中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：應用機率破壞力學評估水力發電廠大型鋼管之 殘留壽命

系 所 別：應用數學學系碩士班 學號姓名：M09309004 彭于玲

指導教授：陳 烈 博士 楊立杰 博士

中華民國九十五年六月

摘 要

本研究主旨為應用機率破壞力學，以蒙地卡羅法模擬破壞機 率，分析大型鋼管由於環向應力對軸向裂縫之影響，導入彈塑性 破壞力學(Elastic Plastic Fracture Mechanics，EPFM)中破裂 參數J積分(J-Integral)與材料撕裂模數(Tearing Modulus)繪 出J-T曲線，進而引入加壓曲線(loading-curve)，求出臨界裂縫 長度 ，再由鋼管軸向裂縫長度隨時間成長之情形，評估水力發 電廠大型鋼管之殘留壽命。

acr

關鍵詞：彈塑性破壞力學、J積分(J-Integral)、蒙地卡羅法、機

率破壞力學、裂縫增長速率。

ABSTRACT

Penstocks are susceptible to fatigue crack growth especially if subject to a wet environment, which could cause a catastrophic failure during plant operation. Therefore, the inspection and maintenance of this component is very important not only to increase the availability of power generation but also to reduce the cost of maintenance. A life assessment of the penstock based on Probabilistic Fracture Mechanics Analysis is developed. The critical crack size is determined on the basis of the J-integral/tearing

modulus criterion. A case study is performed in this paper that presents the use of Monte Carlo Simulation Technique in establishing an inservice

inspection program for a penstock. The results show the acceptability of extending inspection intervals while maintaining acceptable levels of safety.

Keywords: Penstock, Probabilistic Fracture Mechanics Analysis,

Monte Carlo Simulation Technique, hydropower plant

誌 謝

承蒙恩師 楊立杰教授與 陳烈教授於論文研究期間的悉心教 導，使本論文得以順利完成，修業期間老師的治學精神與待人處 世的態度，均使我受益良多，謹致上由衷的感謝。初稿期間承蒙 王 慧君教授、 黃敏昌教授撥冗細心指正及惠賜寶貴意見，使本文更 臻完善，特此致上誠摯的謝意。

研究所就讀及論文撰寫期間，感謝同窗好友林士騰在課業與 論文上的協助與勉勵，以及好友琪姝、珮珊、秀琴、雅一、瑞昌、

懋德在日常生活中的鼓勵與打氣。並且感謝摯愛的父母及姐妹 們，在我求學和教學多年來的支持與關懷。

最後，深深感謝我最摯愛的老公-炎武，這段期間對於柏瑋和

郁齊特別的辛苦照顧，謝謝給予的體貼與關愛。

目 錄

摘要………I 誌謝………III 目錄………IV 圖目錄………VI 表目錄………VII

第一章 導論………1

1-1 研究動機………1

1-2 研究方法………2

1-3 論文大綱………2

第二章理論說明………4

2-1 破壞力學理論………4

2-1-1 線彈性破壞力學………4

2-1-2 彈塑性破壞力學………5

2-2 鋼管應力分析………7

2-3 J-T曲線(J-integral Tearing curve) ………9

2-3-1

材料之

J-T曲線(

J

_mat

− T

_mat curve)………9

2-3-2 外加負載之J-T曲線 (

J

appl

− T

appl curve)………9

2-4 蒙地卡羅法………10

2-4-1 蒙地卡羅的簡介………11

2-4-2 蒙地卡羅方法基本原理………12

2-4-3 隨機亂數性質………13

2-4-4 隨機亂數產生方法………13

2-5 逐週計算法………15

2-6 預估壓力鋼管壽命時間………15

第三章程式分析與設計………17

3-1 程式之應力說明………17

3-2 程式分析………18

3-3 程式設計流程圖………18

第四章結果與討論………20

4-1 臨界裂縫長………20

4-2 鋼管殘餘壽命………21

第五章結論與建議………23

參考文獻………42

圖目錄

圖1-1 大型壓力鋼管圖………24

圖1-2 大型壓力鋼管圖………24

圖2-1-1 材料應力-應變曲線圖 ………25

圖2-1-2 裂縫尖端損壞圖………26

圖2-2-1 鋼管應力分析圖………27

圖2-2-2 應力-應變理想化曲線圖 ………28

圖2-2-3 J-

Δ a

曲線圖 ………28

圖2-3 J-T Methodology曲線圖………29

圖 4-1 J-T 曲線圖(σ_H =17.707ksi)

(

a_cr =76.12in

)

………29

圖 4-2 J-T 曲線圖(σ_H =25.672ksi)

(

a_cr =33.35in

)

………30

圖 4-3 J-T 曲線圖(σ_H =33.007ksi)

(

a_cr =14.15in

) …

………31

圖 4-4 J-T 曲線圖(σ_H =36.528ksi)

(

a_cr =4.59in

)…

………32

表目錄

表 4-1 J-T 數值解(σ_H =17.707ksi)

(

a_cr =76.12in

)

………33

表 4-2 J-T 數值解(σ_H =25.672ksi)

(

a_cr =33.35in

)

………33

表 4-3 J-T 數值解(σ_H =33.007ksi)

(

a_cr =14.15in

)

………34

表 4-4 J-T 數值解(σ_H =36.528ksi)

(

a_cr =4.59in

)

………34

表 4-5 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=1.34in 及 ai=1.7in) ………35

表 4-6 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=2.0in 及 ai=2.3in) …………36

表 4-7 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=2.5in 及 ai=3.0in) …………37

表 4-8 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=3.5in 及 ai=4.0in) …………38

表 4-9 破壞機率(σ_H =33.007ksi,ai=8in 及 ai=10in) …………39

表 4-10 破壞機率(σ_H =33.007ksi,ai=12n 及 ai=13in) ………40

表 4-11 環向應力(σ_H =36.528ksi)之殘餘壽命

( a

cr

^{= 4 . 59}

_in

)

……41 表 4-12 環向應力(σ_H =33.007ksi)之殘餘壽命

( a

cr

^{= 14 . 15} in )…

⁴¹

第一章 導論

1-1 研究動機

近年來由於工業及民生用水用電之需求量增加，隨著電力需求 與水力發電系統也日益擴張，針對此大型壓力鋼管結構，為確實掌 握結構體之使用安全性，將採用機率破壞力學之分析模式，同時根 據結構應力分析與彈塑性破壞力學之理論基礎來評估殘餘年限；由 於大型壓力鋼管之軸向裂縫易受鋼管環向應力之影響而將裂縫撕裂 開來，裂縫附近的應力會重新分佈，使裂縫尖端附近產生很高的應 力集中現象，促使裂縫的擴展並導致結構體斷裂，造成意外災害發 生，不但危害人民的生命財產，更可能污染環境也造成生態的破壞。

因此對於大型壓力鋼管發生裂縫部份必須做適當的分析與評估，進 而瞭解大型壓力鋼管之殘餘使用年限，以作為大型鋼管使用與建檢 維修之參考依據，方可掌握結構運轉狀況，避免造成更大的危害。

目前國內外有許多興建年代久遠之大型壓力鋼管結構(如圖 1-1、圖1-2)，且其位置是沿著山區之河流旁而興建，提供工業、農 業灌溉及民生用水，另外核能發電廠及水力發電廠中亦有多處之大 型壓力鋼管，由於大型鋼管使用過程與服務運轉期間，鋼管結構因

自重與水流產生內壓應力，導致管壁產生之裂縫缺陷問題，對整體 結構安全有相當大的影響，因此，如何分析大型壓力鋼管之裂縫安 全及殘餘使用年限之評估，作為日後修補對策之依據，達到大型鋼 管安全使用而減少意外災害的發生，將是本研究的主要課題。

1-2 研究方法

大型壓力鋼管承受內壓力與彎矩作用時，會造成壓力鋼管產生 軸 向 裂 縫 ， 本 研 究 方 法 使 用 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 ( Monte Carlo Simulation )來分析大型壓力鋼管之壽命，而將真實的狀況引用變 數來模擬並將其隨機化，透過亂數產生器來作模擬，並導入機率破 壞力學的觀念，進而更真實的評估鋼管之殘餘壽命；在進行壽命評 估以前，必須先暸解裂縫發生與成長情形，然而非破壞性檢測所耗 費的資金相當昂貴，因此壽命評估越精準則可減少檢測次數，以節 省國家資源的浪費。

1-3 論文大綱

本論文主要是應用機率破壞力學，以蒙地卡羅法模擬破壞機 率，分析大型鋼管由於環向應力對軸向裂縫之影響，評估水力發電

廠大型鋼管之殘留壽命，論文內容可分為五大部分，分別敘述如下：

第一章為研究動機與研究方法。

第二章介紹破壞力學相關之基本理論與鋼管應力分析。

第三章著重於程式建構過程中所需要的理論及流程。

第四章則對模擬分析出來的數據評估討論。

第五章為結論與建議。

第二章 理論說明

2-1 破壞力學理論

2-1-1 線彈性破壞力學( Linear Elastic Fracture Mechanics，LEFM )

線彈性破壞力學是以古典力學為基礎，當材料強度在低於崩塌 強度時就會發生毀壞，而且可以由線彈性破裂力學(LEFM)裡的彈性 觀念分析，用數學式將應力大小、裂縫大小與材料性質三種因素加 以連貫，來預測材料的破壞或裂縫的成長。首先Griffith【1】在1920 年提出裂縫將會在使系統總能量降低的狀況下進行成長之觀念。即 應變能被裂縫取走能量之觀念，從而推導出能量釋放速率( Energy Release Rate，G )，與裂縫阻抗( Crack Resistance，R ) 的理論，

線彈性材料中dU/da通常被稱為G。Irwin【2】並根據彈性理論之力 量守恆與應變相容方程式，導出裂縫尖端附近之應力場方程式。再 將應力強度因子 K( Stress Intensity Factor ) 帶入破壞力學的 分析中，在推導過程中此裂縫尖端附近之 K值僅適用於線彈性破壞 力學，若裂縫尖端塑變形區變大，所得之估計將不準確，而必須用 彈塑性破壞力學的觀念來討論，而採用非線性微分方程來分析。

2-1-2 彈 塑 性 破 壞 力 學 (Elastic Plastic Fracture Mechanics，EPFM)

對一個線彈性材料來說，dU/da 通常被稱為 G，而應變能釋放率 G 與應力強度因子 K 均為 LEFM 中重要參數，但對非線性材料而言，

我們把它寫成 J 積分，此 J 積分為彈塑性破裂力學(EPFM)使用的應 變能釋放率，再依據塑性破裂的能量準則可求出 J 積分方程式，由 Esheldy【3】中定義了許多圍線積分，根據能量守恆定理它跟路徑 無關，此 J 積分方程式可用來做為破裂的分析推導，在彈塑性破壞 力學(EPFM)裡面的應力-應變關係，在卸負載時若應力為零則應變必 定為零。如圖 2-1-1 應力-應變之說明。

有關於材料尖端裂縫之線彈性破壞力學(LEFM)及彈塑性破壞力 學(EPFM)之損壞說明有以下四種情形：(如圖2-1-2)【4】

Case(a) 線彈性(Linear Elastic) (屬SSY)：

裂縫尖端損壞區域較小，包含在線彈性支配範圍內，可使 用線彈性破壞力學(LEFM)中之應力強度因子K、能量釋放速 率G參數，這情況稱為 SSY (Small-Scale-Yielding)。

Case(b) 彈塑性(Elastic-Plastic)：

裂縫尖端的損壞範圍增大到超越彈性支配區而出現非線性 模式，此部分必須採用J積分來做分析討論。

Case(c) 充分塑性(Fully Plastic)(屬CTOD)：

裂縫尖端損壞的範圍快速展開，塑性範圍部分急速擴增，

但 塑 性 範 圍 不 穿 越 整 個 材 料 ， 這 種 情 況 稱 為 CTOD ， 即 (Crack-Tip-Opening-Displacement)。

Case(d) 整體塑性(Overall Plasticity)：

材料之外加負載超過其塑性變形，裂縫損壞範圍快速展 開，使材料發生斷裂破壞，這種情況會使結構突然倒塌，

造成危險。

2-2 鋼管應力分析

本論文所討論水力發電廠之大型鋼管，假設鋼管中間有一軸向 裂縫(圖2-2-1)，說明如下：

鋼管單位長度：2b (令2b=L) 鋼管半徑為：R

鋼管軸向裂縫長度：2a 鋼管承受之環向應力：

σ

_H

當大型壓力鋼管半徑R與鋼管厚度t之比值很大時，由於鋼管裂縫尖 端應力集中容易達降伏，且降伏區韌性很大，可將鋼管展開為中間 型裂縫(Center-Cracked Panel)(CCP)的模式來作分析【5-9】，由 於降伏後塑性範圍增大，所以線彈性破壞力學(LEFM)不適用，而必 須採用彈塑性破壞力學(Elastic Plastic Fracture Mechanics，

EPFM)來分析推導。

鋼管材料之應力應變採用由Ramberg-Osgood【10】(如圖2-2-2) 之理想化公式如下：

n

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

0 0

0

σ

α σ σ

σ ε

ε

(2-1)

其中：σ ：材料應力 ε：材料應變

σ0

:0.2% 降伏應力(yieid stress)

= Ε

⁰

0

ε σ ₍ Ε ：楊氏係數)

α

:降伏補償係數(yieid offer)

材料裂縫的彈塑性分析採用由美國材料試驗協會(ASTM)規範之 關係式如下(圖2-2-3)：

a

m

C

J = ( Δ ) (2-2)

J：彈塑性之J積分 C,m：J-R參數

Δ a

：裂縫延展長度

材料之撕裂模數(Tearing Modulus)採用【11】中J-T曲線之公式

da T

₂

dJ

σ

0

= Ε

(2-3)

σ

0_：

0.2% 降伏應力(yieid stress)

Ε ：楊氏係數

2-3 J-T曲線(J-integral Tearing curve)

2-3-1材料之

J-T曲線(

J

_mat

− T

_{mat curve)}

在本論文中由上述之關係式公式(2-2)與材料撕裂模數公式 (Tearing Modulus)(2-3)，可繪出材料之J-T曲線( curve) 其中

mat

mat

T

J −

( ) ( b a )

P a

L P

= −

= −

2

0

2 σ

b P L

P

= 2

Η

= σ

2-3-2 外加負載之

J-T曲線 (

J

appl

− T

appl _curve)

在本論文中由公式(2-1)與

文獻【12】推得J積分函數為

( )

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

⎪⎭

⎪ ⎬

⎥ ⎫

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Η

0 0

0

ln sec 2 , 8

σ ε πσ

π σ

σ a

^H

a J

(2-4)

其中

a

：鋼管軸向裂縫長度的一半

σ

Η：鋼管承受之環向應力

σ

0_：

0.2% 降伏應力(yieid stress)

ε

0 _：

Ε σ

0

b

P L

P

= 2

Η

= σ

將撕裂模數(公式2-3) 與

J積分函數

(公式2-4)之關係，可

繪出 外加負載曲線(Loading curve)(即 J

_appl

− T

_{appl 曲線}

)。

由上述之材料J-T曲線( J

_mat

− T

_{mat )}

及外加載重之J-T曲線 (

)

可 找 出 不 穩 定 交 點 (Instability Point)( 如 圖 2-3)，然後再由此不穩定點即可找出臨界裂縫長a

appl

appl

T

J −

rc

。

2-4 蒙地卡羅法

本節主要介紹蒙地卡羅歷史背景，以及基本原理，並運用其涵 義導用到我們所需要的變數，運用亂數作為與計算機之間的橋樑以

模擬真實狀況。

2-4-1 蒙地卡羅的簡介

在科學研究中經常是利用電腦產生均勻分佈於[0, 1] 之間的 數，但早期最簡單方式是由賭場輪盤以機械方式產生亂數，這也是 為何以摩洛哥首都-蒙地卡羅(賭城)為名的緣故。

蒙地卡羅法是一種數值方法，利用亂數取樣( random sampling ) 模擬來解決數學問題。一般公認蒙地卡羅方法一詞為著名數學家 John von Neumann 等 人 於 1949 年 一 篇 名 為 「 The Monte Carlomethod 」所提出。其實，此方法的理論基礎於更早時候已為 人所知，只不過用手動產生亂數來解決問題，是一件費時又費力的 繁瑣工作，必須等到電腦時代，使此繁複計算工作才變得實際可執 行。

舉凡所有具有隨機效應的過程，均可能以蒙地卡羅方法大量模 擬單一事件，藉統計上平均值獲得某設定條件下實際最可能測量 值。現今此方法已被應用在許多領域中，例如品質和可信度估算、

輻射粒子在物質中遷移運動、社會科學人口變遷和天文物理等問題。

2-4-2 蒙地卡羅方法基本原理

蒙地卡羅方法的基本原理是將所有可能結果發生的機率，定義 出一機率密度函數。將此機率密度函數累加成累積機率函數，調整 其值最大值為1，此稱為歸一化( Normalization )。這也將正確反 應出所有事件出現的總機率為1 的機率特性，這也為亂數取樣與實 際問題模擬建立起連結。也就是說我們將電腦所產生均勻分佈於[0, 1] 之間的亂數，透過所欲模擬的過程所具有機率分佈函數，模擬出 實際問題最可能結果。

2-4-3 隨機亂數性質

隨機亂數是離散式事件模擬的最基本成分，常被運用在隨機事 件及其他統計分析上的隨機變數( Random variables )。目前亂數 常應用於通訊鑰匙、計數器、交叉確認…等。然而，隨機亂數直接 影響模擬結果的隨機性，所以亂數必須滿足均勻性( uniformity ) 與獨立性( independence )隨機性與低重覆性，這均為統計的重要 性質。如下：

0 1.均勻分配機率密度函數為

( ) x f

( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤

= otherwise x x

f 0

1 0

1

₁

1

2.每一

x

_i的期望值

( ) 2

1 0 1 0 2

1

²

=

=

= ∫ ^{xdx x}

x E

3.變異數為

V( x

i

)

( ) [ ( ) ]

12 1 2

1 0

1 3 0

1

_{2 2} ^{3 2}

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−

= ∫ ^{x dx E R x}

x V

2-4-4 隨機亂數性質產生方法

一般隨機亂數大都由電腦所製造產生，我們稱為「隨機亂數產 生器( Random Number Generator )」，然而，目前被廣泛使用的方 式為1951年由Lehmer所提出之線性同餘法( Linear Congruential Generator，簡稱LCG )，是發展歷史較久的。本論文因為不需要用 到大量亂數，因而選用線性同餘法來作為亂數依據。

在線性同餘法裡：

X_n+1 = (a X_n + c) mod m (2-5)

四個參數： (m,a,c,X⁰ 皆為整數)

m ：模數（Modulos）：m > 0；最好是夠大的質數。

a ：固定乘數（Constant Multiplier）：0 ≦ a ＜ m。

c ：增加量（Increment）：0 ≦ c ＜ m。

X0 ：起始值，或稱種子（Seed）：0 ≦ X0 ＜ m

首先選擇一個很大的整數m，然後依上述(2-5)之遞回方程式創造出在 0至m-1間一連串整數群，開始的起始值X0，稱為種子值( seed )，

是事前給定的，其他的數列則是依種子數，利用（2-5）式循序製造 出來。線性同餘法的虛擬隨機亂數( Pseudo-Random Numbers ) :P0

,P1,P2,P3,..,Pi ，則是靠著將的數正規化到0~1 之間得來的，即

m

P_i = Xⁱ 對所有的i 值。而整個數列所產生的週期per (Pi) ，將會滿

足per (Pⁱ) ≤ M 的條件。

目前許多亂數產生器的研究多用於離散數學、電腦科學、作業 研究、統計學…等方面，也廣泛的應用在模擬各種隨機的突發狀況、

抽樣、數值分析、決策……等各領域來產生一些機率比例上的不同 亂數。

2-5 逐週計算法

在本論文計算裂縫成長時，有幾種方法可以用來預估裂縫的成 長，如逐週計算法(Cycle-by-Cycle Evaluation) 、等效常振幅負 荷法( Equivalent Constant Amplitude Load ) 等等，在本論文中 使用逐週計算法涵義將第n 次循環所造成的裂縫成長量，再與初始 的裂縫長度相加，即

n

n

a a

a =

₀

+ Δ

（2-6）

2-6 預估壓力鋼管壽命時間

本論文所探討為水力發電廠之大型壓力鋼管，因此裂縫之成長 與鋼管在水中受腐蝕成長有關，在此以鋼管裂縫一般在水中成長之 經驗公式(2-7)來計算鋼管之殘餘壽命：

( ^{2 10}

¹²

) ⁽

K

⁾

⁴

dN

da = ∗

⁻

∗ Δ

cycle

m

_(2-7)

(2-7)式中之

Δ

_K為壓力鋼管運轉之壓力差值。

由於本文要評估壓力鋼管之殘餘壽命，且一般水力發電廠鋼管 之運轉情形為：2

day

cycle ，故將(2-7)式轉換為如下：

dt dN dN

da dt

da = ⋅

( ) ^{( )}

K

ⁱⁿ _year

8 4

10 74803

.

5 × Δ

=

⁻

故推得壓力鋼管單位時間之裂縫成長關係式：

( ) ^{( ) in} _year

dt da

K 8 4

10 74803

.

5 × Δ

=

⁻ (2-8)

當求出臨界裂縫長後，便可將(2-8)式代入Fortran程式中，由 增長速率估算大型壓力鋼管之的殘餘壽命(

t

_rem)。

本文採用之殘餘壽命的計算關係式為：

/

cr i

rem

a a

t da dt

= −

cr

:

a

臨界裂縫長度 (critical crack size)

i

:

a

初始裂縫長度 (initial crack size)

(2-9)

da :

dt

裂縫成長速率 (crack growth rate)

第三章 程式

3-1 程式之應力說明

本論文乃評估水力發電廠之大型鋼管，故採用水力發電廠中常用之 鋼管來分析，使用之基本假設如下：

鋼管厚度：

t

=0.67 in 鋼管半徑：R=47.66 in

(外徑 R²=48.00 in,內徑 R¹=47.33 in) 鋼管揚氏係數： =290000 ksi Ε

鋼管蒲松比：

μ

=0.3 鋼管環向應力：

σ

_Η

鋼管承受之環向應力，採用一般水力發電廠中之受力來分析：

H =

σ 17.707ksi

H =

σ 25.672ksi

H =

σ 33.007ksi

H =

σ 36.528ksi

3-2 程式分析

本論文乃評估水力發電廠之大型鋼管的軸向裂縫，而該裂縫尖 端韌性大，易產生應力集中現象，而降伏區增大故採用彈塑性破壞 力學來分析較合適，另外再應用機率破壞力學【16】之觀念來模擬 初始裂縫及裂縫隨時間之成長率，進而評估大型鋼管之殘餘壽命。

關於程式分析可分為二階段：

第一階段：運用第二章之理論公式(2-2)(2-3)(2-4)，以EXCEL軟體 之試算表求出相關之數值，再由Grapher軟體來繪製材料 之 “

J

_mat

− T

_{mat 曲 線 ＂}， 接 著 藉 由 所 加 外 力 來 調 整

“ 曲 線 ＂ ， 進 而 找 出 臨 界 不 穩 定 點 (Instability Point)，求出臨界裂縫 。

appl appl

T

J −

a

cr

第二階段：應用蒙地卡羅的觀念，藉由FORTRAN程式之迴圈，設計出

“0~1＂之間一萬筆的隨機亂數，再由

× +

=

_{mean sd}

i

χ V

χ _【 Ρ

_i

_亂數】

模擬初始裂縫與裂縫成長率【16】進而評估出鋼管之殘 餘壽命。

3-3 設計流程圖

關於上節之二階段的程式分析，可用流程圖說明如下：

輸入基本資料

計算材料之

J

_mat

, T

_mat 值 計算外力之

J

appl

, T

appl 值 繪製“

J

_mat

− T

_mat

調整“

J

appl

− T

appl _curve＂

找不穩定點 (Instability Point)

Yes No 判斷(

J

_mat

, T

_mat) ≥

(

J

_appl

, T

_appl)

求出臨界裂縫a_cr

模擬“初始裂縫 ＂及“a_i dt

da＂之

亂數產生器

預估殘餘壽命

輸出資料

curve＂

times=1,10000

第四章 結果與分析

4-1 臨界裂縫長

本文討論水力發電廠大型壓力鋼管之軸向裂縫在承受環向應力 時之殘餘壽命，必須先由理論求出臨界裂縫長，進而再評估殘餘年 限，本文所分析之環向應力有σ_H =17.707ksi、σ_H =25.672ksi、

H =

σ 33.007ksi、σ_H =36.528ksi，經由計算J-Tcurve可得到臨界裂 縫長：

當σ_H =17.707ksi：由公式(2-2)(2-3)(2-4)繪製

J

mat

− T

mat曲線與

appl appl

T

J −

_曲線(如圖4-1)，藉由J a與T a 數 值解(如表4-1)，求出臨界裂縫

^a

cr

= 76 . 12 ⁱⁿ 。

當σ_H =25.672ksi：由公式(2-2)(2-3)(2-4)繪製

J

_mat

− T

_mat曲線與

appl appl

T

J −

_曲線(如圖 4-2)，藉由 J a 與 T a 數 值解(如表 4-2)，求出臨界裂縫

a

_cr

= 33 . 38 in

。

當σ_H =33.007ksi：由公式(2-2)(2-3)(2-4)繪製

J

_mat

− T

_mat曲線與

appl appl

T

J −

_曲線(如圖 4-3)，藉由 J a 與 T a 數 值解(如表 4-3)，求出臨界裂縫a_cr = 14 .15in 。

當σ_H =36.528ksi：由公式(2-2)(2-3)(2-4)繪製

J

_mat

− T

_mat曲線與

appl appl

T

J −

_曲線(如圖 4-4)，藉由 J a 與 T a 數 值解(如表 4-4)，求出臨界裂縫

a

_cr

= 4 . 59 in

。

本文計算所繪得之

J

mat

− T

mat_曲線類似 L 型，符合材料之 J 積分與 撕裂模數成反比之觀念，另外，採用

J

appl

− T

appl_曲線逼近

曲線的方法，即調整“

mat

mat

T

J − T

J

_appl

−

_appl curve＂找出交點(即不穩定點) (Instability Point)，所以必須將環向應力值固定，再由 EXCEL 用 二分法找出臨界裂縫數值解之值。

4-2 鋼管殘餘壽命

當水力發電廠之大型壓力鋼管承受環向應力(σ_H =36.528ksi) 時，由設計FORTRANT之程式來模擬初始裂縫與裂縫成長率的隨機亂 數，運用蒙地卡羅的觀念，藉由FORTRANT之迴圈，設計出“0~1＂之 間一萬筆的隨機亂數，進而找出這一萬次中之破壞次數，評估出鋼 管在不同初始裂縫下之殘餘壽命，表4-5、表4-6、表4-7、表4-8分 別表示鋼管承受環向應力(σ_H =36.528ksi)時，初始裂縫分別為 1.34in與1.7in、2.0in與2.3in、2.5in與3.0in、3.5in與4.0in之鋼

管破壞機率與殘餘壽命，綜合整理如表4-11；另外表4-9、表4-10 為鋼管承受環向應力(σ_H =33.007ksi)時，初始裂縫分別為8in與 10in、12in與13in之鋼管破壞機率與殘餘壽命，綜合整理如表4-12。

由表4-11，鋼管承受環向應力σ_H =36.528ksi時，若初始裂縫 每增加0.1in，則殘餘壽命就大約減少1年的時間，故隨著初始裂縫 的成長殘餘壽命相對減少，該殘餘壽命可用來考量鋼管在使用與檢 查維修之安全參考，然而當鋼管之殘餘壽命仍然相當安全時，鋼管 便可安心的使用。

由表4-12，鋼管承受環向應力σ_H =33.007ksi時，由於鄰界裂 縫值較大，殘餘壽命時間就高很多也較安全，但當裂縫增加至12in 時，殘餘壽命時間從46年急速降到20年，所以就必須開始詳細評估 鋼管之檢驗及運轉使用年限之分析。

第五章 結論與建議

本研究的主旨是對於大型壓力鋼管發生裂縫部份做適當的分 析與評估，模擬鋼管運轉時裂縫成長之情形，進而瞭解大型壓力鋼 管之殘餘使用年限，可減少非破壞檢測的龐大花費，掌握運轉狀況。

對鋼管裂縫之破壞機率分析，嘗試以FORTRAN寫出可模擬初始 裂縫與裂縫對時間成長之亂數來分析鋼管殘餘壽命，並將結果數據 加以探討，經過前面幾章討論我們可以整理出以下結論與建議:

1.本文計算並採用

J

_appl

− T

_{appl曲線逼近}

J

_mat

− T

_{mat曲線的方法，即}

調 整 “ curve＂ 找 出 交 點 ( 即 不 穩 定 點 ) (Instability Point)，求得臨界裂縫長度，符合彈塑性力學觀 念，但若能將該方法設計寫出FORTRAN程式，則使用上更為便利 與快速，且可與其他相關分析用程式設計來結合其計算。

appl appl

T J −

2.本文所模擬共循環10000次之破壞情形，模擬初始裂縫與裂縫對時 間成長之亂數來分析累積破壞的次數，在此採三個標準差作為亂 數選取，降低亂數極值產生的可能。

3.關於大型鋼管之殘餘壽命，本文運用亂數模擬提供一個分析思考 的模式，去評估大型壓力鋼管之裂縫安全及殘餘使用年限之問 題，模擬鋼管之真實狀況。

4.關於壓力鋼管之相關評估，可在後續研究增加鋼管焊接、鋼管厚 度及環向裂縫之分析，使評估出的數據更加嚴謹。

圖 1-1 大型水壓鋼管

圖 1-2 大型水壓鋼管

LEFM EPFM

σ

σ

σ

ε

ε

ε

非線性彈性 塑彈性

線性彈性

圖 2-1-1

材料應力-應變曲線圖

(a)線彈性(Linear Elastic) (b)彈塑性(Elastic-Plastic)

(c)充分塑性(Fully Plastic) (d)整體塑性(Overall Plasticity)

圖 2-1-2

裂縫尖端損壞圖

圖 2-2-1 鋼管應力分析圖

圖 2-2-2 應力-應變理想化曲線圖

圖 2-2-3 J 積分- Δ a 曲線圖

圖 2-3 J-T Methodology 曲線圖

0 20 40 60 80 100

Tearing-Moulus

120 0

10 20 30 40 50

J-integral

J-T curve Jmat-Tmat

Jappl-Tappl

圖 4-1 J-T 曲線圖(

σ_H =

17.707ksi)(

^a_cr =^76.12in

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1

Tearing-Moulus

10 0

10 20 30

J-integral

J-T curve Jmat-Tmat

J^appl-T^appl

圖 4-2 J-T 曲線圖(

σ_H =

25.672ksi)(

^a_cr =^33.38in

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11

T-earing-Moulus

0 0

5 10 15 20 25 30

J-intergral

J-T curve

Jmat-Tmat Jappl-Tappl

圖 4-3 J-T 曲線圖(

σ_H =

33.007ksi)(

^a_cr =^14.15in

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11 Tearing-Moulus

0 0

10 20 30

J-integral

J-T curve

Jmat-Tmat

Jappl-Tappl

圖 4-4 J-T 曲線圖(

σ_H =

36.528ksi)(

^a_cr =^4.59in

)

a

cr _{J_a J_matl}

76.10 3.11661 71.6238 76.11 3.11702 46.1827 76.12 3.11743 33.5705 76.13 3.11784 25.9496 76.14 3.11825 20.7413 76.15 3.11866 16.8251 76.16 3.11907 13.5759 76.17 3.14118 10.4075 76.18 3.14118 9.67991 76.19 3.44015 3.11731 表 4-1 J-T 數值解(σ_H =17.707ksi)

(

a_cr =76.12in

)

a

cr _{J_a J_matl}

33.31 3.11129 71.6238 33.32 3.11222 46.1827 33.33 3.11316 33.5705 33.34 3.11409 25.9496 33.35 3.11502 20.7413 33.36 3.11596 16.8251 33.37 3.11689 13.5759 33.38 3.11783 10.4075 33.39 3.11876 9.67991 33.40 3.11969 3.11731

表 4-2 J-T 數值解(σ_H =25.672ksi)

(

^acr =^33.38in

)

a

cr _{J_a J_matl}

14.11 3.10933 71.6238 14.12 3.11153 46.1827 14.13 3.11374 33.5705 14.14 3.11594 25.9496 14.15 3.11814 20.7413 14.16 3.12035 16.8251 14.17 3.12255 13.5759 14.18 3.12475 10.4075 14.19 3.12696 9.67991 14.20 3.12916 3.11731 表 4-3 J-T 數值解(σ_H =33.007ksi)

(

a_cr =14.15in

)

a

cr _{J_a J_matl}

4.51 3.06342 71.6238 4.53 3.077 46.1827 4.54 3.0838 33.5705 4.55 3.09059 25.9496 4.56 3.09738 20.7413 4.57 3.10417 16.8251 4.58 3.11097 13.5759 4.59 3.11776 10.4075 5.00 3.39625 9.67991 5.10 3.46418 3.11731

表 4-4 J-T 數值解(σ_H =36.528ksi)

(

a_cr =4.59in

)

H

=

σ

36.528ksi ai=1.34in ai=1.7in

服務壽命(年) 累積破壞次數 破壞機率 累積破壞次數 破壞機率

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

4 0 0 0 0

5 0 0 0 0

6~20 0 0 0 0

21 0 0 0 0

22 0 0 0 0

23 0 0 0 0

24 0 0 0 0

25 0 0 0 0

26 0 0 1727 0.1727

27 0 0 6025 0.6025

28 0 0 9517 0.9517

29 492 0.0492 10000 1

30 4229 0.4229 10000 1

31 7866 0.786 10000 1

32 10000 1 10000 1

33 10000 1 10000 1

34 10000 1 10000 1

35 10000 1 10000 1

36 10000 1 10000 1

37 10000 1 10000 1

38 10000 1 10000 1

39 10000 1 10000 1

40 10000 1 10000 1

表 4-5 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=1.34in 及 ai=1.7in)

H

=

σ

_36.528ksi ^{ai=2.0in ai=2.3in}

服務壽命(年) 累積破壞次數 破壞機率 累積破壞次數 破壞機率

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

4~14 0 0 0 0

15 0 0 0 0

16 0 0 0 0

17 0 0 0 0

18 0 0 0 0

19 0 0 0 0

20 0 0 407 0.0407

22 0 0 4853 0.4853

23 922 0.0922 9266 0.9266

24 5487 0.5487 10000 1

25 9410 0.9410 10000 1

26 10000 1 10000 1

27 10000 1 10000 1

28 10000 1 10000 1

29~32 10000 1 10000 1

33 10000 1 10000 1

34 10000 1 10000 1

35 10000 1 10000 1

36 10000 1 10000 1

37 10000 1 10000 1

38 10000 1 10000 1

39 10000 1 10000 1

40 10000 1 10000 1

表 4-6 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=2.0in 及 ai=2.3in)

H

=

σ

_36.528ksi ^{ai=2.5in ai=3.0in}

服務壽命(年) 累積破壞次數 破壞機率 累積破壞次數 破壞機率

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3~12 0 0 0 0

13 0 0 0 0

14 0 0 2776 0.2776

15 0 0 8707 0.8707

16 0 0 10000 1

17 0 0 10000 1

18 186 0.0186 10000 1

19 4307 0.4307 10000 1

20 9146 0.9146 10000 1

21 10000 1 10000 1

22 10000 1 10000 1

23 10000 1 10000 1

24 10000 1 10000 1

25 10000 1 10000 1

26~31 10000 1 10000 1

32 10000 1 10000 1

33 10000 1 10000 1

34 10000 1 10000 1

35 10000 1 10000 1

36 10000 1 10000 1

37 10000 1 10000 1

38 10000 1 10000 1

39 10000 1 10000 1

40 10000 1 10000 1

表 4-7 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=2.5in 及 ai=3.0in)

H

=

σ

_36.528ksi ^{ai=3.5in ai=4.0in}

服務壽命(年) 累積破壞次數 破壞機率 累積破壞次數 破壞機率

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

4 0 0 739 0.0739

5 0 0 6215 0.6215

6 0 0 10000 1

7 0 0 10000 1

8 0 0 10000 1

9 1594 0.1594 10000 1

10 7760 0.7760 10000 1

11 10000 1 10000 1

12 10000 1 10000 1

13 10000 1 10000 1

14 10000 1 10000 1

15 10000 1 10000 1

16 10000 1 10000 1

17 10000 1 10000 1

18 10000 1 10000 1

19 10000 1 10000 1

20~34 10000 1 10000 1

35 10000 1 10000 1

36 10000 1 10000 1

37 10000 1 10000 1

38 10000 1 10000 1

39 10000 1 10000 1

40 10000 1 10000 1

表 4-8 破壞機率(σ_H =36.528ksi,ai=3.5in 及 ai=4.0in)

H

=

σ

_33.007ksi ^{ai=8in ai=10in}

服務壽命(年) 累積破壞次數 破壞機率 累積破壞次數 破壞機率

1~30 0 0 0 0

32 0 0 0 0

34 0 0 0 0

36 0 0 0 0

38 0 0 0 0

40 0 0 0 0

42 0 0 0 0

44 0 0 0 0

46 0 0 0 0

48 0 0 56 0.0056

50 0 0 951 0.0951

52 0 0 2758 0.2758

54 0 0 5324 0.5324

56 0 0 7732 0.7732

58 0 0 9197 0.9197

60 0 0 9885 0.9885

62 0 0 10000 1

64 0 0 10000 1

66 0 0 10000 1

68 0 0 10000 1

70 0 0 10000 1

72 0 0 10000 1

74 0 0 10000 1

76 314 0.0314 10000 1

78 1428 0.1428 10000 1

80 3302 0.3302 10000 1

表 4-9 破壞機率(σ_H =33.007ksi,ai=8in 及 ai=10in)

H

=

σ

_33.007ksi ^{ai=12in ai=13in}

服務壽命(年) 累積破壞次數 破壞機率 累積破壞次數 破壞機率

1~5 0 0 0 0

6 0 0 0 0

7 0 0 4 0.0004

8 0 0 666 0.0666

9 0 0 1852 0.1852

10 0 0 3095 0.3095

11 0 0 4219 0.4219

12 0 0 5375 0.5375

13 0 0 6483 0.6483

14 0 0 7705 0.7705

15 0 0 8853 0.8853

16 0 0 9665 0.9665

17 0 0 9982 0.9982

18 0 0 10000 1

19 0 0 10000 1

20 0 0 10000 1

21 81 0.0081 10000 1

22 609 0.0609 10000 1

23 1580 0.1580 10000 1

24 2892 0.2895 10000 1

25 4137 0.4137 10000 1

26 5375 0.5375 10000 1

27 6630 0.6630 10000 1

28 7910 0.7910 10000 1

29 8917 0.8917 10000 1

30 9550 0.9950 10000 1

31 9908 0.9908 10000 1

32 10000 1 10000 1

33 10000 1 10000 1

34 10000 1 10000 1

35 10000 1 10000 1

表 4-10 破壞機率(σ_H =33.007ksi,ai=12n 及 ai=13in)

初始裂縫 (in) a

i

殘餘壽命(年)

1.34 28 1.7 25 2.0 22 2.3 19 2.5 17 3.0 13 3.5 8 4.0 3

表 4-11 環向應力(σ_H =36.528ksi)之殘餘壽命

( ^a

cr

= 4 . 59 ⁱⁿ )

初始裂縫 (in) a

i

殘餘壽命(年)

8 74 10 46 12 20 13 6

表 4-12 環向應力(σ_H =33.007ksi)之殘餘壽命

( a

cr

^{= 14 . 15} in )

參考文獻

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WSRC-TR-99-00163, Westinghouse Savannah River Company, Aiken, SC, May 1999.

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【12】“Yielding of Steels Containing Slits” Dugdale, D. S., Journal of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 8, pp. 100-108, 1960.

【14】 “Presented at the seminar “Stojan Sedmak 1, Aleksandar Sedmak 2Integrity of Civil Engineering Statures” held in the scope of The Second Annual Conference of the Society for Structural Integrity and Life, Belgrade, 27-28 October, 2005.

【15】“Technical Basis For Revised P-T Limit Curve Methodology”

Gary L. Stevens,Warren H. Bamford,Timothy J. Griesbach,Shah N. Malik,April 2000.

【16】“Probabilistic Fracture Mechanics Analysis to Justify Inservice Inspection Intervals for the Helms Penstock Field

Welds,”Marcos L.Herrera,Richard A.Mattson,Shu S. Tang Charles S. Ahlgren,M.ASCE.

【17】“管路之破壞研究與可靠度分析＂吳文方、張順庭,台大 1992.

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