行政院國家科學委員會補助專題研究計畫期中進度報告
最佳經濟批量排程問題之延伸研究
計畫類別：5個別型計畫 □整合型計畫
計畫編號：NSC 97-2221-E-029 -016 -MY2
執行期間：97 年 08 月 01 日至 99 年 07 月 31 日
計畫主持人：姚銘忠
共同主持人：
執行單位：國立交通大學 運輸科技與管理系
中 華 民 國 九 十 八 年 五 月 三 十 一 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
最佳經濟批量排程問題之延伸研究
On the Extensions of the Economic Lot Scheduling Problems
計 畫 編 號：NSC 97-2221-E-029 -016 -MY2 執 行 期 限：97 年 08 月 01 日至 99 年 07 月 31 日 主 持 人：姚銘忠 國立交通大學 運輸科技與管理系一、中文摘要
經濟批量排程問題是針對單一生產設備的數 種產品，探討其批量大小，並調整其週期生產 的排程，使其生產計劃為可行，又能滿足顧客 的需求，且平均總成本達到最小的存貨控制問 題。在本計畫中，希望配合產品與製造性系統 的特性，將經濟批量排程問題進行延伸研究。 在許多產業，決策者正面對產品具有損耗特性 下之經濟批量排程問題，例如：(1)蔬菜、水 果、生鮮食品等易腐敗之食物；(2)汽油、酒 精等揮發性之液體；(3)電子元件之功能退 化、輻射性物質蛻變、底片的變質、藥物過期 所導致的失效等。本計畫第一年計畫名稱為： 「在產品具損耗特性下之最佳經濟批量排程 問題與三種排程策略比較之研究」，探討下列 兩個研究主題： 研究主題一：在求解產品具損耗特性下之經濟 批量排程問題之最佳解搜尋演算法 因為主持人已經發表論文的研究方法，無 法應用於「一般整數策略」下的求解，而且對 於求解大型問題時，收斂速度通常較慢。故在 求解方法的設計上，本研究計畫希望可以直接 針對產品具有損耗特性下之經濟批量排程問 題的數學模式，進行比較深入的理論分析，並 透過最佳解結構的探討，設計搜尋演算法。 研究主題二：在經濟批量排程問題中，常用的 三種排程策略之比較 文獻中未見有學者提出研究論文，對於經 濟批量排程問題常用的三種排程策略，在不同 的參數組合下，進行求解品質之比較。因為此 關乎決策者面對問題時，應該選擇何種排程策 略，直接影響其求解品質，故為一個非常重要 的議題。 本計畫的研究成果，將可以提供生產管理 經理人，擬行最佳的生產計畫、批量與排程決 策之參考。 關鍵詞：經濟批量排程問題、排程策略、損耗、 搜尋演算法。Abstract
The objective of the Economic Lot Scheduling Problem (ELSP) is to determine the lot size and the schedule of production of each item so as to minimize the total cost incurred per unit time. We would like to extend the conventional ELSP to incorporate with the characteristics of products and manufacturing systems in the real world in this proposal. In many industries, the production managers face the ELSP with deteriorating products, e.g., (1) direct-spoilage products, vegetable, fruit and fresh food etc.; (2) physical-depletion products,
e.g., gasoline and alcohol etc.; (3)
deterioration-products, such as radiation change, negative spoiling and loss of efficacy in inventory, e.g., electronic components and medicine.
The topic of the project in the first year is “On the Optimal Strategies of the Economic Lot
Scheduling for Deteriorating Products and Comparison Analysis among Three Scheduling Strategies”.
We would like to investigate the following two research topics.
Sub-topic 1: Solving the Economic Lot
Scheduling Problem with Deteriorating
Products Using an Optimal Search Algorithm
We note that the solution approach presented in the author’s past study is not applicable to the problem using the general-integer policy. On the other hand, the convergence rate of the proposed genetic algorithm may turn to be unattractive when the problem size becomes large. We would like to investigate the optimality structure of the problem and design an optimal search algorithm based on our theoretical results.
Sub-topic 2: Comparison Analysis among Three
Scheduling Strategies for the Economic Lot Scheduling Problem
We did not find any research article that compares the three commonly-employed scheduling strategies for the ELSP in the literature. We would like to test the three scheduling strategies using different parameter combinations, and provide suggestions for the decision makers before they solve the ELSP.
We strongly believe that the deliveries of our project shall serve an important foundation for establishing a Decision-Support System (DSS) or an Advanced Planning and Scheduling (APS) for production managers in industries.
Keywords: Economic Lot Scheduling Problem,
Scheduling Strategies, Deterioration, Search algorithm
二、緣由與目的
基於現實生活中更合理的假設，本研究將 損耗性因素納入ELSP 模式中探討。由於 ELSP 已 被 確 認 是 一 個 難 解 的 非 多 項 式 演 算 法 （NP-hard）可解的存貨問題，原本就不易確 保所求的解為合理可行，而在加入損耗性的考 量後，會使得問題更趨複雜。本研究擬先對 ELSP 文獻中常見的幾種模式中加以探討，同 時嘗試探討損耗 ELSP 在多種不同狀況下的 適用求解模式。最後，本研究發展一套快速的 運算與演算法(搜尋演算法結合合理解測試演 算法)來改進當起始排程不符合限制式條件 時，最佳解排程的尋找。 總括來說，本研究旨在探討帶有損耗之經 濟批量排程的生產模式且有資源限制的條件 下，使用不同的數學模式與結合啟發式演算法 來獲得一個確實可行、成本更低的生產計劃排 程。三、研究報告應含的內容
因為本期中報告僅涵蓋第一年執行進度之第 一研究主題的內容，而第二研究主題因仍在執 行中，故暫不在期中報告呈現。以下彙整第一 研究主題的研究成果： 1. 考慮損耗品存貨的經濟批量排程問題之數 學模式 本章將介紹考慮損耗品存貨的經濟批量排 程 問 題 (economic lot scheduling
problem-ELSP)之數學模式。本問題運用到的 假設與符號說明將在第3.1 節介紹，第 3.2 節 說明目標函數、決策變數與數學模式。 1.1 假設與符號說明 考慮帶有損耗之經濟批量排程的生產模 式中，所運用之假設如下︰ 1. 所有的產品由一個生產設備完成生產。 2. 任 何 時 間 點 內 ， 所 有 產 品 的 需 求 率 (demand rate)、生產率(production rate)、 整備時間(setup time)、整備成本(setup costs)和存貨持有成本(inventory holding costs)都是已知，不隨時間改變。
3. 在任何一個時間點上，在單一的生產設 備中只能生產一個產品。 4. 產品需求是連續的，而生產設備的生產 速率大於各產品需求速率的總和。 5. 整備成本與整備時間只與被生產出來的 產品有關，與生產的順序與批量大小無 關。該生產設備不具規模經濟(economy of scale)之特性；即單位產品的生產成本 與批量大小無關。 6. 週期性生產排程中，每種產品的批量與 其循環時間(cycle time)的長度都相同。 在損耗品的ELSP 模式中所考慮的成本 項目則包括： 1. 整備成本(setup costs)：為生產不同產品 時，調整機器、換模換線的相關成本。 2. 存貨持有成本(inventory holding costs)：實 體儲存的成本、或原可用於別處的資金 被凍結於存貨的機會成本。 3. 生產成本(production costs)：包括物料成 本、勞動成本和經常性管理開支的成本 (overhead costs)。 4. 產品的損耗成本。 由於假設生產成本與批量大小無關，在最 佳化的程序中生產成本可視為常數，因此在 ELSP 的模式中常被忽略。 考慮帶有損耗之經濟批量排程的生產模 式中，所運用的符號定義如下︰ n：產品數 i：產品 每單位時間的需求率（units/period） d i i p ：產品 每單位時間的生產率（ ） （units/period） i pi >di i a ：產品 每生產批量的整備成本 i i h：每單位時間單位產品 的存貨持有成本 (cost/unit/period) i i TC ：產品 的平均總成本 i i θ ：產品 的損耗係數，假設為一個常數 i i s ：產品 每生產批量的整備時間 i i T：產品 的周期循環時間 i B：基本週期 i k：產品 的時間乘數 i i ρ ：ρi =di/pi i β ：產品 每批量的機器操作時間 i ( ) i iI t θ ：時間點為 時產品 的損耗率 t i 除了上列所介紹的符號定義外，我們額外 定 義 一 個 方 便 的 參 數 Hi ， 即 令 ) ( i i i i i H =d θ ξ +h ，以求下列討論的計算式能夠比 較簡潔。另外 1 1 n i i ρ = ≤
∑
必須滿足，主要是用來 說明機器設備有足夠的能力，可以滿足所有產 品的需求。 1.2 數學模式 1 1 1 Minimize ( , , ) 2 n i n i i i a TC k k B H k B k B = ⎧ ⎫ = ⎨ + ⎬ ⎩ ⎭∑
i ϕ β (3.1) ( , ) 1 subject to n i i t[(i i( , ))]i , i w s k B B = + ≤ ∑ t=1, 2,...,K 1 1 i k it t w = (3.2) =∑
,i=1, 2,...,n (3.3) 1 , 0 , it it w i t w = ⎧ ⎫ ⎨ = ⎬ ⎩ ⎭ 機器 在第 基期有進行維修 其他 1 2 ( , ,..., )n K=lcm k k k (3.4) (3.5) mod , if , ( , ) ,if , i i i i t k t k i t k t k N γ γ ϕ γ γ ≠ ∈ ⎧ = ⎨ = ∈ ⎩ N 其中，Hi =di(θ ξi i+hi) , i=1, 2,...,n 首 先 討 論 目 標 函 數 的 推 導 ， 表示平均總成本， 1 Minimize TC k( , k Bn, ) i i a k B 表示單位時間的整備成本，1 2H k Bi i 為週期存 貨成本與耗損成本之和，其推導過程如下所 示： 週期的存貨成本： i( i i i i) i i h P d T T β θ − (3.6) 耗損成本： i( i i i i i P d T T ) ξ β − (3.7) 式 (3.6) 與 式 (3.7) 加 總 後 得 ， 再 將 (1 ) 2 i i i i i d T T p θ β = + i帶入化簡後，令Hi =di(θ ξi i+hi) 得到週期存貨成本與耗損成本之和1 2H k Bi i 。 有關產能限制式之說明如下︰式(3.2)表 示在每一基期進行生產的機器之整個生產花 費時間的加總必須符合產能限制。式(3.3)表示 產品 每 個基期只會生產一次，若有生產則 值為1，沒有生產則 值為0。全部生產排 程之總基期數( )為 個產品乘數的最小公倍 數，如式(3.4)所示。式(3.5)表示當第一次生產 排定後，其餘基期如何依照乘數進行生產的安 排。 i ki it w wit K n 2. 理論分析 第2.1 節中介紹最佳總成本函數之片段凸 性性質，並說明平均總成本曲線是由多個具有 片段凸性的曲線所組成。第2.2 節介紹最佳總 成本函數之接合點，說明如何透過相鄰的成本函數曲線之交點去搜尋最佳乘數。第2.3 節介 紹最佳總成本曲線之結構。第2.4 節小結。 2.1 最佳總成本函數之片段凸性 總成本函數可以表達成式(4.1)。
{
}
1 1 1 ( ,..., , ) n i 2 n i i i a TC k k B k B H k B = =∑
+ i (4.1) (4.1) 其中Hi =di(θ ξi i+hi)。 定義個別產品 之成本曲線為 ，如 下所示︰ i Φi( , )k Bi 1 ( , ) 2 i i i i i i a k B H k B k B Φ ≡ + (4.2) 從圖1我們可以清楚的知道，對任何的 ，皆可找到使個別產品 之成本函數 B i Φi( , )k Bi 為最小的 。令ki , 1,..., 1 ( ) min 2 i i i i k i n i a B k B + ∈ = ⎛ Γ = ⎜ + ⎝ H k Bi ⎞ ⎟ ⎠ k k B B 表 示個別產品i之成本函數 在各個B值 之最低值所構成的片段凸性曲線。我們把所有 總成本函數 的最低部份命名為 ，即 ( , ) i k Bi Φ 1 ( , , , )n TC ( )B Γ 0 1 ( ) inf{n i( )} B i B > = Γ =∑
Γ (4.3) 其曲線型式為許多具有片段凸性的曲線 連 續 組 合 而 成 。 我 們 將 此 性 質 以 下 列 Proposition 1 敘 述 之 。 但 是 為 了 證 明 Proposition 1，我們必須先探討Lemma 1， 圖1 產品i之成本曲線Φi( , )k Bi Lemma 1：Γi( )B 對 是一個片段凸性的函數。B [Proof]： 在 總 成 本 函 數 裡 ， 1 1 1 ( , , , ) 2 n i n i i a TC k k B H k B k B = =∑
+ i i ， 其 中 1 ( , ) 2 i i i i i i a k B H k B k B Φ ≡ + ，ki ， 。 + ∈ i= …1, ,n 我們先針對函數 分別進行一階導數和 二階導數，得到： ( , ) i k Bi Φ 2 ( , ) 1 2 i i i i d k B a H k dB k B Φ = − i (4.4) 2 2 3 ( , ) 2 0 i i i d k B a dB k B Φ = > 表示當B>0時，對一特定之 值，函數ki Φi( , )k Bi 具有凸性的性質，有極小值在 i i x B k ∗ = 位置產 生，其中 2 i i i x∗ = a H 所以Φi( , )k Bi 對 而言是一個連續可微分的函 數。 B 由式(4.2)可知，對任何的 ，皆可找到一 個 ，使個別產品i之成本函數為最小，亦即 B i k ( ) ( ) min ( , ) i i B k i k Bi Γ = Φ ，所以 為一個對 具 有片段凸性的函數。 ( ) i B Γ B Proposition 1：Γ( )B 對 為一片段凸性的函數 B [Proof]： 透過Lemma 1 我們可以知道 具有片 段凸性的特性，而片段凸性函數加上片段凸性 函數還是為具有片段凸性的函數。因為 ( ) i B Γ ( )B Γ 是 ( ) i B Γ 之和，所以Γ( )B 同樣也是對 為一片段 凸性的函數。 B 2.2 最佳總成本函數之接合點 在前一節中我們已經證明 是具有片 段凸性的函數。而在本節中我們將介紹在 ( )B Γ ( )B Γ 函數曲線上的接合點(Junction Point)。首先定 義接合點是在片段凸性函數中，於特定時間T 上之兩個連續曲線的交點。根據第4.1節可知 ( ) i B Γ 是一具有片段凸性的函數，所以我們將 先透過Γi( )B 函數上接合點位置的推導，再證 明Γ( )B 函數曲線將會繼承 函數曲線上所 有接合點的特性。 ( ) i B Γ 2.2.1 接合點位置的推導 在個別產品 中，i Γi( )B 函數上接合點的位 置 之 推 導 可 以 透 過 鄰 近 的 Φi( , )k Bi 與 ( 1, i ki B) Φ + 二個函數求得。首先令兩鄰近函數 ( , ) i k Bi Φ 之差為Δi( , )k Bi ： ( , ) ( 1, ) ( , ) i k Bi i ki B i k Bi Δ = Φ + − Φ 1 ( 1) 2 i i i i a H B B k k = − + + 我們注意到Δi( , )k Bi 為乘數 與ki ki+1的成 本差，且Δi( , )k Bi 是隨著時間 增加而遞增的函 數。假設有一搜尋演算法從上界往時間 遞減 的方向開始進行搜尋，所計算出Δ 的值 會由正值轉變成零，再由零轉變成負值。我們 B B ( , ) i k Bi令 為 之值為零的時間點，假設 為在 時的最佳乘數，這表示在時間 到達 之前， 都是最佳的乘數，而當時間 w Δi( , )k Bi ki B>w B w i k B≤w時， 則是以ki+1為其最佳的乘數。 其中值得注意的是：w是兩個鄰近的片段 凸性函數 與 之交點，也就是 接合點。而更重要的是接合點提供了在那個時 間點上，所應該要選擇的最佳乘數之資訊。透 過 ，可以得到接合點位置之公式， 如下所示︰ ( , ) i k Bi Φ Φi(ki +1,B) = ( , ) 0 i k Bi Δ ( ) 2 ( 1) i ki a H ki i i i δ = + k (4.8) 綜合上述，δi( )ki 代表第 個接合點，其 中 ， 。當時間 i k i k ∈ + i= … n1, , B>δi( )ki 時，我們 應 選 擇 的 最 佳 乘 數 為 ， 否 則 選 擇 來促使 函數的值為最小例如︰ 對 應 於 產 品 成 本 曲 線 之 * i k =ki * 1 i i k = +k Γi( )B i δi(1)代 表ki =1與 的交點。 2 i k = 2.2.2 接合點的理論性質探討 本節之理論性質在探討 曲線上接合 點的特性，由於 與 ( )B Γ ( )B Γ Γi( )B 有個密不可分的 關係( 是 之和)，在此我們先加以證明 函數曲線將會繼承 ( )B Γ Γi( )B ( )B Γ Γi( )B 函數曲線上所有 接合點的特性。 Proposition 2： 曲線繼承 曲線所有接 合點的特性。 ( )B Γ Γi( )B [Proof]： 假設 是產品i之接合點，但不是其他 個產品的接合點，並假設存在一誤差值 w 1 n− ε，其中ε >0，並符合下列︰ 1. 假如針對每個Φi( , )k Bi 在區間[w−ε,w+ε] 為凸性函數，則曲線 j( , )j 在區間 j i k B ≠ Φ
∑
[w−ε,w+ε]是一凸性函數，其中 j≠i。 2. Φi( , )k Bi 在區間[w−ε,w]和[ ,w w+ε]是一凸 性函數。 所 以 Γ( )B = Φi( , )k Bi + j( , )j 在 區 間 j i k B ≠ Φ∑
[w−ε,w]和[ ,w w+ε]仍然是一凸性函數，因此 為 曲線上的接合點。 w ( )B Γ 以下將再介紹接合點的另一特性，以作為 搜尋演算法的基礎。 Lemma 2：假設kL ∗和 R k∗分別是在 凸性 函 數 上 接 合 點 兩 邊 的 最 佳 乘 數 ， 則 。 ( , ) i k Bi Φ ( )w 1 L R k∗ =k∗+ [Proof]： 透過式(4.8)的接合點位置之公式可以得到： ( ) ( 1) ( ) (2) (1) i v i ki i ki i i δ < δ + <δ < <δ <δ 其中 為 值的上界。 v ki 我 們 以 ki∗( )B 代 表 在 給 定 時 間 B 值 的 ( , ) i k Bi Φ 函數中，所得到的最佳乘數。由式(4.8) 與Φi( , )k Bi 具有片段凸性的函數，可以知道當 [ (1), )i B∈ δ ∞ 時，k Bi∗( ) 1= ；當B∈[ (δi ki+1), ( ))δi ki 時，k Bi∗( )= +ki 1，所以我們可以清楚地得到 1 L R k∗ =k∗+ 。 延 伸Lemma 2 的 觀 念 ， 我 們 可 以 得 到 Corollary 1，如下所示︰ Corollary 1︰在一給定的時間點B，Φi( , )k Bi 函數的最佳乘數，如下所示： 1, (1) ( ) , ( ) ( -1) i B k B m m B m δ δ δ ∗ = ⎨⎧ > ≤ < ⎩ 2.3 最佳總成本曲線之結構 在第二節中所提到接合點的特性給了我 們以下的提示。為使符號簡單化，我們定義乘 數向量k≡( , , )k1 kn 。 Theorem 1：假設 ( )L k 和k( )R 分別是在Γ( )B 函數 上接合點左右兩邊的最佳乘數向量，則k( )L 可 藉由 ( )L ( )R 1 i i k =k + 從k( )R 中獲得。 [Proof]： 透過之前Proposition 1與Lemma 2即可以 得證。 我 們 先 定 義 是 函 數 曲 線 中，對應於最佳乘數 的局部最小值之時間位 置。根據第2.1節和第2.2節的敘述，我們知道 函數最佳解的位置會落在接合 點 以及 B Γ( , , , )k1 k Bn i k 1 ( , , , )n TC k k B ( )w Γ( , , , )k1 k Bn 曲線的局部最低端點 上。因此，我們首先要找出接合點的時間位 置，再判斷 的局部最低端點之時間 位置 是否位於接合點 1 ( , , , )k k Bn Γ B δi(ki−1)與δi( )ki 之間。 若是B∈[
δi( ), (ki δi ki −1)]
，則 為局部最小值， 將目標函數(4.1)做一階導數並令其為0，可得 B 2 1 1 1 0 2 n n i i i i i i a H k k B = = + =∑
∑
－ 故 的封閉解(close form)可由式(4.11)求解得 B 1 1 n n i i i i i i a B H k = = =∑
∑
k 2.4 小結 本章節針對數學模式的理論性質提出一 套完整的理論分析，說明在求解的過程中可以利用總成本曲線的接合點去搜尋最佳乘數，進 而找到問題的最佳解。 3. 可行解測試演算法 Proc. FT演算法主要的輸出是一組合理的 生產排程解，而目標函數最佳化所求之解 是其主要的輸入。由於目標函數的最 佳化並未考慮產能資源的限制，因此我們仍必 須決定產品開始生產的基期，以避免過多的產 品在同一時間生產而造成產能超過負載。當產 能充裕時，也許我們可以輕易的得到許多的合 理生產排程解，但若產能利用率極高時，Proc. FT演算法則可有效率的幫助我們產生一組初 始的生產排程並藉由不斷的調整產品開始生 產基期來改善產能負載的情形，最終的輸出提 供使用者一個合理的生產排程解或送出確認 無法找到合理排程解的訊息。 ({ }, )ki B 在執行Proc. FT演算程序中，本研究使用 了一些新的參數，其定義如下所示： τ：在單一生產週期中，總生產時間最大者。 W：一種可能的排程結果。 m W ：在每次個別執行Proc. FT程序及區域搜尋 或重複改善 的過程，所得到的最小化 總生產時間的生產排程。 * L ( m) L W ：Wm生產排程中，最大的總生產時間。 * W ：第一次使用Proc. IS所得到的初始生產排 程設為最佳生產排程。 * ( ) L W ：W*生產排程中，最大的總生產時間。 L(W)：使用W 排程後，在所有生產基期中， 最大的總生產時間。 (Wm( )τ ) Γ ：在排程 m中，第 W τ期進行生產且 乘數大於1的產品集合。 i k (Wm( )τ ) Λ ：在排程 m中，不在第 W τ期進行生產 且 乘數大於1的產品集合。 ki λ：假如 ( m 已被改善，則 L W ) λ= 1；否則λ= 0。 χ：連續使用Proc. FT程序且無法改善 的次 數。 * L Proc. FT演算過程為先使用6.2節所定義 的Proc. IS程序來產生一組初始的生產排程W 和計算 。由Proc. FT啟發式解法的定義， 我們將第一次使用Proc. IS程序所得到的初始 生產排程W設為最佳生產排成 ，而 則為 最佳生產排程中機台的最大工作負載量， ( ) L W * W L* 意即 * 和 。很顯然的如果 W =W L* =L L* ≤B，也 就是對所有 個基期中，機台的工作負載 都不會超過基本週期 的長度，亦即W是一個 合理的生產排程。我們定義 { }i lcm k B ϕ指標來代表經由 Proc. FT演算是否可以得到一組合理的生產排 程解。如果可以，我們便令ϕ=1，否則ϕ=0。 當ϕ=0時，我們使用排程撫平程序（Proc SS， 定義於6.3 節）來改善 ，直到* L ϕ=1或者 已 無法改善。此時我們稱初始的生產排程W經過 一次的Proc. FT程序而無法改善得到一組合理 解。當 連續 * L * L ϒ次經Proc. FT程序而無法改善 時，則停止Proc. FT 演算。我們定義 連續無 法改善的次數為 * L χ，當χ≤ ϒ時，則隨機選取 上次Proc. FT演算最終的生產排程之一半子集 合將之固定，利用Proc. IS供再改善 的初始 排程，重新另一次的區域搜尋與排程改善。最 後決定是否終止Proc. FT演算法的臨界值 * L ϒ， 則是決策分析者的決策參數。 3.1 設定初始條件 1. 設定門檻值(ϒ)：作為運算結束的標準 值，ϒ值愈大，找到可行解的機率就愈 大，但運算所花費的時間相對地會愈多。 2. 設定計次器χ=0：表連續使用Proc. FT程 序且無法改善 的次數，若* L χ> ϒ，則停 止運算。 3. 設定可行解ϕ=0：表示排程為不可行， 但若經Proc. FT方法調整其排程，並且使 得每個基期所有產品的總生產時間皆小 於或等於 ，則表示其排程是可行的，此 時 B 1 ϕ= ，並停止運算。 3.2 初始排程(Proc. IS)與產品排程(Proc. PS) Proc. IS用來快速的產生一組初始生產排 程，它主要被使在下列兩種情形中： 1. 產生一組開始區域搜尋的初始生產排程W 2. 產生一組供重複再改善 的種子生產排程 * L 我們定義N表示所有 種產品的集合，n ϑ 表示產品的子集合，因此ϑ ≤n。而W( )ϑ 則表 示產品子集合ϑ的部分生產排程。每種產品是 依其 值及第一個開始生產基期，來決定所有 基期中，那個基期要進行生產，那個基期不生 產（即該產品在該基期的生產時間為0）。在 進行生產排程時，一個產品接一個產品加入生 產排程，每次之生產排程皆以該次所有基期負 荷最小的值為主，且其總基期數為參與生產排 程的產品 之最小公倍數。若所有產品排完 後，每個基期的總生產時間皆小於或等於 ， 則表示其生產排程是可行的，則停止運算，否 k i k B
則進入下列調整週期的方式。Proc. IS演算步 驟程序說明如下。 Step 1：檢驗γ的值。 1.1 判斷γ =0，是則令ϑ φ= 和W( )ϑ =φ，並 進入Step 2。 1.2 判斷γ >0，是則令ϑ=F和 0 ( ) ( ) ( ) W ϑ ≡W F =W F ，即將原先 排程 中之 產品集合排程維持不變，並進 入Step 2。 0 W F Step 2：優先指派 乘數為1的產品進入排程。 ki 2.1 對所有未指派到排程的產品F，若其 乘數為1，則優先指派 i k i X 到W( )ϑ 排程 中，並更新ϑ ϑ= ∪{ |j j∈F and kj =1}。 假使所有F中的kj均大於1，則略過 Step 2。 Step 3：將i∈(N−ϑ)的Xi由大到小進行降冪排 列，並設Ξ代表排序Xi後的產品集合 之識別子。 Step 4：檢驗在Ξ集合中的值： 4.1 判斷Ξ ≠φ，是則進入Step 4.1.1。 4.1.1 從 集合中得到產品Ξ i ，且 j argmax { }j i = ∈Ξ σ 。 4.1.2 使用Proc. PS 程序將Xi 指派到 ( ) W ϑ 排程中。 4.1.3 將ϑ和 集合更新為Ξ ϑ ϑ= ∪{ }i 和 { }i Ξ = Ξ − ，並回到Step4。 4.2 判斷Ξ =φ，是令 ，並停止Proc. IS 演算程序。 ( ) W =W N Proc. PS演算步驟程序說明如下。 Step 1：計算所有 的最小公倍數，ki 1 2 { , ,..., N} K =lcm k k k 。 Step 2：計算 值。 Rt 2.1 為在初始部分生產排程Rt W( )ϑ 中的第 個生產基期之目前總生產時間， 。 t 1,..., t= K ( , )( ) i t i k t i i R wϕ ϑ i τ π ∈ =
∑
+ mod , if , ( , ) , if , and {0,1} for all andi i i i i il t k t k N l k t k t k w i l γ γ ϕ γ γ ≠ ∈ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = = ⎨ = ∈ ⎪⎩ = N⎬⎪⎭ Step 3：選擇 * il w 。 Step 4：由Step 4所得的 * il w 更新W(ϑ∪{ }i )。 3.3 調整週期的方式 Proc. FT共有移出、1對1互換及2對1 互換三種調整週期的方式，分別說明如下。
3.3.1 移出(The Smooth-Out Routine)
從總生產時間最大的基期中，選1 個 大 於1 且生產時間最大的產品，移至其他總生產 時間較小的基期中。若移出後，每個基期的總 生產時間皆小於或等於基本週期，則為可行 解，即可停止運算，否則要進入下列1 對 1 互換的方式。 i k 3.3.2 1 對 1 互 換 (The Pair-Exchange Routine) 從總生產時間最大的基期中，選1個 大 於1且生產時間最大的產品，和其他基期中生 產時間較小且 大於1之產品互換。若1對1互 換後，每個基期的總生產時間皆小於或等於基 本週期 ，則為可行解，即可停止運算，否則 要進入下列2對1互換的方式。 i k i k B 3.3.3 2對1互換(The Two-to-One Exchange Routine) 從總生產時間最大的基期中，選1個 大 於1且生產時間最大的產品，和其他基期中產 品時間較小且 大於1之2種產品互換。若2對1 互換後，每個基期的總生產時間皆小於或等於 基本週期，則為可行解，即可停止運算，否則 要進入下列隨機選取 i k i k [ 2]n 台產品重新排程的 方式。 3.3.4 隨機選取[ n / 2 ]產品重新排程 如果經過移出、1對1互換及2對1互換後還 找不到可行解，則從 個產品中，隨機選取n [ 2]n 個產品重新排程，其餘產品的排程固定， 再重覆上述6.2~6.3的步驟，直到 ϒ為止。 即找 X > [ 2]n 個產品來作局部的最佳化排程，以使 得生產排程的最大總生產時間L(W)能減少至 可行解。 3.4 輸出 1. 找到可行解︰在整個Proc. FT可行解的判 斷過程中，只要找到可行解，即可停止程 式的運算，並輸出可行解的資料，如：可 行解的排程、總成本、 及運算時 間等資料。 ({ }, )ki B 2. 找不到可行解︰若可行解的判斷次數超
過ϒ，則停止程式的運算，並輸出找不到 可行解的訊息。 3.5 Proc. FT演算步驟程序 Proc. FT 演算步驟程序說明如下。 Step 1：設定初始條件。 1.1 令γ =0,χ=0且ϕ=0。讀入ϒ參數。
Step 2：藉由Proc. IS 與 Proc. PS程序得到一
組初始生產排程W並開 始區域搜尋。 2.1 令 m 和 。 W =W L W( m)=L W( ) 2.2 判斷γ =0，是則令 和 。 *( *) ( m L W =L W ) * m W =W 2.3 判斷L W( m)≤B，是則令 ( F) ( m) L W =L W ,WF =Wm與ϕ=1，並進入 Step4。否則進入Step 3。 Step 3：應用調整週期的方式改善 的 。 m W ( m L W ) 3.1 使用移出程序來改善。 3.1.1 判斷L W( m)≤B，是則令 1 ϕ= , ( F) ( m) L W =L W 和WF =Wm，並 進入Step 4。否則進入Step 3.1.2。 3.1.2 判斷 和 是否已被 改善，是則回到Step 3。否則進入 Step 3.2。 ( m) L W >B L W )( m 3.2 使用1對1互換程序來改善。 3.2.1 判斷 ( m) ，是則令 L W ≤B 1 ϕ= ,L W( F)=L W( m)和 F m W =W ，並 進入Step 4。否則進入Step 3.2.2。 3.2.2 判斷 和 是否已被 改善，是則回到Step 3。否則進入 Step 3.3。 ( m) L W >B L W )( m 3.3 使用2對1互換程序來改善。 3.3.1 判斷L W( m)≤B，是則令 1 ϕ= , ( F) ( m) L W =L W 和WF =Wm，並 進入Step 4。否則進入Step 3.3.2。 3.3.2 判斷 和 是否已被改 善，是則回到Step 3。否則進入Step 3.4。 ( m) L W >B L W )( m ) ) 3.4 判斷 *( * 是否已經改善。 L W 3.4.1 判斷 ( m) *( * ， 是則令 L W <L W 0 χ= , 和 ，並 進入Step 4。否則進入Step 3.4.2。 *( *) ( m L W =L W ) ) * m W =W 3.4.2 判斷L W( m)≥L W*( * ，是則令 1 χ χ= + ，並進入Step 4。 Step 4：判斷Proc. FT 程序是否已經達到終止 條件。 4.1 判斷χ >ϒ且ϕ=0，是則停止Proc. FT 演算，並輸出”無可行解排程”。 4.2 判斷χ ≤ϒ且ϕ=0是則隨機選取[n2]個 產品重新排程並標記為F，令γ =1，並 進入Step 2 再次改善。 4. 數據實驗 本研究利用Elmaghraby ( 1997 )和 Fujita (1978)文獻的六個數值範例進行實驗，並定義 失誤測量指標(Error Measure Index ; EMI)如 下： * * * ( ( * ) IS) / IS*100% PoT EMI= TC K B −TC TC 對每一個實驗數據皆進行30 次實驗，結果如 表1 所示；其中 Avg EMI 表示平均失誤測量 指標，Avg RT 表示平均實驗時間。 5. 結論 本研究指出在產品具有損耗性可能發生 的前提假設下，使用延伸週期法找出損耗性 ELSP 模式下的最佳解。在探討損耗品ELSP 模式，經由前面章節推導出在若干現實生活中 可能發生的特定條件下，運用延伸週期法的封 閉解(closed-form solution)即為該模式之最佳 解。在捨棄了前提條件的情形下，本研究則利 用以搜尋法得到一組( , )K B 結合Proc FT演算 法求解損耗性ELSP(EBP)模式幫助決策者得 到一組較佳的合理可行的排程解。 四、參考文獻
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表 1 六個範例的實驗數據 Data set 1 n i i= ρ
