中的缺失，使的我總 能在失去方向時及時導正。同時也感謝常一起吃消夜的 Jester、愛轉頭亂笑的阿 儒以及軍事達人佳聲同學，有你們的互相扶持，讓我在失去研究動力時能及時充 電，恭喜我們能順利且充實的走過這兩年。另外，還有新進實驗室的各位學弟們， 擁有無限笑點的大餅、撞球小子-書瑋、交大林義傑-Webber、網球維以及提供各 式點心的洪神，你們將來一定都超強的，感謝你們帶來生活中的歡樂以及研究上 的新思維。當然，還有最重要的撲啾，感謝你一直以來的鼓勵及打氣，我永遠都 會記住的。 最後，將以此文獻及研究成果獻給我最摯愛的父母，感謝您們從小到大的無 條件支持與照顧，讓我在研究中能毫無後顧之憂。也感謝俞茹的體諒以及包容， 陪伴我度過這忙碌又充實的兩年。在此僅以此篇論文獻給所有支持或關心我的人， 表達我內心最真摯的感激。

目 錄

中文摘要 ... I 英文摘要 ... II 誌 謝 ... IV 目 錄 ... V 圖目錄 ... VII 表目錄 ... X 第一章 導論 ... 1 1.1 工程背景與研究動機 ... 1 1.2 論文架構 ... 3 第二章 人造後設材料 ... 5 2.1 簡介及概述 ... 5 2.1.1 人造傳輸線原理 ... 6 2.1.2 實現人造傳輸線 ... 8

2.2 裂隙環形共振器(SPLIT RING RESONATOR) ... 10

2.2.1 裂隙環形共振器(SRR)/互補裂隙環形共振器(CSRR)電磁特性 ... 10 2.2.2 互補裂隙環形共振器(CSRR)內共振特性 ... 11 2.2.3 互補裂隙環形共振器(CSRR)環裂旋轉特性 ... 16 2.2.4 互補裂隙環形共振器(CSRR)傳輸線偏移特性 ... 19 2.3 電路單元之等效電路萃取 ... 21 2.3.1 萃取原理推導... 21 2.3.2 電路萃取流程... 25 2.3.3 等效電路萃取實際驗證 ... 26 第三章 耦合線耦合器原理分析及設計 ... 28 3.1 耦合線耦合器推導及分析 ... 28 3.2 既有耦合線耦合器設計 ... 33 3.2.1 耦合線耦合器 (Coupled-Line Coupler) ... 34 3.2.2 藍基耦合器(Lange Coupler) ... 34 3.2.3 複合式左右手傳輸線耦合器(CRLH-Line Coupler) ... 35

第四章 任意耦合量耦合器設計 ... 38 4.1 概述 ... 38 4.2 電路單元設計 ... 38 4.3 應用裂隙矩形共振器之耦合器縮小化設計概念 ... 39 4.4 應用裂隙矩形共振器之對稱型阻抗耦合器分析 ... 40 4.4.1 耦合原理分析... 40 4.4.2 耦合器電路單元設計 ... 41 4.5 應用裂隙矩形共振器之非對稱型相位耦合器 ... 41 4.5.1 耦合原理分析... 41 4.5.2 耦合電路單元設計 ... 42 4.5.3 電路模擬與實作量測 ... 43 4.6 討論 ... 46 第五章 新型可調式方向選擇耦合器設計 ... 48 5.1 概述 ... 48 5.2 電路原理 ... 48 5.3 單頻方向選擇耦合器設計 ... 50 5.3.1 耦合量設計... 51 5.3.2 頻寬設計 ... 56 5.3.3 阻抗匹配分析... 58 5.3.4 電路模擬與實作量測 ... 61 5.4 雙頻任意耦合量耦合器設計 ... 65 5.4.1 零點-極點分析(ZERO-POLE) ... 65 5.4.2 電路模擬與實作量測 ... 66 5.5 討論 ... 71 第六章 結論 ( CONCLUSION ) ... 72 參考文獻 (REFERENCE) ... 74

圖目錄

圖 1-1 耦合器與分波器示意圖... 2 圖 1-2 傳統平行微帶線耦合器 ... 2 圖 2-1 介電係數與導磁係數關係圖 ... 5 圖 2-2 傳輸線電路單元模型... 6 圖 2-3 傳輸線色散圖 ... 8 圖 2-4 裂隙環形共振器與金屬細線陣列 (A)電路單元(B)實體圖 ... 9 圖 2-5 CRLH 微帶傳輸線(A)電路單元(B)一維週期排列 ... 9 圖 2-6 SRR 與 CSRR 電磁場形式 ... 10 圖 2-7 CPW 感應 SRR (A)結構圖 (B)等效電路圖 ... 11 圖 2-8 微帶傳輸線感應 CSRR (A) 結構圖 (B)等效電路圖 ... 11 圖 2-9 CSRR 等效電路單元模型 ... 12 圖 2-10 內共振電路模型推導流程 ... 14 圖 2-11 短間距多級 CSRR 等效電路圖 ... 15 圖 2-12 長間距多級 CSRR 等效電路圖 ... 15 圖 2-13 SRR 共振結構及等效電路 ... 16 圖 2-14 CSRR 共振結構及等效電路 ... 17 圖 2-15 SRR/CSRR 裂隙旋轉特性 (A)90∘ (B)45∘ ... 18 圖 2-16 CSRR 電路單元結構及去嵌化 ... 18 圖 2-17 CSRR 裂隙旋轉特性模擬 ... 19 圖 2-18 CSRR 共振腔偏移結構 ... 20 圖 2-19 CSRR 共振腔偏移特性模擬 ... 20 圖 2-20 互補裂隙環形共振器(CSRR)結構及等效電路模型 ... 21 圖 2-21 CSRR 電路單元 (A)S 參數圖 (B) 色散圖 ... 25 圖 2-22 CSRR 電路單元 (A) 相位圖 (B)布洛齊阻抗圖 ... 25 圖 2-23 CSRR 等效電路單元 ... 26 圖 2-24 CSRR 等效電路單元-ADS 模擬結構 ... 27 圖 2-25 CSRR 等效電路單元-ADS 模擬 S 參數 ... 27 圖 3-1 CRLH 耦合器等效電路模型 ... 28 圖 3-2 平行微帶線耦合器 ... 34 圖 3-3 各種藍基耦合器 (A)藍基耦合器 (B)包利諾結構 (C)W&L 結構 ... 34 圖 3-4 新型複合式左右手耦合線方向耦合器 ... 35 圖 3-5 縮小化 MIMCRLH 耦合線耦合器 ... 35

圖 3-6 縮小化耦合線前進耦合器 ... 36 圖 3-7 縮小化舷側耦合方向耦合器 ... 36 圖 3-8 新型(傳統/雙)複合式左右手架構雙頻耦合器 ... 37 圖 4-1 電路單元設計示意圖... 39 圖 4-2 對稱型耦合器縮小化概念圖 ... 39 圖 4-3 對稱型阻抗耦合電路單元及耦合頻段 ... 41 圖 4-4 非對稱型耦合器設計流程圖 ... 42 圖 4-5 非對稱型相位耦合電路單元結構圖 ... 43 圖 4-6 非對稱型相位耦合電路 (A) 正面 (B) 背面 ... 44 圖 4-7 非對稱型相位耦合電路-S 參數模擬圖 ... 44 圖 4-8 非對稱相位耦合器實作電路圖 ... 45 圖 4-9 非對稱相位耦合器-S 參數模擬與實作比較圖 I ... 45 圖 4-10 非對稱相位耦合器-S 參數模擬與實作比較圖 II ... 46 圖 5-1 新型方向選擇耦合器電路單元 ... 49 圖 5-2 四級電路單元串接布里淵區共振形式 ... 50 圖 5-3 CSRR 共振單元 (A) 互補裂隙環形共振器 (B) 互補裂隙矩形共振器 ... 50 圖 5-4 互補裂隙環形共振器耦合量設計示意圖 ... 51 圖 5-5 環形方向選擇耦合器耦合量設計模擬圖 (A)S21(B)S31(C)S21及 S31 ... 52 圖 5-6 互補裂隙矩形共振器耦合量設計示意圖 ... 53 圖 5-7 新型方向選擇耦合器改良設計示意圖 ... 54 圖 5-8 矩形方向選擇耦合器耦合量設計模擬圖(A)S21(B)S31(C)S21及 S31 ... 56 圖 5-9 雙級電路單元串接布里淵區共振形式 ... 56 圖 5-10 新型雙級耦合電路單元 (A)結構圖 (B)3D 電路模型 ... 57 圖 5-11 新型雙級耦合電路單元-S 參數模擬圖 ... 57 圖 5-12 阻抗匹配設計示意圖 ... 58 圖 5-13 電路本體輸入阻抗 ... 58 圖 5-14 匹配網路設計 ... 59 圖 5-15 消除虛部阻抗-ADS 模擬 ... 60 圖 5-16 電路本體阻抗調整 ... 60 圖 5-17 調整實部阻抗-ADS 模擬 ... 61 圖 5-18 新型單頻方向選擇耦合器 (A)側面 (B)正面 (C)背面... 63 圖 5-19 新型單頻方向選擇耦合器-S 參數模擬 ... 63 圖 5-20 新型單頻方向選擇耦合器-實作電路圖 ... 64 圖 5-21 新型單頻方向選擇耦合器-S 參數模擬與量測比較圖 ... 64 圖 5-22 新型雙頻方向選擇耦合器 (A)正面 (B)背面 ... 66 圖 5-23 新型雙頻方向選擇耦合器-S 參數模擬圖 ... 67

圖 5-24 新型雙頻方向選擇耦合器-實作電路圖 ... 67

表目錄

表 2-1 CSRR 等效電路各參數值 ... 27 表 5-1 各種耦合器效能比較... 71

第一章 導論

1.1 工程背景與研究動機

近幾年來，隨著無線通訊技術的蓬勃發展以及大幅開放電信自由化，許多相 關通訊產品之需求已與日俱增，各種微波關鍵技術的研究與發展亦備受重視。眾 多學者及研發人員為了突破傳統電磁特性的限制以及改善以往微波元件及天線 之效能，致力於發展各式各樣的技術與材料。後設材料(meta-materials, MTMs) 即為其中非常重要的一項突破性技術，無論在固態物理、光電、材料科學亦或是 應用電磁領域皆為相當熱門的研究主題之一。 後設材料(metamaterials, MTMs)，是一種經由後天人為加工所設計出來的一 種特殊材料，擁有自然界中天然材料所缺乏的獨特性質。其發展歷史可由 1967 年前蘇聯物理學家 V. G. Veselago 發表的一篇對於具有負介電係數與負導磁係數 之物質的假說[1]開始，此假說打破了眾學者對於傳統物質中電磁波的概念，然 而，以他的概念為基礎，將有許多傳統物理概念將被推翻或修正，如都卜勒效應 (Doppler effect)、司乃耳定律(Snell’s law)等，但以當時的研究及科學技術無法完 整證實此假說。但近年來因電路與製程技術不斷地日新月異，終於在 1999 年， 由英國倫敦帝國學院的 J. B. Pendry，利用金屬細線(metal thin-wire, TW)[2]和裂 隙環形共振器(split-ring resonator, SRR)陣列結構[3]，實現當初 V. G. Veselago 於 三十年前所假想的材質。

後設材料(meta-materials, MTMs)的研究與應用之範圍相當之廣泛，大致可分 為光子晶體、人造磁導(artificial magnetic conductor, AMC)、電磁帶隙(EBG)[4]、 人造傳輸線與負折射(negative refraction index, NRI)[5]特性。其中，在微波的研究 領域中，人造傳輸線為最常用的應用特性，以 T. Itoh 與其學生 C. Caloz 所提出 的複合式左右手傳輸線(composite right/left-handed transmission line)架構[6]、[7] 為基礎，延伸及分支出更廣泛且更具創意性的概念及電路設計。

在一般的微波電路設計中，輕、薄、短、小、因應不同需求結合不同特性以 及性能最佳化一直是電路設計者嚮往且極力追求的成果，但礙於許多電磁波特性 的基本限制，所嚮往的成果常常侷限於自然現象的瓶頸，複合式左右手傳輸線 (composite right/left-handed transmission line)架構的獨特性質即為突破瓶頸的關 鍵技術。本論文中所提出的對稱型阻抗耦合器、非對稱型相位耦合器以及新型方 向選擇耦合器皆利用後設材料(meta-materials, MTMs)的獨特性質打破傳統耦合 器的自然限制，達到輕、薄、短、小且性能最佳化的創新設計。 分波器與方向耦合器是分別用作微波功率分流及合併的被動元件，如圖 1 - 1 所示。在分波器中，輸入訊號會被耦合器分為兩個或更多較低功率的信號，該 耦合器可以具有損耗性或非損耗性的三端埠或四端埠元件。三端埠網路可以是一

個 T 形的微波電路接面或是其他網路，而四端埠網路則可以是方向耦合器或功 率分合波器。通常分波器指的是均分功率(3dB)的元件，但也有功率不均勻分配 的分波器。經過適當設計的方向耦合器，可以將微波功率作任意比例的分配。 耦合器 (Coupler)或 分波器 (Divider) 耦合器 (Coupler)或 分波器 (Divider) P1 P1=P2+P3 P2=αP1 P3=(1-α)P1 P2 P3 圖 1 - 1 耦合器與分波器示意圖 方向耦合器一般常用於增益放大器、功率放大器或是功率位準控制器電路中， 其功用是耦合一部分信號功率經由檢測與控制電路處理後，以便作增益控制。除 大家所熟悉的枝幹耦合器(90 hybrid coupler)[8]、[9]與環型耦合器(180 rat-race coupler)[10]的結構外，亦可使用平行微帶線組成，稱之為平行微帶線耦合器[11]， 如圖 1 - 2 所示。但由於此平行微帶線耦合方式以線電容電磁耦合為主，結構長 度以及兩條傳輸線之間的間距成為主要的影響因素，耦合量也因此受到許多自然 限制，一般在實作時，化學蝕刻之精度有限，單節平行線耦合器耦合量大致在 -10dB~-30dB 之間，若要更大的耦合量，需串接多節的平行耦合線，或是使用其 他耦合結構加以改良，一般來說，藍基耦合器[12]就是一個很有名的例子。以上 所述雖然能適當的增加耦合量，但卻大大的增加了電路尺寸以及製作困難度。綜 觀以上傳統耦合器之缺點，更顯示出本論文所提出加入後設材料(meta-materials, MTMs)之創新結構的突破及優勢，不僅在耦合量及電路尺寸上大大改善，甚至 在隔離度及電路設計與製作上都有明顯的提升及簡化。 Port1 Port3 Port2 Port4 圖 1 - 2 傳統平行微帶線耦合器

1.2 論文架構

本論文大致分為六個章節。以下將以條列式的方式有條理的說明每一章節的 主要內容以及章節與章節之間的連貫，讓讀者在閱讀本論文時更能清楚了解整個 研究的過程及成果: 第一章----導論 其中包含本論文整體的大綱及簡介，以簡單扼要的方式說明研究動機以 及工程背景，最重要的是能讓讀者更迅速了解本論文中所提出新型方向耦合器的 研究價值及在設計觀念上的嶄新思維。 第二章----人造後設材料 本章節前半段簡單的說明後設材料的應用及發展，並詳細的說明本論文 中所應用到的基本觀念。後半段將針對論文中的主要結構---裂隙環形共振器 (SRR)及互補裂隙環形共振器(CSRR)做深入的電磁特性分析，進而利用數學方程 式的推導及電磁模擬軟體(HFSS)的輔助萃取此結構單元的等效電路，有助於整體 耦合器架構之設計。 第三章----耦合線耦合器原理分析及設計 一項完整的研究，理論推導、電磁模擬、電路模擬以及實作量測的相互 驗證是基本的要求。本章前半段將針對各種結構的耦合器作微波理論的推導，其 中包含適用於對稱型阻抗耦合器的奇偶模分析(even/odd mode)以及非對稱型相 位耦合器的 c/π 模分析，但主要以針對常用的耦合器原理，作更廣義的分類以及 通用於各種耦合器的廣義耦合模態分析為主，希望能讓讀者更清楚了解傳輸線耦 合器的種類、特性及耦合原理。然而，在後半段，將蒐集並提出傳統既有的耦合 器結構，其中包含最廣為人知的基本耦合線耦合器、多平行傳輸線耦合的藍基耦 合器以及最近五年以內較新穎的複合式左右手傳輸線耦合器[13]、[14]、[15]、[16]、 [17]，希望能藉由多方面的比較，更加突顯出本研究論文之創新價值。 第四章----任意耦合量耦合器設計 本章節將以前面章節所介紹及研究之互補裂隙環形共振器(CSRR)為基 礎，設計各種複合式左右手(CRLH)的耦合器結構。第四章主要分為兩個部份， 第一部分為應用互補式裂隙矩形共振腔之耦合器縮小化概念以及對稱型阻抗耦 合器分析，第二部份為非對稱型的相位耦合器。兩者雖然設計結構不同，但耦合 原理相似，因此放在同一章節說明。其後者附上電路的阻抗匹配分析以及模擬與 量測結果作為驗證。

第五章----新型可調式方向選擇耦合器設計 由於耦合方式與其他傳統耦合器不同，所以首先將介紹新型可調式方 向選擇耦合器的耦合原理，善用左手材料產生之獨特性質是此耦合器的創新之處。 章節內容主要分為兩大部份 : (1) 單頻方向選擇耦合器設計 : 此耦合器設計主要強調”方向選擇”，希 望能以簡單小巧之結構呈現想要的效能。使用容易掌控且設計的概 念，扣除繁瑣且複雜的數學推導，大大增強傳統耦合器之性能是本 耦合器研究的主要目的。 (2) 雙頻任意耦合量耦合器設計 : 以單頻方向選擇耦合器為其設計基 礎，希望能利用創新概念改善以往任意耦合量耦合器之特性，透過 清楚掌握極點(pole)與零點(zero)，設計出可調式的雙頻任意耦合量 耦合器，大幅提升耦合量、隔離度以及電路尺寸，達到最佳效能的 最終目的。 第六章----結論 將整個耦合器研究做最後總結，討論各項優缺點，並提出改善方法， 以及未來可延伸與發展的研究方向。

第二章 人造後設材料

2.1 簡介及概述

後設材料的定義相當之廣泛，任何經過後天加工而產生獨特電磁特性之特殊 材料，皆可稱為後設材料。其可操作之頻帶相當寬廣，無論是在低頻如紅外光波 段、光波段，甚至高頻如微波、毫米波段(300MHZ~300GHZ)，都能看到後設材 料的相關文獻，他的研究價值以及發展空間已漸漸在二十一世紀的學術界及工業 界嶄露頭角，掀起一股驚人的研究熱潮。下面的象限圖 2 - 1 可大致為後設材料 之特性做一個大概的分類。

I

II

III

IV

0, 0 , 0 Isotropic dielectrics right-handed (RH) forward-wave propagation n n          0, 0 ,

Metals at optical frequencies plasmas( ) evanescent wave pe n           Ι 0, 0 , Ferromagnetic materials ferrites ( ) evanescent wave pm n           Ι 0, 0 , 0 Veselago's materials left-handed (LH) backward-wave propagation n n         





圖 2 - 1 介電係數與導磁係數關係圖 (圖 2 - 1取材自參考文獻[6]) 第一象限即為我們所熟知的傳統電磁材料，介電係數與導磁係數皆為正的， 電磁波依循右手定則，也因為如此，在很多電路的設計上受到很大的限制。1967 年前蘇聯物理學家 V. G. Veselago 發表的一篇對於具有負介電係數與負導磁係數 之物質之假說，徹底的打破這個限制，此突破即為第三象限之特性，在此物質中 之電磁波遵循左手定則，故又稱為左手材料，除此之外，它還具有負相速(negative

phase velocity)、負折射率(negative refraction index, NRI)、逆都普勒效應(reverse Doppler effect)和逆司乃耳定律(reverse Snell’s law)等反物理性質。目前已廣泛地 應用於光子晶體、微波電路、電磁吸收材質或是其它週期性結構等領域上，第二 及第四象限分別為電漿材質與超磁性材料，在本論文中並無應用，因此不多加贅 述。由於複合式左右手傳輸線(CRLH)為論文中的主要角色，以下將針對微波領 域中人造傳輸線之電磁原理及特性作更深入地介紹。

2.1.1 人造傳輸線原理

由前述可知，後設材料之發展歷史相當久遠，因此在理論分析上具有非常完 整的架構，T . itoh 及其學生 C .Caloz 提出左手概念[7]，對舊有的傳輸理論作一 個具體的詮釋，為後繼研究學者提供一條更明確的思考方向。 一般的傳統右手(right-hand, RL)傳輸線，其電路單元模型主要由一個串聯電 感及一個並聯電容組成，如圖 2-2(a)所示。而其左手傳輸線剛好相反，為一個串 聯電容及一個並聯電感，如圖 2-2(b)所示。但由於寄生效應之影響，實現純左手 材料的同時，勢必附帶右手效應的產生，它們的影響隨著頻率的上升而漸漸增加， 因此，一般左手傳輸線又稱複合式左右手傳輸線(composite right/left-handed, CRLH)，其電路單元架構如圖 2-2(b) 所示，包含一個左手電容(CL)串聯一個右手 電感(LR)以及一個左手電感(LL)並聯一個右手電容(CR)。

L

R

C

R p (a)

C

L

L

L p (b)

L

R

C

L

C

R

L

L p (c) 圖 2 - 2 傳輸線電路單元模型 (a) 右手傳輸線 (b)左手傳輸線 (c) CRLH 傳輸線 根據一般右手傳輸理論，利用電報方程式(telegraphist’s equation)對此複合式 架構作電壓波及電流波之分析，可求得傳輸線的傳播常數(propagation constant)， 如式(2.1)。 ' ' j Z Y      (2.1) 其中實部α 與虛部 β 分別為衰減常數(attenuation constant)與相位常數(phase constant)，而 Z’與 Y’則分別為單位長度之串聯阻抗(impedance)與並聯導納 (admittance)，假使只考慮非損耗傳輸線(R0, G0, 0)，則在式(2.1)中可僅 保留相位常數β 項，其中右手傳輸線之相位常數將可簡化為 ' ' R L CR R   ，其

值為正且隨頻率作線性增加，對頻率作圖可得色散圖(dispersion diagram)，如圖 2 - 3 (a)所示；左手傳輸線相位常數則為L  1/ L C'L L' ，其值為負且呈非線性 特性，色散圖如圖 2 - 3 (b)所示。

由圖 2-3 中可以看出，在右手傳輸線之相速度(phase velocity )與群速度(group velocity )為同向，即 _{p g} 0，反之，在左手傳輸線卻是反向的，即 _{p g} 0。 其表示式分別為 2 ' ' / 0 p L CL L       (2.2) 1 2 ' ' ( / ) 0 g L CL L  _{ } _  _ _ (2.3) 然而，CRLH 傳輸線則擁有此兩種特性，其相位傳播常數之表示式為 ' 2 2 ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) 1 if min( , ) LH range ( ) 1 if max( , ) RH range 1 / , 1 / , 1 / , 1 / L CRLH L R se sh se sh R R R L L L R L L R se R L sh L R s s L C L C L C L C L C L C                            _{ }        其中 _(2.4) 由式(2.4)能清楚發現，低頻因受到左手區影響，相位常數為負，然而在高頻時， 則因受到右手區影響，相位常數為正，特別值得一提的是，在相位常數β 為零時 會在串聯共振點(_se)與並聯共振點(_sh)之間產生帶隙(band-gap)現象，在此頻段 之間，電磁波是不傳導的。一般當 CRLH 傳輸線存在帶隙時 (_se_sh)，稱之為 非平衡狀態(unbalanced)；而當滿足 LRCL=LLCR時( se= sh)，色散曲線在 β=0 時 呈連續，則將此情況稱之為平衡狀態(balanced)。





RH







LH







C   C   CRLH bal



CRLH unbal  (a) (b) (c) C   C   C   C   平衡 非平衡 左手區 右手區 圖 2 - 3 傳輸線色散圖 (a) 右手傳輸線 (b)左手傳輸線 (c) CRLH 傳輸線 另一方面，由 CRLH 的本質阻抗(intrinsic impedance)與特徵阻抗(characteristic impedance)可推導出介電係數及磁導係數，如式(2.5)。 ' 2 ' 2 Z 1 1 R L R L L j C Y C j L             (2.5) 由上式可知，在特定頻段的介電係數及磁導係數為正；當然，亦有頻段的介電係 數及磁導係數為負，充分展現 CRLH 融合兩種特性的特色，也證明此電路傳輸 概念與其理論相符合。

2.1.2 實現人造傳輸線

2001 年美國聖地牙哥加州大學的 David Smith 等物理學家將後設材料實現於 微波頻段，此材料利用金屬細線(metal thin-wire, TW)陣列與裂隙環形共振器 (split-ring resonator, SRR)作週期性排列而成[18]，如圖 2 - 4 所示，此結構由金屬 細線產生負磁導係數，裂隙環形共振器產生負介電係數，進而產生出左手材料之 特性，首度證實當年物理學家 V. G. Veselago 所發表的假說，但由於此結構尺寸 與損耗過大，且頻寛較窄與微波電路難以整合，故在應用上較不受青睞，但經過 後來學者的研究與改良，許多更有應用價值的左手材料結構相繼被研發出來，而 目前以 T. Itoh 與他的學生 C. Caloz 等人所提出的 CRLH 傳輸線及為主要的發展 方向[6]，如圖 2 - 5。 一般實現有 CRLH 傳輸架構有兩種方式，第一種為集總元件(lump element)， 其實現方式乃以表面附著技術(surface mount technology, SMT)，常利用一些非色 散或是弱色散性質的電容電感，使用此種實作方式，無論在模擬或分析上皆相當 方便及快速，但在應用上卻有一定的頻率範圍限制，特別是在高頻時，特性常會 受到影響，且集總元件的值為離散的，有許多特定頻率無法設計，難以實現於微 波積體電路(microwave integrated circuit, MIC)或單晶微波積體電路(monolithic

microwave integrated circuit, MMIC) 中 。 第 二 種 則 是 散 佈 式 元 件 (distributed element)，一般以微帶線(microstrip line)、帶線(stripline)、共平面波導(coplanar waveguide)等技術實現，設計上深具彈性，且在高頻時表現較佳，雖然散佈式電 容與電感較難使用精確公式求得並設計，但亦可藉由模擬軟體輔助分析並加以萃 取其容值與感值。 圖 2 - 5(a)則為利用散佈元件設計的實例，接地殘段(shorting stub)電感與指 叉(interdigital)電容產生左手架構的電容電感，加上寄生的右手傳輸線L_R與C_R， 及完成圖 的電路單元參數，圖 2 - 5(b)則為週期排列電路單元的一維 CRLH 傳 輸線。 Metal wire SRR 圖 2 - 4 裂隙環形共振器與金屬細線陣列 (a)電路單元(b)實體圖 (圖2-4(b)取材自參考文獻[19]) shorting pin stub interdigital capacitor (a) (b) 指叉型電容 殘段 接地電感 (via) 圖 2 - 5 CRLH微帶傳輸線(a)電路單元(b)一維週期排列 由於本耦合器研究主要以互補式裂隙環形共振器為基礎設計架構，因此往後 的章節將以此結構為主要探討對象。

2.2 裂隙環形共振器(Split Ring Resonator)

在上節中介紹了許多複合式左右手結構的基本結構以及相關應用。由於本論 文之耦合器結構主要以互補式裂隙環形共振器為基礎架構，因此在此節，將針對 裂隙環形共振器及互補式裂隙環形共振器的各種特性做分析及探討。其中包含說 明基本的電磁特性[20]，以及提出能使整個耦合器設計更富彈性的獨特性質，分 別為內共振特性[21]、環裂旋轉特性以及傳輸線偏移特性。以下將一一說明。

2.2.1 裂隙環形共振器(SRR)/互補裂隙環形共振器(CSRR)電磁特性

裂隙環形共振器(SRR)與互補裂隙環形共振器(CSRR)在結構上呈現金屬線與 槽線(slot line)之間互補關係，因此在電磁特性上也有互補的現象。首先，先說明 SRR 上之電磁場分布，進而延伸至 CSRR 的電磁現象。 (1) 裂隙環形共振器(SRR) : 裂隙環形共振器之電磁場分佈如圖 2 - 6 所示，兩環之間的電位差產 生電場，環與環之間的槽孔產生磁場，磁場與金屬環上之電流相應而生， 外部磁通量之變化與電場互相感應，在這一個結構中產生可調式共振腔。 (2) 互補裂隙環形共振器(CSRR) : 互補式裂隙環形共振器之電磁場分佈如圖 2 - 6 所示，由於在結構上 呈現金屬與槽孔之間的互補，因此在電磁場上亦呈互補，兩邊槽孔之間的電 位差產生電場，金屬周圍則環繞相應而生之磁場，由圖 2 - 6 中可以清楚發 現 SRR 的電場形式與 CSRR 的磁場形式相同，反之，SRR 之磁場形式亦同 於 CSRR 之電場形式。 SRR CSRR 圖 2 - 6 SRR 與 CSRR 電磁場形式 (取材自參考文獻[20])

值得一提的是，SRR 與 CSRR 共振器結構之電磁場主要由外界感應而生， 一般而言，許多研究者常使用共平面波導(coplanar waveguide，CPW)感應 SRR 共振器，如圖 2 - 7 所示，利用 SRR 共振器之 L、C 產生等效電路單元之串聯共 振腔，藉此完成左手材料之實現。反之，則利用微帶傳輸線感應 CSRR 共振結構， 所感應出之 CSRR 共振 L、C 產生等效電路單元之並聯共振腔，如圖 2 - 8 所示。 然而，在本論文研究中，主要以後者 CSRR 感應結構為主，因此在之後的小節中， 將只針對 CSRR 之相關特性作深入的討論。 (a) (b) 圖 2 - 7 CPW 感應 SRR (a)結構圖 (b)等效電路圖 (取材自參考文獻[22]) (a) (b) 圖 2 - 8 微帶傳輸線感應 CSRR (a) 結構圖 (b)等效電路圖 (取材自參考文獻[22])

2.2.2 互補裂隙環形共振器(CSRR)內共振特性

互補裂隙環形共振器的最大特色在於電容及電感並非使用鉚釘接地所得，而 是由電場及磁場感應所產生，雖在結構及實作上爭取到了很大的便利，但卻也因 為「感應」造成另一個必頇被考慮的問題---內共振(inter-resonator)。 此節，將針對裂隙環形結構的內共振特性做一個詳細的分析[21]，所謂內 共振，即當兩個以上裂隙環形結構互相接近時所造成的互相感應，其結構及等效 電路模型如圖 2 - 9 所示。

Cr

Lr

L/2

2Cg

C

c

L/2

2Cg

2C

M

2C

M

C/2

C/2

A

B

圖 2 - 9 CSRR 等效電路單元模型 由上圖可知，當兩個共振結構有一定距離相隔時，不需考慮內共振效應 CM，只 需將間隔中傳輸線對地電容引入即可，如圖中的 B 區塊所示，由於電路形式已 可直接分析，因此不需要再作簡化。反觀，當兩個共振結構漸趨接近時，就必頇 考慮之間的耦合電容 CM，如 A 區塊所示，且為了方便分析電路特性，簡化內共 振電路為首要的第一步。 在電路學中，簡化封閉電路，第一個想到的應該是 Δ-Y 轉換公式，以下將 由此切入，將電路簡化成易於分析的形式，其簡化流程如圖 2 - 10(a)-(f)所示。 Cr Lr L Cg Cc L/2 2Cg CM Cr Lr Cc L/2 2Cg (a)

ZS ZC ZC ZM ZM Zr Zr ZS/2 ZS/2 YA YB (b) ZS Z12 Z12 ZS/2 ZS/2 Z13 Z13 Z23 Z23 ΔA ΔB (c) ZS Z12 Z12 ZS/2 ZS/2 Z13 Z13 Z’ YC (d)

ZS Z12 Z12 ZS/2 ZS/2 Z12' Z23' Z13' ΔC (e) Zeq ZP ZP ZS/2 ZS/2 (f) Cr Lr L(ω)’ C(ω)’ Cc L/2 2Cg Cr Lr Cc L/2 2Cg (g) 圖 2 - 10 內共振電路模型推導流程

首先，先將 L、C 電路模型等效為方塊圖 2 - 10 (b)以便化簡工作，從(b)圖 中可以發現，兩邊的阻抗 ZC、Zr、ZM組成兩個對稱的 Y 型電路 YA、YB，利用 Δ-Y 轉換公式可以將此電路轉換成方塊圖 2 - 10 (c)中的 ΔA及ΔB，且由於轉換後 的阻抗 Z12、Z13、Z23均接地，因此可以容易地將兩邊的 Z23並聯合併為Z’，如 方塊圖 2 - 10 (d)所示。將阻抗 Z23並聯合併為Z’之後，能輕易發現 Z13、Z’組成 另一個 Y 型電路 YC，依循前述之轉換公式，可以將此轉換成方塊圖 2 - 10(e)中 由 Z12’、Z13’、Z23’組成的 ΔC，再利用接地特性將ΔC展開，Z13’與 Z12及 Z23’ 與 Z12並聯為 ZP，Z12’與 ZS並聯為 Zeq，如方塊圖 2 - 10(f)所示。最後再將方塊圖 2 - 10(f)轉換回 LC 電路圖 2 - 10(g)，且成功利用 Δ-Y 轉換公式將封閉迴路拆開， 得到較易於分析的電路形式。 在順利簡化圖 2 - 9 中區塊 A 中所造成的封閉迴路之後將以其與區塊 B 之狀 況作一個電路特性的比較與分析，由於探討結構之間的內共振特性為本論文的主 要目的，因此在本節中，將以兩個電路單元串接為例說明 CSRR 互相共振與否對 整個電路造成之影響。圖 2 - 11 及圖 2 - 12 所示為兩個電路單元分別在短距以 及長距之等效電路圖。 Cr Lr Leq Ceq Cc L/2 2Cg Cr Lr Cc L/2 2Cg 圖 2 - 11 短間距多級 CSRR 等效電路圖 Cr Lr L Cc L/2 2Cg Cr Lr Cc L/2 2Cg C 右手結構 圖 2 - 12 長間距多級 CSRR 等效電路圖

由圖 2 - 11 及圖 2 - 12 中可以明顯看出，兩個 CSRR 共振單元串接之間距大小 將產生兩種不同的電路形式，如前所述，當兩者間距較小，考慮內共振效應，其 串接後等效電路如圖 2 - 11 所示，串接處等效為電容 Ceq串聯電感 Leq，使整個 電路維持複合式左右手之架構，並保有左手材料之特性，可利用此特性設計電路 頻寬。反之，當間距漸趨增大時，耦合效應產生之感應電容遠小於傳輸線對地電 容，因此在電路中不予以考慮，如圖 2 - 12 所示。但由於沒有耦合效應之連接， 複合式左右手結構中出現純右手結構打破整體電路特性，因此，在應用 CSRR 多 單元串接設計電路時，應注意單元之間的間距以及內共振特性。

2.2.3 互補裂隙環形共振器(CSRR)環裂旋轉特性

當研究人員在設計微波電路時，電路的操作頻率是否具有可調特性是評斷電 路效能優越與否時一個非常重要的依據。而本研究之耦合器電路皆以裂隙環形共 振器為單元與以設計，因此本節將針對共振單元頻率之可調特性加以探討及研 究。 如前幾節所述，此共振腔以電磁場感應產生電容及電感，其一般 SRR 共振 結構及等效電路如圖 2 - 13 所示。圖中結構之裂隙相差 180∘ ，由電磁場分佈可 以看出金屬線部分為造成電感之主要來源，電容則由以裂隙為界之兩邊槽孔互相 串聯所致。如在等效電路圖中的電感 LS可以被趨近為平均半徑 r0及單環線寬 c

之感應電流，電容 C0=2πr0Cpul，整個結構之電容為左半邊(πr0Cpul)與右半邊(πr0Cpul)

之串聯電容 Cs，其共振頻率為 f0=(LsCs)-1/2/2π。 r0 rext c d Ls Φm C0/2 C0/2 Cs=C0/4 C0/2 C0/2 圖 2 - 13 SRR 共振結構及等效電路 反之，CSRR 共振結構與等效電路如圖 2 - 14 所示，由電磁場的對稱性可知，槽 孔部分為造成電容之主要來源，電感則由以裂隙為界之兩邊金屬線互相並聯所致。 如在等效電路圖中的電容 CC可以被趨近為平均半徑 r0-c/2 之圓盤與地之邊緣距 離 c 的電位差耦合，完整圓環電感為 L0=2πr0Lpul，但整個結構之電感為左半邊 (πr0Lpul)與右半邊(πr0Lpul)之串聯電感 Lc，其共振頻率為 f0=(LcCc)-1/2/2π。

CC Φe L0/2 L0/2 Lc=L0/4 L0/2 L0/2 圖 2 - 14 CSRR 共振結構及等效電路 由於本研究主要以互補式共振器作為設計單元，因此以下將以互補式結構分 析為主。由上述的電容電感來源可知，為了在不額外增加電路尺寸的情況下達到 頻率的可調性，裂隙的旋轉是一個新的想法。 一般調整共振頻率，設法降低電容電感，能將頻率向高頻調整 ; 反之，則 向低頻調整。利用電容的串聯與電感的並聯，使電容電感有規則的降低及升高， 對於設計電路時的可調性有相當大的幫助。如圖 2 - 15(a)、(b)所示，在裂隙相 差 45∘ 、90∘ 各得到之電容電感比例。180∘ 則為圖 2 - 14。 Ls CC Φe 3C0/4 C0/4 3L0/4 L0/4 Cs=3C0/16 Lc=3L0/16 3C0/4 C0/4 3L0/4 L0/4 Φm (a)

Ls Φm CC Φe 7C0/8 C0/8 7L0/8 L0/8 Cs=7C0/64 Lc=7L0/64 7L0/8 L0/8 C0/8 7C0/8 (b) 圖 2 - 15 SRR/CSRR 裂隙旋轉特性 (a) 90∘ (b) 45∘ 最後，與前幾節相同，將以電磁模擬軟體 HFSS 驗證所提出之可調式概念， 由於本論文中主要以互補式結構為主，為了不額外增加篇幅，以下僅列出互補式 結構的可調性質，如圖 2 - 17 所示，SRR 部分則並不多加贅述。 我們將取結構如圖 2 - 16，rext = 4.2 mm、r0 = 3.6 mm、c = 0.4 mm、d = 0.4 mm、 W = 1.6 mm、s = 0.3 mm、板材厚度 h = 0.8 mm，並利用電磁模擬軟體 HFSS 去 嵌化(de-embedding)以得更精準之模擬結果。

c

d

s

W

r

0

r

ext 圖 2 - 16 CSRR 電路單元結構及去嵌化

圖 2 - 17 CSRR 裂隙旋轉特性模擬 由圖 2 - 17 可以明顯發現，當環形共振器之裂隙由 0°~180°旋轉時，頻率點 在 ph = 45°時為 3.63GHz、ph = 90°時為 3.57GHz，而在 ph = 180°時則較大幅度 降至 3.24GHz，其頻率降低幅度與上述理論 (在 ph = 45°時電感為 7/64 L0、ph = 90°時為 12/64 L0，而在 ph = 180°時則較大幅度升至 32/64 L0) 相吻合。此旋轉特 性的發現在電路設計中不只可達到可調性之目的亦可應用於尺寸之縮小化。

2.2.4 互補裂隙環形共振器(CSRR)傳輸線偏移特性

本論文所提出之耦合器主要分為兩大類，第一類為利用一般耦合理論推導之 任意耦合量耦合器，第二類為利用左手材料傳輸原理之方向選擇耦合器。而無論 是第一類為了打破耦合間距設計的最小限制，亦或是第二類的共振腔共用結構， 共振腔的偏移現象皆在所難免。因此在本節的最後，將配合電路單元之等效電路 萃取，對共振腔偏移特性作詳細的探討。 延續前一小節，我們取同一結構作共振腔偏移之分析，其偏移結構如圖 2 - 18 所示。

偏移幅度

offset

圖 2 - 18 CSRR 共振腔偏移結構 在完成 3D 建模之後，同樣地，我們以電磁模擬軟體 HFSS 去嵌化(de-embedding) 得到圖 2 - 19 之結果。 圖 2 - 19 CSRR 共振腔偏移特性模擬 由上圖可知，當共振腔偏移幅度增加時，所感應之電容電感相對縮小，導致 頻率隨之升高。進一步分析，我們發現當傳輸線進入共振腔槽線區時，電容及電 感之縮小幅度明顯降低，以模擬結果為例，當 offset 由 0 mm ~ 2 mm(還在內部 ground 區)時，頻率上升約 8%，而當 offset 由 2 mm ~ 4 mm (開始進入槽線區)時， 頻率則大幅上升 37%。

2.3

電路單元之等效電路萃取

為了使互補裂隙環形共振器(CSRR)更加具有理論性且可與結構設計達到 雙重驗證，在本節中將詳細探討其等效電路模型及電容電感萃取方式[23]，一旦 我們能準確將傳輸線結構電路化，不只能夠更了解整體結構之電路特性，對於耦 合頻段之設計亦或是零(zero)/極點(pole)的掌握也將更具理論及精確性。因此，以 下主要分為三小節，由理論推導、電路萃取方式至等效電路之實作及驗證，循序 向大家介紹電路單元萃取的過程。

2.3.1 萃取原理推導

由前節所提之電磁特性所知，互補裂隙環形共振器(CSRR)中的電容及電 感主要由傳輸線與地(ground)之間的電容耦合感應所產生，因此我們以圖 2 - 20 所示之電路模型來表示此單元結構。 Port1 Port2 Cr Lr L Cg C L Cg

Z

P

Z

S

Z

S 圖 2 - 20 互補裂隙環形共振器(CSRR)結構及等效電路模型

一般由此單元串接所形成之週期結構有相當明顯之色散性質，因此我們可由 電路單元的布洛齊阻抗(Bloch impedance)以及相位平移(phase shift)，當作整個電 路萃取的初始方程式，經由 ABCD 矩陣之推導無限週期結構[11]，可由式(2.6) 得到布洛齊阻抗以及相位平移之解，如式(2.7)、(2.8)。 2 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 Zs Zs Zs Zs Zs Zp Zp Zs Zp Zp Zp       _{ }  _{ } _{ }  _{ }  _{ }  _{ }  _       (2.6) 2 ( ) ( )[ ( ) 2 ( )] 1 B S S P B Z jw Z jw Z jw Z jw A  _  _{ }  (2.7) ( ) cos 1 2 ( ) S P Z jw A D Z jw      _(2.8) 而這兩個方程式即為萃取 CSRR 的核心條件。 首先，先將電路單元的串聯阻抗(ZS)及並聯阻抗(Zp)帶入式(2.7)、(2.8)，可得 到式(2.9)、(2.10)。 2 2 2 / 1 1 1 1 ₄ c c B g g g c c L C Z C w C w CC w L w C w     (2.9) 1 / 2 cos 1 / 1 1 g c c c c C w L C Cw _{L w} C w     (2.10) 由於式(2.9)、(2.10)過於複雜，為了簡化推導，利用取代法以及移項分別將此二 式重新表示，如式(2.11)。 2 2 2 2 2 1 1 4 ( ) 1 B g g w Z C CC  w w  (2.11) 其中， 2 2 2 2 2 1 ( ) H [ ] H L H w w w w w w     (2.11-1) 1 1 cos 1 1 cos 4 ( ( ) 1) g C D E w A       (2.11-2) 其中，

2 2 1 1 L H A w w   _(2.11-3) 2 2 2 2 ( ) H H w w E w w w   (2.11-4) 2 2 1 2 2 ( ) 1 B w Z D w w   (2.11-5) 推導出式(2.11)之後，再配合全波模擬軟體(HFSS)所得到的結果，即可找到方程 式中每一項之間的關係，進而解出所需要的電容電感值。以下，將針對由 HFSS 模擬中所得到的結果與推導方程式之間的關係作詳細的說明。 在 HFSS 中頇先得到電路單元結構的 S 參數圖、色散圖(Dispersion Diagram)、 布洛齊阻抗圖以及相位圖，由這些圖中分別得到解推導方程式的必要條件。 首先，最重要的是從 S 參數圖及色散圖中得到左手區通帶的上界及下界 (ωH、ωL)，有這兩個重要的條件，再加上一般理想情況下，布洛齊阻抗圖中 ZB=50 所對應的頻率ω1以及相位圖中φ=90 。 所對應之ω2，就能夠固定τ(ω)、A 以及 E(ω)， 有確定的τ(ω)在第一步就能先將式(2.11)的右項變為常數 D1，找出 C 與 Cg的關 係。接著，將 D1、A 以及 E(ω)帶入式(2.11-2)中解出 Cg，再配合之前 C 與 Cg的 關係得到式(2.12)。 2 1 4 4 1 g g C C C D    (2.12) 由式(2.12)能輕易解出所要求的 C 值。但因為 C 值必為正的，所以必頇為此 加入一些條件以保證求出的 C 值必為正值，其條件如式(2.13)、 (2.14)、(2.15)。 2 1 0 4 _g 1<0 C  C D  (2.13) 1 cos 1 1 1 cos ( ( )E w A 1)        (2.14) 1 0 4 ( ( ) 1) 0 g C   D E w A  _(2.15) 將 A 以及 E(ω)帶入後，可以得到式(2.16)。

2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos H L L H w w w w w w     _   (2.16) 1 1 cos ( ) 1 L F F  _    (2.17) 2 2 2 2 2 2 1 H L L H w w w F w w w     (2.18) 在確定 C 值為正之後，上述推導所解出的 Cg、C 已完成整個萃取過程最困難的 部分。 在求並聯共振腔之前，先回到式(2.7)、(2.8)，由於左手區上下界有布洛齊阻 抗以及相位的條件，一般而言，在下界 fL，ZB=0、φ=π；在上界 fH，ZB=∞、φ=0， 將這兩個邊界條件帶入式(2.7)、(2.8)，得到 fL、fH的 L、C 值表示式，如式(2.19)、 (2.20)。 1 4 2 ( ) 1 4 L c c g f L C C C     (2.19) 1 2 H c c f L C   _(2.20) 此時，將已確定的 Cg、C 帶入式(2.19)，經過下式移項化簡之後，解出 LC。 令 4 1 4 B Cg C   (2.21) 2 2 2 2 1 1 1 1 L H L c c H w w A w L B B L B w       (2.22) 最後，將 LC帶入式(2.23)，即可解出 CC。 2 1 c H c C w L  _(2.23)

附帶一提的是，由於從 S 參數圖、色散圖以及阻抗圖中能夠找到串聯共振腔 的共振頻率，伴隨著前面所求出的 Cg，譨夠輕易的解出傳輸線電感 L。由上述 的數學推導配合全波模擬軟體(HFSS)完整地萃取出 CSRR 複合式左右手電路單 元的電容電感值。在下兩節，將為此萃取流程作一個清楚的整理且進行實際模擬 與電路實作以驗證上述推導之精確性。

2.3.2 電路萃取流程

在結束前一節的數學推導之後，本節將對整個電路萃取流程作一個簡單且清 晰的整合，其萃取步驟如下 : 步驟一 : 由 S 參數圖及色散圖，如圖 2 - 21 所示，找出左手區的上下界( ωH 及ωL )。 fH fL fC fH fL (a) (b) 圖 2 - 21 CSRR 電路單元 (a) S 參數圖 (b) 色散圖 步驟二 : 在理想萃取條件下，再由相位圖及布洛齊阻抗圖中找出其 phase = 90 度 及 ZB = 50Ohm 所對應之頻率( ω1 及 ω2 )。 ZB=50Ω@W1 Phase=90°@W2 (a) (b) 圖 2 - 22 CSRR 電路單元 (a) 相位圖 (b) 布洛齊阻抗圖

步驟三 : 由上述四個條件(ω1 ，ω2 ，ωH ，ωL )求出 T、A、E、D1，帶入

bloch impedance (ZB)及 phase(φ )兩簡化後之方程式，解聯立後可得 C、Cg。(其

中必頇注意 C、Cg 需大於零之條件)。

步驟四 : 再由 C、Cg 帶入由 bloch impedance (ZB)及 phase(φ )邊界條件所得

之ωH及ωL 即可得 Lc、Cc。 步驟五 : 最後再把 Cg 帶入由色散圖中所得之 Wc 求 L。 最後將前述所有推導過程利用數學軟體(Matlab)運算，即可求出如表 2 - 1 中所示 之電容及電感值。

2.3.3 等效電路萃取實際驗證

延續前節之電路萃取流程，為了達到實際驗證之目的，本節將針對電路單元進行實 作、模擬及萃取之比較，由基本的裂隙環形共振結構為例，其結構尺寸如圖 2 - 23 所示。 c d W rext Port1 Port2 r0 s 3.6mm 3.3mm 1.6mm 0.2mm 0.2mm 0.3mm 0.2mm port1 port2 圖 2 - 23 CSRR 等效電路單元 板材為厚度 h = 0.8 mm 的玻璃纖維環氧樹脂基板(FR-4)，rext = 3.6 mm、r0 = 3.3 mm、c = 0.2 mm、d = 0.2 mm、W = 1.6 mm、s = 0.3 mm，操作頻率在 3.4GHz。 首先，先利用全波模擬軟體 HFSS 得到 S 參數之模擬圖，再根據前小節所提出電 路萃取步驟，所得到之電容及電感值如表 所示，最後使用電路模擬軟體 ADS 得 到萃取結果，如圖 2 - 24、圖 2 - 25 為等效電路及與全波模擬的比較圖。

參數名 L (nH) Cg (pF) C (pF) Cc (pF) Lc (nH) 阻抗值 0.281 3.274 10.67 30.6 0.0605 表 2 - 1 CSRR 等效電路各參數值 圖 2 - 24 CSRR 等效電路單元-ADS 模擬結構 圖 2 - 25 CSRR 等效電路單元-ADS 模擬 S 參數 由上圖可明顯看出，利用前節所述之萃取方式並經電路模擬軟體 ADS 所得 到之散設參數曲線與全波模擬軟體 HFSS 之結果頗為吻合，尤其在等效電路零點 以及極點的位置上幾乎一致，此結果代表所使用之萃取方法具有相當之精確性， 對於之後的耦合器設計在頻率點上有相當大的幫助，且可達到雙重驗證之目的。

第三章 耦合線耦合器原理分析及設計

3.1 耦合線耦合器推導及分析

延續第二章CSRR電路單元之探討，本章之後將正式進入耦合器研究，其中 對稱型阻抗耦合器及非對稱型相位耦合器設計與傳統的耦合理論(traditional coupled-mode theory , CMT)較為相似，因此本節將針對此理論進行詳細的探討， 耦合器理論分析包含大家較為熟悉的奇偶模態分析[11]、c/π模態分析以及最近提 出的超穎材料耦合線耦合器的廣義耦合模態分析[24]( Generalized Coupled-Mode Approach of Meta-material Coupled-Line Couplers )，由於本論文的耦合器設計主 要以廣義耦合模態分析為耦合理論基礎，因此本節將詳細介紹此理論之推導，基 本的奇偶模態分析及c/π模態分析在此則不另加贅述。 廣義耦合模態分析為傳統耦合理論的延伸，推導嚴謹且適用於對稱型、非對 稱型、傳統型甚至後設材料結構的耦合器，能利用簡單的方式整合每一種耦合器 結構且對其作清晰的歸類。在微波領域中，主要以反向耦合器(Contra-directional coupler)設計為主，因此更進一步提出 Quasi-TEM 的近似方法，以簡化原有的公 式，提升其設計效率。 首先將介紹CRLH廣義耦合模態理論，圖 3 - 1為耦合器等效電路模型，其推 導可由等效電路的電報方程式開始，兩條傳輸線的電壓及電流方程如式(3.1)。 Cr Lr L Cg C L Cg Cr Lr L Cg C L Cg Cr Lr L Cg C L Cg Cr Lr L Cg C L Cg Lm Ce 圖 3 - 1 CRLH 耦合器等效電路模型

1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 R m L R e L R m L R e L V j L I j I L z C I j C V j V C z L V j L I j I L z C I j C V j V C z L              _{   }               _{   }  (3.1) 為了將其簡化，先將兩條傳輸線之間的耦合效應忽略(Lm = Ce = 0)，求出獨 立傳輸線的電壓及電流解為式(3.2)。 ( ) ( ) CRLH zn CRLH zn CRLH zn CRLH zn j j n n n j j n n n n n V z V e V e V V I z e e Z Z                 (3.2) 其中 1 iso iso CRLHn Rn Rn _{iso iso} Ln Ln L C L C      _(3.2-1) iso iso Rn Ln n iso iso Rn Ln L L Z C C   (3.2-2) 且可以將獨立傳輸線的L、C近似如式(3.3)。 / / / / iso Rn Ln Rn Ln m iso Rn Ln Rn Ln e L L L C C C     (3.3) 將式(3.2)作聯立運算，可以得到正規化的前進波(forward wave)及後退波 (backward wave)形式，如式(3.4)。 1 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 CRLHn j z n n n n n n n a z V z Z I z V e Z Z   _{  }  (3.4) 再把此形式的波帶入式(3.2)，可以得到電壓及電流的解如式(3.5)。

( ) [ ( ) ( )] 1 ( ) [ ( ) ( )] n n n n n n n n V z Z a z a z I z a z a z Z         (3.5) 在得到以上未考慮耦合效應的電壓電流解之後，將此一部份帶入式(3.1)，可列出 四個有考慮耦合效應的線性系統方程式，如式(3.6)。 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 CRLH FW BW CRLH BW FW CRLH FW BW CRLH BW FW a j a jK a jK a z a j a jK a jK a z a j a jK a jK a z a j a jK a jK a z                            _{   }         _{   }  (3.6) 其中 1 2( ) 2 m e FW RH RH k k K     (3.6-1) 1 2( ) 2 m e BW RH RH k k K     (3.6-2) 1 2 1 2 m m R R e e R R L k L L C k C C   (3.6-3) n n n RH L CR R   (3.6-4) 當然在考慮耦合效應後，特徵阻抗也會受到影響，如式(3.7)，為耦合模態的特徵 阻抗。 / / n n n n iso R L m n iso R L e L L Z C C    (3.7) 接下來，將解出考慮耦合效應後的前進波及後退波，在解之前，先假設解的形式 如下 : 0 ( ) j z n a n A e  (3.8)

式(3.8)中的β為複數的耦合傳播常數，也是最後所需解出的重要常數。把這一個 解的形式帶入前述的四個線性系統方程式，可以得到一個4*4的齊性的矩陣防程， 如式(3.9)。

 

 

1 1 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a z a z F a z a z          _{ }         (3.9) 移項後得到

 

1 1 2 1 0 0 0 0 CRLH FW BW CRLH BW FW FW BW CRLH BW FW CRLH K K K K F K K K K              _{ }          _{ }    (3.10) [F]矩陣的特徵值為零，可求出非平凡解(non-trivial solution)，如式(3.11)。 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 , ( ) ( ) ( 1 2) ( 1 2) 2 2 CRLH CRLH CRLH CRLH I II KFW KBW KBW CRLH CRLH KFW CRLH CRLH                  (3.11) 在解出耦合傳播常數β之後，將進一步利用邊界條件求出A0，由於計算過程過於 複雜，因此在此並不多加贅述。 在微波電路的研究中，S參數是最重要效能依據，由前述電壓電流波推導出 的前進波及後退波形式，可以得到S參數如式(3.12)。 1 11 1 1 21 1 2 31 2 2 1 ₀ 2 41 2 2 1 ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) I II j L j L BW FW BW FW _z FW BW BW FW z L a z S C D a z a z L S Ae Be a z X K Y K a z S a z K K X K Y K a z L S a z K K                                         (3.12) 由於一般微波領域之耦合器主要以反向為主，且本論文以微帶傳輸線為設計的主 要結構，因此將再提出Quasi-TEM簡化以上方程式。 在Quasi-TEM的情況下，先假設電耦合係數趨近於磁耦合係數(ke km)，並

利用這一個假設消掉在設計上較不在乎的變數，達到簡化方程式的目的，以下為 Quasi-TEM近似法之推導過程。 當電耦合係數趨近於磁耦合係數時，可以很明顯的發現前進波耦合係數將趨 近於零，如式(3.13)。 1 2( ) 0 2 m e FW RH RH k k K      (3.13) 少了前進波耦合係數，由於方程式的對稱性，可以將式(3.6)簡化為兩個方程式， 如式(3.14)。 1 1 1 2 2 2 2 1 CRLH BW CRLH BW a j a jK a z a j a jK a z          _{  }   _{  }  (3.14) 同樣地，移項之後可以得到一個2*2的齊性的矩陣防程，如式(3.15)。 1 2 ( ) [ ] [0] ( ) Quasi TEM a z F a z   _      (3.15) 其中 1 2 CRLH BW Quasi TEM BW CRLH K F K           _{   }   _{  } (3.15-1) [F]矩陣的特徵值為零，可求出β的非平凡解(non-trivial solution)，如式(3.16)。 , I II d r    (3.16) 其中 1 2 2 CRLH CRLH d      (3.16-1) 以及





2 2 1 2 2 r a BW CRLH CRLH a K          (3.16-2) 如前述，在推導出耦合傳播常數β之後，可以利用其整合對稱型耦合器、非對稱

型耦合器、傳統型耦合器以及複合式左右手型耦合器的效能及特性。以下，將大 致分為三類: (1) RH-RH coupler : 此類為一般傳統的耦合器，由兩條右手的微帶傳輸線組成。 由於_CRLH1 _CRLH2 _RH，所以_d 0且





2 2 2 , 1 / 2 I II r a KBW RH ke km          _  _ ，電耦合係數及磁 耦合係數皆小於1，因此為兩個純實數解。 (2) CRLH-CRLH coupler : 第二類為對稱型複合式左右手傳輸線耦合器，由兩條左右手微帶傳輸 線組成。由於_CRLH1 _CRLH2，所以_d 0，又 1 CRLH RH LH R R L L L C L C          ，所得之耦合傳播常數為





2 2 2 , ( ) / 2 I II RH LH RH ke km       _  _ ，隨頻率點之變化傳播常數 可能為純實數解或是純虛數解。 (3) RH-CRLH coupler : 最後一類為非對稱型相位耦合器，由一條純右手微帶傳輸線及一條複 合式左右手傳輸線組成。由於_CRLH1_RH，所以 1 2 ( ) 0 2 RH CRLH d       ，而其耦合傳播常數在耦合頻段內為純實數解 或是複數解，在此_r為分別為純實數或是純虛數。 在本論文中，將以裂隙矩形共振腔為基本電路單元，配合第二類及第三類之 耦合理論，設計出操作頻率為3.4GHz ~ 3.5GHz之非對稱型相位耦合器。

3.2 既有耦合線耦合器設計

在前一節中已詳細推導各類型耦合線耦合器之電路原理，適用於許多耦合器 電路的設計與研究。在這一節中，將有系統的介紹耦合器研究的相關文獻，由最 傳統的耦合線耦合器[11]、藍基耦合器[12]、[25]、[26]至這幾年結合左手材料的 複合式左右手傳輸線耦合器。

3.2.1 耦合線耦合器 (Coupled-Line Coupler)

耦合線耦合器 (Coupled-Line Coupler)單純利用兩條傳輸線之間的電磁耦合 以及能量交換達到訊號耦合的目的。但礙於實作時化學蝕刻之精度以及傳輸線之 線電容遠小於面電容，弱耦合成為耦合線耦合器的致命缺點。一般耦合線耦合器 之耦合量大概落於-30 dB ~ -10 dB之間，即使經過妥善設計，亦難以提升。其結 構如圖 3 - 2所示。 Port1 Port3 Port2 Port4 圖 3 - 2 平行微帶線耦合器

3.2.2 藍基耦合器(Lange Coupler)

為了改善耦合線耦合器在耦合量及頻寬上的限制，藍基於1969年提出了多條 平行線之結構[12]，如圖 3 - 3，而後，為了電路佈局之便，變化的結構相繼被提 出[25]、[26]，如圖 3 - 3。其中藍基結構需要4根跳線，包利諾需要3根跳線，而 W&L結構則只需要2根跳線，跳線數目越少，製作上愈簡易。 耦合埠 輸入埠 傳輸埠 隔離埠 λ/8 λ/8 耦合埠 輸入埠 隔離埠 傳輸埠 耦合埠 輸入埠 隔離埠 傳輸埠 λ/4 λ/4 (a) (b) (c) 圖 3 - 3 各種藍基耦合器 (a)藍基耦合器 (b)包利諾結構 (c)W&L 結構

3.2.3 複合式左右手傳輸線耦合器(CRLH-Line Coupler)

近年來，隨著左手材料概念及理論漸趨於完整，許多學者及研究人員開始將 其獨特性質應用在許多微波電路設計上，當然耦合器也不例外。為了突顯本論文 研究在耦合器研究上的創新性，本節將介紹近幾年來左手材料應用在耦合器上之 相關研究，並整理其優缺點以及可加以改善之空間。以下將逐一介紹 :

(1) 新型複合式左右手耦合線方向耦合器(A Novel Composite Right-/Left-Handed Coupled-Line Directional Coupler )[ 13]:利用指叉型電容為串聯左手電容，並 聯共振腔則使用接地電感(via)以及金屬線與地電容所組成，其實際結構如圖 3 - 4所示。 圖 3 - 4 新型複合式左右手耦合線方向耦合器 此對稱型結構特點在能產生較寬的頻帶，耦合量亦達-0.5dB，但缺點在於結構較 長，約為1.05波長，且由於使用接地電感，可調式特性較難掌握，在實作時也較 困難，易產生誤差。 (2) 縮小化金屬-絕緣體-金屬(metal-insulator-metal，MIM) CRLH耦合線耦合 器(Simple-Design and Compact MIM CRLH Microstrip 3-dB Coupled-Line Coupler) [14] : 延續之前的設計概念，將指叉型電容改為MIM電容，由於左手電容由線電 容變為面電容，電容值大幅增加，順利降低頻率達到縮小化之效果。其實際結構 如圖 3 - 5所示。

在大幅縮小的狀況下(約為0.91波長)，此結構耦合量僅達3dB，且由於使用MIM 電容及接地電感，在實作上難度大為提升之餘，精確度亦較難控制。

(3) 縮小化耦合線前進耦合器(A Compact Coupled-Line Forward Coupler using Composite Right-/Left-Handed Transmission Lines) [15 ] : 類似前一種縮小化 耦合電路，亦利用漂浮金屬與上層金屬產生MIM電容，其結構如圖 3 - 6所示。

圖 3 - 6 縮小化耦合線前進耦合器

由上圖可知，此結構縮小幅度相當大，尺寸降至0.27波長，但耦合量卻只有 -9.2dB，

15dB耦合頻寬亦僅15%。

(4) 縮小化舷側耦合方向耦合器(Compact Broadside Coupled Directional Coupler Based On Coplanar CRLH Waveguides) [16]:此耦合器應用共平面波導當 作餽入線，左手電容及電感同樣的應用指叉型電容及接地電感，其結構如圖 3 - 7 所示。

圖 3 - 7 縮小化舷側耦合方向耦合器

此結構擁有較寬的頻帶，約為40%，耦合量亦高達-0.8dB，但礙於結構之因，尺 寸相較於操作頻率過於大，約為1.14*0.82波長，是其一大缺點之一。

(5) 新型(傳統/雙)複合式左右手架構雙頻耦合器(Novel broadband conventional and dual-composite right/left-handed (C/D-CRLH) meta-materials: properties, implementation and double-band coupler application) [17]:此耦合器與前 幾種結構較不相同，其為應用傳統複合式左右手傳輸線及雙複合式左右手傳輸線 架構所組成，利用MIM電容左手電容及右手電容，以及虛擬地(virtual ground)產 生左手電感，結構如圖 3 - 8所示。 圖 3 - 8 新型(傳統/雙)複合式左右手架構雙頻耦合器 此結構應用兩種不同的複合式左右手傳輸線產生非對稱型耦合電路，雖在尺寸上 縮小至0.34波長，但頻寬相對較小，皆僅10%左右，在隔離度上的表現亦差強人 意，且無論在實作或是理論上皆顯得較為複雜，實際精確度較難掌握。 以上所介紹之耦合電路為近幾年來與後設材料相關之耦合器研究，由其中可 以發現，耦合量、隔離度、方向性、耦合頻寬以及電路尺寸常常使電路設計者頇 做其取捨(trade-off)，因此，在電路縮小的情況下提升耦合效能，為微波電路設 計之最終目的，在第四章及第五章，即將以此目標做進一步深入的探討及研究。