第一章 導論
1.1 研究背景與動機
隨著科技的進步與發展，網際網路應用及數位多媒體技術的成熟，使得人們可以 方便在網際網路上分享個人的創作及數位多媒體的資訊，或利用網際網路進行商業活 動等。數位資訊已經廣泛地應用於生活中的各個角落。因為數位多媒體資訊都擁有容 易複製、容易傳送及容易修改的特性，其網際網路取得容易，傳播迅速，使得人們很 容易在網際網路上取得自己所喜愛的數位多媒體資訊，並加以重製，將取得的數位多 媒體資訊占為己有。這一種行為防不勝防，因此近年來，帶動著人們對於數位多媒體 資訊的版權問題及資料保密的問題受到重視，採用各種不同的方式來保護數位多媒 體，如資料壓縮編碼、密碼學、浮水印等方式。其中浮水印的應用也受到人們熱烈的 討論。
浮水印技術在功能需求上頇具備隱蔽性、強健性以及安全性；隱蔽性即是人眼所 無法察覺到的，強健性則是指浮水印受到各種攻擊後仍不易被破壞或刪除，而安全性 主要依靠於浮水印在嵌入原始影像時所加入的不被公開的祕密鑰匙，因此將祕密鑰匙 設計的更複雜更不易被取得將能大大的提升安全性。
1.2 浮水印的安全性
浮水印為一串文字或是一張影像的資訊[1][2][3]，將這些資訊標記於一般性的文 件(Text)、影像(Image)、聲音(Audio)、視訊(Video)中。例如:鈔票的辨識、DVD的版 權等，浮水印所應用的類型也相當多，但所共同的要求是要能禁得起在相當程度的影 像失真後仍能將標記抽取出來以做為所有權認證之用。相較於傳統密碼學的主要運用 於文件之資料完整性 (Integrity)、無可否認性(Non-repudiation)與資料來源之認證
(Authentication)，浮水印的主要訴求則在於鑑定原創者之創作權、 擁有者之所有權、
媒體之內容與購買者之使用權限等等。
一般而言，浮水印的架構主要可分成嵌入與萃取兩部份，如圖1-1為浮水印的嵌 入示意圖[4]，當浮水印在嵌入至被藏匿資訊中的同時，我們可以選擇給予一個公開 的或是不被公開的秘密鑰匙(Public Key or Secret Key)，其不被公開的秘密鑰匙主要目 地在保護浮水印的安全性，即使他人得知了我們浮水印的嵌入方法，也無法輕易地取 出浮水印。圖1-2為浮水印的萃取的示意圖，在萃取的過程中，除了已嵌入浮水印的 資訊，還需要當時所不被公開的秘密鑰匙，才可萃取出藏匿在資訊中的浮水印。
Watermark
Cover Object
Public Key or Secret Key
Watermark Embedding
Watermarked Data
圖1-1 嵌入浮水印示意圖
Recovered Watermark
Public Key or Secret Key
Watermark Detection Watermarked
Data
圖1-2 萃取出浮水印示意圖
一般來說，若保護浮水印的安全性完全依靠浮水印的嵌入方法是相當困難的，
所以浮水印的安全性，就必需依靠浮水印嵌入原始影像同時所加入的不被公開的密秘 鑰匙上。密秘鑰匙是只有浮水印嵌入時使用者所擁有的。在萃取出浮水印時必需同時 有秘密鑰匙，才可順利萃取出浮水印[5]。
1.3 浮水印的架構種類
現今的浮水印架構依據嵌入與萃取時使用的秘密鑰匙可分為兩個種類：
1. 對稱型浮水印 (Symmetric Watermark) [6]：
此種架構的浮水印在嵌入時使用的秘密鑰匙與萃取時的秘密鑰匙是完全相 似的，也因此會有安全性不足的缺點，因為攻擊者可以從嵌入時使用的秘密鑰匙 來估測出可能的萃取用秘密鑰匙，而只要攻擊者擁有與嵌入用的秘密鑰匙相似的 信號，就可以輕易的把浮水印取出來[7]。
2. 非對稱浮水印 (Asymmetric Watermark) [8]：
此種架構的浮水印可以解決對稱型浮水印安全性不足的問題，非對稱浮水印 在嵌入時使用的秘密鑰匙與萃取時的秘密鑰匙是不同的，此種演算法最早是由 Hartung與Girod所提出，他們使用雜訊來取代嵌入用的祕密鑰匙中的一部分以產 生萃取用的祕密鑰匙[9]，所以攻擊者就無法輕易的從嵌入時使用的秘密鑰匙來 估測出可能的萃取用秘密鑰匙。非對稱浮水印在做法上又有分成兩種，一種是基 於浮水印特性的方法；另一種就是基於轉換的方法，利用嵌入浮水印的秘密鑰匙 做適當的轉換來獲得萃取用的秘密鑰匙。本篇論文就是採用FDCT做為轉換的方 法來探討浮水印架構的相關性測試。
1.4 論文概述
第二章中討論離散餘弦轉換(DCT)與分數離散餘弦轉換(FDCT)之間的關係，並 探討FDCT所使用的分數及產生序列(Generating Sequence；GS)的特性與應用。
第三章中，我們將使用 FDCT 取代 Y. Kim，T. Kim 和 H.Choi [10]共同提出的非 對稱浮水印架構裡的線性轉換部分來做相關性測試，並討論 FDCT 的分數 a 值及 GS 對相關性的影響。
第四章結論，並對本研究的結果及未來研究方向進行討論。
第二章
分數離散餘弦轉換之特性與應用
2.1 前言
近年來，離散餘弦轉換[11][12][13](Discrete Cosine Transform；DCT)在許多不同 的領域廣泛地被應用。包括了語音處理、影像處理、訊號分析、生物醫學等。在數位 影像上。由於人類的視覺系統對於低頻的影像資料比高頻的影像資料有更高的敏感度
[11][14][15]，且一般影像資訊之能量大都集中在低頻，所以對於大部份的影像資訊利
用低頻的訊號就可足以描述。在經由離散餘弦轉換之後，可計算出影像資料中於各頻 率之能量，也因此離散餘弦轉換，已被廣泛的應用於數位影像的資料壓縮，如 JPEG[16]、MPEG-1[17]、MPEG-2 [18]、MPEG-4[19]、H.261[20]、H.263[21]等都是 現今我們所見最普遍應用的一些例子。
而分數離散餘弦轉換(Fractional Discrete Cosine Transform；FDCT) [22]是將 DCT 矩陣延伸到分數次方，當應用於資料壓縮時，可以經由挑選適當的分數 a 達到比 DCT 還要理想的壓縮效果。另一方面，FDCT 也可應用於密碼加密上，當一組離散信號經 FDCT 轉換到頻率域，則我們需要知道 FDCT 使用的分數a 以及產生序列(Generating Sequence；GS)才能完整的還原成原來的信號[22]。在本章節中，我們主要描述 FDCT 的特性以及分數 a 和 GS 的應用。
2.2 離散餘弦轉換
離散餘弦轉換(Discrete Cosine Transform；DCT)是一種將空間或時間域中的離散 信 號 轉 至 頻 率 域 的 一 種 轉 換 ， 其 轉 換 相 似 於 離 散 傅 利 葉 轉 換 (Discrete Fourier Transform；DFT)，然而離散餘弦轉換擁有下列特性[23]：(1)離散餘弦轉換矩陣的元 素皆為實數；(2)離散餘弦轉換擁有接近理想的能量壓縮；(3)在計算離散餘弦轉換上 可使用計算速度較快的快速傅利葉轉換(Fast Fourier Transform；FFT) 。
離散餘弦轉換可以計算離散信號中各頻率之能量，因此經常被廣泛運用作為影像 資訊壓縮的一種方法。以 88 DCT 矩陣為例，8 點一維輸入信號經 88 DCT 矩陣 轉換，產生 8 點 DCT 係數，配合的量化器及編碼器，能有不錯的信號壓縮效果。
N 點 Type-II DCT[24]定義為
(2-1)
其中x[n]為N點的離散信號，C[k]為x[n]的 DCT 係數，而以矩陣表示則定義為 (2-2) 其中C為 DCT 係數所組成之向量，大小為N1；T為 DCT 矩陣，大小為NN；x 為輸入信號所組成之向量，長度為N1。
將T對角化分解表示為
(2-3) 其中U是以 DCT 的特徵向量為基底的矩陣，Λ是 DCT 的特徵值組成的對角線矩陣，
兩者皆為複數矩陣，大小為NN ;其中U矩陣為複數正交矩陣(unitary matrix)。
N 點 Type-II IDCT 定義為
(2-4) 以矩陣表示則為
(2-5) 其中T 為 IDCT 矩陣。將1 T 對角化分解表示為 1
(2-6) 因為 DCT 矩陣為正交矩陣(orthogonal matrix)，所以T1TT，式(2-5)可以表示為
(2-7)
0 1
2 12 -12 1 2
,...,N , k N k
α α N
N kπ cos n
n x α k
k C
1 N
0 n
x T C
0 1 N α
k 2 N k 1,2,...,N-1α
N k k n
C k n
x
N
k
1
0
2 ) ) 1 2
cos((
C T x
1
UΛU
T
UΛ U
T 1 1
C
T
x
T
二維的離散餘弦轉換(2D DCT)可以視為將二維影像的行向量(column vector) 先做一次 DCT，接著再繼續對列向量(row vector)做 DCT。以矩陣表示則為
(2-8)
其中X為NN矩陣代表二維影像。同樣地，二維的離散餘弦反轉換(2D IDCT)以矩 陣表示為
(2-9)
一般 88 二維影像經轉換後的矩陣係數其分佈在最左上角的係數數值最大，此 值稱為直流(DC)係數，而其餘的係數稱為交流(AC)係數，由直流係數周圍開始，愈 向右下角的係數代表越高頻的成份。如圖 2-1 所示，可得知影像經由 2D DCT 的影像 能量於頻率上的分佈。
2D DCT
圖 2-1 原始影像資訊經由 2D DCT
在此我們在將這些離散餘弦轉換頻率域的係數矩陣經由 2D IDCT 後，便可還原 得到原始影像，如圖 2-2 所表示：
T T T
XT T
TX T C
) ) (
2D (
T C T
C T T X
2D 2D
) ) (
(
T
T T T T
2D IDCT
圖 2-2 離散餘弦反轉換後還原後的原始影像資訊
2.3 分數離散餘弦轉換
分數離散餘弦轉換(Fractional Discrete Cosine Transform；FDCT)是將 DCT 矩陣延 伸為分數(fractional)次方，以矩陣表示則定義為
(2-10) Type-II FDCT 以矩陣表示則定義為
(2-11) 其中 a 為 DCT 的分數次方，範圍為0a1；T 為 FDCT 矩陣，a C 為a x之 FDCT 係 數。
Type-II IFDCT 矩陣定義為：
(2-12)
Type-II IFDCT 以矩陣表示為
(2-13)
二維的 FDCT 跟 2D DCT 相同原理，將二維影像的行向量(column vector)先做 一次 FDCT，接著再繼續對列向量(row vector)做 FDCT。
以矩陣表示為
x T C
a
a U Λ U
T
a aa
a
C
T x
1
U Λ
U
T
a 1 a(2-14)
而 2D IFDCT 以矩陣表示為
(2-15)
FDCT 的分數 a 介於 0 與 1 之間，當 a 值為 0 時(即C )，0 C 會等於原本的信號，a 而當 a 值為 1 時(即C )，1 C 會等於 DCT；換句話說，FDCT 具有介於空間域與 DCTa 域之間的特性。此外，C 具有加法性，即a Cab CaCb。
2.4 對角化矩陣轉換成旋轉矩陣
成對隨機旋轉(Pairwise Random Rotation；PRR)矩陣是在 Y. Kim，T. Kim 和 H.Choi [10]共同提出的非對稱浮水印架構裡所使用的一種加密的方式，其安全性會隨 著旋轉矩陣的對數增加而提高；例如，N維的矩陣，N為偶數，則旋轉矩陣可能的 旋轉數就有2N2種，因此N值越大，其可能的旋轉數就越多，相對的安全性也就越高。
我們所使用的 Type-II DCT 其運算子經對角化分解成特徵架構，其矩陣的元素 (elements)皆為共軛複數，以 88 DCT 矩陣為例，如式(2-16)所示
a a
a T a
a a Da
T X T
T X T
X T T C
) (
) ) (
2 (
a a a
a a a
a a a
T C T
T C T
C T T X
) (
) ) (
( 1 1
(2-16)
而我們可將對角線矩陣轉換為旋轉矩陣的形式，如式(2-17)所示
(2-17)
令
j j
j j
j
cos sin
sin ) cos
(
R ，其中 j1,2,3,4
(2-18)
令V
1 1 4 4
(2-19)
其中V是由矩陣U裡的共軛對中的實部與虛部所組成的實數矩陣，R(j)即為旋轉矩 陣 ， 其 角 度j 是 由 矩 陣 Λ 中 的 共 軛 對 其 初 始 角 度j 和 產 生 序 列 (Generating
8 2 1
8 2
1
8 2
1
u u u u
u u
U Λ U T
4 4
4 4
1 1
1 1
4 4
4 4
1 1
1 1
4 4 4 4 1
1 1 1
sin cos
sin cos
sin cos
sin cos
β α
β α
β α
β α β
α β α β
α β α
i i i i
i i
i i
i i
i i
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
sin cos
sin cos
α β
Tβ
β α
Tα
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
β
α β α T
β α β α
T 1 1 1 1
) ( ) ( ) ( ) (
4 3
2 1
4 4 1
4 4 1
R R
R R
β α β
α
β α β
α T
1 1
Vt
R R
R R
V T
) ( ) ( ) ( ) (
4 3
2 1
Sequences) q 以及 FDCT 的分數 a 所決定，如式(2-20)表示
j a(j2qj) j1,2,3,4
(2-20) 在此定義 FDCT 的產生序列(GS)q(q1,q2,q3,q4)且其值為整數，若q(0000)則表 示q1 0、q2 0、q3 0、q4 0。
FDCT 矩陣對角化分解成特徵架構後，我們將特徵值所組成的對角線矩陣轉換 成旋選矩陣，此時原本的複數矩陣皆變成實數矩陣，這將有便於我們後面的計算與討 論。在式(2-19)中以特徵向量為基底的實數矩陣V是固定的，唯一能變動的就是由特 徵值組成的旋轉矩陣，而旋轉矩陣是由分數 a 及qj決定，因此挑選不同的分數 a 及qj 會產生不同的 FDCT 矩陣a，在下個章節中我們將利用此一特性來探討經適當的分 數 a 及qj可使 FDCT 有漸近 DCT 的現象。
2.5 控制 Generating Sequences 使 FDCT 漸近 DCT
在前面章節我們曾提到C 具有加法性，且當a a 值等於 1 時，C 會等於 DCT；利a 用這兩個特性，在此我們以 a 值為 41 為例，從C 連續乘0 T14四次即等於C ，也就是1 從空間域轉成頻率域，如圖 2-3 所示：
4
C1
4
C2
4
C3
C
0Domain Spatial
Domain DCT
q1 q2 q3
C
1q4
4
T
1 4T
1T
14T
14圖 2-3 從空間域連乘T14四次轉到頻率域之方塊圖
在每次乘T14時皆伴隨一個 GS，分別為q 、1 q 、2 q 、3 q ，在之前的討論都沒考慮4 GS 的影響，也就是把 GS 視為 0[22]，而我們現在嘗試加入 GS，並以複數平面圖形 列出特徵值來觀察其變化及影響，圖 2-4 表示 8 點 DCT 的特徵值。
圖 2-4 q(0000)時 8 點 DCT 的特徵值於複數平面上之位置圖
圖 2-4 中可看出 8 點 DCT 其特徵值剛好是四對共軛對，因此在下面的圖形我們 便將其共軛對省略以方便討論，而圖上q 、1 q 、2 q 、3 q 即是 GS 的值，各別表示其4 影響的共軛對。
從式(2-19)中可得知四對共軛對分別由角度1、2、3、4來決定，這四個角 度又是受分數 a 及 GS 控制，見式(2-20)，而 GS 的範圍是由分數 a 的分母所決定[22]， 所以得先將分數 a 決定好，再經由控制 GS 使得 FDCT 漸漸靠近 DCT；圖 2-4 表示的 8 點 DCT 特徵值，其a1、q(0000)，即q10、q2 0、q3 0、q4 0，將此值 帶入式(2-20)即可得到初始角度1、2、3、4，也就是說圖 2-4 中 DCT 特徵值於 複數平面上之位置，其角度就是初始角度。
為了說明方便起見，在此設 a 值為 41 ，此時qj的範圍為0~3，將 a 值代入式 (2-20)，可發現特徵值的角度會等於初始角度的 41 加上qj乘上 2，當qj 0時特 徵值的角度就等於初始角度的 41 ，當qj 1時特徵值的角度就等於初始角度的 41 加
上 90 度，而qj 2時特徵值的角度就等於初始角度的 41 加上 180 度，qj 3時特徵 值的角度就等於初始角度的 41 加上 270 度，利用此一原則，就可根據特徵值的起始 位置來挑選適當的 GS 使 FDCT 漸漸地靠近 DCT，下面就以 a 值為 41 、起始 GS
q1
q2
q3
q4
) 0123
1(
q 為例，搭配特徵值於複數平面上之位置圖來做說明。
圖 2-5 C14,q(0000)時 8 點 FDCT 的特徵值於複數平面上之位置圖
圖 2-5 表示C14,q(0000)時的特徵值，跟圖 2-4 比較可發現其特徵值的角度都 變為初始角度的 41 。
圖 2-6 C14,q1 (0123)時 8 點 FDCT 的特徵值於複數平面上之位置圖 圖 2-6 我們加入 GS，其值q1(0123)，跟圖 2-5 比較來觀察 GS 的影響；q10所
以其影響的共軛對角度不變，q2 1其影響的共軛對角度則增加了 90 度，q3 2其影 響的共軛對角度則增加了 180 度，而q4 3其影響的共軛對角度增加了 270 度。
將q1(0123)視為起始的 GS，接下來就依循上面的角度位移原則依次選定q 、2 q1
q2
q3
q4
q1
q2
q3 q4
q 、3 q ，使其特徵值漸漸地趨近 DCT；第二組的 GS 設定為4 q2 (0333)，而C14乘上
4
T1 後就變成C24，如圖 2-7 表示。
圖 2-7 C14乘上T14,q2 (0333)時 8 點 DCT 的特徵值位置圖
從圖 2-7 可看到q 影響的共軛對角度只加上初始角度的 41 1 ，而q 、2 q 、3 q 則分4 別加上初始角度的 41 加上 270 度，經過第二組 GS 後，q 和1 q 已經很接近 DCT，所2 以接下來只要讓它們加上初始角度的位移即可，因此第三組的 GS 值只要針對q 跟3 q4 去做調整，將其值設定為q3 (0033)，而C24乘上T14後就變成C34，如圖 2-8 所示：
圖 2-8 C24乘上T14,q3 (0033)時 8 點 DCT 的特徵值位置圖 q1
q2
q3
q4
q1
q2
q3
q4
圖 2-8 中q 、1 q 影響的共軛對角度只加上初始角度的 42 1 ，而q 、3 q 則分別加上4 初始角度的 41 加上 270 度，經過第三組 GS 後可以發現q 也已經很接近 DCT，接下3 來q 影響的共軛對讓它加上自己初始角度的位移即可，所以第四組 GS 值只要針對3 q4 去做調整，將其設定為q4 (0003)，而C34乘上T14後就變成C ，如圖 2-9 所示。 1
圖 2-9 C34乘上T14,q4 (0003)時 8 點 DCT 的特徵值位置圖
由上述例子可觀察到 a 值為 41 時 GS 對特徵值的影響，與式(2-20)結合可整理出 a 值為 41 時 GS 選擇的規則，如圖 2-10 所示：
圖 2-10 a 值等於 41 時 GS 選擇的規則圖
因 a 值為 41 時需乘上T14三次才轉到 DCT 域，所以起始 GS 決定好，後面還需要選 擇三組 GS，如果起始的q11，那麼後面三組的q 就得選擇為 3、0、0，而起始的1 q32， 則後面三組的q 就得選擇為 3、3、0；同樣地，若 a 值為 M3 1 ，則需乘上T1M M 1次
q1
q2
q3
q4
) (
4 1
4 3 2 1q qq q q a ，
0 0 0 0
0 1 0 0
1 1 3 0
3 2 1 0
2:
1
q q
第四組 第三組 第二組 起始
3 0 3 0
3 3 0 0
3 3 0 0
3 2 1 0
4:
3
q q
才會漸漸地轉到 DCT 域，故起始 GS 決定好，後面就需要選擇M1組 GS，而 GS 的選擇規則可從式(2-20)與上述 a 值為 41 的例子裡以相同的原理求得，下面即是按此 規則求得 a 值為 51 時 GS 的選擇規則，如圖 2-11 所示。
圖 2-11 a 值等於 51 時 GS 選擇的規則圖
2.6 實驗與模擬結果
在此節我們利用 GS 的選擇規則，分別用一維的信號與二維的影像來做模擬實 驗，來驗證是否在此規則下信號與影像能隨著 a 值由 0 趨近 1 而使 FDCT 有漸近 DCT 的趨勢。
2.6.1 一維信號模擬
圖 2-12 為我們假設一個 8 點的一維信號x，在 a 值為 41 下給定起始的 GS 值為 )
2301
1(
q ， 接 著 依 據 GS 的 選 擇 規 則 依 次 決 定 q2 (1100)、 q3 (1000) 跟 )
0003
4 (
q ，其數學式表示為
(2-19) (2-20) (2-21) (2-22)
x T
C
1414,q (2301)
14 1 ) 1100 ( , 4 1 4
2
T
2C
C
q4 2 ) 1000 ( , 4 1 4
3
T
3C
C
q4 3 ) 0003 ( , 4 1
1
T
4C
C
q) (
5 1
4 3 2 1q qq q q a ，
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 1 3 4 0
4 3 2 1 0
2:
1
q q
第五組 第四組 第三組 第二組 起始
4 0 0 4 0
4 4 0 0 0
4 4 0 0 0
4 4 3 0 0
4 3 2 1 0
4:
3
q q
圖 2-12 8 點的原始一維信號 其圖型變化表示如圖 2-13
(a)
(b)
(c)
(d)
圖 2-13(a) x 乘上T14,q1 (2301)的圖形 (b)C14乘上T14,q2 (1100)的圖形 (c)C24乘上T14,q3 (1000)的圖形(d)C34乘上T14,q4 (0003)的圖形 為了更清楚的比較出其變化，我們使用 MSE 來表示上面各圖與 DCT 之間的差異，其
結果如表 2-1。
MSE
圖 2-13 (a)與 DCT
0.8490
圖 2-13 (b)與 DCT
0.0768
圖 2-13 (c)與 DCT
0.0091
圖 2-13 (d)與 DCT
0
表 2-1 圖 2-13 各情形與 DCT 間的 MSE
從上面的實驗結果可觀察到當a值從 41 漸漸趨近於1時，FDCT 有漸近 DCT 的 趨勢；從圖 2-13(c) 可發現，當a值等於 43 時，其圖型已經跟 DCT 很相似，而當a 值等於1時，其圖型完全等於 DCT；而從 MSE 來看，很清楚的可以發現，隨著a值 越接近1，其 MSE 越小，表示其誤差越來越小，而當a值等於1時，其 MSE 等於 0 ， 可證明兩者是相同的圖形。
2.6.2 二維影像模擬
以相同的 GS 選擇規則，直接運用在二維的影像。我們使用大小為 256256 的 二維影像X，因我們使用的是 88 的 FDCT，所以我們將原始影像分割為 3232 的 區塊，每區塊大小為 88 來做運算，在 a 值為 41 下給定起始的 GS 值為q1(0103)， 接著依據 GS 的選擇規則依次決定q2 (0303)、q3(0003)跟q4 (0003)，其數學式 表示為
(2-23) (2-24) (2-25) (2-26)
圖 2-15 為其圖型變化
T k
D l k
l, )2 14, (0103) ( , ) 14, (0103)
( 1 1
4
1 T q X T q
C
T D
k l D
k
l, )2 14, (0303) (, )2 14, (0303)
( 24 T q2 C 14 T q2
C
T D
k l D
k
l, )2 14, (0003) ( , )2 14, (0003)
( 34 T q3 C 24 T q3
C
T D
k l D
k
l, )2 14, (0003) (, )2 14, (0003)
( 1 T q4 C 34 T q4
C
32 2 , 1
,k
l
圖 2-14 256256 的二維影像X
(a) (b)
(c) (d)
圖 2-15 (a)
4
2 1
) , (lk D
C
(b)C
(l,k)2D24 (c)C
(l,k)2D34(d)2 1
) , (lk D
C
同樣地，為了更清楚的比較出其變化，我們使用 MSE 來表示上面各圖與 DCT 之間的 差異，其結果如表 2-2。
MSE
圖 2-15 (a)與 DCT
34887
圖 2-15 (b)與 DCT
18500
圖 2-15 (c)與 DCT
609
圖 2-15 (d)與 DCT
0
表 2-2 圖 2-15 各情形與 DCT 間的 MSE
從上面的實驗結果我們也可看出隨著a值從 41 漸漸趨近於1時，FDCT 有漸近 DCT 的趨勢；從圖 2-15(c)可發現，當a值等於 43 時，其圖型已經跟 DCT 很相似，
而當a值等於1時，其圖型完全等於 DCT。
而我們若能得知 FDCT 轉換過程中每個步驟的 GS，也能利用 IFDCT 把影像從頻 率域一步一步轉回空間域，其數學式表示為
(2-27) (2-28) (2-29) (2-30) 我們以
C
(l,k)2D14 為例，利用 IFDCT 將其還原，從式(2-30)可知，只要一個步驟就可 將C
(l,k)2D14 轉回X
( kl, )，如圖 2-16 所示。T k D
l k
l
1 ) 0103 ( , 4 2 1
) , ( -1 ) 0103 ( , 4 1 ) ,
( 1
4 1 1
T q C T q
X
T k D
D l k l
1 ) 0303 ( , 4 2 1
) , ( -1 ) 0303 ( , 4 2 1
) ,
( 2
4 2 2
4 1
T q C T q
C
T k D
D l k l
1 ) 0003 ( , 4 2 1
) , ( -1 ) 0003 ( , 4 2 1
) ,
( 3
4 3 3
4 2
T q C T q
C
T k D
D l k l
1 ) 0003 ( , 4 2 1 ) , ( -1 ) 0003 ( , 4 2 1
) ,
( 4
4 1 4
3
T q C T q
C
) , ( 2
) , (
) 0103 1( , 4 1 4
1 l k
D k
l
X
C
T
q
圖 2-16
C
(l,k)2D14 經 IFDCT 還原圖而將還原過的圖跟原始影像比較，其 PSNR 為 287.29，可證明其還原效果非常好，幾 乎沒有失真。
2.7 結論
在上述的實驗結果我們可發現一個很好的特性：利用控制 FDCT 的分數a值，
可決定讓信號或影像轉換成靠近空間域或是頻率域；若靠近空間域，可發現轉換後仍 保有原始影像的輪廓；而靠近頻率域，其轉換過程比較多，但壓縮效果較好，且搭配 GS 的使用，GS 就好比是浮水印嵌入原始影像時所加入的祕密鑰匙，故轉換過程越 多，使用的 GS 就越多組，因此擁有較高的安全性；以我們提出的實驗為例，
C
(l,k)2D34影像資訊需要先轉換成
C
(l,k)2D24，接著再轉換成C
(l,k)2D14，再由C
(l,k)2D14 才能轉回 原來的影像X
( kl, )，總共需要三個步驟才能將C
(l,k)2D34轉回原來的影像X
( kl, )，而三 個步驟就要用到三組 GS，雖然轉換過程比較多，相對的安全性也較高。第三章
FDCT 應用於浮水印架構之相關性偵測
3.1 前言
非對稱浮水印(Asymmetric Watermark)是第二個產生的浮水印架構，其特色是在 嵌入與萃取浮水印時使用不同的秘密鑰匙[10]，此一做法可以有效的解決對稱型浮水 印安全性不足的問題[8][25]。迄今，非對稱浮水印主要分為兩個種類：第一種是基於 浮水印特性的方法，例如週期性浮水印[26]。第二種則是基於轉換的方法，利用嵌入 浮水印的秘密鑰匙做適當的轉換來獲得萃取用的秘密鑰匙[27]；由 Y. Kim、T. Kim 和 H.Choi 共同提出使用成對隨機旋轉(Pairwise Random Rotation；PRR)矩陣來執行的非 對稱浮水印偵測架構[10]即為此種類。
在第二章中，我們使用的 Type-II FDCT，也能轉換成 PRR 矩陣的形式。因此在 本章節中，我們將使用 FDCT 取代 Y. Kim、T. Kim 和 H.Choi [10]共同提出的非對稱 浮水印架構裡的線性轉換部分來做相關性測試，並討論分數 a 值與 GS 對相關性的影 響。
3.2 一維浮水印架構之相關性測試
以分數離散餘弦轉換(Fractional Discrete Cosine Transform；FDCT)來取代線性轉 換T 及1 T 的非對稱浮水印架構，如圖 3-1 所示 2
T
bt
T
aw x r
w T
1T
2r T r
bT
2( )
w T w
aT
1( )
)) ( ), (
(T1 w T2 r f
t
圖 3-1 非對稱浮水印的相關性測試方塊圖
於圖 3-1 中，信號r表示浮水印信號
w
嵌入至原始信號x，其長度為N1，經過 分數為 b 的離散餘弦轉換T 後，可得到長度為b N1的分數的離散餘弦轉換頻率域的 向量T2(r)Tbr，將此信號編碼後再進行傳送，在此編碼因非研究重點，所以略而不 談。接收端使用的是嵌入的浮水印信號w
，經過分數為 a 的離散餘弦轉換T 後，可得a 到分數的離散餘弦轉換頻率域的向量T1(w)Taw；將向量T1(w)與T2(r)做內積並取平均 可得測試統計值 t ，以 88 FDCT 矩陣為例，如式(3-1)所示，w T T w x T T w
r T T w r
w
b t a t b
t a t
b t a t t
N N
T N N T
t
1 1
) 1 ( )) ( 1 (
2 1
(3-1)
其中T 及a T 分別對角化分解後表示如式(3-2)及(3-3)： b
Ta VΦa(1,2,3,4)Vt
(3-2)
Tb VΦb(1,2,3,4)Vt
(3-3)
矩陣V是由離散餘弦轉換的特徵向量所組成，而Φ 及a Φ 是由離散餘弦轉換的特徵值b 轉換而成的旋轉矩陣，1,2,3,4為每對旋轉矩陣的旋轉角度[式(2-20)]，因此可將
Φ 及a Φ 表示如式(3-4)及(3-5)， b
) 2 ( 0
) 2 ( ) 2 (
0 )
2 ( ) , , , (
4 4 3
3 2
2 1
1
4 3 2 1
a a
a a
a
q a
q a
q a
q a
R R
R R
Φ (3-4)
) 2 ( 0
) 2 ( ) 2 (
0 )
2 ( ) , , , (
4 4 3
3 2
2 1
1
4 3 2 1
b b
b b
b
q b
q b
q b
q b
R R
R R
Φ (3-5)
其中R為旋轉矩陣，表示如下：
cos sin
sin
R cos
(3-6)
4 3 2
1, a , a , a
a q q q
q 為 分 數 a 的 離 散 餘 弦 轉 換 的 generating sequences(GS),
4 3 2 1, b , b , b
b q q q
q 為分數 b 的離散餘弦轉換的 GS。將式(3-2)及(3-3)代入(3-1)，如式(3-7) 所示，
(3-7)
其中Φba表示如下：
(3-8)
j定義如下：
j (ba)j(bqbjaqaj)2 ， j1,2,3,4
(3-9) w
V VΦ w x V VΦ w
w Φ V VΦ w x Φ V VΦ w
w V VΦ V VΦ w x
V VΦ V VΦ w
t a b t t
a b t
t b t a t t
b t a t
t b t t
a t t
b t t
a t
N N
N N
N t N
1 1
1 1
) )(
1 ( ) )(
1 (
4 3
2 1
R R
R R
Φb a
從式(3-7)中我們將 t 分成兩部份來處理，分別為wtVΦbaVtx N及wtVΦbaVtw N，
首先先討論wtVΦbaVtx N，表示如式(3-10)：
(3-10) 其中將Vtw定義為向量 u ，視成浮水印信號
w
以V 為基底的座標轉換；同樣地，將tx
Vt 定義為向量z，視成原始信號
x
以V 為基底的座標轉換，表示如式(3-11)， t(3-11)
同理，接著處理wtVΦbaVtw N，如式(3-12)：
(3-12)
將式(3-1)，(3-11)及(3-12)整理後可得式(3-13)。
(3-13)
) ( ) 1 (
1 wtVΦb aVtx Vtw tΦb a Vtx N
N
] sin ) (
cos ) (
sin ) (
cos ) (
sin ) (
cos ) (
sin ) (
cos ) 1[(
] [ ] [ ] [ ] [ ] 1[
) 1 ( ) 1 (
4 7 8 8 7 4 8 8 7 7
3 5 6 6 5 3 6 6 5 5
2 3 4 4 3 2 4 4 3 3
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
8 2 1
4 3
2 1
8 2 1
z u z u z
u z u
z u z u z
u z u
z u z u z
u z u
z u z u z
u z N u
z z z
R R
R R
u u N u
N
N b a
t t
a b t t
Φ z u x
Φ V w V
] ) (
cos
) (
cos
) (
cos
) (
1 [cos
) ( ) 1 (
) ( ) 1 (
1
2 8 2 7 4
2 6 2 5 3
2 4 2 3 2
2 2 2 1 1
u u
u u
u u
u N u
N N N
b-a t
t b-a t t t
b-a t
Φ u u
w Φ V
w V w
V VΦ w
] sin ) (
cos ) (
sin ) (
cos ) (
sin ) (
cos ) (
sin ) (
cos ) 1[(
4 7 8 8 7 4 8 8 7 7 2 8 2 7
3 5 6 6 5 3 6 6 5 5 2 6 2 5
2 3 4 4 3 2 4 4 3 3 2 4 2 3
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1
z u z u z
u z u u u
z u z u z
u z u u u
z u z u z
u z u u u
z u z u z
u z u u N u
t
