輾轉相除法、黃金分割與費氏數列

(1)

輾轉相除法、黃金分割與費氏數列 ₍ 下 ₎

蔡聰明

四、歐氏對局

從畢氏求音律的輾轉相減法精煉成步步扣盡的歐氏輾轉相除法, 以求最大共度單位或最大公約數, 其步數從最多的 P (m, n) 變成最少的 E(m, n), 介於其間的就是所謂的歐氏對局, 這是兩人玩的一種數學遊戲。

歐氏對局的比賽規則如下: 雙方各自寫一個自然數, 猜拳以決定誰先手。先手者從較大的數扣去較小數的任何倍數, 但不能使差變成負數, 後手亦然。兩人輪流對局, 最先得到一對數含有一個零者得勝。例如, 甲、乙兩人分別寫出 78 與 35 兩個數, 假設甲是先手, 整個對局過程可以是:

(i){78, 35} 甲

−→ {43, 35}乙

−→ {8, 35} 甲

−→

{8, 11} 乙

−→ {8, 3} 甲

−→ {2, 3} 乙

−→ {2, 1}

−→ {0, 1}, 經過7步甲先手得勝。也可以是:甲 (ii){78, 35} 甲

−→ {8, 35} 乙

−→ {8, 11} 甲

−→

{8, 3} 乙

−→ {2, 3} 甲

−→ {2, 1} 乙

−→{0, 1}, 經過 6步乙後手得勝。

一般而言, 任給兩個自然數 m 與 n, 令

L(m, n) 表示歐氏對局的步數, 則 L : N × N −→ N 為一個“多值函數”, 並且

E(m, n) ≤ L(m, n) ≤ P (m, n)。 (23) 換言之, 歐氏對局的步數可在 E(m, n) 與 P(m, n) 之間變化, 因而存在有講究對局藝術的空間。

問: 先手必勝嗎?

許多時候, 兩人的對局, 先手較有利, 甚至先手必勝。例如: 在一個正方形的桌面上, 兩人輪流放置一個 10 元硬幣, 最先沒有空位放置硬幣的人就輸。顯然, 這是先手必勝的對局 (致勝之道是什麼? ) 又如下圍棋或打網球, 先手較有利, 常言道: 「先下手為強」也。

但是, 歐氏對局則不然, 先手不一定有利, 例如:

1. {5, 8} → {5, 3} → {2, 3} → {2, 1} → {0, 1}, 恰好 4 步, 故先手必敗;

1

(2)

2. {4, 7} → {4, 3} → {1, 3} → {1, 0} 恰好 3 步, 故先手必勝。

我們也可以用歸謬法來證明歐氏對局先手不一定有利: 我們稱任意兩自然數 {a, b} 為一個狀相 (configuration)。假設由任意狀相出發, 先手必勝。考慮狀相 {m, n}, 不妨設 m < n 且 n 不是 m 的整倍數。如果先手者可將 n 扣掉某 k 倍的 m (0 < k <

_m ⁿ

, k ∈ N ), 成為 {m, n

^′

} (n

^′

= n−km), 使得後手者必敗, 那麼先手者若遇到狀相 {m, n

^′

}, 則必敗無疑, 這就得到一個矛盾。

要知舉反例與歸謬法是幫助我們作思考、論證的利器, 且不僅限於數學中才有用。

問: 歐氏對局有無勝敗的規律? 這個規律是什麼? 在什麼條件下先手必勝? 在先手必勝的條件下如何走法才可致勝?

為了研究這些問題, 首先我們給出一些術語的定義, 以方便使用。

利用歐氏輾轉相除法求兩自然數的最大公約數時, 將狀相的演變過程寫下來, 用箭頭連結起來, 例如

{7, 9} → {7, 2} → {1, 2} → {1, 0}

(24) 就叫做一條歐氏路徑 (Euclidean path)。此路徑的長為 4, 經過 E(7, 9) = 3 步求得最大公約數 1, 路徑長與步數相當於植樹問題的樹數與間隔數一樣。

若兩自然數 m 與 n 滿足 m < n <

2m, 那麼在作歐氏對局時, 只能將 {m, n}

變成 {m, n − m}, 沒有第二種選擇, 這種情形就稱 {m, n} 為一個「死板狀相」, 其它

的狀相叫做「活絡狀相」。例如在 (24) 式中 {7, 9} 為死板狀相; 而 {7, 2} 為一個活絡狀相, 可以變為{5, 2} 或 {3, 2} 或 {1, 2}, 有兩種以上的選擇。

當 2m ≤ n 時, {m, n} 為一個活絡狀相。令 l

0

為

_m ⁿ

的整數部分, 則由 {m, n} 可以變成 {m, n − m} 或 {m, n − 2m} · · · 或 {m, n − l

⁰

m}, 一共有 l

⁰

種走法。由 {m, n} 變成 {m, n − l

⁰

m} 的走法叫做「扣盡走法」(Ultimate move) (輾轉相除法就是一直用扣盡走法); 由 {m, n} 變成 {m, n − (l

⁰

− 1)m} 的走法叫做「準扣盡走法」(Penultimate move)。這是兩種致勝的關鍵走法。

下面我們遵循思考的常理來探求歐氏對局的勝敗規律。在求知的道路上, 找到規律是最令人欣喜的事。

由於有對稱性, 對於兩自然數 m 與 n 討論歐氏對局, 只需考慮 m≤ n 的情形, 以下皆作此假設。

(i) 只有一步的歐氏對局: 當 m 可以整除 n 時, 記為 m|n, 則 E(m, n) = 1, 例如 E(2, 4) = E(1, 9) = E(5, 5) = 1 。這種情形先手必勝, 而且一步就得勝。

(ii) 在歐氏路徑中, 如果除了最後兩個狀相之外, 其餘皆為死板狀相, 則當 E(m, n) 為奇數時, 先手必勝, 當 E(m, n) 為偶數時, 先手必敗。例如, 當 m 與 n 是費氏數列相鄰兩項時, 就是屬於這種情形, 並且

E(1, 2) = 1, E(2, 3) = 2, E(3, 5) = 3, E(5, 8) = 4,

E(8, 13) = 5, E(13, 21) = 6,· · ·

(3)

因此 {1, 2}, {3, 5}, {8, 13}, {21, 34} · · · 都是先手必勝的狀相, 而 {2, 3}, {5, 8}, {13, 21}, · · · 都是先手必敗的狀相, 非常有規律。我們圖示如下:

1 ,

...

2 ,

.. ...

3 ,

...

5 ,

...

8 ,

...

13,

.. ...

21,

.. ...

34,

.. ...

55, . . . 先手必勝

先手必敗

進一步, 我們尋求勝敗的代數條件。

在定理 5 中, 我們已證過 3

2 < 8 5 < 21

13 <· · · < 1 +√ 5 2 <· · ·

< 13 8 < 5

3 < 2 1

因此黃金分割比值

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

恰好是扮演勝敗的「楚河漢界」。

定理6: 設 m 與 n 為費氏數列相鄰的兩項且 m < n, 則

(i) 當

m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

時, {m, n} 為先手必勝之狀相;

(ii) 當

_m ⁿ

<

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

時,{m, n} 為先手必敗之狀相; 並且只有單純的扣盡走法而已。

對於不是相鄰的兩費氏數, 乃至任意的兩自然數又如何? 定理 6 的代數條件是否仍然成立? 讓我們先用各種例子來試驗看看。

例1: 考慮狀相 {5, 21}, 若按輾轉相除法 (扣盡走法), 則得歐氏路徑

{5, 21} −→ {5, 1} −→ {0, 1}

這是先手必敗的局面。但是對於歐氏對局而言, {5, 21} 是活絡狀相, 先手者可以採用准扣盡走法而得到

{5, 21} −→ {5, 6} −→ {5, 1} −→ {0, 1}

變成先手必勝的局面。我們注意到:

21

5

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

, 而先手者採准扣盡走法就是留給對手 {5, 6} 狀相, 滿足

⁶ 5

<

1+ √ 5

2

。因此定理 6 也適用於{5, 21} 狀相。

例2: 考慮狀相 {7, 10}, 則歐氏路徑為

{7, 10} −→ {7, 3} −→ {1, 3} −→ {1, 0}

似乎是先手必勝, 其實不然! 因為 {7, 3} 為一個活絡狀相, 由後手者掌控, 採准扣盡走法就可致勝:

{7, 10} −→ {7, 3} −→ {4, 3}

−→ {1, 3} −→ {1, 0}

因此 {7, 10} 是先手必敗之狀相。我們注意到

¹⁰ ₇

<

¹⁺

√ 5

2

, 故定理 6 適用於 {7, 10} 狀相。

例3: 考慮狀相 {49, 107}, 歐氏路徑為

{49, 107} −→ {49, 9} −→ {4, 9}

−→ {4, 1} −→ {1, 0}

顯然

¹⁰⁷ ₄₉

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

, 這是否先手必勝? 我們觀察到{49, 107}, {49, 9} 與 {4, 9} 皆

(4)

為活絡狀相, 先手者握有主控權, 採准扣盡走法必可致勝:

{49, 107} −→ {49, 58} −→ {49, 9}

−→ {13, 9} −→ {4, 9} −→ {4, 5}

−→ {4, 1} −→ {1, 0}

先手者留給對方的狀相 {49, 58}, {13, 9}, {4, 5} 滿足:

⁵⁸ 49

,

¹³ ₉

與

⁵ ₄

皆小於

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

, 而立於不敗之地。

例4: 考慮狀相 {3, 11}, 此時

¹¹ 3

>

1+ √ 5

2

。在歐氏路徑

{3, 11} −→ {3, 2} −→ {1, 2} −→ {1, 0}

之中, 只有 {3, 11} 是活絡狀相。此時先手者若採用准扣盡走法:

{3, 11} −→ {3, 5} −→ {3, 2}

−→ {1, 2} −→ {1, 0}

反而授人以柄, 變成失敗的局面。讓後手者得到狀相 {3, 5}, 滿足

⁵ 3

>

1+ √ 5

2

, 導致後手勝利。因此面對狀相 {3, 11}, 先手者應採扣盡走法, 而得到先手必勝的結局。

經過上述例子的試驗, 結果是屢試不爽。因此定理 6 似乎可以推廣到任意兩自然數的情形。

由任意狀相 {m, n} (m < n) 出發, 我們猜測到神奇的黃金分割比值

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

也許就是歐氏對局勝敗的關鍵:

_m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

是先手必勝的代數條件 (

_m ⁿ

<

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

則是先手必敗)。

為了證明這個猜測, 我們必須研究一下{m, n} 的下一步的變化情形:

(i) 當{m, n} 為死板狀相時, 則下一步必是 {m, n − m} ;

(ii) 當 {m, n} 為活絡狀相且 n 不為 m 的倍數時, 令 l 為

_m ⁿ

的整數部分 (l > 1), 則下一步只需走成 {m, n − (l − 1)m} (即採准扣盡走法) 或 {m, n − lm} (即採扣盡走法), 因為歐氏對局的勝負只是一步之差而已, 這一步可透過採用扣盡或准扣盡走法來調整。

我們必須掌握住: 在

_m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

的條件下, 下一步狀相的兩數相比之條件。

補題: 設 m 與 n 為兩個自然數。

(i) 若 m 與 n 滿足,

ⁿ ₂

< m < n, 即 {m, n} 為死板狀相, 則

n

m > 1 +√ 5

2 ⇐⇒ m

n− m < 1 +√ 5 2 (25) (ii) 設 m 與 n 滿足 0 < m <

ⁿ ₂

, 即{m, n}

為活絡狀相。令 l 為

_m ⁿ

之整數部分。若

_m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

且 n 不為 m 的倍數, 則

n− (l − 1)m

m < 1 +√ 5

2 (26)

或

m

n− lm < 1 +√ 5

2 (27)

證明: (i) n

m > 1 +√ 5 2

(5)

⇐⇒ n

m >1 +

√5− 1 2

⇐⇒ n− m m >

√5− 1 2

⇐⇒ m

n− m < 1 +√ 5 2

(ii) 我們只有 m

n− lm < 1 +√ 5 或 2

m

n− lm > 1 +√ 5 2

兩種情形。若後者成立, 則 m > 1 +√

5

2 · (n − lm)

⇐⇒

√5− 1

2 m > n− lm

⇐⇒

√5− 1

2 m+ m > n− lm + m

⇐⇒ 1 +√ 5

2 m > n− (l − 1)m

⇐⇒ n− (l − 1)m

m < 1 +√ 5 2

證明完畢。

定理7: 設 m 與 n 為兩自然數, m < n, 則

(i) 當

_m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

時, {m, n} 為先手必勝之狀相;

(ii) 當

m ⁿ

<

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

時, {m, n} 為先手必敗之狀相。

證明: 我們對 n 來作數學歸納法之證明。

當 n = 2 時, m 只能是 1, 此時

n

m

= 2 >

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

, 並且 {1, 2} 為先手必勝之狀相, (i) 與 (ii) 成立。

當 n = 3 時, m 可為 1 或 2, 此時

3

1

= 3 >

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

, 並且 {1, 3} 為先手必勝之狀相。另外

³ ₂

<

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

並且 {2, 3}

為先手必敗之狀相, 所以 (i) 與 (ii) 成立。

令 N 為任意大於 3 的自然數。假設對於所有 n < N , 滿足

m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

與 m < n 的所有 {m, n} 皆為先手必勝之狀相, 而滿足

_m ⁿ

<

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

與 m <

n 的所有 {m, n} 皆為先手必敗之狀相 (歸納假設)。今考慮狀相 {M, N}, (M < N), 滿足

N

M > 1 +√ 5

2 。 (28)

如果 N 可被 M 整除, 則顯然 {M, N}

為先手必勝之狀相。如果 N 不可被 M 整除, 則 {M, N} 只有下面兩種情形:

(甲) 當

^N ₂

< M < N 時, {M, N} 為死板狀相。此時先手者只能從{M, N} 走成 {M, N − M} 。根據上述補題, 由 (25) 式可得

M

N − M < 1 +√ 5 2

再由歸納假設知, 後手面對狀相 {M, N − M} 必敗無疑。換言之, {M, N} 是先手必勝之狀相。

(乙) 當 0 < M <

^N ₂

時, {M, N} 為活絡狀相。令 l 為

_M ^N

之整數部分。根

(6)

據上述補題, 由 (28) 式可得 N − (l − 1)M

M < 1 +√ 5 2 或

M

N − lM < 1 +√ 5 2 。

由歸納假設知, 後手面對狀相 {M, N − (l − 1)M} 或 {M, N − lM}

時必敗無疑, 亦即 {M, N} 是先手必勝之狀相。

因此, 定理 7 由數學歸納法證畢。

推論1: 設 m 與 n 為兩自然數且 m < n, 則 {m, n} 為先手必勝狀相之充要條件是

_m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

。

推論2: 設 m 與 n 為任意兩自然數, 則 {m, n} 為先手必勝之充要條件是

(i) m 為 n 的整數倍或 n 為 m 的整數倍或

(ii)

_m ⁿ

>

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

或 (iii)

m ⁿ

<

^√ ⁵⁻¹ ₂

並且在 (ii) 或 (iii) 的先手必勝條件下 , 先手者要採用扣盡走法或准扣盡走法作出狀相 {m

^′

, n

^′

} 給對方, 使得

√5− 1 2 < n

^′

m

^′

< 1 +√ 5 2

如此這般, 先手者可立於不敗之地。

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. ... .. . .. .. .

.

... ...

0 1

1 m y

m x

(I)

(II) (III)

(IV)

y=

^√ ⁵⁻¹ ₂

x y=

^√ ⁵⁺¹ ₂

x

y= x

. ...

.. . .. .. .

... ..

...

圖6

圖 6 就是推論 2 的圖解。在坐標平面上, 作三條直線 y = x, y =

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

x 及 y =

^√ ⁵⁻¹ ₂

x, 將第一象限分割成 (I)、(II)、(III) 及 (IV) 四塊領域, 落在 (I)、(II) 及 y = x 上的格子點就是先手必勝的狀相, 落在 (III) 及 (IV) 中的格子點就是先手必敗的狀相。

至此, 歐氏對局完全破解, 而且破解的關鍵涉及黃金數

^√ ⁵⁻¹

2

及黃

金分割比值

¹⁺ ₂ ^√ ⁵

, 這兩個互逆的神奇數。

參考文獻

1. H. E. Huntley: The Divine proportion, a study in mathematical beauty, Dover, 1970.

2. Rager Herz-Fischler: A Mathematical

History of Division in Extreme and

Mean Ratio, Wilfrid Laurier University

Press, 1987.

(7)

輾轉相除法、 黃金分割與費氏數列