輾轉相除法、 黃金分割與費氏數列

輾轉相除法、 黃金分割與費氏數列 ₍ 上 ₎

蔡聰明

考慮兩個自然數 51 與 30, 求它們的最 大公約數 (又叫最大公因數, g.c.d., h.c.f.) 有種種辦法:

(i) 求公因數法 3 51 , 30

17 , 10 (ii) 因數分解法

51 = 3× 17 30 = 2× 3 × 5

(iii) 輾轉相除法 1 51 30 1

30 21 2 21 9 3

18 9 3 0

51 = 1× 30 + 21 30 = 1× 21 + 9 21 = 2× 9 + 3

9 = 3× 3

{51, 30} → {21, 30} → {21, 9}

→ {3, 9} → {3, 0}

因 此 51 與 30 的 最 大 公 約 數 是 3, 記 成gcd(51, 30) = 3或G(51, 30) = 3。 如 果 是 利 用 輾 轉 相 除 法, 我 們 還 知 道 恰 好經 過 4 步 求 得 最 大 公 約 數, 這 個 步 數 記 成 E(51, 30) = 4。

在 上 述 方 法 中, 一 般 而 言, 最 常 用 的 是 輾 轉 相 除 法 (又 叫 做 歐 氏 算 則, Euclidean Algorithm)。 由 此 引 出 了 兩 個 兩變 數 函 數

G : N × N → N E : N × N → N

其 中 N 表 自 然 數 集, G(m, n) 表 m, n 的 最 大 公 約 數, E(m, n) 即 如 前 所 定 義 之 步 數。

本 文 我 們 要 來 探 討 這 兩 個 函 數 及 其 所 衍 生 的 一 些 有 趣 的 性 質, 尤 其 是 歐 氏 對 局 (Euclidean game)。 我 們 發 現 這 兩 個 函 數 居 然 跟 黃 金 分 割與 費 氏 數 列 (Fibonacci sequence) 具 有 密 切 的 關 係, 這 是 非 常 美 妙 而 令

1

人 驚 奇 的 事, 值 得 介 紹 給 大 家。 我 們 特 別 要 著 重 在 展 示 探 索 與 發 現 的 歷程。 在 數 學 中, 往 往 由 一 個 簡 單 的 事 物 切 入, 就 可 以 尋 幽 探 徑, 走 出 一 條 通 向 真 理 與 美 的 道 路, 這 是 數 學 的 魅 力 所 在。

輾轉 相 除 法 是 如 何 起 源 的? 我 們 先 回 顧 一 點 兒 數 學 史, 以 鑑 往 知 來。

一、 畢氏音律與逐步相減法

畢氏 (Pythagoras) 為了探求音律, 利 用單弦琴 (monochord) 作實驗, 發現當兩個 音的弦長為簡單整數比時, 是諧和悅耳的 (參 見 [1])。 例如, 2 : 1, 3 : 2, 4 : 3, 5 : 4 分別 是八度、 五度、 四度及三度音程。

這些弦長之比是如何求得的呢?

畢氏利用逐步相減法 (the succes- sive subtraction) 求得了這些比: 考慮 a, b 兩弦, 不妨設 a > b,

(i) 從較大的 a 減去較小的 b, 得 a− b; 若 a− b 仍大於 b, 再減去 b 得 a − 2b; · · · 直到 a− k

¹

b ≤ b, 其中 k

¹

∈ N 。 (ii) 仿 (i) 之法, 從較大的 b 減去較小的

a− k

¹

b,· · ·, 直到 b − k

²

(a− k

¹

b)≤ a− k

¹

b。

(iii) 按上述要領反覆做下去, 畢氏相信經有 限步的輾轉相減後必可到達 0, 計算就 結束。

在 0 之前最後一個不為零的數, 記為 d, 則存在兩個自然數 m 與 n 使得

a= md, b = nd (1)

並且 d 是滿足 (1) 式的最長弦段, 叫做 a 與 b 的最大共度單位, 此時我們也說 a 與 b 是 可共度的 (commensurable)。 從而得到

a: b = m : n

為整數比。 我們不妨將上述的演算叫做輾轉 相減法。

當 a, b 是兩個自然數的情形, 上述輾轉 相減法求得的最大共度單位 d 就是 a 與 b 的 最大公約數。 例如, 對 108 與 72 施行輾轉 相減法的結果是

{108, 72} → {36, 72} → {36, 36} → {0, 36}

因此經過 3 步的演算求得 108 與 72 的最大 公約數是 36。 我們記 P (108, 72) = 3, 表示 演算的步數。

一般而言, 任意給兩個自然數 m 與 n, 按畢氏輾轉相減法求最大公約數, 都可求得 其演算步數 P (m, n)。 從而定義出步數函數

P :N × N → N

如果將畢氏的輾轉相減法作精簡, 步步 採用扣盡的方式就得到歐氏的輾轉相除法。

因此, 輾轉相除法的步數小於等於輾轉相減 法的步數, 即

E(m, n)≤ P (m, n), ∀(m, n) ∈ N × N (2)

二、 輾轉相除法的步數函數

我們已經定義了 G, E, P 三個兩變數 函數。面對一個函數, 我們自然要問: 它具有 什麼性質? 最好的情況是由一些性質就能夠

求出函數的明白表達式, 當然這往往辦不到。

即使如此, 我們還是可對函數作一些有趣的 研究。

我們最感興趣的是 E 函數。 顯然, 它具 有下列三個性質: 對於任意 (m, n) ∈ N × N ,

(i) E(m, n)≥ 1, 但是沒有上界;

(ii) E(m, n) = E(n, m), (對稱性);

(iii) 若 m 可整除 n或n 可整除 m, 則 E(m, n) = 1。

進一步, 我們列出 E 函數的圖表, 作觀察以 找尋出較深刻的性質或規律:

.. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. ... .. .. .. . .. .. .. . .

...

n

m 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

.. .. . .. . .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 3 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 1 2 2 2 1 2 2 3 3 2 1 2 3 3 4 4 3 1 2 1 1 3 1 4 2 2 1 2 2 4 2 5 3 3 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 4 3 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 2 2 3 3 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4 4 1 1 1 1 3 1 4 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4 2 3 5 3 3 3 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 1 3 4 3 4 2 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 3 2 4 2 3 2 1

.. .. . .. .. .. .. . . .. . . . . . . . .. . . .. .. .. .. .. .. . .. ...

. .. . .. .. .. .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. .. .. .. .. .. . ...

.. . .. .. .. .. . .. . .. . . . . . . . . .. . .. .. .. .. .. .. ...

.. . .. .. .. .. .. . . .. . . . . . . . .. . . .. .. .. . .. . .. . .. .. ...

. .. . .. .. .. .. . .. . . .. . . . .. . . .. . .. .. . .. . .. .. ...

...

表1: E 函數的數值表 我 們 發 現: 對 於 固 定 的 n (或 m),

偏 函 數 (partial function) E(·, n) : N → N

(或 E(m,·) : N → N )

從 對 角 線 之 元 素 開 始 為 一 個 周 期

函 數, 周 期 為 n (或 m)。

對 於 指 定 的 步 數 k = 1, 2, 3, . . ., 我 們 要 問: 什 麼 樣 的 自 然 數 m 與 n 可 使 E(m, n) = k?

顯然, 對 於 固 定 的 k, 這 有 無 窮 多組 解 答; 而 且 並 不 是 一 味 地 讓 m 或 n 變 大 就 可 讓 E(m, n) 變 大。 例 如

E(13, 8) = E(1653, 164) = 5。 由 表 1 我 們 看 出, 要 讓 E(m, n) 逐 步 增 大 可 以這 樣 思 考: 對 於 固 定 的 n, 考 慮 橫 列 {E(m, n) : m ∈ N }。 基 本 上 這 是 一 個 周 期 數 列, 故 有 最 大 項。 我 們 求 E(m, n) 之 最 大 值, 但 是 m 取 最 小 值, 結 果 如 下:

當 n = 1 時, E(·, 1) 的 最 大 值 為 E(1, 1) = 1, 此 時 m = 1;

當 n = 2 時, E(·, 2) 的 最 大 值 為 E(3, 2) = 2, 此 時 m = 3;

當 n = 3 時, E(·, 3) 的 最 大 值 為 E(5, 3) = 3, 此 時 m = 5;

當 n = 4 時, E(·, 4) 的 最 大 值 為 E(7, 4) = 3, 沒 有 增 大;

當 n = 5 時, E(·, 5) 的 最 大 值 為 E(8, 5) = 4, 此 時 m = 8;

當 n = 6 或 7 時, E(·, 6) 與 E(·, 7) 的 最 大 值 分 別 為 3 與 4, 都 沒 有 增 大;

當 n = 8 時, E(·, 8) 的 最 大 值 為 E(13, 8) = 5, 此 時 m = 13;

. . . 等 等。

因 此, 我 們 得 到

E(1, 1) = 1, E(3, 2) = 2, E(5, 3) = 3, E(8, 5) = 4, E(13, 8) = 5, . . . (3)

其 中 赫 然 出 現 的 數 列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

k k k k k k k

F

1

, F

2

, F

3

, F

4

, F

5

, F

6

, F

7

, . . . 恰 好 是 頂 頂著 名 的 費 氏 數 列, 這 實 在 很 奇 妙。

費 氏 數 列 是 由 1, 1 出 發, 接 著 是 後 項 等 於 前 兩 項 相 加, 如 此 所 構 成 的, 即

F

1

= 1, F

2

= 1, F

n+2

= F

n+1

+ F

ⁿ

, n = 1, 2, 3, . . . (4) 由 (3) 式 我 們 可 以 猜 測 到: 對 於 任 意自 然 數 n,

E(F

n+2

, F

n+1

) = n (5) 事 實 上, 這 可 用 輾 轉 相 除 法 加 以 證 明:

F

n+2

= 1· F

ⁿ⁺¹

+ F

ⁿ

F

n+1

= 1· F

ⁿ

+ F

_n−1

...

F

4

= 1· F

³

+ F

2

F

3

= 2· F

²

一 共 是 做 了 n 次 的 演 算。 另 一 方 面, F

_n+2

與 F

n+1

是 最 小 的 兩 自 然 數, 滿 足 (5) 式 者。

定理1: 設 (F

ⁿ

) 為 費 氏 數 列, 則 (i) E(F

n+2

, F

_n+1

) = n,

(ii) 在 滿 足 E(a, b) = n 的 所 有 兩 自 然 數 a 與 b 之 中, 以 F

n+2

與 F

n+1

為 最 小。

證明: 我 們 只 需 證 明(ii)。

假設 E(b

n+2

, b

n+1

) = n 且 b

n+1

<

b

n+2

。 令 輾轉 相 除 的 n 個 步 驟 為 b

n+2

= k

ⁿ

b

n+1

+ b

ⁿ

, (0 < b

ⁿ

< b

n+1

) b

n+1

= k

_n−1

b

n

+ b

_n−1

, (0 < b

_n−1

< b

n

)

... (6) b

5

= k

3

b

4

+ b

3

, (0 < b

3

< b

4

) b

4

= k

2

b

3

+ b

2

, (0 < b

2

< b

3

) b

3

= k

1

b

2

其 中 所 有 的 數 皆 為 自 然 數, 至 少 為 1。 特 別 地, k

1

6= 1, 否 則 b

³

= b

2

, 這 就 跟 0 < b

2

< b

3

矛 盾。 因 此 k

1

≥ 2 。 逆 著 上 述 輾 轉 相 除 的 步 驟 得 到

b

2

≥ 1 = F

²

,

b

3

≥ 2 · 1 = 2 = F

³

, b

4

≥ 1 · 2 + 1 = 3 = F

⁴

, b

5

≥ 1 · 3 + 2 = 5 = F

⁵

, b

6

≥ 1 · 5 + 3 = 8 = F

⁶

,

. . . 等 等

故 (b

ⁿ

) 的 各 項 大 於 等 於 費 氏 數 列 (F

ⁿ

) 的 對 應 項。 欲 (b

ⁿ

) 的 各 項 儘 可 能 地 小, 只 需 在 (6) 式 中 取 最 小 的 b

2

= 1, k

2

= 2, k

ⁱ

= 1, i = 2, 3, 4, . . . 就 得 到 費 氏 數 列

b

2

= F

2

, b

3

= F

3

, . . . , b

n

= F

ⁿ

, . . . 至 此, (ii) 證 畢。

顯然, E(m, n) 無 上 界。 我 們 進 一 步 想 知 道 它 的 增 長 行 為。 根 據 上 述, 我 們 只 需 考 慮 (m, n) 是 費 氏 數 列 (F

ⁿ

) 相 鄰 兩 項 的 情 形。 觀 察 表 1 可 知:

(i) 當 0 < n≤ 8 時, E(m, n) ≤ 5 且 F

ⁿ

是 一 位 數;

(ii) 當 8 < n≤ 89 時, E(m, n) ≤ 10 且 F

n

是 二 位 數;

(iii) 當 89 < n≤ 987 時, E(m, n) ≤ 15 且F

n

是 三 位 數。

在這 些 觀 察 下, 我 們 猜 測 到:

對 任 意 兩自 然 數 m 與 n, m > n, 恆 有

E(m, n)≤ 5 × (n的 位 數) (7) 如 何證 明 呢? 假 設 E(m, n) = k, 記 a

k+2

= m, a

k+1

= n 。 令 a

k+2

與 a

k

的 k 個 步 驟 之 輾 轉 相 除 為

a

k+2

= q

^k

· a

^k+1

+ a

^k

, (0 < a

^k

< a

k+1

) a

k+1

= q

_k−1

· a

^k

+ a

_k−1

, (0 < a

_k−1

< a

k

)

...

a

4

= q

2

· a

³

+ a

2

, (0 < a

2

< a

3

) a

3

= q

1

· a

²

仿定 理 1 證 明 之 論 證 知

q

1

≥ 2, a

³

≥ F

³

, a

4

≥ F

⁴

, . . . , n= a

k+1

≥ F

^k+1

(8)

設 n 為 l 位 數, 我 們 要 利 用 (8) 式 來 證 明

k≤ 5 · l (9) 為 此, 我 們 需 利 用 費 氏 數 列 的 一 個 增長 性 質: 觀 察 費 氏 數 列 F

1

= 1, F

2

= 1, F

3

= 2, F

4

= 3, F

5

= 5, F

6

= 8, F

7

= 13, F

8

= 21, F

9

= 34, F

1

0 = 55, . . . 得 知

F

2+5

= F

7

= 13 > 10 = 10· F

²

F

3+5

= F

8

= 21 > 20 = 10· F

³

F

4+5

= F

9

= 34 > 30 = 10· F

⁴

一 般 而 言,

F

n+5

= F

n+4

+ F

n+3

= 2F

n+3

+ F

n+2

= 3F

n+2

+ 2F

n+1

= 5F

n+1

+ 3F

ⁿ

= 8F

ⁿ

+ 5F

_n−1

= 13F

_n−1

+ 8F

_n−2

= 21F

_n−2

+ 13F

_n−3

>20F

_n−2

+ 10F

_n−3

= r10F

ⁿ

(10)

因 此, F

n+5

至 少 比 F

ⁿ

要 多 一 位 數。 由 (10) 式 得

F

n+5l

>10

^l

F

n

, (11) n = 2, 3, . . . ; l= 1, 2, . . .

回 到 (9) 式 之 證 明, 我 們 利 用 反 證 法。

若 (9) 式 不 成 立, 即 若 k > 5l, 則 k ≥ 5l + 1, 故

n ≥ F

^k+1

≥ F

^5l+2

≥ F

²

· 10

^l

= 10

^l

。 這 表 示 n 至 少 有 l + 1 位 數, 矛 盾。 因 此, (9) 式 成 立。

定理2: (Lame 定 理, 1844 年) 對 任 意 兩 自 然 數 m 與 n, m > n, 恆 有

1≤ E(m, n) ≤ 5 × (n的 位 數)。 (12)

注 意: 在 (12) 式 中,5 是“最 佳 可 能 值”(the best possible value), 即 將 5 改 為 較 小 的 自 然 數 時, (12) 式 就 不 成 立 了。

三、 費氏數列與黃金分割

費氏數列的模式 (pattern) 在自然界及 數學的許多地方一再地出現, 內容豐富而美 麗, 這是它深具興味的理由。

Fibonacci 觀察兔子的繁殖現象, 在 1202 年提出今日所謂的費氏數列。 假設任何 一對新生兔子, 經過兩個月後, 開始生育一對 兔子, 其後每隔一個月生育一對兔子。 今在年 初有一對新兔, 繁殖到年末, 問一共有幾對兔 子?

按月記錄下兔子的總對數就是費氏數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . 。 因此第十二月未 共有 144 對兔子。

有些花草或樹木, 其枝幹之分枝成長也 符合費氏數列的模式, 參見圖 1。 更令人驚奇 的是, 費氏數列竟然出現在雄蜜蜂的家譜之 中! 大家都知道, 在蜜蜂的王國, 女王蜂產卵 孵化成雄蜂, 受精的卵孵化成工蜂或女王蜂, 因此雄蜂只有母親沒有父親。 考慮一隻雄蜂 的家譜, 牠的歷代祖先之個數成為費氏數列, 並且第七代的 13位祖先恰好可以排列成鋼琴 八度音的 13 個半音階 (8 個白鍵, 5 個黑鍵), 參見圖 2。

圖 1

圖 2 在 Pascal 三 角 形 中 (二 項 定 理 及開 方 術) 也 隱 含 有 費 氏 數 列。 Pas- cal三 角 形 (又 叫 做 算 術 三 角 形 或 楊 輝三 角 形) 如 下:

1

1 1

1 2 1

1... 3 3 1

.. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . ... ...

1 4 6 4 4

· · · ·

這 些 數 是 由 二 項 展 開 定 理 的 係 數 組 成 的。 將 它 們 重 新 排 列 成 下 形, 那 麼 水 平 各 項 之 和 形 成 費 氏 數 列, 斜 線 各 項 是 二 項 定 理 的 係 數, 垂 直 列 代表 兔 子 各 代 子 孫 的 對 數, 例 如 第 九個 月 的 1, 7, 15, 10, 1 表 示 親 代 有 一 對, 子 代 有 7 對, 孫 代 有 15 對, 曾 孫 代 有 10 對, (曾 孫)

²

代 有 1 對 (五 世 同 堂)。

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

...

. .. .. .. . .. .. .. .

二項定理

←

←

←

←

←

←

←

←

←

←

← 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 6 10 15 21 28

1 4 10 20 35

1 5 15 1 ... ... ... ... ... ... ...

親 子 孫 曾孫(曾孫)

²

(曾孫)

³

⌢ 費 氏 數 列

⌣

. ...

... ...

... . ...

. ... . ...

. ...

... ...

.. ...

... . ...

. ...

... ...

... ...

... .. ...

... ...

. ...

... ...

.. ...

.. ...

.

費 氏 數 列 有 許 多 有 趣 的 性 質, 其證 明 可 參 考 [3]:

定理3:

(i) 費 氏 數 列 任 何 相 鄰 兩 項 皆 互 質, 即 gcd(F

ⁿ

, F

n+1

) = 1

(ii) 費 氏 數 列 的 首 n 項 之 和 為 F

n+2

− 1

(iii) 費 氏 數 列 (F

ⁿ

) 滿 足 恆 等 式 F

n ²

= F

_n−1

F

_n+1

+ (−1)

ⁿ⁻¹

, ∀n ≥ 2 特 別 地, 當 n = 2m 為 偶 數 時, 恆 有

F

_2m ²

= F

_2m−1

F

2m+1

− 1 (13)

(iv)

F

n

F

n+3

−F

ⁿ⁺¹

F

n+2

= (−1)

ⁿ⁻¹

, ∀n ∈ N (14) (13) 式 是 周 知 的 一 個 幾 何 謎 題 之 來 源。 例 如, 考 慮 邊 長 是 8 之 正 方 形, 面 積 為 64。 如 圖 3, 將 它 分 割 成 四 塊, 再 併 成 邊 長 是 5 與 13 的 長 方 形, 面 積 為 65。 這 似 乎 是 個 矛 盾, 相 差 一 個 單 位面 積 跑 到 哪 裡? 這 很 容 易 解 釋:

事 實 上 A, B, C, D 四 點 並 不 全 落 在 長 方 形 的 對 角 線 上, 它 們 構 成 面 積 為 1 的 一 個 平 行 四 邊 形, 作 圖 時 沒 將 其表 現 出 來。

... .

.. . ...

8 3

5 3

5

3 5

... ..

.. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

A

B C

D 5

8 5

13 圖3

對 於 任 意費 氏 數 F

2m

, 以 F

2m

為 邊作 一 正 方 形, 如 圖 4, 將 它 分 割 成 甲、 乙、 丙、 丁四 塊, 再 重 排 成 圖 5, 中 間 的 平 行 四 邊 形 具 有 單 位 面 積, 這 就 是 (13) 式 之 圖 解。

... .

. .. ...

F

2m

F

_2m−2

F

_2m−1

F

_2m−1

F

_2m−1

甲 乙

丙 丁

圖4

.. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . ..

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .

... .

.

甲 丙 乙

丁 F

2m

F

_2m−1

F

_2m−1

F

2m+1

圖5

考 慮 費 氏 數 列 相 鄰 兩 項 的 比 值, 例 如 後 項 比 前 項 b

ⁿ

=

^F F

ⁿ⁺¹_n :

b

1

=

¹ ₁

= 1 , b

2

=

² ₁

= 2 b

3

=

³ ₂

= 1.5 , b

4

=

⁵ ₃

= 1.66 . . . b

5

=

₁₅ ⁸

= 1.6 , b

6

=

¹³ ₈

= 1.625 b

7

=

²¹ ₁₃

= 1.615 . . . , b

8

=

³⁴ ₂₁

= 1.619 . . .

... ...

(15) 我 們 發 現 數 列 (b

n

) 的 奇 數 項 所 成 的 子 序 列 (subseguence) 是 遞 增 的, 而 偶 數 項 是 遞 減 的, 形 成 左 右 夾 逼 的 兩 隊 小 兵, 越 來 越 接 近。 因 此, 我 們 順 理 成 章 可 以 「猜 想」 得 知 數 列 (b

ⁿ

) 的 極 限 值 存 在。

問: lim

_n→∞

b

n

= ?

通 常 的 求 法 是, 由 F

n+2

= F

n+1

+ F

n

, 兩 邊 同 除 以 F

n+1

得

b

n+1

= 1 + 1 b

n

(16)

令 φ = lim

_n→∞

b

n

, 則 φ= 1 + 1

φ (17)

φ

²

− φ − 1 = 0 (18) 解 得

φ = 1±√ 5

2 (負 不 合)

注 意 到: 在 上 述 論 證 中, 如 果 極 限 lim

n→∞

b

n

存 在, 則 lim

n→∞

b

n

=

¹⁺ ₂ ^{√ 5}

; 但 是 如 果 lim

n→∞

b

n

不 存 在, 則 可 能 導 出 矛 盾 的結 果。

例 如, 由 x

²

= 5 得 x =

⁵ _x

。 定 義 數 列 (a

ⁿ

) 為: a

1

= 3, a

n+1

=

a ⁵

_n, n = 1, 2, . . . 。 如 果 令 lim

_n→∞

a

n

= α, 則 得

α = 5

α, 即 α

²

= 5 解 得 α =±√

5 (負 不 合), 所 以

n→∞

lim a

n

=√ 5 但 是 仔細 觀 察 數 列 (a

ⁿ

) :

a

1

= 3, a

2

= 5

3, a

3

= 3, a

4

= 5 3, . . . 它 以 3,

⁵ ₃

不 止 息 地 循 環, 故 不 收 斂。

這 跟 lim

n→∞

a

n

=√

5 矛 盾。

民 國 八 十 二 年 大 學 聯 招 自 然 組 數 學, 有 一 道 證 明 題: 設 a

0

= 1, a

_n+1

=√

1 + a

ⁿ

, n = 0, 1, 2, . . . 。 (i) 試 證 1≤ a

ⁿ

≤

¹⁺ 2 ^{√ 5}

, 其 中 n =

0, 1, 2, . . .

(ii) 試 證 a

ⁿ

≤ a

ⁿ⁺¹

, 其 中 n = 0, 1, 2, . . . (iii) 當→ ∞ 時, 試 證 a

ⁿ

趨近 於 一 定

值。

事 實 上, 這 題 就 是 要 證 明 數 列 (a

ⁿ

) 遞增 且 有 上 界, 則 由 實 數 系 的 完 備

性 知 lim

_n→∞

a

n

= α 存 在。 然 後 由 a

n+1

= √

1 + a

ⁿ

得 α = √

1 + α, 解 得 α=

¹⁺ ₂ ^{√ 5}

。

對 於 前 述 數 列 (b

ⁿ

), 我 們 有 定理4:

(i) (b

2n+1

) 是 遞 增 的, (ii) (b

2n

) 是 遞 減 的,

(iii) b

_2n−1

< b

2n

, ∀n ∈ N , (iv) 1≤ b

ⁿ

≤ 2, ∀n ∈ N 。 (v) |b

ⁿ⁺¹

− b

ⁿ

| → 0, 當 n → ∞ 。 證明:

(i) b

2n+3

− b

²ⁿ⁺¹

= F

2n+4

F

2n+3

− F

2n+2

F

2n+1

= F

2n+1

F

2n+4

− F

²ⁿ⁺²

F

2n+3

F

2n+3

F

2n+1

由 定 理 3 知, 分 子 等 於 1, 因 此 b

2n+3

− b

2n+1

>0, 亦 即 (b

2n+1

) 是 遞 增 的。

(ii) 同 理 可 證 (b

2n

) 是 遞 減 的。

(iii) b

2n

− b

2n−1

= F

2n+1

F

2n

− F

2n

F

_2n−1

= F

_2n−1

F

2n+1

− F

^{2n 2}

F

_2n−1

F

2n

由 定 理 3 知, 分 子 等 於 1, 故 b

2n

− b

_2n−1

>0, 即 b

_2n−1

< b

2n

。

(iv) 由 b

1

= 1 與 b

2

= 2, 配 合 上 述 (i) 到 (iii) 就 得 證 1≤ b

ⁿ

≤ 2, ∀n ∈ N 。

(v) 由 (16) 式 知

|b

ⁿ⁺¹

− b

ⁿ

|

=

   

1 + 1

b

n

− b

ⁿ

   

=

     

1 + 1 + 1 b

_n−1

! ₋₁

− 1 + 1 b

_n−1

!      

=

    

b

² _n−1

− b

n−1

− 1 b

_n−1

(1 + b

_n−1

)

    

(19)

同 理 可 得

|b

ⁿ

− b

n−1

| =

    

1 + 1

b

_n−1

− b

n−1

    

=

    

b

² _n−1

− b

n−1

− 1 b

_n−1

    

(20)

由 (19) 與 (20) 兩 式 及 b

_n−1

≥ 1 知

    

b

n+1

− b

ⁿ

b

n

− b

n−1

    

=

    

1 1 + b

_n−1

    

≤ 1 2 因 此

|b

ⁿ⁺¹

− b

ⁿ

|

≤ 1

2|b

ⁿ

− b

n−1

|

≤ 1

2

ⁿ

|b

n−1

− b

n−2

| ≤ · · ·

≤ (1

2)

ⁿ⁻¹

|b

²

− b

¹

|

= 2

⁻ⁿ⁺¹

→ 0, 當 n → ∞ 時。 證 畢。

由 實 數 系 完 備 性 的 區 間 套 原 理(the nested intervals principle) 可 知, 極 限 lim

_n→∞

b

n

確 實 存 在。 因 此, 我 們 得 到

定理5:

n→∞

lim b

n

= lim

n→∞

F

n+1

F

n

= 1 +√ 5

2 = 1.618· · · (21) 這 個 數 就 是 著 名 的 黃 金 分 割 比 值 (Golden ratio)。 所 謂 黃 金 分 割

(Golden section) 就 是 將 一 個 線 段 分 割 成大 小 兩 段, 使 得

全 段 : 大 段 = 大 段 : 小 段 (22) 若 令 全 段 為 1, 大 段 為 x, 則 小 段 為 1− x, 從 而

1 : x = x : 1− x 亦 即

x

²

+ x− 1 = 0 解 得

x= −1 ±√ 5

2 (負 不 合) 因 此

x= −1 +√ 5

2 = 0.618· · ·

此 數 叫 做 黃 金 數 (Golden number)。 從 而 黃 金 分 割 比 值 1 : x 為

1

x = 1 +√ 5 2 注 意:

¹⁺ ₂ ^{√ 5}

與

^{−1+ √ 5}

2

互 為 倒 數。

Kepler 說: 「幾 何 學 有 兩 大 寶 藏, 一 個 是 畢 氏 定 理, 另 一 個 是 黃 金 分 割。 前者 有 如 黃 金, 後 者 有 如 珍 珠。」

費 氏 數 列 與 黃 金 分 割 還 有 許 多 奇 特 的 性質, 這 些 都 有 專 書 討 論, 例 如 [1]與 [2]。 1963 年 後 還 發 行“The Fi- bonacci Quanterly”之 專 門 雜 誌 來 推 動這 方 面 的 研 究。 (未 完 待 續)

—本文作者任教於台灣大學數學系—