愛因斯坦玩具設計的改良與等效原理的教學應用

愛因斯坦玩具設計的改良與等效原理的教學應用

梁立國

輔英科技大學 環境工程與科學系 sc013@fy.edu.tw （投稿日期：民國107 年 09 月 29 日，接受日期：107 年 12 月 06 日） 摘要：愛因斯坦的最後一個生日(1955 年 3 月 14 日)，鄰居 Eric Rogers 送他一個在 自由落下重力消失瞬間，彈力將銅球拉回碗裡的玩具以演示廣義相對論中的普遍 原理—等效原理。在此，我以高爾夫球取代銅球，扯鈴的半碗增加玩具的強度， 長桿則以伸縮桿代替，高爾夫球可將一般實驗室所使用原長為20 公分的彈簧拉長 15 公分；改良後的玩具大小適中、攜帶方便，且具有質量輕、重心低以及彈簧穩 定性佳等特性，操作上也較為得心應手。在教學方面：等效原理的三種演示，可 應用於非慣性座標運動時假想力的形成，包括電梯問題與繩張力計算；關於玩具 設計的動力學機制是簡諧運動很好的演示教具；而運用重力與重力消失的概念， 可以小孔孔徑與表面張力係數計算水滴在下落瞬間，球形半徑的值。 關鍵詞：等效原理、重力、簡諧運動、表面張力

壹、 前言

梁立國(2009) 在論文1_{中，模仿愛因斯坦朋友Eric Rogers}2_{製作一個關於等效原理敘述的} 玩具，玩具雖能成功模擬並體會重力消失現象的發生，然而玩具的結構、操作的便利、與成 功的機率均有改善空間。在此次玩具的改善裡，以高爾夫球取代鐵球，實驗室長 20 公分彈 簧被重力伸長 15 公分，活動的效果更加明朗；伸縮鋁桿與扯鈴的塑膠碗質量輕而具強度， 讓操作與攜帶方便；與學生生活貼近的高爾夫球、扯鈴與伸縮桿，都能在教師演示前引起學 生的注意。 在這篇論文中，我除了敘述重新製作愛因斯坦玩具的過程，並發展出三種關於等效原理 的演示，將其具體的應用在非慣性座標運動的教學；也藉由教具的再製作，簡化動力過程而 得到一簡諧運動的教具；此外，在經過多年的教學演示與體驗，將重力消失的概念應用於水 滴滴落過程，如果忽略水滴與空氣的相對運動，即水滴滴落後瞬間，初速度為零時，可以表 面張力係數與滴水孔徑得到小水球的半徑值。 愛因斯坦玩具三種關於等效原理的演示，包括：自由落下、瞬間手動向下加速、瞬間手 動向上加速後減速。自由落下為玩具製作原來的有趣現象，而向下加速與向上加速則完全可 10.6212/CPE.201812_19(2).0003

以生活中搭乘電梯類比，讓玩具的演示與學生生活融入而易於理解，並將之與非慣性座標運 動的例題連結；簡諧運動教具則能讓學生立刻看到平衡位置的發生，振幅的產生、週期運動 的測量、速度與加速度的變化也都具體的呈現在教學現場；以重力消失概念體會出水滴大小 與孔徑關係，讓表面張力例題更加簡化。前述的幾個活動，讓我們對Eric Rogers 玩具以及他 對愛因斯坦等效原理的認識，有更深刻的印象。

貳、 理論

關於教具改良後演示教學應用的原理探討，我們以三個方面敘述：等效原理、教具表現 依據的動力學過程、及以重力消失概念與表面張力係數求水滴大小。 相對於狹義相對論描述所有慣性座標系的物理原理必須相同，廣義相對論則是根基於關 於重力與加速度的通常觀測，這個普遍的原理，稱之為等效原理 3：任何重力場的效應與缺 乏任何重力場的位置中給予加速度效應是沒有差別的。我們可以  a = - g (1) 表示之，其中a 為非慣性座標系的加速度，g 為在此座標系感受到的重力場，在式(1)中，加 速度與重力場方向相反。具體的例子包括：向下墬落的遊樂設施內會產生一反向的重力場（ 如圖1），讓人有失去重量呈現漂浮的感受；許多科幻片中，為使環繞地球運轉，或航向外太 空的太空站具有重力的效應，會成一自轉的環狀物，讓站內的生物在受向心加速度時，感受 到一離心之重力場效應。在多年的教學演示過程，我們則以玩具的自由落下、瞬間手動向下 加速、瞬間手動向上加速後減速等三種方式，呈現等效原理，並將之應用於非慣性座標問題 中，例如：電梯升降時的等效重量與直昇機吊掛物體時的繩張力4。

a

=

-g

圖1：自由落下的加速度 a = g 等效於一個向上的重力場 –g 其次是關於愛因斯坦玩具製作的動力學依據，如圖 2，當一個彈簧下方懸掛一重物，重 物所受的重力會與彈簧的恢復力達成一個平衡狀態，此時，彈簧的恢復力等於重力，即 mg = - k x (2) m 為懸掛物質量，k 為彈簧恢復係數，x 為彈簧伸長量；當系統自由落下時，彈力在重力消 失瞬間將重物拉回後再一起落下，愛因斯坦玩具巧妙的將彈簧倒置，如圖 3，重物放在碗外 ，達到系統自由落下瞬間，重物自行落入碗內的趣味效果。

圖2：彈簧下方懸掛一重物，重力與彈力達成平衡。 圖3：愛因斯坦玩具巧妙的將彈簧倒置，重物放在碗外。 當我們使用物理實驗室 20 公分彈簧懸掛高爾夫球時，除了演示的成功率幾乎百分之百 ，彈力與重力間的平衡過程中，將重物稍微拉下後鬆手，更是振盪運動（簡諧運動）5 教學 中很好的演示教具，幾個物理量的呈現簡單而明瞭，包括：平衡位置、振幅、週期與頻率計 算、速度與加速度觀察。 最後是，在多年以愛因斯坦玩具進行課室教學演示的發現：當我們考慮水滴自由落下瞬 間，初速度為零且重力消失，亦即空氣流動的影響可被忽略，表面張力會讓水滴成一簡單球 狀6,7，此球體在落下前所受的重力等於落下前液體拉住它的表面張力。考慮圖4 的簡單情況 ，水滴自一小圓孔落下，落下前瞬間，水滴受到的表面張力為2πrη，其中 r 為圓孔半徑， η 為水的表面張力係數；落下後瞬間，水滴的初速度為零，水的張力讓水滴成一完整的球體 ，落下前的重力則為4 ρgπR3 _{/3，其中 R 為水球半徑，ρ 為水的密度，g 為重力加速度值，因} 此我們可寫成式(3) 2πrη＝4 πρgR3 _{/3 (3)} 應用重力消失概念水滴成球狀的想法，我們可以很輕易地理解生活中關於水滴大小與孔 徑的關係，例如：眼藥水、精油、調味料（香油）等，並將他們用在表面張力習題的演練， 在論文中，則以內徑0.5mm 與 0.38mm 原子筆芯的水滴拍攝說明上述的結果。 彈力 重力 平衡點

圖4：水滴自圓孔落下前受表面張力支撐的靜力平衡圖

參、 教具製作

一、愛因斯坦玩具製作

(一) 表 1 說明製作所需的主要材料。 (二) 將扯鈴塑膠碗連金屬軸一起撥開，再以電鑽在碗底部鑽一直徑 3mm 的小孔。 (三) 將高爾夫球鑽一直徑 1.2mm 深 10mm 小孔，將吉他尼龍弦塗上 AB 膠插入小孔， 待乾。 (四) 尼龍弦另一端穿過扯鈴碗底繫在彈簧一端，並將彈簧另一端穿過鋁管，固定在鋁管 另一端。 (五) 將扯鈴金屬軸扣入鋁管內，為了讓扯鈴穩固，可以絕緣膠帶先行纏繞金屬軸至適當 厚度再扣入鋁管內，圖5 為經（四）（五）步驟後的完成圖。 (六) 伸縮桿上端鑽一小孔，再將前述鋁管置入伸縮桿內，以適當大小的螺絲經小孔鎖住 鋁管。完成之玩具可見圖3。 表1：愛因斯坦玩具製作所需的材料 編號 類別 內容 1 彈簧 長20 公分直徑 1 公分 2 高爾夫球 直徑4 公分 3 扯鈴 文具店有售 見圖 3 4 鋁管 長35 公分 內徑同扯鈴軸徑 5 伸縮鋁管 取自清潔用品 6 吉他弦 25 公分 工具 膠帶、鑽床、AB 膠 表面張力 重力

圖5：經（四）（五）步驟後的完成圖，彈簧未伸長，高爾夫球貼近碗口。

二、振盪運動演示教具製作

(一) 表 2 為振盪運動演示教具製作所需的主要材料。 (二) 距壓克力管一端一公分處鑽一直徑 3mm 可穿過小鋼棒的小孔。 (三) 將高爾夫球鑽一直徑 1.2mm 深 10mm 小孔，將棉線塗上 AB 膠插入小孔，待乾。 (四) 棉線繫在彈簧一端，並將彈簧另一端穿過壓克力管，以小鋼棒固定在管內另一端。 (五) 以膠帶將小剛棒固定，教具完成如圖 6。 表2：振盪運動演示教具製作所需的材料 編號 類別 內容 1 彈簧 長20 公分直徑 1 公分 2 高爾夫球 直徑4 公分 3 壓克力管 內徑1.2 公分 4 棉線 約20 公分 5 小鋼棒 直徑3mm 長 6 公分 使用工具 手機碼錶功能、AB 膠、膠帶、鑽床 (a) (b) 圖6：(a)彈簧水平置放在桌上，高爾夫球貼近壓克力管。 圖6：(b)彈簧向下，高爾夫球重量讓彈簧伸長 15 公分。

三、表面張力演示教具製作

(一) 表 3 說明表面張力演示教具製作所需的材料。 (二) 點 38 與點 50 水性原子筆筆芯剝離筆管後，以沙拉脫清洗，再以縫衣針尖穿入筆芯 加壓取出鋼珠球。 (三) 筆芯置於內徑 2mm 橡膠圈內，再將橡膠塞入玻璃管。 (四) 將兩支玻璃管以虹吸咖啡瓶架夾住，靠近筆芯後方放置一 15 公分直尺，如圖 7。 (五) 由上方倒水入玻璃管內，並以攝影機拍攝水滴滴落的過程，此可作為課室教學中， 學生透過影像觀察孔徑與表面張力對水滴大小的影響。 表3：表面張力演示教具製作主要的材料 編號 類別 內容 1 水性原子筆筆芯 點38 與點 50 2 玻璃管 兩支 3 橡膠圈 兩個 4 虹吸式咖啡座 一個 5 直尺 15 公分 使用工具 攝影機、50cc 量杯 圖7：兩個筆芯小孔滴水，左方為 0.5mm 筆芯，右方為 0.38mm 筆芯。

肆、 教學應用

一、愛因斯坦玩具教學演示--非慣性座標運動與繩張力計算

(一) 自由落下（重力的消失） 1. 碗面朝下，彈簧伸長 15 公分後，再將碗面朝上，高爾夫球懸掛於碗外，如圖 3。 2. 手握伸縮桿末端，並高舉玩具。

3. 鬆手讓玩具自由落下，彈簧在重力消失瞬間，將高爾夫球拉回碗內。 4. 教師說明自由落下時，高爾夫球處於無重力狀態。 (二) 向上加速後減速（電梯向上啟動後再停止） 1. 重複自由落下的 1,2 步驟。 2. 將玩具突然向上後煞住，可以看到碗外的高爾夫球在減速（煞住）的瞬間，被 彈簧拉回碗內。 3. 教師說明減速（煞住）瞬間，高爾夫球因重力減弱被拉回碗內。 (三) 向下加速後減速（電梯向下啟動後再停止） 1. 重複自由落下的 1,2 步驟。 2. 將玩具向下加速後減速，可以看到碗外的高爾夫球在向下加速瞬間，被彈簧拉 回碗內。 3. 教師說明在向下加速瞬間，高爾夫球因重力減弱被拉回碗內。此可類比於電梯 向下啟動時重量變輕。 (四) 繩張力計算例題（向上加速） 1. 直升機以繩吊掛一質量 100 公斤重物後，以加速度 1 公尺/秒 2_{向上飛起，求吊} 掛的繩上所承受的張力。 2. 依據等效原理，可得張力為 100 公斤*(9.8 公尺/秒2_{+1 公尺/秒}2_{)=1080 牛頓。}

二、振盪運動學教學

(一) 水平置放教具，測量彈簧原長度為 20 公分，壓克力管為 35 公分。 (二) 將教具垂直吊掛，彈簧伸長 15 公分，此時，高爾夫球的位置即是彈力與重力平衡 點。 (三) 高爾夫球

向下

拉10 公分後鬆手，高爾夫球呈現振盪運動，此時，說明簡諧運動的 振幅10 公分，並觀察過程中速度變化，以加深學生關於速度與加速度變化的學習。 (四) 彈簧在

過程

中的測量值為10 次振盪 11.2 秒。可得週期為 1.12 秒/次，頻率為 0.89 秒/次。 (五) 在教學過程中，教師可以手腕輕輕的對彈簧施一簡單的共振力道，讓彈簧維持更容 易觀察的簡諧運動現象。

三、以滴水孔徑與表面張力係數求水滴大小

(一) 以 0.5mm 直徑的圓孔為例，水的表面張力係數8 0.073N/m，孔半徑 r = 0.0025m 代 入式（3）可得滴落的水珠直徑 2R 為 2.82mm。 (二) 以 0.38mm 直徑圓孔的滴落水珠直徑則為 2.57mm。 (三) 我們以肉眼觀察(水珠的形成會隨上方水壓的減少而變得緩慢)並比較教具兩個圓

孔的滴水過程，0.5mm 與 0.38mm 孔徑均滴出一個逐漸長大的圓球，0.5mm 孔徑的 水滴水直徑未超過3mm 即滴落，而 0.38mm 圓孔滴落的水滴直徑則略小於 0.5mm 圓孔的水滴。

伍、 結論與心得

一、改良後的愛因斯坦玩具，扯鈴的碗狀與懸掛在外的高爾夫球讓學生一眼認出

；

彈簧伸縮 穩定、有強度的塑膠扯鈴碗、倒置後玩具的低重心，讓教師的操作更具信心

；

伸縮桿、 較大的碗面，讓攜帶與置放都顯得容易與醒目，是一個得心應手的好教具。 二、三種等效原理的演示是經過長時間演示教學的體驗，無論是何種過程，我們都可體會出： 彈簧的確是利用重力減少（並非完全消失）的瞬間，將高爾夫球拉回碗內。 三、將愛因斯坦玩具以實驗室的彈簧取代，不僅有助於等效原理的穩定演示，在重新製作的 過程體會出軟的彈簧讓高爾夫球振盪，而進一步的運用在簡諧運動各個物理量的說明、 觀察與認識。 四、在許多關於表面張力的教學裡，包括：針浮於水面、水柱高度等，皆是以表面張力等於 重力的概念計算，本文以圓孔孔徑作為例題，則是以重力消失概念為基礎，簡單、易懂 且實用，例如：眼藥水的滴落、精油調配、添加調味料等，讓表面張力教學與生活貼近。 五、論文中由愛因斯坦朋友Eric Rogers 設計玩具的最初概念---等效原理發散，我們深刻體驗 了幾種關於張量的物理現象，包括：繩的張力、表面張力、等效重力場的變化。 六、演示教具的動態過程與表現，實際包含動力學機制與材料的搭配，演示過程裡重複認識 動力機制與對材料應用的改良，確實有助於教師樂於將教具應用於課室教學裡，除了協 助學生的學習，過程裡教師科學概念的內化，讓更多的物理現象被理解，論文中水滴滴 落即是一個很好的例證。

參考文獻

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2. 徐一鴻著、張禮譯（2006）。膨脹的宇宙----愛因斯坦的玩具 (Einstein’s Universe—An Old Man’s Toy)。台北市：五南圖書出版有限公司。

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Re-production of Einstein's Toy And Its Related Teaching

Applications

Lih-Kuo Liang

Department of Environmental Science and Engineer, Foo Yin University

sc013@fy.edu.tw

Abstract

At Einstein's last Birthday (March 14, 1955), his neighbor Eric Rogers gave him a toy that can pulls a copper ball back into the bowl when the toy fall as gravity disappears to demonstrate the principle of equivalence in general relativity. I replace the copper ball with golf, increase the strength with a bowl-shaped bell, the long rod is replaced by a flexible one. The weight of golf can stretch laboratory-used spring 15 cm long. This toy is moderate in size and easy to carry, and is also easy in operation for the stability of spring and its low center of gravity. In physics teaching: the equivalent principle of three kinds of demonstrations, can be applied to non-inertial coordinate motion of the formation of the imaginary force, including elevator and rope tension problems; The dynamic mechanism of toy is also a good design for the demonstration of the simple harmonic motion; And the concept of gravity vanishing can be used to calculate the value of the spherical radius from the pore aperture and surface tension coefficient.