邊長為正整數且有一個角是 60

(1)

邊長為正整數且有一個角是 60 ^◦ 或 120 ^◦ 的三角形

鄭有志

一、前言

當三角形的三邊長為 2mn, m²−n², m²+n² (m、n 為一奇一偶的互質正整數且 m > n), 即三邊長為勾股數組時, 我們清楚的知道, 此三角形必為直角三角形, 並且, 奇數斜邊長 m²+n² 所對角為 90^◦。

此著名的勾股數組讓筆者進一步想去瞭解, 是否有其他的正整數邊長數組, 其中的某一邊的對角, 必定為某固定角。

二、預備知識

定理1. 設 θ = rπ, 其中 r 為有理數, 則 cos θ = 0, ±¹₂, ±1 或為無理數。[1][2]

推論1. 二銳角為有理度數的直角三角形中, 此二銳角的餘弦值中有有理數的三角形必為 30^◦– 60^◦–90^◦ 且三邊長中必至少有一邊長為無理數。

證: 由定理 1 得此有理銳角的餘弦值必為 ¹₂ 故此銳角為 60^◦, 所以, 三角形必為 30^◦–60^◦–90^◦, 其邊長比為 1 :√

3 : 2, 因此, 三邊長中必至少有一邊長為無理數。

定理 2. 設三角形三邊長分別為 a, b, √

a²− ab + b² 則其第二大角度量為 60^◦ 且其對邊

√a²− ab + b² 為第二長邊。

證: √

a²− ab + b² 所對角的餘弦值為 a²+ b²− (a²− ab + b²)

2ab = 1

2 得此角為 60^◦ 而此角一定是第二大角, 再由「大角對大邊定理」得知此第二大角所對邊√

a²− ab + b² 一定是第二長邊, 故得證。

84

(2)

問題1. 試找出所有的有理數 x, 使得 √

x²+ x + 1 也是有理數。[3]

結果: 對所有的 |t| < 1, t ∈ Q, 若 x = 2t − 1

1 − t², 則 √

x²+ x + 1 亦為一有理數, 而有理數

√x²+ x + 1 = t²− t + 1 1 − t²

三、主要內容

若 △ABC 的三邊長 a, b, c 皆為正整數且三個角 ∠A, ∠B, ∠C 的角度皆為有理數度數, 由餘弦定理得 cos C = a²+ b²− c²

2ab 為有理數。

應用定理 1 與推論 1 得 cos C = ±¹₂(餘弦值 ±1 使 △ABC 為退化的三角形) 故

∠C = 60^◦ 或 120^◦。

若 ∠C = 120^◦, 則三邊長為 a, b, √

a²+ ab + b², 故問題至此階段變為問題2. a, b 必須代入哪些正整數才會使得 a²+ ab + b² 為一完全平方數。

將三正數 a, b, √

a²+ ab + b² 同時除以 b 得 a b, 1,

r (a

b)²+a

b + 1 則以 1, a b, r

(a b)²+ a

b + 1 為三邊長的三角形必為 △ABC 的相似三角形且 r

(a b)² +a

b + 1 的對角必為 120^◦。

此時, 問題 2 可轉化為

問題3. 試找出所有的正有理數a b使得

r (a

b)²+a

b+1 也是有理數。應用問題 1 的結果, 可得設 t = m

n 為介於 1

2 與 1 之間的最簡分數, 分別代入 x = 2t − 1

1 − t² 與 y = t²− t + 1 1 − t² , 得 x=

2m n − 1 1 − ^mn2²

= n(2m − n)

n²− m² , y=

m2

n2 − ^mⁿ + 1 1 −^mn2²

= m²− mn + n² n²− m² , 由 1, n(2m − n)

n² − m² , m²− mn + n²

n²− m² , 三邊長中最長邊 m²− mn + n²

n²− m² 所對角為 120^◦, 得 n²− m², n(2m − n), m²− mn + n² 三邊長中最長邊 m²− mn + n² 所對角為 120^◦, m、

n 為二互質正整數且 m < n <2m。

以下分別討論 n = 3, 4, 5 時, 可產生那些三角形。

(3)

若 n = 3 則 m = 2 得三邊長為 5, 3, 7 且皆為個位數, 96 學年指考數甲非選擇題一, 就是以此三數為三邊長。

若 n = 4 則 m = 3 得 7, 8, 13。

若 n = 5 則 m = 3 或 4 得 16, 5, 19 或 9, 15, 21 (相似於 5, 3, 7 三角形)。

接著, 討論三邊長 n²− m², n(2m − n), m²− mn + n² 的奇、偶性, m n n²− m² n(2m − n) m²− mn + n²

奇偶奇偶奇

偶奇奇奇奇

奇奇偶奇奇

由上表可得結論: 任一個三角形至少有一個相似形, 其 120^◦ 所對邊長 m²− mn + n² 必為奇數。

對於 ∠C = 60^◦ 的情形, 三邊長為 a, b,√

a²− ab + b²。因為 a = b 時, 得到正三角形, 所以, 以下的討論就排除此一明顯的情形。

仿照前面有關 ∠C = 120^◦ 的處理模式: 問題 2 → 問題 3 → 應用問題 1 的結果, 筆者先提出與問題 1 相當類似的問題。

問題4. 試找出所有的正有理數 x, 使得 √

x² − x + 1 也是有理數。

解答: 模仿問題 1 所提供的解答 [3], 解

(y= tx + 1, t ∈ Q y=√

x² − x + 1

(tx + 1)² = x²− x + 1 ⇒ x[(t²− 1)x + (2t + 1)] = 0 ⇒ x = 2t + 1 1 − t² 而 y = 2t²+ t

1 − t² + 1 = t²+ t + 1

1 − t² 而 −¹₂ < t <1

而類似「問題 2 → 問題3」步驟的文字部分省略, 直接進入「應用問題 4 的結果」。應用問題 4 的結果, 可得

設 t = m

n 為介於 0 與 1 之間的最簡分數, 分別代入 x = 2t + 1

1 − t² 與 y = t²+ t + 1 1 − t² , 得 x=

2m n + 1

1 −^mⁿ²² = n(2m + n)

n²− m² , y=

m2

n2 + ^m_n + 1

1 − ^mⁿ²² = m²+ mn + n² n² − m² , 由 1, n(2m + n)

n² − m² , m²+ mn + n²

n²− m² , 三邊長中第二長邊 m² + mn + n²

n²− m² 所對角為 60^◦,

(4)

得 n²− m², n(2m + n), m²+ mn + n² 三邊長中第二長邊 m² + mn + n² 所對角為 60^◦, m、 n 為二互質正整數且 m < n。(「第二長邊」是由

m²+ mn + n² =p(n²− m²)²− (n²− m²)[n(2m + n)] + [n(2m + n)]² 與定理 2 所得的)。

以下同樣分別討論 n = 2, 3 時, 可產生那些三角形。

若 n = 2 則 m = 1 得三邊長為 3, 8, 7。

若 n = 3 則 m = 1, 2 得三邊長為 8, 15, 13 與 5, 21, 19。

接著, 同樣討論三邊長 n²− m², n(2m + n), m² + mn + n² 的奇、偶性,

m n n²− m² n(2m + n) m²+ mn + n²

奇偶奇偶奇

偶奇奇奇奇

奇奇偶奇奇

由上表可得結論: 任一個三角形至少有一個相似形, 其60^◦所對邊長m²+mn+n²必為奇數。

最後, 將邊長數對 (3,5,7) , (7,8,13) , (5,16,19) 分別與 (3,7,8) , (8,13,15) , (5,19, 21) 配對比較, 發現

(3,5,7) 與 (3,7,8) 皆有 (3,7) 且8 = 3 + 5;

(7,8,13) 與 (8,13,15) 皆有 (8,13) 且 15 = 7 + 8;

(5,16,19) 與 (5,19,21) 皆有 (5,19) 且 21 = 5 + 16, 故可得下列三圖。

圖一

圖二

圖三

(5)

圖一中, (3,5,7) 三角形, 邊長 7 所對角為 120^◦。接著, 以邊長 3 為底邊向外做一正三角形, 由於 120^◦ 的外角為 60^◦, 故加入此邊長 3 的正三角形等於將邊長 5 向左上延長為 8, 並且將原邊長 3 繞左端點逆時針旋轉 60^◦, 最終得到 (3,7,8) 三角形, 且邊長 7 所對角必為 60^◦。圖二與圖三亦傳達了相同的作法。

參考文獻

1. 蔡聰明,√

2 為無理數的證明, 數學傳播季刊, 89, pp.12-23, (1999)。

2. J¨org Jahnel, When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?

http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Preprints/cos.pdf

3. 雙週一題網路數學問題徵答網站 http://www.math.nsysu.edu.tw/∼problem/

—本文作者任教於陳立文教機構_—

中央研究院數學研究所2011年5月份學術會議

International Conference on

Designs, Matrices and Enumerative Combinatorics

日期 : 2011年5月19日 (星期四) ∼ 2011年5月22日 (星期日) 地點 : 臺北市大安區羅斯福路四段1號天文數學館6樓

中研院數學所演講廳

會議內容: 研討 designs, combinatorial matrices, finite geometry, enumerative combinatorics 的各種問題

報名 : 網路報名

詳細情形請查詢中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw 2011 年為中央研究院數學研究所的「組合數學」特別年

請隨時上數學所網站查詢最新相關資訊

邊長為正整數且有一個角是 60