比較三種萬用啓發式演算法於TSP問題之探討

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比較三種萬用啟發式演算法於 TSP 問題之探討

劉昱德1_、黃士滔2 1._{高雄應用科技大學工業工程與管理研究所碩士班} 2._{高雄應用科技大學工業工程與管理系副教授} E-mail : 1098317114@cc.kuas.edu.tw

摘要

萬用啟發式演算法（Metaheuristics）是一種新興的最佳化演算法，這類演算法的概念經常是由觀察自然界所獲得的靈感，例如：人工免疫演算法啟發於當人體中抗體對抗抗原的免疫反應過程、蟻群演算法習自蟻群的覓食、粒子群演算法係效法鳥類的覓食。由於這些演算法非常具有彈性，可求解許多不同問題，且作法簡單、求解效率高，因此目前已經成為數量方法中最熱門、最重要的方法之一。近年各類工程問題的優化計算已成為人們急需解決的問題，如在系統控制、模式識別、生產調度、VLSI 技術、計算機工程等，而萬用啟發式演算法強而有力的優化計算方式正能解決這樣的問題。不同的啟發式算法各有其特長及局限，為了了解不同的演算法對求解的結果以及計算效率的影響，本研究根據三種啟發式演算法：粒子群演算法（Particle Swarm Optimization algorithms, PSO）、蟻群演算法（Ant Colony Optimal, ACO）、人工免疫演算法（Artificial Immune Algorithm, AI），比較求解非線性規劃問題－旅行推銷員問題（Traveling Salesman Problem, TSP）時解的品質以及求解的計算效率。最後探討三種啟發式演算法中各個算子、對求解品質及效率產生的影響。研究結果發現，演算法中的參數設定，會影響演算法求解的多樣性、收斂性，進而影響到求解的品質與計算的效率。研究中發現粒子群演算法在跳脫局部解上的隨機性過於強大，導致解的多樣性不足，進而提早收斂。人工免疫演算法與粒子群比較下求解多樣性較強，所以在求解多樣性較強的前提下，提升迭代參數，可以改進求解的能力，設定後的參數得到的解甚至優於優化後的螞蟻演算法。關鍵詞：粒子群演算法、蟻群演算法、人工免疫演算法、TSP。

1. 前言

20 世紀 80 年代以來各類工程問題的優化計算越來越成為人們急需解決的問題，例如運輸中的最優調度、生產流程的最優排程、資源的最優分配，這類問題屬於不確定性、非線性的複雜問題。隨著人工智能擺脫傳統的邏輯計算，探索仿真算法(從生物演化中得到啟發的演算法)提出了許多用來解決複雜優化問題的計算方法，基于計算智能的收斂性、計算速度、初值敏感性使得這些問題能夠得以求解，這些仿真算法包含：模擬退火法、基因演算法、粒子群演算法等。旅行推銷員問題可視為組合優化模型的典型問題，許多問題都可藉由旅行推銷員問題（ Traveling Salesman Problem, TSP）的數學模型進行延伸。當這類組合優化問題規模擴大時，問題求解的複雜度成等比遞增，如何在快速的時間內找到較佳的解，便是本研究探討的方向。

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2. 文獻探討

近年來工業生產過程朝著大型、連續、綜合化的方向發展，形成了複雜的生產過程，此類問題往往具有方程數多、變量維數高、非線性強等特點，這使得相關變量的儲存、計算及命題的求解都相當困難。而基於計算智能的優化，萬用啟發式演算法在計算速度、收斂性且算子的數學操作相對的簡單，提供了解決此類大型問題的技術。

粒子群演算法是由 Kennedy and Eberhart[7]所提出，為一種仿生物演算法，透過迭代演化求得近似最佳解的最佳化搜尋技術。粒子群演算法屬於具有群體智慧概念的方法，為模擬鳥群覓食的社會行為所衍生的，即鳥群覓食時，除了根據自己本身的認知，飛向自己曾走過的較佳覓食地點之外，也藉由群體間的合作溝通，知道其他鳥所發現的更佳的覓食地點，最後漸漸所有的鳥群都會飛往最佳的覓食地點。

許多學者提出了關於粒子群演算法的改進方法及在工程上的應用，如 Chen and Li[2]認為上一代解的權重 w 對於演算法的收斂速度及解的精確度有絕對的影響，因此提出了利用自適應（Self –adaptive）機制來調變粒子群演算法的權重。Ma and Chen[8]認為粒子群演算法的特色為快速收斂，因此對於收斂後期多餘粒子的運算量便顯得多餘且不必要。但為了能夠保證找到的是最佳解，若是減少粒子，可能失去了找到最佳解的機會，因此他們提出變量粒子數的概念，對於解的優劣來即時調整變化粒子數目，這樣不僅能夠減少運算資源，並且能夠得到更全域化的解。Parsopoulos and Vrahatis[10]利用固定權重法、適應性權重法，首次將 PSO 法用於解決多目標優化問題。

蟻群演算法（Ant Colony Optimization, ACO），又稱螞蟻演算法，是一種用來尋找優化路徑的機率型技術。Dorigo[5]在其博士論文中引入，其靈感源於螞蟻在尋找食物過程中發現路徑的行為。是一種求解組合最優化問題的新型通用啟發式方法，該方法具有正反饋、分散式計算和富於建設性的貪婪啟發式搜索的特點。過去螞蟻演算法的相關研究中，劉新華等[15] 運用最大－最小螞蟻系統於多工藝路線決策方法，為實現工藝規劃與生產調度的集成，給出了零件可行性工藝路線圖的概念，建立了多工藝路線決策問題的數學模型，從而將零件的工藝路線規劃問題轉化為對零件可行性工藝路線圖中具備最優值的路徑搜索和尋優問題，並提出了精英螞蟻排序策略的改進最大－最小螞蟻系統，最後，通過仿真實例，驗證了改進最大－最小螞蟻系統具有良好的效能，並在性能上優於其他演算法。 Zhang et al.[12]運用蟻群系統結合分等螞蟻系統和最大最小蟻群系統於同時送取貨車輛路徑問題（Vehicle Routing Problem, VRP），並建立混合整數規劃模型，其研究結果顯示該模型可提高車輛負荷率和擺脫總距離增加所造成的負載和最大容量的限制。 McMullen[9]運用螞蟻族群最佳化來處理即時生產系統問題，即時生產系統之目的在於穩定的保持最小投資，以求能夠在生產管理上保持較大的彈性並且保持在市場上的競爭力，在研究模式中利用二維與三維資料並且針對條件的不同來設計不同形式的 ACO 演算法，並以這些 ACO 演算法與其他啟發式演算法比較其效率與效度，研究結果顯示 ACO 演算法的表現令人滿意。人工免疫演算法是應用抗體（Antibody）及抗原（Antigen）於免疫系統運作模式中以求解最佳化問題，其中，抗體相當於求解最佳化問題中空間的解，抗原相當於求解最佳化問題中，問題的目標函數。利用抗體族群相似程度之關係，增加抗體族群之多樣性，避免陷入局部最優解的可能性，使得在求解空間的搜尋過程中，能夠快速收斂且找到全域最佳解，以加速規劃模式之推導效率。人工免疫演算法的概念是經由抗體面對抗原侵入人體時一連串的反應得來。人工免疫演算法是近年崛起的新方法，Dasgupta[3]首先基於免疫系統理論探討免疫系統的模型，並認為免疫系統理論可廣泛應用於許多研究領域。1997 和 1998 年 Man and Cybernetics 國際會議組成了相關專題討論，並成立了 “人工免疫系統及其應用分會”。Keko et al.[6]研究中利用免疫演算法求解 TSP 問題，抗體代表的是推銷員的候選路徑，抗原是對應的目標函數，也就是候選路

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徑（抗體）的距離，此優化問題為一個求解最小值問題。Pasquier et al.[11]比較三種演算法：蟻群演算法、基因演算法、免疫演算法於 TSP 問題。

3. 研究方法

本研究以優化 TSP 為問題，以三種萬用啟發式演算法求解之，在對 TSP 問題求解後，比較三種演算法對求解品質之影響。首先詳細介紹 PSO、ACO、 AI 啟發概念與仿生算子。 3.1 鳥群覓食的啟發——粒子群演算法

粒子群演算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是由 Kennedy and Eberhart [7]年所提出，PSO 主要源起於觀察動物的群體行為所研究發展出來。在自然界中有許多生物行為都呈現群體的活動，粒子群最佳化概念主要是觀察鳥群或魚群在覓食的行為所發展出來的演算法，當鳥群在某區域搜尋食物時，鳥群並不知道食物確實的位置，藉由跟隨目前距離食物最近的鳥（Leader）互相學習與交換彼此的經驗得知其與食物距離有多遠，讓鳥群能夠搜尋到目前距離食物最近的位置區域。因此在粒子群最佳化中，每隻鳥可表示為一個粒子（Particle），每個粒子的位置以表示，其中 x 代表粒子在解空間中的座標，i 代表第 i 個粒子， t 代表迭代的次數。而每個粒子對於每個維度的飛行速度則由來表示，代表粒子在解空間中移動的方向，中的 i 代表第 i 個粒子，t 代表迭代的次數。另外，所有的粒子都會有一個對於最佳化問題的適應值（Fitness value），每個粒子都會知道自己目前的最佳適應值和最佳的位置，稱之為每個粒子目前各自的最佳值（Local best value），就像是每個粒子自己擁有的經驗一樣，數學模型中以表示，

中的表示為每次迭代中第

_i

i

個最佳粒子，

j

= L

1,

,

D

為解空間中的維度。同時每個粒子亦知道目前全體的最佳適應值和最佳的位置，稱之為群體的最佳值（Globe best value, Pgbest），數學模型中以表示，表示在迭代過程中解為最佳值的粒子位置；g 代表群體的最佳值（Globe best value, Pgbest）；i 指粒子 i 在解空間中群體的最佳值，為解空間中的維度。

依據 Kennedy and Eberhart [7]，粒子群的演算程序如下：

1.在可行解空間和速度空間隨機初始化粒子群，亦即確定粒子的初始位置和初始速度，其位置對應於問題解。粒子群演算法數學模式表示如下： (1) 設搜索空間為 D 維，總粒子數為 N； (2) 第 i 個粒子其位置表示為向量 (3) 其速度表示為向量 2.粒子群演算的位置和速度更新公式如下所示：此部分為藉由粒子本身的認知模式（Cognition-only model）與族群中的社會模式（Social-only model），進行粒子群位置的更新。 (1) (2) (3)

(4)

：粒子 i 在解空間中的值，i 為粒子數，為解空間中的維度。

：粒子 i 在解空間中的速率，為粒子數，為解空間中的維度。c1,c 學習因子。2:

：介於 0 和 1 之間的隨機變數。

：粒子 i 在解空間 D 維中最佳值；為解空間中的維度。

：在迭代過程中解為最佳值的粒子位置；g 代表群體的最佳值（Globe best value, Pgbest）；i 指粒子 i 在解空間中群體的最佳值，為解空間中的維度。：慣性權重。：為初始慣性權重。：為最終慣性權重。：為目前迭代次數。：為最大迭代次數。

式(1)為粒子本身的認知模式（Cognition-only model）；式(2)為粒子群的社會模式（Social-only model）；式(3)為線性遞減的慣性權重公式，。當較大時適用於對解空間進行大範圍的探查，有利於跳出局部極小值；較小時則有利於進行小範圍的開採，可幫助算法收斂。

w

3.2 基於蟻群尋食思想 ——蟻群演算法 蟻群演算法的概念是源自於真實的螞蟻，藉由螞蟻找尋食物，來回的蟻群在彼此走過的路徑會殘留下分泌物，稱之為費洛蒙。透過費洛蒙來尋找尋食的最短路徑，蟻群們會透過費洛蒙的多寡來決定所要走的路徑，漸漸的蟻群走至相同路徑（亦即最短路徑）。首先要針對問題選定目標函數，並將這個目標函數視為螞蟻尋食所殘留的費洛蒙。根據 Dorigo et al.[4]敘述說明如下： 1.初始化 依隨機方式決定初始城市，並設定所有路徑上費洛蒙初始濃度，其中為以最鄰近法

（Nearest neighbor heuristic）計算之路徑長度，N 為城市數。

2.狀態轉移機率 螞蟻找尋路徑時利用費洛蒙濃度參數(

α

)及能見度參數(

β

)組合而成的公式，求出該螞蟻尚未經過之各城市的欲行走機率值，再依據機率值決定螞蟻下一個欲前往的城市，狀態轉移規則如下： (4) 各個參數所代表的意義為：：螞蟻 k 在第 t 次循環時從城市 i 行走至城市 j 的機率值。：螞蟻 k 在城市 i 時，可選擇的尚未經過的城市集合。：在第 t 次循環時，路徑上的費洛蒙濃度。：在第 t 次循環時，從城市 i 行走到城市 j 的能見度，為城市 i 與 j 距離的倒數。在此代表期望值，通常設為節線

ij

距離長度的倒數，。

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：影響費洛蒙濃度與螞蟻行進路線決策之重要參數值。其中

α

為費洛蒙濃度權重，一般為大於或等於 0；為能見度權重（距離的倒數），一般為大於或等於 0。在 Dorigo et al.[4]的研究中提及，當值比值大很多時，容易在求解過程產生停滯，若 =0 則螞蟻選擇距離最近的鄰近城市作為下一個拜訪城市。若 = 0 則螞蟻選擇下一個拜訪城市時，完全不考慮其間距離長短，而完全以隨機尋找方式進行，故一般在操作 ACO 時，都會設定 :為一不為零的數值。 3. 費洛蒙更新規則 螞蟻選擇下一個拜訪城市的機率，是根據城市間能見度(距離的倒數)以及城市間費洛蒙濃度兩者間的函數而定，其中，城市間的能見度在每個循環是相同的，而費洛蒙濃度則會在每隻螞蟻完成旅程後進行更新，以作為下一隻螞蟻在旅程中，選擇行經路線的參考依據，目的是為了維持費洛蒙的品質 Bullnheimer et al.[1]。費洛蒙更新公式為 Dorigo et al.[4]： + (5) = (6) m：螞蟻數量。：螞蟻 k 在第 t 次循環時所完成路徑的長度。：費洛蒙蒸發係數，值越高蒸發越快，介於 0~1 之間。值是可以自行訂定的，值若太小（趨近於 0），將會無法形成正向回饋；值若太大（趨近於 1），將會太早收斂。：代表費洛蒙揮發的程度。以尋求最短路徑來解釋，當迭代 t 次中的第一次運算（k 隻螞蟻中第一隻螞蟻），會得到一組最佳路徑，則對應組成最佳路徑的造訪城市順序，會產生一個費洛蒙值，費洛蒙值由公式(6)求算得到，公式(6)為計算最佳路徑的倒數，得到的數據將做為初次造訪的費洛蒙值。當迭代 t 次中第 2 次運算（k 隻螞蟻中第 2 隻螞蟻），會再得到一組最佳路徑，當第 2 次得到的路徑較短時，公式(6)所形成的費洛蒙值會較大，因為公式(6)為所求最佳路徑的倒數，當路徑較短時，費洛蒙值較大。所以第一次的費洛蒙值便會揮發掉，被第 2 次所求得的費洛蒙值覆蓋，不停的循環直到 t 次迭代。 3.3 抗體對抗抗原的原理—人工免疫演算法 免疫演算法是由人工免疫系統中，B 細胞與 T 細胞受到抗原刺激產生抗體的免疫過程。免疫的過程中包含了在生命週期再次遇到同類型抗原（稱為二次應答）的對應關係，以及免疫細胞無性繁殖（稱為克隆）分化的過程。首先要針對問題選定目標函數，並將這個目標函數視為親和度（親和度為免疫中抗體與抗原反應強度的衡量，親和度越高表示抗體越能有效對抗抗原）。人工免疫演算過程首先要透過一定的抗體編碼方式，將系統組態編成一組細胞碼，接著隨機產生一群抗體碼，作為第一個抗體分子免疫應答抗原的群體（免疫應答就是探討抗體對抗抗原強度的過程）。演算過程中將透過以下三種操作，完成人體免疫應答的過程： 1. 變異算子（Mutation）：將親代的部份免疫細胞隨機改變，產生子代免疫細胞。

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2. 克隆選擇（Clonal selection）：指多個抗體對應抗原的決定簇（一個抗原有多個決定簇），找出多個抗體中對應抗原最佳者。選擇抗體與抗原親和度較高者進行擴增與分化為記憶細胞（稱為受體編輯）。 3. 疫苗接種（Vaccination）：疫苗是從對抗原的病狀特徵所研發出來的，它包含對病症的準確性也就是對症下藥。接種疫苗能提高抗體對抗抗原的效率。 4. 反覆進行上述免疫過程，直到迭代次數到達限定值或目標函數值收斂至某一值。以 TSP 問題設定人工免疫演算的數學模式，首先要進行抗體與抗原的編碼。在 TSP 問題中抗體為一條探訪城市順序的最短路徑排列方式，抗原則是找出最短路徑這個目標。抗體與抗原的應答程度(也就是親和度)便是每條探訪順序所探訪完的總距離。詳細的數學算子與順序步驟如下： 步驟 1：抗體表達方式 將抗體合適的表達為 TSP 問題的解，TSP 問題的解為 n 個城市的探訪順序所形成的距離。將抗體長度定義為城市數 n，抗體細胞數存放欲探訪的城市數 n 中的任一城市。抗體表達方式如圖 1 所示。此抗體長度為 5 也就表示推銷員需要探訪的城市總數為 5，抗體細胞數中的值，分別代表推銷員的探訪順序，也就是說推銷員先探訪城市 4、再探訪城市 2、3、5、1。圖 1 TSP 問題抗體表達式完成抗體編碼方式後，接著隨機產生一群抗體碼，這一群抗體碼稱為種群數。種群數是作為第一個抗體分子免疫應答抗原的群體。以城市數 n =5 為例，若種群數設定為 3，則產生的群體將如圖 2 所示。種群數為 3 組抗體所組成，三組抗體的探訪順序都不同，第一組抗體探訪順序為 4、2、3、5、1。第二組探訪順序為 2、1、4、5、3。第三組探訪順序為 5、3、2、1、4。王素芳和王小偉[13]建議族群大小設為 50~100。圖 2 TSP 問題種群表達方式 步驟 2：親和度計算 抗體與抗原的匹配程度稱為親和度。在 TSP 問題中親和度的值越大，代表推銷員探訪所有城市的總距離越小，越快完成旅行推銷員探訪。親和度是用來衡量是否達到問題目標的標準，當愈接近期望的目標時，則親和度愈大，在旅行推銷員問題中，目標為求得造訪城市的最短距離，所以當所求得的造訪距離越短，便說其親合度愈大，愈貼近期望達到的目標。抗體與抗原親和度表示為：

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(7) Sij 代表各城市間距離參數，

i

= L

1,

,

n

，

j

= L

1,

,

n

為城市數。經由式(7)計算各城市距離參數，由造訪各城市間距離加總後得到抗體與抗原親和度。例如，隨機挑選出 5 個城市座標位置，各城市編號為 1 到 5，城市位置、各城市間距離參數如表 1 及表 2 所示。表 1 5 個城市座標表 2 各城市距離參數表以圖 1 的抗體編碼產生的探訪順序(4、2、3、5、1)，進行抗體與抗原的親和度計算。將(4、2、3、5、 1)代入式中，各城市間距離參數 S 可由表 2 得到。因此圖 1 的抗體編碼親和度為 282.43=(126.5+111.39+43.13+1.41)，即為探訪完 5 個城市的總距離。 步驟 3：抗體的交叉操作與變異算子 為維持抗體的多樣性，防止過早收斂現象，採用交叉操作來增加抗體的多樣性。由每一代初始抗體群中選出親和度較高的兩個抗體進行交叉操作，在相互配對的兩個抗體中隨機產生兩個交叉點，交換兩個抗體交叉點的位置，產生新的抗體如圖 3 所示。圖 3 抗體的交叉操作示意圖

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變異算子的作用在於避免演算過程中因為交配過程遺失一些重要的資訊，變異可使得搜尋的空間範圍更為擴大以逼近全域最佳解。一般而言，為了避免變異率過高導致破壞原有的優秀抗體，因此變異率值通常很小。王素芳和王小偉[13]建議交叉率為(0.25~1)、變異率為(0~0.3)。 步驟 4：演變記憶細胞 將上一步驟所產生的新抗體，隨機覆蓋上一代抗體群中相對親和度較低者，組成新抗體種群。 步驟 5：終止判斷，抽取最優解 判斷是否達到設定的迭代次數。若否，則重複步驟 2 至步驟 5。若是，則停止演算，由最後的抗體群中取抗原親和度最優者，即為總路徑最短的抗體作為問題的最優解。

4. 例題測試

本研究利用徐嘉吟[14]於 98 年尋找最佳化蟻群演算法的測試例題，城市數分別為 10、20、30、40、60、 70、80、100、150 等 9 種不同數量的城市數做為測試例題，三種演算法分別求算這 9 種不同城市數的數據進行測試，進而比較三種演算法，在求解品質上的差異，其測試結果（最短距離）如表 3 所示。表 3 9 種 TSP 例題測試結果城市演算法 10 20 30 40 60 70 80 100 150 PSO 268.95 372.55 489.27 534.07 727.08 731.15 827.57 980.12 1155.8 ACO 269.95 372.55 478.4 501.02 632.6 662.36 702.71 787.3 961.05 AI 239.29 335.23 473.44 491.08 625.27 657.48 695.39 786.56 959.67 茲將 9 種不同城市，以縱軸為求解距離，橫軸為 9 種不同的城市數，3 種演算法的演算結果繪製如圖 4。在城市數 60 到城市數 150 時 PSO 的求解的品質與 AI、ACO 差距開始擴大。說明了 PSO 演算法由於求解的多樣性不足，當城市數擴大時，求解會受困於局部最佳解，進而提早收斂。圖 4 9 種不同城市數於三種演算法測試結果折線圖由圖 4 知在三種演算法中，人工免疫演算法的解為最佳，在 9 種城市數中皆獲得較短的距離，與最大最小蟻群演算法在 30 到 150 等 7 種城市數的解非常相近，在徐嘉吟[14]的文獻中以 TSP 的標竿問題測試，顯示 ACO 求解品質符合標竿問題要求，在本研究中人工免疫演算法求解品質優於螞蟻演算法是故省去了標竿問題測試。ACO 與 AI 不同的城市數與最小距離比較如表 3，由表 3 可知兩者的的解品質差距不大，可以

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推斷兩者的搜尋方法，在求解品質多樣性上皆有效的跳脫了局部解。但人工免疫演算法求解仍然較蟻群演算法來得優良，由於免疫演算法的參數設定增進了搜尋最佳解的效能，因此可知，在演算法求解多樣性良好的狀況下，進行參數設定可增加搜尋最佳解的效能，反之若演算法本身的搜尋方法較差，會導致多樣性不足，無法跳脫局部最佳解，就算重新進行參數優化，能提升解品質的狀況也有一定限制，會因為求解多樣性不足導致未成熟的收斂。

5. 結論與建議

5.1 結論 本研究實證分析後，獲得以下結論： 1.從文獻中可以發現使用啟發式演算法解決組合優化問題，取代了傳統使用整數規劃、線性規劃等方法，求解效率更快、更方便。TSP 問題可視為組合優化的入門問題，進而應用至其他複雜問題。 2.本研究針對三個啟發式演算法(粒子群演算法、蟻群演算法、人工免疫演算法)比較後了解到參數設定的優化能提高全區搜索能力，但也會增加模擬的時間。但設定參數後能夠提高全區搜索能力有兩個充要條件。第一為演算法本身求解多樣性要足夠，否則參數設定提高搜尋能力的狀況有限，仍然會過早收斂。第二為參數設定要在演算法可收斂的範圍內設定，否則演算法將無法收斂。 3.本研究利用徐嘉吟[14]電腦產生亂數座標位置，模擬測試參數設定後的人工免疫演算法，與徐嘉吟[13] 改良後的蟻群演算法以及粒子群演算法進行比較。結果顯示粒子群本身搜尋能力不佳，是故求解品質最差。人工免疫演算法與蟻群演算法整體相對誤差率(Eo%)介於－0.01% ~ －1.28%之間，本研究改良的人工免疫演算法系統在城市數 30、60、70、80、100 與 150 個的表現均優於其他兩種演算法。 5.2 建議 本研究提供下列幾點建議，以供未來後續研究之參考： 1.本研究經演算法比較後發現粒子群演算法的多樣性較另兩種算法來得不足，因此建議可將粒子群演算法與其他演算法做結合，以增強粒子群演算過程中較弱的部分。 2.改進演算法參數設定可提高演算能力，建議可將參數的設定寫成副程式，給與各個參數符合收斂條件的參數範圍，求出參數範圍內的最佳參數，讓電腦找出符合演算法的最佳參數設定。 3.至今，螞蟻演算法、粒子群演算法被應用於組合最佳化問題上，例如二次指派問題、車輛路徑問題、生產排程…等相關議題，人工免疫演算法為較新的演算法可將人工免疫演算法應用於上述相關議題上，並探討其解是否更精進。

參考文獻

[1] Bullnheimer, B., Hartl, R. F., and Strauss, C., “A new rank-based version of the Ant System: A computational study”,

Central European Journal for Operations Research and Economics, vol. 7, no. 1, pp.25-38, (1997).

[2] Chen, X., and Li, Y., “Smooth path planning of a mobile robot using stochastic particle swarm optimization,” IEEE

Transactions on Mechatronics and Automation, pp. 1722-1727.(2006)

[3] Dasgupta, D. “Artificial neural networks and artificial immune system: similarities and differences”, Institute of

Electrical and Electronics Engineers, pp.873-878, (1997).

[4] Dorigo, M., Maniezzo, V., and Colorni, A., “Ant system : optimization by a colony of cooperating agents, “IEEE

Transactions on Systems, Man, and Cybernetics-Part B, vol. 26, no. 1, pp. 29-41,(1996).

[5] Dorigo, M., Optimization learning and natural algorithms, Phd thesis, Dipartimento di Elettronica, Politecnico di Milano,

Milan, Italy, (1992).

[6] Keko, H., Skok, M., and Skrlec, D., “Artificial immune systems in solving routing problems, “Institute of Electrical and

Electronics Engineers, pp.62-66, (2003).

[7] Kennedy, J., and Eberhart, R. C., “A discrete binary version of the particle swarm algorithm,” Institute of Electrical and

Electronics Engineers, pp.4101-4108, (1997).

(10)

generation control of power systems,” The 6th World Congress on Intelligent Control and Automation, pp. 3310-3314, (2006).

[9] McMullen, P. R., “An ant colony optimization approach to addressing a JIT sequencing problem with multiple objectives,” Artificial Intelligence in Engineering, vol. 15, pp.309-317, (2001).

[10] Parsopoulos, K. E., and Vrahatis, M. N., “Particle swarm optimization method in multi-objective problems,” ACM

Symposium on Computing, pp.603-607, (2002).

[11] Pasquier, J.L., Balich, I. K., Carr, D. W., and Lopez-Martin, C., “A comparative study of three metaheuristics applied to the traveling salesman problem, “Sixth Mexican International Conference on Artificial Intelligence Special Session, pp.243 - 254, (2007).

[12] Zhang, Nian-zhi, Sun, Guo-hua, Wu, Yao-hua, and Geng, Fang-hui, “A modified particle swarm optimization for the vehicle routing problem with simultaneous pickup and delivery,” Asian Control Conference, pp.1690-1684, (2009). [13] 王素芳、王小偉，2008，“人工免疫系統中參數對算法性能的影響”，師範高等專科學校學報，pp.147-168。 [14] 徐嘉吟，2009，應用改良的最大最小螞蟻系統於旅行推銷員問題，高雄應用科技大學工業工程與管理研究所未出

版碩士論文。

[15] 劉新華、張旭堂、劉文劍，2008，“基於改進最大－最小螞蟻系統的多工藝路線決策方法”，計算機集成製造系統， vol.14，no.12，pp. 2414-2420。