基於Gao演算法則Reed-Solomon解碼的實現 = Implementation of Reed-Solomon decoder based on Gao's algorithm 李忠昱、胡大湘

基於Gao演算法則Reed-Solomon解碼的實現 = Implementation of Reed-Solomon decoder based on Gao's algorithm

李忠昱、胡大湘

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摘 要

在科技快速進步的時代，無線化通訊科技也隨之蓬勃發展，例如手機通訊，WIMAX無線網路等。然而，雜訊干擾與資料 錯誤遺失的問題也較以往嚴重。為了更正雜訊對資料所造成的錯誤與遺失，具有錯誤更正能力的「錯誤更正碼」在通訊系 統中扮演著重要之角色。 Gao 演算法則為Reed Solomon (RS)解碼法則中最簡單之一。 本研究以VHDL語言實現Gao演算法 則，並下載至Xilinx VirtexII 嵌入式系統上加以驗證。在驗證過程中，首先擷取出語音檔數值，編碼後加入隨機亂數模擬資 料傳輸時的雜訊干擾，並將受影響數值藉由個人電腦RS232界面傳送至嵌入式系統，進行Gao解碼器(實現Gao演算法則的 硬體)運作，隨後將其結果傳回電腦。與原始的聲音作對照比較，以驗證此嵌入式系統的正確性。

關鍵詞 : 錯誤更正碼;Gao演算法;嵌入式系統

目錄

目錄 封面內頁 簽名頁 授權書．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．iii 中文摘要．．．．．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．iv 英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．v 誌謝．．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．vi 目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．vii 圖目錄．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ix 表目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．xi 第一章　緒論 1.1 前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1.2 研究動機．．．．．．．．．．．．．．．

．．．2 1.3 全文架構．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 第二章　Reed-Solomon碼原理 2.1 Reed-Solomon碼基本介 紹．．．．．．．．．．．4 2.2 Reed-Solomon編碼演算法則．．．．．．．．．．6 2.2.1 生成多項式．．．．．．．．

．．．．．．．6 2.2.2 Reed-Solomon編碼演算法則．．．．．．．．6 2.3 Reed-Solomon解碼演算法則．．．．．．．．

．．8 2.4 Berlekamp-Massey演算法範例．．．．．．．．．11 第三章　Gao演算法實現Reed-Solomon編解碼 3.1 Gao演算 法則概論．．．．．．．．．．．．．．16 3.2 Gao演算法則架構．．．．．．．．．．．．．．16 3.2.1 Gao編碼法則．

．．．．．．．．．．．．．16 3.2.2 Gao解碼法則．．．．．．．．．．．．．．17 3.3 Gao演算法範例．．．．．．．

．．．．．．．．18 3.4 Gao與Berlekamp-Massey編碼法則特色．．．．．24 3.4.1 Gao與Berlekamp-Massey編碼法則比較．

．．24 3.4.2 Berlekamp-Massey解碼法則複雜度．．．．．25 3.4.3 Gao解碼法則複雜度．．．．．．．．．．．37 3.4.4 Gao與Berlekamp-Massey複雜度比較．．．．44 第四章　硬體實現與系統實驗設計 4.1 Reed-Solomon軟體模擬與嵌入式系 統實現．．．．45 4.2 Reed-Solomon硬體電路實現．．．．．．．．．．48 4.3實驗流程設計與驗證．．．．．．．．．

．．．．57 第五章　結論及未來展望 5.1 研究流程與解決問題．．．．．．．．．．．．．63 5.2 結論及未來展望．．．

．．．．．．．．．．．．64 參考文獻．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．66 圖目錄 圖1-1通訊系統．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 圖2-1線性方塊碼．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 圖2-2 Parity Check Symbols．．．．．．．．．．．．．．．．7 圖2-3 Reed-Solomon編碼電路．．．．．．．．．．．．．．

．8 圖2-4 Reed-Solomon 編碼電路．．．．．．．．．．．．．12 圖2-5通道雜訊干擾．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．13 圖3-1通道出現雜訊干擾．．．．．．．．．．．．．．．．．19 圖3-2 Gao解碼法則概念．．．．．．．．．．

．．．．．．．23 圖3-3 Berlekamp-Massey演算法則流程圖．．．．．．．．．．25 圖3-4 Gao演算法則流程圖．．．．．

．．．．．．．．．．．37 圖4-1嵌入式控制系統．．．．．．．．．．．．．．．．．．46 圖4-2超級終端機介面．．．

．．．．．．．．．．．．．．．47 圖4-3加法電路圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．49 圖4-4乘法電路圖．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．50 圖4-5編碼器示意圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．51 圖4-6編碼 電路方塊圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．52 圖4-7 Interpolation電路方塊圖．．．．．．．．．．．．．．53 圖4-8 Partial gcd電路方塊圖．．．．．．．．．．．．．．．54 圖4-9 Long division電路方塊圖．．．．．．．．．．．．

．．55 圖4-10 Gao演算法則電路方塊圖．．．．．．．．．．．．．56 圖4-11設計實驗流程圖．．．．．．．．．．．．

．．．．．57 圖4-12語音檔開啟．．．．．．．．．．．．．．．．．．．58 圖4-13編碼前的資料處理．．．．．．．．

．．．．．．．．59 圖4-14 Gao編碼處理．．．．．．．．．．．．．．．．．．59 圖4-15雜訊干擾比對．．．．．．．

．．．．．．．．．．．60 圖4-16錯誤更正後聲音檔．．．．．．．．．．．．．．．．61 圖4-17受干擾未更正聲音檔．

．．．．．．．．．．．．．．61 圖4-18原始聲音檔．．．．．．．．．．．．．．．．．．．62 圖4-19受干擾錯誤更正 後聲音檔．．．．．．．．．．．．．62 表目錄 表 2-1 Reed-Solomon碼參數說明．．．．．．．．．．．．．．4 表2-2

的對照表．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 表 2-3 Berlekamp-Massey疊代運算的初始化．．．．．．．．．9 表2-4 編碼電路時脈運作．．．．．．．．．．．．．．．12 表2-5 代數與回授電路複雜度比較．．．．．．．．．．．13 表2-6 疊代運算初始化．．．．．．．．．．．．．．．．14 表2-7 疊代運算流程．．．．．．．．．．．．．．．．

．14 表 3-1 的對照表．．．．．．．．．．．．．．．．．．18 表 3-2 Partial gcd運算初始化．．．．．．．．．．．．

．．．22 表 3-3 Partial gcd運算過程．．．．．．．．．．．．．．．．22 表 3-4 Gao編碼與Berlekamp-Massey編碼法則特 色．．．．．．24 表 3-5特徵值 計算複雜度．．．．．．．．．．．．．．．．26 表 3-6差異參數 計算複雜度．．．．．

．．．．．．．．．．28 表 3-7 修正複雜度．．．．．．．．．．．．．．．．．30 表 3-8錯誤位置計算複雜度．．．．

．．．．．．．．．．．．31 表 3-9估算多項式 計算複雜度．．．．．．．．．．．．．32 表3-10錯誤樣本 計算複雜度

．．．．．．．．．．．．．．34 表3-11錯誤更正的計算複雜度．．．．．．．．．．．．．．35 表 3-12

Berlekamp-Massey解碼法則複雜度．．．．．．．．．36 表 3-13 Interpolation高斯消去法複雜度．．．．．．．．．．

．40 表 3-14 Partial gcd運算流程．．．．．．．．．．．．．．40 表3-15 Partial gcd運算流程．．．．．．．．．．．．

．41 表3-16 Partial gcd的 的計算複雜度．．．．．．．．．．．42 表3-17 Partial gcd運算過程．．．．．．．．．．．．

．．．．42 表3-18 Partial gcd的 的計算複雜度．．．．．．．．．．．43 表3-19 Partial gcd運算複雜度．．．．．．．．

．．．．．．．43 表3-20 Long division運算複雜度．．．．．．．．．．．．．43 表3-21 Gao解碼法則複雜度．．．．．

．．．．．．．．．．44 表 3-22 Gao與Berlekamp-Massey解碼法則複雜度比較．．．．44 表 4-1 符元對應數字表．．．．

．．．．．．．．．．．47 表4-2 加法電路 時脈運作．．．．．．．．．49 表4-3 乘法電路 時脈運作．．．．．．．．

．50 參考文獻

[1] Shuhong Gao, “A NEW AlGORITHM FOR DECODING REED-SOLOMON CODES” [2] Sergei V. Fedorenko, Member “A simple algorithm for decoding Reed-Solomon codes and its relation to the Welch-Berlekamp algorithm” [3] S. Lin and D.J. Costello, Jr, “Error Control Coding”, 2nd edition Prentice Hall, 2004 [4] 黃偉凱,“Implementation of Euclidean Algorithm Based on Embedded System”, 大葉大學電信 工程學系碩士班碩士論文, 2007 [5] 劉紹漢、林灶生, “VHDL晶片設計，使用ISE、Modelsim發展系統”, 全華科技圖書, 台北,2004。

[6] 唐佩忠, “ VHDL與數位邏輯設計” ,高立圖書,2004 [7] 王小川, “語音訊號處理”, 全華科技圖書, 出版二刷2005年2月。

[8] 劉紹漢、林灶生, “SOC系統晶片設計使用Xilinx EDK”,全華科技圖書, 2006年7月。

[9] 劉紹漢、林灶生, “FPGA晶片設計與專題製作”, 全華科技圖書, 2004年6月。