Chapter 3 Matrices and Vectors

Chapter 3 Matrices and Vectors 矩陣與向量

§ 3-1 Matrices 矩陣

令 m 與 n 為正整數，一個大小(size)或「階數 order」為m×n的矩 陣是一個數字A_ij的有序集合(ordered set)其中 1≤i≤m, 1≤ j ≤n, 長 相如下：

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

=

mn m

m

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

1 1

2 22

21

1 12

11

矩陣內的數字A_ij稱為第「i 列（橫）、第 j 行（直）」的「矩陣元素 matrix element」，若 m = n 則 A 稱為「方陣 square matrix」。下列 3-1 表列出 矩陣 A 相關的矩陣

matrix elements example

A Aij

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ 2

1 1

i i

A~

(or A^T) Transpose of A

(倒置)

( )

A~ij = Aji

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

2 1 1 i

i

A∗

Complex conjugate of A (複數共軛)

∗

∗) =( )

(A _ij A_ij

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 2 1

1 i

i

( )

^∗

+ ≡ A

A ~

Hermitian conjugate of A

（厄密共軛）

( )

^{∗ ∗}

+ _ij = A_ji = A_ji

A ~

)

( ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 2 1 1

i i

＊Hermitian conjugate A⁺ =(A^T)^∗ =(A^*)^T pf. A^{∗ T}_ij = A^∗ _ji = A_ji ^∗ = A_ij ^∗ =A~_ij^∗

~ ) ( ) ( ) ( )

( , q.e.d.

＊對於矩陣 A,若存在矩陣 A^-1使得

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

= ⁻

−

...

...

...

...

...

1 0 0

...

0 1 0

...

0 0 1

1 1

1A AA

A

A^-1稱為 A 的反矩陣(inverse). 上式中的「1」矩陣稱為「單位矩陣 unit matrix」，其元素除了對角線上的元素全為 1 之外其餘元素全為 0。此 處引進一個符號

Kronecher delta:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

= =

j i if

j i if

ij 0,

,

δ 1 ，即 1_ij =δ_ij。

可以證明任何方陣 A 乘以相同大小的單位矩陣 1 等於 A 自己，即 1A＝A1＝A

pf. _ij

k kj ik k

kj ik

ij A A A

A = = =

⋅ ⁾

∑

¹

∑

^δ

1

( （因為所有k ≠i的項都為 0）。又

ij k

kj ik k

kj ik

ij A A A

A⋅¹⁾ =

∑

¹ =

∑

^δ =

( （因為所有k ≠ j的項都為 0）

＊ 矩陣的相等：A=B⇔ A_ij =B_ij，即各對應元素皆相等。

＊ 若 A 與 B 為相同的 n 階方陣則定義運算如下

∑

=

−

=

− +

= +

−

=

=

n

k

ki ik ij

ij ij ij

ij ij

B A AB

B A B A

const A

A

1

) 3 3 ( )

(

) 2 3 ( )

(

) 1 3 ( . ,

)

(λ λ λ

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

) ( ...

...

...

...

...

...

...

...

) ( ) (

2 21

1 1 11

1 2 1

12 11 12

11

nj j

n j

n

in i

i ij

B B B

B B B

A

A A

A A A

AB AB

AB

（3-3）全寫出來就是

∑

ⁿ A_ikB_ki =A_i B _j +A_i B _j + +A_inB_nj

=

2 ...

2 1

1 。

若

∑

=

=

= ⁿ

k

kj ik

ij A B

C AB C

1

,

ex. _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

dy cx

by ax y

x d c

b a

ex. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

5 9 1 6 2 . 3 7 9 8 6 0 . 3 4 9 0 6 1 3

7 9 8 6 0 3 7 3 8 2 0 . 1 4 3 0 2 1 . 1

4 9 0 6 1 . 3 7 8 8 5 0 . 2 4 8 0 5 1 . 2

5 7 4

1 8 0

2 0 1

9 6 3

3 2 1

8 5 2

注意，通常AB≠BA，例如

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 0

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1

0 1 0 0 0

1 0 1 1

1

1 but

但是(AB)C= A(BC) pf.

( ) ( )

_ij

t

tj it

t k

kj tk it

k t

kj tk it k

kj

ij AB ikC A B C A B C A BC A BC

C

AB) ( ) ( ) ( )

( =

∑

=

∑∑

=

∑ ∑

=

∑

=

＊

( )

AB ^T =B^TA^T

T T T ij

T T k

T kj T ik k

T ik T kj k

ki jk ji

T

ij AB A B A B B A B A AB B A

AB

pf^{. ( )} =^{( )} =

∑

=

∑

=

∑

=^{( )} ⇒^{( )} =

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1

1 1

1

1 1 1

) 1 (

) (

) (

1 )

( ) (

) (

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

⎪⎭⇒

⎪⎬

⎫

=

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

AB A

AA B A

ABB A

B AB and

B B AB A B AB A

B

A B

＊ AB Q

＊ 矩陣 A 的行列式（determinant）detA

每一個 n 階的方陣 A 都對應一個數字稱為 A 的行列式。

2×2 矩陣行列式的定義如下：

if det ad cb. d

c b A a

d c

b

A a ⎟⎟⎠⇒ = = −

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

3 階方陣的行列式定義如下：

＊ The Levi-Civita symbol ε_ijk

考慮{i, j, k}為{1, 2, 3} 3 個正整數的有序排列(permutaion)集合,這 樣的集合共有 3!＝6 個：{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1} .

定義「交換數 number of inversion」為{i, j, k}經相鄰數字左、右交換 而成{1,2,3}的總交換數。定義 Levi-Civita 符號ε_ijk

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

→

−

=

→

= +

odd k

j i of inversion of

number if

even k

j i of inversion of

number if

ijk 1, {, , } {1,2,3}

. }

3 , 2 , 1 { } , , { ,

ε 1

⎩⎨

⎧

−

=

=

=

=

=

∴ =

1 1

321 213 132

312 231 123

ε ε ε

ε ε

ε

且ε_ijk =0如果任二腳標相等，i.e., ε₁₁₂ =ε₁₃₁ =ε₂₁₂ =...=0

＊ 一個 3 階矩陣 A 的「行列式」detA 定義為

∑

=

=

} , , {

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

det

k j i all

k j i

ijkA A A

A A A

A A A

A A A

A δ

32 23 11 33 21 12 31 22 13 31 23 12 32 23 13 33 22 11 3 2

detA=

∑

^ε_ijkA1_iA _jA_k = A A A + A A A +A A A −A A A +A A A −A A A

有一種簡單的 3×3 矩陣行列式的算法：

ex. 15 0 12 18 0 10 19

4 2 5 4 2

3 1 0 3 1

2 1 3 2 1

5 4 2

0 3 1

3 2 1

= +

−

− + +

=

−

−

−

−

=

−

−

= A

19 6 10 15 ) 6 4 ( 3 ) 5 ( 2 4 15

2 3 3 1

5 2

0 2 1

5 4

0

1 3 = − − + − = + − =

−

⋅−

− +

⋅

− −

⋅

=

另有一個 3 階方陣行列式的算法：

det A =

∑

=

− + 3

1

' ) 1 (

j

ij j

i A ， 對任何一列 i.

其中A'_ij為「cofactor of element A_ij」

A'ij= det (原方陣 A 去掉第 i 列及第 j 行剩下的 n-1 階方陣)

＊ 行列式為 0 的方陣稱為「singular matrix」.若一方陣行列式非 0 則 為「nonsingular」.

＊ 由「行列式」的定義可推出下列性質：

1. det(A^T)=detA

2. 若 A 任何行或列全為 0 則detA=0。例如 0 4 0 1

1 0 1

3 0 2

=

−

。

3.

i h g

f e d

c b a

i h g

f e d

c b a

γ γ γ γ

= . 例如

2 1 1

0 1 2

3 1 2 3 2 1 1

0 1 2

9 3

6 −

−

=

−

−

。

4. A 任二行（或列）互換後所得的方陣的行列式＝-det A .例如

3 1 1

1 4 0

5 2 2

5 2 2

1 4 0

3 1 1

−

−

=

−

。

5. 若 A 的任二行（或列）的元素全等，則 det A = 0.例如

0 3 5 3

1 4 1

2 1 2

=

− 。

6. det A 可經由某行（或列）的「拆解」而成 2 個方陣行列式的和。

例如

6 0 2

5 4 0

3 3 1

6 2 2

5 1 0

3 2 1

6 0 2 2

5 4 1 0

3 3 2 1

− +

−

= +

−

− +

。

7. 某行（或列）加上另一行（或列）的 c 倍後，新方陣的行列式 不變。例如

6 5 4

3 2 1

6 3 4

6 5 4

3 2 1

0 1 2

−

−

=

−

−

：右邊的行列式為左邊的第一列加上第二

列×2。

＊ A 的反矩陣 A^-1

A A of cofactor

A _ij ^ji

) det

( ⁻¹ = , i.e., if detA=0, A⁻¹不存在。其中

cofactor of Aji =(−1)^j+idet( A 去掉第 j 列與第 i 行後剩下的 n-1 階矩陣)

ex. _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

−

= −

⇒

≠

−

=

−

−

=

⎟⎟⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= + ⁻

1 1

1 3

0 1 3 ) 1 ( 2 2 det

1

1 ₁

i i A i

i i

i A

A i

check: _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

−

− +

+

− +

−

= −

−

1 0

0 1 2 1 2

2 2 2

1 2 3

1 1

i i i

i i i

AA i and A^-1A = 1.

Ex. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

⇒

=

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= ⁻

0 2 4

6 5 2

0 6 0 12 12 1

det 1

2 2

0 0 2

3 0 1

A1

A

A

Check: 1

12 2 10 12 4 4

0 12

0

0 6 6 12

12

1 1 =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

− +

−

−

− =

AA =A^-1A.

Ex. 非齊次聯立方程組的解

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟≡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎪ ⇒

⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

γ β α γ

β α γ

β α

z y x A z

y x

l h g

f e d

c b a

lz hy gx

fz ey dx

cz by ax

上式兩邊×

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⇒ ^{− − −}

−

γ β α γ

β α

1 1

1

1 A

z y x A

z y x A A

A ，只要detA≠0。

但是如果是齊次方程式α =β =γ =0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

1

1 ⇒ = = =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⇒

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⇒ ⁻ A⁻ x y z

z y x 存在 A if z

y x A

就只剩全 0 的「自明解 trivial solution」。所以齊次方程組要想有 nontrivial solution, 那麼方程組裡未知數係數所形成的矩陣的行列 式就不能為 0.

§ 3-2 座標轉換

考慮一個單純的座標旋轉。此處我們使 用(x₁, x2)而不用(x, y)來寫平面座標。考 慮繞垂直於 x₁與 x₂軸且通過原點的軸

逆時針轉θ角，並定義轉完後的座標軸為x'₁與x'₂軸。若平面上一點 P 其座標在原座標系為(x₁, x2)，在新座標系為(x'₁,x'₂)則可看出新舊座標 之間的關係為

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

− +

=

− +

=

− +

+

=

− +

−

=

) 2 3 ( 2 )

cos(

cos

) 2 3 ( sin

cos '

) 1 3 ( cos 2 )

cos(

) 1 3 ( cos

sin '

2 1

2 1

1

2 1

2 1

2

b x

x

a x

x x

b x

x

a x

x x

π θ θ

θ θ

θ π θ

θ θ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⇒⎛

2 1 '

2 ' 1

cos sin

sin cos

x x x

x

θ θ

θ θ

其中 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− θ θ

θ θ

cos sin

sin

cos 稱為平面的「轉換或旋轉矩陣」。由(3-1b)與(3-2b)

可以看出若定義

) , ' cos( _{i j}

ij ≡ x x

λ ＝cos(x_i^' −axis與x_j−axis的夾角)

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

−

= +

=

=

=

−

=

=

=

=

⇒

θ λ

θ π θ

λ

θ π θ

λ

θ λ

cos ) , cos(

sin 2 )

cos(

) , cos(

sin 2 )

cos(

) , cos(

cos ) , cos(

2 ' 2 22

1 ' 2 21

2 ' 1 12

1 ' 1 11

x x

x x

x x

x x

這使得平面的座標旋轉可以重新寫為

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

2 1

22 21

12 11 '

2 ' 1

x x x

x

λ λ

λ

λ 。

或在 3D 空間

. '

'_{2 3}

3

1 1 3

13 2 12 1 11 ' 1

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

' 3 ' 2 ' 1

x and x for similar

x x

x x

x

x x x

x x x

j j

∑

j

=

= +

+

=

⇒

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

所以可以寫出一個通式 . 3 , 2 , 1 ,

'

3

1

=

=

∑

=

i for x x

j j ij

i λ 請特別注意 i, j 的順序 （3-14）

做為結論，3D 空間的旋轉矩陣可寫為

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

33 32 31

23 22 21

13 12 11

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ

其 矩 陣 元 素 λ_ij =cos(x'_i ,x_j) 為 x'_i 軸 在 相 對 於 x_j 軸 的 「 方 向 餘 弦 directional cosine」.

Ex. 考慮值角座標系對 x3軸逆時針轉 90^o

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

=

⇒

3 ' 3

1 ' 2

2 ' 1

x x

x x

x x

⇒非 0 矩陣元素為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

−

=

=

=

33 3

' 3

21 1

' 2

12 2

' 1

1 ) , cos(

1 ) , cos(

1 ) , cos(

λ λ λ

x x

x x

x x

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

1 0 0

0 0 1

0 1 0

λ1 現考慮對 x1軸逆時針轉 90^o

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

=

=

−

⇒

2 ' 3

3 ' 2

1 '

1

x x

x x

axis x axis x

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

0 1 0

1 0 0

0 0 1

λ2 若定義向量

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

3 2 1

x x x

X

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

' 3 ' 2 ' 1 '

x x x X

考慮兩次座標旋轉：先對 x3軸逆時針轉 90^o之後再對新的 x1軸逆時 針轉 90^o

X X

X and X

X^'=λ₁ , ^" =λ₂ ^' =λ₂λ₁

⇒ 則

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 0

0 0 1

0 1 0 0 1 0

1 0 0

0 0 1

"

3

"

2

"

1

x x x

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 3 2

3 2 1

3 2 1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

x x x

x x x

x x x

然而若將這兩個座標旋轉的次序顛倒，結果

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

2 1 3

3 2 1

3 2 1

2 1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

x x x

x x x

x x x λ X

λ

可以看出總旋轉矩陣λ₁λ₂ ≠λ₂λ₁所以最終結果也不同。這也是矩陣乘 法「不可交換性 non-commutibility」的一個明顯的例子。本例子也清 楚點出旋轉運動中角度變化「角位移」Δθ不是一個向量，因為不滿 足向量加法的可交換性。

＊ 旋轉矩陣的性質

（1）空間中過原點一直線與 x₁, x2, x3軸的夾角分別為α,β,γ ，則該直 線的「方向餘弦 directional cosine」滿足

1 cos cos

cos²α + ²β + ²γ = （3-5）

證 明 （ 3-5 ） 式 如 下 ： 令 rv 為 在 直 線 上 點 P 的 位 置 向 量 ]

cos , cos , cos

[r α r β r γ r =

⇒ v

. 1 ) (cos )

(cos )

(cos

) cos ( ) cos ( ) cos (

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

= +

+

⇒

= +

+

= + +

=

⋅

γ β

α

γ β

α r r r

r z y x r r vv

（ 2 ） 若 過 原 點 兩 直 線 與 x₁, x2, x3 軸 的 夾 角 分 別 為(α,β,γ) 與 )

' , ' , '

(α β γ ，而且兩直線間夾角為θ，則

' '

' cos cos cos cos

cos cos

cosθ = α α + β β + γ γ （3-6）

證明（3-6）式如下：兩直線上各選一點 P 與 P’，位置向量各為 ]

cos , cos , cos

[r α r β r γ

rv= ， rv'=[r'cosα',r'cosβ',r'cosγ']

. cos cos cos

cos cos

cos cos

cos cos

cos cos

cos cos

cos

' '

'

' ' '

' '

' '

' ' ' '

γ γ β

β α

α θ

θ γ

γ β

β α

α

+ +

=

⇒

= +

+

=

+ +

=

⋅

rr rr

rr rr

zz yy xx r r vv

現 考 慮 座 標 系 (x₁,x₂,x₃) 對 一 通 過 原 點 的 任 意 軸 做 旋 轉 而 成 )

, , (x₁^' x₂^' x₃^'

⇒ ，而λ_ij =cos(x'_i,x_j), j=1..3.則為x'_i軸在原座標系(x₁,x₂,x₃)的 方向餘弦。由（3-5），因x'₁軸方向餘弦可得

2 1

13 2 12 2

11 +λ +λ =

λ （3-7）

similarly, 由x'₂與x'₃可得λ²₂₁+λ²₂₂+λ²₂₃ =1與λ²₃₁+λ₃₂² +λ²₃₃ =1，連同上式可 寫為

) 9 3 ( .

, 1

) 8 3 (

1 _{2 2 3 3}

1 1 3

1 2 1

−

=

=

⇒

−

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

k i if

j kj ij

j

j j j

j j j

j j j

j

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ

已 知 x'₁ 軸 和 x'₂ 在 原 座 標 系 的 方 向 餘 弦 分 別 為 (λ₁₁,λ₁₂,λ₁₃) 與

) , ,

(λ₂₁ λ₂₂ λ₂₃ ，現由於x'₁與x'₂夾角為 90^o，所以可由（3-6）

0 2 0

cos

cos _{1 2}

23 13 22 12 21

11 + + = = = ⇒ =

⇒

∑

j

j jλ π λ

θ λ

λ λ λ λ λ

由於x'₁與x'₃夾角為 90^o、x'₂與x'₃夾角亦為 90^o，所以

) 11 3 ( .

, 0

) 10 3 (

0 _{2 3 1 2}

3 1

−

≠

=

⇒

−

=

=

=

∑

∑

∑

∑

k i if

j kj ij

j

j j j

j j j

j j

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ

合併（3-9）與(3-10) 與 kronecher delta，旋轉矩陣的元素有如下性質

ik j

kj

ijλ δ

λ =

∑

（3-12）

（3-12）稱為旋轉矩陣元素的「正交條件 orthogonal condition」,是基 於直角座標軸之間都是彼此正交（垂直）的。

一矩陣 A 被稱為「正交矩陣 orthogonal matrix」如果 A^T＝A^-1。我 們可以由（3-12）證明旋轉矩陣λ就是「正交矩陣」：

pf. _{ij ij}

k jk ik k

T kj ik ij

T) 1

(^λλ =

∑

^{λ λ} =

∑

^{λ λ} =^δ = Q

且(λ^Tλ)_ij =δ_ij ⇒λλ^T =λ^Tλ=1⇒λ^T =λ⁻¹ （ ij ij

Tλ δ

λ ) =

( 自己回去證明）

＊ 幾種特殊的矩陣

(

^{A A}

)

^{A indepoten}

A A

diagonal A

a A or j i if A

unitary A

A A

orthogonal A

A A

Hermitian A

A A

ric antisymmet A

A A

symmetric A

A A

real A A A

n

ij ij ij ij

T T T

:

: ,

0

: : :

: : :

2 1 1

⇔

=

⇒

=

⇔

=

≠

=

⇔

=

⇔

=

⇔

=

⇔

−

=

⇔

=

⇔

=

+

−

− +

∗

δ

＊ 座標系統的 inversion：透過原點的反射(reflection),即所有x_i →−x_i。

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

=

−

=

3 ' 3

2 ' 2

1 ' 1

x x

x x

x x

所以 inversion 矩陣為

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

λI ，(λ_I)_ij =−δ_ij ⇒λ^T_I =λ⁻_I¹⇒λ_I orthogonal.

注意：座標 inversion 的動作是不能經由座標旋轉的組合形成！i.e.,

....

'_R

R

I λ λ

λ ≠

其中λ_R表旋轉矩陣。可以證明detλ_R =1 and detλ_I =−1，所有的旋轉也 稱為 proper rotation，而 inversion 則稱為 improper rotation。

座標旋轉在「純量」、「向量」的定義上是有意義的：考慮一個下 列形式的座標轉換

ik j

kj ij j

j ij

i x with

x^' =

∑

λ

∑

λ λ =δ

若一個量ϕ在這樣的座標轉換之下「不變」則ϕ為一純量，例如質量 )

, , ( ) ' , ' , '

(x y z M x y z

M = 所 以 質 量 為 一 純 量 。 若 有 一 個 量 以 集 合 A ＝ )

, ,

(A₁ A₂ A₃ 表現而當座標由

{ } { }

xi x'i

→λ 時 A 的分量也做相同的轉換

. )

, , ( _{1 2 3}

' A A A A A is a vector A

j j ij

i =

∑

^λ ⇒ ^v =

＊行列式的微分

0 0 cos

0 1 0

0 sin

0 0 0

0 sin

0 1

3 2 1

0 0 sin

0 1 .

) (

)]

( [det

) ( ) ( ) ( det

) (

3 2 3

2 3

3 2

' 3 2 1 3 ' 2 1 3 2 ' 1

3 2 1

x e

x x x

x e

x x x

x e

x x

x e

x x x dx ex d

A A A A A A A A A x

dx A d

x A x A x A A

x A A

x x

x x

k j i k j i k j i ijk

k j i ijk

+ +

=

+ +

=

⇒

=

⇒

=

∑

∑

ε ε

§ 3-3 Eigenvalue problem 本徵值問題

一個任意的A_3×3矩陣可視為一個作用在任何一個3×1行向量

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

3 2 1

v v v vv

的「operator 算符」，作用如Avv =uv，i.e., A 作用在vv後將vv變成uv。例 如

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 2

1 1 1

0 1 0

0 0 2

1 0 1

＊對應於一個給定的矩陣 A，有一組特別的向量xv具有一特性：

x x

Av =λv, λ為一常數

≡

⇒ xv 矩陣 A 的”對應於「eigenvalue 本徵值」λ ” 的「本徵向量 eigenvector」。換言之，當矩陣 A 作用在自己的 eigenvector 時只會將 eigenvector 放大λ倍，而這個放大的倍數稱為 eigenvalue. 例如

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1

1 就是矩陣 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

1 1

1

A 1 的 eigenvector, _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

1 2 1 2 2 1 1 1 1

1 Q 1

對應的「本徵值」與「本徵向量」是相互聯繫的；每一個 A 的本徵 向量只對應一個本徵值，但是對於某些「本徵值」有可能一個「本徵

給定一個矩陣，要如何計算其對應的本徵值與本徵向量？請見下 列例子：

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

1 1

1

A 1 ，令 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

2 1

x

xv x ⇒ _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

2 1

2 1

2 1

0 0 1

1 1 1

x x x

x x

x

λ λ λ

1 0 1

1 ) 1

1 (

2 1⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

−

= −

−

⇒ x

x x

A λ

λ ^v λ

要避免 trivial solution x₁ = x₂ =0則前面的矩陣行列式必須為 0

2 1 2

, 2 , 0

0 ) 2 ( ) 1 1 )(

1 1 ( 1 ) 1 (

1 0 1

1 det 1

) 1 det(

λ λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

≡

=

⇒

=

−

−

= +

−

−

−

=

−

−

⇒

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

−

= −

−

⇒ A

上式在解λ時所導入的方程式det(A−λ1)=0叫做 secular equation(久期 方程式)。

對於本徵值 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

= b

x a let ₁

1 0, v

λ

1 . 0 1 0 0 1 1 1 1

1 : 1

1 1 1

0 0 0

1 1

1 1

1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⇒

=

=

⇒

=

⇒

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

⇒ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⇒ −

check

x b a let b a

b a

b a b

a b

a

v

長度＝1 的向量稱做「歸一化的 normalized」向量。我們通常希望所 得的本徵向量是歸一化的，歸一化的xv₁就是原xv₁將自己的長度除掉

1 1 1 2 1

1

1 ⎟⎟⇒ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ x

xv v 。

對於本徵值 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

= d

x c let ₂

2 2, v

λ

. 1 1

1 2 1

1 2 1 2 2 1 1 1 1

1 : 1

1 1 1

1

0 0 0

0 2

1 1

1 2 2 1

1 1

1 1

2 2

2

=

⎟⎟⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

⇒

−

=

⇒

=

⇒

−

=

⇒

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

−

⇒ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

−

⇒ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⇒ −

x x

normalized check

x d

c d c

d c

d c d

c d

c d

c

v v

v

所以， _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

1 1

1

A 1 ⇒λ₁ =0, _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ 1 1 2 1

xv1 ； λ₂ =2, _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

1 1 2 1

xv2 .

Ex. Find eigenvalues for

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 0

1 0 0

1 0 0 A

2 3 1 2

4 1 ,1 0

] 1 [

] 1 ) 1 ( 1 [

0 0 1

1 0 1

1 1 0

1 0

1 0 det

0 1

1 0

1 0

1 0 1

0 0

0 1 0

0 0 1 1 1 0

1 0 0

1 0 0 )

1 (

2

i

z y x

z y x x

A From

= ±

−

= ±

⇒

+

−

−

= +

−

−

−

− = + −

−

−

− −

=

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

⇒

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

−

λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ

λ ^v

這也讓我們看到一個「實矩陣」是可能有「複數」的本徵值。

＊ 由於解「本徵值」時要解一個久期方程式

0 ...

...

...

...

...

det _{21 22}

12 11

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

λ λ

a a

a a

所以對於一個n×n的矩陣最多可以解出 n 個複根，但是常會遇到重根 的 case，那些重根的λ稱為「簡併的 degenerate」本徵值。如果λ是 m 重根，則λ為「m 重簡併 m-fold degenerate」。「簡併的」本徵值所對 應的本徵向量也稱為「簡併的本徵向量」。

Ex. Find eigenvalues and eigenvectors for _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

3 1

1 A 1

2 )

2 ( 4 4 1

) 3 )(

1 ( 3 0

1 1 det1

. = = − − + = ²− + = − ² ⇒ ₁= ₂ =

−

−

− λ λ λ λ λ λ λ

λ Sol λ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

⇒

=

⎩ ⇒

⎨⎧

= +

−

=

⇒ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⇒ −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

⇒ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

1 2 1 2 2 1 1 3 1

1 : 1

1 1

0 0 0

0 1

1 1 1

2 0 3 1

1 2 2 1

3 1

1 1

2 1

2 1 2

1 2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

check x x

x x x

x x x x

x

x x x

x x

x

v v

ex. Find eigenvalues and eigenvectors for

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 1 1

1 0 1

1 1 0 A

. , , 1 , 1 , 2

0 ) 1 )(

2 (

) 1 )(

2 )(

1 (

] 2

)[

1 (

) 1 ( 2 ) 1 )(

1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

1 1 1 1

1 1 1

0 1 1

1

1 1

1 1 det

:

3 2 1 2 2 2

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ

≡

−

−

=

⇒

= + +

−

=

+ +

− +

=

+

− +

=

+ + +

−

−

=

+ + + +

−

−

=

+ −

− −

−

− −

=

=

−

−

−

⇒ Sol

For 非簡併本徵值λ₁ =2

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⇒

=

=

∴

=

⇒

= +

−

⇒

−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

⎭ −

⎬⎫

=

− +

= +

−

= + +

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

1 1 1 3 1 1

1 1

1 0

3 3 ) 2 ( ) 1 (

0 ) 2

3 ( 0

2

) 2 ( 0

2

) 1 ( 0

2

0 0 0 2

1 1

1 2 1

1 1 2

1 1

2 1

2 1 2

1

3 2 1 3

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x

x x

choose x

x x

x

x x x x

x x

x x x

x x x

x x x

v v

For 簡併本徵值λ₂ =λ₃ =−1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

−

=

=

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

=

−

=

=

⇒

= + +

⎟⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 1 2 1 1

0 1

1 ,

0 , 1

0 1 1 2 1 0

1 1

0 , 1 ,

1

0 0

0 0 1

1 1

1 1 1

1 1 1

3 3

3 2 1

2 2

3 2

1

3 2 1

3 2 1

x x

y y y choose or

x x

y y

y choose

y y y y

y y

v v

v v

總結：

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

1 0 1 2 , 1

0 1 1 2 , 1

1

; 1 1 1 3 , 1

2

3 2

3 2

1 1

x x

x

v v

v

λ λ λ

我們注意到xv₁⋅xv₂ =0 and xv₁⋅xv₃ =0但是簡併本徵向量之間卻不彼此正 交，不過我們可以透過所謂的「Gram-Schmit 過程」使得到一組相互 正交的簡併本徵向量。

＊ 向量的內積(inner product, or, dot product) av ⋅bv 考慮 2 個行向量

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

3 2 1

3 2 1

,

b b b b a a a

av v

定義av,bv間的內積為

( )

b aibi

b a a a b a b

a ⁼

∑

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

=

≡

⋅ ⁺ ₂ ^*

1

* 3

* 2

*

1, ,

v v v v