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中 華 大 學 碩 士 論 文

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Academic year: 2022

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全文

(1)

中 華 大 學 碩 士 論 文

題 目 : 探 討 二 維 Baker 函 數 之 動 力 系 統

系 所 別 : 應 用 數 學 學 系 碩 士 班

學 號 姓 名 : M09509005 黃 思 諺

指 導 教 授 : 田 方 正 博 士

(2)

摘要

本文主要是探討 Baker 函數在二維空間中的不動點、週期點與稠密軌道。

關鍵詞:Baker 函數,不動點,週期點,稠密軌道。

(3)

Abstract

This paper focuses on the fixed points, periodic points and dense orbits of Baker’s function in R2.

Keywords: Baker’s function, Fixed points, Periodic points, Dense orbits

(4)

目錄

第一章 離散動力系統的基本定義 ...

1.1 函數疊代 ...

1.2 不動點(Fixed points) ...

1.3 軌道(orbit) ...

1.4 函數的週期點、收歛軌道或循環軌道 ...

第二章 Baker 函數 ...

2.1 Baker 函數 ...

2.2 Baker 函數的不動點與週期點...

2.3 Baker 函數週期點的規則 ...

第三章 二進位小數 ...

3.1 二進位運算 ...

3.2 Baker 函數與二進位運算的關係 ...

3.3 實際運算 ...

3.4 一維 Baker 函數分析 ...

第四章 二維空間中的 Baker 函數 ...

4.1 二維 Baker 函數的二進位運算概念 ...

4.2 二維 Baker 函數的探討 ...

4.3 結論 ...

參考文獻 ...

1

1 1 1 2

3 3 3 4 6 6 7 8 9 11

11 13 23 24

(5)

表目錄

表 2-1 Baker 函數的週期點規則 ... 5

(6)

圖目錄

圖 2-1 Baker 函數圖形 ... 3

(7)

第一章

離散動力系統的基本定義

1.1 函數疊代

離散動力系統是研究及觀察函數疊代軌跡的結果,換句話說,離散動力系統

的基本問題是研究一個函數 f :DD給定一個起始值( initial value)x0D,使 得 f(x0) 為 疊 代 1 次 的 值 , f(f(x0)) 為 疊 代 2 次 的 值 … 等 等 , 稱

))),....}

( ( ( )), ( ( ), ( ,

{x0 f x0 f f x0 f f f x0 的型態為x 的軌道(orbit)。 0

為了表示方便,將 f(f(x0))表示為 f[2]( )x ,0 f(f(f(x0)))表示為 f[3]( )x0 , 依此類推, f[ ]n (x)表示函數 f 疊代n次的值。若 f :DDxD,集合

[ ]( ) , 0}

{ )

( = ∈Ζ ≥

+ x f x n n

O nx為在函數 f 下的前進軌道(forward orbits);若 f 具有反函數,集合O(x)={f[ ]n (x)n∈Ζ,n≤0}稱x為在函數 f 下的後退軌道 (backward orbits)。

1.2 不動點(Fixed points):

點 p 經過函數 f(x)後,回到自己本身 p 點,也就是 f(p)= p,我們稱 p 點 為不動點。

1.3 軌道(orbit):

:

f R→ 是一個函數,給一個點R x在函數 f(x)中,xR,連續疊代數次後,

且集合為

{

f[ ]n ( )x

}

n=0,則稱x在 f 下的軌道(orbit)。

(8)

1.4 函數的週期點、收歛軌道或循環軌道

1.4-1 週期點(Periodic points):

定義:給一個點x 在函數0 f(x)中,連續疊代數次後 f[ ]n (x0)= f(x0),有包含本 身x 的循環軌道,則0 x 有週期0 n,而且稱x 有0 n循環(ncycle),其軌道 為{x ,0 f(x0),f[2](x ,0) f[3]( )x ,0 LLf[n1](x0)},則稱x 昰函數0 f(x) 的一個週期點(periodic points)。

1.4-2 遲緩型週期點(Eventually periodic points):

定義:給一個點x 在函數0 f(x)中,連續疊代數次後,才會開始進入循環軌道,

則稱x 是函數0 f(x)的遲緩型週期點(Eventually periodic points)。

1.4-3 遲緩型不動點(Eventually fixed points):

定義:給一個點x 在函數0 f(x)中,連續疊代數次後,至不動點收斂,則稱x 是0 函數 f(x)的一個遲緩型不動點(Eventually fixed points)。

(9)

第二章 Baker 函數

本章主要是討論一維空間 Baker 函數的不動點與週期點的規則。

2.1 Baker 函數:

Baker 函數:

⎪⎩

⎪⎨

=

1 2 2 ) (

x x x

B for 2 1 1

2 0 1

<

x x

如圖 2-1

圖 2-1 Baker 函數圖形

2.2 Baker 函數的不動點與週期點:

找出

2 0 1 ( ) 2

2 1 1 1

2

x x

B x

x x

⎧ ≤ <

= ⎨⎪⎪

⎪ − ≤ ≤

⎪⎩

在不同的疊代次數中的不動點與週期,當週期為 n 時,我們可以找到週期點

為 ( )1

2 1 ( )1

2

n

n

(10)

2.3 Baker 函數週期點的規則:

從 Baker 函數的運算中可以找出不動點、週期點與週期組數的規則。B[ ]n 中 不動點個數為2 若要找出n B[ ]n 中週期為n的所有週期點個數為2 -(n n除了本身外 的所有正因數的正因數週期點個數),若要找出有幾組週期為n的組數為[2 -(n n除 了本身外的所有正因數的正因數週期點個數)]/ n

例 1:

=4 n

B[4]的不動點為24 =16 4 的正因數為 1,2,4

週期為 4 的個數為24 −(2+2)=16−4=12 週期為 4 的組數為12÷4=3

例 2:

=6 n

B 的不動點為[6] 26 =64 6 的正因數為 1,2,3,6

週期為 6 的個數為26 −(2+2+6)=64−10=54 週期為 6 的組數為54÷6=9

由此規則可作出表 2-1

(11)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 Fixed points

forB[ ]n

2 4 8 16 32 64 128 256

Period-n points for B

2 2 6 12 30 54 126 240

n-cycle for B 2 1 2 3 6 9 18 30

表 2-1 Baker 函數的週期點規則

(12)

第三章 二進位小數

3.1 二進位運算:

Baker 函數:

2 0 1 ( ) 2

2 1 1 1

2

x x

B x

x x

⎧ ≤ <

= ⎨⎪⎪

⎪ − ≤ ≤

⎪⎩

因為 Baker 函數的定義域與對應域都是[0,1]之間,所以可將 Baker 函數看成 x

x x

f( )= + ,當 ( ) 1f x ≥ 時就自動減去 1,將十進位換成二進位來觀察其變化,

(x)10表示十進位、( )x 表示二進位, 2

x=0.x1x2x3...

+x=0.x x x1 2 3... (二進位運算) ---

考慮x+ 時第x n位數,x 是 1 或 0 當n xn + 是 1 或 0,對本身(第xn n位數) 留下 0,就看xn+1(第n+1位數)的xn+1 +xn+1是否進位,如果xn+1是 1 則x 位數在n 加法後變成 1,如果xn+1是 0 則加法後,x 位數也是 0,所以n x+ 的二進位小數x 運算結果就好像向前推進一位,也就是說小數點向右移一位數,如果x1 =1,結 果會得到1.x2x3x4...xn...,(B(x)= x2 −1)再減掉 1 ,剩下0.x2x3x4...xn...。

結論:當x=0.x1x2x3x4...xn...,B(x)=0.x2x3x4...xn...,則小數點後的 第一位數字會消失,所以每疊代一次,就會消失一個位數。

(13)

3.2 Baker 函數與二進位運算的關係:

定理 3.1:在 Baker 函數中遲緩型週期(eventually periodic)為有理數。

證明:

由二進位小數運算來探討 Baker 函數

因為遲緩型週期(eventually periodic) ⇒ f[ ]m( )x = f[ ]n ( )x 所以x的二進位小數值為x=0.x1x2x3Lxmxm+1Lxn的形式

x Q x

x x

x x x x

m n n

n m

m m m m

m

× + + +

+ +

+ + +

=

+ +

+

)

2) (1 1 ( 1 2 ) 2

(2 2 2

2

2 1 1

1 1

1 3

3 2 2

1 L L

所以在 Baker 函數中遲緩型週期點(eventually periodic points)為有理數。

定理 3.2:在 Baker 函數中,週期點形式為q

p, p 為奇數、 q 為奇數或偶數。

證明:

在 Baker 函數的二進位小數運算中得知,若要x= f [ ]n (x) 則x=0.x1x2x3Lxn

考慮xn =0

)

2) (1 1 ( 1 2 )

0 2

2 (2 0 .

0 1 2 3 1 22 33

n n

x x x x

x x x

× + + + +

=

= L L

) 1 2 ( 2 2 )

0 2

2 2

( 1 22 33

× − + + + +

= x x x n n n

L

) 1 2

0 2 1

2 2 1 2 2 1 2

(2 3

3 2

2 1 1

− + ⋅

− +

− +

− +

= nn x nn x nn x nn L =q

p

(

p 為奇數、 q 為偶數

)

考慮xn =1

1 )

( 1 ) (

1 .

0 x1 x2 x3 x

x x

x= L = + + +L+ ×

(14)

) 1 2 ( 2 2 )

1 2

2 2

( 1 22 33

× − + + + +

= x x x n n n

L

) 1 2

1 2 1

2 2 1 2 2 1 2

(2 3

3 2

2 1 1

− + ⋅

− +

− +

− +

= nn x nn x nn x nn L =q

p

(

p 、 q 皆為奇數

)

定理 3.3:在 Baker 函數中,遲緩型週期點(eventually periodic points)形式為q p, p 為偶數、 q 為奇數。

證明:

由二進位小數運算來探討 Baker 函數

因為遲緩型週期點(eventually periodic) ⇒ f[ ]m( )x = f[ ]n ( )x 所以的二進位小數值為x=0.x1x2x3Lxmxm+1Lxn的形式

)

2) (1 1 ( 1 2 ) 2

(2 2 2

2

2 1 1

1 1

1 3

3 2 2 1

+ +

+

× + + +

+ +

+ + +

=

m n n

n m

m m m m

m x x x

x x

x

x x L L

)

1 2

( 2 2 ) 2

(2 2 2

2 2 1

1 1

1 1

1 3

3 2 2 1

× − + + +

+ +

+ + +

= x x x xmm xmm xmm++ xnn nnm+m+ L

L

xn =1,則x為q

p

(

p 為偶數、 q 為奇數

)

3.3 實際運算:

B(x)= x,B2(x)= x,B3(x)=x,B4(x)=x的解,分別轉化成二進位小數。

n=1時,B(x)= x

(0)10 =(0.0)2,(1)10 =(0.1)2 中不動點為 0、1。

(15)

n=2時,B2(x)=x

(0)10 =(0.0)2, )10 (0.01)2 3

(1 = , )10 (0.10)2 3

(2 = ,(1)10 =(0.1)2

B(x)中不動點為 0、1。週期點為1 3、2

3。2 週期點為1 3、2

3 總共有一組 循環 。 2

n=3時,B3(x)=x

(0)10 =(0.0)2, )10 (0.001)2 7

(1 = , )10 (0.010)2 7

(2 = , )10 (0.011)2 7

(3 = ,

)10 (0.100)2 7

(4 = , )10 (0.101)2 7

(5 = , )10 (0.110)2 7

(6 = , (1)10 =(0.1)2

B(x)中不動點為 0、1。週期點為1 7、2

7、3 7、4

7、5 7、6

7。3 週期點為1 7、2

7、 4

7和3 7、6

7、5

7總共有兩組 3 循環

3.4 一維 Baker 函數分析:

Baker 函數與二進位換算的關係中發現,無論 Baker 函數要疊代幾次,其

[ ] x x

Bn ( )= 的解與二進位的循環節有關。

例:

=6

nB6(x)=x的解從(0.000000)2至(0.111111)2的所有循環點有26 =64個解,

從 Baker 函數與二進位運算關係中可發現有 2 循環及 3 循環與 6 循環。

無理數為無限不循環小數,轉化成二進位小數也是無限不循環小數,所以在 Baker 函數中,不收斂也沒有進入循環軌道。有理數可化成分數

p

q .的型式,分數

再化成小數,可轉化成二進位小數分為 1.有限小數 2.循環小數,分別探討此兩種

(16)

後將收斂至 0,B[ ]n (x)=0為遲緩型不動點(eventually fixed points)。2.循環小數部

份⎪⎩

⎪⎨

=

=

n n

x x x x x

x x x x x x x

L L

3 2 1

5 4 3 2 1

. 0 . 2

. 0 .

1 兩種型態 第一種型態:x=0.x1x2x3x4x5Lxn,所以在

Baker 函數中疊代幾次後,將步入循環軌道為遲緩型週期點(eventually periodic points)。第二種型態:x=0.x1x2x3Lxn,所以在 Baker 函數中疊代 n 次後,發現 直接步入循環軌道為週期點(periodic points)。

(17)

第四章

二維空間中的 Baker 函數

4.1 二維 Baker 函數的二進位運算概念:

首先考慮從I× 映射到I I× 的函數: I

2

(2 , ) 0 1, 0 1

2 2

( , )

1 1

(2 1, ) 1, 0 1

2 2

x y x y

B x y

x y x y

⎧ ≤ < ≤ <

= ⎨⎪⎪⎪ − + ≤ ≤ ≤ <

⎪⎩

因為B x y 為一對一函數,所以他有反函數的存在,且反函數為 2( , )

1 2

( , 2 ) 0 1, 0 1

2 2

( , )

1 1

( , 2 1) 1, 0 1

2 2

x y y x

B x y

x y y x

⎧ ≤ < ≤ <

= ⎨⎪⎪⎪ + − ≤ ≤ ≤ <

⎪⎩

以下為證明B x y 為一對一函數且為映成函數 2( , ) 1. 證明B x y 為一對一函數: 2( , )

B a b =2( , ) B a b2( , )′ ′

當 1

0≤ < ,a 2 1 0≤ < a′ 2 則B a b =2( , ) B a b2( , )′ ′ ⇒ (2 , )

2

a b = (2 , ) 2 a b

′ ⇒ ( , ) ( , )a b = a b′ ′

當 1

0≤ < ,a 2 1

2≤ ≤ a′ 1 則B a b =2( , ) B a b2( , )′ ′ ⇒ (2 , )

2

a b = 1

(2 1, ) 2 a′ − b′ +

⇒ 1

( , )a b =(a′− ,b′+ 不存在 1)

(18)

當1

2≤ ≤ ,a 1 1 0≤ < a′ 2

B a b =2( , ) B a b2( , )′ ′ ⇒ 1 (2 1, )

2

ab+ = (2 , ) 2 ab

⇒ 1

( , ) ( , 1)

a b = a′+2 b′− 不存在 當1

2≤ ≤ ,a 1 1

2≤ ≤ a′ 1

B a b =2( , ) B a b2( , )′ ′ ⇒ 1 (2 1, )

2

ab+ = 1

(2 1, ) 2

a′ − b′ + ⇒ ( , ) ( , )a b = a b′ ′ 所以B x y 為一對一函數 2( , )

2. 證明B x y 為映成函數: 2( , ) 令pqmn屬於R

當 1

0≤ < p 2

存在B p q = (2( , ) , 2 ) 2 m n

當1

2≤ ≤ p 1

存在B p q =2( , ) 1

( , 2 1) 2

m+ n− 則B x y 為映成函數 2( , )

假設( , )x y =(0.x x1 2L, 0.y y1 2L 是) I× 中點的二進位小數表示法。 I

x=0.x1x2x3x4...xn...,B(x)=0.x2x3x4...xn...,則小數點後的第一位 數字會消失,所以每疊代一次,就會消失一個位數。當y=0.y y y y1 2 3 4... ...yn

1 1 2 3 4

( ) 0. ... ...n

B y = x y y y y y ,則小數點後的第一位數字為x消失的部份,所以每 疊代一次,就會多一個位數。所以B x y 的作用是將2( , ) x座標的第一位小數變成 y 的第一位小數,而 y 的小數部份,全部向右移一位,x的小數部份,則是第一位

(19)

4.2 二維 Baker 函數的探討:

x、 y 可以分為有限小數、無限不循環小數、循環小數、遲緩型循環小數總共有 16 種情況來進行討論。

首先考慮從I× 映射到I I× 的函數: I

2

(2 , ) 0 1, 0 1

2 2

( , )

1 1

(2 1, ) 1, 0 1

2 2

x y x y

B x y

x y x y

⎧ ≤ < ≤ ≤

= ⎨⎪⎪⎪ − + ≤ ≤ ≤ ≤

⎪⎩

由於x可分為有限小數、無限不循環小數、循環小數、遲緩型循環小數 4 種 類型, y 也可分為有限小數、無限不循環小數、循環小數、遲緩型循環小數 4 種 類型,討論每種類型的情形可分為 16 種類型,以下是 16 種類型的討論:

類型 1 若 x 為有限小數,y 為有限小數 假設x=0.x x x1 2 3L ,xn y=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x y y y1 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x y y y2 1 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x y y y3 2 1 1 2 3Lym

當作用第 n 次後, x 的小數部份,則是第一位消失 n 次使之變成 0, y 的小數部 份,則全部向右移 n 位,並且前面小數由xn至 遞減。 x1

x=0,y=xnLx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym

當作用無限多次後,x則等於 0, y 則因為小數部份向右移動無限多次,使之趨 近於 0。

類型 2 若 x 為有限小數,y 為無限不循環小數 假設x=0.x x x1 2 3L ,xn y=0.y y y1 2 3LL

= =

(20)

帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x y y y2 1 1 2 3LL 再帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x y y y3 2 1 1 2 3LL

當作用第 n 次後, x 的小數部份,則是第一位消失 n 次使之變成 0, y 的小數部 份,則全部向右移 n 位,並且前面小數由xn至 遞減。 x1

x=0,y=0.xnLx x x y y y3 2 1 1 2 3LL

當作用無限多次後,x則等於 0, y 則因為小數部份向右移動無限多次,使之趨 近於 0。

類型 3 若 x 為有限小數,y 為循環小數 假設x=0.x x x1 2 3L ,xn y=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x y y y1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x y y y2 1 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x y y y3 2 1 1 2 3Lym

當作用第 n 次後, x 的小數部份,則是第一位消失 n 次使之變成 0, y 的小數部 份,則全部向右移 n 位,並且前面小數由xn至 遞減。 x1

x=0,y=0.xnLx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym

當作用無限多次後,x則等於 0, y 則因為小數部份向右移動無限多次,使之趨 近於 0。

類型 4 若 x 為有限小數,y 為遲緩型循環小數 假設x=0.x x x L ,x y=0.b b b Lb y y y Ly

(21)

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x1 1 2 3b b b Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x2 1 1 2 3b b b Lb y y yj 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x3 2 1 1 2 3b b b Lb y y yj 1 2 3Lym 作用 n 次後, x 的小數部份,則是第一位消失 n 次使之變成 0, y 的小數部份,

則全部向右移 n 位,並且前面小數由xn至 遞減。 x1 x=0,y=0.xnLx x x b b b3 2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

當作用無限多次後,x則等於 0, y 則因為小數部份向右移動無限多次,使之趨 近於 0。

當從B x y 疊代後2( , ) x則等於 0、 y 則趨近於 0,從B21( , )x y y 疊代後則等於 0、y 則等於 0,此情形稱 ( , )x y 為同宿點(homoclinic point)。

類型 5 若 x 為無限不循環小數,y 為有限小數 假設x=0.x x x1 2 3LL ,y=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x1 1y y y2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x2 1 1y y y2 3L ym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x3 2 1 1y y y2 3Lym

帶入B x y 作用第 n 次後2( , ) x=xn+1xn+2xn+3LL,y=0.xnLx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym 當作用無限多次後,x、y 則會不收斂也沒有進入循環軌道。

類型 6 若 x 為無限不循環小數,y 為無限不循環小數

(22)

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x1 1y y y2 3LL 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x2 1 1y y y2 3LL 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x3 2 1 1y y y2 3LL 帶入B x y 作用第 n 次後2( , ) x=xn+1xn+2xn+3L ,y=0.xnLx x x y y y3 2 1 1 2 3LL 當作用無限多次後,x、y 則會不收斂也沒有進入循環軌道。

類型 7 若 x 為無限不循環小數,y 為循環小數 假設x=0.x x x1 2 3LL,x=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x1y y y1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x2 1y y y1 2 3Lym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x3 2 1y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第 n 次後2( , ) x=xn+1xn+2xn+3L ,y=0.xnLx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym 當作用無限多次後,x、y 則會不收斂也沒有進入循環軌道。

類型 8 若 x 為無限不循環小數,y 為遲緩型循環小數 假設x=0.x x x1 2 3LL,y=0.b b b1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x x2 3 4L ,xn y=0.x1 1 2 3b b b Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x x x3 4 5L ,xn y=0.x x2 1 1 2 3b b b Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x x x4 5 6L ,xn y=0.x x x3 2 1 1 2 3b b b Lb y y yj 1 2 3Lym

(23)

1 2 3

n n n

x=x +x + x + L ,y=0.xnLx x x b b b3 2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

當作用無限多次後,x、y 則會不收斂也沒有進入循環軌道。

類型 9 若 x 為循環小數,y 為有限小數 假設x=0.x x x1 2 3Lxny=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x y y y1 1 2 3L ym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2y=0.x x y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x4Lx x x xn 1 2 3y=0.x x x y y y3 2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 n 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.x xn n1Lx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym 當作用無限多次後,x則會為0.x x x1 2 3Lxn 、y 則會為0.x xn n1Lx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym

類型 10 若 x 為循環小數,y 為無限不循環小數 假設x=0.x x x1 2 3Lxn y=0.y y y1 2 3LL

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x y y y1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2y=0.x x y y y2 1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x4Lx x x xn 1 2 3y=0.x x x y y y3 2 1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第 n 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.x xn n1Lx x x y y y3 2 1 1 2 3LL 當作用無限多次後,x則會為0.x x x1 2 3Lxn、y 則會為0.x xn n1Lx x x y y y3 2 1 1 2 3LLL

(24)

類型 11 若 x 為循環小數,t 為循環小數 假設x=0.x x x1 2 3Lxn y=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x y y y1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2y=0.x x y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x4Lx x x xn 1 2 3y=0.x x x y y y3 2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 n 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.x xn n1Lx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym 當作用無限多次後,x則會為0.x x x1 2 3Lxn、y 則會為0.x xn n1Lx x x y y y3 2 1 1 2 3Lym

類型 12 若 x 為循環小數,y 為遲緩型循環小數 假設x=0.x x x1 2 3Lxny=0.b b b1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x b b b1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2y=0.x x b b b2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.x4Lx x x xn 1 2 3y=0.x x x b b b3 2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 n 次後 2( , )

1 2 3

0. n

x= x x x Lxy=0.x xn n1Lx x x b b b3 2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym 當作用無限多次後,

x則會為0.x x x1 2 3Lxn 、y 則會為0.x xn n1Lx x x b b b3 2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

(25)

假設x=0.a a a1 2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.a a2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.a y y y1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.a a3 4La x x xk 1 2 3Lxny=0.a a y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.a a4 5La x x xk 1 2 3Lxny=0.a a a y y y3 2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.akLa a y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k+1 次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x a1 kLa a y y y2 1 1 2 3L ym 帶入B x y 作用第 k+2 次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2y=0.x x a2 1 kLa a y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k+n 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.xnLx x a2 1 kLa a y y y2 1 1 2 3Lym 當作用無限多次後,x則會為 n 週期循環,y 則會趨近0.xn1xn2Lx x2 1

1 2 3 2 1 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x x Lxn, 0.xnLx x akLa a y y y Lym)

2 3 4 1 1 3 2 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x x Lx xn , 0.x xnLx x akLa a y y y Lym)

3 4 5 1 2 2 1 4 3 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x x Lx x , 0.x xLx x akLa a y y y Lym) M

M

1 2 1 1 1 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x xn Lxn, 0.xn Lx x an kLa a y y y Lym)

若(0.a a1 2La x xk 1 2Lxn, 0. )y ,無論 y 為何值,最後軌道會逼近至

1 2 1 2 1

(0.x x Lxn, 0.x xn nLx x)稱為漸近的週期(asymptotical periodic)。

同理(0. , 0.x b b1 2Lb x xj n n1Lx x2 1)在B21( , )x y 作用下是漸近的週期(asymptotical periodic)。

(26)

類型 14 若 x 為遲緩型循環小數,y 為無限不循環小數 假設x=0.a a a1 2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.y y y1 2 3LL

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.a a2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.a y y y1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.a a3 4La x x xk 1 2 3Lxny=0.a a y y y2 1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.a a4 5La x x xk 1 2 3Lxny=0.a a a y y y3 2 1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第 k 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.akLa a y y y2 1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第 k+1 次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x a1 kLa a y y y2 1 1 2 3LL 帶入B x y 作用第 k+2 次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2y=0.x x a2 1 kLa a y y y2 1 1 2 3LL

帶入B x y 作用第 k+n 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.xnLx x a2 1 kLa a y y y2 1 1 2 3LL 當作用無限多次後,x會為 n 週期循環, y 則會不收斂也沒有進入循環軌道。

類型 15 若 x 為遲緩型循環小數,y 為循環小數 假設x=0.a a a1 2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.y y y1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.a a2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.a y y y1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.a a3 4La x x xk 1 2 3Lxny=0.a a y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.a a4 5La x x xk 1 2 3Lxny=0.a a a y y y3 2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.akLa a y y y2 1 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k+1 次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x a1 kLa a y y y2 1 1 2 3Lym

(27)

帶入B x y 作用第 k+n 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.xnLx x a2 1 kLa a y y y2 1 1 2 3Lym 當作用無限多次後,x則會為 n 週期循環,y 則會趨近0.xn1xn2Lx x2 1

1 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x x Lxn, 0.x xn n Lx x x a ak nLa a y y y Lym)

2 3 1 1 4 3 2 1 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x Lx xn , 0.x xnLx x x a ak n La a y y y Lym)

3 4 1 2 2 1 5 4 3 1 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x x Lx x , 0.x xLx x x a ak n La a y y y Lym) M

M

1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 3

( , )x y =(0.x xn Lxn xn , 0.xn xn Lx x a ak n La a y y y Lym)

類型 16 若 x 為遲緩型循環小數,y 為遲緩型循環小數 假設x=0.a a a1 2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.b b b1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym

帶入B x y 作用第一次後2( , ) x=0.a a2 3La x x xk 1 2 3Lxny=0.a b b b1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第二次後2( , ) x=0.a a3 4La x x xk 1 2 3Lxn

2 1 1 2 3 1 2 3

0. j m

y= a a b b b Lb y y y Ly

帶入B x y 作用第三次後2( , ) x=0.a a4 5La x x xk 1 2 3Lxn

3 2 1 1 2 3 1 2 3

0. j m

y= a a a b b b Lb y y y Ly

帶入B x y 作用第 k 次後2( , ) x=0.x x x1 2 3Lxny=0.akLa a b b b2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k+1 次後2( , ) x=0.x x2 3Lx xn 1y=0.x a1 kLa a b b b2 1 1 2 3Lb y y yj 1 2 3Lym 帶入B x y 作用第 k+2 次後2( , ) x=0.x3Lx x xn 1 2

參考文獻

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