102 年數學科學科能力測驗試卷

(1)

1

102 年數學科學科能力測驗試卷

__________科__________班學號__________姓名______________

總分

第一部分﹕選擇題（占 60 分）

一﹑單選題（占 30 分）

說明﹕第 1 題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹒各題答對者﹐

得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以零分計算﹒

( )1. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求﹐才有資格參選模範生﹒

一﹑國文成績或英文成績70分（含）以上；二﹑數學成績及格﹒

已知小文上學期國文65分而且他不符合參選模範生資格﹒請問下列哪一個選項的推論是正確的？

(1)小文的英文成績未達70分 (2)小文的數學成績不及格

(3)小文的英文成績70分以上但數學成績不及格 (4)小文的英文成績未達70分且數學成績不及格

(5)小文的英文成績未達70分或數學成績不及格﹒ ﹝第二冊 CH2﹞

( )2. 令a2.6¹⁰2.6⁹﹐b2.6¹¹2.6¹⁰﹐

11 9

2.6 2.6

c 2 ﹒請選出正確的大小關係﹒

(1)a b c (2)a c b (3)b a c (4)b c a (5)c b a ﹒ ﹝第一冊 CH3﹞

( )3. 袋子裡有3顆白球﹐2顆黑球﹒由甲﹑乙﹑丙三人依序各抽取1顆球﹐抽取後不放回﹒若每顆球被取出的機會相等﹐請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下﹐丙抽到白球之條件機率為何？

(1)¹

3 (2) ⁵

12 (3)¹

2 (4)³

5 (5)²

3﹒ ﹝第二冊 CH3﹞

( )4. 已知以下各選項資料的迴歸直線（最適合直線）皆相同且皆為負相關﹐請選出相關係數最小的選項﹒

(1) ² ³ ⁵ 1 13 1 x

y (2) ² ³ ⁵ 3 10 2 x

y (3) ² ³ ⁵ 5 7 3 x

y (4) ^{2 3 5} 9 1 5 x

y (5) ² ³ ⁵ 7 4 4 x

y ﹒

﹝第二冊 CH4﹞

( )5. 將24顆雞蛋分裝到紅﹑黃﹑綠的三個籃子﹒每個籃子都要有雞蛋﹐且黃﹑綠兩個籃子裡都裝奇數顆﹒請選出分裝的方法數﹒

(1)55 (2)66 (3)132 (4)198 (5)253﹒ ﹝第二冊 CH2﹞

( )6. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球﹒在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30﹐到上午 10：10 仰角變成34﹒請利用下表判斷到上午 10：30 時﹐熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？

 30 34 39 40 41 42 43

sin 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933

(1)39 (2)40 (3)41 (4)42 (5)43﹒ ﹝第三冊 CH1﹞

(2)

2 二﹑多選題（占 30 分）

說明﹕第 7 至 12 題﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒各題之選項獨立判定﹐所有 選項均答對者﹐得 5 分﹔答錯 1 個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1 分﹔所有選項均未作 答或答錯多於 2 個選項者﹐該題以零分計算﹒

( )7. 設n為正整數﹐符號 ¹ ¹ 0 2

 n

 

  代表矩陣 ¹ ¹ 0 2

 

 

 自乘n次﹒令 ¹ ¹ 0 2

n

n n

a b c d

 

  

 

   ﹐請選出正確的選

項﹒

(1)a₂ 1

(2)a₁, a₂, a₃為等比數列 (3)d₁, d₂, d₃為等比數列 (4)b b₁, ₂, b₃為等差數列

(5)c₁, c₂, c₃為等差數列﹒ ﹝第四冊 CH3﹞

( )8. 設a  1 b 0﹐關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹒

(1)

   

^^a ⁷ ^{ }^a ⁹⁽²⁾^b^⁹ ^^b^⁷⁽³⁾ 10 10

1 1

log log

a b (4)log 1 log 1_a  _b (5)log_ablog_ba﹒

﹝第一冊 CH3﹞

( )9. 設a b c﹒已知實係數多項式函數^y^ ^{f x}

 

的圖形為一開口向上的拋物線﹐且與x軸交於

 

^a^,0 ^﹑

 

^b^,0 兩點；實係數多項式函數^y^^{g x}

 

的圖形亦為一開口向上的拋物線﹐且跟x軸相交於

 

^b^,0 ^﹑

 

^c^,0 ^{兩點﹒請選出}^y^ ^{f x}

   

^^{g x} ^{的圖形可能的選項﹒}

(1)水平直線

(2)和x軸僅交於一點的直線 (3)和x軸無交點的拋物線

(4)和x軸僅交於一點的拋物線

(5)和x軸交於兩點的拋物線﹒ ﹝第一冊 CH2﹞

( )10. 坐標平面上考慮兩點Q1

 

1,0 ﹐Q2



1,0



﹒在下列各方程式的圖形中﹐請選出其上至少有一點P滿足內積PQ PQ₁ ₂0的選項﹒

(1) ¹

y2 (2)yx²1 (3) x² 2y²1 (4)4x²y²1 (5)

2 2

2 2 1

x y  ﹒

﹝第三冊 CH3﹑第四冊 CH4﹞

( )11. 設F₁﹑F₂為橢圓Γ的兩個焦點﹒S為以F₁為中心的正方形（S的各邊可不與Γ的對稱軸平行）﹒ 試問S可能有幾個頂點落在Γ上？

(1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)0﹒ ﹝第四冊 CH4﹞

( )12. 設實數組成的數列 a_n 是公比為0.8的等比數列﹐實數組成的數列 b_n 是首項為10的等差數列﹒已知a₉b₉且a₁₀b₁₀﹒請選出正確的選項﹒

(1)a₉a₁₀0 (2)b₁₀ 0 (3)b₉ b₁₀ (4)a₉ a₁₀ (5)a₈ b₈﹒ ﹝第二冊 CH1﹞

(3)

3 第二部分﹕選填題（占 40 分）

說明﹕第 A 至 H 題﹐每題完全答對得 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 設k為一整數﹒已知 31 ¹

3 3

k  k ﹐則k ﹒ ﹝第一冊 CH1﹞

B. 設a﹑b為實數且



^{a bi}^



^{2 6}^ ⁱ



^{ }⁸⁰^﹐其中ⁱ²^{ }¹^﹒則

 

^{a b}^, ^（ , ）﹒ ﹝第一冊 CH2﹞

C. 坐標平面中^{A a}

 

^,3 ^﹐^B



^16,^b



^﹐^C



^19,12



^{三點共線﹒已知}^C^不在^A^﹑^B^之間﹐且^AC ^: ^BC^^{3 : 1}^﹐則

a b  ﹒

﹝第三冊 CH3﹞

D. 阿德賣100公斤的香蕉﹐第一天每公斤賣40元；沒賣完的部分﹐第二天降價為每公斤36元；第三天再降為每公斤32元﹐到第三天全部賣完﹐三天所得共為3720元﹒假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為

t﹐可算得第二天賣出香蕉的公斤數為atb﹐其中a ﹐b ﹒ ﹝第三冊 CH3﹞

E. 坐標平面上﹐一圓與直線x y 1以及直線x y 5所截的弦長皆為14﹒則此圓的面積為

﹒ ﹝第三冊 CH2﹞

F. 令 A ﹑B 為坐標平面上兩向量﹒已知 A 的長度為1﹐B 的長度為2且 A 與 B 之間的夾角為60﹒令

u  A B ﹐v x Ay B ﹐其中x﹑y為實數且符合6  x y 8以及   2 x y 0﹐則內積 u v 的

最大值為 ﹒ ﹝第三冊 CH2﹑3﹞

G. 設銳角三角形ABC的外接圓半徑為8﹒已知外接圓圓心到AB的距離為2﹐而到BC的距離為7﹐則

AC ﹒（化成最簡根式） ﹝第三冊 CH1﹞

H. 如圖﹐在坐標空間中﹐A﹑B﹑C﹑D﹑E﹑F﹑G﹑H為正立方體的八個頂點﹐已知其中四個點的坐標^A



^0,0,0



^﹑^B



^6,0,0



^﹑^D



^0,6,0



^及



^0,0,6



E ﹐P在線段CG上且CP : PG1 : 5﹐R在線段EH上且 : 1 : 1

ER RH  ﹐Q在線段AD上﹒若空間中通過P﹐Q﹐R這三點的平

面﹐與直線AG不相交﹐則Q點的y坐標為 ﹒（化成最簡分數） ﹝第四冊 CH2﹞

﹝第四冊 CH2﹞ x

y z

A

B C

D E

F G

H

Q P

R

(4)

4

答案

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. (5) 2. (4) 3. (3) 4. (5) 5. (2) 6. (3) 二﹑多選題

7. (1)(2)(3)(5) 8. (1)(2) 9. (4)(5) 10. (1)(3)(4) 11. (1)(2)(5) 12. (1)(3) 第二部分﹕選填題

A. 16 B.



^^4,12



^C.¹⁹^D. ^²^﹐⁷⁰^E. ⁵¹^F. ³¹^G. ^{4 15}^H. ¹⁵

11

解析

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. 因為小文的國文未達標準且兩項要求都要滿足﹐

所以只要英文與數學有一科未達標準就不符合資格﹒故選(5)﹒

2. 因為

 

9 9

2.6 2.6 1 2.6 1.6

a    ﹐

 

9 2 9

2.6 2.6 2.6 2.6 4.16

b    ﹐

2

9 2.6 1 9

2.6 2.6 2.88

c  2  

  ﹐

所以b c a﹒ 故選(4)﹒

3. ^P

 

^P

^ _ _ ^

P

 甲乙同色丙白丙白｜甲乙同色

甲乙同色

3 2 1 2 1 3 5 4 3 5 4 3

3 2 2 1 5 4 5 4

    



   ¹

 2﹒ 故選(3)﹒

4. 由迴歸直線的斜率 ^y

x

m r 

  ﹐得 ^x

y

r m 



  ﹒

因為各選項的m及_x都相等﹐且m為負﹐

所以哪一個選項的_y最小﹐其相關係數r就最小﹒計算各選項的_y： (1) ^{16 64 16} ⁹⁶

3 3

y ^ ^  ﹒ (2) ^{4 25 9} ³⁸

3 3

y ^ ^  ﹒ (3) ^{0 4 4} ⁸

3 3

y ^{ }  ﹒ (4) ^{16 16 0} ³²

3 3

y ^ ^  ﹒ (5) ^{4 1 1} ⁶

3 3

y ^{ }  ﹒ 故選(5)﹒

(5)

5

5. 設紅﹑黃﹑綠三個籃子各裝x﹑2y1﹑2z1（x y z, ,  ）顆雞蛋﹒

依題意﹐得



² ¹

 

² ¹



²⁴ ² ² ²⁶

x y  z   x y z

由上式得知 x 為偶數﹐討論方程式的解如下：

當x2時﹐y z 12﹐有 1 2 11

11 10 1

y

z ﹐共11組解﹒

當x4時﹐y z 11﹐有 1 2 10

10 9 1

y

z ﹐共10 組解﹒

當x22時﹐y z 2﹐有 1

1 y

z ﹐共1組解﹒

因此﹐方法數共有 ^{11 11 1}

 

11 10 1 66

2

      種﹒

故選(2)﹒

6. 如圖﹐設底邊為1﹐10：00 時熱氣球高 a ﹐10：10 升高 x ﹐ 則 10：30 再升高 2x ﹒因為

tan 30 0.577 tan 34 0.675 a

a x

  

    

 ﹐

所以x0.675 0.577 0.098 ﹒因此﹐

3 0.577 3 0.098 0.871 tan 41

a x     ﹒

故選(3)﹒

二﹑多選題

7. 計算如下：

1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 2 0 2 0 2 0 4

       

       

       ﹐ 1 1 3 1 3 1 1 1 7 0 2 0 4 0 2 0 8

       

       

       ﹒ (1)a₂ 1﹒

(2)a₁1﹐a₂1﹐a₃ 1為等比數列﹒

(3)d₁2﹐d₂4﹐d₃8為等比數列﹒

(4)b₁1﹐b₂3﹐b₃7不為等差數列﹒

(5)c₁0﹐c₂0﹐c₃0為等差數列﹒

故選(1)(2)(3)(5)﹒

30°34°

2x x a 1

(6)

6 8. (1) 因為底數  a 1﹐所以

   

^^a ⁷ ^{ }^a ⁹^﹒

(2) 因為底數0 b 1﹐指數  9 7﹐所以b^⁹ b^⁷﹒ (3) 因為底數10 1 ﹐真數¹ ¹

ab﹐所以log₁₀¹ log₁₀¹ a b﹒ (4) log 1 log 1 0_a  _b  ﹒

(5) 錯！例如：當a2﹐ ¹

b 4時﹐滿足a  1 b 0﹐但 log log₂¹ 2

ab 4  小於 ₁

4

log log 2 1

ba  2﹒

故選(1)(2) ﹒

9. 設 ^{f x}

 

^^{A x a}



^



^{x b}^



^﹐^{g x}

 

^^{B x b x c}



^



^



^﹐^A^⁰^﹐^B^⁰^﹐則

^f

   

^x^ ^{g x}^



^{A x}^



^a ^^x



^b^



^{B x}^



^b



^^x ^c



^{x b}

  

^{A x a}



^{B x c}

  

    



^{x b}

  

^{A B x}

 

^Aa ^Bc

 

    



^A ^B



^{x b}



^x ^Aa ^Bc

A B

  

      ﹐A B 0﹒

 當 ^Aa ^Bc b A B

 

 時﹐圖形為與x軸交於兩點的拋物線﹒

 當 ^Aa ^Bc b A B

 

 時﹐圖形為與x軸交於一點的拋物線﹒

故選(4)(5)﹒

10. 設^{P x y ﹐代入}

 

^, PQ PQ1 20﹐得



¹^{ }^x^, ^y



     ¹ ^x^, ^y



⁰



¹ ^x



  ¹ ^x



^y² ⁰ ^x²^y²¹﹐ 即 P 是圓心

 

0,0 ﹐半徑1的圓之內部的點﹒

(1)

y =1 2 x y

O

(2)

y =x²+ 1 x y

O

(3)

x x²+ 2y²= 1 y

O

(4)

x y

O

4x²+ y²= 1

(5)

x² 2

y² 2 = 1

x y

O

選項(1)(3)(4)有交點﹐故選(1)(3)(4) ﹒

(7)

7

11. 因為正方形的四個頂點到中心等距離﹐所以 S 的頂點必落在以F 為圓心的圓 C 上﹒ ₁

又因為在所有橢圓上的點中﹐以頂點 A 距離F 最近（近日點）₁ ﹐所以圓C 最多與橢圓Γ 交 2 點﹐即 S 最 多有 2 個頂點落在 Γ 上﹒

底下三個圖中的 S 分別有 0 ﹑1﹑ 2 個頂點在橢圓 Γ 上：

F₁ A

A F₁

A F₁

圖 1 圖 2 圖 3

三個圖中﹐圓 C 的半徑在圖 1 小於AF ﹐在圖 2 等於₁ AF ﹐在圖 3 等於正焦弦長之半﹒ ₁ 故選(1)(2)(5) ﹒

12. 因為等比數列 a 的公比為 0.8_n  ﹐所以 a 是正負相間﹐且愈來愈接近 0 ﹒ _n 因為 b_n 是首項為10 的等差數列﹐所以 b_n 是從10 開始遞增或遞減的數列﹒

又知a₉b₉且a₁₀ b₁₀﹐所以b 與₉ b 有一個比負數還小﹐ ₁₀ 因此﹐ b_n 為遞減數列﹐且公差為負﹒

(1) 因為 a 正負相間﹐所以_n a₉a₁₀0﹒ (2)(3) 因為 b_n 為遞減數列﹐所以b₁₀ b₉﹒

又因為a 與₉ a 一正一負﹐且₁₀ a₉b₉且a₁₀ b₁₀﹐所以b₁₀0﹒ (4)(5) 下圖的數列 a 與_n b_n 滿足題意﹒

a₈

a₉ a₁₀

b9

b₈

b₁₀ 8 9 10 0

但a₉ a₁₀﹐a₈b₈﹒ 故選(1)(3) ﹒

第二部分﹕選填題 A. 由原式﹐得

 

²

3 31 1 2 279 1

k   k k   k ﹒ 因為16² 256﹐17²289﹐所以k16﹒

B. 由原式﹐得



²^a^⁶^b

 

^ ⁶^a^²^{b i}



^{ }⁸⁰^﹒

根據複數相等的定義﹐得

2 6 80

6 2 0

a b a b

  

  

 ﹒

解得a 4﹐b12﹒

(8)

8 C. 如圖﹐因為AB : BC 2 : 1﹐所以由分點公式﹐得



^16,



^{38 3 24}^,

3 3

b a  

  ﹒

解得a10﹐b9﹐即a b 19﹒

D. 依題意﹐可列得

 

   

40 100 at b t 36 at b 32t3720﹐ 整理得



^{280 4}^ ^b

 

^{  }⁴^a ⁸



^t^⁰^﹒

因為是恆等式﹐所以

280 4 0 4 8 0

b a

 

  

 ﹒

解得a 2﹐b70﹒

E. 因為兩平行直線x  y 1 0與x  y 5 0所截的弦等長﹐且其距離為

   

 

²

2

1 5 4

2 2 2

1 1

  

 

  ﹐

所以弦心距 1

2 2 2

d 2  ﹒因此﹐圓的半徑

 

²

72 2 51

r   ﹒

故此圓的面積為 51﹒

F. 因為 A B   1 2 cos60 1﹐所以

u v  A B    x Ay B 

2 2

x A y A B x B A y B

     

   x y x 4y 2x5y﹒ 又x ﹑ y 的可行解區域如圖 將四頂點代入 2x5y﹐得

         

^, ^3,3 ^{4, 4} ^3,5 ^{2, 4}

2 5 21 28 31 24

x y x y

根據頂點法﹐當x3﹐y5時﹐ u v 有最大值31﹒

1 2 A

B C

r d d 7

7 7

7

(3,3) (3,5)

(4,4) (2,4)

x y = 2

x +y =6 x y =0

x +y =8 x y

O

(9)

9 G. 依題意﹐得右圖﹒利用和角公式﹐得

^sin^B^^sin



^{ }^



sin cos cos sin 

2 15 2 15 7

8 8 8 8

   

15

 4 ﹒ 再利用正弦定理 2

sin

AC R B ﹐得

2 sin 16 ¹⁵ 4 15 AC R B  4  ﹒ H. 依題意﹐得^G



^6,6,6



^﹑^P



^6,6,1



^﹑^R



^0,3,6



^﹒

設^Q



^{0, ,0}^y



^{﹐ 0}^{ }^y ⁶^﹐

為通過 P ﹑Q ﹑ R 三點的平面﹒

由與直線 AG 不相交﹐得知

與直線 AG 平行﹐因此﹐的法向量 n 與直線 AG 的方向向量 l 垂直﹒取 n PR PQ   



^{6, 3,5}

 

 ^6,y  ^{6, 1}

 

33 5 , 36, 6 y   y18



¹ ¹



^6,6,6

 

^1,1,1



6 6

l  AG 

因為 n  l ﹐所以 n l 0﹐即



33 5 , 36, 6 y   y18

 

 1,1,1



  0 15 11y0﹒ 解得 ¹⁵

y11﹒

A B

C

O 7

2 8 15 2 15

102 年 數學科 學科能力測驗試卷