全文

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摘 要

本文主要研究捷運列車行經高架鐵路橋所引致橋體及周遭土壤之振動反應分析。動 態載重考慮為等速度移動捷運列車輪軸載重所形成的一序列移動載重,由於主要關注目 標為橋體及周遭土壤的動態反應,所以捷運列車的振動暫不考慮;載重受體則為一序列 近乎相同的高架鐵路橋。

為將關注焦點集中於高架鐵路橋之振動特性,因此將每一橋跨考慮為完全相同,沿 行車方向形成一無限長週期性結構。高架橋周遭之土壤則考慮為水平分佈的黏彈性素地 土層,稱其為素地,也就是暫不考慮高架橋沿線其他構造物之存在,只針對素地受振之 動態反應特性進行分析。利用結構具有空間週期性的特點,採用建立在頻率域週期性結 構之分析架構,分析時只需針對單個高架橋橋跨,建構有限元素模型。利用運動方程式 搭配載重等速度移動特性,推導出一組週期性邊界條件,即可進行頻率域動態反應求 解。根據所建立齊次運動方程式,本文也發展週期性結構之頻散關係分析方法。

就典型捷運高架系統為實例之分析發現,高架鐵路橋在等速度移動載重作用下之振 動機制可以區分為兩種振動形態。首先是發生在行車方向(X 向)與鉛直方向(Z 向)所構 成的振動行為,就此類振動行為而言,『鐵軌+道板+大梁』將扮演著振動波傳輸的媒介。

另一振動形態則以垂直於行車方向(Y 向)運動為主,此類型之振動反應主要是由鐵軌之 偏心所引致。利用週期性結構之頻散關係分析方法,可以識別出振動傳播頻帶與振動衰 減頻帶,明確掌握以上兩種振動形態振動波的能量傳輸機制。最後分析不同捷運行車速 度所引致高架鐵路橋的頻率相關基礎反力,利用這些基礎反力求得周遭土壤之振動反 應。

以所有分析結果,綜合而論,本文發現個別橋跨之結構型式、車行速度與軌道支撐 型式,將是影響高架鐵路橋動態特性與土壤振動反應,最為關鍵的三個因素。

關鍵字:移動載重、週期性結構、頻散關係曲線、振動傳播頻帶、環境振動反應

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ABSTRCT

The purpose of this study is to analyze the train-induced vibration of bridges and surrounding soils during rapid transit train passing through elevated viaduct. The dynamic load considered is a series of moving axel loads produced by rapid transit train operating at uniform speed. Because the objective of this study is aiming at the vibration responses of bridges and surrounding soils, therefore, the vibrations of train set, which are judged to have ignorable effects on the responses of the bridge structures, is not considered in this study.

In order to focus on structural dynamic characteristics of the elevated viaduct, the model of bridge structure need to be simplified somehow. Although an elevated viaduct must adapt its configuration to the environmental restrictions, economic considerations often lead to its setup consisted of a series of bridges with almost the same structure configurations. Thus, the starting point of this study is a spatially periodic structure model with every bridge spans having the same structure configuration. And then, a frequency domain structural dynamic analysis scheme based on spatially periodic characteristics is developed in this study. In this analysis scheme, only one characteristic span needs to be modeled using finite elements and formulate the discretized equations of motion using standard FEM assemblage procedures. A set of frequency domain periodic boundary conditions is developed based on the spatially periodic characteristics. Combining these equations of motion and periodic boundary conditions, the dynamic responses of the whole model can be solved. And then, an algorithm for numerical calculation of the dispersion curve of periodic structure can be developed based on the homogeneous equations of motion.

The periodic structure analysis scheme described above is applied to the dynamic response analysis of a typical configurations of rapid transit elevated viaduct structure system.

Summarizing the results obtained, the behaviors of train-induced vibrations of the elevated viaduct can be categorized into two types, namely “Type I” and “Type II”. For Type I vibrations, directions of motions of all nodes are all in parallel with the plain expanded by X-axis(along the moving direction of the train) and Z-axis(along the direction of gravity). The mechanism of this type of vibration can be attributed to the wave-guide effects of

“Track+Slab+Girder”. For Type II vibrations, directions of motions of all nodes are all vertical to the plain expanded by X-axis and Z-axis. The central mechanism of this type of vibrations is the eccentricity of track for the moving loads.

Concluding all the analysis here in, it is discovered that the three factors most critical for the dynamic responses of elevated viaduct and surrounding soils are (1) structural type, (2) train speed, and (3) supporting type of rail-track system.

Keywords:moving load、periodic structure、dispersion curve、attenuation band、propagation

band、environmental vibration

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致 謝

在攻讀研究所的這幾年,我要感謝很多人,當我遭遇挫折的時候,適時的拉我一把,

沒有他們,我是無法完成這本論文的。

首先要感謝我的指導教授李洋傑老師,他是一個學識豐富、教學嚴謹,思想開放的 老師。感謝他這幾年來,不厭其煩的回答我無數個問題,讓我得以解惑,感謝他教我做 為一個研究生應有的態度,感謝他讓我知道真正的結構分析,是長什麼樣子。讓我達到 我從來沒有想過的層次。

再來我要感謝在我考取研究所期間指導我的陳老師,他真的是一個很熱心的老師,

我永遠不會忘記,他不間斷的主動來找我問問題,教我讀書的技巧,教我循序漸進沉穩 的去做一件事。

感謝徐輝明老師,常常教我做人處事的道理,並提點我未來發展的趨勢,讓我受益 良多。也感謝蔡國忠老師在口試的時候,給我的建議。特別感謝陳桂鴻老師,他的教學 非常熱誠,常常回答我有關數學的問題,指導我學習邊界元素法,也帶領我走出有別於 有限元素法,全新的數值計算概念。在課餘時間,常常一起聊天,偶爾也會打打球,真 的是非常有親和力為學生著想的老師。口試期間,更是細心的看我的論文,並提出可以 改善的地方,讓我的論文更加完整。

感謝十幾年的老朋友,葛祝緯、林宏偉、黃祥銨常常陪我聊天解悶。感謝同窗鄒思 宇、朱哲萱等,一起研究,一起學習。感謝學長姐,周銘瑋、徐瑩潔、詹前佑,除了學 業上的指導外,也讓我更快融入宜蘭大學的環境。感謝在我研究期間幫很多忙的學弟 妹,蔡實詡、楊佳螢、陳俊廷。

最後,感謝我的父母,無怨無悔的養育我,支持我完成學業。

(4)

目 錄

表 目 錄 ... V  圖 目 錄 ... V 

第一章 緒言 ... 1 

1.1  研究之緣起 ... 1 

1.2  文獻回顧 ... 1 

1.3  研究重點 ... 5 

1.4  本文架構 ... 6 

第二章 分析架構與理論基礎 ... 7 

2.1  頻率域有限元素法動力分析方法 ... 7 

2.2  等速移動載重作用下結構動力反應之時間域有限元素求解方法 ... 8 

2.3  等速移動載重作用下結構動力反應之頻率域有限元素求解方法 ... 9 

2.4  頻率域求解週期性結構穩態反應分析方法 ...12 

2.5  頻率域求解頻散曲線方法與振動機制 ...13 

第三章 簡支高架鐵路橋之動態特性分析 ...17 

3.1  典型簡支高架鐵路橋之結構配置及其有限元素模型 ...17 

3.2  簡支高架橋受單輪移動載重作用下之振動模式 ...19 

3.3  單輪移動載重速度對簡支高架鐵路橋之影響 ...20 

3.4  簡支高架鐵路橋之頻散關係曲線 ...22 

3.5  墩柱高度對簡支高架鐵路橋之影響 ...25 

3.6  跨距不均勻下簡支高架鐵路橋之振動模式 ...25 

第四章 捷運列車行駛高架鐵路橋所引致遠處地盤反應 ...71 

4.1  捷運列車型式對簡支高架鐵路橋動態反應之影響 ...71 

4.2  遠處地盤頻率域反應求解方法 ...73 

4.3  捷運列車行車速度對地盤振動DB 值之影響 ...75 

第五章 結論與展望 ... 116 

5.1  結論 ... 116 

5.2  展望 ... 116 

參考文獻 ... 117 

(5)

表 目 錄

Š 3.1

表 3.1- 1 有限元素模型使用各材料性質與斷面參數。 ... 27 

表 3.1- 2 土層材料係數。 ... 27 

Š 4.1 表 4.1- 1 倍頻帶與 1/3 頻帶之上下限頻率與中心頻率(ASNI S1.6-1984)。 ... 78 

表 4.1- 2 各標準組織所訂標準振動參考值。 ... 79 

圖 目 錄

Š 2.1 圖 2.1- 1 頻率域動力分析,以一跨簡支高架橋為例。(MATLAB vs SAP2000) ... 16 

Š 2.3 圖 2.3- 1 單位移動載重作用下,單跨簡支梁中點撓曲位移。(時間域有限元素解法 vs 頻率域有限元素解 法 vs 解析解) ... 16 

Š 2.4 圖 2.4- 1 空間週期性結構與子週期結構示意圖。 ... 16 

Š 3.1 圖 3.1- 1 週期性結構有限元素模型。(鐵軌不納入模型) ... 28 

圖 3.1- 2 週期性結構有限元素模型。(鐵軌納入模型) ... 28 

圖 3.1- 3 捷運高架橋基礎之阻抗係數Sxx( )f 。 ... 29 

圖 3.1- 4 捷運高架橋基礎之阻抗係數Sxβ( )f 。 ... 29 

圖 3.1- 5 捷運高架橋基礎之阻抗係數Sββ( )f 。 ... 30 

圖 3.1- 6 捷運高架橋基礎之阻抗係數Syy( )f 。 ... 30 

圖 3.1- 7 捷運高架橋基礎之阻抗係數Syα( )f 。 ... 31 

圖 3.1- 8 捷運高架橋基礎之阻抗係數Sαα( )f 。 ... 31 

圖 3.1- 9 捷運高架橋基礎之阻抗係數Sνν( )f 。 ... 32 

圖 3.1- 10 捷運高架橋基礎之阻抗係數Stt( )f 。 ... 32 

Š 3.2 圖 3.2- 1 鐵軌不納入模型簡支高架橋帽樑中心各分量位移之歷時,單位移動載重速度為150km hr 。(靜力/ 影響線 vs.動態反應比較圖) ... 33 

Š 3.3 圖 3.3- 1 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Y方向反力之歷時隨速度分佈圖。 ... 34 

圖 3.3- 2 簡支高架鐵路橋,墩柱底部X軸作用力矩之歷時隨速度分佈圖。 ... 35 

圖 3.3- 3 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Z軸作用力矩之歷時隨速度分佈圖。 ... 36 

圖 3.3- 4 簡支高架鐵路橋,墩柱底部X方向反力之歷時隨速度分佈圖。 ... 37 

圖 3.3- 5 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Z方向反力之歷時隨速度分佈圖。 ... 38 

圖 3.3- 6 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Y軸作用力矩之歷時隨速度分佈圖。 ... 39 

圖 3.3- 7 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Y方向反力之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。... 40 

(6)

圖 3.3- 8 簡支高架鐵路橋,墩柱底部X軸作用力矩之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。 ... 41 

圖 3.3- 9 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Z軸作用力矩之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。 ... 42 

圖 3.3- 10 簡支高架鐵路橋,墩柱底部X方向反力之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。... 43 

圖 3.3- 11 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Z方向反力之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。 ... 44 

圖 3.3- 12 簡支高架鐵路橋,墩柱底部Y軸作用力矩之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。 ... 45 

圖 3.3- 13 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=120km hr/ 。 ... 46 

圖 3.3- 14 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=125km hr/ 。 ... 47 

圖 3.3- 15 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=130km hr/ 。 ... 48 

圖 3.3- 16 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=135km hr/ 。 ... 49 

圖 3.3- 17 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=140km hr/ 。 ... 50 

圖 3.3- 18 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=145km hr/ 。 ... 51 

圖 3.3- 19 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=150km hr/ 。 ... 52 

圖 3.3- 20 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=155km hr/ 。 ... 53 

圖 3.3- 21 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=160km hr/ 。 ... 54 

圖 3.3- 22 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=165km hr/ 。 ... 55 

圖 3.3- 23 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=170km hr/ 。 ... 56 

圖 3.3- 24 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=175km hr/ 。 ... 57 

圖 3.3- 25 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=180km hr/ 。 ... 58 

圖 3.3- 26 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=185km hr/ 。 ... 59 

圖 3.3- 27 簡支高架橋墩柱底面反力之Fourier振幅譜,單位移動載重:V=190km hr/ 。 ... 60 

Š 3.4 圖 3.4- 1『完整分析』典型週期性簡之高架鐵路橋之頻散關係曲線(空間週期30m,對應移動載重速度 190 / V= km hr) ... 61 

圖 3.4- 2『側向水平面自由度』被限制之典型週期性簡之高架鐵路橋之頻散關係曲線(空間週期30m,對 應移動載重速度V=190km hr/ ) ... 62 

圖 3.4- 3 第一類振動模式,頻散曲線vs.高架橋振動尖峰頻率比對圖。(對應移動載重速度V=190km hr/ )63  圖 3.4- 4 第二類振動模式,頻散曲線vs.高架橋振動尖峰頻率比對圖。(對應移動載重速度V=190km hr/ )64  圖 3.4- 5『側向水平面自由度』被限制之典型週期性簡之高架鐵路橋之頻散關係曲線(空間週期30m,對 應移動載重速度V=190km hr/ ,使用道渣道床鋼軌扣件)... 65 

Š 3.5 圖 3.5- 1 隸屬第一類振動模式之歷時隨墩柱高度分佈比較圖。(單位移動載重速度:V =157km hr/ ) .... 66 

圖 3.5- 2 隸屬第一類振動模式之Fourier振幅譜隨墩柱高度分佈比較圖。(單位移動載重速度: 157 / V = km hr) ... 67 

圖 3.5- 3 隸屬第二類振動模式之歷時隨墩柱高度分佈比較圖。(單位移動載重速度:V =157km hr/ ) .... 68 

圖 3.5- 4 隸屬第二類振動模式之Fourier振幅譜隨墩柱高度分佈比較圖。(單位移動載重速度: 157 / V = km hr) ... 69 

Š 3.6 圖 3.6- 1 簡支高架鐵路橋不同墩柱帽樑X方向位移UX( )t 之歷時隨墩柱位置比較圖,單位移動載重速度: 157 / V = km hr。(九跨30M搭配一跨20M) ... 70 

(7)

Š 4.1

圖 4.1- 1 捷運列車示意圖。 ... 79  圖 4.1- 2 捷運列車行駛高架鐵路橋,第一類振動模式之歷時隨速度分佈圖。 ... 81  圖 4.1- 3 捷運列車行駛高架鐵路橋,第二類振動模式之歷時隨速度分佈圖。 ... 81  圖 4.1- 4 捷運列車行駛高架鐵路橋,第一類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

0 ~ 6

f = Hz) ... 82  圖 4.1- 5 捷運列車行駛高架鐵路橋,第二類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

0 ~ 6

f = Hz) ... 83  圖 4.1- 6 捷運列車之列車型式轉換函數,行車速度、頻率反應二維分佈圖(頻率分佈f =0 ~ 6Hz) ... 84  圖 4.1- 7 捷運列車之列車型式轉換函數,行車速度、頻率反應二維分佈圖。(頻率分佈f =16 ~ 56Hz) 85  圖 4.1- 8 捷運列車行駛高架鐵路橋,第一類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

16 ~ 56

f = Hz) ... 86  圖 4.1- 9 捷運列車行駛高架鐵路橋,第二類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(頻率分佈

16 ~ 56

f = Hz) ... 87  圖 4.1- 10 單輪移動載重作用下,第一類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(紅色點為與軌道間距 相關頻率位置,頻率分佈f =16 ~ 56Hz)... 88  圖 4.1- 11 單輪移動載重作用下,第二類振動模式之Fourier振幅譜隨速度分佈圖。(紅色點為與軌道間距 相關頻率位置,頻率分佈f =16 ~ 56Hz)... 89 

Š 4.3

圖 4.3- 1 地盤震動反應分析點之位置圖 ... 90  圖 4.3- 2 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 1 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 91  圖 4.3- 3 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 1.25 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 92  圖 4.3- 4 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 1.6 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT=15m。) ... 93  圖 4.3- 5 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 2 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 94  圖 4.3- 6 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 2.5 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT=15m。) ... 95  圖 4.3- 7 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 3.15 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 96  圖 4.3- 8 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 4 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 97  圖 4.3- 9 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻頻 率 = 5 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 98  圖 4.3- 10 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 6 .3Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT=15m。) ... 99  圖 4.3- 11 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻

(8)

頻率 = 8 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT=15m。) ... 100  圖 4.3- 12 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 10 Hz(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 101  圖 4.3- 13 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 12.5 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 102  圖 4.3- 14 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 16 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 103  圖 4.3- 15 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 20 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 104  圖 4.3- 16 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 25 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 105  圖 4.3- 17 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 31.5 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 106  圖 4.3- 18 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 40 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 107  圖 4.3- 19 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)之關係,三分之一倍頻 頻率 = 50 Hz。(XR =0 ,m ZR =0m,均勻跨度S=30mHT =15m。) ... 108  圖 4.3- 20 高架鐵路橋,鐵軌與列車形式之尖峰頻率、速度二維分佈圖。 ... 109  圖 4.3- 21 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)與鐵軌、列車形式尖峰 頻率之關係圖。(均勻跨度S=30mHT =15m,三分之一倍頻頻率:1Hz) ... 110  圖 4.3- 22 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)與鐵軌、列車形式尖峰 頻率之關係圖。(均勻跨度S=30mHT =15m,三分之一倍頻頻率:1.25Hz) ... 111  圖 4.3- 23 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)與鐵軌、列車形式尖峰 頻率之關係圖。(均勻跨度S=30mHT =15m,三分之一倍頻頻率:1.6Hz) ... 112  圖 4.3- 24 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)與鐵軌、列車形式尖峰 頻率之關係圖。(均勻跨度S=30mHT =15m,三分之一倍頻頻率:2Hz) ... 113  圖 4.3- 25 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)與鐵軌、列車形式尖峰 頻率之關係圖。(均勻跨度S=30mHT =15m,三分之一倍頻頻率:2.5Hz) ... 114  圖 4.3- 26 捷運列車以等速行駛所引致地盤表面振動反應速度,dB值vs. (YR , V)與鐵軌、列車形式尖峰 頻率之關係圖。(均勻跨度S=30mHT =15m,三分之一倍頻頻率:3.15Hz) ... 115 

(9)

第一章 緒言

1.1 研究之緣起

隨著蒸氣機的發明,開啟了運輸工具的大門。從早期的火車至現今短程運輸系統,

捷運,到台灣近年完工的高速鐵路,這些運輸工具都有一特點,均與軌道工程有關,為 因應此類工程問題,也催生了近代軌道力學的發展。為了克服地形與交通因素,軌道工 程常會採用高架鐵路橋,因此高架鐵路橋力學行為之研究成為軌道力學不可或缺的環 節。

高架鐵路橋多為連續系統,極少情況下單獨一跨存在,屬於高度靜不定結構,沒辦 法以純粹解析方式求解其動態反應,必須借助數值計算方法求解。求解結構物動態反應 的數值計算方法中,有限元素法是最適用於模擬複雜結構系統的方法,但在高架鐵路橋 橋跨甚多的情況下,利用有限元素離散所得自由度可能相當龐大,數值求解須耗費大量 時間,才有可能求得多跨高架鐵路橋之動態反應。因此,如何針對這種情境,找到一種 既能夠確實掌握高架鐵路橋動態特性,又能效率地數值求解的分析架構,乃成為相當重 要的研究課題。

為了確實掌握高架鐵路橋的動態特性,本文採用建立在頻率域的空間週期性結構解 法來做動力分析,基於週期性重複之特性,只需針對代表性單一橋跨結構體進行有限元 素離散模擬,搭配週期性條件便可求解無限週期跨之動態反應,在所有橋跨條件相同的 情況下,便可排除其他因素,得到高架鐵路橋最基本的動態特性。

現今台灣鐵路運輸系統,大抵分為三類,一般火車、捷運、高速鐵路,這三種列車 行駛於高架鐵路橋,列車之各個輪軸載重構成會移動的振動源,這些振動源產生的振動 波除了會在各個個別橋跨內傳遞外,也會透過鐵軌將振動能耐傳遞至相鄰橋跨,於是影 響高架鐵路橋動態特性的因素除了個別橋跨之結構型式外,車行速度與軌道系統也是兩 個重要環節。本文將針對以上三個因素之不同組合,探討它們如何影響高架鐵路橋動態 特性的力學機制,希望透過本文所提出的分析架構求得高架鐵路橋動態反應數值解,再 進一步綜合各種反應量間的數值關係,對高架鐵路橋動態特性做出定量與定性的描述。

當交通運輸工具行駛高架鐵路橋時,也會引起周遭地盤振動。由於地盤振動為交通 運輸工具行駛高架鐵路橋後,沿線各基礎所引起,因此個別橋跨之結構型式、車行速度 與軌道系統這三個影響高架鐵路橋動態特性的關鍵因素,他們的影響透過基礎與地盤土 層傳遞到周遭地盤的觀測場點,因此本文對這三個因素的影響分析也擴及周遭素地地 盤,稱其為素地,也就是暫不考慮高架橋沿線其他構造物之存在,只針對素地受振之動 態反應特性進行分析。特定而言,本文另外設定一個子課題,也就是:找出在何種行車 速度對素地地盤的衝擊性最小,若探討出這一問題的答案,便有可能利用控制行車速 度,避免引發地盤振動衝擊周遭建築物的危害。

1.2 文獻回顧

近年來,隨著數值方法的發展,分析高架鐵路橋越來越容易,相關研究也越來越多。

為了獨力求得高架鐵路橋的動態特性,本文所採取的分析範疇,屬於頻率域空間的『週 期性結構』穩態分析方法。從 60 年代至今,對於『週期性結構』分析的研究,又以 Southampton 大學中,Mead 所屬研究團隊,在這塊領域上,有著非常卓越的貢獻。

(10)

文獻[26]即為該團隊在『週期性結構』上,從最基本的假設物理模型所推導基礎理 論,到利用真實結構進行數值模擬分析的一篇綜論性文章。內容主要闡述自 1964 年發 展的一系列有關連續週期性結構求解自由振動或強制振動反應的研究,該研究團隊發展 各種方法應用在週期性連續梁、週期性連續構架等多種具有週期特性的結構上,取得相 當豐碩的研究成果。該研究團隊的領導人 Mead,在文獻[26]中綜合地呈現該研究團隊的 成果。

早期,Brillouin [1],大量採用週期性『點質量-彈簧』(包含一維、二維、三維) 最基本的物理模型,進行週期性系統中,多種型式波(縱向與側向)傳遞特性的研究。

Brillouin 以數學模式,首先推導出一維『點質量-彈簧』週期系統中各個描述波動的物 理量,如:波數k、波長λ 、波傳速度V ,和物理模型參數(子系統長度P S、彈性係數e、 質量密度

ρ

)與頻率 f 之間的關係。

利用週期系統特性,僅需推導一個子系統內,波由左傳遞至右兩邊界點的位移關 係,便可觀測波傳遞特性。因此一個子系統中在傳遞振動波時,左右兩邊界點的位移

ψ

具有(

ψ

L =

ψ

Reiμ ,

μ

=2

π

⋅ ⋅ )的關係。利用此關聯性,發現週期性系統:波數k S k對每 個頻率 f ,與子系統長度S具有(

− 1/ 2

S

≤ ≤ +

k

1/ 2

S)的週期特性;也因為週期性的關 係,波傳速度V 在每個子系統中將會是個常數。Brillouin 利用觀察『波數P k』vs.『頻 率 f 』之間的關係曲線(稱之為頻散關係曲線(dispersion curve))。發現可以將週期性 相位因子 ( )

μ

f 以實部與虛部( ( )

μ

f = +

α β

i )來表示:實數部份用『相位常數(phase constant)α 』來描述波傳遞時,會依子週期長度S產生時空的落差;虛數部份則用『衰 減常數(attenuation constant)

β

』來表示波於子系統內傳遞時的衰減特性,也就是在 任何頻率下,任何一個無限週期性系統做簡諧運動時,相鄰兩個子元素的之單頻簡諧振 動的複數振幅比等於 e±αe±iβ,正負號與波的運動方向有關。

Brillouin 將『相位常數α 』與『衰減常數

β

』vs.『頻率 f 』的曲線,畫在同一個 圖面上,相位常數α 曲線值的範圍界於

± 1/ 2S

之間,衰減常數

β

曲線值的範圍則大於

1/ 2S

±

。並發現『相位常數α 』與『衰減常數

β

』的曲線分佈在不同頻帶上,兩個常數 值大小呈現相反的情況。於是 Brillouin 以這兩個常數值的大小,去界定波的傳遞與衰 減行為:在『相位常數α 』分佈的頻帶上,波呈現傳遞的情形,產生所謂的『通過頻帶 (Passing band)』;在『衰減常數

β

』分佈的頻帶上,波呈現無法傳遞的情形,產生所 謂的『停滯頻帶(Stoping band)』,利用這兩個頻帶去觀察一個子週期性系統內,波傳 遞與衰減的情形。Brillouin 以上述中『頻散曲線』、『相位常數α 』、『通過頻帶(Passing band)』、『衰減常數

β

』、『停滯頻帶(Stoping band)』為出發點,去推導更複雜的週期 性物理模型,皆得到相同的結果,確立了觀察這些物理量,對描述波於週期性系統中的 傳遞特性具有非常大的幫助。

雖然 Brillouin 的研究是利用最基本的物理模型,並且處於數學模式的理論階段,

但確是描述週期性結構波傳形式的奠基之作,而他所提出的『頻散曲線』,『相位常數α 』 和『衰減常數

β

』與這兩的常數所對應之頻帶:『通過頻帶(Passing band)』、『停滯頻 帶(Stoping band)』。更成為日後分析週期性結構振動特性的理論基礎。

在文獻[29]中,G. Sen Gupta 以週期性簡支跨的梁與板為例,利用傳播常數 (Propagation constant)

μ

的概念(即文獻[1]中的週期性相位因子 ( )

μ

f ),研究撓曲振

(11)

動波,於這兩種模型內的波傳行為。G. Sen Gupta 推導傳播常數

μ

與波數k、波長λ 之 間的關係,畫出傳播常數

μ

的實部與虛部 vs.頻率相關參數曲線圖。並得到對無限連續 的週期性結構,有無限交替的衰減頻帶(attenuation band)與傳播頻帶(propagation band)。對於衰減頻帶內之振動頻率,梁的撓曲振動波沿梁的長度方向衰減;對於在傳 播頻帶內之振動頻率,梁的撓曲振動波(雖然具有錯綜複雜的形式)可以沿梁的長度方向 傳播能量。

G. Sen Gupta 為了找出識別傳播與衰減頻帶的個數與範圍之方法,利用有限跨週期 性簡支梁為分析模型,發現振動傳播與衰減頻帶的個數、範圍與分析跨數、子結構長度 (即單跨簡支梁長度)有關。文獻[30]中,G. Sen Gupta 延續了文獻[29]中,所獲得振動 傳播與衰減頻帶之個數與範圍的識別方法,針對較複雜的週期性結構(I 型鋼梁+板之複 合式結構)進行分析,獲得在有限跨數下,撓曲波於週期性結構內的傳遞特性與跨數、

結構型式有關的結論。

於是,G. Sen Gupta 採用較複雜之週期性結構為分析模型,將文獻[1]中『通過頻 帶(Passing band)』、『停滯頻帶(Stoping band)』的關係,提升到『傳播頻帶(propagation band)』與『衰減頻帶(attenuation band)』兩個觀念,並且找出界定這兩個頻帶之個 數與範圍的方法,發現波於週期性系統內的傳遞特性與『子週期長度』、『結構型式』有 著極大的關係。對傳播與衰減頻帶進行更深入的探討,加進了描述週期性結構振動特性 之核心概念的行列。

在文獻[27]中,Ruth M. Orris 和 M. Petyt,他兩人利用有限元素法,推導週期性 結構內,簡諧波傳的分析方法。主要求解目標為傳播常數

μ

,並識別出振動傳輸與衰減 頻帶。由於傳播常數

μ

為頻率 f 的函數,因此他兩人直接在頻率域下,進行推導求解,

首先利用有限元素法組合一子結構中的動態勁度矩陣,搭配由結構週期性所形成與傳播 常數

μ

有關的邊界條件。形成複數特徵值問題,解出的特徵值即為傳播常數

μ

。Ruth M.

Orris 和 M. Petyt 以無限週期性的簡支梁與(I 型鋼梁+板之複合式結構)為計算範例,

計算傳播常數

μ

,將有限元素法的數值解比對精確解,探討其收斂性質,得到不錯的數 值近似結果。Ruth M. Orris 與 M. Petyt 於文獻[28]中,延續了文獻[27]的研究,利用 有限元素法來求解週期性結構的隨機反應,他們得到了針對週期性結構分析時,僅需一 個子結構即可進行求解,而且子結構邊界斷面可以是任何複雜型式,皆不會影響其分析 準確性的結果。

在文獻[13]中,D. J. Mead,研究了單耦合週期性系統的波傳特性,有別於之前的 分析方法,Mead 採用了導納法(Receptance Method)搭配週期性邊界條件去推導導納函 數(Receptance function)與傳播常數

μ

之間的關係,並利用導納函數 vs 頻率 f 曲線,

去識別無限連續單耦合週期性系統的振動傳播與衰減頻帶,值得注意的是,Mead 以導納 法推導出衰減常數(attenuation constant)

β

與相位常數(phase constant)α ,並發現

α

值做 2n±

π

加減不影響週期性結構振動特性的結論。於文獻[14],Mead 延續了文獻[13]

中的研究,探討多耦合週期性系統的波傳特性,利用導納法去求解傳播常數

μ

、衰減常 數

β

、相位常數α ,並識別週期性結構振動特性,同樣得到,相位常數α 值做 2n±

π

加 減不影響週期性結構的振動特性的結論。

(12)

在文獻[3]中,A. S. Bansal 提出了,分析不均勻(意旨並非每個子結構皆相同,而 是由兩個或多個不同單元內容為子結構,所形成的週期性系統)週期性結構系統自由波 傳的方法。並採用導納法,以無限連續不均勻跨距與均勻跨距的週期性簡支梁為分析模 型,來分析比較這兩個模型的傳播常數

μ

,並將實部(相位常數α)與虛部(衰減常數 β)vs.頻率 f 曲線,分開比較。觀察這兩種模型的振動傳播與衰減頻帶的差別。就分析 結果,不均勻跨距的週期性簡支梁依然有辦法識別其振動傳輸與衰減頻帶,並且這兩個 頻帶,依一組不均勻跨為週期單元的內容來做變化。

D. J. Mead 與 A. S. Bansal 於文獻[15、16]中,再次研究了不均勻週期性結構系 統的自由波傳特性,這次的分析模型,較為特殊在所有均勻跨距中夾雜一個不均勻跨,

並探討這個不均勻跨,對無限連續週期性結構的波傳特性所帶來的影響。D. J. Mead 與 A. S. Bansal 依然以簡支梁為分析模型,得到當撓曲振動波傳遞於每跨簡支梁時,

會以均勻跨中所夾雜的不均跨展現波傳特性:當撓曲振動波尚未傳遞到不均勻跨時,產 生入射波(撓曲振動波延梁身往正方向傳遞);當撓曲振動波傳遞到不均勻跨時,產生反 射波(撓曲振動波延梁身往負方向傳遞)的結論。並且探討變換不均勻跨的結構參數,對 振動反應所帶來的影響。於文獻[4]中,A. S. Bansal 也針對了這類型的結構,探討傳 播常數

μ

、波傳速度V 、振動傳輸頻帶、振動衰減頻帶等,主要描述波傳特性的物理量P 之間變化特性。

在現實生活中,根本沒有完全相同的無限連續週期性結構存在,而波傳分析於不均 勻週期性結構的應用,滿足了大部份的工程需求,就本文所採取的分析對象高架鐵路橋 而言,更是有很大的幫助。

在文獻[17]中,D. J. Mead 和 S. Parthan,研究了二維週期性板式結構的自由波 傳特性,D. J. Mead 和 S. Parthan 利用『能量法』去推導二維週期性板式結構的傳播 常數

μ

,識別其振動傳播與衰減頻帶,並探討這兩個頻帶內,二維週期性板式結構所對 應的振型。在文獻[18、19]中,B. R. Mace 利用『能量法』去推導了,二維週期性板結 構受點、線、面三種載重的自由波傳特性。在文獻[22]中,R. S. Langley,利用『虛 功原理』搭配週期性邊界條件推導出傳播常數

μ

,並驗證其正確性。

在文獻[20]中,D. J. Mead 與 S. Markus,對無限連續週期性梁,全部配置滾支承,

並在支承處加了縱向彈簧,使每個週期性邊界點產生縱向與撓曲位移,加以研究縱向與 撓曲振動波傳的互制行為,主要研究方法為,推導其傳播常數

μ

,並畫出實部(相位常 數α)與虛部(衰減常數β)vs.頻率 f 曲線,識別縱向與撓曲振動波的傳輸與衰減頻帶。

在文獻[21]中,D. J. Mead 推導了分析週期性結構波傳特性的新方法,它提出『相 位陣列(phase array)』的全新概念,去求解波傳常數

μ

,此法相較先前所提出的分析 方法,更能快速求得波傳常數

μ

。除了驗證利用『相位陣列』求解的波傳常數

μ

的正確 性外,Mead 還以無限週期性簡支 Euler 與 Timoshenko 梁,做為分析模型,並比較其振 動傳輸與衰減頻帶的差異,他發現,在低頻部份 Euler 梁與 Timoshenko 梁,振動傳輸 與衰減頻帶分佈相差無幾,但高頻部份,Timoshenko 梁有無限延伸的衰減頻帶存在。在 文獻[22、23、5、24、25]中,D. J. Mead、D.、C. Zhu、N. S. Bardell、Y. Yaman,

開始利用『相位陣列(phase array)』這個全新概念去求解較複雜之週期性結構(包含簡 支拱型板、拱型殼等等二維結構)的波傳特性,都得到不錯的研究成果。

由上述文獻不難發現,不管是利用『波動方程的直接解法』、『能量法』、『導納法』、

(13)

『有限元素法』、『虛功原理』或是『相位陣列』,欲針對任何複雜的週期性結構模型做 波傳分析,主要的核心概念,皆是以推導傳播常數

μ

為出發點,更加顯現出求解傳播常 數

μ

,來分析波傳特性的重要性。

在文獻[9]中,L.Houillon 等人以『有限元素法』為數值計算基礎,研究了薄殼結 構內之振動波的特性。L.Houillon 等人利用了週期性結構中,一子結構左右兩端點各物 理量間的傳遞關係,將傳波常數導入週期性結構振動特性之討論,傳波常數求解被化約 為一個特徵值問題,特徵值即為傳波常數,表示為eikS,式中 i 為虛數、k為波數、S為 週期性子結構之長度(亦可稱傳播長度或空間週期),文獻[33]中,以數值分析方法去繪 出波數k與頻率 f 之關係曲線,『稱之為頻散關係曲線(dispersion curve)』。經由變換 薄殼結構的物理與幾何特性後,觀察頻散關係曲線的變化,便可以了解薄殼結構之波傳 特性。

在文獻[10]中,M.N.Ichchou 等人,以類似手法求得波數k與頻率 f 之頻散關係曲 線,再利用頻散關係曲線推導群速度(Guided group)和能量速度(energy velocities) 的表示式。藉由有限元素法之數值模擬計算,估算出方形薄殼結構群速度(Guided group) 和能量速度(energy velocities)。

文獻[9]與[10]充分利用有限元素法的好處,去計算較複雜週期性結構(如週期性邊 界節點較多、傳播長度較長)的傳播常數,並求得波數k與頻率 f 之頻散關係曲線,探 討週期性結構之振動特性。

在文獻[8]Duhamel 等人,也利用有限元素法分析了週期性結構之波傳特性,並利用 了傳遞矩陣(propagation matrix)的觀念進行計算。Duhamel 等人,首先由週期性結構 中取出一個子結構單元,列出頻率相關動力平衡方程式,並針對其中之動力勁度矩陣劃 分 其 自 由 度 , 挑 出 相 鄰 子 結 構 交 接 面 上 的 耦 合 自 由 度 , 以 靜 態 濃 縮 法 (Static Condensation Method)將子結構動力矩陣濃縮交接面上的耦合自由度上,再利用耦合自 由度上的內力與位移之週期性邊界條件關係,推導出一個以傳播常數為特徵值的特徵值 問題。求出的傳播常數被劃分為兩組,一組為原特徵值,對應於往正方向傳遞的振波;

另一組為原特徵值之倒數,對應於往負方向傳遞的振波。

綜 合 參 考 前 人 研 究 的 上 述 成 果 , 週 期 性 結 構 的 波 傳 分 析 已 應 用 於 Euler 與 Timoshenko 梁、拱型板、殼,以及多種複合式結構。利用有限元素法去計算週期性結構,

如傳播常數

μ

、衰減常數

β

、相位常數

α

、衰減頻帶、傳播頻帶、頻散關係曲線等,來 描述其振動特性,已經屬於非常成熟的方法了。本文將進一步把上述各個核心概念,運 用於週期性高架鐵路橋的動態特性分析,並進一步利用這些概念所得的分析成果,討論 影響高架鐵路橋動態反應的各個關鍵因素之搭配組合所引致的效應。

1.3 研究重點

本文主要研究重點,在於找出高架鐵路橋受移動載重作用下,整體之振動傳輸特 性:首先將針對捷運高架系統為分析模型,假設高架鐵路橋在空間內具有的週期特性(也 就是說,所有橋跨結構配置與材料性質相同的情況下),以此為前提,採用建立在頻率 域的空間週期性結構解法來求出高架鐵路橋在移動載重作用下的動態反應。

為探討高架鐵路橋本身的基本動態特性,本文將採用單輪、單位大小、等速度移動 載重為作用外力,利用無限連續週期跨的高架鐵路橋搭配鐵軌納入與不納入兩種模型,

(14)

就移動載重速度範圍在

50 ~ 250

km hr

/

的不同速度單輪單位大小移動載重作用下,求取 兩種模型的動態反應。因為這兩種模型所使用的材料構件皆相同,僅鐵軌納入高架橋模 型之差別,動態特性勢必有一定關係,本文將找出此關聯性;並經由此關聯性分析,討 論鐵軌在高架鐵路橋動態特性中所扮演的角色。

再利用求解頻散關係曲線(dispersion curve)之方法,對週期性高架鐵路橋進行分 析,在鐵軌納入模型的情況下,識別出高架鐵路橋之傳遞頻帶(propagation band)與衰 減頻帶(attenuation band),探討速度與鐵軌兩者之搭配是如何影響高架鐵路橋的動態 特性。

求得高架鐵路橋結構本身振動傳輸特性後,本文也將利用此特性探討高架鐵路橋,

使用各種不同的結構配置,如不同的軌道扣件系統、不同之大梁跨距與墩不同之墩柱高 度,探討這些因素的搭配組合對高架鐵路橋動態特性的影響。

最後,以捷運高架系統為分析案例,探討捷運列車形式與行車速度之搭配組合對振 動反應的影響。並利用捷運列車行駛高架鐵路橋,沿線之各基礎底部反力,求解出周遭 素地地盤速度頻譜值,探討高鐵路橋結構形式與捷運列車行車速度,如何影響地盤振動 的大小。

1.4 本文架構

本文共有五個章節,第二章將提出,所有理論基礎與分析方法,包含有限元素求解 頻率域數值方法、時間域與頻率域求解移動載重有限元素分析方法、頻率域求解週期性 結構穩態反應數值分析方法與頻散關係曲線求解方法,每一種數值分析方法,都會加以 驗證,以確立分析的可靠度。第三章為單輪單位大小,等速度移動載重作用下,對週期 性簡支高架鐵路橋之動態特性分析,此章節將完整呈現,高架鐵路橋所有動態反應之分 析結果,並掌握高架鐵路橋與載重移動速度對振動反應的關係。第四章,將以捷運高架 系統為分析案例,利用週期性簡支高架鐵路橋之墩柱底部反力,組合彈性振動波基本 解,求取地盤速度頻譜值,並探討行車速度對地盤受振反應大小所扮演的關鍵角色。第 五章,為本文所得之結論,並探討未來可發展之研究。

(15)

第二章 分析架構與理論基礎

在電腦發達的時代,使用頻率域分析方法求解結構物之動力反應逐漸被採用。相較 於時間域分析方法,頻率域分析方法的程式架構更容易建立;而且,在現代電腦技術的 加持下,分析的效率與求解的精確度也大多可以滿足工程上的需求。因此,本文主要分 析架構採用建立在頻率域的有限元素結構動力反應分析方法,數值分析程式使用 MATLAB 編寫。

本章首先介紹以有限元素法建立頻率域動力反應分析的理論架構,求解完頻率反應 後,透過快速 Fourier 轉換(簡稱 FFT)得到時間域反應,並利用有限元素結構分析軟體 SAP2000 做輔助與本文程式做比較。第 2.2 節,討論等速移動載重作用下的動力反應的 時間域求解方法;首先,就一簡支梁說明其時間域動力反應的解析解求法,此處的內容 為摘用自文獻[32]所提出之解析方法之推導結果;其次,就較複雜的橋梁結構則必須採 用有限元素法進行數值分析,利用模態分析所得各振型搭配有限元素模型的形狀函數,

內插為各該振態所有點的振型位移,依虛功原理推導出移動載重對各該振態之外力參與 因子,以振型疊加法搭配 Duhamel 數值積分,求解出等速度移動載重作用下,結構物的 時間域動力反應歷時。第 2.3 節,討論等速移動載重作用下的動力反應的頻率域求解方 法,所得結果將與第 2.2 節時間域分析結果和文獻[32]所提出之簡支梁受移動在作用下 之解析解來做比較,以驗證其有效性。第 2.4 節的討論,將針對結構系統本身在空間內 具有高度重複性的情況,(本節直接處理完全重複的情形,以下簡稱此類型結構為「週 期性結構」),首先說明如何利用此結構內單個代表性子結構體做為所謂「週期結構單 元」,得到整體結構之運動方程式以及更關鍵的週期性邊界條件的推導方法,其次討論 前述方程式的數值求解方法。第 2.5 節將以振動波傳遞的觀點,討論週期性結構之動力 特性,首先推導出具有空間週期性結構系統之頻散曲線的分析方法,其次則解釋頻散曲 線如何呈現結構系統的振動機制。

2.1 頻率域有限元素法動力分析方法

本文主要分析架構是建立在頻率域,因此需推導整體結構模型,求解頻率域動態反 應分析方法。一般時間域下,動力平衡方程式的數學模式如下:

[ ]

M {u( )t }+ C

[ ]

{u( )t }+ K

[ ]

{u( )t } {= P( )t } (2.1-1) 上式中[M][ ]C[ ]K 依序為質量、阻尼、靜力勁度矩陣(這三個矩陣皆依有限元 素程序組合,矩陣大小對應分析模型之自由度個數),{ ( )}

u

t{ ( )}P t 為分別為位移歷時 陣列與外力歷時陣列。若令位移歷時陣列與外力歷時陣列的時間變化依固定頻率設定為

{ ( )} { ( )

u t

=

U ω ei tω

}

{ ( )} { ( )

P t

=

P ω ei tω

}

,代入式(2.1-1)可改寫如下:

[ ]

D {U( )ω } {= P( )ω } (2.1-2)

其中[ ( )] [ ]

D ω

=

K

ω

2[

M

]+i

ω

[ ]

C (以下簡稱 [ ( )] D ω

為「動力勁度矩陣」),將(2.1-2) 式運用高斯消去法求解即得位移頻率反應{ ( )}U

ω

,再透過快速 Fourier 轉換(簡稱 FFT) 便可得到位移反應歷時{ ( )}u t

(16)

為了驗證以 MATLAB 所編寫之頻率域分析程式的正確性,可以利用有限元素結構分 析軟體 SAP2000 的分析結果進行比對。分析時,SAP2000 與 MATLAB 程式使用相同的結構 參數,分析模型為單跨度簡支高架橋(詳細結構配置詳見 3.1 節),高架橋跨距 30M 墩柱 高 10M,材料斷面參數表 3.3-1,外力為正弦函數做 FFT 得到頻率相關作用力,施加在 簡支高架橋大梁中點(即跨距

10m

處),計算頻率範圍 f =1 ~ 47Hz,計算頻率離散間隔

1

df = Hz。分析結果繪於圖 2.1-1,由上而下依序為實部與虛部的頻率反應,藍色線為 MATLAB 程式分析結果,紅色線為 SAP2000 的分析結果。觀察圖 2.1-1 可發現 MATLAB 程 式的分析結果完全符合 SAP2000 之分析結果,充分顯示本文所編寫程式的正確性。

2.2 等速移動載重作用下結構動力反應之時間域有限元素求解方法 現今橋梁結構越趨複雜的情況下,其精確模擬常需要透過有限元素法,透過有限元 素之離散,大多數型式的結構物皆可模擬為有限個自由度的結構系統,利用虛功原理寫 出以結構系統各個自由度位移歷時函數為未知函數的二階常微分方程組的等號左邊部 份(即(2.1-1)式中之

[ ]

M u

{ }  ( )

t + C u

[ ] { }  ( )

t + K u

[ ] { } ( )

t ),這是一般有限元素法教科書皆 可見到的作法;不過,對應移動載重之微分方程組的等號右邊部份(即(2.1-1)式中之

{

P

( )

t

}

)就必須要做特殊的處理。本節將討論如何在有限元素法結構動力分析架構下處理 移動載重的貢獻,所用手段是以結構動力學中的振型疊加法為基礎。

若針對一複雜結構物,欲求解該結構物在移動載重作用下之動態反應。首先,以有 限元素法建立結構模型,運用此模型之勁度與質量矩陣解特徵值問題後,可以得到自然 頻率與其對應之模態如下:

{ }

1

1

1 N m

N N

ω ω ω

×

×

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

=

#

#

(2.3-1)

[ ] Φ

Ndof N× = ⎡⎣

{ } φ

1 "

{ } φ

m "

{ } φ

N ⎤⎦Ndof N× (2.3-2) 式(2.3-1)為各個自然角頻率所組成的陣列、式(2.3-2)為對應自然角頻率的振型所組的 矩陣,兩式中向量下標表示各個模態之序號數,共有N組自然頻率與模態(N小於等於 結構物之自由度總數)。已知移動載重時間與空間位置關係,為移動載重所在座標(X ) 等於速度乘上(

V

)乘上時間(t)(即X

=

Vt)。在tj時刻,移動載重作用位置剛好在結構 模型中的第m個元素上,移動載重對第n個模態所貢獻的作用力參與因子可以表示為:

( )

( ) ( )

0 1

( ) ( )

Ndof m

m m

n j k j nk

k

P t P

ψ

x

φ

=

=

(2.3-3) 式(2.3-3)中P0為等速度移動載重的大小,

ψ

k( )m

(

xj

)

為第m個元素上對應總體座標xj的第

k

個自由度的形狀函數值,

φ

nk( )m 為第n個模態之振型對應第m根桿件內的第

k

個自由度的 位移值。若採用三維剛構架元素模擬,一根元素,總自由度個數Ndof m( ) = 12。依(2.3-3) 式的組合方法,可以得到等速度移動載重所貢獻的作用力模態參與因子共有N個。將各

(17)

個模態的自然角頻率搭配起始條件與作用力模態參與因子,利用 Duhamel 數值步進積分 公式,即可解出等速度移動載重作用下各該模態之動態反應歷時。綜合所有模態之動態 反應歷時經由振型疊加可以求得結構物所有自由度之動態位移反應歷時。此方法也因 Duhamel 數值步進積分公式之特性,當離散時間間隔越小,分析結果將越接近於精確解。

2.3 等速移動載重作用下結構動力反應之頻率域有限元素求解方法 由於本文後續的分析架構主要建立是在頻率域,所以等速度移動載重對於頻率域外 力陣列的貢獻是本節討論的首要標的。首先令行車方向為+X,速度為V ,等速度移動 載重所引致的外力分佈函數可以表示為:

( , ) 0 ( )

p X t =P

δ

XVt (2.3-1) 式(2.3-1)表示出大小為P0之等速度移動載重在t時刻作用在X座標上的分佈外力。在移 動載重行走之X範圍內,若要得到頻率域表示式,則可對式(2.3-1)做 Fourier 轉換:

2

ˆ ( , )

0

( )

ift

p X f P +∞

δ

X Vt eπ dt

= ∫

−∞

(2.3-2) 令

ς

= X Vt,式(2.3-2)可以改寫成:

2 ( )

ˆ ( , ) 0 ( )

if X

P V

p X f e d

V

π ς

δ ς

+

ς

−∞

=

+∞ (2.3-3) 最後可得:

2 ( )

ˆ ( , ) 0

if X

P V

p X f e V

π

= (2.3-4)

式(2.3-4)中 ˆ ( , )p X f 即為等速度移動載重對於頻率域外力分佈函數。若使用有限元素法 分析等速度移動載重作用下的結構動態反應,可採用兩種做法:第一種方法,因等速度 移動載重,屬於與時間有關的分佈外力,可將式(2.3-4)乘上對應分佈外力的作用長度 後,集中累加於每個離散節點上,此法簡稱集中節點載重法(Lumped Load Method)。第 二種方法,相較於第一種方法更能有效近似,由有限元素法可知,若要模擬結構受分佈 外力的反應,可以把分佈外力乘上與外力分量有貢獻的形狀函數後,對作用長度積分,

再累加回節點上,此法簡稱一致結點載重法(Consistent Load Method)。以 Timoshenko 梁元素為例,若把式(2.3-4)視為分佈外力,採用一致節點載重法,對垂直方向移動載 重有貢獻的分量分別是作用在垂直方向(即空間內Z方向)的撓曲位移、與繞Y軸旋轉的 轉角,將這兩個分量的形狀函數乘式(2.3-4),對一段離散元素長度作積分,可得到作 用於一根桿件內兩個節點上的四個外力分量之表示式:

[ ] [ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

[ ]

12 12 (6 ) 6 ( )

(2) 12 (8 2 ) 12 (4 2 )

12 ( 6 ) 12 ( 6 )

( 2) 12 4 (2 ) 12

e

e

e

e

L

e s e e e s e

Zi L

e s e e s s e

Yi e

Zj L

e s e e s e e e

Yj L

e s e

e

e L L L L L

F L L e L L

M L

F L L e L L L L

M

L L e L

L

κ

κ κ

κ

κ φ κ κ κ φ ακ

κ φ βκ κ φ φ κ

κ φ κ κ φ κ κ ακ

κ φ κ κ

+ − + + − − + +

⎧ ⎫

+ + + + − + − +

⎪ ⎪

⎪ ⎪ = Ω

⎨ ⎬

− + − + + − + − − +

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭ −

{

− + − + + +

[

+ e( 8 2 )φs βκLe

] }

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ − − + ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(2.3-5)

其中:

(18)

(1 s) , (2 s)

α

= +

φ β

= +

φ

2 if

V

κ

= −

π (2.3-6)

2

12

s

S e

EI

φ

=

GA L (2.3-7)

0

(1 )

4 3 Xe

e

P e

V L

κ

Ω =

φ ω

+

(2.3-8)

式(2.3-5)中, F 表示垂直作用力、 M 表示彎矩,第一個下標表示作用方向、第二個下 標表示作用節點,i表示桿件的近端, j 為遠端,Le表示桿件的長度,Xe 表示桿件之i

節點的總體 X 座標值。式(2.3-6)至(2.3-8)中E I 表示桿件撓曲剛度、

G

為扭轉剛度、AS 為剪力面積、P0為移動載重大小。

為驗證頻率域與時間域求解移動載重的有限元素方法之正確性,將利用文獻[32]所 提出的等速度移動載重作用下簡支梁振動反應之解析解來做比較。文獻[32]之解析方法 為:首先寫出簡支梁之動力方程式,搭配外力為式(2.3-1),邊界條件為簡支梁模式,

起始位移與速度皆為零,解出簡支梁解析的自然頻率與模態分別表示於式(2.3-9)與式 (2.3-10)如下:

2 2

n 2

n EI

L m

ω

=

π (2.3-9)

n( ) x Sinn x

L

φ

=

π

(2.3-10)

上兩式中,n表示模態序號,x表示簡支梁座標,L表示簡支梁長度,E表示彈性模數,

I 表示面積二次矩,m為每單位長之質量密度。利用式(2.3-9)與式(2.3-10)得到的解耦 動力方程式,透過振形疊加法可得移動載重作用下簡支梁之動態位移反應歷時之解析解 如下:

3 4 4

2 2 2

1

2

n n

2 2

2

2 /( )

( , ) sin

(1 ) (2 )

(1 ) sin 2 cos

2 cos (2 1) sin

1

n n

n n n n

t

n n n

n

n n dn n n dn

n

PL EIn n x

u x t

S S L

S Q t S Q t e

S t S S t

ζ ω

π π

ζ ζ

ζ ω ζ ω

ζ

=

= ×

− +

× ⎧ ⎨ − − +

⎡ ⎤⎪ ⎫

⎢ ⎥

× + + − ⎬

⎢ − ⎥ ⎪

⎣ ⎦⎭

(2.3-11)

式(2.3-11)中,ζ 為第 n 個模態之阻尼比,其他參數,分別表示如下: n

1

2

dn n n

ω

=

ω

ζ (2.3-12)

(19)

n

Q n V L

=

π (2.3-13)

n n

n n

Q n V

S L

π ω ω

= =

(2.3-14)

接下來將利用式(2.3-11)與第 2.2、2.3 小節所提出的時間域與頻率域有限元素分 析方法做比較,分析模型為

L = 30 M

之簡支梁,每單位長之質量密度M = 2400kg m/ , 簡支梁撓曲剛度

EI = 1.5806 10 ×

10

Nm

2,時間域分析時,每個模態的阻尼比皆為

ζ

=2%,等速度移動載重外力為

P = 1 N

,移動速度為

V = 100 km hr /

。分析時主要觀察 簡支梁的中點之位移反應歷時,分析結果繪於圖 2.3-1,圖中紅色粗線為頻率域分析結 果,藍色粗線為時間域分析結果,綠色粗線為對應式(2.3-11)的解析結果,比較這三組 分析結果可發現第 2.2、2.3 小節所提出分析方法非常近似於解析解,充分證明本文所 採用之數值方法的正確性。

若利用頻率反應函數可以線性疊加之特性,可利用單輪移動載重所引致之動態反應 求得多輪移動載重所引致之動態反應。首先,多輪移動載重所引致的時間域外力分佈函 數可以表示為:

1

( , ) ( )

Nw

n n

n

P X t P

δ

X X Vt

=

= ∑ − −

(2.3-15) 上式中N 為輪軸載重之總個數、w Xn為第n個輪軸在t

= 0

時刻之位置的 X 座標值,

若轉換至頻率域分析,則得

2

1

ˆ ( , )

w n

X X

N i f

n V

n

P X f P e V

π

=

= ∑

(2.3-16) 利用指數函數之特性,可將式(2.3-16)代換為

2 2

1

ˆ ( , )

n

X X

Nw i f i f

n V V

n

P X f P e e

V

π π

+

=

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ ×

⎝ ∑ ⎠

(2.3-17) 比較式(2.3-4)與式(2.3-17)可知多輪移動載重所引致的外力分佈函數 ˆ( , )P X f 為單輪 移動載重所引致的外力分佈函數 ˆ ( , )p X f 乘以如下之頻率相關放大倍率

2

1

( , ;{( , ), 1 ~ })

Xn

Nw i f

n V

T n n w

n

D f V P X n N P e

V

π +

=

= = ∑

(2.3-18) 上式中{( ,P Xn n),n=1 ~ Nw}即代表列車載重特性,DT( , ;{( ,f V P Xn n),n=1 ~ Nw})則表現 出列車載重特性對於動態外力分佈函數的放大倍率。若以式(2.3-4)求得單輪移動載重 作用下第 j 個分量之頻率反應函數 ˆ ( )r f ,利用頻率反應函數可以線性疊加之特性,則可j 將多輪頻率反應第 j 個分量之頻率反應函數 ˆ ( )Rj f 表示為

ˆj( ) T({( n, n), 1 ~ w}, ) ˆj( )

R f =D P X n= N f ×r f (2.3-19)

數據

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參考文獻

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