素養導向之數學教材設計與發展

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 29 教育科學研究期刊 第六十三卷第四期 2018 年，63（4），29-58 doi:10.6209/JORIES.201812_63(4).0002

素養導向之數學教材設計與發展

左台益

李健恆

* 國立臺灣師範大學 數學系 國立臺灣師範大學 數學系

摘要

為培養學生能適應快速變遷的社會及面對未來挑戰，教學設計必須考慮相關的知識、技 能、思維、態度等學習要素。而數學常展現於日常的活動、科技的發展、社會及經濟現象的 解讀等生活及各種研究中，因此，「數學素養」一詞成為國民基本教育課程中的重要理念。 然而，許多文獻都在探討數學素養的意涵及其目標，卻很少說明培養數學素養的教材設計。 本研究從彙整現有文獻中的數學素養意涵，從而提出「知」識、應「用」、「觀」點與「學」 習是數學素養的構成要素，而教材設計可從現實問題轉譯為數學問題，利用數學結果詮譯情 境意義的學習迴圈，並配合 APOS 理論之起源分解說明數學知識的認知發展，發展以數學「知」 識為核心，發展具內含及外顯特質的「用」、「觀」、「學」之素養導向教材。在此架構中， 素養教材設計不限於同時包含迴圈中的所有元素，且「知」、「用」、「觀」、「學」是教 材設計之方法而非必須依循的發展順序，教材設計者應考量學習者的認知及數學概念的發 展，設計配合知識的應用、對數學的觀感、終身學習的思維及技能為導向的數學教材。本研 究提供設計實例以說明教材設計的可能方向，並由此提出未來相關研究建議。 關鍵詞： APOS 理論、素養構成要素、教材設計、數學素養 通訊作者：李健恆，E-mail: kinhanglei16@gmail.com 收稿日期：2018/01/26；修正日期：2018/03/28、2018/04/18；接受日期：2018/04/18。

30 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆

壹、前言

為配合社會變遷，人才培育的方向需更重視問題解決及終身學習能力的培養，因此，教 育部（2014）提出「核心素養」作為各個課程發展的主軸，落實以人為本的終身學習精神， 以及「自發、互動、共好」的理念，並提出「自主行動」、「溝通互動」和「社會參與」三 大面向。與素養有關的研究主題因國際評量而日益受到重視（張毓仁、柯華葳、邱皓政、歐 宗霖、溫福星，2011；彭開琼、張佳雯、李瑞生，2017）；然而，要將上述理念落實到教學 實務中，教材設計及其發展將是重要的探討議題，它既是展現實施課程（implemented curriculum）中幫助學生獲取課程所安排之知識及技能的執行（operational）層次（van den Akker, 2003），也是實現達成課程（attained curriculum）的依據及支持。

數學是重要的學科之一，根據課程願景及理念發展學生數學素養自然是必須討論的議 題。讓學生成為一位能夠靈活運用數學的人，無疑是二十一世紀數學教育的目標（Massachusetts Department of Elementary and Secondary Education, 2017），只是目前學生的數學學習成效，仍 多由教師以統一的標準及規範，透過評量知識獲取的考試，作為判斷學生成就表現的標準， 甚至形成了主導教學的局面。這樣的設計或許提供了較公平的參照，卻忽略了學生的不同特 質和潛能，甚至造成對數學呈高成就低興趣的現象（Mullis, Martin, & Foy, 2008），而此現象 與學生所受的教學方式之間有一定程度的相關（余民寧、韓珮華，2009），因此，如何設計 出讓學生感到有用的數學是目前教育重要的方向。儘管課程大綱（國家教育研究院，2016） 中對數學素養的課程設計已有一些說明，但數學概念也是學生不容易掌握的內容，必須配合 學生對概念理解的認知發展，因此，要如何展現素養的內涵及幫助學生發展素養的數學教學 設計，更是需要進一步探討的議題。 配合社會的人文經濟及資訊科技的發展，數學素養的意涵也不斷地演化及擴大，從過去 重視閱讀、寫作、算術（簡稱 3R）（Papert, 1993），重視問題解決的過程及教學（Voskoglou, 2007），強調與數量相關思維的計數素養（numeracy）（Goos, Dole, & Geiger, 2012），或國 際學生能力評量計畫（Programme for International Student Assessment, PISA）中強調學生解決 問題時所能表現的數學素養（Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD], 2016），雖然上述對數學素養的意涵尚未有統一的描述，但都是為了應用數學知識、技巧與思 維以解決現實生活問題作為素養的核心。然而，當我們希望培育學生具備上述素養目標時， 卻並非只強調數學與日常生活的連結就能達到，因為數學學習成效除了與學生對數學知識的 理解外，與他們的自我概念、學習情緒、學習策略都有一定的影響（劉玉玲、沈淑芬，2015）。 因此，與評量的觀點不同，培養學生數學素養的教學設計，將與數學素養的構成要素有密切 關係，釐清相關要素將有助於做更全面的考量以達成教學目標。 一般而言，教學設計以不同的數學實踐（mathematical practice）呈現，除了需要注重數學

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 31 知識的獲取外，其意義、目的及呈現方式也是必須考慮的（Iowa Department of Education, 2010），因為有意義的數學實踐能夠強化理解，如解決與日常生活相關的問題；有目的的數 學實踐能連結課程目標，如發展學生數學素養的課程；而其呈現方式則需要依據目標來進行 設計，即教學設計必須能幫助學生理解數學的相關概念。Dubinsky 於 1980 年代開始，探討人 類在學習一個數學概念時心智中的發展模型，提出 APOS（Action-Process-Object-Schema）理 論（Arnon et al., 2014），配合數學概念的認知發展進行適當切割，從而提供對概念的理論分析 及數學實踐設計的參考。 目前文獻上對數學素養的意涵存在不同的觀點，因此，本研究藉著對數學素養意涵的回 顧及分析，整理出數學素養的構成要素以作為教學設計的依據，而數學知識的獲取是發展素 養導向之數學教材設計的核心，本研究從 APOS 理論的觀點發展數學知識的學習模組，並透 過數學素養導向之教材設計概念圖及實例，為以素養為導向的數學教材設計提供參考。

貳、數學素養的意涵

一般而言，數學能力多用於描述「符合理性及邏輯思維的發展」（Karsenty, 2014, p. 372）， 與學習具有抽象性及理論性數學有密切的關係。從不同的觀點來看，數學與數學素養都能說 明對方的部分想法、行為或現象（Turner, 2012），但可以肯定的是，數學素養並不只包含數 學知識及技巧（Niss & Højgaard, 2011），它比數學能力要表達出更多的內涵及構成要素。因 為數學素養是一個有機體，只因個體的經驗及背景知識不同，所展現的方式將有差異，因而 不會以有無素養做區分（Stacey & Turner, 2015），它將隨著社會變遷、文化差異及個體認知 發展而改變。 在過去知識尚未普及的年代，閱讀、寫作、算術（Papert, 1993）就是教育的核心目標， 其中的算術則著重在四則運算的應用上，因此，那時候素養一詞主要與讀、寫、算等基礎能 力有密切的關係（Knoblauch, 1990）。而如今數學素養一詞在 PISA 的引導下，則廣泛被使用 在描述現代公民在不同情境脈絡中，使用數學解決問題時所需具備的知識、技能、思維、態 度等要素。也因地域不同，因而使用強調數字感及符號感的計數素養（Jablonka, 2003）或應 用數學及統計來解決問題之思維習慣的量化素養（quantitative literacy）（Steen, 2001）。也因認 知不同所展現在處理數學相關問題方法上的不同，如「街頭數學」（Nunes, Schliemann, & Carraher, 1993）以非正規數學方式來處理學校外的數學問題。另外，在英文名詞中還有其他與數學素 養具有近似意義的詞彙，如著重在解讀、推論、解釋及應用數據或計算結果的“matheracy” （D’Ambrosio, 1999）或延伸至描述統計素養（statistical literacy）及金融素養（financial literacy） （Geiger, Goos, & Forgasz, 2015）。這些用詞都因各自發展脈絡及強調的重點不同，而發展出 不同的英文名詞。然而，這些用詞的背後都具有下列特徵：一、強調數學的應用性；二、著 重與現實生活的連結性；三、與社會文化或人與人之間的互動有密切關係。換句話說，數學

32 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 不應該只是學校裡的一個科目，而是要讓它自然展現及應用於每個人的生活中。 在中文用詞中，「素養」是一種理念，是為了發展為一個健全的個體能因應不同的生活 情境所需具備的知識、能力與態度（蔡清田，2011）。在結合數學的脈絡下，這與本研究所 探討的「數學素養」理念相近，為了方便描述起見，本研究使用「數學素養」（mathematical literacy）一詞來概括上述的概念，以能表達更廣泛、更具代表性的意義。因有很多不同的用 詞都在闡釋數學素養，使得在目前的文獻中尚未有統一的定義，但評析其描述可大致總結其 意涵如下：

一、數學素養強調在生活中的建模過程

Ojose（2011）認為數學素養就是能從日常生活中辨別及應用基本數學的相關知識，但它 的本質不單是執行解題程序，而是以知識為基礎，有能力及信心地應用這些知識到真實生活 中。從評量的觀點，PISA 關注於學生在不同的情境中提出、形成、解決及解釋問題的分析、 推理、溝通等能力（OECD, 2016），並配合源自於生活的數學問題，轉化為數學問題後可以 得到解決的方法，由此提供證據來對真實生活問題做解釋和評估，即類似於數學的建模活動， 但更強調數學化（mathematisation）的過程。雖然 PISA 強調真實生活中的建模過程，但也關 注學生一些非認知面向（如學生及學校的狀況、社經背景、動機、興趣等）的表現（OECD, 2016），因此，de Lange（2006）認為個體能提出、形成及解決真實生活與數學世界的問題， 以及他們的態度及信念等元素都應該是數學素養所涵蓋的範圍。

二、數學素養強調處理與數字相關的議題

在眾多的數學領域中，數與量及統計在生活中主要都是以數字或數據呈現的數學。OECD （ 2012 ） 在 國 際 成 人 技 能 調 查 （ Programme for the International Assessment of Adult Competencies, PIAAC）中，就以“numeracy”代表在科技環境中以數學解決問題的能力，其重 點是在成人的生活情境或活動中，有關存取、使用、解釋及溝通數學資訊及想法的能力，因 此，“numeracy”是素養而非數學的一種形式（Barwell, 2004），並強調與其他能力的結合使用。 如同 D’Ambrosio（1999）強調讀寫能力、數學素養及科技素養是現代教育系統中三個核心的 學科，其中數學素養較強調當中的數學思維及價值，以作為解釋、理解、處理真實生活問題 的重要工具，同時也是科技素養的本質。 統計是一個工具，主要用於蒐集、彙整、解釋、推論，甚至預測社會經濟現象及自然現 象有關數量方面的資料（吳冬友、楊玉坤，2005），其中因包括數學資料的客觀分析及推論， 因而被歸類為數學的相關領域。統計素養主要是指個體對統計資料、隨機現象或與數據有關 論點的處理、解釋及批判能力（Gal, 2004），這樣的能力將不只需要統計相關的技巧、程序及 運算，還強調個體對現況的理解與解讀，以及統計推理及思維的培養（delMas, 2002）。在這 樣的脈絡下，除了幫助溝通、分析、使用表徵等相關知識外，個體的批判立場、信念及態度

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 33 都是形成統計素養的重要元素（Gal, 2004）。

三、數學素養強調在各種數學實踐中所需要的能力

Niss（2003）認為數學素養是在數學內及數學外的脈絡中皆能理解、判斷、執行和使用數 學的能力，並將這些能力識別及區分化為兩組，一組用於提問及回答與數學相關及能使用數 學解決的問題，另一組則描述處理數學語言及工具的能力。這些能力除了高度相關外，它們 各自都具備分析性（analytical）及生產性（productive）的雙重本質。分析性觀點強調在理解、 解釋、評估數學現象與過程；而生產性觀點則著重在執行過程的主動建構，這樣的雙重觀點 更廣泛地說明數學素養不只是強調將數學應用於現實生活中，而是在所有數學表現形式相關 的數學實踐（Niss, Bruder, Plannas, Turner, & Villa-Ochoa, 2016），也是 PISA 中評量學生基本數 學能力的主要參考（Niss, 2015）。正因為數學素養概括所有與數學或學習數學的相關活動，因 此，除了這些與解決問題高度相關的能力外，個體的信念、價值觀也與數學學習有著不可分 割的關係，能夠習慣視數學為有意義、有用、有價值的工具將有助於成功學習數學（National Research Council [NRC], 2001）。

參、數學素養的構成要素

雖然目前文獻上對數學素養的意涵尚未有統一的定義，但透過分析其成分或構成要素應 可加深對數學素養的理解。若以處理與數學相關問題的觀點來看，Niss（2003）認為掌握數學 思維模式（mathematical thinking）、提出及解決數學問題（problem tackling）、分析及建立數學 模型（modelling）、數學推理（reasoning）、表徵數學物件及情況（representing）、處理數學符 號及演繹方法（symbol and formalism）、使用數學進行溝通（communicating）及工具使用（aids and tools）是八個形成數學素養的要素。這些要素並非只是對數學思維、表徵、建模等表面的 意涵，而一般化、抽象化、創造力等同樣重要的能力則處於較高的層次，個體將藉著能處理 部分或這八個要素的能力從而建構，這八個要素是密切相關但又各自能從其他要素中區辨出 來。若以學習數學的觀點來看，數學概念、過程、技巧、態度、後設認知都是問題解決中不 可缺少的能力（Ministry of Education, 2012, p. 14），這樣的觀點類似五股數學力（NRC, 2001） 所提出概念的理解（conceptual understanding）、程序的流暢（procedural fluency）、擬訂策略 的能力（strategic competence）、適性的推論（adaptive reasoning）及建設性的傾向（productive disposition），從數學的本質來說明學生在數學學習中需要具備的內容。因此，Yore、Pimm 與 Tuan（2007）認為數學素養應由基礎（fundamental）及延伸（derived）兩層互動的含義所組 成，基礎含義與上述提及的要素或能力類似，代表這些基礎涵義是數學素養的必備能力，再 延伸及應用至理解各領域的數學知識、數學本質、問題解決或現實生活問題中。

34 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 法，即教學的具體參考方向。這些能力都必須基於以數學知識為基礎，運用知識做推理、邏 輯思考及擬訂策略以解決數學外與內的問題，說明個人的觀感及對事情做批判思考，並配合 積極正向的態度及價值觀，從而培養終身學習的認知及技能，以解決急速變遷的社會中所遭 遇的問題與挑戰。因此，本研究嘗試從數學「知」識、應「用」數學的相關技能、以數學「觀」 感表達看法，以及培養「學」習能力四個面向（左台益等，2015）出發，探討以數學素養為 導向的教材設計。

一、知（knowledge）

數學知識是數學素養的核心及必要前提，數學素養必須在處理數學相關活動時才能發展 及運用（Niss, 2003）。如同 PISA 在評量學生的數學素養時，也將不同的數學知識（數與量、 空間與形狀、改變與關係、不確定性）作為命題的重要維度之一（OECD, 2016）。從課綱的發 展也可看出，1993 年、1994 年公布之國民小學、國民中學課程標準中，數學領域之教學重心 較偏重知識的學習，而九年一貫課程綱要則著重能力的展現，非只重視知識的獲得（李坤崇， 2002），至十二年國民基本教育課程綱要更以素養為發展核心。雖然知識不再是唯一重點，但 卻是不變的基礎。個體為了能理解、溝通、應用更多數學相關概念，數學知識必然是發展數 學素養的核心。

二、用（application）

數學是具有系統性的科學，具備邏輯性及抽象性是其重要的特徵，並以特定的數學符號、 語言、表徵、思維、推理方式等展現出來。例如，PISA 將問題以數學式表示問題（formulate）、 應用數學知識解決問題（employ）、將數學結果解釋於脈絡情境（interpret），以及評估該結果 對問題解決的可行性（evaluate）之解題過程，訂為評量架構的核心內容（OECD, 2016），這 些問題都以不同程度的溝通、數學化、表徵、策略擬訂、符號使用、推理等能力來評估學生 對數學的應用（Turner, Blum, & Niss, 2015）。此外，隨著科技工具的發展，學習適當使用工具 輔助解決問題的能力日趨重要，尤其科技工具可將數學概念視覺化、資料整理及分析，從而 幫助學生有效探索、推理、判斷及反思問題（教育部，2013），這些運用數學知識、技能、工 具及思維既是展現數學的常見途徑，也是培養數學素養時不能忽略的重要目標。這些對數學 概念及程序的理解、推理、一般化等是建構高等數學知識的基礎，數學素養的發展必須同時 顧及廣度與深度的面向，以解決數學外與內的相關問題。更進一步地，面對各種生活資訊時 能以數學的方法和思維做整理及解決，在現實生活及數學世界皆能自然展現應有的素養。

三、觀（disposition）

PISA雖以建模為核心，但學生除在填答數學問題外，也要填寫有關他們對數學的興趣及 從事數學學習的意願問卷（OECD, 2016），藉著學生的自我感受，分析學生對數學的態度與評

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 35 量結果之間的關係。這說明除了數學知識及其應用外，情意因素也與數學表現有密切的關係。 如同五股數學力（NRC, 2001）所強調的，若沒有對數學持有建設性的傾向，即認同數學的實 用性及價值，則無法讓各種知識及技能有充分的發揮及支持。林福來、單維彰、李源順與鄭章 華（2013）在《十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研究》中也指出，「知」、「行」、 「識」能分別詮釋十二年國教數學課程的內涵，其中「識」就是對數學的內在認知與情意涵 養，包括明白對數學概念和推理思維的理解、認同連結數學與生活的重要性、能賞析數學的 美等都是以正向態度學習數學的潛在要素。數學的觀感除了透過個人信念表達對數學的看法 外，還可藉由個人以數學的觀點來解釋、評估與批判問題，如分析及比較各種商品的優惠方 案，並透過與他人溝通中呈現個人的解讀及評斷（Niss, Blum, & Galbraith, 2007）。這些基於數 學知識來表達對事物的看法、判斷及評估都是面對生活問題及解讀資訊時必須具備的能力， 是數學與生活的主要連結之一。反之，透過這樣的連結將引領個體感知數學的有用性及重要 性，從而建立正向的學習態度及價值觀，並能賞析數學的美。因此，從認知面以數學的方式 表達對問題的個人觀點，或從情意面所表達對數學的觀感，都是數學素養的重要構成要素。

四、學（learning）

獲取和應用各種數學知識以及對數學的觀感並非與生俱來的，因此，掌握各種有效的學 習策略也是培養數學素養時不能忽略的要素，而學習如何學習更是二十一世紀生活中必要的 技巧之一（Weinstein, 1996）。當數學素養成為一個有反思能力公民（教育部，2013；OECD, 2016）不可或缺的元素時，數學知識、應用能力、思維方式將成為發展終身學習的重要資源。 例如，在動態環境下的概念工具及其產生的動態表徵能迫使使用者激發出數學想法（左台益， 2012），這種人與資訊科技的互動方式，藉著數學作為共同的溝通語言，從人機主從關係可能 轉化為雙方各自具適性回應的雙向互動關係，也因此掌握這些工具的本質及使用限制，將成 為發展數學素養時的基本能力。另一方面，藉由對數學的認知及後設認知反思能力，因應時 代的變遷，以適當的（科技）工具輔助獲取新知識，如大數據的使用，以察覺趨勢的評估及 制定策略。另外，透過數學的學習所發展的溝通能力（讀、寫、說等）也是二十一世紀推動 社會發展及互動的重要能力之一，溝通能力通常有兩個面向，一是與理解和解釋文字的（數 學）內容有關，二是能夠適當地將自己的（數學）想法表達出來（Niss & Højgaard, 2011）。數 學將成為強化溝通能力的重要工具，例如，數學幫助我們以建模方式解決問題，過程中除了 能對模型的可用性及相關性做出評估外，也應該能與其他可能的模型進行比較和分析，並結 合數學知識以監控和管理整個建模的過程（Niss & Højgaard, 2011），從而與其他人討論及評估 問題解決方案的可行性。這些有關個人思維的知識以及監控個人理解和問題解決活動的後設 認知能力，與善用各種解題策略及適性的推論有密切的關聯（NRC, 2001），也在概念的理解 及程序的流暢扮演重要的輔助角色，學習者如果無法學會監控和調整自己的學習過程，知識 基模將無法完整地建構，也無法將學習經驗轉化以幫助新知識的學習，影響正確學習方法的

36 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 建立。因此，以教學的觀點而言，能夠培養溝通能力、自我反思、掌握不同學習方法等增強 自我學習能力，從而藉由終身學習以適應社會變遷的方法，皆是發展數學素養的重要內涵。 上述「知」、「用」、「觀」、「學」都是數學素養的構成要素，它們既表達素養要素的意涵， 也說明素養要素的屬性。意涵面向表示這些要素的基本意義，藉此探討不同要素的組合所發 展之數學素養；屬性面向表示這些要素能獨立呈現但彼此之間有密切的關係，藉此說明數學 素養可能展現的路徑。Jablonka（2003）認為在社會互動或交流時，將同時內含或外顯地促進 數學素養的概念發展。例如，著名的柯尼斯堡七橋（Seven Bridges of Konigsberg）問題是一個 基於現實生活中的問題，數學家把實際問題抽象為平面上點與線的組合，即將真實世界的問 題理想化為數學模式，再轉化為一筆畫的圖論模式，這樣的過程除了體現數學建模歷程（左 台益、胡政德，2009），也奠定了圖論系統的理論基礎，後續相關理論也在現實生活（如地圖 著色、電信網路、人工智慧等）中廣泛被利用。由此可見，數學問題與生活問題是相互影響 的一種發展機制，數學問題常源自於生活，以數學方法解決特定生活問題後，相關的數學方 法又能被推廣應用至其他領域，以解決更多的生活問題。 因此，數學素養並不只體現在解決數學問題，對現實生活中的現象也要能以數學的角度 去詮譯及探討；反言之，數學素養並不只是為了解決生活問題，理解數學問題中所需要的數 學思維、推理論證、邏輯思考等，全部都是能夠展現數學素養的重要途徑。而在數學素養的 構成要素「知」、「用」、「觀」、「學」中，數學「知」識是素養的基礎，但無法單從數學知識 展現數學素養，因此位於數學素養構念的核心，如圖 1 所示。而「用」、「觀」、「學」都分別 以外顯及內含兩個面向來展現，外顯面向是指透過明確與數學相關的活動表現出來，內含面 向則是個體自身對數學的理解從而應用、價值觀及後設認知反思等。前者是受數學實踐觸發 並完成任務，後者則是個體自己觸發內在的信念，從而使用數學的知識、方法、思維等來解 決問題。 圖1. 數學素養構成要素之構念 外顯面向 內含面向 面向間相互發展 數學素養的展現

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 37 上述構念是發展數學素養教材的方式，其他相關的數學概念、技巧、語言、推理、思維、 態度、後設認知等則是教學的目標，透過上述方法設計教材達成。然而，以數學素養為導向 的教材設計並沒有一定的發展順序。圖 2 是一道發展數學素養的參考問題，主要是將算術平 均數的概念應用至日常生活中。若依照問題內容來分析，它是從應「用」的面向切入，藉由 學生對算術平均數的「知」識，回答日常生活中以平均的概念描述的問題，並使用數學語言， 對事情的合理性進行批判，與此同時，學生必須學習閱讀理解及溝通的能力，這些都是培養 學生參與社會活動及終身學習的重要技能。教學設計還可以配合小組討論，探討面對車輛低 乘載所造成的問題，讓學生以數學的思維與方式說明可能的問題（如耗油量、污染物排放的 數據等）及解決方案等。藉由類似的教學活動，促動學生以數學方式說明個人「觀」點或見 解，瞭解學習數學對解決生活問題的有用性，一方面強化對數學的價值，另一方面發展有助 「學」習解決問題的思維及方法，以幫助解決個人在生活或社會上所遭遇的問題。

圖2. 知、用、觀、學問題設計例舉。譯自“Development of Mathematical Literacy: Results of an Empirical Study,” by G. Kaiser and T. Willander, 2005, Teaching Mathematics and Its Applications, 24(2-3), p. 58。

肆、教材活動設計概念及其應用

教材是實現教與學的重要工具及評鑑教學成效的內容依據，它是各個參與者（如教師、 學生、研究者等）之間持續不斷地對話、實踐和省思的動態變化過程（范信賢，2001）。教 材設計一般兼備所需習得的知識、習得知識的工具及方法，以及知識的呈現方式三個層面。 所需習得的知識與學校內容有關，如數學教材的知識就需要兼具過程及概念雙重性質（Sfard, 1991），並藉由符號、表徵、邏輯語言、推理來呈現。習得知識的工具及方法則需配合知識 的發展脈絡，如利用動態幾何軟體設計活動供學生探索幾何問題（Stahl & The VMT Project Team, 2013）或學習數學閱讀的策略（Metsisto, 2005），都是幫助學生獲取知識和技能的重要 策略。然而，數學都是抽象化的物件，學習者容易被表徵的物件及表徵本身混淆（Fischbein, 你是否知道（……）在繁忙時段平均一輛汽車只乘載1.2人？ 問題1： 上述句子的意思是什麼？請詳細解釋。 問題2： 在控制下，有10輛汽車的載客數量達到上述的平均。請問有多少人乘坐在這些汽車中？ 請列出所有可能性。 問題3： 在某公路上數得40輛經過的車輛中，其中有39輛都只載有1位乘客。這40輛車輛中並沒 有小型巴士。有人告訴你說平均有1.2人坐在這些車輛中，請問這是否可能？並對你的 答案給予解釋。

38 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 1993），而多元表徵的特性也讓表徵之間的轉移及轉換不易掌握（Duval, 2006）。因此，考慮 教材活動中如何呈現知識將是需要關注的重點之一，如考慮將複雜的資訊按運算的程序做適 當的切割或獨立處理（Ayres, 2006），是降低程序運算複雜度的常見方法之一，而對數學概念 部分做有效切割，則需進一步探討學習者對相關概念的認知發展過程。 由於知識是發展數學素養的核心，因此知識基模的建構非常重要。源自 Piaget 對數學學 習所提出反思抽象（reflective abstraction）的認知發展過程，Dubinsky 於 1980 年代開始，探 討個體在學習特定數學概念時心智中的發展模型而提出 APOS 理論（Arnon et al., 2014），從而 掌握數學的本體，以數學物件的起源分解（genetic decomposition）來呈現其發展過程，作為 有效教學的基礎。Dubinsky 認為概念基模（schema）的建立與發展過程是經由在舊物件 （object）上的行動（action），從外在的引導內化（interiorization）為心智中的過程（process）， 配合概念的調和（coordination）及逆轉（reversal）等機制也能順利完成後，所有相關概念已 逐漸被視為一個整體，並把概念膠囊化（encapsulation）為新物件。此時個體也能將物件做解 膠囊化（de-encapsulation），從而與其他相關概念做調和再形成其他物件，直到對相關概念完 全掌握而成為知識的基模（如圖 3 所示）。 圖3. APOS理論的心智結構及機制。粗體字代表APOS理論中的心智結構，斜體字則代表其機 制。譯自APOS Theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education (p. 18), by I. Arnon, J. Cottrill, E. Dubinsky, A. Oktaç, S. Roa Fuentes, M. Trigueros, and K. Weller, 2014. New York, NY: Springer。

Dubinsky 針對特定的數學概念，將其複雜結構以 APOS 理論為策略，提供對複雜數學概 念分割為行動、過程、物件等階段的依據外，也描述了概念建構的可能學習軌道（Arnon et al., 2014）。APOS 理論的研究雖較多應用於探討高等數學概念的學習（Dubinsky & McDonald,

基模 行動 物件 過程 內化 膠囊化 解膠囊化 調和 逆轉

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 39 2001），如向量空間（Parraguez & Oktaç, 2010）、導數（Maharaj, 2013）、循環小數（Weller, Arnon, & Dubinsky, 2009）等，但這些研究結果說明，對數學概念進行仔細的分析及切割，能 有效提供教學設計的依據和分析，對抽象且複雜的概念建構有正向的幫助。因為 APOS 理論 有助於將概念分解為可操作的細小部分，並對基模各個心智結構之間的關係給予詳盡明確的 描述，這樣的過程稱為一個概念的起源分解，它是為了描述學習一個特定的數學概念時，對 其認知發展與運作機制做更深入地描述分析而提出的一個假設性模型，在有關 APOS 的研究 與課程發展中，經常作為分析個體學習歷程的主要工具及學習理論之一。圖 4 以三角測量概 念為例，說明起源分解的基本想法，配合適當的課堂活動、同儕討論和練習等設計，提供發 展數學素養導向教材的參考。 圖4. 概念「三角測量」之起源分解 設計教學活動時需先從「行動」作為概念發展的第一步，它必須作用在學習者能理解的 等量性質 調和 膠囊化 數學解答 調和 列關係式 理解情境 描述的意涵 過程： 抽象為情境 的幾何圖示 解釋答案的合理性 描繪情境之 幾何圖示 生活情境 經驗 三角函數 概念基模 解方程式 基模

40 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 物件上，此時「行動」中每個步驟都必須有明確的指引（如教師的教學指引、運算法則、工 具的操弄等）。例如，在學習三角測量問題時，學習者必須配合個人的生活經驗，逐步瞭解文 字所描述的情境，這就是學習三角測量時的「行動」之一。當學生對概念做重複的「行動」， 並對這些「行動」進行反思，慢慢將原來需要透過指引進行的步驟轉為心智活動時，學習者 已進入相關概念的「過程」階段，而這樣從行動到過程的機制即稱為內化，此時學習者已有 能力不需要逐步地處理這個概念，可以略過一些步驟甚至可以做逆轉處理。例如，學習者藉 由與生活經驗的連結，漸漸能將三角測量應用問題中的情境抽象轉為幾何圖示，就是進入概 念的「過程」階段。當學習者能進一步地將概念視為一個整體，即原來在過程中的動態操作 視為一個狀態結構，而這個整體觀念又可被另一個概念所操作使用，以產生更多的行動，此 時學習者已進入相關概念的「物件」階段，而從過程到物件的機制稱為膠囊化。例如，學習 者已掌握三角測量應用問題中的整個描述內容，並能正確描繪出相對的幾何圖示時，就是進 入相關概念的「物件」階段。此時新形成之數學物件再與各心智中其他物件連結，逐步發展 成概念的「基模」，基模具有動態的結構，將透過不同的數學活動來持續建構，而基模的連貫 性（coherence）決定於學習者是否能將此概念自然地應用至合適的數學情境中。基模是由若 干行動、過程、物件及其他基模所形成的一個具連貫性的結構。因此，學習者還需要有能力 將物件轉換為過程的解膠囊化，且能將兩個或以上的過程做調和來幫助形成新的物件，以及 對過程進行逆轉操作，以鞏固概念的基模結構。 數學素養既能表現於解決數學世界的問題，亦能流露於現實世界的具體情境，只是現實 世界的問題需要透過知覺轉譯，將之轉化為數學表徵，以數學語言表示，接著藉由數學知識 的應用而得到數學結果，再投入個人的觀點對結果做詮釋情境意義，並以現實世界的情況作 為分析評估的考量，從而在解決問題上嶄露個人的數學素養。圖 5 說明上述過程的教材設計 概念，借助 APOS 理論所形成的學習模組，對概念的切割及分析以提供素養導向教材活動設 計之基礎。此概念圖是數學素養導向教材設計的基本架構，它除了說明問題解決的一般過程 外，還具備以下特徵：

一、是一個統合素養構成要素的學習迴圈

利用數學幫助解決現實世界問題的過程類似於建模過程（OECD, 2016）。將現實世界問題 轉化為數學問題是一種數學化（mathematizing）的過程，其中需配合學習者的數學知識、閱讀 理解等能力轉譯為數學語言來表示情境中的相關元素，過程中需要使用數學「知」識以求得 數學結果，也是應「用」數學知識的一種途徑，如在三角測量問題中必須解讀情境意義並轉 化為三角函數的相關數學式子，這個數學化的過程就是將三角函數的知識應用到解決現實問 題中；當使用三角函數概念求得解答時，學習者必須以個人的「觀」點對情境意義做合理的 詮譯，如三角測量透過餘弦函數求角度時，由負值所產生的鈍角需要考慮情境意義來確定

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 41 圖5. 數學素養導向教材設計概念 是否合適；最後對合乎情境意義的解答對狀況進行評估，確認是否為合適的解決問題方案， 否則重新評估已知條件及可能的取代方案，透過這樣的迴圈「學」習解決問題的過程及策略。

二、可從任意節點啟動及結束

教材設計概念並非必須包含整個學習迴圈的節點或過程，例如，活動設計從給定統計圖 表開始，學習者就個人的統計知識，對情境中的限制來解讀圖表的趨勢，就目前遭遇的問題 提出可行的解決方案，透過同儕間相互討論及批判，從而培養以數學觀感看待事物的重要性 及價值；或根據討論的結果，給予學習者對現實生活問題重新設計蒐集資料的方式解決問題， 以及提出新探究方向及解決方法的學習機會。

三、可在單一或部分節點強化素養構成要素之內涵和技能

從現實問題轉化為數學問題時，可強化溝通的技能及閱讀理解的能力。在數學世界中表 達想法時，數學表徵及語言的使用是重要的工具。在解決數學問題時，數學的思維、分析及 建構數學模型、數學推理及工具的使用都是展現素養的重要技能。在評估及分析數學結果與 情境意義之關係時，解讀數學語言，並以自然語言做詮譯是社會互動中的重要溝通工具。因 此，教學活動可根據所培養的學習目標，選擇適當的節點作為活動設計的背景，提供學習者 現實世界 具體情境 生活語言 數學世界 數學表徵 數學語言 情境意義 數學結果 APOS 學習模組 分析評估、知識化 知識應用、程序化 知覺轉譯、數學化 觀點詮釋、情境化

42 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 習得不同素養要素的學習機會。

四、以 APOS 學習模組支持各個過程中的活動設計

一個數學概念通常由多個已膠囊化的物件所組成，處理學習迴圈中的各個環節都可考慮 以 APOS 理論作為活動設計的依據。例如，在三角測量中學習者需先對測量術語的意涵及圖 示有一定的認識和理解，才能進一步解讀題意從而解決問題。因此，在活動設計中可讓學習 者描述生活中相關測量術語的對應情況，讓他們心智中能想像更多類似的情境後，逐步抽象 轉為術語的幾何圖示，可透過類比、對照的方式讓學習者掌握術語的意涵及幾何圖示，這些 測量術語物件將作為形成描繪情境圖示之行動所作用的物件，經過一層一層的學習，最終習 得三角測量的相關概念（如圖 6 所示）。 圖6. 三角測量概念中測量術語之APOS學習模組

伍、數學素養導向之教材設計例舉

數學知識源自於生活，再發展至抽象的思維層次，例如，因地形、地物所限，並考慮測 量的方便性及減少誤差，使用有關三角形之邊角關係來解決測量的相關問題。而知識在課堂 教學的脈絡中，數學教材設計應讓學習者知覺數學與生活的連結及其可用性（黃幸美，2005）。 Borovik與 Gardiner（2006）認為一道好的數學問題，對學生來說應要具備能被理解、幫助思 維及技巧的發展、展現數學觀點及延伸更多探索層次等特性。因此，設計與學生經驗及其可 體會的生活問題是素養導向之數學教材的主要背景，具探究及討論性的議題是設計的主要原 則。以下將以三角測量、勾股定理證明、十字交乘法的概念為例，說明數學素養導向之教材 膠囊化： 掌握術語的意涵及幾何圖示 內化： 舊物件： 測量術語的 基本詞意 新物件： 測量術語 （仰俯角、方位等） 行動： 描述生活中相關 術語的對應情況 在心智中能想像更多類似的情境 過程： 抽象轉為術語 的幾何圖示

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 43 設計。

一、三角測量活動設計

活動設計可由測量物體的高度、長度等在土地及航海測量、天文觀測等生活題材進行討 論。換句話說，教學應著重解決問題的技巧而非應用三角測量解題。例如，可從西方最早記 載測量金字塔的高度為引入，測量方法是泰利斯（Thales）利用相似三角形的概念所得（洪誌 陽、洪萬生，2010）。教師可從提問如何測量學生的身高開始，到教室的高度、學校建築物 的高度、學校旗杆的高度等，讓學生提出個人的想法並與他人討論其可行性。其目的在於引 出當被測量物體愈來愈巨大，已無法利用一般的測量工具測得時，期待學生透過討論提出可 行方案，一方面檢視學生的先備知識，另一方面學習判斷真實情況中哪些屬於可被測量的量。 從上述活動中，歸納古代解題方法主要是以邊長關係為主，此測量的技術發展還沒有成 熟，易造成測量結果有嚴重的誤差。教師可用實際例子以正弦、餘弦或正切計算直角三角形 未知邊長的差異，讓學生感受當距離值愈大時差異的變化。接著，介紹角度的測量工具，從 量角器到國小自然與生活科技課本中介紹的高度角觀測器製作，以及現代行動工具中有很多 不同的應用程式，可透過行動工具的相機功能，把實物拍攝下來後即可得到相關物件的角度。 這些工具的使用方式都可簡單向學生做介紹，讓學生瞭解角度的測量在現代社會中已可容易 進行，並由此引出有關仰角、俯角、方位角等概念。除了請學生列舉更多在測量中應用到仰 角、俯角、方位角的例子，並以圖示說明相關情境外，也重新討論前述活動的測量方法。 活動一： 下圖說明古希臘幾何學家泰利斯因為看到這樣的情景而想出求得金字塔高度的方法（若有需 要，教師可對情境加以解釋或請同學來說明）。 （一） 請用幾何圖像表達上圖的情境。 （二） 試猜測泰利斯是用什麼方法求得金字塔的高度？ （三） 還有其他求金字塔高度的可行方案嗎？（註：據記載，泰利斯是觀察當他站在沙地上， 自己的影子與他等高時所構成的等腰直角三角形而求得金字塔的高度。）

44 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 由前述活動經驗，學生對測量問題的情境應有一定程度的理解，活動重點將進入情境轉 為幾何圖形表示。教師可參考三角測量的一般教材，改編 3～4 題較接近學生可接觸的生活經 驗情境，建議教師可先將三角測量問題的情境以實境照片或短片播放（如以空拍攝影機視角 所看到的實境）的方式呈現，配以口述或文字方式描述情境內容，讓學生以幾何圖形表示相 關情況。其中從不同角度觀測物體的三維圖形但需以二維方式表示的難度較大，建議給予學 生足夠時間學習及討論轉換情境表徵為圖像表徵時的關鍵，讓他們習慣回顧、反思或與同儕 討論學習中所遭遇的困難及學習重點，從而漸漸養成自我調節的學習方法。 此活動設計的重點在於解出與三角函數相關的問題，以及判斷解答在真實生活中的合理 性。問題設計可參考一般教材或參考書籍中的三角測量問題，題目選取主要讓學生可感知各 類解題方法。如果學生對解題方法（如兩式相除或平方的技巧）未能掌握，教師可先做示範， 但保留足夠的討論及思考空間歸納解法及對解答合理性的判斷。 活動二： （一）在日常生活中，有哪些物體或建築物的高度或長度需要以仰角（或俯角）測量的呢？請 以幾何圖示表達相關的情境（包括待測量的物體、可幫助求得待測量物體的其他資訊 等）。 （二） 當我們手上有可使用的工具測量物體的仰角或俯角時，金字塔的高度又可以什麼方法量 測呢？ （三） （參考「海島算經」中以重差術求海島的高度以及海島與測量點間距離的問題）海島的 高度及觀察點與海島的距離也可用類似測量金字塔的方法求得嗎？為什麼？若觀察點 為大海上的船隻（可能無法確切找到在同一直線上的觀察點），還有哪些測量的建議方 案？ 活動三： （一） 根據（……）的內容，請以幾何圖示（包括圖像及標示已知量）表達上述情境。 （二） 在繪畫上述圖形中有沒有遇到什麼困難？或有什麼值得注意的要點可與其他同學分享。 活動四： （一） 根據（……）的問題，請列出情境中的關係式並討論解題方法。 （二） 針對有關三角函數的方程式，有哪些主要的解題方法？ （三） 在三角測量的問題中，有哪些利用三角函數概念找到的解答可能與真實情境不符？為什 麼？

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 45 上述活動是以三角函數的相關概念作為發展數學素養的知識基礎，藉由三角測量的主 題，理解數學是常被應「用」於生活中解決問題。其中分析及歸納解題的技巧，是鞏固數學 「知」識的重要方法之一，當掌握相關知識後，就能以數學的「觀」點來提出對問題的看法 及判斷解決問題方法之合理性及可行性，「學」習更多的知識及策略幫助解決問題外，也發展 數學思維、方法及態度以面對其他生活的問題及挑戰。另外，上述活動適合透過同儕相互討 論的方式進行，讓學生在社會互動中提出個人想法，也懂得分析別人的觀點來探討問題的解 決方式，有助於自我調整及反思，從而建立對數學的正向「觀」感及「學」習方法，以利後 續學習的進行。

二、畢氏定理證明活動設計

活動設計可由畢氏定理（Pythagorean theorem）的歷史、畢氏定理日等內容做引用。1_其目 的除了介紹畢氏定理的內容外，還要對直角三角形的定義及各邊的名稱有一個初步的體會。 接著讓學生回顧在過去的學習中，平方運算的使用時機，藉此回顧正方形面積公式，以幫助理 解證明內容的重要意涵。2 從上述活動的過程中，讓學生對直角三角形兩直角邊上的正方形面積之和等於斜邊上正 方形面積之和。接著在同樣的底圖上，教師準備一個兩直角邊的邊長均為 2 個單位長的直角 三角形，連同直角三角形三邊上的正方形的圖形，請學生以剪拼的方式，感受圖形透過適當 的切割，可以說明面積相等的道理。 1 _{畢氏定理日是由年（最後兩位數字）、月、日三個數字，組成「畢氏三數組」的日子。} 2 _{參考自張幼賢（2016, p. 94）。} 活動一： 相傳畢達哥拉斯（Pythagoras）在參加某次宴會中，發現餐廳地板是如下圖的正方形大理石地 磚，藉著觀察這些圖形之間的關係而發現畢氏定理的。2 （一） 你知道畢達哥拉斯看到圖形之間有什麼特別之處嗎？ （二） 上圖有很多小的直角三角形，選取其中一個並畫出它三邊上的正方形。 （三） 與同學討論看看，你看到這些正方形之間有什麼關係嗎？

46 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 透過同儕之間的討論，強化畢氏定理使用範圍的印象，教師可透過多媒體工具，展示非 等腰的直角三角形三邊上的正方形，經過適當的切割重組，也可說明畢氏定理的正確性。教 師先設計一個任意的直角三角形，其三邊長分別為 a、b、c，讓學生在觀看完影片或動畫後， 回顧一下剛剛看到的切割方式，此時可邀請數位學生與全班分享想法，重點在於引出這樣的 切割方式不易找到，因此教師介紹其他畢氏定理的證明方法。 畢氏定理的證明方法有非常多，教師可再讓學生完成使用不同圖形的面積方法證明畢氏 定理，以加深對證明方法的理解。後續可請學生透過網路尋找更多畢氏定理的證明方法，並 向同學說明方法的內容。當學生都掌握畢氏定理的證明後，再設計畢氏定理的應用問題，如 行動電話螢幕的大小計算、不同品牌行動電話的邊框大小比較等。而上述活動主要是發展數 學論證的概念，先透過動手操作感知畢氏定理的內涵，藉著圖形切割重組後面積不變，利用 正方形及三角形面積的計算，引出特殊到一般的推理「觀」點，它是數學「學」習的重要基 礎，也是發展數學素養的要素之一。 活動二： （一） 請把兩個小正方形用剪刀剪下來，並嘗試將這兩個小正方形做適當的切割，說明它們的 面積之和與大正方形面積相同。 （二） 與同學比較看看，你們的切割方式是否相同？ （三） 你相信所有的直角三角形都有這樣的性質嗎？為什麼？ 活動三： 有人說只要利用下面兩個圖形就可以說明畢氏定理的正確性。圖中的正方形是分別以 a、b、c 為邊長，再外加四個底和高分別為 a、b的直角三角形所拼成的。 （一） 這兩個圖整體看來是什麼圖形？你如何確定？ （二） 右圖的外圍由四個一樣的直角三角形組成，為什麼這樣的組成方式可以確認中間的部分 是一個以c為邊長的正方形？ （三） 由此，你可以說明畢氏定理的正確性嗎？ （四） 有人說即使只使用右圖，也可以說明畢氏定理，你知道如何做到嗎？試寫出右圖中各圖 形的面積後再與同學討論看看。

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 47

6

1

0

1

0

−

12

₁

0

1

0

1

0

1

0

−6

5

1

0

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0

4

3

三、十字交乘法活動設計

十字交乘法的運算法則屬程序性知識，或許較難直接與現實生活連結。因此，建議以（數 位）遊戲方式，引領學生從遊戲中學習數學的法則。遊戲設計以密碼解鎖為背景，要知道解鎖 的規則才能通關，若在數位環境下，可讓學生自行探索過關的遊戲規則（Chiou & Tso, 2013）。

接著，將關卡版面設計為十字交乘法的直式形式，將直式中的十字交乘符號設為通關手 勢，藉著前面活動的經驗，類推到十字交乘法的運算法則上，讓學生在嘗試錯誤法中體會相 關的運算法則。 活動一： 注意數字後的符號提示，通過下列關卡（題數可依實際需要而設計）。 【說明】 左邊的數字為通關密碼的提示，右邊的數字為透過滑動依序產生的數碼，可以讓學生 選取他們認為適合的數字用以通關。 活動二： 注意數字後的符號提示，通過下列關卡（題數可依實際需要而設計）。 + 4x + 3

48 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 透過遊戲體會相關運算法則後，教師回顧因式展開的法則，並與因式分解做一比對，讓 學生掌握十字交乘法的原理。 以素養為導向的數學教材活動設計，主要是讓學習者理解數學是常被應「用」於生活中， 是解決和思考問題的重要工具。當掌握相關「知」識後，就能以數學的「觀」點來提出對問 題的看法及判斷解決問題方法之合理性及可行性，「學」習更多的知識及策略幫助解決問題之 餘，也保持良好的學習態度以面對其他生活的問題及挑戰。透過對不同情境的重複行動，除 數學「知」識及其應「用」外，「學」會藉由後設反思自己的學習過程，根據自己的經驗及知 識進行判斷及提出「觀」點，由此「學」習使用數學與他人溝通的技巧，以及需要顧慮生活 問題的限制，從而體會知識的獲取能幫助提供更靈活的思維及解決方法。在往後遭遇到類似 的問題時，也可以提出更有利解決問題的「觀」點，並體會學習數學在生活中的有用性及價 值。然而，欣賞數學的有用性及重要性等「觀」感，以及培養終身學習的態度及能力，都不 是在單一學習活動中就能完整建構的。若設計者具備了這樣的理念，在每次的教學設計中都 有意地將「知」、「用」、「觀」、「學」這四個要素滲透到學習內容中，經過長期的發展後，這 種潛移默化的設計，相信對培養學習者的數學素養有一定的引導作用。

陸、討論與建議

合適的教材設計是培養學生數學素養的重要依據，本研究建議從數學素養的構成元素─ 「知」、「用」、「觀」、「學」發展以素養為導向的教材設計。其中，數學知識為素養發展的核 心，因此，需配合 APOS 理論對數學概念的適當切割，透過起源分解作為概念發展的參考路 徑，並配合活動、討論、練習的教學循環，發展可實踐的教材設計參考。而「用」、「觀」、「學」 都可能是數學素養的展現路徑，教學設計既要注重透過合適的數學活動，讓學生應用數學知 識、以數學觀點評判事情，以及學習數學思維與方法，同時也要關注學生內在價值觀、態度、 思維的建立，讓學生一方面洞察數學的重要性，從而更積極地學習數學；另一方面在面對生 活問題時，自然將數學知識應用出來，從而培養終身學習的能力，成為有數學素養的社會公 民。 然而，「知」、「用」、「觀」、「學」四個構成元素並非在所有教材設計中都占有同樣的比重， 活動三： （一） 請展開(x+3)(x+5)。 （二） 上述展開式中的四項x2_{、3x、5x、15與遊戲中通關方式有什麼關係？} （三） 試擬定形如ax2_{+bx+c的多項式問題，請同學進行因式分解。} （四） 試與同學討論能將形如ax2_{+bx+c的多項式做因式分解，有哪些限制及需要注意的地方。}

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 49 才能稱為以素養為導向的數學教材。由於知識是數學素養的核心要素，部分教學設計必須著 重數學物件及程序的發展，固化數學知識的基模後，才能進一步建構後續的數學概念（Sfard, 1991）。如同 APOS 理論中每個概念的建構都從行動開始，而行動必須作用於學習者心智中舊 有的物件上，因此，數學概念的習得將成為數學素養的重要基礎。例如，前述三角測量就必 須建構於三角函數的概念上，設計讓學生掌握三角函數性質的學習教材也是培養數學素養的 重要環節，否則過多要素同時呈現的教材設計，只會增加學生的認知負荷（Sweller, 1988）， 最後造成無法學習或放棄學習的不良結果。 本研究以三角測量為例，但由於篇幅所限，只針對教材設計的「知」、「用」、「觀」、「學」 如何安排做說明，其教學成效將有待進一步的探討。其中，評量工具的設計及選用將決定數 學素養的展現，除了重視統整學生學習經驗的多元評量方式（林素微，2000）外，「知」、 「用」、「觀」、「學」提供評量課堂教學成效之工具明確且具體的設計方向。PISA 試題從評量 的觀點設計評量學生素養的題目，就是屬於基於「知」識為基礎，以「用」及「觀」的外顯 面向展現學生的數學素養，未來評量架構的發展宜考慮評量「學」習策略的習得。至於構成 要素內含面向的評量，則需要以持續且長期的追縱方式，並提供跨領域平台或真實生活情境 為背景，發展適合的問卷或專題導向學習（project-based learning）的成效評估等，這些都是未 來研發數學素養的教與學之重要研究方向。 數學素養的培養是一種日積月累、循序漸進、潛移默化的過程，並非透過幾個數學活動 就能看到顯著的成果。如同在數學解題的過程中，學生即使知道如何使用後設認知反思及評 估判斷或解答的正確性，因為這並非解題過程的必要環節，他們會傾向跳過這樣的反思過程 （Pugalee, 2004）。可見對事物的認知與認同是存在落差的，因此，教學設計除了要考量學生 的認知發展，還必須讓他們感知各種學習的知識、技能、思維是具有其價值及背後的用途， 否則只知道怎麼做卻不懂為什麼要做將難以持續展現數學素養。教師、學生和教材是教學實 務中三個必備元素（Ball & Cohen, 1996），但學生的基礎知識、個人的學習態度等必定影響課 堂教學的成效，教學過程中教師必須扮演鼓勵學生保持正向態度的重要角色，教師如何看待 數學將會影響其教學實踐，最後也將影響不只學生所學的內容，亦將影響學生如何看待自己 是否能成為一個數學學習者（NRC, 2001）。因此，其他有關數學素養構成要素的應用及設計， 如教師教學知識及信念、學生的學習成效、動機、態度等議題將有待後續研究做討論及分析。 總而言之，數學素養是適應現代社會生活每一個人都必須具備的，只是要脫離傳統教學的框 架，還需要政策的配合及教師的認同，本研究提供構成要素作為發展相關教學之依據，期盼 能提供具體執行方向作為未來政策及教學的參考，以達到培養適應社會變遷的公民之教育願 景。

50 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆

誌謝

本研究為科技部專題研究計畫（MOST104-2511-S-003-005-MY3）的部分研究成果，特此 感謝科技部之補助。

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 51

參考文獻

一、中文文獻

左台益（2012）。動態幾何系統的概念工具。中等教育，63（4），6-15。doi:10.6249/SE.2012.63.4.01

【Tso, T.-Y. (2012). The conceptual tool in dynamic geometry system. Secondary Education, 63(4), 6-15. doi:10.6249/SE.2012.63.4.01】

左台益、胡政德（2009）。準教師從真實情境中建構數學模式的認知因素分析與機制。當代 教育研究季刊，17（4），61-101。doi:10.6151/CERQ.2009.1704.03

【Tso, T.-Y., & Hu, C.-T. (2009). Analyzing and understanding the cognitive factors and translation mechanisms of pre-service teachers in their processes of mathematical modeling. Contemporary Educational Research Quarterly, 17(4), 61-101. doi:10.6151/CERQ.2009.1704.03】

左台益、陳埩淑、林原宏、劉祥通、林素微、楊凱琳（2015）。提升臺灣 K-12 學生數學素養 之研究。科技部專題研究計畫（MOST104-2511-S-003-005-MY3）。臺北市：國立臺灣師 範大學數學系（所）。

【Tso, T.-Y., Chen, C.-S., Lin, Y.-H., Liu, S.-T., Lin S.-W., & Yang, K.-L. (2015). A study on enhancing mathematical literacy of K-12 students in Taiwan. Ministry of Science and Technology Research Project (MOST 104-2511-S-003-005-MY3). Taipei, Taiwan: Department of Mathematics, National Taiwan Normal University.】

余民寧、韓珮華（2009）。教學方式對數學學習興趣與數學成就之影響：以 TIMSS 2003 台灣 資料為例。測驗學刊，56（1），19-48。doi:10.7108/PT.200903.0019

【Yu, M.-N., & Han, P.-H. (2009). The influence of teaching methods on the mathematics learning interests and achievement: The case of TIMSS 2003 Taiwan data. Psychological Testing, 56(1), 19-48. doi:10.7108/PT. 200903.0019】

吳冬友、楊玉坤（2005）。統計學（第四版）。臺北市：五南。

【Wu, D.-Y., & Yang, Y.-K. (2005). Statistics-principles and methods (4th ed.). Taipei, Taiwan: Wu-Nan Book.】

李坤崇（2002）。國民中小學新舊課程銜接理念。取自 http://teach.eje.edu.tw/9CC/context/basic.php

【Li, K.-C. (2002). The concept of linking the new and old curriculum in elementary and middle schools. Retrieved from http://teach.eje.edu.tw/9CC/context/basic.php】

林素微（2000）。數學科評量的新願景：談多元評量。研習資訊，17（3），31-42。

【Lin, S.-W. (2000). The new vision of mathematics assessment: Discussion of multiple assessments. Study Information, 17(3), 31-42.】

林福來、單維彰、李源順、鄭章華（2013）。十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研 究。國家教育研究院「十二年國民基本教育領域綱要內容前導研究」整合型研究之子計 畫三（NAER-102-06-A-1-02-03-1-12）。新北市：國家教育研究院。

【Lin, F.-L., Shann, W.-C., Li, Y.-S., & Chang, C.-H. (2013). Pilot study report of mathematics curriculum guidelines of 12-year national basic education. The Integrated Research Subproject 3: “Pilot study report of mathematics curriculum guidelines of 12-year national basic education” by National Academy for Educational Research (NAER-102-06-A-1-02-03-1-12). New Taipei City, Taiwan: National Academy for Educational Research.】

洪誌陽、洪萬生（2010）。三角測量及其相關歷史。取自 http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/? p=16861

52 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆

【Hong, Z.-Y., & Horng, W.-S. (2010). Trigonometric measurement and its history. Retrieved from http:// highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=16861】

范信賢（2001）。「文本」：後現代思潮下對「教材」概念的省思。國教學報，13，171-185。

【Fan, H.-H. (2001). “Text”: Rethinking the concept of “material” in the postmodern. Journal of Elementary Education, 13, 171-185.】

國家教育研究院（2016）。十二年國民基本教育課程綱要（國民中小學暨普通型高級中等學 校）：數學領域（草案）。取自 http://www.naer.edu.tw/ezfiles/0/1000/attach/37/pta_10147_ 1655251_02807.pdf

【National Academy for Educational Research. (2016). 12-year national basic education curriculum guidelines (National elementary and junior high school and ordinary high school): Mathematics (draft). Retrieved from http://www.naer.edu.tw/ezfiles/0/1000/attach/37/pta_10147_1655251_02807.pdf】

張幼賢（主編）（2016）。國民中學數學（三版，第三冊，二上）。臺南市：翰林。

【Chang, Y.-H. (Ed.). (2016). Junior high school mathematics textbook (3rd ed., vol. 3, 2nd year 1st semester). Tainan, Taiwan: Han Lin.】

張毓仁、柯華葳、邱皓政、歐宗霖、溫福星（2011）。教師閱讀教學行為與學生閱讀態度和 閱讀能力自我評價對於閱讀成就之跨層次影響：以 PIRLS 2006 為例。教育科學研究期刊， 56（2），69-105。doi:10.3966/2073753X2011065602003

【Chang, Y.-J., Ko, H.-W., Chiou, H.-J., Ou, T.-L., & Wen, F.-H. (2011). The cross-level effects of teachers’ reading instruction, students’ reading attitude, and self-assessment in reading proficiency on students’ reading achievement: A multilevel study of PIRLS 2006. Journal of Research in Education Sciences, 56(2), 69-105. doi:10.3966/2073753X2011065602003】

教育部（2013）。教育部提升國民素養專案計畫報告書。臺北市：教育部提升國民素養專案辦 公室。

【Ministry of Education. (2013). Project report of Ministry of Education for improving citizen literacy. Taipei, Taiwan: Project Office of Improving Citizen Literacy, Ministry of Education.】

教育部（2014）。十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北市：作者。

【Ministry of Education. (2014). 12-year national basic education curriculum guidelines. Taipei, Taiwan: Author.】

彭開琼、張佳雯、李瑞生（2017）。OECD 國家與臺灣之教育績效比較：以 PISA 科學素養為 例。教育科學研究期刊，62（4），145-179。doi:10.6209/JORIES.2017.62(4).06

【Peng, K.-C., Chang, C.-W., & Li, J.-S. (2017). High school students’ science literacy and educational performance: A comparison between Taiwan and OECD countries. Journal of Research in Education Sciences, 62(4), 145-179. doi:10.6209/JORIES.2017.62(4).06】

黃幸美（2005）。生活情境融入數學課程的問題探討。教育研究月刊，133，117-123。

【Huang, H.-M. (2005). Discussion on the problems of integrating life situation into mathematics course. Journal of Education Research, 133, 117-123.】

劉玉玲、沈淑芬（2015）。數學自我概念、數學學習策略、數學學業情緒與數學學業成就之研 究─自我提升模式觀點。教育心理學報，46（4），491-516。doi:10.6251/BEP.20140716

【Liu, Y.-L., & Shen, S.-F. (2015). Relations among mathematics self-concept, mathematics learning strategy, mathematics emotion, and mathematics academic achievement: The self-enhancement model. Bulletin of Educational Psychology, 46(4), 491-516. doi:10.6251/BEP.20140716】

蔡清田（2011）。課程改革中的「素養」。幼兒教保研究期刊，7，1-13。

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 53

二、外文文獻

Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Roa Fuentes, S., Trigueros, M., & Weller, K. (2014). APOS theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7966-6

Ayres, P. (2006). Impact of reducing intrinsic cognitive load on learning in a mathematical domain. Applied Cognitive Psychology, 20(3), 287-298. doi:10.1002/acp.1245

Ball, D. L., & Cohen, D. K. (1996). Reform by the book: What is − or might be − the role of curriculum materials in teacher learning and instructional reform? Educational Researcher, 25(9), 6-8, 14. doi:10.3102/0013189X025009006

Barwell, R. (2004). What is numeracy? For the Learning of Mathematics, 24(1), 20-22.

Borovik, A. V., & Gardiner, T. (2006, July). Mathematical abilities and mathematical skills. Paper presented at the World Federation of National Mathematics Competitions Conference, Cambridge, UK.

Chiou, J.-Y., & Tso, T.-Y. (2013). Design and experiment on a touchscreen learning software for factoring quadratic trinomials. In M. Inprasitha (Ed.), Proceedings of the 6th East Asia Regional Conference on Mathematics Education (Vol. 1, p. 216). Phuket, Thailand: International Commission on Mathematical Instruction.

D’Ambrosio, U. (1999). Literacy, matheracy, and technocracy: A trivium for today. Mathematical Thinking and Learning, 1(2), 131-153. doi:10.1207/s15327833mtl0102_3

de Lange, J. (2006). Mathematical literacy for living from OECD-PISA perspective. Tsukuba Journal of Educational Study in Mathematics, 25(1), 13-35.

delMas, R. C. (2002). Statistical literacy, reasoning, and learning: A commentary. Journal of Statistics Education, 10(3). Retrieved from http://www.amstat.org/publications/jse/v10n3/delmas_ discussion.html

Dubinsky, E., & McDonald, M. A. (2001). APOS: A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research. In D. Holton, M. Artigue, U. Kirchgräber, J. Hillel, M. Niss, & A. Schoenfeld (Eds.), The teaching and learning of mathematics at university level: An ICMI study (Vol. 7, pp. 275-282). Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic. doi:10.1007/0-306-47231-7_25

Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), 103-131. doi:10.1007/s10649-006-0400-z

Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), 139-162. doi:10.1007/BF01273689

54 素養導向數學教材設計 左台益、李健恆 Gal, I. (2004). Statistical literacy: Meanings, components, responsibilities. In D. Ben-Zvi & J.

Garfield (Eds.), The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking (pp. 47-78). Dordrecht, the Netherlands: Springer. doi:10.1007/1-4020-2278-6_3

Geiger, V., Goos, M., & Forgasz, H. (2015). A rich interpretation of numeracy for the 21st century: A survey of the state of the field. ZDM – Mathematics Education, 47(4), 531-548. doi:10.1007/ s11858-015-0708-1

Goos, M., Dole, S., & Geiger, V. (2012). Numeracy: Across the curriculum. The Australian Mathematics Teacher, 68(1), 3-7.

Iowa Department of Education. (2010). Iowa core mathematics. Retrieved from https://www. educateiowa.gov/sites/files/ed/documents/K-12_Mathematics_0.pdf

Jablonka, E. (2003). Mathematical literacy. In A. J. Bishop, M. A. Clement, C. Keitel, J. Kilpatrick, & F. K. S. Leung (Eds.), Second international handbook of mathematics education (pp. 75-102). Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic. doi:10.1007/978-94-010-0273-8_4

Kaiser, G., & Willander, T. (2005). Development of mathematical literacy: Results of an empirical study. Teaching Mathematics and Its Applications, 24(2-3), 48-60. doi:10.1093/teamat/hri016 Karsenty, R. (2014). Mathematical ability. In S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of mathematics

education (pp. 372-375). Dordrecht, the Netherlands: Springer. doi:10.1007/978-94-007-4978- 8_94

Knoblauch, C. H. (1990). Literacy and the politics of education. In A. A. Lunsford, H. Moglen, & J. Slevin (Eds.), The right to literacy (pp. 74-80). New York, NY: Modern Language Association of America.

Maharaj, A. (2013). An APOS analysis of natural science students’ understanding of derivatives. South African Journal of Education, 33(1), 1-19. doi:10.15700/saje.v33n1a458

Massachusetts Department of Elementary and Secondary Education. (2017). 2017 mathematics curriculum framework: Grades pre-kindergarten to 12. Malden, MA: Author.

Metsisto, D. (2005). Reading in the mathematics classroom. In J. M. Kenney, E. Hancewicz, L. Heuer, D. Metsisto, & C. L. Tuttle (Eds.), Literacy strategies for improving mathematics instruction (pp. 9-23). Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development. Ministry of Education. (2012). Mathematics syllabus: Secondary one to four express & normal

(academic) course. Retrieved from https://www.moe.gov.sg/docs/default-source/document/ education/syllabuses/sciences/files/mathematics-syllabus-sec-1-to-4-express-n(a)-course.pdf Mullis, I. V. S., Martin, M. O., & Foy, P. (2008). TIMSS 2007 international mathematics report:

Findings from IEA’s trends in international mathematics and science study at the fourth and eighth grades. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center.

左台益、李健恆 素養導向數學教材設計 55 National Research Council. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington,

DC: National Academy Press. doi:10.17226/9822

Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. In A. Gagatsis & S. Papastavridis (Eds.), 3rd mediterranean conference on mathematical education (pp. 115-124). Athens, Greece: Hellenic Mathematical Society.

Niss, M. (2015). Mathematical competencies and PISA. In K. Stacey & R. Turner (Eds.), Assessing mathematical literacy: The PISA experience (pp. 35-55). Cham, Switzerland: Springer. doi:10.1007/978-3-319-10121-7_2

Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. (2007). Introduction. In W. Blum, P. L. Galbraith, H. W. Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education: The 14th ICMI study (pp. 3-32). New York, NY: Springer.

Niss, M., Bruder, R., Plannas, N., Turner, R., & Villa-Ochoa, J. A. (2016). Survey team on: Conceptualisation of the role of competencies, knowing and knowledge in mathematics education research. ZDM – Mathematics Education, 48(5), 611-632. doi:10.1007/s11858-016- 0799-3

Niss, M., & Højgaard, T. (Eds.). (2011). Competencies and mathematical learning: Ideas and inspiration for the development of mathematics teaching and learning in Denmark. Roskilde, Denmark: Roskilde University.

Nunes, T., Schliemann, A. D., & Carraher, D. W. (1993). Street mathematics and school mathematics. New York, NY: Cambridge University Press.

Ojose, B. (2011). Mathematics literacy: Are we able to put the mathematics we learn into everyday use? Journal of Mathematics Education, 4(1), 89-100.

Organisation for Economic Co-operation and Development. (2012). Literacy, numeracy and problem solving in technology-rich environments: Framework for the OECD survey of adult skills. Paris, France: Author. doi:10.1787/9789264128859-en

Organisation for Economic Co-operation and Development. (2016). PISA 2015 assessment and analytical framework: Science, reading, mathematics, and financial literacy. Paris, France: Author. doi:10.1787/9789264255425-en

Papert, S. (1993). Obsolete skill set: The 3 Rs. Wired Magazine. Retrieved from https://www.wired. com/1993/02/1-2-papert/

Parraguez, M., & Oktaç, A. (2010). Construction of the vector space concept from the viewpoint of APOS theory. Linear Algebra and Its Applications, 432(8), 2112-2124. doi:10.1016/j.laa.2009. 06.034