棋盤上的穀粒：數大之奇 洪萬生

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（和平高中）

編輯小組：蘇意雯（台北市立大學）蘇俊鴻（北一女中）

葉吉海（桃園陽明高中）陳彥宏（成功高中）

英家銘（台北教育大學）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng 聯絡信箱：[email protected]

棋盤上的穀粒：數大之奇

洪萬生

台灣師範大學數學系退休教授

一、等比級數求和問題

𝟐^𝟎＋𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑 =? 這是一個級數求（總）和的問題。在初等數學中，通 常只介紹兩類級數：等差級數及等比級數，或者，另稱算術級數及幾何級數。

這個級數顯然是等比級數。如何求（總）和？這是國中數學問題，不過，多數師生 所在意的，恐怕是如何運用下列公式，來求解給定的求和問題：

𝒂 + 𝒂𝒓^𝟏+ 𝐚𝒓^𝟐+ ⋯ + 𝐚𝒓^𝒏−𝟏 = 𝒂(^{𝒓𝒏−𝟏}

𝒓−𝟏)

其中，公比r 是不等於 1 的正數，a、𝒂𝒓^𝒏−𝟏分別是這個級數的第一項（或首項）、第n 項。

不過，比較「酷」的方法，或許是模仿「證明」此一公式的進路，讓這個解題充滿 了創意：令S 等於這個級數的（總）和（sum）：

𝑺＝𝟐^𝟎＋𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑 如果等號兩邊都乘以2，則上式變為

𝟐𝑺＝𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑+ 𝟐^𝟔𝟒

將這兩個式子相減 -- 不妨先交錯並列如下：

 棋盤上的穀粒：數大之奇

……… 洪萬生

 奉掛御寶前算額－累圓容切問題(II)

……… 黃俊瑋

 研究隨筆：愛知縣岡崎市六所神社 算額……… 英家銘、吳韋霖

HPM 通訊第二十一卷第十二期第二版

𝟐𝑺＝ 𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑+ 𝟐^𝟔𝟒 𝑺＝𝟐^𝟎＋𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑

則 𝟐𝑺 − 𝑺＝𝟐^𝟔𝟒− 𝟐^𝟎 或 𝑺 = 𝟐^𝟔𝟒− 𝟏，即為所求。

其實，如果你多「想」一點 -- 是「解析地想」（analytical thinking），而不只是「隨 興地聯想」（associative thinking），那麼，說不定你已經發現上述求 S 總和的方法，可以 引出（或類比出）證明等比級數求和公式的進路。

在這個脈絡中，教師如果覺得「勻出討論時間」是值得嘗試的教學策略（或投資）， 那麼，請不妨並列「上述例子解法」與「（一般）等比級數公式證明」，或許教室中就會 出現此起彼落、令人驚喜的Eureka（發現）時刻了！

二、「等比級數」的源頭

在國中數學課程中，為什麼要學等比級數？這個「大哉問」不好回答。我們可以試 圖搜尋數學史上的案例，來「正當化」（justify）此一教學（或智性）需求。

等比級數問題在數學史上出現甚早。以中國算書為例。最晚在西漢呂后二年（186 BCE）出現的竹簡《筭數書》中，我們已經可以解決按等比關係的比例分配問題：

女織 鄰里有女惡自喜也，織日自再，五日織五尺。問：始織日及其次各幾何？

曰：始織日一寸六十二分寸卅八，次三寸六十二分寸十四，次六寸六十二寸十八，

次尺二寸六十二分寸五十六，次二尺五寸六十二分寸五十。

術曰：置二、置四、置八、置十六、置卅二，并以為法，以五尺遍乘之各自為實，

實如法得尺。

這個題目在稍後問世的《九章算術》（約為公元紀元前後問世）中，以幾乎一樣的面貌出 現：

今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問：日織幾何？

術曰：置一、二、四，八、十六為列衰，副并為法。以五尺乘未并者，各自為實，

實如法得一尺。

至於答案，則兩書都正確：依序為（始織日）𝟏^𝟏𝟗

𝟑𝟏寸、𝟑 ^𝟕

𝟑𝟏寸、𝟔^𝟏𝟒

𝟑𝟏寸、1 尺𝟐^𝟐𝟖

𝟑𝟏寸、2 尺 𝟓^𝟐𝟓

𝟑𝟏寸。請注意：上引《筭數書》的答案沒有約分，可見，約分與否完全是目前小學數學 的課程規約。

這種涉及「實用」的歷史情境，是否有助於提升學生學習等比級數的動機，我們不

HPM 通訊第二十一卷第十二期第三版

得而知。或許我們對照古埃及《萊因德紙草書》（Rhind papyrus）第 79 題，可以發現這 一類題目不無娛樂效果。事實上，這一題是如下引述的斐波納契《計算書》（Liber abaci, 1202）中的一首詩之濫觴：

當我走到聖伊維斯（St. Ives）時，

我遇到一個有著七個老婆(妻子）的男人 每個妻子都有七個麻袋，

每個麻袋裡裝著七隻母貓、

每隻母貓有七隻小貓，

請問共有多少小貓、母貓、麻袋、妻子和他一起前往聖伊維斯？

因此，解謎趣味的娛樂數學（recreational mathematics）問題往往成為普及知識的

「梗」，這對於今日的數學教師也好，科普作者也好，都是極重要的歷史啟示。數學「有 用」的訴求固然重要，說不定它「好玩」的特性，才是更好地「貼近」學生或讀者心靈 之進路，我們千萬要謹記在心才好。

三、棋盤上的穀粒

然則我們究竟如何讓讀者（或學生）對等比級數更加「有感」呢？當然，我們可以 利用斐波納契所引述的這一首詩，其「紅利」包括（順便介紹）斐波納契數列（或費氏 數列）1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 及其與等比或等差級數「迥異」的模式等等。更有趣的，

當推《萊因德紙草書》所提供的古埃及人的兩種解法，尤其是涉及遞迴關係的那一個，

更是非常值得我們現代人參考借鏡。¹

不過，出自竹簡或紙草的例題，除了「發思古之幽情」外，顯然欠缺數學知識可以 帶給我們的驚奇感嘆（wonder），更何況它的敘事框架已定，沒有「多餘的」空間可以發 揮。

可是，如果我們以本文開宗明義的例題「𝟐^𝟎＋𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑 =?」，來引進等 比（或幾何）級數，那麼，我們可以敘說的故事，或許就有趣得多了。尤其是這個級數 的總和2⁶⁴1究竟有多大，更是值得我們深入探索。

在數學小說《蘇菲的日記》（Sophie’s Diary）中，作者朵拉・穆西亞拉克（Dora Musielak）顯然藉由蘇菲的日記，「重述」（recount）這個可能是她童年閱讀（穀粒與棋 盤）的故事。她的版本如下：很久很久以前，有一位國王想要一個其他人不曾擁有的獨 特遊戲，希望可藉以教導後代子孫「成為更優秀的思想家以及戰場上更好的領袖。」結 果，有一位賢者發明了一個遊戲（亦即今日的西洋棋，有 𝟖 × 𝟖 = 𝟔𝟒 個正方格）獻給國 王。國王龍心大悅，諭令要以賢者要求的任何賞賜（包括黃金珠寶等等任何東西）作為 回報。

1 參考 Luca N. H. Bunt 等著（黃俊瑋等合譯），《初等數學史》（The Historical Roots of Elementary Mathematics），五南出版社即將出版。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第四版

萬萬沒想到這位賢者竟然只想要穀粒！要多少呢？賢者說他要的數量按照棋盤上正 方形（數量）來算就可以了。他的公式很簡單：

第一個正方形他要一個穀粒，然後，在接下來的棋盤上的每一個正方形上加倍。換 句話說，在第二個正方形上要有兩個（1 乘以 2）、第三個正方形要有四個（2 乘以 2）等等，直到全部六十四個正方形都計算出來以決定穀粒的總數。

對於這樣「謙卑」的要求，國王也大感意外。國王命令下人帶一袋穀粒來，按照賢者的 要求，一格一格地計算穀粒，結果一下子穀粒已經用罄，

於是更多的穀粒被帶進來。很快的，他們發現就算是全王國的穀粒，都不足以對應 棋盤上一半（數量）的正方形。

故事重述到這裡。作者穆西亞拉克緊接著布了一個「梗」，讓年方十四歲的蘇菲

（1790 年）試著計算穀粒的數量。結果，她試到 𝟐^𝟏𝟖= 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒 就投降了：「我必須在 這裡停止。現在我只能想像第四列及棋盤上剩餘正方形上面的巨大數字了。我不用計 算，也知道我可以利用數字𝟐^𝐧來代表每個正方形上面的穀粒，其中第一個正方形為𝟐^𝟎= 𝟏，然後，最後一個正方形為𝟐^𝐧＝𝟐^𝟔𝟑。之後，我要將所有正方形上的所有穀粒加起來，

而這總數將會無比巨大。光𝟐^𝟔𝟑就是個我無法想像的巨大數字了！」

在這則日記（1790 年 3 月 7 日）的最後，蘇菲為這個故事提供了她的數學表徵：「我 要如何只用數學來敘述這個故事呢？我可以寫成總和 𝟏＋𝟐＋𝟒＋𝟖 + 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐+. . . +𝟐^𝟔𝟑， 讓我大約知道會有幾個穀粒。」

四、普及版的再重述

故事雖然說到「已見數學真章」，不過，這個插曲卻尚未結束！在下一則日記（1790 年3 月 15 日）中，蘇菲為了安撫焦躁的妹妹安潔莉，想教她下西洋棋，結果引不起她的 興緻。直到蘇菲提起國王想要教導孩子們更聰明的故事，妹妹才終於安靜了下來。

不過，蘇菲也深知妹妹只能接受「美化的」版本，於是，她將故事改編如下：

在我的故事中，賢者變成了英俊的王子，並且會在贏得遊戲之後，娶得國王美麗的 女兒。我又額外追加了國王對這新遊戲很滿意，並且願意給予任何王子想要的東西 - 黃金或鑽石 - 來作為公主的嫁妝。我也更改了賢者要求穀粒的部分。為了讓安潔 莉保持興趣，我將故事改為王子要求的是鑽石！我妹妹完全著迷了，變得更想玩，

也許她幻想著棋盤上每個正方形中都有閃閃發亮的鑽石。

或許受到這個故事的啟發，妹妹終於願意下棋。蘇菲趁此機會解釋棋盤上的穀粒（或鑽 石）的計算方式。她承認妹妹可能不明白究竟怎麼回事，但還是表現得很有耐心的樣 子。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第五版

蘇菲的這個再重述插曲，說明普及者（如朵拉・穆西亞拉克）一旦掌握了數學知識 活動的真諦，就可以針對閱聽對象，而提出不同的敘事版本。至於實效如何，那就請

（讀者或老師）到現場見真章了！

五、結語

棋盤上的穀粒之敘事還有其他的變貌，有意使用者大可針對訴求對象及講述場合，

來修訂或改編本文所提及的版本。不過，所有的版本都必須保留一個核心事實，那就 是，2 的數大之奇（數目變大之快，令人嘖嘖稱奇）！若不如此，恐怕難以讓學生保持ⁿ 強烈的好奇心，而願意「順便」學習等比級數的求和公式。

至於是否在一開始就提出 𝟐^𝟎＋𝟐^𝟏＋𝟐^𝟐＋𝟐^𝟑+. . . +𝟐^𝟔𝟑 =? 的求和問題，或者先敘述棋 盤上的穀粒之故事，還是引述漢簡筭書、紙草書或斐波那契詩歌問題，以作為等比級數 求和單元之學習動機等等，則悉聽尊便，但求學生多少體會數學知識有其脈絡即可。

從數學敘事（mathematical narrative）觀點來看，這些脈絡（包括故事或古算源 頭）都難以切割等比級數的知識內容。任何人只要接觸這些文本，就會不由自主地啟動 數學思考，因為那些故事或源頭本來就是數學的一部份。總之，從棋盤上的穀粒，我們 也可以考察數學的多元面貌。清水變雞湯，端看你怎麼烹煮了！

參考文獻

Musielak, Dora (2014).《蘇菲的日記》，台北市：三民書局。

洪萬生 (2006).《數之起源：中國數學史開章《筭數書》》，台北市：台灣商務印 書館。

洪萬生 (2017).《數學小說閱讀筆記》，新北市：遠足文化出版社。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第六版

和算家安島直圓及其重要算學成就(II)

黃俊瑋 台北市立和平高中 續前期

四、安島直圓之《不朽算法》與圓柱穿空圓術

（一）《不朽算法》

如前所述，《不朽算法》是安島直圓死後由弟子日下城整理他的遺稿並於1799 年編 成書。《不朽算法》分成上、下兩卷，〈上卷〉的內容共包含了35 個問題及解術。其中，

第1 問為整數論問題，第 16、17、28、29 雖為幾何問題，但第 16 題與第 17 題要求三角 形與四面體邊長、體積為正整數，第28 題要求半梯形的邊長與對角線為正整數、²第29 題要求正方形及內容三角形之各邊長為正整數，因此這四個問題求解過程亦與整數解的 討論有關。第2 問為組合問題，第 3 問至第 15 問、第 22 問、第 23 問、第 30 問至 34 問 皆是平面上幾何的問題，除了第10 問與第 13 問之外，皆為平面上多邊形容圓或容橢圓 問題，第30 問至第 34 問則為平面上圓內、圓外容累圓相關問題。

其它第17 問至第 21 問、第 24 問至第 27 問第 27 問之後的問題，皆屬於空間中的幾 何問題，當中的第24 問與第 25 問為大球容若干小球之容累球問題，第 26 問與第 27 問 則為內弧錐與外弧錐容累球問題。最後的第35 個問題為「圓柱穿去空圓」求其穿去積，

書中僅列出此問題的解題術文，但未提出解此問題的方法與過程。相關解法安島直圓另 外列於《圓柱穿空圓術》與《圓柱穿空圓術起源》兩本著作中。

綜合來看，上卷34 問中除了第 1 問與第 2 問之外都與幾何有關，同時，容圓或容球 類問題占《不朽算法》比重最高。書中安島直圓也偏好提出「一般性」的問題，例如第 12 問的三角形容圓問題以探求「求等圓徑通術」為目標，第 19 問則是奇角柱截積問題，

第23 問「問側圓數起於三個、至於數十百個，求短徑術」在在可看出他追求的是一般性 的術文。此外，第33 問與第 34 問容累圓問題，皆是求「容圓術若干，求各圓徑通術」，

同樣為了解決一般性的問題。此外，即使問題提供的是具體的數字或單位，但安島直圓 最終也傾向提出抽象性的解題術文。

《不朽算法》〈上卷〉的內容主要是問題與答術集的形式，然而〈下卷〉的內容則與 開方有關。下卷開宗明義提到：「或曰：十二問三斜內容等圓術，界斜數十，則開方乘數 亦數十乘方，得商數不易，可謂無用之術乎。³」這裡他並不滿足於舊有開方術進行開方 時的繁瑣與不易，因而探求新的開方法。由此可知，他不只關心數學知識的「正確性」， 術文的簡捷性亦是他所重視的重要數學知識價值。因此，創造出指數表與新的開方法，

透過指數表與指對數相關性質，簡化傳統開方法與開方綴術的繁雜程序與冗長計算。

2 半梯為直角梯形。

3 安島直圓，《不朽算法》下卷，引自徐澤林，《和算選粹補編》，頁 416。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第七版

圖四《不朽算法》書影－〈下卷〉指數表

而他的新方法，主要先造出一個指數表（如圖四所示為《不朽算法》〈下〉數表的一 部份），該表包含了10^n101、10^n102、…10^n1012的近似值，其中n 為 1 至 9 的自然數。接 著，利用此表搭配與指對數有關的性質，可較快速地求得實數開高次方之值。

最後，安島直圓進一步對此方法評論道：「別雖有依綴術得開方商數，乘數多者，則 諸數亦及繁多，故不載之。」而這裡的綴術即前面提到過的「開方綴術」，即是利用二項 展開式之冪級數公式進行開方，然而，他認為利用查表開方比起利用開方綴術的過程簡 單，⁴同樣可看出他對方法或術文是否具簡捷性之關懷。

（二）安島直圓之圓柱穿空圓術

如前述《不朽算法》一書中的第35 道問題為著名的穿去題：「今有圓柱，徑若干如 圖橫穿官圓，空徑若干，問所穿去積幾何。」（如圖五所示），⁵此問題是已知一圓柱及其 直徑，求以一圓形穿過該圓柱時，所交出立體之體積。即相當於求兩圓柱相交成的立體 體積。

若假設圓柱的直徑為R、穿去圓的直徑為 r，則《不朽算法》所列的解題術文－圓柱 穿空圓術－相當於下列關係式：

0 1

k k

V V V





 



數。

4 這裡我們進一步比較，當我們以查表法開方求 時，只需先查表計算出滿足 = A 的 x 值(x=

)，此時計算可得 = ，再查表反求出滿足( = )的 r 值即為所求。相 較於前述開方綴術，除了先得造出原數、定乘數r、定除數 ，之後，必需依序造出各差的乘率 與除率

，從而遞回地造出一差、二差、三差等各差。最後「累減逐，得商數」。由此冗長的機械化程式來看，

前文中安島直圓所創立之查表開方「新術」，無疑比開方綴術能更加簡捷地開方求得商數。

5 左圖為《不朽算法》圓柱穿空圓側視圖，引自徐澤林，《和算選粹》，頁 476。右圖為《不朽算法》圓柱穿 空圓正視圖，引自徐澤林，《和算選粹》，頁488。

n A 10^x

log A10 ¹_x

n 1

n log A¹⁰ log r₁₀ ¹

n log A¹⁰

an p_i

qi

HPM 通訊第二十一卷第十二期第八版

圖五《不朽算法》圓柱穿空圓側視圖與圓柱穿空圓正視圖

安島直圓於1784 年所著的《圓柱穿空圓術》與《圓柱穿空圓術起源》，提出兩種解 題方法，以下，我們進一步作探討。

《圓柱穿空圓術》首先「如圖穿去積數片截之」，將圖六當中所交出立體圖形橫切成 2n+1 片，每一片成「帶直台形」，其底為帶直弧，高為 。

圖六安島直圓對穿圓徑分割示意圖

接著，安島直圓對穿去圓的直徑作分割，以圖六為例，他先依直徑等分割共分成10 片。接著，再將上下對稱位置的兩片配對，使得

，即第一片以 為高、第二片以 為高、第三片以為 為高，依此類推。

換句話說，和算家依據上述截徑方法將穿去圖形分割成n 片的過程，事實上是先分 成2n 片，並令中間 2 片自成一片，其高為 ，其它上下對稱的兩片（高各為 ） 合而為一片，如此共得n 片。筆者將此分割法稱為「配對等分割」。如圖七所示，每一片 帶直台形的底面皆為帶直台形。

2 r

n

J I

H G

F E

D C

0 A

B

r AB AC BD CE DF EG FH GI HJ

n          r

AB n

AC BD r

  n r

CE DF

  n /

r n r/ 2n

HPM 通訊第二十一卷第十二期第九版

圖七 各帶直台形之底面：帶直弧形

以割五片為例，第一弦冪 、第二弦冪 、…第五弦冪

。利用開方綴術（二項展開式）將各弦 展開得：

…

再將上述 代入《弧背術解》一書所得帶直弧積公式：

則帶直弧積為：

原數 一差 二差 三差 四差 其中，把上述c1代入後可得：

原數=

一差=

=（ ） （ ）

截弦

柱徑 R

2 2 2

1 ( )r

c r

  n ₂^{2 2} 2 ²

( r) c r

  n

2 2 2

5

(5r) c r

  n _k ² (kr)²

c r

  n

2 2 2 4 6 8 10

1 3 5 7 9

1 1 1 5 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

2 8 16 128 256

r r r r r r

c r r

n r n r n r n r n r n

        

2 2 2 4 6 8 10

3 5 7 9

1 1 1 5 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

2 8 16 128 256

k

kr kr kr kr kr kr

c r r

n r n r n r n r n r n

        

1, 2, ...3

c c c

3 5 7 9

2 4 6 8

1 1 1 5

6 42 112 1152 ...

Rc Rc Rc Rc

A Rc

R R R R

     

3 5 7 9

1 1 1 1

1 1 2 4 6 8

1 1 1 5

6 42 112 1152 ...

Rc Rc Rc Rc

A Rc

R R R R

     

2 4 6 8 10

1 3 5 7 9

5 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

2 8 16 128 256

R r R r R r R r R r

Rc Rr

r n r n r n r n r n

      

2 1

1 2

(1 ) 6 Rc c

R

2 4 6 8

3 5 7

( ) ( ) ( ) 5 ( ) ...

2 8 16 128

R r R r R r R r

Rr r n  r n  r n  r n  1₂

( )

6R

2 2

( )r r  n

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一○版

=（ ）（ ）

= [ ]＋[ ]＋[ ]…

二差=

=[ ]+[ ]

以此類推，可得各差的展開式。最後，以原數減去逐差的展開式即為第一帶直弧積

。第一帶直台積為底面帶直弧積乘上高，即 ＝ ． 。又由於， ，所以化 簡後可得 。同理可得第二帶直台積 、…、第 k 帶直台積 ，而所求穿去積即可整理

成 ，其中， ， 。依此法所得結果即前

述《不朽算法》中所列的術文。

前述《圓柱穿空圓術》的解題過程，安島直圓採取截鉛直直徑的方式，將所求相交 立體圖形切成若干橫切片「帶弧直台」（如圖八所示），⁶利用「開方綴術」與「垛積術」

各自求積後再併之得所求穿去積。而後安島直圓在《圓柱穿空圓術起源》又提出另一方 法，他採取截水平直徑的方式（如圖十與圖十一所示），⁷將所求相交立體圖形切成若干直 立切片「直堡壔形」（如圖九示），⁸同樣利用「開方綴術」與「垛積術」求得積各直堡壔 積，最終併之為所求穿去積。安島直圓在《圓柱穿空圓術起源》所得穿去積公式為：⁹

其中， ， 、 、 、 。

6 本圖引自徐澤林，《和算選粹》，頁 477。

7 圖 3.5.12 與圖 3.5.13 皆引自徐澤林，《和算選粹》，頁 488。

8 本圖引自徐澤林，《和算選粹》，頁 488。

9 受篇幅限制，本文不列出安島直圓的解題求術過程，至於詳細作法可參考本文後續內容或參考王裕仁，

《安直直圓《不朽算法》之內容分析》，2013。

2 4 6 8

3 5 7

( ) ( ) ( ) 5 ( ) ...

2 8 16 128

R r R r R r R r

Rr r n  r n  r n  r n  ²₂ 1₂ ² 6 6 ( )

r r

R  R n

3

( )2

6 6 r r r

R R n ^{3 2} 1 ⁴

( ) ( ) 12 12

r r r

R n rR n

  ¹ ( )^{4 1}₃ ( )⁶

48 48

r r

rR n r R n

 

4 1

1 4

( 1 ) 40 Rc c

R

5 3

2 4

3 3( ) 3( )

40 20 40

r r r r r

R  R n  R n ( )r ² n

3

2 4 6

3( ) 3 ( ) 3 ( )

80 40 80

r r r r r r

R n R n R n

  

A1 V₁ A₁ r

n lim 0

n

r

n

V1 V₂ V_k

0 1

k k

V V V





 



(2 3)(2 1) ( ) 2 (2 1)

k k

k k r

V V

k k R ^

 

 

1 2 3

1 3 3 5 5 7

1 ...

3 6 10

V   T  D T  D T  D T

2

8 2

T r

 R D₁T ₂ ^{1 3} ₁

D  3 D T ₃ 3 5 ₂

D  6 D T ₄ 5 7 ₃ D  10 D T

圖八 圓柱穿空圓橫截圖 圖九 圓柱穿空圓縱截圖

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一一版

圖 3.4.12 截水平直徑側視圖 圖 3.4.13 截水平直徑俯視圖

安島直圓求弧背術以及圓柱穿空圓術的過程，主要是利用截徑與截弦法，將所求圖 形作「分割」再「求和」。在求和的過程中，安島直圓利用到《弧背術解》一書所得之弧 背術和《綴術括法》中的開方綴術（二項展開式）對帶根號的式子作展開，並以垛積術 求和。最終，略去^R

n 相關項，相當於利用了lim 0

n

R

 n  的性質。

五、結語

綜觀安島直圓在算學上的主要成就與貢獻，除了作為十八世紀末期關流最重要的代 表性人物之外，他在關流中可謂扮演了承先啟後的角色。首先，他承繼了十八世紀初期 與中期建部賢弘與松永良弼等關流和算家對弧背術的興趣，利用圓理二次綴術處理了弧 背與穿去積問題。¹⁰在《弧背術解》一書中，透過截弦的方式，對帶直弧形分割求和求得 帶直弧積，進而求得弧長公式。一方面安島直圓的「截弦法」打破關孝和以來「截背 術」之傳統，雖然悖逆了建部賢弘處理此一問題時，所主張的「順形質」原則，¹¹卻也為 往後和算家開創新路，諸如十九世紀《圓理算經》所列各類截法，多為截弦法的推廣。

同樣地，安島直圓還透過兩種分割求和的積分方式，解決了前人所提出的穿去積問 題，並開創和算家算學研究與設計問題的新方向，這類穿去題儼然成為十九世紀和算家 關心的重要問題之一，¹²諸如《圓理算經》或《算法圓理鑑》等和算著作，皆包含了許多 更複雜且更具創意的穿去題，同時也從求穿去體的體積問題進一步推廣至求穿去體的表 面積以及求交周問題。到了十九世紀，和田寧等關流和算家亦以安島直圓「分割求和」

的積分為基礎，輔以各類圓理表的發明，推廣出更具一般性且更簡捷的和田寧積分法－

「圓理豁術」。例如《圓理算經》一書所解決的圓周、弧長、橢圓周長、穿去積、去面 積、交周等圓理問題，多是以「截弦（徑）法」為基礎，搭配分割求和的方式來處理。

10 過去史家認為安島直圓使用了圓理二次綴術，亦相當於二重積分，然筆者就文本的考察發現，其所使用 的綴術包含了開方綴術，即有理數的二項式定理展開式，其與積分概念無關，而處理「平圓穿空圓術」之 穿去積問題過程中，共使用了三次綴術。王裕仁，《安直直圓《不朽算法》之內容分析》相關研究中亦持同 樣觀點。

11 建部賢強在《綴術算經》中提到，對圖形作分割時，必慮考慮圖形本身的特性。欲求圓弧長或圓周長 時，對圓周或弧作等分割才是「順應圖形特性」的方法，對直徑或弦長等分割則否。

12 小林龍彦、田中薫的研究中收集整理了十九世紀之後，奉納於算額上的穿去題，共計 138 面算額、178 個問題，可見十九世紀後，穿去題所受重視。參考小林龍彦、田中薫，〈算額にあらわれた穿去問題につい て 〉，《日本數學史學刊》，第 90 卷，1981 年。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一二版

另外，安島直圓《綴術括法》，延續了前人的研究，將「開方綴術」，即(1x)^{1/ 2}之展 開式推廣至(1x)^1/n，其中n 為任意正整數的情況，書中並以表的方式來表示此二項展開 式的各項係數，這樣的方法也被十九世紀和算家所繼承。例如，和田寧除了對二項展開 式的指數作更一般化的推廣之外，更利用「表」的方式來記錄、表示出各類展開式之各 項係數之間的關係。除了以綴術括法處理開n 次方問題外，安島直圓考量傳統開方法以 及開方綴術在實作過程中需要做複雜的計算，因而編製了指數表，以此表搭配指數、對 數相關性質，求解高次開方問題的數值解，整體而言，比傳統開方綴術來得簡便許多。

而安島直圓死後由他的弟子日下城整理而成的遺稿－《不朽算法》，則是安島直圓生 前所創造的數學問題集，從此書可看出安島直圓創造、推廣、解決各類幾何問題時的創 意與能力。安島直圓先是繼承了《精要算法》的累圓問題，並將原問題中的「等腰三角 形」、「兩個圓」等條件，進一步作推廣至任意三角形以及任意多個圓的一般化情況。除 了平面上三角形容累圓問題外，《不朽算法》更進一步推廣至平面上圓容累圓問題、空間 中錐體容累球、空間中內弧錐與外弧錐容累球等問題，也發明了其它平面圖形的容圓、

容橢圓問題。從這些幾何問題推廣，以及求解這些問題所提出的「通術」，也看出他對問 題抽象性與一般性的關懷。

當時的關流和算家們，便是以一般化的問題與術文為目標，並基於術文是否簡捷易 操作等原則，從事舊題新解，改進舊有術文與方法，進而創造出新術文與新方法。換言 之，追求數學問題與解題公式的抽象化與一般化，以及追求更好或更簡捷的術文，皆是 引發安島直圓和當時代和算家從事數學研究的重要動機與知識需求。

參考文獻

一手文本

安島直圓，《不朽算法》，1799 年。收入徐澤林《和算選粹補編》。北京：科學出版社，

2009，頁 399 - 423。

安島直圓，《弧背術解》，收入徐澤林《和算選粹》。北京：科學出版社，2008，頁 467 - 475 。

安島直圓，《圓柱穿空圓術》，收入徐澤林《和算選粹》。北京：科學出版社，2008，頁 476 - 487。

安島直圓，《圓柱穿前圓術起源》，收入徐澤林《和算選粹》。北京：科學出版社，2008，

頁488 - 500。

安島直圓，《綴術括法》，收入徐澤林《和算選粹補編》。北京：科學出版社，2008，頁 426 -431。

研究論文與專書

小林龍彦、田中薫，〈算額にあらわれた穿去問題について 〉，《日本數學史學刊》，第 90 卷，1981。

王裕仁，《安直直圓《不朽算法》之內容分析》，國立台灣師範大學碩士論文未出版。

徐澤林，《和算選粹》。北京：科學出版社，2008。

徐澤林，《和算選粹補編》。北京：科學出版社，2009。

徐澤林，《和算中源-和算算法及其中算源流》。上海：交通大學出版社，2013。

黃俊瑋，《關流算學研究及其歷史脈絡：1722-1852》，國立台灣師範大學博士論文未出 版，2015。

黃俊瑋，王裕仁，〈和算家如何追求一般化與簡捷性：以安島直圓為例〉，本文收錄於

《數學的東亞穿越》，2018。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一三版

研究隨筆：愛知縣岡崎市六所神社算額

英家銘、吳韋霖

國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系

2018 年 1 月，本文的第一作者赴日本愛知縣、岐阜縣與京都府進行訪問研究。在愛 知縣的部分，第一作者拜訪了愛知縣岡崎市的六所神社。岡崎是江戶時代開創者德川家 康（1543-1616）的出生地，而六所神社則是以家康出生地守護神的地位從江戶時代一直 被保存到今日。

圖一：愛知縣岡崎市六所神社（攝影：英家銘）。

岡崎市六所神社中，保存有一幅50cm x 25cm 的算額，並不算太大。第一作者在 2018 年 9 月參加日本全國和算大會時，聽和算研究者佐藤健一老師說，六所神社的這幅算額是他 在1970-71 年左右發現的。下圖是岡崎市六所神社保存的算額。

圖二：愛知縣岡崎市六所神社算額（攝影：英家銘）

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一四版

這幅算額並沒有在神社內公開展示，第一作者是向在神社中工作的巫女詢問，確認有收 藏算額之後，再麻煩她從倉庫取出讓筆者觀看且拍照。所幸這間神社並非熱門觀光景 點，巫女才有時間應第一作者的不情之請，把算額取出。

根據算額上面的記載，這幅算額是當地的關流斎藤土吉門人本間資忠等四人，在 1779 年奉納。相對於大多數現存的 19 世紀算額，這幅 18 世紀後半的算額算是較為古 老。算額上面共有三個題目，第一題是很基本的二次方程問題，第三題解讀上目前有困 難。至於第二題，則是和算中較具有代表性的平面幾何問題。這題是適合國中程度的平 面幾何問題。下面我們將第二題進行解讀，主要的解讀內容為第二作者所完成。首先，

第二題的問題與術文如下：

今有勾股弦內如圖容圓小圓徑并斜只云勾三寸股四寸小圓徑一寸五分 問得斜術

答曰斜三寸二分五厘

術曰勾冪股冪合開平方為弦○乘半圓為子○股乘半圓為丑○勾股相乘 內減子丑餘以勾除之為寅○股內減寅為卯○弦內減卯為辰○內加入寅 為巳○以巳除勾冪內加入巳折半之合問

根據問題與術文，我們可以用現代符號如此解讀。問題是這樣的：

直角三角形 ABC 中有一線段與一小圓，小圓與直角三角形 ABC 及線段分別交於點 E、F、G，已知直角三角形 ABC 之勾 AB 與股 BC 長及小圓直徑長，問線段 AD 長。如 圖三。

而算額上的解法，我們可以分步驟敘述如下：

(1)勾冪股冪合開平方為弦： 勾²股² 弦

2 2

3 4 5

AC  

(2)乘半圓為子：弦半圓子 子 0.75 5 3.75 ( 2    AOC) (3)股乘半圓為丑：股半圓丑

丑 0.75 4 3 ( 2    BOC)

(4)勾股相乘內減子丑餘以勾除之為寅：⁽勾 股^{ )}子 丑^  勾 寅

(勾 股 )子 丑 子   2 ABC 2 AOC 2 BOC 2 AOB ( ) 2 AOB AB BE

AB AB BE

    

 勾 股 子 丑   

寅 勾

(3 4) 3.75 3 3 1.75

BE   

  

圖三

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一五版

(5)股內減寅為卯：股 寅 卯   4 1.75 2.25 ( CE CF)

    

卯

(6)弦內減卯為辰：弦 卯 辰   5 2.25 2.75 ( AF AG)

    

辰

(7)內加入寅為巳：寅 辰 巳  

1.75 2.75 4.5 AG BE AG BD DE AD BD

           

巳 寅 辰

(8)以巳除勾冪內加入巳折半之合問：

2

  2

  

 

 

勾 巳 斜 巳

2 2 2

2

2 AB ( ) 2 AD BD ( ) 2

AD BD AD BD

AD BD AD BD

   

           

       

     

勾 巳 巳





     

32

4.5 2 3.25 AD 4.5 

    

 

斜

日本目前現存有九百多片算額，上面有許多問題都可以對應到中學數學相關的幾何問 題，有些問題即使從21 世紀的角度還是頗有創意。未來我們也希望繼續介紹算額與其中 的數學問題，供臺灣中學師生學習與欣賞。

HPM 通訊第二十一卷第十二期第一六版

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