線性滑軌接觸預壓力之振動 特性與模態分析

華 梵 大 學

機電工程研究所 碩士學位論文

線性滑軌接觸預壓力之振動 特性與模態分析

The Vibration Characteristic and Modal Analysis of Contact-Preloaded Linear Guideway

指導教授：蔡 傳 暉 研 究 生：李 東 益

中 華 民 國 九十五 年 十 月

線性滑軌接觸預壓力之振動特性與模態分析

The Vibration Characteristic and Modal Analysis of Contact-Preloaded Linear Guideway

研 究 生:李東益 Student: Don-Ei Lee

指導教授:蔡傳暉 Advisor: Chwan-Huei Tsai

華 梵 大 學 機電工程研究所

碩士論文

Thesis submitted to Institute of Mechantronic Engineering of the Huafan University

in partial fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science

October 2006

Shih-ting Hsiang, Taipei Hsien, Taiwan, Republic of China

中華民國 95 年 10 月

誌 謝

本論文的完成，首應感謝恩師蔡傳暉教授三年來的細心指導與教 誨，無論是研究期間的鼓勵提攜或日常的關懷均使學生永誌於心，謹 此致上最誠摯的謝意。

承蒙蕭俊祥教授以及高維新副教授對論文的斧正與指導，使我的 研究更加嚴謹與詳細。在研究與寫作期間，感謝工研院核能研究所吳 春銘同學將經驗傾囊相授，以及沈明谷學弟給予論文上所需實驗儀器 幫助，在此同表深摯謝意。

最後，謹以此文獻給我的家人及所有關心我的人。

李東益

謹誌於大崑崙山華梵 2006.10.5

摘 要

本文旨在研究線性滑軌受預壓力作用時之振動特性，以有限元素 軟體ANSYS計算鋼珠與軸承間承受預壓力時滑塊之自然頻率及振動模 態，並進行模態實驗。本文所探討之預壓力包括無預壓力、低預壓力 及中預壓力三種，同時分析有限元素接觸元素實體常數之最佳設定參 數。本文發現在循環線性鋼珠軸承系統之鋼珠與軸承間施予預壓力，

可提高剛性，增加自然頻率；可避免因線性滑軌運動時與結構本身產 生共振現象，進而破壞設備機具使其壽命降低。前五種振動模態為滾 動、偏角、擺動、垂直、高滾動振形，而後五種振動模態均為彎曲振 形。在無預壓力、低預壓力及中預壓力模態振形中，前十個模態振形 除無預壓力第七模態、第九模態、第十模態振形不同外，其餘模態振 形完全相同。本文同時探討不銹鋼、鋁合金、鈦合金等三種滑塊材料，

對自然頻率之影響，發現彈性模數愈高，其自然頻率愈高。最後，本 文以衝擊鎚進行振動實驗，量測滑塊之自然頻率，實驗結果與有限元 素分析結果相符。

關鍵詞：線性滑軌、自然頻率、模態振形、有限元素

Abstract

The aim of this paper is to study the vibration characteristic of linear guideway subjected to contact-preload. The finite element software ANSYS was employed to calculate the natural frequency and vibration mode of carriage for non-preloaded, light preloaded, and medium preloaded bearings. The optimal parameter of contact element in finite element analysis was also studied. It can be found that the rigidity of the system of linear guideway type recirculating linear ball bearings can be enhanced and the natural frequency can be increased by applying a preloading on the bearing. The first five natural vibration modes of the carriage are rolling, yawing, pitching, vertical, and higher rolling. For the three kinds of preloading pressure, they behave the same vibration modes for the first ten modes, except the seventh, ninth, and tenth modes. The materials of carriage studied in this paper were stainless steel, aluminum alloy, and titanic alloy. The vibration characteristic was dominated by the material properties. It can be found that the higher the elastic modulus, the higher the natural frequency.

Finally, the vibration experiment using impact hammer was performed to obtain the natural frequency of carriage. The experimental results are consistent with the numerical results of finite element analysis.

Keywords: Linear guideway, Natural frequency, Vibration mode, Finite element.

目 錄

摘 要 ……… Ⅰ Abstract……… Ⅱ 目 錄………Ⅲ 表 錄………Ⅴ 圖 錄………Ⅵ

第一章 緒論 ……… 1

1-1 前言 ……… 1

1-2 文獻回顧 ………2

1-3 論文目的 ………5

第二章 線性滑軌動態特性 ………7

2-1 線性滑軌之組成與運動原理 ………7

2-2 結構振動系統理論基礎 ………9

2-3 線性滑軌接觸振動之模擬 ………10

2-4 線性滑軌之有限元素理論基礎 ………16

第三章 有限元素法之模態應用與接觸分析………19

3-1 ANSYS軟體模態振動應用分析………19

3-2 ANSYS軟體接觸應用分析 ………20

3.2.1 接觸基本分類 ………21

3.2.2 ANSYS接觸分析功能 ………21

第四章 線性滑軌有限元素之模態分析 ………34

4-1 線性滑軌之規格………34

4-2 接觸元素模擬設定………36

4-3 邊界條件與荷載設定 ……… 38

4-4 模態分析結果討論………42

4.4.1 預壓力分析………42

4.4.2 有限元素分析之可靠性………62

4.4.3 不同材質滑塊振動特性之差異 ………69

第五章 線性滑軌振動實驗 ………82

5-1 實驗設備………82

5-2 實驗方法與步驟………86

5-3 模態實驗分析結果………93

第六章 結論 ………95

參考文獻………100

表 錄

表4-1材料參數及鋼珠預壓力規格……… 34

表4-2 Type 1與 Type 2比較模型分析頻率(Hz) ………54

表4-3 Type 3與 Type 4模型比較分析頻率(Hz)……… 61

表 4-4 模態振形頻率(Hz)分析比較 ………62

表 4-5 材料參數規格比較………65

表 4-6 滑塊低預壓力之模態振形自然頻率(Hz)分析比較…………66

表 4-7 滑塊中預壓力之模態振形自然頻率(Hz)分析比較 ………67

表 4-8 滑塊低預壓力之相同材質自然頻率(Hz)分析比較…………68

表 4-9 滑塊中預壓力之相同材質自然頻率(Hz)分析比較…………68

表 4-10 材料參數比較表 ………70

表 4-11 滑塊材質無預壓力之自然頻率(Hz)分析比較 ………71

表4-12 滑塊材質低預壓力之自然頻率(Hz)分析比較 ………72

表4-13 滑塊材質中預壓力之自然頻率(Hz)分析比較 ………73

表5-1 衝擊實驗自然頻率表………91

表5-2 實驗與分析值比較………94

表 6-1 線性滑軌接觸元素之參數設定………95

表6-2模態振形與自然頻率(Hz)分析結果 ………96

圖 錄

圖2-1 線性滑軌之構造示意圖[摘自18]……… 8

圖2-2 線性滑軌之「不連續法向彈簧」模擬示意圖……… 11

圖2-3 線軌之滑塊運動模態示意圖 ……… 15

圖2-4 線性滑軌之有限元素模擬……… 17

圖3-1 局部接觸區域示意圖 ……… 23

圖3-2 任意目標面網格化設定示意圖 ……… 26

圖3-3 接觸元素外法向之定義示意圖 ……… 27

圖3-4 2-D與3-D組合件之最大滲透示意圖(摘自14) ……… 28

圖 3-5 初始靠近因數進行接觸面之調整(a)調整前(b)調整後示意圖 (摘自 14) ……… 29

圖3-6 程式自動預防假接觸示意圖 ……… 30

圖3-7 初始滲透的容許範圍(PMIN，PMAX) ……… 30

圖3-8 接觸摩擦模式示意圖 ……… 31

圖3-9 調整接觸面偏離值之示意圖 ……… 32

圖3-10 切向接觸勁度示意圖(摘自14) ……… 33

圖4-1 線性滑軌之滑塊平面圖 ……… 35

圖4-2 線性滑軌之滑塊側面圖 ……… 35

圖4-3 線性滑軌之滑塊正視圖 ……… 36

圖4-4 SOLID92 四面體實體元素之幾何形狀及節點位置 ……… 39

圖4-5 線軌滑塊之邊界條件設定示意圖 ……… 40

圖4-6 線軌滑塊之荷載條件接觸設定示意圖 ……… 41

圖4-7 線性滑軌之滑塊模型圖 ……… 49

圖4-8 線軌滑塊之模態振形(Type1:無鋼珠接觸無預壓力) …… 51

圖4-9 線軌滑塊之模態振形(Type 2:有鋼珠接觸無預壓力)…… 53

圖4-10線軌滑塊之模態振形(Type3:有鋼珠接觸低預壓力) …… 58

圖4-11線軌滑塊之模態振形(Type4:有鋼珠接觸中預壓力) …… 60

圖4-12 線性滑軌之滑塊有限元素示意圖(本文與文獻【6】) … 64 圖4-13 線軌滑塊無預壓力之模態振形(鋁合金6061-T6) ……… 74

圖4-14 線軌滑塊低預壓力之模態振形(鋁合金6061-T6) ……… 75

圖4-15 線軌滑塊中預壓力之模態振形(鋁合金6061-T6) ……… 76

圖4-16 線軌滑塊無預壓力之模態振形(鈦合金) ……… 77

圖4-17 線軌滑塊低預壓力之模態振形(鈦合金)……… 78

圖4-18 線軌滑塊中預壓力之模態振形(鈦合金)……… 79

圖5-1 模態實驗設備示意圖 ……… 83

圖5-2(a)雙通道頻譜分析儀之分析軟體與CI-2250 PCMCIA-CARD…84 圖5-2(b) STAR 模態分析軟體 ……… 84

圖5-2(c) 電源供應器……… 84

圖5-2(d) 單軸向加速度計與蜜蠟 ……… 85

圖5-2(e) 衝擊鎚 ……… 85

圖5-2(f) C型夾固定線性滑軌 ……… 85

圖5-2(g) 外接盒 ……… 85

圖 5-3 滑塊振動實驗設計(懸吊式) ……… 87

圖 5-4 滑塊振動實驗設計(C 型夾) ……… 87

圖 5-5 滑塊之量測點位置 ……… 89

圖 5-6 振動模態峰值頻譜分佈圖(無預壓力) ……… 91

圖 5-7 振動模態峰值頻譜分佈圖(低預壓力) ……… 92

圖 5-8 振動模態峰值頻譜分佈圖(中預壓力) ……… 92

第一章 緒 論

1-1 前 言

近年來線性滑軌的應用趨向多元化，高性能線性滑軌成為發展 趨勢，並廣泛應用於電子、機械、電機、半導體等相關產業。但這些 產業使用的線性滑軌必須要有高速、高剛性、高穩定性及低噪音的特 性，然而線性滑軌在高速運動中很容易產生振動，使其壽命降低。所 以了解其產生振動原因並避免之，乃成為線性滑軌設計的重要考量。

線性滑軌之主要構造分為滑塊、滾動體(鋼珠或滾柱)及滑軌三部 分，係為一種滾動導引直線運動導軌，藉由鋼珠在滑塊與滑軌之間作 無限滾動循環，使得負載平台下之滑塊能沿著滑軌輕易地做高精度的 線性運動。然而在這過程中鋼珠與線性軸承之間的摩擦與碰撞，不可 避免一定會產生振動。本文以有限元素分析軟體ANSYS來探討線性滑 軌主要元件滑塊(Carriage)之振動特性。探討不銹鋼SUS 304、鋁合 金6061-T6及鈦合金三種材質特性，分別在無預壓力、低預壓力及中 預壓力下進行其振動模態分析，並由振動模態實驗所得到自然頻率與 有限元素分析結果作比較驗證。可提供設計線性滑軌時，以有限元素 模擬建立預壓力最佳參數使用方法。

1-2 文獻回顧

Hiroki and Tsutomu [1]探討了線性滑軌振動和噪音的產生原 因，發現主要是由循環線性的鋼珠滾動所引起。並指出振動所產生較 粗糙的音質有噪音問題存在，振動所產生較柔和音質中能發出比較低 的噪音。

Tatsunobu and Banda[2] 說明在滾動軸承音頻和振動分類中，

低頻的問題是「振動」，而高頻是「噪音頻問題」。而軸承結構振動和 音頻的特性在滾動元素通路振動中，大部分滾動軸承在放射狀負載運 轉下會發生振動，形成一個噪音頻，因此了解滾動軸承振動和音頻的 關係極為重要。

Bender and Symens[3]說明在滑軌系統摩擦的設計參數中，有附 屬預壓力、鋼珠尺寸、表面材料和潤滑油。並指出一個線性滑軌系統 允許有自由度(DOF)進給方向，軸承自由度則有線性、橫向、偏角、

擺動和滾動的方向。

Hiroyuki [4]探討線性滑軌的振動音源，量測線性滑軌的滾珠軸 承運轉振動時所產生的聲音，發現主要的振動音源發生在鋼珠和端蓋 之間的撞擊。並測試鋼珠與線性軸承之間施予低預壓力、中預壓力之 自然頻率，發現自然頻率會隨著預壓力增加而增大，主要的峰值頻率 是不被線性速度所影響並可產生滑塊較低滾動(Rolling)、擺動

(Pitching)、垂直、偏角(Yawing)、較高的滾動自然振動形狀。

Samir [5]探討高速線性滑塊結構設計動態特性中，預壓力應用 在滾子與軸承之間可改變接觸剛性和避免滑動。經有限元素分析結 果，整個系統摩擦傳動之振動模態，滑塊動態分析之自然頻率在1KHz 以上，且可得到滾動、偏角、擺動振形。

Hiroyuki 等人[6]研究在線性滑軌線性運動中以不同線性速 度、測量點變更及不同預壓力等級，量測循環鋼珠線性軸承的振動。

而滑塊(Carriages)為主要自然振動產生的來源。因此，要了解線性 滑軌整個系統振動情形，必須以滑塊作為分析主要元件。經實驗後在 頻譜分析儀中發現主要峰值不受線性速度影響，主要影響峰值的是測 量點變更及不同等級預壓力。並在自然振動中產生滾動、偏角、擺動、

垂直、彎曲(Flexural)振動形狀。最後以有限元素法進一步驗證比 對，其結果誤差在合理範圍內。

Rahman等人[7]在設計CNC工作機台結構動態中，分析各種不同阻 尼滑塊之線性滾動軸承系統的特性，發現阻尼能影響滑塊結構剛性，

並且改變振動自然頻率。

Hiroyuki and Takumi[8]探討線性滑軌在不同材質下振動效應，

當線性滑軌作線性運動時，在循環鋼珠與線性軸承接觸通路中，使用 材質鋼性越高所產生振動自然頻率就會提高。而最重要影響線性軸承

振動噪音是由鋼珠和滑塊之間的撞擊所產生。因此，在鋼珠材質使用 陶瓷材料與軸承鋼材料比較下，具有高剛性陶瓷材料能大幅減少振動 產生的噪音。

Jun [9]研究滾動元素通路引起的振動，是不利於影響線性導入 運轉精度的關鍵性因數。減少「鋼珠通路振動 (Ball passing vibration)」對在工作機中使用的線性導入是非常重要。而滾子的高 剛性接觸面積與接觸壓力的分佈是影響「鋼珠通路振動」主要因素。

經計算後在滾子各種不同接觸面形狀所產生接觸壓力分佈中，已研究 出最佳化接觸壓力分佈情形，並且發現在線性滑軌滑件運動方向會發 生擺動、垂直的、水平的、滾動和偏角方向的變位。

Hiroyuki 等人[10] 研究線性滑軌在循環鋼珠與線性軸承接觸 通路中引起的振動，這個線性運動稱之為「鋼珠通路振動」。並指出 鋼珠接觸面適當長度形狀與槽板接觸能減少鋼珠振動。而在一個設定 鋼珠接觸面形狀與槽板接觸設計狀態下，鄰接的鋼珠距離和接觸角之 間發展出減少線性軸承「鋼珠通路振動」，進而設計出應用之參考公 式。

在ANSYS教學與實務導覽中[11-12]說明各種結構、熱傳接觸類型 及應用理論基礎，對於複雜結構之間接觸方式所產生的動態特性，是 無法直接用理論解析方法求得。因此，以有限元素法作為基礎，針對

結構接觸模擬方式定義出在2-D及3-D「目標面」與「接觸面」形成「接 觸對」使用方式。針對結構、熱傳接觸元素之實體參數中說明各個參 數數值應用及使用方式，提供可靠合適內定值，作為結構、熱傳接觸 元素分析數值模擬及應用。但在實務分析應用上須考量改變其內定參 數值。

在ANSYS進階版本教學導覽中[13-14]除說明各種結構、熱傳、電 磁接觸類型及應用理論基礎外。在結構、熱傳接觸模擬方面以有限元 素法定義出接觸元素之實體參數應用數值。並增加電磁接觸元素之實 體參數數值模擬使用方式，提供可靠合適內定值，作為結構、熱傳及 電磁接觸元素分析數值模擬及應用。但在實務分析應用上須考量改變 其內定參數值。

預壓力是存在軌道與鋼珠之間內力總合，目的為了提昇剛性。預 壓力無法直接量測，但預壓力與摩擦力之間呈線性關係，因此預壓力 等級可以摩擦力範圍來定義，而摩擦力可由線性滑軌所需之推力得 之。

1-3 論文目的

本文針對線性滑軌探討其自然頻率及振動模態，以有限元素分 析及模態實驗模擬預壓力真實結構接觸形式。並以目前市面上不銹

鋼、鋁合金及發展中鈦合金之材質特性分析其品質可靠度，完整建立 三維接觸元素之實體常數設定數值方法。此法已將摩擦力範圍定義方 式應用在預壓力使用上；對線性滑軌相關產業而言，增加預壓力可提 高剛性外，更能精準模擬出預壓力值，對於設備精度使用需求，可避 免因選用不當預壓力降低其使用壽命，亦有實質的貢獻。其分項目標 如下：

1.針對三種不同預壓力等級之線性滑軌，建立一套預壓力模擬技術，

利用ANSYS有限元素分析軟體，將結構接觸元素之實體常數值，以摩 擦力範圍定義方式求出預壓力之最佳設定參數。

2.探討滑塊的自然頻率，滑塊是線性滑軌產生自然振動的主要元件，

而自然振動頻率之主要峰值不受線性速度影響。依此特性應用在模態 實驗與有限元素分析上，並加以比較驗證其可靠度及正確性。

3.探討不同材質的線性滑軌之振動特性，可作為因應在不同設備機具 用途時，選用材料的參考。

4.量測線性滑軌振動之自然頻率，利用滑塊以懸吊方式或C型夾取滑 軌適當長度固定在工作台上，進行模擬無預壓力、低預壓力及中預壓 力，可得到模態振動自然頻率。

第二章 線性滑軌動態特性

2-1 線性滑軌之組成與運動原理

線性滑軌為一種滾動式線性導引機構，其動作原理係將滑塊拘束 在滑軌上，藉由鋼珠在滑塊與滑軌之間作無限的滾動循環運動，使滑 塊沿滑軌作高精度的線性運動。線性滑軌的組成，如圖2-1所示，可 分為三個系統。

1、 滾動循環系統

由滑軌(Rail)、鋼珠(Ball)、上保持器(Upper Retainer)、下保 持器(Lower Retainer)、滑塊(Carriage)與端蓋(End Cap)組成，滑 軌與滑塊之間藉由鋼珠的導引產生滾動摩擦，滾動摩擦與傳統滑動摩 擦(無鋼珠導引)所產生的摩擦力比較後，滾動摩擦力只有傳統滑動摩 擦力的1/50。又其動摩擦係數與靜摩擦係數的差距亦很小，因此當在 機台運行時，不會發生空轉打滑或有爬行(Stick Slip)無效運動的現 象發生，能達到微米級的定位精度。上保持器與下保持器為鋼珠保持 器(Ball Retainer)，鋼珠保持器能使滑軌上移除鋼珠時避免掉落，

在精度允許下具備互換性，而端蓋連接在滑塊上可耐高溫。

2、潤滑系統

由黃油嘴(Grease Nipple)與油管接頭(Oil Piping Joint)組

成，線性滑軌經由油管接頭與黃油嘴注入潤滑油脂，在運行時產生潤 滑作用能使溫度降低，增加線性滑軌使用壽命，一般潤滑頻率每運行 100Km 須補充潤滑油脂一次。

3、防塵系統

由端面密封墊片(End Seal)、底面密封墊片(Bottom Seal)與滑 軌螺栓蓋(Rail Cap)組成，端面密封墊片與底面密封墊片為防止異物 進入滑塊裡面，破壞鋼珠滾動路徑表面使線性滑軌壽命降低；滑軌螺 栓蓋為防止異物經由螺栓孔侵入影響滑塊內部精度，在安裝時需將螺 栓蓋打入螺栓孔內。

圖 2-1 線性滑軌之構造示意圖[摘自 18]

2-2 結構振動系統理論基礎

結構體受外力作用時，整個結構系統運動方程式為：

.. .

[M]{ } [ ]{ } [ ]{ } { ( )}x + C x + K x = P t (2-1) 其中[M 為質量矩陣、[] C]為阻尼矩陣、[K 為勁度矩陣、] ..

{ }x 為加速 度向量、 .

{ }x 為速度向量、{ }x 為位移向量、上式中整體結構的質量矩 陣與加速度向量為元素慣性力，整體結構的阻尼矩陣與速度向量為元 素之阻尼力，整體結構的勁度矩陣與位移向量為元素之彈性力，

為外力向量。

{ ( )}P t

若在無阻尼振動系統且無外力作用下，整個結構系統運動方程式 可寫為：

[M]{ } [ ]{ } 0..x + K x = (2-2)

對簡諧振動而言，位移向量在複數平面可表示為：

{ } { } x = X e

^{i tω} (2-3) 其中

{ X }

為結構振動模態，

ω

為結構自然頻率，

t

為時間。代回(2-2) 式可得：

(−

ω

2

[ M ] [ ] { } {0 + K

)

X = }

(2-4) 對 × 階矩陣而言，應有

n n n

個固有結構自然頻率

ω

_i( =1,2,……,

)，(2-4)式若要有非零之解，則其矩陣行列式須為零，可得：

i n

[ ] K − ω

_i²

[ M ] = 0

(2-5) 其中

ω

_i為第 個結構自然頻率，解出

i ω

_i後，再將

ω

_i代入(2-4)式中即 可求出結構振動模態

{ X }

。

由(2-1)式中，假設外力為簡諧激振則可表示為：

1

t 2

{ ( )}={ }

ⁱ

n

e

F P t F F

F

t

ei

ω ω

⎧ ⎫⎪ ⎪

⎪ ⎪⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪

⎩ ⎭

= M

(2-6)

其中

{ F }

為簡諧激振外力之振幅向量，

ω

為簡諧激振頻率， 為第 個 外力振幅，則可得系統位移響應為：

F

n

n

1

t 2 t

{ ( )}={ }

^{i i}

[ ]{ ( )}

n

e e

X

x t X X q t

X

ω ω

⎧ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪ =

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= Φ

M

(2-7)

其中

{ X }

為結構振動模態，

ω

為簡諧激振頻率， 為第 個模態振 幅，

[

為模態向量矩陣，

{ (

為模態外力

X

n

n

Φ

] q t )}

當系統受外力激振頻率幾乎相等於系統無阻尼自然頻率時，就會產生 共振現象。

2-3 線性滑軌接觸振動之模擬

線性滑軌之鋼珠與滑軌及滑塊之接觸，可以「不連續法向彈簧

(D

iscrete normal springs)

」來模擬，如圖 2-2 所示。在線性滑軌有預壓

接觸點上﹐會有法向力(Normal force)產生，並產生法向的彈性變 形，在這種情況下每個接觸點就有彈簧的特性，本文將鋼珠視為是「不 連續法向彈簧」；彈簧與彈簧之間距 s 即是鋼珠之間距。滑塊

(Carriage)在每個循環線性鋼珠環道(R

ecirculating linear ball circuits

) 負載區中被「不連續法向彈簧」所支撐，當線性滑軌循環線性鋼珠軸 承系統以固定速度運動時侯，凹槽和鋼珠的每個接觸點會全部變更，

而且鋼珠的總數在循環鋼珠環道負載區中改變。

圖 2-2 線性滑軌之「不連續法向彈簧」模擬示意圖

根據 Hiroyuki [4]研究可知，「不連續的法向彈簧」之彈簧係 數，內含三種彈簧係數，包括單位長度彈簧係數(U

nit length spring

constant

)、不連續法向彈簧係數(D

iscrete normal springs constant)

及垂 直彈簧係數(V

ertical spring constant

)。當滑塊作剛體自然振動

(

Rigid-body natural vibration)

分配之單位長度彈簧係數為：

k =^{Z KL}

l

L

(2-8) 其中 Z 為循環鋼珠環道負載區中，鋼珠所裝載之數量，_L 為循環 鋼珠環道負載區的長度；K 為不連續法向彈簧係數，可表示為：

l

L

₂

4

L

sin K

V

K = Z α

(2-9) 其中

Z

_L 為循環鋼珠環道負載區中，鋼珠所裝載之數量，α為滑塊與 鋼珠接觸角，

K

v為循環線性鋼珠軸承之垂直彈簧係數。

由(2-9)方程式中，經與接觸角α轉換後，可得線性滑軌循環線 性鋼珠軸承之垂直彈簧係數為：

K

^V

= k (4 sin l

_L ²

α )

(2-10) 其中

k

為分配單位長度彈簧係數， 為循環鋼珠環道負載區的長 度，α為滑塊與鋼珠接觸角。

l

L

在圖 2-2 中﹐當線性滑軌不振動的時候,xyz 座標之原點置於滑 塊之重心。滑塊的驅動方向與 x 軸平行。當滑塊支撐在「不連續法向 彈簧」剛體模態(

R

igid-body mode)中振動的時候，動能 E^k 方程式 能被表示為：

2 2

2 2

1 1

.

1

.

1

.

1

.

E M u .

+

M v + φ + θ

+ ²

ψ

(2-11)

位能 E^P 方程式為：

3

2 2 2 2

( )

2 2 ( ) 6^L cos

P a b L l

E =k^⎧⎪⎨ u

φ

u a b

φ

+ ψ^2⎫⎪⎬ ²

α

⎪ ⎪

⎩

l

_L − +

l

_L +

l

+ ⎭

3

2 2 2 2

2 ( ) sin cos 2 2 sin 6

lL

k a b c

ψ α α

k^⎛⎜ v c φ

θ

^2⎞⎟ ²

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ −

l

_L + +

l

_L +

l

_L +

α

(2-12)

其中 M 為滑塊的質量，

u

為滑塊 y 軸方向的位移；

v

為滑塊 z 軸方向 的位移； 為滑塊 y 軸方向的速度； 為滑塊 z 軸方向的速度；

J

x、

J

y,和

J

z分別為 x 、y 和 z 軸慣性矩，

u .

v .

φ 為滑塊在 x 軸周圍的角位 移；

θ

為滑塊在 y 軸周圍的角位移； ψ 為滑塊在 z 軸周圍的角位移；

為滑塊在 x 軸周圍的角速度；

φ

. .

θ

為滑塊在 y 軸周圍的角速度； 為 滑塊在 z 軸周圍的角速度；k 為單位長度彈簧係數；α為滑塊與鋼珠 之接觸角； 為循環鋼珠環道負載區的長度； 表示該點的距離是 從起始

o

點到滑塊的循環鋼珠上環道接觸點，並且與「不連續法向 彈簧」z 軸方向平行，b 表示該點的距離是從起始

o

點到滑塊循環鋼 珠比較低的環道接觸點，並且與「不連續法向彈簧」z 軸方向平行，

c 表示該點的距離是從起始 o 點到滑塊的接觸點。

ψ.

l

L

a

使用拉格蘭日式(Lagrange's Equation)（2-11）和（2-12）式, 可得到五個運動方程式[4]：

4( cos2 ) {2 ( )cos } 0 M u

..

+ k

l

_L α u− k

l

_L a b+ ₂

φ

α =

=

(2-13) 4( sin2 ) 0

M v

..

+ k

l

_L α v

(2-14)

2 2 2

2 ( )cos ) {2 ( )cos

X k a b u k a b ²

J ^φ .. − l

L ⁺

^α

⁺

l

L ⁺

^α

2 2

4k (a b c) sin cos

α α

4k c sin

α

} 0

+

l

_L − +

l

_L

φ

= (2-15)

3 2

sin 0

3

^L

y

k

J ^θ ⎛ l ^{α θ} ⎞ ⁼ +⎜ ⎝ ⎟ ⎠

..

(2-16)

3 2

cos 0

3

^L

z

k

J ^ψ ⎛ l ^{α ψ} ⎞ ⁼ +⎜ ⎝ ⎟ ⎠

..

(2-17)

其中 為滑塊 z 軸方向的加速度，

..

v φ ^..

為滑塊在 x 軸周圍的角加速度，

θ ..

為滑塊在 y 軸周圍的角加速度，

..

ψ

為滑塊在 z 軸周圍的角加速度 在方程式（2-14）、(2-16),和（2-17）顯示位移 點 沿著 z 軸﹐可 求出 y 軸θ角位移和 z 軸 點的角位移，也就是平移運動沿著 z 軸和 y 軸的周圍作旋轉運動。有平移運動(Translational motion)模態的 自然振動沿著 z 軸稱為滑塊的垂直自然振動(Vertical natural vibration)，有旋轉運動(Rotary motions)模態的自然振動在 y 軸 的周圍稱為滑塊的擺動自然振動(Pitching natural vibration)，和 有旋轉運動自然振動模態在 z 軸的周圍稱為滑塊的偏角自然振動 (Yawing natural vibration)，有滾動運動模態的自然振動沿著 y 軸的周圍至 z 軸方向作旋轉運動，稱為滾動自然振動(Rolling natural vibration)，如圖 2-3 所示。

v

v

圖 2-3 線軌之滑塊運動模態示意圖

從方程式 （2-12）、(2-14) 和 （2-15），可得滑塊的垂直自然 振動頻率

f

_v、擺動自然振動頻率

f

_p和偏角自然振動頻率

f

_Y分別為：

sin

V

f k

M π α

= l

^L

(2-18)

sin

3

2 3

L P

y

f kl

J π α

=

(2-19)

cos

3

2 3

L Y

z

f kl

J π α

=

(2-20)

根據 Hiroyuki and Eiji [6]研究得知，滑塊有較低頻率結合之

振動稱為較低滾動滑塊的自然振動，其較低滾動自然振動的頻率

f

_RL 為：

1 1 1

2 2

1/ 2 2

3

(

3 )

4

( 3 )

1

2 2

RL

X X X

X

c M J c M J MJ

f MJ

c c c c

π

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ +

=

^m

c

(2-21)

滑塊有較高頻率結合之振動稱為較高滾動滑塊的自然振動，其較高滾 動自然振動的頻率

f

_RH為：

1 1 1

2 2

1/ 2 2

3

(

3 )

4

( 3 )

1

2 2

RH

X X X

X

c M J c M J MJ

f MJ

c c c c

π

⎛ − − ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ +

=

^m

c

1 2 3

(2-22)

其中

c

、

c

與

c

表示為新的常數。

2-4 線性滑軌之有限元素理論基礎

本文線性滑軌之有限元素模擬，如圖 2-4 所示，其中鋼珠之數量 為

Z

_L，質量為

m

_b，鋼珠與滑塊線性軸承接觸之彈簧係數為

K

_C，鋼珠 與滑軌接觸之彈簧係數為

K

_R。滑塊和每個鋼珠接觸產生之彈簧係數 為

K

_C；而滑軌和每個鋼珠接觸產生之彈簧係數為

K

_R。

圖2-4 線性滑軌之有限元素模擬

本文假設鋼珠之間隔(S)均相等，而且鋼珠是置於環道負載區長 度( )中，且

l

_L

K

_C

= K

_R，

K

_C 和

K

_R方程式可定義為：

2

L R

C

K K K

= = Z l

^L

(2-23) 其中

K

_R 為鋼珠與滑軌接觸之彈簧係數，

K

_C為鋼珠與滑塊線性軸承接 觸之彈簧係數，

Z

_L 為循環鋼珠環道負載區中，鋼珠所裝載之數量，

為循環鋼珠環道負載區的長度，

K

為不連續的法向彈簧係數，由

l

L

R

K

C

= K

得知，模擬

K

_C(預壓力值)結果與模擬

K

_R(預壓力值)結果均 相同。本文將以模擬

K

_C(預壓力值)作為分析，也就是以滑塊作為主 要分析元件。

模態實驗結果產生之主要峰值，經頻譜分析儀中取得頻率響應函 數後，由模態分析軟體轉換可得到自然頻率及模態振形。而在線性滑 軌運動中主要峰值是不受滑塊運動速度影響，線性滑軌振動模態的主 要峰值是由於滑塊自然振動引起，並且能產生各種模態振形。經由上 述線性滑軌動態分析後，在線性滑軌線性循環鋼珠軸承系統運動中，

滑塊很容易產生振動。

第三章 有限元素法之模態應用與接觸分析

3-1 ANSYS 軟體模態振動應用分析

模態分析一般用於探討結構體或其元件的振動特性。本文以有限 元素軟體 ANSYS 來進行線性滑軌振動之模態分析，包括自然頻率和振 形，其分析的程序包括以下四個步驟：

步驟一：建立模型

將CAD所建立之模型轉換到ANSYS軟體中使用，然後設定結構實 體(Solid)與接觸元素，並在材料性質中指定彈性係數、密度與蒲松比 後，將結構實體模型網格化(Mesh)以建立有限元素模型。

步驟二：選擇分析類型和分析選項 ANSYS 提供六種求解方法

(1) 次空間法(Subspace method)

(2) 區塊 Lanczos 法(Block Lanczos method) (3) 快速動力法(Power Dynamics method) (4) 降階法(Reduced Householder method) (5) 非對稱法(Unsymmetric method)

(6) 阻尼法(Damped method)

在模態分析求解方法中，本文以區塊 Lanczos 法(Block Lanczos

method)作分析，其特性如下所述：

Lanczos 法(Block Lanczos method)適用於大型對稱特徵值求解 問題，是一種功能強大的方法，這種方法適用於中型到大型模型之大 量振形，經常應用在結構具有實體元素或殼元素的模型中，可處理剛 體振形但電腦硬體所需要的記憶體較高。

步驟三：施加邊界條件並求解

在位移拘束(Constraint)方面，施加必須的拘束來模擬實際的固 定情況，外部負載因爲振動被假定爲自由振動，所以忽略外部負載，

然而 ANSYS 程式形成的負載向量可以在模態疊加分析中使用，負載設 定完成後即可求解。

進入通用後處理器 POST1，在通用後處理器功能表中選擇

“Results Summary＂即可列出自然頻率並觀察其振形，然後繪製模 態變形圖，觀察模態應力可製作出模態振形的動畫。

3-2 ANSYS 軟體接觸應用分析

「接觸」是一種非線性行爲，了解其特性和建立合理模型是理 解接觸原因一個重要步驟；而接觸行為在求解出原因之前，接觸範圍 為未知數，表面之間之接觸或分開，在分析過程中會隨著負載、材料、

邊界條件和其他因素而改變；許多的接觸原因需要計算摩擦，並可挑

選屬於非線性的摩擦和模型的種類，而摩擦會使得接觸原因之收斂性 變得困難。

3.2.1 接觸基本分類

接觸原因可分爲兩種基本類型

1.剛體與彈性體的接觸，由一個或數個接觸面當作剛體(勁度大於接 觸之變形體)，在一般情況下，可把硬材料和軟材料接觸時，當作 剛體與彈性體的接觸。

2.彈性體與彈性體的接觸，此為一般普遍的接觸類型，在這種接觸情 況下，兩個接觸體都是變形體（勁度幾乎相同）。

3.2.2 ANSYS 接觸分析功能

經實體元素建立之有限元素模型通過指定的接觸元素來識別完 成接觸匹對，接觸元素是覆蓋在分析模型接觸面上的一層元素，而 ANSYS 應用接觸元素模擬的過程，如下所述：

1.面與面的接觸元素

ANSYS 支援剛體和彈性體之面與面的接觸元素，如圖 3-1 所示。

剛性面被當作「目標(TARGET)面」，模擬 2-D 時「目標面」用 TARGE169 接觸元素，模擬 3-D 時「目標面」用 TARGE170 接觸元素，而彈性體

的表面被當作「接觸(Contact)面」時，可用 CONTA171、CONTA172、

CONTA173、CONTA174 來模擬。一個目標元素和一個接觸元素稱為「接 觸對(Contact Pair)」，並由程式通過一個共用的實體常數序號來識 別「接觸對」。當建立一個「接觸對」時，目標元素和接觸元素必須 指定相同的實體常數序號，其特性：

(1) 支援低階和高階元素

(2) 支援有大滑動和摩擦的大變形，協調勁度矩陣計算，元素提供法 向不對稱勁度矩陣的選項。

(3) 提供工程目的採用更好的接觸結果，例如法向壓力和摩擦應力。

(4) 沒有剛體表面形狀的限制，剛體表面的光滑性不是必須允許有自 然的或網格離散引起的表面不連續。

(5) 在點與面接觸元素比較下，需要較多的接觸元素，因而造成較小 的磁碟空間和延長 CPU 運算時間。

(6)允許多種建模控制，例如：

․綁定接觸(Bonded contact)

․漸變初始滲透(Gradual change initially permeate)

․目標面自動移動到遞補開始接觸(Target surface auto to move to replace begin contact)

․平移接觸面(Translational motion target surface)

使用 CONTA171、CONTA172、CONTA173、CONTA174 接觸元素，模 擬圓、抛物線、球、圓錐和圓柱曲面，更複雜的剛體形狀使用特殊的 前處理技巧來建模。

圖 3-1 局部接觸區域示意圖 2.面與面的接觸分析

在涉及到兩個邊界的接觸行為中，把一個邊界作爲「目標面」，

另一個作爲「接觸面」，對剛體與彈性體的接觸，「目標面」是剛性的，

而「接觸面」是彈性的，這兩個面合起來稱為「接觸對」，使用 Targe169 和 CONTA171 或 CONTA172 來定義 2-D「接觸對」，使用 TARGE170 和 CONTA173 或 CONTA174 來定義 3-D「接觸對」，由程式通過相同的實體 常數序號來識別「接觸對」。

3. 接觸分析的步驟：

(1) 建立模型，並劃分網格

在這一步驟中，需要建立代表接觸體幾何形狀的實體模型，設 定元素類型、實體常數、材料特性。「目標面」用 TARGE170 接觸元素 來對接觸體劃分網格。

(2) 識別接觸對

模型在變形期間所發生的接觸，如已經識別出存在的接觸面，由 通過目標元素和接觸元素來定義，使目標和接觸元素跟蹤變形階段的 運動，完成一個「接觸對」的目標元素和接觸元素通過共用的實體常 數序號聯繫起來。

(3)定義剛性目標面

剛性目標面在 3-D 情況下，「目標面」的形狀可通過三角面，

圓柱面，圓錐面和球面，並用 TARGE170 來表示接觸元素剛性面。

(4)定義彈性接觸面

定義彈性體的「接觸面」，在 2-D 使用接觸元素 CONTA171 或 CONTA172，而在 3-D 使用 CONTA173 或 CONTA174 來定義表面。由程 式通過組成變形體表面的接觸元素來定義接觸表面，其四種類型的接 觸元素如下所述：

(a) CONTA171：為2-D接觸面、2個節點的低階線形元素，可在2-D實

體元素(PLANE42)、殼元素(SHELL51)或梁元素(BEAM3) 的表面。

(b) CONTA172：為2-D接觸面、3節點的高階抛物線形元素，可在3節 點之中有中節點的2-D實體元素(PLANE82)或黏彈性 元素(VISCO88)的表面。

(c) CONTA173：為3-D接觸面、4節點的低階四邊形元素，可在3-D實 體元素(SOLID45)或殼元素(SHELL181)的表面。可退 化成3節點的三角形元素。

(d) CONTA174：為3-D接觸面、8節點的高階四邊形元素，可在8節點 之中有中節點的3-D實體元素(SOLID92、SOLID95)或 殼元素(SHELL93)的表面。可退化成6節點的三角形元 素。

從(a)、(b)、(c)、(d)中定義接觸面的元素類型，然後選擇正確的實 體常數序號最後生成接觸元素。

(5)設置元素之實體常數關鍵字

ANSYS程式在結構接觸方面，所使用的接觸元素包含12個實體常 數關鍵字來控制面與面接觸元素的接觸行爲，每種接觸元素都包括數 個實體常數關鍵字。對於大多數的接觸設定，較適合用內定的關鍵字 (內定值)。但依現況分析實體模型，需要改變其內定值。以下是可以

控制接觸行爲的一些關鍵字：

(a)R1 定義目標元素幾何形狀

定義平面(或接近平面)與曲面，以選擇低階目標元素(3節點三角形 或4節點四邊形元素)，或高階目標元素(6節點三角形或8節點四邊 形元素)，如圖3-2所示。

圖 3-2 任意目標面網格化設定示意圖 (b)R2 定義目標元素幾何形狀

對面與面的接觸元素，程式可以使用擴增的拉格朗日演算法 (Lagrangian Algorithm )。

所有的接觸行為都需要定義接觸勁度，兩個表面之間滲量的大小取 決了接觸勁度，過大的接觸勁度可能會使總勁度矩陣為 ill condition

，而造成收斂困難。一般來說，應該選取足夠大的接觸勁度以保證 接觸滲透小到可以接受。但同時又應該讓接觸勁度足夠小使總勁度 矩陣可以保證收斂性，其接觸元素法向如圖 3-3 所示。

圖 3-3 接觸元素外法向之定義示意圖 (d)FTOLN 定義最大的滲透範圍

爲拉格朗日演算法指定容許的最大滲透，如果程式發現滲透大於此 值時，即使不平衡力和位移增量已經滿足了收斂準則，所求的解仍 被當作不收斂處理，如圖 3-4 所示。

圖 3-4 2-D 與 3-D 組合件之最大滲透示意圖(摘自 14) (e)ICONT 定義初始靠近因數

用來指定一個小的初始接觸環(區域)，初始接觸環是指沿目標面的

“調整環(區域)＂的深度，調整前與調整後如圖3-5所示。

圖 3-5 初始靠近因數進行接觸面之調整(a)調整前(b)調整後 示意圖(摘自 14)

(f)PINB 定義“Pinball"區域

接觸元素相對於目標面的運動和位置決定了接觸元素的狀態，程式 檢測每個接觸元素並設定一種狀態，如圖 3-6 所示。

圖 3-6 程式自動預防假接觸示意圖 (g)PMIN 和(h)PMAX 定義初始滲透的容許範圍

程式會將目標面移到初始接觸狀態，如果初始滲透大於 PMAX，程 式會調整目標面的減少滲透，如果初始滲透小於 PMIN，程式會調整 目標面的增加滲透，接觸狀態的初始調節僅僅通過平移來實現，接觸 面調整方式如圖 3-7 所示。

圖 3-7 初始滲透的容許範圍(PMIN，PMAX)示意圖

(i)TAUMAX 指定最大的接觸摩擦

程式提供了可調整指定最大等效剪應力的選項，不管接觸壓力值 的大小，如果等效剪應力達到此值時，即發生滑動，如圖3-8所示。

圖3-8 接觸摩擦模式示意圖 (j)CNOF 指定施加於接觸面的正或負的偏離值

用來指定正的值來使整個接觸面偏向目標面，指定負的值來使接 觸面離開目標面，如圖3-9所示。

圖3-9 調整接觸面偏離值之示意圖 (k)FKOP 指定在接觸打開時施加的勁度係數

使用在接觸打開啟動時，提供一個勁度係數。程式指定模態分析 (Modal Analysis)時，以所需之勁度係數直接設定其值；程式指定 靜態分析(Static Analysis)時，先設定內定值 1 後，再以所需負 載(如 Pressure 等)設定其值。

(l)FKT 指定切向接觸勁度

面與面接觸元素支援法向單側接觸模式及其他機械表面交互模 式，如圖3-10所示。

圖 3-10 切向接觸勁度示意圖(摘自 14)

經上述說明，設定變形體元素，按需要加上任何所需之邊界條件 後施予負載，就能對接觸行為進行求解，而接觸分析的結果可求出位 移、應力、應變和接觸資訊（接觸壓力、滑動等）。

第四章 線性滑軌有限元素之模態分析

4-1 線性滑軌之規格

本文以有限元素法分析線性滑軌之自然頻率與模態振形，包括 無任何鋼珠接觸及鋼珠接觸下之無預壓力、低預壓力及中預壓力三種 不同條件預壓力等級。其線性滑軌使用之材料參數及鋼珠預壓力規 格，如表4-1所示。

表 4-1 材料參數及鋼珠預壓力規格

材料參數 預壓力值 備註 材料種類

材料性質

不銹鋼(SUS 304)

測試類別 預壓力等級

線性滑軌

彈性模數(EX) 1.93e11 N/m² 無預壓力 0 N/m

蒲松比(NUXY) 0.29 低預壓力

19.8 × 10⁶N/m 質量密度

(DENS)

8030 Kg/m³ 中預壓力

37.2 × 10⁶N/m

鋼珠直徑尺 寸為 3.25×

10 m ^-3

單位：mm

圖 4-1 線性滑軌之滑塊平面圖

單位：mm

圖 4-2 線性滑軌之滑塊側面圖

單位：mm

圖 4-3 線性滑軌之滑塊正視圖

4-2 接觸元素模擬設定

ANSYS接觸元素中「目標面」與「接觸面」各包含2個實體常數與 12個實體常數關鍵字，控制其線性滑軌之線性軸承與鋼珠接觸，以及 鋼珠與鋼珠接觸行為。對大多數的接觸而言，ANSYS接觸元素中較適 合用內定的關鍵字(內定值)。但在某些情況下，需要改變內定值，其 控制實體常數關鍵字之設定數值如下所述：

1. 線性軸承(剛性目標面)在接觸元素 TARGE170 中，2 個實體常數分 別為 R1 與 R2，線性軸承為曲面，設定 R1=1，R2=0。

2. 鋼珠(彈性接觸面)在接觸元素 CONTA174 中，12 個實體常數分別為

(1)R1 定義目標元素幾何形狀，設定R1=0。

(2)R2 定義目標元素幾何形狀，設定R2=1。

(3)FKN 定義法向接觸勁度因數，比例因數一般在 0.01 和 10 之間；

對於大變形問題，FKN=1是較佳之選擇；而對於彎曲為主的問題，

通常為0.01～0.1，為了取得較好適合的勁度值並有良好的收斂 性，開始設定時取較低值，因為較低值會比較高值收斂性好，所 以在模擬線性滑軌低預壓力與中預壓力之預設數值分別為

0.01、0.1。

(4)FTOLN 定義最大的滲透範圍，設定為 0.1。

(5)ICONT 定義初始靠近因數，設定為 0。

(6)PINB 定義“Pinball"區域，鋼珠與鋼珠接觸面視為彈性體與彈 性體接觸設定為 2，鋼珠與線性軸承視為彈性體與剛體接觸設定 為 4。但本文以有限元素原理模擬線性滑軌在鋼珠與鋼珠接觸 面，視為鋼珠與滑軌接觸。因此，視為彈性體與剛體接觸設定為 4。

(7)PMIN 定義初始滲透的容許範圍，設定為 0。

(8)PMAX 定義初始滲透的容許範圍，設定為 0。

(9)TAUMAX 指定最大的接觸摩擦，設定爲 1.0E20。

(10)CNOF 指定施加於接觸面的正或負的偏離值，設定為 0。

(11)FKOP 指定在接觸打開時施加的勁度係數，視為彈性係數 K 並 配合 FKN 調整。在模擬線性滑軌低預壓力與中預壓力的數值分別 為 19.8 × 10⁶N/m與 37.2 × 10⁶N/m。

(12)FKT 指定切向接觸勁度，鋼珠與鋼珠之接觸，不會有切向之滑 動，FKT值設定為2。鋼珠與線性軸承視為綁定(Bonded)接觸模式 設定為6。但本文以有限元素原理模擬線性滑軌在鋼珠與鋼珠接 觸面，視為鋼珠與滑軌接觸。因此，視為綁定(Bonded)接觸模式 設定為6。

4-3 邊界條件與荷載設定

本文探討線性滑軌之滑塊，所使用的是三維 SOLID92 四面體實 體元素(Tetrahedral Solid Element)，SOLID92 四面體實體元素是 由 SOLID95 元素退化而來，在幾何形狀上是由 10 個節點所組成，具 有 UX、UY、UZ 三個方向自由度的元素，其自由網格(Free Mesh)的幾 何形狀及節點位置如圖 4-4 所示；線軌之滑塊邊界條件設定敘述如 下：

在兩側滑塊端蓋(End CAP)中，每一側端蓋底層面兩端與端蓋上 層面連接滑塊兩端為 1 組共 2 組，在 2 組之中選擇 1 組設定邊界條件。

首先在端蓋底面的兩端分別設定自由度為 UX=0、UZ=0 與 UY=0，再設

定端蓋上層面連接滑塊一端自由度為全部拘束(UX、UY、UZ=0)，另一 端自由度則為全部不拘束，設定方式如圖 4-5 所示。線軌之滑塊荷載 條件接觸設定可分為兩部分；第一部份為鋼珠與鋼珠接觸，線性軸承 之上層鋼珠與下層鋼珠接觸，視為彈性體與彈性體接觸。但在本文模 擬成鋼珠與滑軌接觸後，則視為彈性體與剛體接觸。第二部份為上層 或下層鋼珠與線性軸承接觸，視為彈性體與剛體接觸，並在荷載條件 接觸第一部份(鋼珠與鋼珠接觸)與第二部份(鋼珠與線性軸承接觸) 設定相同之實體參數值(兩部份皆為彈性體與剛體接觸)，且鋼珠與鋼 珠間隔之距離皆相等，如圖 4-6 所示。

圖 4-4 SOLID92 四面體實體元素之幾何形狀及節點位置

圖 4-5 線軌滑塊之邊界條件設定示意圖

圖 4-6 線軌滑塊之荷載條件接觸設定示意圖

本文以無任何鋼珠接觸與鋼珠接觸下三種不同預壓力等級之線 軌滑塊，共四種條件分析主要元件(滑塊)，其分析模型如下所述：

1. 線性滑軌之滑塊(無鋼珠接觸無預壓力)

為單純的結構體，滑塊建模的部分以 ANSYS SOLID92 元素模擬即可 (Type 1 模型)。

2. 無預壓力線性滑軌之滑塊(有鋼珠接觸)

因線性軸承與鋼珠有接觸，須在 ANSYS TARGE170、CONTA174 接觸元 素中設定為無預壓力狀態，除切向接觸勁度 FKT 設定為內定值

0.01(接觸元素轉換後之值)其餘 11 個實體常數關鍵字均為 0，滑塊 建模的部分以 ANSYS SOLID92 元素模擬即可(Type 2 模型)。

3. 低預壓力線性滑軌之滑塊(有鋼珠接觸)

因有預壓力影響，線性軸承與鋼珠接觸的部分可視為彈簧支撐，線性 軸承負載區有2側，每一側有2列共4列，每列有15根彈簧支撐共60根 彈簧支撐。利用ANSYS的接觸元素TARGE170 模擬線性軸承當作剛性目 標面，CONTA174則模擬鋼珠當作彈性接觸面，剛性目標面與彈性接觸 面形成一個「接觸對」。其法向接觸勁度因數 FKN為0.01，如元素網 格數目增加，法向接觸勁度因數亦須增加，滑塊建模的部分則用 SOLID92元素模擬(Type 3模型)。

4. 中預壓力線性滑軌之滑塊(有鋼珠接觸)

除法向接觸勁度因數為 0.1 外，其餘與低預壓力線性滑軌之滑塊模擬 原理相同，只有指定在接觸打開時施加的勁度係數 FKOP(預壓值)不 同(Type 4 模型)。

4-4 模態分析結果討論

4.4.1 預壓力分析

a. Type 1～ Type 2模型(無預壓力)

線性滑軌之滑塊幾何模型及網格化模型如圖 4-7 所示，其中模擬 無鋼珠接觸下圖形為 (a)、(b)、(c)與(d)網格化模型後視圖；模擬 有鋼珠接觸下圖形為 (e)、(f)、(g)與(h)網格化模型後視圖，使用 ANSYS Modal 求解器，其分析結果可得到 Type 1～ Type 2 模型中的 十個模態自然頻率與模態振形，如表 4-2 及圖 4-8、圖 4-9 所示。

比較其分析結果可發現Type 1模型前三個模態的自然頻率與 Type 2模型非常接近，模態振形相同，相差在0.58～2.74％之間。在 第一模態振形上，開始沿著 y軸的周圍至z軸方向作旋轉運動(Rotary motions)，本文稱為滑塊之較低滾動自然振動(Lower rolling natural vibration )；第二模態振形上，在z軸的周圍作旋轉運動，本文稱為滑 塊之偏角自然振動(Yawing natural vibration)；第三模態振形上，在 y 軸的周圍作旋轉運動，本文稱為滑塊之擺動自然振動(Pitching natural vibration)。

第四與第六模態的振形雖然相似，相差在 0.79～1.24％之間，

比較這兩個模態振形的變化觀察其結果，發現有鋼珠接觸與無鋼珠接 觸皆有位移產生；而在第四模態振形上，沿著 z 軸作平移運動

(Translational motion)產生的自然振動模態，本文稱為滑塊之垂直自然 振動(Vertical natural vibration)；第五模態振形上，沿著 x 軸的周圍至

z 軸方向作旋轉運動，本文稱為滑塊之較高滾動自然振動( Higher rolling natural vibration )；第六至第十模態頻率相差在 0.29～1.56％

之間，而在 Type1 與 Type2 模型中雖自然頻率相差甚小，但在第九、

十模態振形有著很明顯差異；Type1 模型之第九、十模態有著明顯彎 曲振形運動且變化相當大，Type2 模型彎曲振形運動則變化甚小，尤 其是在第十模態振形幾乎是靜止狀態；而自然頻率隋著模態數遞增而 增加，對於所有模態振形在 Type1 模型中沒有影響，但 Type2 模型中 則有影響(第九、十模態彎曲變化甚小)。從第六模態後之自然頻率已 超過 7(KHz)以上，並以高頻率模態振形呈現。所以在第六模態振形 上，滑塊沿著右側 x 軸的周圍作旋轉運動，本文稱為第一彎曲自然振 動(First flexural natural vibration)；第七模態振形上，為滑塊沿著 x 軸 左右兩側往內側的周圍作旋轉運動，本文稱為第二彎曲自然振動 (Second flexural natural vibration)；第八模態振形上，滑塊沿著 x 軸左 右兩側至 z 軸往外側周圍作旋轉運動，本文稱為第三彎曲自然振動 (Third flexural natural vibration)；第九模態有兩種振形，Type1 為滑 塊沿著 y 軸兩側的周圍往左側作旋轉運動，Type2 則為滑塊沿著 x 軸 右側往外側的周圍作作平移運動，本文均稱為第四彎曲自然振動 (Fourth flexural natural vibration)；第十模態有兩種振形，Type1 為滑 塊沿著 y 軸兩側的周圍作旋轉運動，Type2 則為滑塊無作任何方向

(x,y,z)運動，本文均稱為第五彎曲自然振動(Fifth flexural natural vibration)。

(a) 幾何立體正視圖

(b) 幾何立體後視圖 圖 4-7(接續 1)

(c)網格化模型正視圖

(d)網格化模型後視圖 圖 4-7(接續 2)

(e) 幾何立體正視圖

(f) 幾何立體後視圖 圖 4-7(接續 3)

(g)網格化模型正視圖

(h)網格化模型後視圖

圖 4-7 線性滑軌之滑塊模型圖

(1)第一模態(610Hz) (2)第二模態(2332Hz)

(3)第三模態(3108Hz) (4)第四模態(4764Hz)

(5)第五模態(7323Hz) (6)第六模態(7962Hz) 圖4-8(續)

(7)第七模態(12663Hz) (8)第八模態(14147Hz)

(9)第九模態(19219Hz) (10)第十模態(19369Hz) 圖 4-8 線軌滑塊之模態振形(Type1:無鋼珠接觸無預壓力)

(1)第一模態(607Hz) (2)第二模態(2396Hz)

(3)第三模態(3090Hz) (4)第四模態(4901Hz)

(5)第五模態(7265Hz) (6)第六模態(8061Hz) 圖 4-9(續)

(7)第七模態(12466Hz) (8)第八模態(14106Hz)

(9)第九模態(19119Hz) (10)第十模態(19174Hz) 圖 4-9 線軌滑塊之模態振形(Type 2:有鋼珠接觸無預壓力)

表 4-2 Type 1 與 Type 2 比較模型分析頻率(Hz) 預壓力等級

模態數

無預壓力 (Type 1)

無預壓力 (Type 2)

差異值%

第一模態 610 607 0.49 第二模態 2332 2396 -2.74

第三模態 3108 3090 0.58 第四模態 4764 4901 -2.88 第五模態 7323 7265 0.79 第六模態 7962 8061 -1.24 第七模態 12663 12466 1.56 第八模態 14147 14106 0.29 第九模態 19219 19119 0.52 第十模態 19369 19174 1.01

b. Type 3～ Type 4模型(有鋼珠接觸低預壓力與中預壓力)

線軌滑塊Type 3～ Type 4模型中，分析結果可得到模型中的前 十個模態自然頻率與模態振形，如表4-3及圖4-10、4-11所示。

比較其分析結果可發現Type 4模型(中預壓力)在第一、第二、第 三模態頻率值明顯高出Type 3模型(低預壓力)很多，相差分別為 21.06%、7.61%與8.02%；其中第一模態頻率相差最大，而第四至第十 模態頻率相差在0.97%～2.99之間；其中第五模態頻率相差為2.99%。

因此，施加預壓力後模態頻率不因模態數遞增而使相差增加，鋼珠施 加預壓力值越大，所得到自然頻率越高，而模態振形並不因預壓力增 加而改變振形；同時鋼珠施加預壓力後會提高自然頻率，但不影響模 態振形變化。

Type 1(無鋼珠接觸無預壓力)、Type 2(有鋼珠接觸無預壓力) 模 型中之模態振形，在第七模態端蓋(End cap)左右兩側呈現內彎曲與 Type 3(有鋼珠接觸低預壓力)、Type 4(有鋼珠接觸中預壓力)外彎曲 模態振形不同，其中Type 1、Type 2振形為滑塊沿著x軸左右兩側往 內側周圍作旋轉運動，而Type 3、Type 4振形為滑塊沿著x軸左右兩 側往外側周圍作旋轉運動；Type 1模型中之第九模態端蓋左側向外彎 曲，右側向內彎曲與Type 3、Type 4模態振形相同，但與Type 2模型 中只有端蓋右側向外彎曲模態振形不同。Type 3、Type 4 模型中之 模態振形，在第十模態端蓋左右兩側向內彎曲且右側彎曲幅度比左側 大，其振形為滑塊沿著x軸左右兩側往內側的周圍作旋轉運動；Type 1 模型中之第十模態端蓋左右兩側向上彎曲，而Type 2模型則呈現在靜 止狀態，其餘模態振形完全相同，其模態振形順序如下所述：

第一模態為較低滾動自然振動(Lower rolling natural vibration ) 第二模態為偏角自然振動(Yawing natural vibration)

第三模態為擺動自然振動(Pitching natural vibration) 第四模態為垂直自然振動(Vertical natural vibration)

第五模態為較高滾動自然振動(Higher rolling natural vibration ) 第六模態為第一彎曲自然振動(First flexural natural vibration) 第七模態為第二彎曲自然振動(Second flexural natural vibration)

第八模態為第三彎曲自然振動(Third flexural natural vibration) 第九模態為第四彎曲自然振動(Fourth flexural natural vibration) 第十模態為第五彎曲自然振動(Fifth flexural natural vibration) 從Type 1(無鋼珠接觸無預壓力)～Type 2(有鋼珠接觸無預壓力) 模型與 Type 3(有鋼珠接觸低預壓力)～Type 4(有鋼珠接觸中預壓力) 模型分析結果如表4-4所示。在無預力狀態下，線軌之滑塊有鋼珠接 觸與沒有鋼珠接觸時，對於自然頻率影響很小；施加預壓力後會使滑 塊自然頻率增加，最明顯的變化是在第一至第三模態振動頻率；其中 第一模態頻率影響最大，在Type 1、Type 2、Type 3及Type 4模型中，

在無預壓力狀態下(Type 1與Type 2模型)第九及第十模態振形不同 外，其餘模態振形相同，自然頻率非常接近；有預壓力狀態下(Type 3 與Type 4模型)之模態振形均不受影響且會使線性滑軌自然頻率增 加。

(1) 第一模態(1233Hz) (2) 第二模態(2769Hz)

(3) 第三模態(3442Hz) (4) 第四模態(4979Hz)

(5) 第五模態(7598Hz) (6) 第六模態(8385Hz) 圖 4-10(續)

(7) 第七模態(12964Hz) (8) 第八模態(14742Hz)

(9) 第九模態(19653Hz) (10) 第十模態(20132Hz) 圖 4-10 線軌滑塊之模態振形(Type3:有鋼珠接觸低預壓力)

(1) 第一模態(1562Hz) (2) 第二模態(2997Hz)

(3) 第三模態(3742Hz) (4) 第四模態(5028Hz)

(5) 第五模態(7832Hz) (6) 第六模態(8604Hz) 圖 4-11(續)

(7) 第七模態(13193Hz) (8) 第八模態(15034Hz)

(9) 第九模態(19993Hz) (10) 第十模態(20535Hz) 圖 4-11 線軌滑塊之模態振形(Type4:有鋼珠接觸中預壓力)

表 4-3 Type 3 與 Type 4 模型比較分析頻率(Hz) 預壓力等級

模態數

低預壓力 (Type 3)

中預壓力 (Type 4)

差異值(%)

第一模態 1233 1562 21.06 第二模態 2769 2997 7.61

第三模態 3442 3742 8.02 第四模態 4979 5028 0.97 第五模態 7598 7832 2.99 第六模態 8385 8604 2.55 第七模態 12964 13193 1.74 第八模態 14742 15034 1.94 第九模態 19653 19993 1.70 第十模態 20132 20535 1.96