# 摘 要

(1)

(2)

## ABSTRCT

The purpose of this study is to analyze the train-induced vibration of bridges and surrounding soils during rapid transit train passing through elevated viaduct. The dynamic load considered is a series of moving axel loads produced by rapid transit train operating at uniform speed. Because the objective of this study is aiming at the vibration responses of bridges and surrounding soils, therefore, the vibrations of train set, which are judged to have ignorable effects on the responses of the bridge structures, is not considered in this study.

In order to focus on structural dynamic characteristics of the elevated viaduct, the model of bridge structure need to be simplified somehow. Although an elevated viaduct must adapt its configuration to the environmental restrictions, economic considerations often lead to its setup consisted of a series of bridges with almost the same structure configurations. Thus, the starting point of this study is a spatially periodic structure model with every bridge spans having the same structure configuration. And then, a frequency domain structural dynamic analysis scheme based on spatially periodic characteristics is developed in this study. In this analysis scheme, only one characteristic span needs to be modeled using finite elements and formulate the discretized equations of motion using standard FEM assemblage procedures. A set of frequency domain periodic boundary conditions is developed based on the spatially periodic characteristics. Combining these equations of motion and periodic boundary conditions, the dynamic responses of the whole model can be solved. And then, an algorithm for numerical calculation of the dispersion curve of periodic structure can be developed based on the homogeneous equations of motion.

The periodic structure analysis scheme described above is applied to the dynamic response analysis of a typical configurations of rapid transit elevated viaduct structure system.

Summarizing the results obtained, the behaviors of train-induced vibrations of the elevated viaduct can be categorized into two types, namely “Type I” and “Type II”. For Type I vibrations, directions of motions of all nodes are all in parallel with the plain expanded by X-axis(along the moving direction of the train) and Z-axis(along the direction of gravity). The mechanism of this type of vibration can be attributed to the wave-guide effects of

“Track+Slab+Girder”. For Type II vibrations, directions of motions of all nodes are all vertical to the plain expanded by X-axis and Z-axis. The central mechanism of this type of vibrations is the eccentricity of track for the moving loads.

Concluding all the analysis here in, it is discovered that the three factors most critical for the dynamic responses of elevated viaduct and surrounding soils are (1) structural type, (2) train speed, and (3) supporting type of rail-track system.

### Keywords：moving load、periodic structure、dispersion curve、attenuation band、propagation

band、environmental vibration

(3)

(4)

## 目 錄

1.1  研究之緣起 ... 1

1.2  文獻回顧 ... 1

1.3  研究重點 ... 5

1.4  本文架構 ... 6

2.1  頻率域有限元素法動力分析方法 ... 7

2.2  等速移動載重作用下結構動力反應之時間域有限元素求解方法 ... 8

2.3  等速移動載重作用下結構動力反應之頻率域有限元素求解方法 ... 9

2.4  頻率域求解週期性結構穩態反應分析方法 ...12

2.5  頻率域求解頻散曲線方法與振動機制 ...13

3.1  典型簡支高架鐵路橋之結構配置及其有限元素模型 ...17

3.2  簡支高架橋受單輪移動載重作用下之振動模式 ...19

3.3  單輪移動載重速度對簡支高架鐵路橋之影響 ...20

3.4  簡支高架鐵路橋之頻散關係曲線 ...22

3.5  墩柱高度對簡支高架鐵路橋之影響 ...25

3.6  跨距不均勻下簡支高架鐵路橋之振動模式 ...25

4.1  捷運列車型式對簡支高架鐵路橋動態反應之影響 ...71

4.2  遠處地盤頻率域反應求解方法 ...73

4.3  捷運列車行車速度對地盤振動DB 值之影響 ...75

5.1  結論 ... 116

5.2  展望 ... 116

參考文獻 ... 117

(5)

## 表 目 錄

 3.1

 4.1 表 4.1- 1 倍頻帶與 1/3 頻帶之上下限頻率與中心頻率(ASNI S1.6-1984)。 ... 78

## 圖 目 錄

 2.1 圖 2.1- 1 頻率域動力分析，以一跨簡支高架橋為例。(MATLAB vs SAP2000) ... 16

 2.3 圖 2.3- 1 單位移動載重作用下，單跨簡支梁中點撓曲位移。(時間域有限元素解法 vs 頻率域有限元素解 法 vs 解析解) ... 16

 2.4 圖 2.4- 1 空間週期性結構與子週期結構示意圖。 ... 16

 3.1 圖 3.1- 1 週期性結構有限元素模型。(鐵軌不納入模型) ... 28

 3.2 圖 3.2- 1 鐵軌不納入模型簡支高架橋帽樑中心各分量位移之歷時，單位移動載重速度為150km hr 。(靜力/ 影響線 vs.動態反應比較圖) ... 33

 3.3 圖 3.3- 1 簡支高架鐵路橋，墩柱底部Y方向反力之歷時隨速度分佈圖。 ... 34

(6)

 3.4 圖 3.4- 1『完整分析』典型週期性簡之高架鐵路橋之頻散關係曲線(空間週期30m，對應移動載重速度 190 / V= km hr) ... 61

 3.5 圖 3.5- 1 隸屬第一類振動模式之歷時隨墩柱高度分佈比較圖。(單位移動載重速度：V =157km hr/ ) .... 66

 3.6 圖 3.6- 1 簡支高架鐵路橋不同墩柱帽樑X方向位移UX( )t 之歷時隨墩柱位置比較圖，單位移動載重速度： 157 / V = km hr。(九跨30M搭配一跨20M) ... 70

(7)

 4.1

0 ~ 6

f = Hz) ... 82  圖 4.1- 5 捷運列車行駛高架鐵路橋，第二類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

0 ~ 6

f = Hz) ... 83  圖 4.1- 6 捷運列車之列車型式轉換函數，行車速度、頻率反應二維分佈圖(頻率分佈f =0 ~ 6Hz) ... 84  圖 4.1- 7 捷運列車之列車型式轉換函數，行車速度、頻率反應二維分佈圖。(頻率分佈f =16 ~ 56Hz) 85  圖 4.1- 8 捷運列車行駛高架鐵路橋，第一類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

16 ~ 56

f = Hz) ... 86  圖 4.1- 9 捷運列車行駛高架鐵路橋，第二類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

16 ~ 56

f = Hz) ... 87  圖 4.1- 10 單輪移動載重作用下，第一類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(紅色點為與軌道間距 相關頻率位置，頻率分佈f =16 ~ 56Hz)... 88  圖 4.1- 11 單輪移動載重作用下，第二類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(紅色點為與軌道間距 相關頻率位置，頻率分佈f =16 ~ 56Hz)... 89

 4.3

(8)

(9)

1.1 研究之緣起

1.2 文獻回顧

(10)

Brillouin 以數學模式，首先推導出一維『點質量-彈簧』週期系統中各個描述波動的物 理量，如：波數k、波長λ 、波傳速度V ，和物理模型參數(子系統長度P S、彈性係數e、 質量密度

### ρ

)與頻率 f 之間的關係。

利用週期系統特性，僅需推導一個子系統內，波由左傳遞至右兩邊界點的位移關 係，便可觀測波傳遞特性。因此一個子系統中在傳遞振動波時，左右兩邊界點的位移

L =

Reiμ ,

=2

### π

⋅ ⋅ )的關係。利用此關聯性，發現週期性系統：波數k S k對每 個頻率 f ，與子系統長度S具有(

S

k

### 1/ 2

S)的週期特性；也因為週期性的關 係，波傳速度V 在每個子系統中將會是個常數。Brillouin 利用觀察『波數P k』vs.『頻 率 f 』之間的關係曲線(稱之為頻散關係曲線(dispersion curve))。發現可以將週期性 相位因子 ( )

f 以實部與虛部( ( )

f = +

### α β

i )來表示：實數部份用『相位常數(phase constant)α 』來描述波傳遞時，會依子週期長度S產生時空的落差；虛數部份則用『衰 減常數(attenuation constant)

### β

』來表示波於子系統內傳遞時的衰減特性，也就是在 任何頻率下，任何一個無限週期性系統做簡諧運動時，相鄰兩個子元素的之單頻簡諧振 動的複數振幅比等於 e±αe±iβ，正負號與波的運動方向有關。

Brillouin 將『相位常數α 』與『衰減常數

### β

』vs.『頻率 f 』的曲線，畫在同一個 圖面上，相位常數α 曲線值的範圍界於

### ±

。並發現『相位常數α 』與『衰減常數

### β

』的曲線分佈在不同頻帶上，兩個常數 值大小呈現相反的情況。於是 Brillouin 以這兩個常數值的大小，去界定波的傳遞與衰 減行為：在『相位常數α 』分佈的頻帶上，波呈現傳遞的情形，產生所謂的『通過頻帶 (Passing band)』；在『衰減常數

### β

』分佈的頻帶上，波呈現無法傳遞的情形，產生所 謂的『停滯頻帶(Stoping band)』，利用這兩個頻帶去觀察一個子週期性系統內，波傳 遞與衰減的情形。Brillouin 以上述中『頻散曲線』、『相位常數α 』、『通過頻帶(Passing band)』、『衰減常數

### β

』、『停滯頻帶(Stoping band)』為出發點，去推導更複雜的週期 性物理模型，皆得到相同的結果，確立了觀察這些物理量，對描述波於週期性系統中的 傳遞特性具有非常大的幫助。

### β

』與這兩的常數所對應之頻帶：『通過頻帶(Passing band)』、『停滯頻 帶(Stoping band)』。更成為日後分析週期性結構振動特性的理論基礎。

f )，研究撓曲振

(11)

### μ

G. Sen Gupta 為了找出識別傳播與衰減頻帶的個數與範圍之方法，利用有限跨週期 性簡支梁為分析模型，發現振動傳播與衰減頻帶的個數、範圍與分析跨數、子結構長度 (即單跨簡支梁長度)有關。文獻[30]中，G. Sen Gupta 延續了文獻[29]中，所獲得振動 傳播與衰減頻帶之個數與範圍的識別方法，針對較複雜的週期性結構(I 型鋼梁+板之複 合式結構)進行分析，獲得在有限跨數下，撓曲波於週期性結構內的傳遞特性與跨數、

### μ

，並識別出振動傳輸與衰減 頻帶。由於傳播常數

### μ

。Ruth M.

Orris 和 M. Petyt 以無限週期性的簡支梁與(I 型鋼梁+板之複合式結構)為計算範例，

### μ

，將有限元素法的數值解比對精確解，探討其收斂性質，得到不錯的數 值近似結果。Ruth M. Orris 與 M. Petyt 於文獻[28]中，延續了文獻[27]的研究，利用 有限元素法來求解週期性結構的隨機反應，他們得到了針對週期性結構分析時，僅需一 個子結構即可進行求解，而且子結構邊界斷面可以是任何複雜型式，皆不會影響其分析 準確性的結果。

、衰減常 數

### β

、相位常數α ，並識別週期性結構振動特性，同樣得到，相位常數α 值做 2n±

(12)

### μ

，並將實部(相位常數α)與虛部(衰減常數 β)vs.頻率 f 曲線，分開比較。觀察這兩種模型的振動傳播與衰減頻帶的差別。就分析 結果，不均勻跨距的週期性簡支梁依然有辦法識別其振動傳輸與衰減頻帶，並且這兩個 頻帶，依一組不均勻跨為週期單元的內容來做變化。

D. J. Mead 與 A. S. Bansal 於文獻[15、16]中，再次研究了不均勻週期性結構系 統的自由波傳特性，這次的分析模型，較為特殊在所有均勻跨距中夾雜一個不均勻跨，

### μ

、波傳速度V 、振動傳輸頻帶、振動衰減頻帶等，主要描述波傳特性的物理量P 之間變化特性。

### μ

，識別其振動傳播與衰減頻帶，並探討這兩個頻帶內，二維週期性板式結構所對 應的振型。在文獻[18、19]中，B. R. Mace 利用『能量法』去推導了，二維週期性板結 構受點、線、面三種載重的自由波傳特性。在文獻[22]中，R. S. Langley，利用『虛 功原理』搭配週期性邊界條件推導出傳播常數

，並驗證其正確性。

### μ

，並畫出實部(相位常 數α)與虛部(衰減常數β)vs.頻率 f 曲線，識別縱向與撓曲振動波的傳輸與衰減頻帶。

### μ

，此法相較先前所提出的分析 方法，更能快速求得波傳常數

### μ

。除了驗證利用『相位陣列』求解的波傳常數

### μ

(13)

『有限元素法』、『虛功原理』或是『相位陣列』，欲針對任何複雜的週期性結構模型做 波傳分析，主要的核心概念，皆是以推導傳播常數

，來分析波傳特性的重要性。

、衰減常數

、相位常數

### α

、衰減頻帶、傳播頻帶、頻散關係曲線等，來 描述其振動特性，已經屬於非常成熟的方法了。本文將進一步把上述各個核心概念，運 用於週期性高架鐵路橋的動態特性分析，並進一步利用這些概念所得的分析成果，討論 影響高架鐵路橋動態反應的各個關鍵因素之搭配組合所引致的效應。

1.3 研究重點

(14)

km hr

### /

1.4 本文架構

(15)

2.1 頻率域有限元素法動力分析方法

M {u( )t }+ C

{u( )t }+ K

### [ ]

{u( )t } {= P( )t } (2.1-1) 上式中[M][ ]C[ ]K 依序為質量、阻尼、靜力勁度矩陣(這三個矩陣皆依有限元 素程序組合，矩陣大小對應分析模型之自由度個數)，{ ( )}

### u

t{ ( )}P t 為分別為位移歷時 陣列與外力歷時陣列。若令位移歷時陣列與外力歷時陣列的時間變化依固定頻率設定為

u t

U ω ei tω

P t

P ω ei tω

### }

，代入式(2.1-1)可改寫如下：

### [ ]

D {U( )ω } {= P( )ω } (2.1-2)

=

2[

]+i

[ ]

### ω

，再透過快速 Fourier 轉換(簡稱 FFT) 便可得到位移反應歷時{ ( )}u t

(16)

### 10m

1

df = Hz。分析結果繪於圖 2.1-1，由上而下依序為實部與虛部的頻率反應，藍色線為 MATLAB 程式分析結果，紅色線為 SAP2000 的分析結果。觀察圖 2.1-1 可發現 MATLAB 程 式的分析結果完全符合 SAP2000 之分析結果，充分顯示本文所編寫程式的正確性。

2.2 等速移動載重作用下結構動力反應之時間域有限元素求解方法 現今橋梁結構越趨複雜的情況下，其精確模擬常需要透過有限元素法，透過有限元 素之離散，大多數型式的結構物皆可模擬為有限個自由度的結構系統，利用虛功原理寫 出以結構系統各個自由度位移歷時函數為未知函數的二階常微分方程組的等號左邊部 份(即(2.1-1)式中之

M u

t + C u

t + K u

### [ ] { } ( )

t )，這是一般有限元素法教科書皆 可見到的作法；不過，對應移動載重之微分方程組的等號右邊部份(即(2.1-1)式中之

P

t

### }

)就必須要做特殊的處理。本節將討論如何在有限元素法結構動力分析架構下處理 移動載重的貢獻，所用手段是以結構動力學中的振型疊加法為基礎。

若針對一複雜結構物，欲求解該結構物在移動載重作用下之動態反應。首先，以有 限元素法建立結構模型，運用此模型之勁度與質量矩陣解特徵值問題後，可以得到自然 頻率與其對應之模態如下：

1

1

1 N m

N N

×

×

=

(2.3-1)

Ndof N× = ⎡⎣

1 "

m "

### { } φ

N ⎤⎦Ndof N× (2.3-2) 式(2.3-1)為各個自然角頻率所組成的陣列、式(2.3-2)為對應自然角頻率的振型所組的 矩陣，兩式中向量下標表示各個模態之序號數，共有N組自然頻率與模態(N小於等於 結構物之自由度總數)。已知移動載重時間與空間位置關係，為移動載重所在座標(X ) 等於速度乘上(

)乘上時間(t)(即X

### =

Vt)。在tj時刻，移動載重作用位置剛好在結構 模型中的第m個元素上，移動載重對第n個模態所貢獻的作用力參與因子可以表示為：

( )

( ) ( )

0 1

( ) ( )

Ndof m

m m

n j k j nk

k

P t P

x

=

=

## ∑

(2.3-3) 式(2.3-3)中P0為等速度移動載重的大小，

k( )m

xj

### φ

nk( )m 為第n個模態之振型對應第m根桿件內的第

### k

(17)

2.3 等速移動載重作用下結構動力反應之頻率域有限元素求解方法 由於本文後續的分析架構主要建立是在頻率域，所以等速度移動載重對於頻率域外 力陣列的貢獻是本節討論的首要標的。首先令行車方向為+X，速度為V ，等速度移動 載重所引致的外力分佈函數可以表示為：

( , ) 0 ( )

p X t =P

### δ

XVt (2.3-1) 式(2.3-1)表示出大小為P0之等速度移動載重在t時刻作用在X座標上的分佈外力。在移 動載重行走之X範圍內，若要得到頻率域表示式，則可對式(2.3-1)做 Fourier 轉換：

2

0

ift

p X f P +∞

X Vt eπ dt

−∞

(2.3-2) 令

### ς

= X Vt，式(2.3-2)可以改寫成：

2 ( )

ˆ ( , ) 0 ( )

if X

P V

p X f e d

V

π ς

+

−∞

=

## ∫

+∞ (2.3-3) 最後可得：

2 ( )

ˆ ( , ) 0

if X

P V

p X f e V

π

= (2.3-4)

### [ ]

12 12 (6 ) 6 ( )

(2) 12 (8 2 ) 12 (4 2 )

12 ( 6 ) 12 ( 6 )

( 2) 12 4 (2 ) 12

e

e

e

e

L

e s e e e s e

Zi L

e s e e s s e

Yi e

Zj L

e s e e s e e e

Yj L

e s e

e

e L L L L L

F L L e L L

M L

F L L e L L L L

M

L L e L

L

κ

κ κ

κ

κ φ κ κ κ φ ακ

κ φ βκ κ φ φ κ

κ φ κ κ φ κ κ ακ

κ φ κ κ

+ − + + − − + +

⎧ ⎫

+ + + + − + − +

⎪ ⎪

⎪ ⎪ = Ω

⎨ ⎬

− + − + + − + − − +

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭ −

− + − + + +

### [

+ e( 8 2 )φs βκLe

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ − − + ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(2.3-5)

(18)

(1 s) , (2 s)

= +

= +

V

κ

π (2.3-6)

2

s

S e

EI

φ

GA L (2.3-7)

0

4 3 Xe

e

κ

φ ω

(2.3-8)

2 2

n 2

n EI

L m

ω

π (2.3-9)

n( ) x Sinn x

L

=

### π

(2.3-10)

I 表示面積二次矩，m為每單位長之質量密度。利用式(2.3-9)與式(2.3-10)得到的解耦 動力方程式，透過振形疊加法可得移動載重作用下簡支梁之動態位移反應歷時之解析解 如下：

3 4 4

2 2 2

1

2

n n

2 2

2

n n

n n n n

t

n n n

n

n n dn n n dn

n

PL EIn n x

u x t

S S L

S Q t S Q t e

S t S S t

ζ ω

π π

ζ ζ

ζ ω ζ ω

ζ

=

## ∑

(2.3-11)

2

dn n n

ω

ω

ζ （2.3-12)

(19)

n

Q n V L

π (2.3-13)

n n

n n

Q n V

S L

π ω ω

(2.3-14)

10

### N − m

2，時間域分析時，每個模態的阻尼比皆為

=2%，等速度移動載重外力為

，移動速度為

### V = 100 km hr /

。分析時主要觀察 簡支梁的中點之位移反應歷時，分析結果繪於圖 2.3-1，圖中紅色粗線為頻率域分析結 果，藍色粗線為時間域分析結果，綠色粗線為對應式(2.3-11)的解析結果，比較這三組 分析結果可發現第 2.2、2.3 小節所提出分析方法非常近似於解析解，充分證明本文所 採用之數值方法的正確性。

若利用頻率反應函數可以線性疊加之特性，可利用單輪移動載重所引致之動態反應 求得多輪移動載重所引致之動態反應。首先，多輪移動載重所引致的時間域外力分佈函 數可以表示為：

1

Nw

n n

n

P X t P

X X Vt

=

### = ∑ − −

(2.3-15) 上式中N 為輪軸載重之總個數、w Xn為第n個輪軸在t

若轉換至頻率域分析，則得

2

1

w n

X X

N i f

n V

n

P X f P e V

π

=

### = ∑

(2.3-16) 利用指數函數之特性，可將式(2.3-16)代換為

2 2

1

n

X X

Nw i f i f

n V V

n

P X f P e e

V

π π

+

=

### ⎝ ∑ ⎠

(2.3-17) 比較式(2.3-4)與式(2.3-17)可知多輪移動載重所引致的外力分佈函數 ˆ( , )P X f 為單輪 移動載重所引致的外力分佈函數 ˆ ( , )p X f 乘以如下之頻率相關放大倍率

2

1

### ( , ;{( , ), 1 ~ })

Xn

Nw i f

n V

T n n w

n

D f V P X n N P e

V

π +

=

### = = ∑

(2.3-18) 上式中{( ,P Xn n),n=1 ~ Nw}即代表列車載重特性，DT( , ;{( ,f V P Xn n),n=1 ~ Nw})則表現 出列車載重特性對於動態外力分佈函數的放大倍率。若以式(2.3-4)求得單輪移動載重 作用下第 j 個分量之頻率反應函數 ˆ ( )r f ，利用頻率反應函數可以線性疊加之特性，則可j 將多輪頻率反應第 j 個分量之頻率反應函數 ˆ ( )Rj f 表示為

ˆj( ) T({( n, n), 1 ~ w}, ) ˆj( )

R f =D P X n= N f ×r f (2.3-19)

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