小波轉換與影像壓縮

第一章 緒論

資料壓縮可分為不可復原(或稱為有損失)壓縮與可復原(或稱為無 失真)壓縮兩大類。不可復原壓縮雖然資料解壓縮後會有失真現象，

但壓縮比高，為了因應日益龐大的影像資料儲存以及縮短傳輸時間，

具高壓縮比低損失的不可復原壓縮法是目前重要的研究課題之一。常 用的失真壓縮編碼技術中，小波轉換編碼日漸受到重視[1]~ [6] ， Shapiro 於 1993 年所提出的 EZW(Embbedded Zerotrees wavelet )影像 壓縮[7]，開啟了以樹狀架構的模式對小波係數進行壓縮編碼，其解 壓縮影像品質隨著壓縮比值的增加而有漸進式的改善。Said 和 Pearlman 於 1996 年提出了 SPIHT (set partitioning in hierarchical tree )[8]

演算法來增強 EZW 影像壓縮效能，自此 EZW 的改善方案也不斷地 被提出。

EZW 壓縮法對小波係數編碼是以下列步驟完成：1)以小波轉換 對原始影像資訊作多層解析度分解；2) 利用小波分解層之高低解析 度關係定義小波係數的樹狀結構並建立係數索引值；3)定義一組遞減 的臨界值以掃瞄的方式偵測重要的樹狀節點(即小波係數)；4) 節點狀 態分類：EZW 的節點狀態分為(i)重要的正係數值((POS) postive

(ZT(zerotree)),(iv)隔離零(IZ (isolated zero))；5)編碼：根據樹狀結構下 小波係數的節點狀態與其機率分佈，進行崁入式編碼(embedded coding)。EZW 利用影像小波係數的能量集中性(energy compactness)，以 高低解析度定義前後代(parent-children)關係的樹狀結構，在 parent 與 children 間存在著許多的相關性與相似性，對於一般影像而言都有

著”decaying spectrum”的特性。也就是低頻部分佔有大部份的能量，隨

著頻率的增加能量遞減，造成在小波多層分解轉換後，在較高頻部分 的小波係數絕對值較小， 由於一般影像存在著上述的特性，在經量 化後許多高頻帶的係數被量化為零。透過此種 parent- children對使用零 樹枝(ZT)節點狀態代表這些非重要的小波係數以達到壓縮效果。

本 論 文 中 我 將EZW 節點索引編排，以加快編碼速提 出修 改

度，並提出新的節點狀態分類，以增進壓縮效能。EZW 壓縮法中非 重要與重要係數的偵測決定了總編碼時間，如何降低非重要係數的偵 測時間，將是加快編碼速度的關鍵之一。EZW 使用的節點索引編排 是先對同層小波係數橫向掃瞄完後再往下一層掃瞄，這種掃瞄方式將 對 所 有 節 點 進 行 判 斷 。 我 所 提 出 的

節 點

索引編排，是由低往高頻排

序，在掃瞄時便能清礎掌握任一節點之所有子孫索引值，當出現節點 狀態為零樹枝時搭配本篇所設計跳躍法則以對零子孫進行跳躍，節省 了非重要係數掃瞄時間，加快編碼速度。在 EZW 的節點狀態分類中

節 點 是 重 要 係 數 時 子 孫 狀 況 並節點狀態分 不 慮 出 的 考 新 而 ， 我 提 類，考慮了重要係數子孫均為零的狀態，增加了零子孫的出現機率以

進行更多崁入式編碼，提昇壓縮效能。實驗中顯示修改 EZW 節點索 引編排有效提昇編碼速度，搭配使用的新節點狀態分類增強了 EZW 壓縮效能。

我 在 第 二 章 中 介 紹 小 波EZW 影像壓縮。在第 與 轉 換基 本 原理

三章介紹修改 EZW 節點索引編排與新節點狀態分類。第四章是實驗 結果，比較原始與修改後 EZW 影像壓縮之編碼速度與壓縮效能表 現，以改進 EZW 的編碼速度與壓縮效能，第五章為結論。

第二章

小波轉換與影像壓縮

小波分析在信號處理、影像處理、量子物理及非線性科學領域 上，均有其應用價值，因它具有將資料依頻率分離並重建的特性。因 應日益龐大的影像資料的儲存以及縮短遠程傳輸的時間，具高壓縮比 低損失壓縮法中以小波轉換編碼壓縮法日漸受到重視。以此而推展出 的 EZW 影像壓縮法能有效對小波係數進行編碼，此壓縮法使影像品 質隨壓縮比值增加而有漸進的改善。EZW 壓縮基本步驟是先使用小 波轉換對原影像資訊作多層解析度分解，並依頻率高低的關係配置小 波係數；在樹狀結構搭配節點索引編排下，定義了小波係數分解層間 的從屬關係，與節點步進掃瞄的索引順序；並使用節點狀態分類判定 小波係數狀態；而使用 arithmatic coding 可進一步壓縮節點狀態資 訊；增強 EZW 壓縮效能。EZW 的壓縮建立在零樹枝的使用，它代表 了節點本身與所屬子孫在臨界值標準上均為非重要係數。

本 章 中 我 先 要 探 討 小 波 轉 換 原 理分成 一 維 與二維 轉 換討 ，隨 探

之介紹以小波轉換編碼的 EZW 壓縮法其基本構造與原理。

2.1 小波轉換

小波轉換[1]~[6]是對原始影像資訊經過擴張 收縮及平移頻域 分離處理的方式進行轉換處理，它能有效的將資料低頻與高頻資訊做 分離處理，在解析度方面，低頻資訊可繼續做小波轉換分離出下一層 的低頻與高頻資訊，隨著分解越多這些不同頻域的小波係數，代表著 頻 域 中 各 自 範 圍 資 訊 ， 這 種 分 離 方 式 使

我 對資訊可進行有效的管理

與 處 理 ， 以 下 我 便 以 一 維 與 二 維 方 式

說

明 其 本

原 理 。

2.1.1 一維小波轉換

我 介

紹 Mallat[9]所提出的快速小波轉換，首先介紹分解部分；

由下圖 2.1 所示為小波考慮一維分解的構造圖，第 j+1 解析度 n 位置 小波係數值W_ϕ(j+1,n)，分別經 h(n)與 g(n)低通與高通濾波器係數組以 降兩倍取樣頻率處理後得到第 j 解析^W_ϕ^(j,n):( scaling coefficient)與

) , (j n

W_ψ :(wavelet coefficient) 。 而W_ϕ(j,n)也可再繼續分解成W_ϕ(j−1,n)

與W_ψ(j−1,n)。

我 分 別ϕ_{j ,k}與ψ_{j ,k}分別為 scaling function 和 wavelet function 在 定 義

第 j 解析度與第 k 個平移如(2-1)與(2-2)：

) 2

( 2 )

( ^/2

,_k x ^{j j}x k

j = ψ −

ψ (2-2)

: ) , ( nj Wϕ

function dual and wavelet x and x

function dual and scaling x and x

n x x

n x x

m mn

m mn

: ) ( ) (

: ) ( ) (

) 2 ( 2 ) (

) 2 ( 2 ) (

~

~ 2 / 1 2 / 1

ψ ψ

ϕ ϕ

ψ ψ

ϕ ϕ

−

=

−

= g(n)

h(n)

h(n)

g(n) 2

2

2

2 )

, 1 (j n W_ϕ +

) , 1 (j n W_ϕ −

) , 1 (j n W_ψ −

) , ( nj W_ψ

) , ( nj W_ϕ

: ) , ( nj Wψ

〉

〈

=

〉

〈

=

〉

〈

=

〉

〈

=

~ 1

~

~

~ 1

~

~

1

~ 1

~

, ) (

; , ) (

, ) (

; , ) (

n n

n n

n g n

h

n g n

h

ψ ψ ϕ

ϕ

ϕ ψ ϕ

ϕ

代表第 j 解析度第 n 位置 scaling 係數 代表第 j 解析度第 n 位置 wavelet 係數

圖 2.1 一維小波分解構造圖

隨著 j 值越大解析度越高， (2-3)與(2-4) 可知在第 j 解析度 scaling 或 wavelet function 可由較高解析度 j+1 以線性方式組合，α_n與β_n代表 相對應方程式 n 位置給與的高度大小。

) ( )

( _1,

, x _{j n} x

n n k

j ⁼

∑

ϕ (2-3)

) ( )

( _1,

, x _{j n} x

n n k

j ⁼

∑

ψ (2-4)

由式(2-1)與(2-2)可知ϕ_j+1,_n⁽x⁾=^2(j+1)/2ϕ^(2j+1x−n⁾；

) 2

( 2

)

( ^{( 1)/2 1}

,

1_n x ^{j j} x n

j₊ = ⁺ ψ ⁺ −

ψ ；

我 將α_n與β_n係數以h_ϕ(n)與h_ψ(n)取代後轉變成(2-5)與(2-6)的型式，

我 得ϕ_{j ,k}或ψ_{j ,k}和h_ϕ(n)與h_ψ(n)的關係，也就是將h_ϕ(n)與h_ψ(n)轉換 到

成 函 數 型 態 ， 以 作 函 數 信 號

處 理

。 定 我 義 h(n)與 g(n)與h_ϕ(n)與h_ψ(n)

關係為 h(n)=h_ϕ( n− )； g(n)= h_ψ ( n− )；互為反向的係數串，若 h(n)與 g(n)

為 biorthogonal 係數，由於左右對稱關係，h(n)=h_ϕ(n)； g(n)=h_ψ(n)， 可知h(n)與g(n)係數與 scaling 與 wavelet function 的關係，也就是說把 濾波器係數串(discrete)轉換成(analog)函數操作。

) 2

( 2

) ( )

( ^{( 1)/2 1}

, x h n ^{j j} x n

n k

j =

∑

ϕ _ϕ (2-5)

) 2

( 2

) ( )

( ^{( 1)/2 1}

, x h n ^{j j} x n

n k

j =

∑

ψ _ψ (2-6)

由式(2-5)與(2-6)中 我 j = 0 , k = 0 ; 定義 ϕ(x)=ϕ_0,0 ；ψ(x)=ψ_0,0得 令

出(2-7)與(2-8)顯示的特殊型式：

) 2 ( 2 ) ( )

(x h n x n

n

−

=

∑

ϕ _ϕ (2-7)

) 2 ( 2 ) ( )

(x h n x n

n

−

=

∑

ψ _ϕ (2-8)

將所有 x 置換為2^jx−^k，轉換成掃瞄型態(2-9)與(2-10)，^k為平移大小，

j 為第 j 解度。

) 2

( 2 ) 2 ( )

) 2 ( 2 ( 2 ) ( )

2

( x k h n x k n h m k ^{j 1}x m

m n

j

j − =

∑

∑

ψ _{ψ ψ} (2-10)

我 先 考(2-10)的第 j 解析度 wavelet function ψ(2^jx−k)對原始信 慮 式

號 f(x)作分解代入式(2-11)，x=1,2,3---M−¹，M is power of 2 (i.e.,M=2^J)，j=0,1,2,---J −1，得到式(2-12)

) 2 ( 2 ) 1 (

) ,

( f x ^/2 x k

M k

j

W ^j

x

j −

=

∑

ψ (2-11)

)]

2 ( 2 ) 2 ( [ 2 ) 1 (

) ,

( f x ^/2 h m k ¹x m

M k

j

W ^j

x m

j − −

=

∑ ∑

ψ (2-12)

將 h (m 2k)

m

∑

∑

x

x j

M f

2

2 /

) 1 (

交換後得(2-13)

)]

2 ( 2

) 1 (

)[

2 ( )

,

( f x ^{( 1)/2 1}x m

M k m h k

j

W ^{j j}

x m

−

−

=

∑

∑

ψ (2-13)

)]

2 ( 2

)

1 ( _{( 1)/2 1} m x x

f M

j j

x

+ −

∑

的結果，第 j 解析度小波 wavelet coefficients 是用h_ψ(n)係數以 down sample(降兩倍取樣頻率)方式對第 j+1 階 scaling coefficient 進行濾波 處理得到的係數。同理式(2-15)是第 j 解析度小波 scaling coefficients 是用h_ϕ(n)係數以 down sample(降兩倍取樣頻率)方式對第 j+1 階 scaling coefficient 進行濾波處理得到的係數。若 h(n)與 g(n)是對稱性

係數如表 2.1，則h(n)=h_ϕ(−n)；g(n) =h_ψ(−n)， 我 可以(2-14)與(2-15)將 表示成(2-16)與(2-17)，即即第 j+1 解析度 scaling coefficient W_ϕ(j+1,n)

與 h(n)或 g(n)作 convolution 得到第 j 解析度 scaling 或 wavelet coefficient W_ϕ(j,n)與W_ψ(j,n)。

) , 1 ( ) 2 ( )

,

(j k h m kW j m

W

m

+

−

=

∑

ψ (2-14)

) , 1 ( ) 2 ( )

,

(j k h m k W j m

W

m

+

−

=

∑

ϕ (2-15)

0 , 2

0 , 2

| ) , 1 ( ) (

| ) , 1 ( ) ( ) , (

≥

=

≥

=

+

∗

=

+

∗

−

=

k k n

k k n

n j W n h

n j W n h k j W

ϕ

ϕ ψ

ψ (2-16)

0 , 2

0 , 2

| ) , 1 (

* ) (

| ) , 1 ( ) ( ) , (

≥

=

≥

=

+

=

+

∗

−

=

k k n

k k n

m j W n g

m j W n h k j W

ϕ

ϕ ϕ

ϕ (2-17)

我 介 紹 重 建: 方 式 如 下

圖 2.2 是一維小波重建圖，方向順序與分解時相反，由式(2-18)先 對第 j 解析度的 scaling 與 wavelet coefficient 做升取樣頻率(up

sample)，即係數間隔補零，將長度擴張為兩倍，並以 ( )

~

k

hϕ 與 ( )

~

k hψ 為 重建所用濾波器係數，對相對應的W_ϕ^up(j,k)與W_ψ^up(j,k)進行對高解析度

2 2

2

2

) , 1 (j n W_ϕ + )

, 1 (j n W_ϕ −

) , 1 (j n W_ψ −

) , ( nj W_ψ

) , ( nj W_ϕ ) (

~

n h

) (

~

n g

) (

~

n g

) (

~

n h

0

~

~

| ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , 1

( + = ∗ + ∗ k_≥

up

up j k h k W j k

W k h k j

Wϕ ϕ ϕ ψ _ψ (2-18)

2.1.2 二維小波轉換

如圖 2.3 是二維小波分解構造圖，假設Sj為原始影像第 j 解析 度小波 scaling coefficients 係數，小波分解時，濾波器係數對影像垂 直方向以h(n)與g(n)即低通與高通濾波器濾波處理，並以降兩倍取 樣頻率方式取樣，之後再對影像水平方向處理，由此可將影像頻率 資訊分離成四個均為原來影像 1/4 大小的矩陣。本篇論文所採用二 維小波轉換濾波器係數是二次鏡(guadrature mirror filters 簡稱

圖 2.2 一維小波重建構造圖

QMFs)，9-tap 雙正交 (biorthogonal)小波基底[10] ，如表 2.1 其中

) (n

h 與 ( )

~

n

h 為低通所用分解與重建係數，g(n)與 ( )

~

n

g 為高通所用分 解與重建係數。運用這組轉換係數能給予較好的視覺品質。

水平處理 垂直處理

h(x) 2 Sj(x,y) h(y) 2

g(x) 2 Dj¹(x,y)

h(x) 2 Dj²(x,y) g(y) 2

g(x) 2 Dj³(x,y)

:第 j+1 解析度的 2D scaling coefficient )

,

1(x y S_j+

y

x

) ,

1(x y S_j+

:第 j解析度的 2D scaling coefficient D²j(x,y) ) ,

1( y x Dj

) , (x y S_j

) ,

3 ( y x D j

:第 i解析度的2D wavelet coefficient ) , (x y S_j

) ,

1( y x D_j

) ,

2(x y D_j

) ,

3( y x D_j

n 0

) (n

h 0.602949 0.266864 -0.07823 -0.016864 0.026749

圖 2.3 二維小波分解

) (

~

n h

0.557543 0.295636 -0.02877 -0.045636 0

表 2.1 9- tap 小波濾波器係數(biorthogonal)

我 將 影 像 用 快 速二 維

小 波[9][11][12]進行分解 scaling 轉換

coefficients S_j+1：

) , ( ) 2 ( ) 2 (

) , ( ) 2 ( ) 2 ( )

, (

1 1 1

v u S v y g u x h

v u S y v g x u h y

x D

u v

j

u v

j j

∑ ∑

∑ ∑

∞

−∞

=

∞

−∞

= +

∞

−∞

=

∞

−∞

= +

−

−

=

−

−

=

(2-19)

) , ( ) 2 ( ) 2 ( )

,

( ₁

2 x y g x u h y v S u v

D

u v

j

j

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

= − − +

= (2-20)

) , ( ) 2 ( ) 2 ( )

,

( ₁

3 x y g x u g y v S u v

D

u v

j

j

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

=

− +

−

= (2-21)

) , ( ) 2 ( ) 2 ( )

,

(x y h x u h y v S ₁ u v S

k l

j

j

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

= − − +

= (2-22)

其中次低頻信號^S_j，存有原影像水平與垂直(LL)均為低頻部分的 重要資訊，D¹_j 原影像水平信號低頻與垂直信號高頻部分(LH)，D²_j 原 影像水平信號高頻與垂直信號低頻部分(HL)，D³j 為原影像水平信號 高頻部分與垂直信號高頻(HH)。

圖 2.4 是二維小波重建的構造圖，方法與順序先後和分解時相 反，將被重建的四個分解資訊S_j,D¹j,D²j ,D³j 垂直方向升取樣頻率(即 間隔補零)，各使用的指定的重建濾波器係數處理後，再對對水平處 理還原回原S _j+1資訊。式(2-23)是快速重建二維小波 scaling

coefficientsSj+1的運算式：

+

−

−

=

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

=

+ ( , ) 4 ( 2 ) ( 2 ) ( , )

~

~

1 x y h x u h y v S u v

S _j

u v

j

+

−

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

=

) , ( ) 2 ( ) 2 (

4 ¹

~

~

v u D v y h u x

g j

u v

+

−

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

=

) , ( ) 2 ( ) 2 (

4 ²

~

~

v u D v y g u x

h j

u v

) , ( ) 2 ( ) 2 (

4 ³

~

~

v u D v y g u x

g j

u v

−

∑ ∑

−∞

=

∞

−∞

=

(2-23)

) , (x y S_j

) ,

1( y x Dj

) ,

2( y x D j

) ,

3( y x D j

y

x

) ,

1(x y S_j+

) , (xy S_j

) ,

2 ( y x D j

) ,

1( y x Dj

) ,

3 (x y D j

) (

~

x g

) (

~

x h

) (

~

y g )

(

~

x h

) (

~

x g

) (

~

y h 2

2

2

2

2 2

垂直處理 水平處理

2.2 以小波轉換壓縮影像資料

圖 2.5 是小波分解後係數放置圖，原 影像 scaling coefficients Sj+1

經第一層轉換後所得{LL1,HL1,LH1,HH1}放置成四個區域，scaling coefficients LL1 可再分解成{LL2,HL2,LH2,HH2}，這種多解析度分解

與 位 置 排 放 ， 是 小 波 轉 換 運 用 於 壓 縮 時

常用的結構。我 稱此 為 多 解

析度影像分解，LL1 的解析度比 LL2 好，且 LL1 矩陣的大小是 LL2 的四倍，隨著分解的層數越多解析影像越差，而二層小波分解轉換後 可產生 7 個次頻帶{LH1, HL1, HH1, LL2,HL2,LH2,HH2} 。圖 2.6 與 2.7 為實際的影像經一層與二層分解後的圖形，可看出分解越多次左 上角 scaling coefficients 區域越模糊解析度越差。

圖 2.4 二維小波重建構造圖

圖 2.6 一階小波多解析分解影像圖

LL2 HL2 )

, (x y S_j (LL1)

) ,

2 ( y x D j

(HL1) LH2 HH2 HL1

) ,

1(x y S_j+

WT

IWT D¹_j(x,y) (LH1)

) ,

3 (x y D j

(HH1)

WT IWT

LH1 HH1

圖 2.5 小波系數放置圖

圖 2.7 ：二階小波多解析分解影像圖

由小波多解析度分解後，由 Shapiro[1]中 我 定 義 了

Parent-Children 結構，如圖 2.8 所示，每一個 Parent 下一層有 4 個

Children，4 個 Children 下又有 16 個 Children， 如 此 結 構 我

稱 為

parent-children 關 係 ， 而 我 可 以 清 礎 看 到 分

解 的 後

次 頻

影 wavelet 像

coefficients，在影像 Parent 與 Children 間存在著許多的相關性與相似 性，對於一般影像而言都有著”decaying spectrum”的特性。也就是低 頻部分佔有大部份的能量，隨著頻率的增加能量遞減，造成在小波多 層分解轉換後，在較高頻部分的小波係數決對值較小， 由於一般影

像存在著上述的特性，在經量化後許多高頻帶的係數被量化為零。透 過此種 Parient-Children 對可有效的代表這些零減少編碼位元增進壓

縮 效 率 ， 我 稱”0”的 Parient- Children 對為零樹枝 這 種 為 均

ZT(zerotree)，當某小波係數位置中某節點定為 ZT 時，代表此節點底 部的子孫均為非重要係數，當此 ZT 節點狀態出現在小波係數越低頻 部分時，其子孫非重要係數越多，若任一節點是某一節點 ZT 子孫時，

將被崁入編碼，非重要係數的編碼位元花費越少，使得壓縮能力增 強，但相對的是影像資訊誤差損失越大，造成影相失真解壓縮品質越 差。

LL3

HL3

LH3 HH3 HL2

LH2 HH2 HL1

LH1 HH1

圖 2.8：parent 與 children 之關係

2.3 EZW 影像壓縮

EZW(embedded image coding using zerotrees of wavelet coefficients) 為 Shapiro[1]所提出運用小波轉換與多解析度原理為基礎作為對原影 像資料轉換的方式，編輯小波重要係數的壓縮法方法，利用零樹枝節 點 ZT(zerotree)取代小波大量非重要係數，並同時尋找與量化重要係 數。EZW 演算建立在 1) 可反轉的小波轉換與多解析度分解，2)樹狀 結構與索引順序，3)臨界點設定，4)節點狀態分類(狀態符號編輯)，

5)編 碼 ， 我 以 下EZW 壓縮的步驟。 一 一 明 說

2.3.1 樹狀結構與索引順序

圖 2.9 是 EZW 樹 狀 結 構 圖 ， 我 在 矩 陣(即 置 置 碼 順 了 上 設 序 位

索引)，在相對位置上給予阿拉伯數字，由大而小依數字順序尋找相 對應之位置小波係數進行判斷節點狀態，索引方式的目的就是要將小

波 係 數 依 順 序 抓 入 編 碼 ， 我 必 須 將 影 像

依照資訊重要性先後順序給

予傳送，同時兼顧到在解壓縮點上能得到較佳的影像視覺品質，雙行 之下去建立適合編輯小波係數的索引方式提供所須判斷的節點順

序 。 我 以 簡 單 兩 層小

波

分 解 8* 8 矩陣為例，其中樹狀結構可分成

Type I 與 Type II 兩種；Type I 將順序 1~4 位置(最後一層 scaling coefficients)內小波係數獨立編碼，之後由 5 開始按照順序由小到大橫 向掃瞄完，再到下層頻帶重複橫向掃瞄，一直到最後一層最後一個高

頻小波係數，數字 5,6,7,8---16 為最頂部小波係數，每個數字底下各 有 4 個數字，4 個底部又有 16 個，依此分枝的樹狀結構。Type II 將 順序 1~4 考慮編碼，最頂部有為 4 個數字，每個數字底部有 3 個，3 個底部又有 12 個，按照順序由小到大以相對的位置跳躍的方式橫向 掃瞄係數。圖 2.10 是使用 Shapiro 的索引與節點狀態分類，箭頭由上 而下成鋸齒狀掃瞄，由於所用索引是橫向掃瞄方式，這種方法在斷點 前會給予低頻系數充分的節點編碼資訊，使得影像品質均方根誤差 MSE(mean square error)在編碼壓縮中斷後所得解壓縮影像有較佳的 品質。

64 63 60 59 48 47 44 43

62 61 58 57 46 45 42 41

56 55 52 51 40 39 36 35

54 53 50 49 38 37 34 33

32 31 28 27 16 15 12 11

30 29 26 25 14 13 10 9

24 23 20 19 8 7 4 3

22 21 18 17 6 5 2 1

Example of 8x8 2- layer decomposition ; Ci :coefficient, i =1,2,3,---64

Tree of type I

17 18 19 20 21 22 23 24 61 62 63 64 5 6 16

Tree of type II

5 9 13 6 10 14 7 11 15 8 12 16

17 18 19 20 61 62 63 64 1 2 3 4

1^stWT 2^ndWT

...

2 / , 2 /

; ) ( ) 2 / (

...

3 , 2 , 1 , :

;

|)

| max (

1 2 0 1 0

6 4

~ 5

T T T T MAX T MAX

k value threshold T

Ci

MAX _k

i

=

=

<

<

=

=₌

...

2 / , 2 /

; ) ( ) 2 / (

....

3 , 2 , 1 , :

;

|)

| max (

1 2 0 1 0

6 4

~ 1

T T T T MAX T MAX

k value threshold T Ci

MAX _i ^k

=

=

<

<

=

=₌

圖 2.9 以 8*8 兩層小波分解的 EZW 數狀結構

HH3 HL3 LH3

HH2 HL2

LH2

HH1 LH1

HL1 LL3

-Tree index

-Node classification symbols:

ZT: zerotree

IZ : isolated zero

POS : postive significant

NEG : negative significant

圖 2.10 EZW 的樹狀索引與節點狀態分類

2.3.2 臨界值

臨界值是判斷重要系數的標準，大於等於臨界值為重要係數，反 之為非重要係數，第 k 層 significant map(簡稱 MAP_k)使用臨界值T_k判 斷重要係數，k=0,1,2,---。不同樹狀結構會定義出不同的T_k， 我 用 圖 2.9 的 Type I 與 Type II 定義臨界值。

樹狀結構 Type I 臨界值如下：

...

2 / ,

2 /

; ) ( )

2 / (

...

3 , 2 , 1 , :

;

|)

| max (

1 2 0

1 0

64

~ 5

T T T

T MAX T

MAX

k value threshold T

Ci

MAX _k

i

=

=

<

<

=

= =

(2-24)

樹狀結構 Type II 臨界值如下：

每一層臨界值差兩倍，而且隨著壓縮比越低臨界值越小。臨界值能分 開成不同數值範圍小波係數以分層方式漸進編碼，第一層臨界值T₀其 定義小波係數在

[

)

[

)

) 0

4 / 3

( ×T 數值解碼時的小波係數值大小，第三層T₂範圍

[

)

) 0

8 / 3

( ×T 為解碼小波係數值。隨著壓縮比越小，所用臨界值越小，重 要係數越多，影像品質越好。

2.3.3 節點狀態分類

EZW 判斷小波節點狀態找尋重要係數位置，並以所定的樹枝從 屬結構判別零數枝的存在，節點狀態分類可分成 4 種狀態：1) ZT (zerotree)：節點本身與其子孫為非重要係數；2) IZ(isolated zero)：節

...

2 / ,

2 /

; ) ( )

2 / (

...

3 , 2 , 1 , :

;

|)

| max (

1 2 0 1 0

64

~ 1

T T T T MAX T

MAX

k value threshold T

Ci

MAX _k

i

=

=

<

<

=

= =

(2-25)

significant)：節點本身為為負的重要系數。而判斷 ZT 與 IZ 節點必須 判定本身與底部子孫狀態，若底部子孫有重要係數存在，必須要在之 後的樹狀掃瞄中去尋找這些重要系數，反之則為零數枝表示，POS 與

NEG 將 重 要 系 數 分 成 正 負 兩 種 ， 是 影 像 數 係 訊 。 資 的 重 要 知 我 道

節點 ZT 增多時的壓縮效能越大，但影像資訊誤差也越大，如何有效 的增加這種 ZT 節點狀態又能兼固影像品值，是 EZW 壓縮的重要課 題。

2.3.4 編碼

EZW 的基本編碼輸出結構可分成兩個部分：1)significant map：

在找尋重要係數位置資訊，運用節點狀態分類依每一層臨界值判斷重 要係數，臨界值在由高至低壓縮比時遞減以決定每層重要係數的預先 大小範圍與預先大小數值，並將所得小波係數狀態以串流輸出。2) 已判斷為重要係數部分的較佳化(update magnitude)：圖 2.13 是對數值 35 進行較佳化編碼範例，從解碼端來看 binary 碼為 1 0 0----。64 是之

前定義的 MAX 值 ， 我 先 0~64 的中心點 32 為界線分為上下 以 範 圍

兩半區域，上半區域定為 1 下半區域定為 0，由於 35 在 32~64 範圍內 所以選擇位元”1”，為解碼端的第一次的逼進，解碼後數值是

(32+64)/2=48；隨後將範圍 32~64 放大與並分成上下兩半區，各定為 1 與 0，35 數在 32~48 區域所以選擇”0”， 作為解碼端的第二次的逼

進，解碼後數值是(32+48)/2=40； 隨後 32~48 放大並同樣分成上下兩 半區，定為 1 與 0，35 數在 32~40 區域所以選擇”0”， 作為解碼端的 第三次的逼進，解碼後數值是(32+40)/2=36。隨著解碼端這些 binary 碼越長，解碼後的數值將越逼近 35。significant map k 在做完第 k 層 節點狀態判斷，隨後使用 update magnitude k 對所有之前被標定的重 要係數編 binary 碼，每一層 update magnitude k 逼進一次，若為編碼 已至第 k 層時則代表被標定的重要係數已有 k 次逼進。significant map k 與 update magnitude k 兩種結構能使影像在任一目的壓縮比下，依壓

縮資訊解壓縮回影像。隨著壓縮比無斷的變化，而有漸進影像品質出 現。

0 64

35 32

64

32 48

48

32 35

40

35

1 0 0

位元串輸出

對數值35進行處理

2.3.5 EZW 演算法

圖 2.12 是第 k 層(significant map)的 EZW 壓縮法的演算結構，臨 圖 2.11 Example of decoding update magnitude

入判斷，i=1~N²，N 為原影像尺寸大小；若此點C_i曾被判為重要係 數則跳開至下一索引點C_i+1；反之則繼續判斷是否為重要係數，若是 重要係數則依正負判定節點狀態為 POS 與 NEG，隨後跳至下一索引 點C_i+1繼續判斷。若為非重要係數則考慮此點是否是 ZT 節點的子孫，

是則不編碼(don’t code)跳至下一索引點C_i+1，否則繼續判定此點子孫 是否有重要係數，並判定節點狀態為 IZ 與 ZT，隨後跳開至下一索引 點C_i+1繼續判斷。當Ci =CN2時則更換臨界值為T_k+1，進行第 k+1 層 (significant map)的 EZW 壓縮法的演算。圖 2.12 是以 coding 角度來看 壓縮資訊的輸出順序，在開始時 header 部分給予預先的參數資訊，依 次為 1)小波轉換層數，2)影像尺寸，3)影像灰階平均值，4)初始臨界 值。隨後則是 MAP_k 與 update_k 交替編碼輸出。

previously detected siginifcant

YES

Update

| |>=

YES

NO

sign

desendant of a zerotree root

has significant descendant

NEG

IZ ZT

NO YES

NO don ’t code

POS

(+) (-)

NO

YES Tk

Ci

Ci

Ci

+1

= i

i C

C

i: C

+1

= i

i C

C

i: C

+1

= i

i C

C

i: C

+1

= i

i C

C

i: C

Ci

: threshold value , k = 0,1,2--- Tk

N2

: coefficient , i=1~

註 : 後 , k=k+1 , and repeat the process₂

i CN

C =

圖 2.13 EZW coding 圖 2.12 EZW algorithm of Shapiro

update1 MAP1

update0 MAP0

header

initial threshold mean

image size number of

decomposition layers wavelet scale

Tk

MAP_ k : significant map ; threshold : k = 0 ,1 ,2 ,--- update_k : magnitude update of MAP_ k

2.4 Arithmatic coding

Arithmatic coding 是一種無失真損失的壓縮方式，藉將一串樣本 或字串列，利用機率分佈編成數字串，以紀錄樣本資料。如表 2.2，

假設一四樣本種類的資料，四樣本{a1,a2,a3,a4}機率為{0.2 0.2 0.4

0.2}， 我 由 上 至 下 1~0 範圍內給予相對的比例區域，如 依 率 在 照機

表 2.3 說明了其操作方式，第一個樣本輸入種類為 a1， 我 將1~0 從

中分離出 a1 機率比例區域，之後在下一樣本種類為 a2 時，運用 a2 機率比例區域再次將前 a1 所定數字區域範圍縮小，以此類推，輸入 的樣本串越多，數字區域範圍越小，小數點後記錄區域大小的數字越 長，用此數字串資訊記錄樣本串的方法叫 arithmaitc coding，記錄了 這一串數字便代表了一串樣本所有資訊。在最終數字區域範圍被限制 在 0.0688 至 0.06752 之內，由於這兩串數在小數點後 0.06 是相同的，

那記錄 0.068 資訊時便代表了此數所在的區域，算數運算方式尤其在

某 高 機 率 樣 本 出 現 時 ， 其 壓碼來看，解數字 以 解 縮 好 將 更 。 效 我 果

0.068 時是隨著之前 arithmatic coding 一樣方向在 0.068 所在的數字區 域，由左往右一一求得樣本串資料，而在最後 0.068 落入是 0.0688 至 0.06752 間可知是樣本 a4 數字區域，所以只要紀錄這 0.068，便代表 了一串樣本資訊{a1,a2,a3,a3,a4}，當某樣本機率值很高時在 arithmatic

coding 過程中所產生的比例區域會較大，所須的數字串便不會加長，

節省了許多小數點後增加的數字，壓縮效果越好。

source Symbol Probability Initial Subinterval a1 0.2 [0.0 ,0.2)

a2 0.2 [ 0.2 , 0.4) a3 0.4 [0.4 ,0.8)

a4 0.2 [0.8, 1.0 ]

表 2.2：各樣本機率與其機率比例區域

encode sequence

a1 a2 a3 a3 a4 1 0.2 0.08 0.072 0.0688 0.0688 a4 a4 a4 a4 a4 a4

a3 a3 a3 a3 a3 a3 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a1 a1 a1 a1 a1 a1 0 0 0.04 0.056 0.0624 0.06752

表 2.3：arithmatic coding 操作方式

修改樹狀索引與節點狀態分類

如何節省編碼時間在壓縮方法使用時是非常重要的課題，快速的 編碼不外乎較簡易的演算法，以及減少浪費在非重要資訊的編輯上，

由於 EZW 樹狀索引掃瞄時依然會再度通過 ZT 節點底部子孫，造成 非重要系數判斷的時間浪費，而 ZT 出現在小波係數低頻處時子孫 多，其不必再掃瞄判斷非重要係數越多，若再度索引掃瞄時，將不利

於 快 速 編 碼 。 在 第 一 節 中 ， 我 將 介 紹 修

改的樹狀索引，這種方法有

別於傳統 Shapiro[1]，運用跳躍法搭配修改 EZW 樹狀索引，將跳過所 有 ZT 節點子孫，使索引掃瞄不再理會，以提昇編碼速度，同時兼固

到 影 像 品 質 ， 且 構 造 分 簡 單 ， 我 將 說

明其原理與方法，以及如何

操作。

在 第 二 節 中 ， 我 將EZW 節點狀態分類搭配新介 紹 使 用修 改

樹狀索引以達到更好的壓縮效果與編碼速度。

3.1 修改 EZW 樹狀索引

接下來是本篇所要提出的一種新的索引改良與方法，以增進編碼

的 速 度 ， 我 在 EZW 樹狀索引，ZT 節點底部子孫在隨後 第 到 一 談 章

掃瞄時會再判斷，列入 don’t code(不編碼)而跳至下一個索引位置，這 種在樹狀結構上橫向掃瞄方式將無法避免對任一節點 ZT 底部非重要 係數子孫再掃瞄。

3.1.1 修改的節點索引編排

圖 3.1 與 3.2 是以8×⁸矩陣兩層小波分解為例修改 EZW 樹狀索引 順序，分成樹狀結構 Type I 與 Type II 考慮，Type I 因將最後一層分解 的 scaling coefficients 獨立編碼，樹枝最頂部為 1,6,11,16,

21,26,31,36,41,46,51,56；Type II 樹枝最頂部為順序為 1,17,33, 49，兩 種樹狀結構中若按照索引順序由 12,3,4,5----，則發現掃瞄模式皆改成 縱向尋找，而非原來 EZW 橫向掃瞄。

圖 3.3 是 EZW 索引順序範例，此為 EZW 所提之索引方式是從低 頻到高頻係數橫向掃瞄，不管節點為何，索引步進只有一次，當某一 低頻層小波係數判為節點 ZT 時，在下層高頻節點 ZT 子孫將依照索 引 順 序 橫 向 再 被 掃 瞄 ， 面 對 這 種 情 況 我

提出了一種改 善

方 式 以 ， 避

免此種因 ZT 底部子孫再次掃瞄的時間浪費。圖 3.4 是 我 修EZW 改

索 引 後 範 例 ， 這 種 新 的 掃 瞄 結ZT 子孫執行 構 有 一 利 節 點 對 我 於 任

快速跳躍，所謂的跳躍就是橫向跳至臨點，舉例說明假設索引 3 位置 節點狀態被判為 ZT，則下次索引順序不是由 3 至 4，改為由 3 至 8 橫向跳至臨近同解析層小波係數位置，而 8-3=5 就是索引步進大小，

位置 4,5,6,7 必定不會再有，由節點 ZT 產生的 jump 將加快索引順序，

以跳躍方式步進，完成所有索引數 1~^N2的掃瞄。由於 4,5,6,7 是已知 ZT 節點 3 的子孫，代表新索引的意義在達成跳過 ZT 零子孫的想法，

避 免 再 度 遭 到 多 餘 掃 瞄 與 ZT 節點出現越在小判 想 像 以 斷 可 。 在 我

波係數低頻處時，零子孫越多，跳躍的大小將越大，索引數步進更快，

編碼速度加快。

60 59 45 44 55 54 40 39

58 57 43 42 53 52 38 37

30 28 15 14 25 24 10 9

28 27 13 12 23 22 8 7

50 49 35 34 56 41 51 36

48 47 33 32 26 11 21 6

20 19 5 4 46 31

18 17 3 2 16

1 : scaling coefficient (獨立編碼 )

1^stWT 2^ndWT

1 6 56

2 3 4 5 7 8 9 10 57 58 59 60

圖 3.1 Example of 8×8 2-layer decomposition (tree of type I)

64 63 48 47 59 58 43 42

62 61 46 45 57 56 41 40

32 31 16 15 27 26 11 10

30 29 14 13 25 24 9 8

54 53 38 37 60 44 55 39

52 51 36 35 28 12 23 7

22 21 6 5 50 34 49 33

20 19 4 3 18 2 17 1

-Example of 8*8 2 -layer decomposition (tree of type II)

1 17 33 49

2 7 12 18 23 28 34 39 44 50 55 60 1^stWT

2^ndWT

3 4 5 6 8 9 10 11 56 57 58 59 61 62 63 64

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

圖 3.2 Example of 8×8 2-layer decomposition (tree of type II)

圖 3.3 EZW 索引順序範例